Apostila-de-ajustamento_Joel_Grip_Júnior (1)

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Material Didático 
Autor: Prof. Joel Gripp Júnior 
 
2
 
RN1 
 
RN2 
 
CAPITULO 1 
AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES 
1.1- INTRODUÇÃO 
Ao obter uma medida que se requer confiança, qualquer pessoa intuitivamente 
repetirá observações e não irá confiar em apenas uma observação. Mas a partir de várias 
observações de uma mesma grandeza, que resultado final representa maior confiança e que 
seja único deverá ser utilizado? 
O ajustamento de observações cuida da resolução de problemas deste tipo, bem 
como a estimativa da precisão da solução adotada. 
O ajustamento de observações leva, além de uma solução única, a coerência de 
observações a modelos matemáticos apropriados a cada caso. 
Nos casos mais simples realizam-se medidas sobre as próprias incógnitas. 
Quando tais incógnitas se ligam por equações de condição o problema se torna um pouco 
menos simples. Outras vezes medem-se grandezas que se vinculam às incógnitas através de 
relações funcionais conhecidas, é o caso das observações indiretas ou parâmetros (ex.: 
coordenadas, altitudes, etc.). Em qualquer caso o que se busca, é purificar as observações das 
inconsistências que as acompanham, ou melhor dizendo, ajustá-las juntamente com 
parâmetros (quando existem), a um modelo matemático. 
Algumas dificuldades podem surgir quando se pretende ponderar as observações 
onde se deve atribuir “mais peso” àquelas que merecem maior confiança; isto pressupõe o 
conhecimento da precisão com que as medidas são efetuadas. 
Seja os seguintes exemplos para enfatizar alguns pontos importantes do ponto de 
vista prático: 
Ex.: 1- A figura ao lado esquematiza uma pequena rede de 
nivelamento geométrico; em função dos desníveis medidos. A 
altitude de RN1 pode ser transportada até RN2; como são 
inúmeros os caminhos possíveis, resultaram inúmeras soluções. 
 
3
 
O ajustamento, entretanto, conduzirá a uma solução única tornando as 
observações coerentes com um modelo matemático. 
Alternativamente, a altitude de RN2 pode ser “fixada” como a RN1; neste caso as 
observações são ajustadas de tal maneira que o transporte de altitudes a partir de RN1 
produza em RN2 um valor idêntico pré-fixado. 
Ex.:2 – P e Q são vértices de uma cadeia de 
triangulação já ajustados razão pela qual suas 
coordenadas são consideradas “fixas”. Na poligonal 
PABCQ medem-se os lados (eletronicamente) e os 
ângulos. Admitindo que tais observações sejam, num 
caso ideal, isentos de erros; mesmo assim as 
coordenadas transportadas a partir de P não “fecham” 
em Q. 
Pois bem, o ajustamento deverá alterar os valores corretos para garantir aqueles fechamentos 
em obediência a um modelo matemático. 
 
Ex.: 3 – Os ângulos medidos de um quadrilátero 
completo de uma triangulação geodésica; após 
ajustados, a soma dos ângulos de todos os triângulos 
esféricos do quadrilátero deverão satisfazer à condição 
matemática de que o correspondente é igual a 180º mais 
o excesso esférico. 
1.2- O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (M.M.Q) 
Considerando o caso da medida direta de uma grandeza x; sejam b1, b2, b3......bn 
os valores obtidos em uma série de n observações. 
Na impossibilidade de obter o verdadeiro valor de x deve-se se contentar com 
uma estimativa que seja confiável. Adotando, o valor x com base em um certo critério e 
calculando as diferenças temos: 
nn Vbx
Vbx
Vbx
.
22
11
 ou x –bi= Vi para i= 1,2,3,..........n 
 
4
 
Tais diferenças (Vi) são resíduos, isto é, os valores, a priori desconhecidos, que 
somados às observações reproduzem o valor escolhido x. 
Poderia-se, mudando o critério eleger um valor diferente x’; resultaria um novo 
conjunto de resíduos: x’-bi= Vi’ e assim por diante x’’-bi=Vi’’; etc.. 
Qual dos valores x, x’, x’’ deve-se adotar? Em outras palavras, como escolher um 
critério que permite, das observações repetidas bi, discrepantes entre si, extrair um valor 
único para representar a incógnita x? 
A quase dois séculos o geodesista fez sua opção, seguindo o caminho indicado 
por GAUSS e LEGENDRE: ACEITAR COMO MELHOR ESTIMATIVA DE X O VALOR 
QUE TORNA MÍNIMA A SOMA DOS QUADRADOS DOS RESÍDUOS. 
O critério supra caracteriza o método dos mínimos quadrados (M.M.Q) instituído 
independentemente pelos dois grandes matemáticos acima citados. 
Até a bem pouco, o M.M.Q, quando referido, conservava a notação original de 
Gauss, respeitada universalmente [v.v]= min, o colchete indicando somatório, com variações 
subentendidas de 1 a n e sem utilizar expoentes. 
Quando as observações não oferecem o mesmo grau de confiança são 
“homogeneizadas” através de pesos pi: 
n
i
iivp
1
2 min ou [p.v.v]= min 
Modernamente prefere-se a linguagem matricial; 
 
 sendo V o vetor coluna dos resíduos e P uma matriz quadrada 
(matriz dos pesos) 
Como será visto com o desenvolver do assunto, o ajustamento é uma grande 
ferramenta às várias áreas da engenharia de levantamentos, tais como: Topografia, Geodésia, 
Fotogrametria, Astronomia, etc. 
 
