lista de exercícios para segunda prova

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Quest~oes de Integrais de Linha e Teorema de Green
1. Calcule a massa de um peda�co de arame cuja forma �e descrita pela curva
~
(t) =
D
6t2; 4
p
2t3; 3t4
E
; 0 � t � 1:
e a densidade �e �(x; y; z) = 6 + jxj :
Resp.: 84.
Resolu�c~ao: Temos que ~
0(t) = (12t; 12
p
2 t2; 12t3), de forma que
k~
0(t)k =
p
144(t2 + 2t4 + t6) = 12t
p
1 + 2t2 + t4:
Assim, temos que calcularZ
�(
(t))k~
0(t)kdt =
Z 1
0
(6 + 6t2)12t
p
1 + 2t2 + t4dt = 18
Z 1
0
(4t+ 4t3)
p
1 + 2t2 + t4dt
= 18
Z 4
1
u1=2du =
�
18� 2
3
u3=2
�4
1
= 84:
2. Calcule o comprimento da curva
~
(t) =
�
t2
2
; t3;
p
2t2
�
; 0 � t � 1:
Resp.: 2
p
2� 1:
Resolu�c~ao: Temos que ~
0(t) =
t; 3t2; 2
p
2t
�
e k~
0(t)k = pt2 + 9t4 + 8t2 = 3tp1 + t2. Portanto,Z
k~
0(t)kdt = 3
2
Z 1
0
2t
p
1 + t2dt =
3
2
Z 2
1
u1=2du =
�
u3=2
�2
1
= 2
p
2� 1:
3. Considere o campo vetorial ~F = hy;�x; ezi e a curva C; interse�c~ao do parabol�oide z =
4� x2 � y2 com o plano z = 4� x: Calcule a integralZ
C
~F � d~r:
Resp.: ��
2
:
Resolu�c~ao: Ao calcularmos a interse�c~ao do paraboloide com o plano, obtemos a proje�c~ao da
curva C no plano xy:
4� x = 4� x2 � y2 ) x2 + y2 � x = 0 ) (x� 1
2
)2 + y2 =
1
4
Essa proje�c~ao pode ser parametrizada por x = 1
2
+ 1
2
cos t; e y = 1
2
sin t.
Voltamos �a curva C ao determinar as coordenadas de z pela equa�c~ao do plano:
z = 4� 1
2
+
1
2
cos t =
7
2
+
1
2
cos t:
Assim, Z
C
~F � d~r =
Z 2�
0
�
1
2
sin t(�1
2
sin t)� (1
2
+
1
2
cos t)
1
2
cos t+ ezz0
�
dt
=
Z 2�
0
(�1
4
(sin2 t+ cos2 t)� 1
4
cos t)dt+
Z 2�
0
ezz0dt
=
�
�1
4
+
1
4
sin t+ ez(t)
�2�
0
= ��
2
+ e4 � e4 = ��
2
;
a express~ao para ez tendo sido calculada utilizando z = 7
2
+ 1
2
cos t.
4. Calcule a integral Z
C
(ey � xex � x5ex)dx+ (x+ y5)eydy
em que C �e a parte da cuva y = x200 que liga o ponto (0; 0) ao ponto (1; 1) :
Resp.: e� 1.
Resolu�c~ao: Temos
@x(x+ y
5)ey � @y(ey � xex � x5ex) = ey � ey = 0:
Portanto, o campo �e conservativo e a integral pode ser calculada por qualquer curva que ligue
os mesmos pontos. Por exemplo, tomando a reta que une o ponto inicial ao ponto �nal obtemos
~r(x) = (x; x) e, assim,Z
C
(ey � xex � x5ex)dx+ (x+ y5)eydy =
Z 1
0
((ex � xex � x5ex) + (x+ x5)ex)dx = e� 1:
5. Calcule a integral Z
C
(1 + ln x+ ey)dx+ (xey + sen3(y))dy
em que C �e segmento de reta que liga o ponto (1; 0) ao ponto (e; �) :
Resp.: e+ e�+1 + 1
3
:
Resolu�c~ao: Temos que
@x(xe
y + sen3(y)� @y(1 + ln x+ ey) = ey � ey = 0;
de modo que temos um campo conservativo. Vamos substituir o caminho dado pelo segmento
horizontal de (1; 0) at�e (e; 0) seguido do segmento vertical de (e; 0) at�e (e; 1). Assim,Z
C
(1 + ln x+ ey)dx+ (xey + sen3(y))dy =
Z (e;0)
(1;0)
(1 + ln x+ e0)dx+
Z (e;�)
(e;0)
(eey + sen3(y))dy
=
Z e
1
(1 + ln x+ e0)dx+
Z �
0
(ey+1 + sin 3(y))dy
= e+ e�+1 +
1
3
:
6. Calcule o trabalho realizado pelo campo ~F (x; y) = x(x2 + y2)~i+ y(x2 + y2)~j para mover uma
part��cula ao longo da curva dada por
9x2 + 4y2 = 36; x � 0;
do ponto (2; 0) at�e o ponto (0; 3) :
Resp.:
65
4
.
