Notas de Aula modelos dinâmicos IE

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autoregressivo é igual à unidade ou não através de uma transformação simples do 
modelo 
yt =  yt-1 + t => yt =  –1) yt-1 + t =>yt =  yt-1 + t 
 
A hipótese nula é H0:=0, com Ha:<0, que é equivalente a H0:=1 com Ha:<1. A 
transformação da série é muito didática para mostrar que se não for presente uma raiz 
unitária o crescimento da série depende do patamar do mesmo. Isto gera uma reversão à 
média. Se a série estiver acima da média, a taxa de crescimento tenderá a ser negativa 
( yt-1<0). Já se a série estiver abaixo da média, espera-se a taxa de crescimento 
positiva, fazendo a série voltar para perto do valor médio. 
A tabela para o teste é diferente da Normal, mesmo em grandes amostras, por causa da 
não estacionariedade sob a hipótese nula. A distribuição também depende da presença 
ou não de termos determinísticos como constante ou tendência. Isto levou à sugestão de 
uma metodologia de teste em que avalia-se o modelo mais geral, com constante e 
tendência e avalia-se se a tendência é significativa. Se não for, repete-se o teste 
utilizando uma regressão apenas com constante como acima. Se a constante não for 
significativa, repete-se o teste utilizando uma regressão sem constante e observa-se o 
resultado do teste neste caso. 
 
Para um modelo autoregressivo de ordem maior, como AR(2), a metodologia é a do 
teste ADF (Dickey-Fuller aumentado). Lembre-se que se há pelo menos uma raiz 
unitária, a soma dos coeficientes autoregressivos é igual a 1. Assim os autores proporam 
o seguinte teste para um modelo yt = 1 yt-1 2 yt-2+ t: 
yt =  yt-1 1 yt-1+ t: 
Verifique as expressões de  e  1. No caso de um AR(3) a regressão de teste seria yt = 
yt-11yt-12yt-2+t: 
 
Como um modelo MA pode ser escrito como AR, o teste ADF pode ser utilizado 
quando a série segue um ARMA(p,q) e quer se verificar se o modelo seria, na verdade 
ARIMA(p-1,1,q). A escolha do número de defasagens da diferença segue os seguintes 
critérios: i) melhor AIC ou SIC; ii) ausência de autocorrelação no correlograma dos 
resíduos; iii) significância das defasagens da diferença. 
 
O teste ADF embora muito popular pela sua simplicidade, é criticado pelo seu baixo 
poder (dificuldade de rejeitar uma hipótese nula falsa), ou seja tende a indicar a 
presença de raiz unitária quando em verdade ela não existe. Várias alternativas foram 
propostas, como o teste PP e ADF-GLS. Alternativas que partem de um modelo 
econométrico diferente, buscando testar a presença de raiz unitária (não 
estacionariedade) é o teste KPSS, cuja hipótese nula é de estacionariedade (não raiz 
unitária). 
 
Modelos com variáveis explicativas – Modelos Dinâmicos 
 
Fazer a previsão de uma série usando apenas a própria série (e informação qualitativa 
disponível, como sazonalidade) é limitar de modo significativo o conjunto de 
informações disponíveis. O mais razoável é considerar que existem variáveis xt que 
influenciam a variável yt. Desta forma o modelo ARIMA passa a ser chamado de função 
de transferência por alguns autores e passa a ser escrito como 
 
A(L) yt=a+C(L)xt+B(L)t. 
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Teoricamente, para estimação por MQ ser válida, E(xt t-s)=0 para s≥0, ou seja, xt é 
(fracamente) exógeno em relação à equação que está sendo estimada. Algumas vezes, xt 
é dito um indicador antecedente de yt. Um outro problema que deve ser tratado, se a 
estimação é por MQ é a existência de correlação serial nos erros e uma variável 
dependente defasada como explicativa. Neste caso, a estimação deve ser feita por 
variáveis instrumentais ou deve-se buscar a reespecificação dinâmica do modelo. 
 
Antes de passarmos para o modelo dinâmico, vale a pena revisar a análise da dinâmica 
temporal em um modelo de regressão yt=+xt+t , em geral, estudada a partir da 
autocorrelação dos erros t. 
 
A autocorrelação é apresentada como a violação da hipótese: E [t. t-s] = 0, para s > 0, 
como por exemplo, t=t-1+ut, onde ut é ruído branco. Neste caso E(´)=Ω≠I. Como 
esta hipótese é importante para demonstrar que V(b)=2(X´X)-1, se violarmos a hipótese 
de independência dos erros, os pacotes estatísticos irão errar no cálculo do desvio 
padrão dos coeficientes e errar nos valores dos testes de hipótese. Este é o principal 
problema da autocorrelação. O estimador de MQO ainda irá gerar estimativas não –
viesadas, embora não mais eficientes (supondo a ordem de autocorrelação). 
 