min
min
PVV
VV
t
t
 
5
 
´CAPÍTULO 2 
TEORIA DOS ERROS 
2.1. INTRODUÇÃO 
Na medida de uma determinada grandeza, certos fatores como limitação humana, 
imperfeição instrumental e instabilidade da natureza fazem com que as medidas nunca 
tenham exatidão absoluta. Um operador repetindo várias vezes uma mesma medida, os 
resultados nunca serão idênticos, por mais que seja o cuidado utilizado nas determinações. 
Assim, pode-se afirmar que todas as medidas contêm erros. 
Com a finalidade de conhecer bem a teoria dos erros, serão apresentados, a 
seguir, alguns conceitos importantes e de uso comum no ajustamento de observações. 
2.2. ALGUNS CONCEITOS 
 2.2.1 Erro Absoluto Verdadeiro
 
É a diferença, em valor absoluto, entre a medição de uma grandeza física e o seu 
verdadeiro valor. 
Na prática, não se conhece o valor real ou verdadeiro da grandeza; conhece-se o 
valor mais provável desta grandeza. 
 2.2.2 Erro Absoluto Aparente (E)
 
É a diferença, em valor absoluto, entre a medição de uma grandeza (xi) e seu 
valor mais provável ( x ). 
xxE ii
 
 2.2.3 Erro verdadeiro e Erro Aparente 
 
Por analogia ao conceito anterior, só que se considerando o sinal da diferença 
entre a medida. 
xxe ii
 
2.2.4 Resíduo (v) 
 
No ajustamento denomina-se de resíduo ao inverso do erro aparente, ou seja, é a 
correção e que tem sinal contrário do erro aparente. 
ii xxv
 
2.2.5 Discrepância
 
É a diferença entre os valores de duas medidas de uma mesma grandeza, obtidas 
por dois operadores diferentes. As vezes é incorretamente chamada de erro. 
 
6
 
2.2.6 Erro Relativo (er)
 
É a relação entre o erro absoluto e o valor mais provável da grandeza ( x ). 
x
E
er
 
Considerando um grupo de observações resultante de repetições, o erro relativo é 
mais utilizado, em ajustamento de observações, como sendo a relação entre o desvio padrão 
de uma série de determinações da grandeza e o valor mais provável correspondente. 
Comumente, expressa-se o erro relativo, em termos de fração, colocando-se a unidade no 
numerador. 
Ex.: x = 229,314m e n= 0,012m então, 
109.19
1
314,229
012,0
r
r
e
e 
2.2.7 Erro Tolerável (Tolerância)
 
Considera-se normalmente como sendo o triplo do desvio padrão da média 
ntol 3 A razão de se adotar esta expressão será estudada oportunamente. 
2.3. TIPOS DE ERROS EM FUNÇÃO DA SUA ORIGEM E CARACTERÍSTICAS 
 2.3.1 Erros Grosseiros
 
Erros cometidos nas medições por desatenção ou confusão do operador. Estas 
medições devem ser repetidas. 
Ex.: erro de anotação, erro na leitura de um ângulo, erro de cálculo, etc. 
Para evitar erros grosseiros deve-se sempre repetir cuidadosamente as medições. 
 2.3.2 Erros Sistemáticos
 
Podem ser expressos por uma função matemática. Se as causas dos erros sãoconhecidas, pode-se calcular o erro e eliminá-lo. São erros cumulativos. 
 
7
 
Caracterizam-se por ocorrer sempre em um mesmo sentido e conservarem em 
medições sucessivas, o mesmo valor. Decorrem das imperfeições do observador, do 
instrumento e do método usado. São três os tipos de erros sistemáticos: 
a) Erros sistemáticos introduzidos pelo observador
 
Ex.: erros cometidos por deficiência de visão 
b) Erros sistemáticos introduzidos pelo instrumento
 
Ex.: Uso de instrumentos em condições diferentes daquelas para as quais foram 
calibradas ou, por exemplo: 
Suponha uma distância obtida a partir de oito trenadas e supondo que cada 
trenada equivale a 10m, a distância total seria de 80m. Detectando posteriormente que a trena 
tem na realidade 10,10m.. Conclui-se que a distância tem um erro sistemático de 80cm. 
c) Erros sistemáticos introduzidos pelo método
 
Ex.: Utilização de um método baseado em equação matemática não 
representativa da realidade do fenômeno. 
Sempre que possível os erros pessoais podem ser minimizados pela substituição 
do observador humano por um mecânico ou eletrônico. 
Os erros instrumentais são reduzidos por meio de uma aferição ou calibração do 
aparelho, por comparação com um padrão de confiança. 
Às vezes pode-se corrigir o instrumento fazendo o mesmo fornecer resultados 
sem erros sistemáticos ou, então calcular o erro e corrigir os resultados das medições. 
 2.3.3 Erros Acidentais
 
