(20160824192023)Apresentação dos Determinantes e suas propriedades (1)

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DETERMINANTES
PROFESSOR:ANDERSON GONÇALVES SIQUEIRA
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Determinantes
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.
Notação: det A ou |A|.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o próprio elemento a11.
A = ( 3 ) , logo | A | = 3
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Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
= a11 · a22 – a12 · a21
 
a11 · a22
- (a12 · a21)
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Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Ex: 1)
+
-
7
2
 3
5
= 7.5 
- 2.3
= 29 
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Ex: 2)
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Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem.
Neste caso utilizamos um processo prático chamado Regra de Sarrus.
Ex: 1)
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28
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Ex: 2)
20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30
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III. Matriz reduzida e cofator
Matriz reduzida Aij: é obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. Matriz reduzida A21: é obtida retirando-se a segunda linha e a primeira coluna da matriz original:
O cofator do elemento aij da matriz A é o número Cij dado por:
Cij = (-1)i + j . |A ij|, 
em que |A ij| é o determinante da matriz reduzida A ij.
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
Considere a matriz A =
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O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido multiplicando-se cada elemento de uma das filas (linha ou coluna) da matriz A pelo seu respectivo cofator e adicionando-se os resultados. Exemplo:
IV. Teorema de Laplace
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
Escolhemos a 1a linha para calcular os cofatores.
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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
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Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 
1)
2)
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• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
3)
4)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
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• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.
5)
6)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
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Outras propriedades:
• det(A)=det(At)
Ex: 
1)
2)
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1)
2)
Ex: 
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
Outras propriedades:
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1)
Ex: 
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal
2)
Outras propriedades:
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Ex: 
1)
2)
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades:
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• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
1)
2)
Ex: 
Outras propriedades:
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• det(A.B)=detA.detB
Ex: 
Outras propriedades:
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• det(A-1)=1/detA
Ex: 
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Equação linear: toda aquela do tipo
na qual x1, x2, ..., xn são incógnitas; a1, a2, ..., an são coeficientes
reais das incógnitas e b, também real, é o termo independente. Solução: conjunto ordenado de valores atribuídos às incógnitas que tornam a igualdade verdadeira. (1, 2, ..., n) é solução da equação linear acima desde que a1 . 1 + a2 . 2 + ... + an . n = b.
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações lineares:
VI. Sistemas de equações lineares
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
em que a11, a12, ... , amn são os coeficientes reais das incógnitas x1, x2, ..., xn e b1, b2, ..., bm são os termos independentes.
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É toda ênupla ordenada que torna verdadeiras simultaneamente todas as equações que compõem o sistema. Em relação às soluções, um sistema pode ser classificado da seguinte forma:
• Possível e determinado (SPD): solução única;
• Possível e indeterminado (SPI): infinitas soluções;
• Impossível (SI): sem solução.
VII. Solução de um sistema de equações lineares
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
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1. Substituição: trata-se de isolar convenientemente uma das incógnitas em cada equação e substituí-las em outra equação do sistema, que deve se manter intacta. Por fim, origina-se uma equação equivalente em função de uma das incógnitas. Com o valor de uma das incógnitas, por substituição, obtêm-se as demais.
2. Escalonamento: o objetivo é obter um sistema equivalente,
no qual, de cada equação para a seguinte, a quantidade de coeficientes nulos aumente antes do primeiro coeficiente não nulo.
VIII. Resolução de sistemas
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
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• Matriz aumentada associada ao sistema:
VIII. Resolução de sistemas
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
3. Regra de Cramer: a partir de um sistema com três equações e três incógnitas, podemos obter algumas matrizes e determinantes:
• Matriz de coeficientes associada ao sistema:
Conjunto solução: envolve o cálculo do determinante da matriz de coeficientes associada ao sistema, denotada por D:
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Dx: é o determinante da matriz de coeficientes associada, mas com a coluna dos coeficientes de x trocada pela coluna dos termos independentes:
O mesmo se faz para Dy e Dz, os determinantes das matrizes de coeficientes associadas, trocando-se as colunas dos coeficientes de y e z, respectivamente, pela coluna dos termos independentes:
A regra de Cramer configura-se na obtenção da solução de um sistema a partir de:
VIII. Resolução de sistemas
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
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• se D = 0, o sistema é possível e indeterminado; ou o sistema
é impossível.
• se D  0, o sistema é possível e determinado.
IX. Discussão de um sistema linear
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
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(Fuvest-SP) 
João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totalizam R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.
1
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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(Fuvest-SP) 
Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por:
Desse modo:
a) Resolva o sistema para m = 1.
b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.
c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x, y) = (, 1), sendo  um número irracional.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
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(Fuvest-SP) 
Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:
Desse modo:
a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do
sistema linear.
b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite
soluções não triviais?
c) Calcule as soluções do sistema quando sen2a = 1 e cos2c = 
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
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(PUC-RJ) 
Considere o sistema linear:
a) Resolva o sistema para k = 1.
b) Ache o valor de x na solução do sistema para k = 0; k = 2; k = 3 e k = 5.
c) Para quais valores de k o sistema não tem solução?
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
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(Unicamp-SP) Sejam dados, a matriz
a) Encontre o conjunto solução da equação det A = 0.
b) Utilizando o maior valor de x que você encontrou no item a, determine o valor de m para que o sistema linear A  y = b tenha infinitas soluções.
1
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
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(Ufal) A matriz A-1 é a inversa da matriz 
Se o determinante de A-1 é igual a , calcule o determinante da matriz A + A-1. 
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
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(UFRJ) Dada a matriz A = (aij)2 x 2, tal que
encontre o determinante da matriz A.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
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(Unifesp) Considere a matriz mostrada adiante, onde x varia no conjunto dos números reais.
Calcule:a) o determinante da matriz A;
b) o valor máximo e o valor mínimo deste determinante.
1
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Professor: esse cálculo não se encontra no material impresso.
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova
Mat-cad-2-top-1- 3 Prova