Na verdade, V(b) = (X´X)
-1
X´ΩX(X´X)
-1
, onde Ω é uma matriz complexa (desenvolvida 
abaixo). Para identificar o problema, é necessário fazer testes de especificação. Este é o 
diagnóstico. Os testes mais comuns são os de Durbin-Watson e de Breush-Godfey. O 
uso do correlograma para os resíduos não é recomendado, embora indicado em alguns 
livros, pois as propriedades estatísticas do correlograma são conhecidas apenas para 
uma série observada, ao invés de uma série estimada, como os resíduos de uma 
regressão. 
 
Para entender o teste, vamos especificar uma forma de classificação dos erros 
autorregressivos. Há o caso geral de t = 1 t-1 +2 t-2 + +p t-p + ut chamado de 
modelo autoregressivo de ordem p (AR(p)), como visto acima. A regressão é sem 
constante, pois se mantém a hipótese de que E[t]=0. 
 
Para o caso especial de p=1, o modelo AR(1) para a variável t é dado por t =  t-1 + 
erro, e a ausência de autocorrelação está associado ao parâmetro : H0: não há 
autocorrelação, => Ho:  = 0. 
 
O teste de DW possui uma tabela específica, e o teste é calculado por 
DW = 
 
 r
e
eeT
t T
t t
tt 





 12~
2
1
2
2
1 
onde r = Tt=2(et - et-1)
2
/(tet-1
2
), ou seja, uma regressão do resíduo em função do 
resíduo defasado um período. A regra de decisão é :Rejeitamos Ho se DW < D (Lower); 
Aceitamos Ho se DW > D (Upper) e Inconclusivo se D (lower) < DW < D (upper), 
onde D(upper) e D(lower) são os valores tabulados. 
 
Para o teste de Breusch-Godfrey, estimamos uma regressão do resíduo contra o residuo 
defasado p vezes e as explicativas e fazemos um teste F da significância dos 
coeficientes angulares dos resíduos defasados. Obs: se as explicativas não incluem a 
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dependente defasada yt-1, então o teste pode ser calculado da regressão de et contra et-1, 
....,et-p apenas e pode-se usar o F de significância. 
 
Para entender melhor a matriz de variância-covariância dos coeficientes de regressão, 
tomemos o caso de um modelo de regressão com erros AR(1), escrita em : Y = X 
 + , com t =  t-1 + ut, onde ut ~ iid (0, 
Temos que b = (X´X)-1 X´Y, como 
sempre, mas V(b) ≠  (X´X)-1 e na verdade, V(b) = (X´X)-1X´ΩX(X´X)-1, onde 
Ω = E [´] = E 
















2
1
2
212
121
2
1
..
..
..
nn
n



 
 
Ω = u/(1-

)



















1
..
..
1
..1
21
2
1




TT
T
T
. 
 
As soluções para obter boas estimativas de  e estimativas de V(b) corretas são, 
primeiro, o uso de uma matriz de variância-covariância que acomoda a Autocorrelação 
(também chamada matriz de Newey-West, e apresentada como opção nos softwares na 
estimação por MQ); segundo o uso de MQG, através de transformação das variáveis 
explicativas e explicada. Ou seja, como em heterocedasticidade, o problema matemático 
para encontrar os coeficientes da regressão usando MQ é Min (Y - X)´ Ω-1(Y - X), que 
gera estimativas bGLS = (X´ Ω 
-1
X) (X´ Ω 
–1
Y), com V(bGLS) = (X´ Ω 
-1
X)
-1
. Estas podem 
ser obtidas através de bGLS = (X
*
´X
*
)
 -1
(X
*
´Y
*
), onde X
* 
= PX Y
*
 = PY e onde P´P=Ω
–1
. 
Para o caso de autocorrelação de primeira ordem (para regressão simples) 
 
X
*
 = 
























1
23
12
)1(
..
..
)1(
)1(
TT rxxr
rxxr
rxxr
 Y
* 
 = 



















1
12
.
.
TT ryyryy
 
 
As variáveis são ditas em quase-diferenças, pois ao invés de ser utilizado yt=yt–yt-1, 
emprega-se yt–ryt-1, onde r é a estimativa do coeficiente de autoregressão de 1ª ordem 
dos erros. As quase-diferenças seriam equivalentes a estimar um modelo com as 
variáveis em primeiras diferenças apenas no caso em que r=1, o que indicaria erros não 
estacionários. Este caso exige um tratamento especial da autocorrelação como veremos 
abaixo. 
 