Ocorrem de causas desconhecidas e incontroláveis. 
Caracterizam-se por ocorrerem ao acaso, qualquer que sejam os observadores, os 
instrumentos e os métodos. Em geral são erros pequenos, porém inevitáveis e encontrados 
em todas as observações, causando discrepâncias que a princípio apresentam sem qualquer 
conformidade matemática. A sua influência sobre as observações é aleatória, não permitindo 
outro tratamento se não baseado na teoria da probabilidade. 
Pode-se dizer que os erros acidentais são os que ainda restam na determinação de 
uma grandeza, em que foram tomados todos os cuidados para eliminar os erros grosseiros e 
sistemáticos. 
Se for realizado um número grande de observações, a experiência tem 
demonstrado que estes erros revelam alguma regularidade, ou seja, seguem uma distribuição 
de freqüência que muito se aproxima da distribuição normal. 
 
8
 
1
1
2
2
n
e
n
i
i
2.4. CLASSIFICAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES 
2.4.1 Diretas
 
As medições são efetuadas diretamente, em relação à grandeza procurada, sem 
que existam meios para verificação do erro, uma vez que não se conheçam os seus valores 
reais ou teóricos. Ex.: uma distância ou ângulo isolado. 
2.4.2 Indiretas
 
As observações não são feitas diretamente sobre as grandezas procuradas, mas a 
outras a elas ligadas por meio de relações conhecidas. Ex.: coordenadas, áreas, etc. 
2.4.3 Diretas condicionadas
 
As observações são feitas diretamente, e são independentes entre si, porém se 
prendem a alguma equação de condição conhecida. 
Ex.: Na medida de três ângulos (a, b, c) de um triângulo plano, tem-se que 
a+b+c= 180º 
2.5. VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRANDEZA 
O valor mais provável de uma grandeza, medida diversas vezes pelo mesmo 
operador, utilizando o mesmo equipamento e o mesmo método, ou seja, medidas com um 
grau idêntico de confiabilidade, é a MÉDIA ARITMÉTICA dos valores encontrados. 
No caso de observações obtidas com diferentes graus de confiabilidade, o valor 
mais provável deverá ser obtido considerando-se um fator de proporcionalidade ao qual 
denominamos de PESO. 
Obs: Oportunamente o PESO será elucidado em detalhes. 
2.6. MEDIDAS DE PRECISÃO 
Precisão é a consistência da medida ou grau de refinamento de um grupo de 
medidas. Nas medições os termos mais comumente usados para expressar a precisão são a 
variância
 
e o desvio padrão
 
ou erro quadrático. 
2.6.1 Variância 
Definida como a média do quadrado dos erros aparentes. Comum para o calcula 
da variância adotar o seguinte critério: 
Se o número de observações (n) for menor que 30, a variância é obtida por: 
 
 Somatório do quadrado dos erros aparentes 
 Número de observações menos um 
 
9
 
1
1
2
n
e
n
i
i
n
e
n
i
i
1
2
 Se o número de observações n for maior do que 30 teremos: 
 
2.6.2 Desvio Padrão 
É a raiz quadrada da Variância. 
 ou 
Seja qual for o tipo de observação, o resultado terá maior valor, se além de 
apresentado o valor para a grandeza desejada, for apresentado também a precisão com que 
esta foi obtida. 
Dependendo da grandeza, ao invés de se ter o desvio padrão como precisão, é 
comum apresentar o erro relativo no lugar deste, é o caso por exemplo de distâncias. 
n
e
n
i
i
1
2
2 Somatório do quadrado dos erros aparentes 
 Número de observações 
 
10
 
y 
x 
CAPÍTULO 3 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Como já foi mencionado, os erros acidentais ocorrem de forma aleatória e 
tendendo a obedecer a distribuição normal ou Lei de Gauss.
 
Considerando uma operação qualquer de medição efetuada um grande número de 
vezes, nas mesmas condições (mesmo operador, instrumento e método, etc.) a teoria das 
probabilidades mostra e a experiência permite verificar que os erros acidentais produzidos 
gozam das seguintes propriedades:
 
1º) a um erro positivo corresponde um erro negativo de mesmo valor absoluto (os 
erros positivos e negativos de mesmo valor absoluto têm igual probabilidade) 
2º) os erros pequenos são os mais numerosos ( o erro nulo é o mais provável) 
A curva que representa a Lei de Gauss tem forma de um sino e goza das 
seguintes propriedades: 
a) É simétrica em relação ao eixo dos y, isto é, os erros positivos e negativos de 
mesmo valor absoluto têm igual probabilidade; 
b) As ordenadas correspondentes aos erros pequenos são as maiores, isto é, os 
erros pequenos têm maior probabilidade do que os grandes; 
c) A curva tem por assíntota o eixo dos x, isto é, o erro 
 
tem uma 
probabilidade nula; 
d) A curva apresenta dois pontos de inflexão correspondentes a 
 
(desvio 
padrão); 
e) A probabilidade de se cometer um erro, em valor absoluto, menor que 
 
(erro 
compreendido entre +
 
e - ) é igual à área assinalada na figura. 
 
