ajudar no estudo de probabilidade.

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Organizando e resumindo dados
Engenharia de Materiais - Turma: EMT01
2o Semestre 2019
Profa. Edijane Paredes Garcia
edijane@ufam.edu.br
22 de agosto de 2019
IEE001-Probabilidade e Estat´ıstica Engenharia de Materiais/EMT01 Aula 02 1 / 13
Organizando e resumindo dados
Descrevendo os dados com tabelas
Com um grande nu´mero n de observac¸o˜es, a melhor maneira de examinar essa massa
de dados e´ organiza´-la construindo tabelas e gra´ficos apropriados.
Dados brutos
Taxa cobrada dos estudantes por 60 faculdades (em R$).
7,2 4,9 10,7 10,4 6,4 4,8 4,7 4,6 6,0 5,4
4,8 4,7 8,3 3,8 4,8 8,3 6,4 6,6 4,5 8,0
3,6 2,4 8,5 8,8 7,7 4,9 8,6 12,0 4,9 7,0
11,0 4,9 3,9 4,9 4,4 4,9 4,9 8,0 3,6 7,4
7,9 4,9 5,8 3,9 11,6 10,3 3,4 3,9 5,0 3,9
8,0 3,5 4,9 5,8 4,1 3,9 3,5 4,8 5,9 3,6
IEE001-Probabilidade e Estat´ıstica Engenharia de Materiais/EMT01 Aula 02 2 / 13
Organizando e resumindo dados
Descrevendo os dados com tabelas
Dados ordenados (Rol)
Taxa cobrada dos estudantes por 60 faculdades (em R$).
2,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,6 3,6 3,8 3,9 3,9
3,9 3,9 3,9 4,1 4,4 4,5 4,6 4,7 4,7 4,8
4,8 4,8 4,8 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9
4,9 4,9 5,0 5,4 5,8 5,8 5,9 6,0 6,4 6,4
6,6 7,0 7,2 7,4 7,7 7,9 8,0 8,0 8,0 8,3
8,3 8,5 8,6 8,8 10,3 10,4 10,7 11,0 11,6 12,0
Amplitude = ma´ximo - mı´nimo = 12, 0− 2, 4 = 9, 6
IEE001-Probabilidade e Estat´ıstica Engenharia de Materiais/EMT01 Aula 02 3 / 13
Organizando e resumindo dados
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias - varia´veis quantitativas
A distribuic¸a˜o dos dados em classes de frequeˆncias deve observar as seguintes regras:
as classes devem conter todas as observac¸o˜es
a primeira classe deve conter o menor valor e a u´ltima classe o maior valor
cada valor deve ser colocado em uma u´nica classe
usar entre 5 e 15 classes e, se poss´ıvel, classes de mesmo tamanho.
IEE001-Probabilidade e Estat´ıstica Engenharia de Materiais/EMT01 Aula 02 4 / 13
Organizando e resumindo dados
Construindo tabelas de distribuic¸o˜es de frequeˆncias
Ao construir uma tabela de distribuic¸a˜o de frequeˆncias, precisamos tomar treˆs im-
portantes deciso˜es:
1 Nu´mero de classes (Fo´rmula de Sturges):
k = 1 + 3, 32 log(n),
em que n e´ o nu´mero total de observac¸o˜es, e o logaritmo e´ de base 10.
2 Amplitude da classe
Ak =
xmax − xmin
k
3 Limite inferior da primeira classe: qualquer valor que seja igual ou menor do
que o mais baixo valor existente no conjunto de dados, pode ser utilizado
como o limite inferior da primeira classe.
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Organizando e resumindo dados
Construindo tabelas de distribuic¸o˜es de frequeˆncias
Ao construir uma tabela de distribuic¸a˜o de frequeˆncias, precisamos tomar treˆs im-
portantes deciso˜es:
1 Nu´mero de classes (Fo´rmula de Sturges):
k = 1 + 3, 32 log(n),
em que n e´ o nu´mero total de observac¸o˜es, e o logaritmo e´ de base 10.
2 Amplitude da classe
Ak =
xmax − xmin
k
3 Limite inferior da primeira classe: qualquer valor que seja igual ou menor do
que o mais baixo valor existente no conjunto de dados, pode ser utilizado
como o limite inferior da primeira classe.
