Sistemas de Equações Lineares

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Suma´rio
1 Sistemas de Equac¸o˜es lineares 3
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Operac¸a˜o com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Sistema Linear e o Me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 SUMA´RIO
Aula 1
Sistemas de Equac¸o˜es lineares
Neste cap´ıtulo vamos estudar alguns to´picos da A´lgebra Linear, como por exemplo
os sistemas de equac¸o˜es lineares e o me´todo da eliminac¸a˜o de Gauss (tambe´m conhecido
como eliminac¸a˜o gaussiana) para a sua resoluc¸a˜o. Para tanto, estudaremos as matrizes
e suas aplicac¸o˜es. Mais detalhes da teoria de A´lgebra Linear podem ser buscados, por
exemplo, em [1] de onde retiramos os conceitos expostos neste cap´ıtulo.
1.1 Matrizes
A matriz M de ordem m× n (leˆ-se m por n) pode ser escrita na forma geral por
M =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 ,
onde m e´ o nu´mero de linhas e n o nu´mero de colunas. Cada elemento da matriz e´ escrito
na forma geral por aij com i = 1, · · · , n e j = 1, · · · ,m e ale´m disso, podemos denotar
esta matriz por Mm×n = (aij).
Se uma matriz A tem ordem n × n, ou seja o nu´mero de colunas igual ao nu´mero
de linhas, dizemos que ela uma matriz quadrada. Os elementos da matriz da forma aij
com i = j esta˜o na diagonal principal.
Exemplo 1.1. A matriz A3×3 cujos elementos satisfazem:
aij =

−9, se i > j
0, se i = j
80, se i < j
4 Sistemas de Equac¸o˜es lineares
e´ da forma
A =

0 80 80
−9 0 80
−9 −9 0

4
1.1.1 Operac¸a˜o com Matrizes
Adic¸a˜o: Podemos fazer soma de matrizes que tem a mesma ordem assim, se Am×n =
(aij) e Bm×n = (bij), enta˜o
A+B =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
...
...
. . .
...
am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

sera´ uma matriz de ordem m × n. Pela comutatividade dos nu´meros reais, temos que
A+B = B + A.
Multiplicac¸a˜o de Matriz por um escalar: Seja Mm×n uma matriz e λ um esclar,
enta˜o
λ ·M =

λa11 λa12 · · · λa1n
λa21 λa22 · · · λa2n
...
...
. . .
...
λam1 λam2 · · · λamn
 ,
Multiplicac¸a˜o de Matrizes: Para multiplicarmos a matriz Am×n = (aij) pela
matriz Bn×p = (bjk) devemos ter o nu´mero de colunas de A igual ao nu´mero de linhas de
B. A matriz resultante tera´ ordem m× p, ou seja,
Am×n ×Bn×p = Cm×p,
onde Cm×p = (cik) com cik = Σnr=1air · brk, sendo cik o elemento da matriz C que ocupa a
i-e´sima linha e a k-e´sima coluna.
Observac¸a˜o 1.2. Se o nu´mero de colunas da primeira matriz, em uma multiplicac¸a˜o,
na˜o e´ igual ao nu´mero de linhas da segunda matriz, enta˜o o produto na˜o esta´ definido.
Assim, a comutatividade na multiplicac¸a˜o na˜o esta´ garantida. •
1.1 Matrizes 5
Exemplo 1.3. Sejam as matrizes A =

3 2 1
2 3 1
1 2 3
 e B =
[
0 −2 1
3 0 1
]
. Calcule, se
poss´ıvel A×B e B × A
Resoluc¸a˜o: Na˜o e´ poss´ıvel realizarmos a multiplicac¸a˜o A × B, pois o nu´mero de
colunas de A e´ treˆs e o nu´mero de linhas de B e´ dois, ou seja, sa˜o distintos. Ja´ o produto
B × A e´ poss´ıvel realizar e o resultado sera´:
(
0 −2 1
3 0 1
)
×

3 2 1
2 3 1
1 2 3
 =
(
−3 −4 1
10 8 6
)
4
1.1.2 Tipos de Matrizes
Matriz Diagonal: Uma matriz onde os elementos aij = 0, se i 6= j
Exemplo 1.4. Sa˜o exemplos de matrizes diagonais:
A =