-
 
+
 
F(x) 
-
 
+
x 
dEEFP )(
 
11
 
f) A área total limitada pela curva, isto é, a probabilidade de se cometer 
simultaneamente todos os erros é, portanto, igual à unidade (100%) 
A curva da lei de Gauss pode ser representada analiticamente pela: 
 
Onde: 
 
= desvio padrão 
 E= erro considerado, ou se temos uma medida x e uma média x , 
E= x- x. 
Se for considerado na equação da Lei de Gauss desvios padrões 
 
=1, 
 
=2 e 
 
=3, as curvas correspondentes seriam: 
ou, quanto maior for o desvio padrão (menor 
precisão), mais achatada será a curva. 
 
É comum encontrar tabelas que fornecem os valores resultantes das integrais (que 
representam probabilidades): 
 ou P= probabilidade = área sob a curva 
Como aplicação simples, pode-se fazer: 
1) Encontrar a probabilidade dos erros menores, em valor absoluto, do que um desvio 
padrão (1 ) ,ou seja, encontrar a àrea sob a curva limitada pelas abscissas +
 
e - . 
P1 (x< - ) = 0,1587 P2= (x< + )= 0,8413 P= P2- P1= 68,26% 
y 
-
 
x
 
2
2
2
.1
2
1
)(
E
eEF
y 
-
 
x 
 
1
2
2
2
.1
2
1
XE
E
E
dEeP
y 
 
x
 
+
 
y 
-
 
x
 
+
 
-3 -2 -1 +1 +2 +3 
 
12
 
2) Para o esmo raciocínio anterior, considerando-se 2 , obtem-se:P= 95,45% 
3) Idem, considerando 3 : 
 P= 99,73% 
Obs.: As aplicações anteriores serão úteis quando for apresentado o estudo da tolerância nos 
levantamentos.
 
Na prática, se o número de observações for grande, pode-se verificar uma 
concordância perfeita com a curva de Gauss, se for marcado em abscissas as grandezas dos 
erros (erros aparentes), e em ordenadas, o número de ocorrências correspondentes. 
y 
-2
 
x
 
+2
 
y 
-3
 
x
 
+3
 
 
13
 
CAPÍTULO 4 
LEI DE PROPAGAÇÃO DE ERROS – FÓRMULA ALGÉBRICA 
4.1 INTRODUÇÃO 
Se a partir de uma relação matemática obtém-se alguma grandeza em função de 
outras que possuem erros, então a grandeza obtida também conterá erros. Assim, por 
exemplo, se for obtido a área de um quadrilátero cujos lados são L1 e L2 com desvio padrão 
1 e 2, então a área obtida terá um desvio padrão A devido a propagação de L1 e L2. 
Com a finalidade de conseguir variâncias (ou desvios padrões) de grandezas 
obtidas assim, indiretamente, faz-se o uso da lei de propagação de erros. 
A lei de propagação de erros (ou variâncias) deve ser recorrida quando deseja-se 
fazer uma análise de erros visando, por exemplo, a realização de uma pré-análise. 
Inicialmente será deduzida a lei de propagação de erros envolvendo apenas
 
grandezas não correlacionadas. 
4.2 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DA LEI DE PROPAGAÇÃO DE ERROS: 
Suponha Y= F(X1, X2) função das grandezas não correlacionadas X1 e X2 de 
desvios padrões conhecidos x1 e x2. Se numa dada medida da série de observações 
tivermos os erros Ex1 e Ex2 nas grandezas X1 e X2, a correspondente função ficará: 
Y+ Ey= F(X1+Ex1, X2+Ex2) 
Desenvolvendo a função F em série de Taylor e desprezando os termos de 2ª 
ordem e superiores, vem: 
E então, como Y= F(X1, X2) 
Que elevando ao quadrado: 
Considerando que as grandezas X1 e X2 foram medidas com várias repetições e 
somando os valores obtidos devido a estas repetições, vem: 
2
2
1
1
21 ),( x
X
F
x
X
F
y EEXXFEY
2
2
1
1
x
X
F
x
X
F
y EEE
2
2
2
21
21
2
1
1
2 .2 x
X
F
xx
X
F
X
F
x
X
F EEEEEy
 
14
 
Mas sendo X1 e X2 não correlacionados, = 0, logo 
Dividindo pelo número de vezes em que as grandezas forma medidas, vem: 
mas 
 
Substituindo: 
Considerando Y como sendo função de m outras grandezas ou Y= F(X1, X2,......,Xm). 
Que é a equação geral da lei de propagação de erros para os casos em que não há correlação 
entre as grandezas medidas.
 
