ajustamento
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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E 
TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA 
Departamento Acadêmico da Construção Civil 
Curso Técnico em Agrimensura 
 
 
 
 
 
 
AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES 
E REDES 
 
 
SÉRIE: TOPOGRAFIA E AGRIMENSURA PARA 
CURSOS TÉCNICOS 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ivandro Klein 
Prof. Matheus Pereira Guzatto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Florianópolis-SC 
2018 
 
Curso Técnico em Agrimensura: 
Av. Mauro Ramos, 950, Centro, Florianópolis - Santa Catarina 
CEP: 88020-300 
Telefone: (48) 3321-6061 
http://agrimensura.florianopolis.ifsc.edu.br 
 
Reitoria: 
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Reprodução total ou parcial dessa obra autorizada pelos autores e pela 
instituição para fins educativos e não comerciais. 
 
 
Catalogação na fonte pelo Instituto Federal de Educação, 
Ciência e Tecnologia de Santa Catarina - IFSC 
Reitoria 
 
 
 
 
Sistema de Bibliotecas Integradas do IFSC 
Biblioteca Dr. Hercílio Luz \u2013 Câmpus Florianópolis 
Catalogado por: Edinei Antonio Moreno CRB 14/1065 
 
 
 
 
 
 
 
 
K641a 
 
Klein, Ivandro 
Ajustamento de observações e redes: topografia e agrimensura para 
cursos técnicos [recurso eletrônico] / Ivandro Klein, Matheus Pereira Guzatto 
\u2013 Florianópolis: IFSC, 2018. 
1 Livro digital. 
74 p.: il. 
 
Inclui referências. 
ISBN 97885XXXXXXXX 
 
1. Ajustamento de observações. 2. Redes de referência. I. Guzatto, 
Matheus Pereira. II. Título. 
 
CDD 526.98 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. OBSERVAÇÕES (MEDIDAS) E TIPOS DE ERROS...........................................................................................4 
1.1 Erros sistemáticos ............................................................................................................................................. 6 
1.2 Erros grosseiros ................................................................................................................................................. 8 
1.3 Erros aleatórios ................................................................................................................................................. 9 
1.4 Erro absoluto e erro relativo ........................................................................................................................... 11 
1.5 Precisão e acurácia de um conjunto de medidas ............................................................................................ 12 
2. CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA................................................................17 
2.1 Principais estatísticas (estimadores amostrais) .............................................................................................. 18 
2.2 Distribuição normal de probabilidade ............................................................................................................ 20 
2.3 Aceitação e rejeição de medições ................................................................................................................... 22 
2.4 Precisão nominal, leitura mínima, calibração e ajuste ................................................................................... 24 
2.5 Covariância e coeficiente de correlação das observações .............................................................................. 25 
2.6 Erro quadrático médio (EQM) ......................................................................................................................... 27 
3. PROPAGAÇÃO DE 
ERROS.................................................................................................................................29 
3.1 Algumas relações matemáticas e derivadas parciais em propagação de erros .............................................. 30 
3.2 Propagação de erros em Topografia e Geodésia ............................................................................................ 31 
3.3 Propagação simplificada de erros em redes ................................................................................................... 47 
3.4 Exemplos de propagação de erros em levantamentos ................................................................................... 48 
4. AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES POR MÍNIMOS 
QUADRADOS.......................................................54 
4.1 O método dos mínimos quadrados (MMQ) em sistemas lineares ................................................................. 57 
4.2 Comentários gerais sobre o ajustamento pelo MMQ ..................................................................................... 63 
4.3 Exemplo numérico de ajustamento pelo MMQ .............................................................................................. 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. OBSERVAÇÕES (MEDIDAS) E TIPOS DE ERROS 
Quando se realiza uma observação, como por exemplo, a medida da direção 
angular de um alinhamento, ou a distância entre dois pontos, inevitavelmente, esta 
medição possuirá um erro (ou incerteza) associado ao valor numérico mensurado. Isto 
se deve ao fato que as observações conduzidas pelo homem se caracterizam pela 
inevitável presença dos \u201cerros de medida\u201d. Estes erros resultam não apenas de falhas 
humanas, mas também da imperfeição (limitação) dos equipamentos e métodos 
utilizados e ainda da influência de fatores externos como as condições ambientais nas 
quais se realiza uma dada observação (mensuração). 
Por exemplo, se um observador medir o tempo que um objeto demora para cair 
de uma determinada altura, sujeito apenas a ação (força) da gravidade, e repetir este 
experimento diversas vezes, sempre sob as mesmas condições, inevitavelmente, irá 
observar valores diferentes para o tempo de queda deste objeto cada vez que o 
experimento for repetido. Alguns dos fatores que podem influenciar nesta medida são os 
tempos de reação do observador para iniciar e encerrar a marcação do tempo, a 
limitação ou imperfeição do instrumento de medida utilizado (relógio, cronometro e 
etc.), o posicionamento adequado do objeto na altura de queda, e ainda, possíveis 
interferências do ambiente no experimento, como a ação do vento e o atrito atmosférico. 
 É importante ressaltar que, devido a esta inevitável existência de erros nas 
observações, é impossível determinar o \u201cvalor verdadeiro\u201d de qualquer grandeza que 
seja mensurada, isto é, observada ou medida. Até mesmo as grandezas fundamentais da 
Física, determinadas com os equipamentos e métodos mais avançados e precisos de 
medição atualmente disponíveis, possuem uma incerteza associada aos seus valores 
numéricos. Veja alguns exemplos: 
 
\uf0a7 Constante gravitacional universal: 
 
 
 
 
\uf0a7 Constante de Planck: 
\uf0a7 Massa do elétron: 
 
 
Frente a estas considerações, os objetivos da Teoria dos Erros são: 
 
\uf0a7 Obter o \u201cmelhor valor possível\u201d para uma grandeza, a partir dos dados 
experimentais (observações) disponíveis, ou seja, a melhor aproximação 
possível para o valor verdadeiro desta grandeza, em termos probabilísticos; 
 
\uf0a7 Obter a incerteza do melhor valor obtido, o que significa determinar o 
quanto este \u201cmelhor valor possível\u201d pode ser diferente do respectivo \u201cvalor 
verdadeiro\u201d da grandeza, em termos probabilísticos. 
 
Matematicamente, a relação entre estes termos é dada por: 
 
 , 
 
onde \u201c \u201d é o valor observado (medido) de uma certa grandeza, \u201c \u201d é o valor verdadeiro 
desta grandeza, e \u201c \u201d corresponde ao erro da observação (medida). Note que, como o 
valor verdadeiro de uma grandeza é desconhecido, o \u201cverdadeiro\u201d