2 0 0
0 −3 0
0 0 1/3
 , B =

−8 0 0 0
0 2 0 0
0 0 7 0
 4
Observac¸a˜o 1.5. A matriz quadrada diagonal com aij = 1 se i = j e´ chamada de matriz
identidade.
Um exemplo: I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 , •
Matriz triangular: Uma matriz e´ chamada triangular superior se aij = 0 para
i > j. A matriz e´ chamada triangular inferior se aij = 0 para i < j
Exemplo 1.6. As matrizes
A =

0 0 0
10 −3 0
3 0 1/3
 e B =

−8 −9 0 8
0 2 1 1/2
0 0 7 0

sa˜o exemplos de matriz triangular. A matriz A e´ triangular inferior e a matriz B
triangular superior. 4
Matriz transposta: Seja a matriz Am×n = (aij), sua transposta e´ a matriz deno-
tada por Atn×m = (aji). Alguns livros denotam a matriz transposta por A
′.
6 Sistemas de Equac¸o˜es lineares
Matriz Sime´trica: Uma matriz quadrada A e´ dita sime´trica se aij = aji, isto e´,
seus elementos sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a` diagonal principal. Tambe´m podemos definir
uma matriz sime´trica, de forma mais sinte´tica, dizendo que A e´ sime´trica se A = At
Exemplo 1.7. Sa˜o exemplos de matrizes sime´tricasA =
[
1 −5
−5 −1/2
]
eB =

−8 3 1
3 0 2
1 2 8

4
Matriz antissime´trica: Uma matriz B e´ antissime´trica se Bt = −B.
Exemplo 1.8. Sa˜o exemplos de matrizes sime´tricasA =
[
0 −2
2 0
]
eB =

0 3 −1
−3 0 0
1 0 0

4
Matriz Hermitiana: Uma matriz A e´ hermitiana, tambe´m chamada de auto-
adjunta, quando A = A∗, onde A∗ = ¯(A)
t
= ¯(At), a barra representando o complexo
conjugado. Lembre-se que o complexo conjugado do nu´mero complexo z = a + ib e´
z¯ = a− bi, sendo que a, b ∈ R. Assim, um nu´mero real e´ seu pro´prio conjugado.
Exemplo 1.9. Sa˜o exemplos de matrizes hermitianas
A =
[
−1 −2i
2i 3
]
e
B =

0 3 + 2i −1− i
3− 2i 6 2
−1 + i 2 1

Ja´ a matriz B =

1 i 1− 2i
i 2i 3
1− 2i 3 7
 na˜o e´ hermitiana apesar de ser sime´trica.
4
Uma matriz anti-hermitiana A e´ caracterizada pela propriedade A∗ = −A.
1.2 Exerc´ıcios
1. Encontre a matriz M = (aij) de ordem 5X5 cujos elementos satisfazem a condic¸a˜o
dada:
1.2 Exerc´ıcios 7
(a) aij = j
i−1.
(b) aij =
{
1, se |i− j| > 1
−1, se |i− j| 6 1
2. Considere as seguintes matrizes A4×5, B4×5, C5×2, D4×2 e E5×4. Determine qual das
seguintes expresso˜es esta˜o definidas. Para as que esta˜o definidas, deˆ a ordem da
matriz resultante.
(a) B · A
(b) A · C +D
(c) A · E +B
(d) A ·B +B
(e) E · (A+B)
(f) E · (A · C)
(g) Et · A
3. Considere as matrizes A =