4.3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA LEI DE PROPAGAÇÃO DE ERROS 
1º) Uma distância de aproximadamente 490m deve ser medida com uma trena de 50m 
de comprimento. Sendo que o desvio padrão de cada “trenada” é conhecido e considerado 
igual a d= 5mm. Qual seria o desvio padrão da distância total D? 
A função que relaciona a distância total D ao segmento dado é: 
D= d1+d2+d3+......+d10, logo D=f (d1,d2,d3,......,d10) 
As derivadas parciais, são: 
1
1d
D ; 1
2d
D ; 1
3d
D ;............; 1
10d
D
 
n
i
x
X
F
n
i
xx
X
F
X
F
n
i
x
X
F
n
i
EEEEEy
1
2
2
2
21
21
211
2
1
2
11
2 .2
n
i
xx EE
1
21.
n
i
x
X
F
n
i
x
X
F
n
i
EEEy
1
2
2
2
21
2
1
2
11
2
n
i
x
X
F
n
i
x
X
F
n
i n
E
n
E
n
Ey
1
2
2
2
21
2
1
2
11
2
,
1
2
2
n
i n
Ey
y ,
1
2
1
1
2
n
i n
Ex
x
n
i n
Ex
x
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2 xxy
X
F
X
F
m
Xm
F
X
F
X
F xxxy 2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2 .......
 
15
 
E a equação da lei de propagação dos erros se torna: 
2º) Qual o desvio padrão da área de um lote retangular que tem os seguintes lados: 
 L1 = 30m , L1= 50mm. 
 L2 = 10m , L2= 30mm 
A área pode ser obtida por A=L1.L2 
As derivadas parciais são: 
 e 
 
10
2
2
10
2
2
2
2
1
2
2
1
2 ....... dddD
d
D
d
D
d
D
10
2
2
2
1
22 1.......11 dddD
251.......2512512 D
22 250mmD
mmD 16
 
2
1
L
L
A
1
2
L
L
A
2
2
2
2
1
2
2
1
2 LLA
L
A
L
A
2
22
11
22
2
2 LLLLA
22222 )030,0(30)050,0(10A
810,0250,02 A
222 )(060,1 mA
20296,1 mA
 
 
16
 
n
E
n
i
i
1
2
2
CAPITULO 5 
LEI DE PROPAGAÇÃO DOS ERROS (COVARIÂNCIAS) 
FORMA MATRICIAL 
5.1 INTRODUÇÃO 
5.1.1 COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 
O termo covariância, aqui simbolizado por xy, é usado para denominar uma 
medida numérica da correlação entre duas observações x e y ou entre duas funções medidas. 
Duas medidas (ou funções) são não correlacionadas quando são independentes 
entre si. Por exemplo, numa poligonal os ângulos e distâncias obtidos por diferentes 
instrumentos e métodos cujas fontes de erros são também diferentes. Um outro exemplo seria 
ângulos medidos em diferentes estações de uma triangulação. 
Como exemplo de medidas correlacionadas pode-se citar coordenadas e ângulos 
ou distâncias, um poderá ser obtido do outro. Um outro exemplo, coordenadas x e y de 
estações também de uma poligonal, porque ambas (x e y) podem ser obtidas dos mesmos 
ângulos e distâncias. 
Para o estudo e cálculo da covariância, será estudado anteriormente, um pouco 
mais, a variância e o desvio padrão. 
Suponha que uma grandeza x foi medida n
 
vezes e que somente erros acidentais 
estão influenciando as medidas x1, x2, x3,......... xn. Os valores dos erros individuais serão: 
 Onde x0 é o valor verdadeiro da grandeza medida. 
Os erros acidentais Ei das medidas repetidas ocorrem com igual probabilidade de 
serem positivos (+) e negativos (- ). Se o número de observações for suficientemente grande 
(tendendo a ), a soma dos erros tenderá a zero. 
A variância ( 2 ) das medidas é definida como a média dos quadrados dos erros 
 e o desvio padrão 2
 
0
022
011
.................
xxE
xxE
xxE
nn
 
17
 
1
1
2
2
n
e
n
i
i
Geralmente, porém, o valor verdadeiro da grandeza medida não é conhecido na 
prática e o número de medidas é limitado a um número finito. Para um pequeno número 
(n<30) de repetições adota-se para o cálculo de variância: 
 Sendo e o erro aparente ou 
Suponha duas grandezas correlacionadas x e y, medidas n vezes. Os valores dos 
erros individuais serão: 
1ª GRANDEZA 2ª GRANDEZA 
 
Uma estimativa para a covariância xy de x e y pode ser calculado como sendo 
uma média da soma do produto dos pares de erros escolhidos aleatoriamente nas duas 
grandezas: 
 Combinação x e y para n tendendo ao infinito. 
Se não houver correlação entre x e y então a probabilidade de erros serem (+) ou 
(-) serão iguais e randomicamente distribuídas, e o valor de xy, tenderá a zero para um 
número n suficientemente grande (tendendo ao infinito) 
A fim de avaliar quão forte é a correlação entre duas observações, o coeficiente 
de correlação ( xy ) poderá ser examinado. Este pode ser obtido por: 
Pode-se dizer que: -1 < xy < 1 
 
Se xy
 
= 1, então há uma perfeita relação entre x e y ou, a grandeza y é 
função de x (ou vice-versa) 
 
Se xy
 
= 0, então x e y são não correlacionados (x e y tendem a variar 
juntos). 
xxe ii
0
022
011
....................
xxE
xxE
xxE
nXn
X
X
n
EyEx
n
i
ii
xy
1
)(
0
022
011
....................
YYE
YYE
YYE
nYn
Y
Y
yx
xy
xy
 