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Organizando e resumindo dados
Construindo tabelas de distribuic¸o˜es de frequeˆncias
Ao construir uma tabela de distribuic¸a˜o de frequeˆncias, precisamos tomar treˆs im-
portantes deciso˜es:
1 Nu´mero de classes (Fo´rmula de Sturges):
k = 1 + 3, 32 log(n),
em que n e´ o nu´mero total de observac¸o˜es, e o logaritmo e´ de base 10.
2 Amplitude da classe
Ak =
xmax − xmin
k
3 Limite inferior da primeira classe: qualquer valor que seja igual ou menor do
que o mais baixo valor existente no conjunto de dados, pode ser utilizado
como o limite inferior da primeira classe.
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Organizando e resumindo dados
Construindo tabelas de distribuic¸o˜es de frequeˆncias
Ao construir uma tabela de distribuic¸a˜o de frequeˆncias, precisamos tomar treˆs im-
portantes deciso˜es:
1 Nu´mero de classes (Fo´rmula de Sturges):
k = 1 + 3, 32 log(n),
em que n e´ o nu´mero total de observac¸o˜es, e o logaritmo e´ de base 10.
2 Amplitude da classe
Ak =
xmax − xmin
k
3 Limite inferior da primeira classe: qualquer valor que seja igual ou menor do
que o mais baixo valor existente no conjunto de dados, pode ser utilizado
como o limite inferior da primeira classe.
IEE001-Probabilidade e Estat´ıstica Engenharia de Materiais/EMT01 Aula 02 5 / 13
Organizando e resumindo dados
Construindo tabelas de distribuic¸o˜es de frequeˆncias
Ao construir uma tabela de distribuic¸a˜o de frequeˆncias, precisamos tomar treˆs im-
portantes deciso˜es:
1 Nu´mero de classes (Fo´rmula de Sturges):
k = 1 + 3, 32 log(n),
em que n e´ o nu´mero total de observac¸o˜es, e o logaritmo e´ de base 10.
2 Amplitude da classe
Ak =
xmax − xmin
k
3 Limite inferior da primeira classe: qualquer valor que seja igual ou menor do
que o mais baixo valor existente no conjunto de dados, pode ser utilizado
como o limite inferior da primeira classe.
IEE001-Probabilidade e Estat´ıstica Engenharia de Materiais/EMT01 Aula 02 5 / 13
Organizando e resumindo dados
Voltando ao exemplo - Taxa cobrada dos estudantes
2,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,6 3,6 3,8 3,9 3,9
3,9 3,9 3,9 4,1 4,4 4,5 4,6 4,7 4,7 4,8
4,8 4,8 4,8 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9
4,9 4,9 5,0 5,4 5,8 5,8 5,9 6,0 6,4 6,4
6,6 7,0 7,2 7,4 7,7 7,9 8,0 8,0 8,0 8,3
8,3 8,5 8,6 8,8 10,3 10,4 10,7 11,0 11,6 12,0
k = 1 + 3, 22 log(60) = 6, 90 ≈ 7
Ak =
12− 2, 4
7 = 1, 3714 ≈ 1, 4
Limite inferior da primeira classe = 2, 4
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Voltando ao exemplo - Taxa cobrada dos estudantes
2,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,6 3,6 3,8 3,9 3,9
3,9 3,9 3,9 4,1 4,4 4,5 4,6 4,7 4,7 4,8
4,8 4,8 4,8 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9
4,9 4,9 5,0 5,4 5,8 5,8 5,9 6,0 6,4 6,4
6,6 7,0 7,2 7,4 7,7 7,9 8,0 8,0 8,0 8,3
8,3 8,5 8,6 8,8 10,3 10,4 10,7 11,0 11,6 12,0
k = 1 + 3, 22 log(60) = 6, 90 ≈ 7
Ak =
12− 2, 4
7 = 1, 3714 ≈ 1, 4
Limite inferior da primeira classe = 2, 4
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Organizando e resumindo dados
Voltando ao exemplo - Taxa cobrada dos estudantes
2,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,6 3,6 3,8 3,9 3,9
3,9 3,9 3,9 4,1 4,4 4,5 4,6 4,7 4,7 4,8
4,8 4,8 4,8 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9
4,9 4,9 5,0 5,4 5,8 5,8 5,9 6,0 6,4 6,4
6,6 7,0 7,2 7,4 7,7 7,9 8,0 8,0 8,0 8,3
8,3 8,5 8,6 8,8 10,3 10,4 10,7 11,0 11,6 12,0
k = 1 + 3, 22 log(60) = 6, 90 ≈ 7
Ak =
12− 2, 4
7 = 1, 3714 ≈ 1, 4
Limite inferior da primeira classe = 2, 4
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Organizando e resumindo dados
Voltando ao exemplo - Taxa cobrada dos estudantes
k Classes Frequeˆncia (f)
1 2, 4 ` 3, 8 7
2 3, 8 ` 5, 2 26
3 5, 2 ` 6, 6 7
4 6, 6 ` 8, 0 6
5 8, 0 ` 9, 4 8
6 9, 4 ` 10, 8 3
7 10, 8 ` 12, 2 3
Total n = 60
Outras quantidades relacionadas a`s classes sa˜o necessa´rias.