Resolu�c~ao: Uma vez que
@xy(x
2 + y2)� @yx(x2 + y2) = 2xy � 2xy = 0;
conclu��mos que o campo �e conservativo. Portanto, alterando o caminho temos
W =
Z
C
~F � d~r =
Z (0;0)
(2;0)
~F � d~r +
Z (0;3)
(0;0)
~F � d~r
=
Z 0
2
x3dx+
Z 3
0
y3dy =
65
4
:
7. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
~F (x; y) = �3y5~i+ 5y2x3~j
para mover uma part��cula ao longo da circunfere^ncia
x2 + y2 = 4;
partindo do ponto (2; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez.
Resp.: 160�:
Resolu�c~ao: Temos que
@Q
@x
� @P
@y
= 15y4 + 15x2y2 = 15y2(x2 + y2):
Podemos aplicar o Teorema de Green usando o disco D dado por x2 + y2 � 4 :ZZ
D
(x2 + y2)y2dA = 15
Z 2�
0
Z 2
0
r2(r2 sin2 �)rdrd� = 15
Z 2�
0
sin2� d�
Z 2
0
r5dr
= 15�
26
6
= 160�:
8. Calcule a integral Z
C
(xex
2
+ 2xy)dx+ (x2 + cos�y)dy
em que C �e a parte da par�abola y = x2 de (�1; 1) at�e (1; 1) :
Resp.: 0.
Resolu�c~ao: Temos
@x(x
2 + cos�y)� @y(xex2 + 2xy) = 2x� 2x = 0:
Logo, o campo �e conservativo. Trocando o caminho dado pela reta unindo o ponto inicial ao
ponto �nal: Z 1
�1
(xex
2
+ 2x)dx =
"
ex
2
2
+ x2
#1
�1
= 0:
9. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
~F (x; y) =
�
x4 � 3y4�~i+ y(1 + 4x3)~j
para mover uma part��cula ao longo do quarto de c��rculo
x2 + y2 = 1 com x � 0 e y � 0;
do ponto (1; 0) at�e o ponto (0; 1) :
Resp.:
8
5
.
Resolu�c~ao: Temos que
@x[y(1 + 4x
3)]� @y(x4 � 3y4) = 12x2y + 12y3 = 12(x2 + y2)y:
O caminho dado n~ao �e fechado. Para aplicar o Teorema de Green, vamos complet�a-lo utilizando
os segmentos de reta C1 : (0; 1)! (0; 0) e C2 : (0; 0)! (1; 0). AssimZ
C
~F � d~r +
Z
C1
~F � d~r +
Z
C2
~F � d~r =
ZZ
D
12(x2 + y2)y dA;
em que D �e a regi~ao interior ao disco x2 + y2 � 1 no primeiro quadrante. Assim, temosZ
C
~F � d~r =
ZZ
D
12(x2 + y2)y dA�
Z
C1
~F � d~r �
Z
C2
~F � d~r:
Calculando as integrais:
12
Z �=2
0
Z 1
0
r2(rsin �)rdrd� =
12
5
Z �=2
0
sin � d� =
12
5
:
Como
�
Z
C1
~F � d~r = �
Z 0
1
ydy =
1
2
e
�
Z
C2
~F � d~r = �
Z 1
0
x4dx = �1
5
;
temos que Z
C
~F � d~r = 12
5
+
1
2
� 1
5
=
27
10
:
10. Utilizando o Teorema de Green calcule o trabalho realizado pelo campo
~F (x; y) = � 3y
5
x2 + y2
~i+
5y2x3
x2 + y2
~j:
para mover uma part��cula ao longo da circunfere^ncia
x2 + y2 = 1;
partindo do ponto (1; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez (no sentido anti-hor�ario).