Há dois modos alternativos a MQG. O primeiro é o método de Máxima 
Verossimilhança, que envolve uma estimação não linear do modelo de regressão com 
 16 
autocorrelação. O segundo é uma Transformação do Modelo de Regressão. Tomando o 
exemplo de regressão simples, 
yt =  +  xt+ t e t =  t-1 + ut (§) 
onde ut ~ iid (0, 
et = 1,..., T

Substituindo t = yt -  -  xt na segunda equação, temos: 
yt –  –  xt =  (yt-1 –  –  xt-1) + ut 
 
(*)yt = – yt-1 +  xt –   xt-1 + ut 
 
(**)yt = 
 yt-1 +  xt +  xt-1 + ut 
 
O termo não observado (ut ) nos modelos (*) e (**) são independente no tempo, i.e., não 
possuem autocorrelação. Por isto, podem ser estimado por MQO sem problemas, sob a 
hipótese de exogeneidade (não correlação contemporânea entre a explicativa e o termo 
de erro) usual do modelo de regressão. 
 
Note que se  , o modelo (*) pode ser escrito como (§), sendo então o modelo 
de regressão com autocorrelação de 1ª ordem um caso especial de um modelo mais 
geral. O modelo (**) é chamado ADL(1,1) – Autoregressive Distributed Lag de ordem 
1 e 1. 
 
O teste de COMFAC (common factor) é um teste para avaliar se um modelo dinâmico 
(**) pode ser escrito como um modelo estático com erro autoregressivo (§). O modelo 
autoregressivo (onde COMFAC é válido, isto é  ) apresenta uma peculiaridade 
em relação aos efeitos de curto e longo prazo [qual?]. Esta peculiaridade nos permite 
identificá-los. O teste COMFAC é não linear e recomenda-se que seja feito via um teste 
de razão de verossimilhança Q=–2[loglikADL(p,p) – loglikAR(p)], que segue uma 
distribuição qui-quadrado com p graus de liberdade. 
 
Muito freqüentemente séries econômicas apresentam forte autocorrelação, associadas a 
presença de tendências ou demora para reversão à “média de longo prazo”. Nestes casos 
de séries não estacionárias, os modelos de regressão apresentam erros com fortíssima 
autocorrelação. No caso extremo ||=1, ou seja o processo autoregressivo apresenta raiz 
unitária. Esta forte autocorrelação pode levar a conclusões de inferência errônea, pois os 
estimadores apresentam distribuição limite diferente da Normal. Desta forma, deve-se 
testar, além da presença de autocorrelação, a ausência de autocorrelação extrema, 
através do teste de co-integração dos resíduos de uma regressão com séries com 
tendência estocástica. O teste de cointegração possui uma tabela específica, apresentada 
por Engle e Granger (ganhadores do prêmio Nobel em Economia). 
 
É importante testar co-integração para evitarmos o problema de regressão espúria. De 
acordo com Granger e Newbold, uma regressão é espúria quando, erroneamente, o 
modelo e testes estatísticos sugerem uma correlação entre variáveis quando em 
realidade tal correlação não existe. Os autores mostraram que a regressão de dois 
passeios aleatórios não correlacionados terá testes de significância do coeficiente de 
regressão próximos a 2 com chance bem acima do nível de significância. Um sintoma 
seria um R
2
 maior que a estatística Durbin-Watson. 
 
 17 
O teste Engle-Granger é realizado em duas etapas: i) estima-se o modelo de regressão 
estático, sem correção para autocorrelação e salvam-se os resíduos; ii) procede-se a um 
teste de raiz unitária com a metodologia do teste ADF, mas utilizando uma tabela 
específica de valores críticos. A hipótese nula é de não-cointegração, ou seja =1. 
 
Se o teste de não-cointegração não for rejeitado, deve-se estimar o modelo com as 
variáveis em diferenças (taxas de variação). 
yt =  +  xt+ t e t = ut (FD) 
Se o teste de não-cointegração for rejeitado, deve-se estimar o modelo na forma de 
modelo de correção de erros descrito acima: 
yt =  +  xt+ t e t =( –1)t-1 + ut 
yt =  +  xt+ ( –1)t-1 + ut 
yt =  +  xt+  ( yt-1 –  –  xt-1) + ut (ECM) 
 
Há outros dois tipos de teste de cointegração. O segundo, explora o modelo ADL e o 
terceiro a estimação por um VAR. Vejamos agora o modelo ADL em detalhe. 
 