3 0
−1 2
1 1
 , B =
[
4 −1
0 2
]
, C =
[
1 4 2
3 1 5
]
, D =

1 5 2
−1 0 1
3 2 4
 , E =

6 1 3
−1 1 2
4 1 3
 . Calcule, quando poss´ıvel:
(a) D − E
(b) −7C
(c) 2B − C
(d) 4E − 2D
(e) (D − E)t
(f) Bt + 5Ct
(g) AB
(h) BA
(i) (DA)t
(j) (4B) · C + 2B
(k) (−AC)t + 5Dt
(l) (B · At − 2C)t
4. Considere as matrizes D e E do exerc´ıcio anterior. Calcule tr(D · E), −3tr(E ·D)
e mostre que tr(D + E) = trD + trE, onde tr denota o trac¸o da matriz, ou seja, a
soma dos elementos da diagonal principal.
5. Mostre que se B e´ uma matriz sime´trica quadrada enta˜o
(a) B ·Bt e´ sime´trica.
(b) (B +Bt) e´ sime´trica.
(c) (B −Bt) e´ antissime´trica.
Use as seguintes propriedades:
• (At)t = A
• (A+B)t = At +Bt
• Sejam as matrizes Am×n e Bn×p enta˜o (AB)t = BtAt
8 Sistemas de Equac¸o˜es lineares
1.3 Sistema Linear e o Me´todo da Eliminac¸a˜o de
Gauss
O primeiro registro de problema envolvendo equac¸o˜es lineares simultaˆneas foi en-
contrado no livro Chineˆs Chiu-chang Suan-shu (Nove cap´ıtulos sobre Aritme´tica) escrito
por volta de 200 a.c. No in´ıcio do cap´ıtulo VIII aparece o seguinte problema:
Treˆs fardos de uma colheita boa, dois fardos de uma colheita med´ıocre, e fardo de
uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos de uma colheita boa, treˆs de
med´ıocre, e um de colheita ruim foram vendidos por34 dou; e um fardo de boa, dois de
med´ıocre, e treˆs de ruim vendidos por 26 dou. Qual e´ o prec¸o de cada fardo da colheita
boa, da colheita med´ıocre e da colheita ruim?
3x+ 2y + z = 39
2x+ 3y + z = 34
x+ 2y + 3z = 26
(1.1)
onde x, y e z representam, respectivamente, o prec¸o de cada fardo da colheita boa,
da med´ıocre e da ruim.
Este sistema pode ser escrito na seguinte forma matricial A×X = B, ou seja,

3 2 1
2 3 1
1 2 3
×

x
y
z
 =

39
34
26

onde a primeira matriz da multiplicac¸a˜o, que denotamos por A, e´ chamada matriz dos
coeficientes, a segunda matriz, que denotamos por X, e´ a matriz das varia´veis e a matriz
do lado direito da igualdade, que denotamos pro B, e´ a matriz dos termos constantes.
Encontra a soluc¸a˜o, ou o conjunto soluc¸a˜o ou a soluc¸a˜o geral do sistema, e´ encontrar
todos os vetores
X =

x
y
z

que resolvem simultaneamente as equac¸o˜es do sistema (1.1).
No caso de sistemas reais ou complexos, ha´ treˆs possibilidades: ou o sistema possui
uma u´nica soluc¸a˜o (sistema poss´ıvel e determinado), ou o sistema possui infinitas soluc¸o˜es
(sistema poss´ıvel e indeterminado) ou o sistema na˜o possui soluc¸a˜o (sistema imposs´ıvel).
Para resolvermos um sistema pelo me´todo da eliminac¸a˜o gaussiana fazemos
1.3 Sistema Linear e o Me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss 9
operac¸o˜es elementares nas linhas da matriz que representa o sistema linear. Abaixo defi-
nimos quais sa˜o as operac¸o˜es elementares numa matriz.
Definic¸a˜o 1.10. As operac¸o˜es elementares sobre as linhas sa˜o:
• multiplicar uma linha por um escalar na˜o nulo;
• trocar duas linhas entre si;
• adicionar um mu´ltiplo de uma linha a uma outra linha.
As operac¸o˜es elementares transforma um sistema linear dado em um outro equi-
valente, mais fa´cil de resolver. O objetivo do me´todo de Gauss ao aplicar as operac¸o˜es
elementares nas linhas,e´ chegar em uma matriz na forma escalonada. Abaixo colocamos
as propriedades da matriz escalonada:
Definic¸a˜o 1.11. A forma escalonada de uma matriz deve possuir as seguintes proprieda-
des:
• se existirem linhas compostas apenas por zeros, elas devem estar na parte inferior
da matriz;
• se uma linha na˜o e´ composta apenas por zeros , o primeiro elemento na˜o nulo desta
linha e´ chamado de pivoˆ;
• se duas linhas consecutivas possuem pivoˆs, enta˜o o pivoˆ da linha superior deve estar
a` esquerda do pivoˆ da linha inferior;
• abaixo de cada pivoˆ so´ deve haver zeros.
Para resolver o sistema (1.1) pelo me´todo da eliminac¸a˜o gaussiana, escrevemos
a seguinte matriz ampliada: 
3 2 1
... 39
2 3 1
... 34
1 2 3
... 26

formada pela matriz dos coeficientes e dos termos constantes. Com operac¸o˜es elementares
nas linhas vamos obter a seguinte matriz na forma escalonada
1 2 3
... 26
0 −1 −5 ... −18
0 0 12
... 33

10 Sistemas de Equac¸o˜es lineares
a qual e´ equivalente ao sistema linear
x+ 2y + 3z = 26
−y − 5z = −18
12z = 33
(1.2)
Logo, a soluc¸a˜o do sistema (1.1) e´ 
x
y
z
 =

9, 25
4, 25
2, 75

Exemplo 1.12. Resolva, se poss´ıvel, os sistemas lineares.
1.

x+ 2y + z = 0
−x+ 3z = 5
x− 2y + z = 1
2.

−2y + 3z = 1
3x+ 6y − 3z = −2
6x+ 6y + 3z = 5
3.

x+ 3y − z + 5w = −7
5x+ 15y − 10z + 40w = −45
4x+ 12y − 2z + 14w = −24
3z − 9w = 6
4
Definic¸a˜o 1.13. A matriz identidade I de ordem n × n e´ tal que IA = AI = A para
toda matriz quadrada A de ordem n× n
Definic¸a˜o 1.14. Dada uma matriz A ordem n × n, se existir uma matriz B tal que
AB = BA = I, diremos que B e´ a matriz inversa de A. Denotaremos a inversa de A por
A−1.
Nem toda matriz quadrada possui inversa, pore´m, se possuir, diremos que e´ invert´ıvel
ou na˜o singular. Se na˜o for invert´ıvel sera´ chamada de singular.
A proposic¸a˜o a seguir da´ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para uma matriz A
possuir inversa, para isso considera o determinante desta matriz, denotado por det(A).
A definic¸a˜o de determinante pode ser feita pela expansa˜o de Laplace, tambe´m conhe-
cida como expansa˜o em cofatores ou utilizando permutac¸o˜es. Para mais detalhes destas
definic¸o˜es sugerimos a leitura de um livro de A´lgebra Linear como, por exemplo, [1].
1.3 Sistema Linear e o Me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss 11
Proposic¸a˜o 1.15. Uma matriz A sera´ invers´ıvel se, e somente se, det(A) 6= 0.
Podemos encontra a inversa de uma matriz pelo me´todo de Gauss-Jordam, um
exemplo da aplicac¸a˜o deste me´todo sera´ feito abaixo.
Exemplo 1.16. Para encontrarmos a inversa da matriz

1 2 3
1 4 7
−2 2 5
 escrevemos ao seu
lado a matriz identidade 
1 2 3
... 1 0 0
1 4 7
... 0 1 0
−2 2 5 ... 0 0 1

O objetivo e´ transformar a matriz A na matriz identidade atrave´s de operac¸o˜es elementares
nas linhas de A. Com as mesmas operac¸o˜es aplicadas a` matriz identidade a transforma-
remos na inversa de A. Na matriz acima, apo´s as operac¸o˜es elementares teremos

1 0 0
... −3 2 −1
0 1 0
... 19/2 −11/2 2
0 0 1
... −5 3 −1

4
Observac¸a˜o 1.17. Outra maneira de obtermos a inversa de uma matriz e´ encontrando
a matriz adjunta. Seja M uma matriz invers´ıvel enta˜o teremos
M−1 =
1
detM
· adj(M)
onde adj(M) denota a adjunta de M e e´ obtida fazendo a transposta da matriz dos
cofatores de M . Cada elemento aij de M tem um cofator dado por
cij = (−1)i+j ·Dij
onde Dij e´ o determinante da matriz obtida omitindo a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna
da matriz M . •
Exemplo 1.18. Encontre a inversa da matriz

1 2 3
1 4 7
−2 2 5
 usando a sua matriz adjunta.
4
Observac¸a˜o 1.19. Considere o sistema na forma matricial AX = B. Se detA 6= 0 enta˜o
a u´nica soluc¸a˜o do sistema e´ dado por X = A−1B •
12 Sistemas de Equac¸o˜es lineares
Observac¸a˜o 1.20. Um sistema linear e´ homogeˆneo se a matriz dos termos constantes
for a matriz nula, ou seja, AX = 0. Se o detA 6= 0 enta˜o a u´nica soluc¸a˜o do sistema e´ a
soluc¸a˜o nula. •
Observac¸a˜o 1.21. Seja o sistema de tamanho n× n dado na forma matricial AX = B.
Se det(A) 6= 0 o sistema e´ poss´ıvel e determinado e a u´nica soluc¸a˜o, para i = 1, · · · , n e´
xi =
det(Bi)
detA
onde Bi e´ obtida substituindo a i-e´sima coluna da matriz A pela matriz coluna B. Este
me´todo de resoluc¸a˜o de sistema e´ chamado Regra de Cramer. •
Exemplo 1.22. Resolva o sistema pela Regra de Cramer.