Resp.: 5
2
�:
Resolu�c~ao: O campo ~F possui uma singularidade na origem, o que impede a aplica�c~ao direta
do Teorema de Green. Entretanto, ao longo da curva C, temos que x2 + y2 = 1, de modo que,
nessa curva, o campo F �e igual ao campo
~G(x; y) = (�3y5; 5y2x3) = (P;Q):
O Teorema de Green pode ser aplicado ao campo ~G = (P;Q):Z
C
~G � d~r =
ZZ
R
�
@Q
@x
� @P
@y
�
dA
=
ZZ
R
(15x2y2 + 15y4)dA =
ZZ
R
15y2(x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
15r2 sin2 � r2 (rdrd�)
=
Z 2�
0
1� cos 2�
2
d�
Z 1
0
15r5dr
= �
15
6
=
5�
2
:
11. Utilizando o Teorema de Green, calcule a integralZ
C
x2 � 1
x2 + 4y2
dx+
x
x2 + 4y2
dy;
em que C �e a parte da par�abola y = 1� x2 do ponto (1; 0) ao ponto (�1; 0):
Resolu�c~ao: Denotando por I a integral acima e notando que x2 � 1 = �y sobre a curva C,
temos
I =
Z
C
x2 � 1
x2 + 4y2
dx+
x
x2 + 4y2
dy =
Z
C
� y
x2 + 4y2
dx+
x
x2 + 4y2
dy:
Conforme j�a enfatizado em sala de aula, o campo�
� y
x2 + 4y2
;
x
x2 + 4y2
�
�e conservativo em regi~oes que n~ao contenham a origem. Logo, podemos aplicar o Teorema de
Green �a regi~ao D formada pela curva C e a parte superior da elipse x2 + 4y2 = 1 orientada no
sentido hor�ario. Note que a origem est�a fora desta regi~ao. Assim, denotando parte superior da
elipse por C1; temos:
I +
Z
C1
� y
x2 + 4y2
dx+
x
x2 + 4y2
dy =
Z Z
D
0dA = 0:
Logo,
I =
Z
C�1
�ydx+ xdy =
Z �
0
�
�1
2
sen(t)(� sen(t)) + cos(t)1
2
cos(t)
�
dt =
�
2
:
(Utilizamos a seguinte parametriza�c~ao de C�1 : x = cos(t) e y =
1
2
sen(t); com t 2 [0; �]:)
12. Utilizando o Teorema de Green, calcule a integralZ
C
yx2 + y3
x2 + 9y2
dx� x
3 + xy2
x2 + 9y2
dy;
em que C �e o semi-c��rculo y =
p
1� x2 do ponto(1; 0) ao ponto (�1; 0):
Resolu�c~ao: Denotando por I a integral acima e notando que x2+y2 = 1 sobre a curva C, temos
I =
Z
C
yx2 + y3
x2 + 9y2
dx� x
3 + xy2
x2 + 9y2
dy
=
Z
C
y(x2 + y2)
x2 + 9y2
dx� x(x
2 + y2)
x2 + 9y2
dy =
Z
C
y
x2 + 9y2
dx� x
x2 + 9y2
dy:
Como o campo
D
y
x2+9y2
;� x
x2+9y2
E
�e conservativo em regi~oes que n~ao contenham a origem, pode-
mos aplicar o Teorema de Green �a regi~ao D formada pela curva C e a parte superior da elipse
x2 + 9y2 = 1 orientada no sentido hor�ario. Note que a origem est�a fora desta regi~ao. Assim,
denotando parte superior da elipse por C1; temos:
I +
Z
C1
y
x2 + 9y2
dx� x
x2 + 9y2
dy =
Z Z
D
0dA
I +
Z
C1
ydx� xdy = 0:
Ou seja
I = �
Z
C1
ydx� xdy
=
Z
C�1
ydx� xdy =
Z �
0
�
1
3
sen(t)(� sen(t))� cos(t)1
3
cos(t)
�
dt = ��
3
: