Equação de Schrodinger independente do tempo

Prévia do material em texto

Benildo
 Rodrigues
Fabiã
o Ernesto
Mussage
 
Calisto
 
Am
a
de
 
Rea
Nordino
 
Abdul
 
Anifo
Orcídio
 Aberto Sa
n
tos
Osvaldo Mário Gilberto
Zaida Lucas Joaquim
Equação de 
Schrödinger
 Independente do Tempo
(
licenciatura em Ensino de Física, com Habilidades em Energias Renováveis, 3º Ano, 3 Grupo)
Universidade Rovuma
Nampula
2019
Benildo
 Rodrigues
Fabiã
o Ernesto
Mussage
 
Calisto
 
Am
a
de
 
Rea
Nordino
 
Abdul
 
Anifo
Orcídio
 Aberto Sa
n
tos
Osvaldo Mário Gilberto
Zaida Lucas Joaquim
Equação de 
Schrödinger
 Independente do Tempo
(
licenciatura em Ensino de Física, com Habilidades em Energias Renováveis, 3º Ano, 3 Grupo)
Universidade Rovuma
Nampula
2019
Trabalho de Carácter avaliativo
 a ser entregue 
no departamento de Ciências Naturais e Matemática no curso de Licenciatura em Ensino de Física, 3º ano,
 na cadeira de Mecânica Quântica
 leccionado pelo docente:
Msc
: 
Hairazate
 