x1 + x2 + x3 = 0
12x1 + 2x2 − 3x3 = 5
3x1 + 4x2 + x3 = −4
Podemos reescreveˆ-lo na forma matricial por AX = B, ou seja,
1 1 1
12 2 −3
3 4 1
×

x1
x2
x3
 =

0
5
−4

O det

1 1 1
12 2 −3
3 4 1
 = 35. Para encontrarmos x1 fazemos
x1 =
det

0 1 1
5 2 −3
−4 4 1

detA
=
35
35
= 1
Para encontrarmos x2 fazemos
x2 =
det

1 0 1
12 5 −3
3 −4 1

detA
=
−70
35
= −2
Para encontrarmos x3 fazemos
x3 =
det

1 1 0
12 2 5
3 4 −4

detA
=
35
35
= 1
4
1.4 Exerc´ıcios 13
1.4 Exerc´ıcios
1. Resolva os seguintes sistemas por eliminac¸a˜o gaussiana. Classifique cada sistema,
quanto a sua soluc¸a˜o (poss´ıvel determinado ou poss´ıvel indeterminado ou imposs´ıvel).
(a)

x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
(b)

x− y + 2z − w = −1
2x+ y − 2z − 2w = −2
−x+ 2y − 4z + w = 1
3x− 3w = −3
(c)

−2b+ 3c = 1
3a+ 6b− 3c = −2
6a+ 6b+ 3c = 5
2. Considere o sistema

x+ 2y − 3z = 4
3x− y + 5z = 2
4x+ y + (a2 − 14)z = a+ 2
(a) Para quais valores de a o sistema e´ imposs´ıvel?(b) Para quais valores de a o sistema e´ poss´ıvel e determinado?
(c) Para quais valores de a os sistema tem infinitas soluc¸o˜es?
3. Use a Regra de Cramer para resolver os sistemas:
(a)
{
5x1 + x2 = 3
2x1 − x2 = 4
(b)

2x1 − 3x2 = 2
4x1 − 6x2 + x3 = 7
x1 + 10x2 = 10
4. Verifique se a matriz A e´ invert´ıvel e, em caso afirmativo, determine a inversa A−1.
(a)
(
1 4
2 7
)
(b)

−1 3 −4
2 4 1
−4 2 −9
 (c)

2 6 6
2 7 6
2 7 7

5. Sejam as matrizes A,B e C tais que A e´ invert´ıvel e BA = CA. Mostre que B = C.
14 Sistemas de Equac¸o˜es lineares
6. Se A e´ uma matriz quadrada invert´ıvel e A−1 sua inversa, enta˜o definimos as poteˆncia
inteiras negativas de A por A−n = (A−1)n = A−1 ·A−1 · · ·A−1 (n fatores). Considere
A =
(
2 0
4 1
)
e calcule A3 e A−3.
7. Resolva a seguinte equac¸a˜o em X:
1 −1 1
2 3 0
0 2 −1
 ·X =

2 −1 5 7 0
4 0 −3 0 1
3 5 −7 2 1

8. Resolva o sistema, invertendo a matriz dos coeficientes.
(a)
{
2x1 + 2x2 = 2
5x1 + 6x2 = 9
(b)

x1 + 3x2 + x3 = 4
2x1 + 2x2 + x3 = −1
2x1 + 3x2 + x3 = 3
(c)

−x− 2y − 3z = 0
w + x+ 4y + 4z = 7
w + 3x+ 7y + 9z = 4
−3w − 2x− 4y − 6z = 6
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] ARAUJO, T. de. A´lgebra Linear: Teoria e Aplicac¸o˜es. Rio de Janeiro: SBM, 2014.
[2] CHIANG, A.C., Wainwright, K., Matema´tica para Economistas – Campus, 4a.
edic¸a˜o, 2006.
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