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Organizando e resumindo dados
Construindo tabelas de distribuic¸o˜es de frequeˆncias
Ponto me´dio de uma classe (x) e´ a me´dia dos pontos extremos da classe, ou
seja,
x = limite inf. da classe− limite sup. da classe2
Frequeˆncia relativa de uma classe (frel) e´ a proporc¸a˜o de dados que esta˜o na
k-e´sima classe,
frel =
fk
n
Frequeˆncia acumulada de uma classe (Facum) e´ a soma das frequeˆncias dessa
classe com todas as anteriores.
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Organizando e resumindo dadosVoltando ao exemplo - Taxa cobrada dos estudantes
Tabela: Distribuic¸a˜o de frequeˆncias para a taxa cobrada (em R$) dos estudantes
k Classes Frequeˆncia
f
Ponto
me´dio
Frequeˆncia
relativa
Frequeˆncia
acumulada
1 2, 4 ` 3, 8 7 3,1 0,12 7
2 3, 8 ` 5, 2 26 4,5 0,43 33
3 5, 2 ` 6, 6 7 5,9 0,12 40
4 6, 6 ` 8, 0 6 7,3 0,10 46
5 8, 0 ` 9, 4 8 8,7 0,13 54
6 9, 4 ` 10, 8 3 10,1 0,05 57
7 10, 8 ` 12, 2 3 11,5 0,05 60
Total n = 60 1,00
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Organizando e resumindo dados
Exerc´ıcio
O conjunto de dados a seguir lista os prec¸os (em do´lares) de 30 aparelhos GPS
(global positioning system) porta´teis. Construa uma distribuic¸a˜o de frequeˆncias.
128 100 180 150 200 90 340 105 85 270
200 65 230 150 150 120 130 80 230 200
110 126 170 132 140 112 90 340 170 190
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Organizando e resumindo dados
Exerc´ıcio
A administrac¸a˜o pu´blica de uma cidade deseja conhecer a distribuic¸a˜o de ve´ıculos por
domic´ılios. Uma amostra de 40 domic´ılios, aleatoriamente selecionados na cidade,
produziu os seguintes dados sobre o nu´mero de ve´ıculos.
5 1 1 2 0 1 1 2 1 1
1 3 3 0 2 5 1 2 3 4
2 1 2 2 1 2 2 1 1 1
4 2 1 1 2 1 1 4 1 3
Construa a distribuic¸a˜o de frequeˆncias.
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Organizando e resumindo dados
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias - varia´veis qualitativas
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias para as varia´veis Sexo e Toler, referente a Tabela do
livro de Magalha˜es & Lima, 2004, Pa´g.7.
Tabela: Distribuic¸a˜o de frequeˆncias dos alunos do primeiro ano de uma escola segundo a
varia´vel Sexo
Sexo Frequeˆncia (f) Frequeˆncia relativa Frequeˆncia acumulada
F 37 0,74 37
M 13 0,26 50
Total n = 50 1,00
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Organizando e resumindo dados
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias - varia´veis qualitativas
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias para as varia´veis Sexo e Toler, referente a Tabela do
livro de Magalha˜es & Lima, 2004, Pa´g.7.
Tabela: Distribuic¸a˜o de frequeˆncias dos alunos do primeiro ano de uma escola quanto a
toleraˆncia ao cigarro
Toleraˆncia ao cigarro Frequeˆncia (f) Frequeˆncia relativa Frequeˆncia acumulada
Indiferente 10 0,20 10
Incomoda pouco 21 0,42 31
Incomoda muito 19 0,38 50
Total n = 50 1,00
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