18
 
5.1.2 MATRIZ VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA (MVC) 
Suponha inicialmente as grandezas x1, x2, e x3 de variâncias x1
2, x2
2, e x3
2 e 
covariâncias x1x2, x1x3 e x2x3. A matriz quadrada cujas componentes são variâncias e 
covariâncias devidamente dispostas, denomina-se Matriz Variância-Covariância (MVC) 
que é comumente simbolizada por x: 
 ou simplesmente; 
 e numa forma generalizada:A matriz x é simétrica porque ij é igual a ji e também pode ser denominada 
simplesmente de Matriz Covariância, pois a variância é um caso particular da covariância 
para i = j. 
5.1.3 REVISÃO DE ALGUNS ELEMENTOS DE ESTATÍSTICA 
a) Função de distribuição (de probabilidade) acumulada 
A função de distribuição (de probabilidade) acumulada de uma variável 
aleatória x no ponto x é definida por: 
P(x < x ) = F(x) (probabilidade de que a v. a. assuma um valor inferior ou 
igual a x). 
Para o caso de uma variável aleatória discreta a f.d.a. reveste a forma: 
F(xi) = P (x < xi) = , para todo i tal que xi < x. 
3
2
2313
322
2
12
31211
2
xxxxx
xxxxx
xxxxx
X
3
2
2313
322
2
12
31211
2
X
n
X
nn
n
n
2
21
22
2
21
1121
2
...
............
...
....
n
i
ixp
1
)(
 
19
 
b) Esperança Matemática 
Define-se “valor esperado”, “valor médio”, “expectância”, “esperança 
matemática” ou simplesmente esperança da variável aleatória discreta x por: 
No caso de uma variável aleatória contínua, define-se a esperança 
matemática como: 
Se a variável discreta assumir um número finito de valores. 
A média aritmética de n observações pode ser obtida por: 
Se dos r
 
valores distintos, xi ocorrer com uma freqüência nj, a fórmula 
anterior assumirá a forma: 
 sendo a freqüência relativa. 
Se n
 
o fi
 
p(xi) e x E(x) ou quando o tamanho da amostra tende 
para o infinito a média amostral se avizinha da média da população da qual se 
originou. 
c) Variância 
Em relação à esperança matemática é definida como sendo: 
 , que desenvolvendo resulta: 
 
 
1
)()(
i
ixpxixE
dxxfxxE i )()(
n
i
ixpxixE
1
)()(
1
1
i
xi
n
x
r
ij
jj
r
ij
jj fx
n
xn
x
n
n
f jj
22 )()( xExExxVar
222 )()( xExEx 222 )( xxEx
 
20
 
d) Covariância 
Considerando duas variáveis x e y, a covariância que exprime o grau de 
dependência entre as duas variáveis, em relação à esperança matemática pode 
ser obtida por: 
Cov(x,y) = ou após o desenvolvimento 
 
 
Se não houver dependência E(xy) = E(x) . E(y) e xy = 0 
5.2 MATRIZ VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA – MVC 
A matriz variância-covariância já foi apresentada anteriormente, e se apresenta na 
forma: 
 
Esta matriz relaciona variáveis x1, x2, ..., xn que podem estar dispostos num vetor 
 
Simbolizando por Ux como sendo o vetor de E(x) ou 
 
Desenvolvendo a expressão Matricial (X – Ux) . (X – Ux)T obtem-se: 
)()( yyxxExy
)()()( yExExyExy
yxxyExy )(
nnnn
n
n
X
2
21
222
2
21
11211
2
...
............
...
....
nx
x
x
2
1
nn u
u
u
xE
xE
xE
Ux 2
1
2
1
)(
)(
)(
))(())(())((
.......................................................
))(())(())((
))(())(())((
2211
2222221122
1122111111
nnnnnnnn
nn
nn
uxuxuxuxuxux
uxuxuxuxuxux
uxuxuxuxuxux
 
21
 
E daí conclui-se: 
a) x = E{(X – Ux) . (X – Ux)T} e pode-se ver que: 
b) A diagonal da matriz variância-covariância (MVC) é constituída de variâncias 
e os demais elementos são covariâncias. 
c) A MVC é simétrica, pois ij é igual a ji 
d) A variância é um caso particular de covariância para i = j. 
5.3 LEI DE PROPAGAÇÃO DE COVARIÂNCIAS 
Considerando duas variáveis aleatórias y e x, onde y é uma função linear de x. 
Sendo C um vetor mX1 de constantes e G uma 
matriz de coeficientes. 
A Esperança matemática de y é: 
Anteriormente foi visto que pode-se fazer: 
y = E{(Y – Uy) . (Y – Uy)T} , então substituindo I e II nesta equação, vem: 
que desenvolvendo, permite chegar em: 
 que é a Lei de propagação das covariâncias
 
A fórmula anterior á válida para o caso de y= F(x) ser linear. Para o caso de 
função não linear, tem-se que fazer uma linearização usando desenvolvimento de Taylor
 