Como visto acima, o caso mais simples de modelo dinâmico é 
yt = yt-1 +xt + xt-1 + ut 
onde ut ~ (0, 
2
u). Este é um modelo ADL (1,1) ou Autoregressive Distributed Lags 
(1,1). O caso geral de ADL(p,q) é 
yt = yt-1 ++ pyt-pxt + … + qxt-q +ut 
 
A partir de um ADL(1,1) podemos avaliar os impactos de curto e longo prazo de x sobre 
y. Para o ADL(1,1), eles são, respectivamente, 0 e (0+1)/(1–). Em mais detalhe, os 
coeficientes podem ser interpretados a partir das seguintes expressões: 
 
E [yt| yt-1, xt, xt-1] = 
 yt-1 +  xt –  xt-1 
∂E[yt| . ]/∂xt =  (efeito de curto prazo
limt->∞ ∂E[yt| . ]/∂xt = ((efeito de longo prazoonde || < 1 
 
Para entender, lembre-se que, no steady-state (longo prazo), yt = yt-1 = .. = y e xt = xt-1 
= .. = x na média da regressão. Substituindo na expressão da média condicional, 
y = + y+  x – x e y = x 
 
Há uma forma alternativa de representar os efeitos de curto e longo prazo em um 
modelo dinâmico, que seria o modelo de correção de erros (MCE ou ECM em inglês). 
Da equação acima é possível chegar na equação 
yt =  + xt - (1-)[yt-1 - xt-1] +ut 
 
onde yt =yt -yt-1. O coeficiente , como acima, mede o efeito de curto prazo. Já o 
coeficiente  mede o efeito de longo prazo, onde: +(1-. A demonstração é 
a seguinte: 
yt =  + yt-1 + xt + xt-1 + ut 
yt =+yt-1+xt+xt-1+ut +(yt-1-yt-1)+(xt-1-xt-1) 
yt - yt-1 =  -(1-yt-1+xt-xt-1+xt-1+xt-1+ut 
yt =  -(1-yt-1 + xt + (+xt-1 + ut 
yt = -(1-yt-1+xt+(1-(1-

(+xt-1+ut 
yt =  + xt - (1-)[yt-1 - xt-1] + ut 
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Para estimar o MCE, no lugar do termo em colchetes, estimamos o modelo estático, yt 
=  + xt + t , salvamos o resíduo e usamos no MCE o resíduo daquela regressão 
defasado um período, pois observe que t =yt -xt - , então t-1=yt-1-xt-1- . Esta forma 
de estimação remete ao teste de cointegração de Engle-Granger. Outra forma, sem 
imposição de restrições sobre os coeficientes, envolve estimar 
yt =  + xt +1

yt-1 - 2

xt-1 + ut. () 
 
Note que no MCE se =1 isso implica que a velocidade de ajustamento (1 –)=0. Ou 
seja, choques passados não são ajustados na trajetória de longo prazo entre y e x. Em 
outras palavras, não há relação de longo prazo entre o valor das variáveis, apenas uma 
relação entre as taxas de crescimento. Como mencionado, o conceito de relação de 
longo prazo entre duas variáveis também é conhecido como co-integração, quando as 
variáveis, individualmente, são não-estacionárias. Isto implica que uma combinação 
linear das variáveis é estacionária. 
 
Por várias razões, inclusive o viés dos estimadores em pequenas amostras (mesmo 
havendo consistência nos estimadores em amostras infinitas), a tabela para teste de 
cointegração não é a tabela t. Há várias tabelas dependendo do teste. O mais comum é o 
teste Engle-Granger visto acima. Um menos comum, mas ainda baseado em um modelo 
de apenas uma regressão, é o teste do termo de correção de erros (teste ECM). Um 
terceiro, mais complexo, é o teste de Johansen. 
 
O teste de co-integração via ECM envolve estimar () e utilizar uma tabela específica 
para um teste de significância de *1,utilizando uma tabela de valores críticos 
específicos, apresentado em Ericssone MacKinnon (2002). 
 
 
 
 
 
Referências 
 
BUENO, R. L. Econometria de Séries Temporais. São Paulo: Cengage, 2009. 
ENDERS, W. Applied Econometric Time Series, 3
rd
 Ed. New York:Willey, 2011 
ERICSSON, N. e MACKINNON, J. (2002) Distributions of error correction tests for 
cointegration. Econometrics Journal 5, 285-318. 
GRANGER, C. e NEWBOLD, Forecasting Economic Time Series. San Diego: 
Academic Press, 1986. 
MADDALA, G.S. Introdução à Econometria 3ª Ed. Rio de Janeiro:LTC, 2003. 
WOOLDRIDGE, J. Introdução à Econometria 2ª Ed. São Paulo:Cengage, 2010.