Ab
du
rahamane
Introdução 
No presente trabalho vamos abordar o assunto estados quânticos estacionários, mas especificamente a equação relacionada com a independência do tempo ou seja equação de Schrödinger independente do tempo. Na qual vamos esboçar a respeito de poços unidimensionais e oscilador harmónico simples ou simplesmente oscilador harmónico. São objectivos deste trabalho colocar o estudante um novo olhar a respeito da mecânica quântica no que tange a distinção das equações de Schrödinger depende do tempo e independente do tempo, deduzir as equações que satisfazem as condições de contorno um dado poço potencial.
A metodologia utilizada neste trabalho foi a das pesquisas das referências bibliográficas 
Equação de Schrödinger independente do tempo
Segundo (Baldiotti, 2013, p. 34)A equação de Schrödinger dependente do tempo para partículas sujeitas a um potencial, que na sua forma mais geral pode ser escrita como:
Descreve evolução temporal de . Em alguns casos, quando , isto é, para sistemas conservativas, podemos encontrar soluções independentes do tempo, conhecida como estados estacionários – a partir da equação de Schrödinger dependente do tempo. 
Para um caso unidimensional onde . a equação acima reduz-se em:
A equação acima é uma equação de derivadas parciais nas variáveis x e t, que pode ser reduzida a um par de equações diferenciais ordinárias em uma variável, quando usamos o método de separação de variáveis1 Para isto, supondo 
que a admite soluções do tipo
Onde e são funções só de e , respectivamente. Substituindo na 
Temos 
Dividindo ambos os membros desta equação pelo produto 
Encontra-se:
No primeiro membro só aparece a variável t e no segundo, a variável . Isto significa que, para esta equação ser satisfeita, é necessário que ambos os membros sejam independentes tanto de como x, isto é, cada um deles seja igual a uma constante:
Onde é chamada de constante de separação.
A equação 
Pode ser reescrita como:
A solução deste tipo de equação é dada pela equação:
Substituindo-se esta expressão na equação
Obtêm-se 
Logo para 
Obterem-se a seguinte solução 
Na equação acima não aprece a variável , ela é frequentemente conhecida como Equação de Schrödinger independente do tempo (ESIT), e tem a forma de uma de equação d autovalores. O termo em colchetes no primeiro membro, representa o operador hamiltoniano (em uma dimensão)
Substituindo a equação acima na equação a seguir 
 obtêm-se:
Na qual é da dada pela solução:
A densidade de probabilidade de encontrar a partícula num ponto e no instante , como energia , definida como , é independente do tempo, uma vez que para qualquer real.
Os estados estacionários são extremamente importantes na descrição quântica da natureza, não só por representarem os estados que têm energia definida, mas também porque o conjunto dos auto estados do hamiltoniano, que são os estados estacionários, é completo. Isto significa que qualquer estado pode ser representado como uma combinação linear de estados estacionários.
O valor esperado da energia total é dado pela expressão:
Portanto
Usando a expressão da normalização obtemos
Logo a variância será igual a zero.
Poços quadrados infinitos 
O sistema quântico mais simples que apresenta a quantização de energia é formado por um objecto quântico, por exemplo o electrão, que pode se mover em apenas uma dimensão e está restrito ao intervalo . Esse sistema é descrito por uma estrutura de poço de potencial de largura , uma “caixa” de paredes impenetráveis. Portanto, fora da caixa a energia potencial é infinita, enquanto dentro da caixa a energia potencial é nula ou seja quando uma partícula move-se ao longo do eixo , excepto pelo faço de que , nas posições , , existem paredes impenetráveis: exige-se, isto é, que a probabilidade de a partícula estar fora no intervalo seja estritamente igual a zero (). Formalmente isto se realiza exigindo que a função de onda da partícula seja nula nas paredes, que podem ser consideradas infinitamente espessas. Portanto para e para , neste contexto a equação de Schrödinger independente do tempo é dada por (coletiva):
Onde é um numero positivo ou nulo. Reescrevendo a equação acima obtêm-se
E, introduzindo
Tem-se que 
Sendo uma equação linear da segunda ordem, a sua solução geral é dada da seguinte forma:
 Adicionando as condições de contorno , na qual para satisfazer a condição , basta tomar , pois o se anula automaticamente em . Então antes de usar a segunda condição de contorno, tem-se que
A segunda condição de contorno exige que 
E sabe-se que o seno se anula em qualquer arco da forma , com inteiro qualquer. Logo, tem-se
Ou seja, k tem valores restritos aos da forma
Com este resultado a equação de Schrödinger (que satistazem as condições de contorno , são
 Onde 
A segunda derivadas 
Substituindo este resultado na equação 
Obtêm-se
Diferenciando com a física clássica, a energia não varia continuamente: o valor passa-se, a seguir, ao valor , e 
Esta equação descreve um espero discreto para energia. Espectro discreto para energia estão sempre ligados ao facto de o sistema ser localizado, isto quer dizer que, ter localização restrita a uma parte do espaço. Sistemas que podem estar em toda parte, como partícula livres, têm espectro contínuo. (Griffths, 2001)
Portanto, o estado de menor energia , é chamado de estado fundamental do sistema. Os outros estados são chamados em geral de estados excitados.
Normalizando a função de onda como sugere os postulados interpretativos, fica
Ou 
Usando a relação trigonométrica e aplicando a equação acima fica
Substituindo na expressão da normalização, obtêm-se
Calculando usando regras de integras trigonométricas
Logo, e pode-se escolher , porem a fase da função da onda é arbitrária ou seja pode ser negativa ou positiva. Assim
A expressão acima tem como resultado geral 
Na qual aplicando as propriedades da equação de Schrödinger independente do temo para poços infinitos temos que sempre 
Propriedades da s funções de onda para a Equação de Schrödinger independente do tempo 
De acordo com (Griffths, 2001) existem algumas propriedades importantes e interessantes da função de onda, a destacar:
São alteradamente pares ou impares em relação ao centro do poço: é par, é impar, é par, e assim por diante.
Quando s ganha energia, cada sucessivo ganha mais nó (cruzamento zero): não tem nenhum (os extremos não contam), tem um extremo, tem dois (2), e assim por diante.
Eles são mutuamente ortogonais, de modo que 
Sempre que .
Elas são completas no sentido no que qualquer outra função,, pode ser expressa como uma combinação linear delas.
Oscilador Harmónico 
(Novaes & Studart, 2016, p. 53) ´´Dentre os sistemas envolvendo forças que variam suavemente com a posição, o mais simples é o oscilador harmónico, em que a partícula experimenta uma força de restauração que cresce linearmentecom sua distância da origem``.
De acordo com (Fleming, 2011, p. 100) Dos problemas que envolvem estados ligados, o oscilador harmónico é, sem dúvida, o mais importante, não só pelo problema em si, como também porque podemos analisar sistemas mais complicados em termos dos resultados obtidos para o oscilador, tais como, vibrações dos átomos em moléculas e cristais, etc.
Sob o ponto de vista da física clássica, um oscilador é um sistema constituído por uma partícula de massa m atraída para um centro fixo por uma força que é proporcional à distância da partícula a este centro de foça, isto é,
Onde é conhecido como constante de mola, em alusão ao sistema massa/mola, que é a representação mais conhecida de um oscilador harmónico. A energia potencial de uma partícula, sujeita a uma força desse tipo, é dada por
Aplicando segunda derivada para a lei de Hooke, obtemos a lei de Newton dada na seguinte forma
A solução da equação é
na qual 
Os estados estacionários do sistema quântico satisfazem a equação de Schrödinger
A simplicidade do oscilador harmónico se reflecte no fato de que essa equação pode ser resolvida explicitamente. O estado fundamental,, é uma função Gaussiana proporcional
A com . Essa função descreve um objecto quântico com alta probabilidade de estar próximo da origem, dentro de um intervalo de tamanho da ordem de a. Os estados estacionários , são dados pelo produto dessa função Gaussiana por polinómios chamados polinómios de Hermite.
Os níveis de energia são quantizados, de acordo com a regra
Assim, o estado fundamental tem energia . Curiosamente, a diferença de energia entre dois estados excitados adjacentes é sempre a mesma,. Em outras palavras, os níveis de energia são igualmente espaçados.
Em última análise, esse fato deriva da seguinte característica peculiar do oscilador harmónico: a frequência de oscilação é a mesma para qualquer condição inicial, independentemente da energia. (Novaes & Studart, 2016, p. 54)
Conclusão 
Neste trabalho abordou logo a prior sobre a equação de Schrödinger independente do tempo, partindo da equação do Schrödinger dependente do tempo e verificou se que na equação independente do tempo, o termo , não aparece na equação independente do tempo , somente constatou-se o aparecimento de uma constante relacionado a energia, na qual é um autovalores, isto é, este pode assumir valores numéricos. Portanto a Equação de Schrödinger independente do tempo, ela tem muitas aplicações no que tange a física ondulatória e ou mecânica, pois ela se aplica a poços potenciais unidimensionais infinitos assim como tridimensionais, a um oscilador harmónico, potenciais de degrau e muitos outros.
Referências Bibliográficas 
Baldiotti, M. C. (2013). Física Moderna I- Parte : Mecânica Quântica. brazil.
coletiva, O. Mecânica Quântica. 
Fleming, H. (2011). Notas de Aulas de Mecânica Quântica. São paulo: Livraria de Física.
Griffths, D. J. (2001). Mecânica Quântica (2ª ed.). (L. Freitas, Trad.) São Paulo: Pearson.
Novaes, M., & Studart, N. (2016). Mecânica Quântica Básica. São Paulo: Livraria de Física.