Assim, se Y = F(x) é não linear, o desenvolvimento de Taylor nos conduz a: 
 onde X0 contém valores aproximados 
 para X 
)})({(
}){()})({(
221112
2
111111
2
11
uxuxE
uxEuxuxE
 
111 CXGY mmnmmI
 
CXEGGxEYEUx }{}{}{II
 
TCxGECGXCxEGCGxEy )(
 
TGXGY
 
0
0
0 XXx
F
xFxFY
X
 
22
 
d1
 
d2
 
d3
 
d4
 
b2
 
b1
 
b4
 
b3
 
Sendo 
4
3
2
1
d
d
d
d
D (Matriz das observações) 
Os elementos da matriz D são resultantes da aplicação dos valores aproximados 
de x nas derivadas parciais. 
Para esta função, não linear, com a aplicação da linearização de Taylor, por um 
desenvolvimento idêntico da aplicação da lei de propagação das covariâncias, chega-se em: 
5.4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA LEI DE PROPAGAÇÃO DAS 
COVARIÂNCIAS NA FORMA MATRICIAL 
1º) As observações das direções di (figura) conduziu aos seguintes resultados: 
 
 ij
2 = 
a) Calcular a matriz variância-covariância dos ângulos bi 
b) Calcular o coeficiente de correlação entre os ângulos (b1 e b2; b1 e b3; b3 e b4; 
e b1 e b4) 
nm
n
mmm
n
n
X
D
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
F
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
0
 
TDXDY
 
3”2 para i=j 
0 para i 
 
j 
 
 
23
 
Do enunciado já se pode observar que a MVC das direções é: 
As equações envolvidas são: 
A matriz G dos coeficientes será: 
 
 O sistema na forma matricial é: B = G. D 
Ou 
A MVC de B (ou dos ângulos) será: 
Então: 
"3000
0"300
00"30
000"3
D
234
143
132
121
ddb
ddb
ddb
ddb
 
0110
1001
0101
0011
G
4
3
2
1
0110
1001
0101
0011
4
3
2
1
d
d
d
d
b
b
b
b
TGDGB
2)("
6033
0633
3363
3336
0100
1010
1001
0111
0330
3003
0303
0033
0100
1010
1001
0111
"3000
0"300
00"30
000"3
0110
1001
0101
0011
B
B
B
 
24
 
00 4343 bbbb
b) Calcular o coeficiente de correlação entre os ângulos: 
 b1) b1 e b2 
 Da Matriz B pode-se tirar: 
Há correlação entre b1 e b2, pois b1b2 
 
0 (ou b1 e b2 tendem a variar juntos e 
no mesmo sentido; para + ou para -) 
 b2) b1 e b3 
 e temos: 
 (idem) 
 
b3) b3 e b4 
 mas 
 logo, não há correlação entre b3 e b4 
b4) b1 e b4 
 e temos: 
 logo, há correlação entre b1 e b4 ou b1 e b4 tendem a variar juntos e em sentido 
contrário (uma para + e outra para -) devido o coeficiente ser negativo. 
21
21
21
bb
bb
bb
43
43
43
bb
bb
bb
41
41
41
bb
bb
bb
3
66
66
41
4
2
4
1
2
1
bb
bb
bb
5,0
2
1
6
3
66
3
31bb
31
31
31
bb
bb
bb
3
66
66
31
3
2
3
1
2
1
bb
bb
bb
5,0
2
1
6
3
66
3
31bb
5,0
2
1
6
3
66
3
3
66
66
21
21
2
2
2
1
2
1
bb
bb
bb
bb
 
25
 
CAPITULO 6 
O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS E OS PESOS NAS OBSERVAÇÕES
 
6.1 O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
Como já foi comentado anteriormente, quando se realiza um número redundante 
de observações, necessita-se realizar um ajustamento de observações a fim de que as 
observações se tornem consistentes e a solução seja única. Entre as diferentes alternativas ou 
métodos que podem fornecer a solução, o método dos mínimos quadrados é o aceito como 
melhor por satisfazer diversos requisitos estatísticos ( é uma solução de variância mínima, éuma solução de máxima verossimilhança, etc...) 
O método dos mínimos quadrados (M. M. Q.) tem como princípio: a soma 
dos quadrados dos resíduos deve ser mínima. 
Assim, tendo-se n
 
observações, e sendo que cada observação possua um resíduo 
v
 
, o princípio diz: 
 
= v1
2 + v2
2 + …+ vn
2 = sendo V um vetor que contém 
os resíduos V = [v1, v2, v3,…, vn]
T. 
Se as n
 
observações forem obtidas com diferentes níveis de confiabilidade 
necessário se torna a introdução de uma ponderação, ou seja, um peso; e nesse caso o 
M.M.Q. se apresenta como: 
 
= v1
2 p1+ v2
2 p2+ …+ vn
2 pn = 
Admitindo-se que para um problema se possa formular um modelo matemático 
11 LXA nuun
 
sendo n
 
o número de observações e u
 
o número de equações. Algebricamente 
o modelo seria: 
Se o vetor L contiver elementos oriundos de observações (neste caso 
normalmente utiliza-se o símbolo Lb), o modelo matemático seria inconsistente devido ao 
fato das observações possuírem erros que são inevitáveis. 
,
1
2 mínimoVVv T
n
i
i
.
1
2 mínimoPVVpv T
n
i
ii
)(....
...........................................................
...........................................................
)(....
)(....
32211
22222222121
11112121111
clxaxaxa
blxaxaxa
alxaxaxa
nununnnn
uu
uu
 
