Econometria III lista1 2019

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EAE 327 Econometria III 
Prof. Márcio I. Nakane 
 
Lista de exercícios 1 
 
 
1. De Losso: Cap. 2, exercício 5: Responda: 
a) Mostre algebricamente como um processo AR(2), com raízes (do polinômio em L) 
fora do círculo unitário é expresso como um MA(∞). 
b) Escreva um MA (1) sob a forma de um AR (∞). 
c) Por que as raízes (do polinômio em L) do processo MA devem estar fora do círculo 
unitário? 
 
2. De Losso: Cap. 2, exercício 6: Verifique se os modelos a seguir são estacionários 
e/ou inversíveis, em que L é o operador defasagem: 
a) (1 − 𝐿)𝑌𝑡 = (1 − 0,5𝐿)𝜀𝑡 
b) (1 − 0,8𝐿)𝑌𝑡 = (1 − 1,2𝐿)𝜀𝑡 
c) (1 − 0,7𝐿 + 0,4𝐿2)𝑌𝑡 = (1 − 0,5𝐿)𝜀𝑡 
d) (1 − 0,7𝐿 + 0,4𝐿2)𝑌𝑡 = (1 − 1,6𝐿 + 0,7𝐿
2)𝜀𝑡 
e) (1 + 0,9𝐿)𝑌𝑡 = (1 + 0,5𝐿 + 0,4𝐿
2 + 0,3𝐿3)𝜀𝑡 
 
3. De Losso, Cap. 2, exercício 7: Calcule as autocorrelações dos modelos MA (2), AR 
(2) e ARMA (1,1). 
 
4. De Losso, Cap. 2, exercício 8: Considere o seguinte processo estocástico: 
𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝜀𝑡, 𝑒𝑡~𝑖. 𝑖. 𝑁(0,1), 𝑌0 = 0 
Em que 𝜙 pode assumir os seguintes valores: 1,0; 0,9; 0,5. Simule 1.000 séries (com 
100 observações cada) para cada um dos parâmetros teóricos de 𝜙; estime-os em 
seguida por MQO. Comente as propriedades do estimador. 
 
5. Enders, Cap. 2: exercício 1: 
 
 
6. Enders, Cap. 2: exercício 2: 
 
 
7. Enders, Cap. 2: exercício 6: 
 
 
8. (P1 2018) As figuras abaixo mostram as funções de autocorrelação (FAC) e de 
autocorrelação parcial (FACP) amostrais para quatro processos ARMA (p,q) distintos. 
Para cada uma delas, determine qual a ordem (p,q) mais provável do processo ARMA 
bem como o valor mais provável do(s) coeficiente(s) dos termos AR e MA. Justifique. 
 
 
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 0 5 10 15 20
defasagem
FAC para y1
+- 1.96/T^0.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 0 5 10 15 20
defasagem
FACP para y1
+- 1.96/T^0.5
 
 
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 0 5 10 15 20
defasagem
FAC para y2
+- 1.96/T^0.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 0 5 10 15 20
defasagem
FACP para y2
+- 1.96/T^0.5
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0 5 10 15 20
defasagem
FAC para y3
+- 1.96/T^0.5
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0 5 10 15 20
defasagem
FACP para y3
+- 1.96/T^0.5
 
 
9. (P1 2018) 𝑍𝑡, 𝑡 = 0,1,2, ⋯ são variáveis aleatórias independentes, normais, cada uma 
com média zero e variância 𝜎2; 𝑎, 𝑏, e 𝑐 são constantes. Quais dos seguintes 
processos são covariância estacionários? Para cada processo, especifique a média, 
a variância e a função de autocovariância. 
a) 𝑌𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑍𝑡 + 𝑐𝑍𝑡−1 
b) 𝑌𝑡 = (−1)
𝑡𝑍𝑡 
c) 𝑌𝑡 = 𝑍𝑡 + (−1)
𝑡𝑍𝑡 
d) 𝑌𝑡 = 𝑍𝑡𝑍𝑡−1 
 
10. (P1 2018) Seja o seguinte processo AR(2) covariância estacionário: 
(1 − 𝜆1𝐿)(1 − 𝜆2𝐿)𝑌𝑡 = 𝜀𝑡 
Onde L é o operador defasagem, 𝜀𝑡 é um ruído branco de média zero e variância 𝜎
2, 
|𝜆1| < 1, |𝜆2| < 1 e 𝜆1 ≠ 𝜆2. 
a) Mostre que: 
1
(1 − 𝜆1𝐿)(1 − 𝜆2𝐿)
= (
1
𝜆1 − 𝜆2
) [
𝜆1
1 − 𝜆1𝐿
−
𝜆2
1 − 𝜆2𝐿
] 
b) Utilize o resultado do item anterior para mostrar que: 
𝑌𝑡 = (𝑏1 + 𝑏2)𝜀𝑡 + (𝑏1𝜆1 + 𝑏2𝜆2)𝜀𝑡−1 + (𝑏1𝜆1
2 + 𝑏2𝜆2
2)𝜀𝑡−2 + (𝑏1𝜆1
3 + 𝑏2𝜆2
3)𝜀𝑡−3 + ⋯ 
Ou seja, encontre as expressões para 𝑏1 e 𝑏2. 
 
 
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 0 5 10 15 20
defasagem
FAC para y4
+- 1.96/T^0.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 0 5 10 15 20
defasagem
FACP para y4
+- 1.96/T^0.5