26
 
As correções (ou resíduos) a serem introduzidos nas observações para remover a 
inconsistência devem ser obtidas a partir da aplicação do método dos mínimos quadrados. 
Assim: ab LVLXA ˆ e 
Aplicando o M.M.Q. : 
 
= VT.V = 
Para ser mínimo a primeira derivada de 
 
tem que ser igual a zero. 
Para melhor compreensão do desenvolvimento acima proposto, faz-se necessário 
conhecer algumas propriedades aplicadas às matrizes. 
1ª) (A + B – C)T = AT + BT – CT 
2ª) (A.B.C)T = CT . BT . AT 
3ª) 
4ª) 
Desenvolvimento 
 
= VT.V = 
Então: 
Logo: 
Esta última equação matricial representa o conjunto de u equações normais
 
e u 
incógnitas. A solução do sistema é única e satisfaz o princípio dos mínimos quadrados. 
Qualquer método de resolução de sistemas de equações poderá ser utilizado, 
porém a solução por inversão de matrizes apresenta alguma vantagem, conforme será visto 
posteriormente. 
Assim: 
Se as observações forem feitas com desigual confiança, aplica-se o M.M.Q. 
considerando a matriz Peso (P), ou: 
 
= VT.P.V = e procedendo de forma 
análoga à anterior, chega-se em: 
bLXAV ˆ
mínimoLXALXA b
T
b )ˆ()ˆ(
02ˆ2
ˆ b
TT LAXAA
X
0ˆ b
TT LAXAA
b
TT
b
TTTT
b
TT
LAAAX
LAAAXAAAA
LAXAA
1
11
)(ˆ
)(ˆ)(
ˆ
mínimoLXAPLXA b
T
b )ˆ()ˆ(
AY
X
AYX T
AX
X
AXX T
2
mínimoLXALXA b
T
b )ˆ()ˆ(
 
27
 
A
 
Considerando-se observações com igual confiabilidade, ou seja, matriz Peso 
igual à matriz identidade, o modelo matemático matricial poderá ser 
apresentado algebricamente da forma a seguir, onde se consideram n equações e apenas três 
incógnitas: 
Uma vez estabelecido um problema, pode-se montar as equações envolvidas, e 
então se estas forem lineares a solução que atende o M.M.Q. poderá ser obtida simplesmente 
seguindo-se o raciocínio anteriormente elucidado. Não sendo as equações lineares, antes de 
aplicar o método, estas deverão ser linearizadas, conforme será estudado à frente. 
Os diferentes tipos de problemas que aparecem, podem ser subdivididos em 
função de suas características, ou seja, do tipo de modelo matemático definido pelas 
equações envolvidas, dando origem aos chamados métodos de ajustamento e que serão 
melhor estudados nos próximos capítulos. 
A seguir, será feito um exemplo numérico de aplicação do M.M.Q. ainda numa 
forma geral sem definir o método de ajustamento a ser utilizado. 
Exemplo numérico: 
 
Na figura acima as distâncias AB, BC, CD, AC e BD forma medidas e os valores 
observados foram 100,000m; 100,000m; 100,080m; 200,040m e 200,000m; respectivamente. 
Todas as medidas são não correlacionadas e têm a mesma precisão. Se as medidas forem 
ajustadas de acordo com o princípio dos mínimos quadrados, qual será o resultado da 
distância ajustada entre A e D? 
Solução:
 
Com as distâncias AB, BC e CD que serão simbolizadas por x1, x2 e x3 já se teria 
a distância AD desejada, porém foram realizadas cinco medidas de distâncias, logo se tem 
0ˆ b
TT PLAXPAA
0ˆ b
TT LAXAA
0
0
0
3333223113
2332222112
1331221111
biiiiiiii
biiiiiiii
biiiiiiii
laxaaxaaxaa
laxaaxaaxaa
laxaaxaaxaa
L5
 
= 200,000m 
L4
 
= 200,040m 
L1
 
= 100,000m L2
 
= 100,000m L3
 
= 100,080m 
A
 
B
 
C
 
D
 
 
28
 
duas observações redundantes. Para cada observação se pode formular uma equação 
envolvendo as grandezas ajustadas x1
a, x2
a e x3
a. 
 ou 
 ou 
ou 
ou 
ou 
Aplicando o M.M.Q. tem-se que a soma do quadrado dos resíduos deve ser 
mínima então: 
 
= v1
2 + v2
2 + v3
2 + v4
2 + v5
2 = mínimo 
=( 000,1001
ax )2 + ( 000,1002
ax )2 + ( 080,1003
ax )2 + ( 040,20021
aa xx )+ 
+ ( 000,20032
aa xx )2 = mínimo 
Para minimizar , suas derivadas parciais com relação a cada uma das distâncias 
x1
a, x2
a e x3
a devem ser iguais a zero 
Desenvolvendo e rearranjando, as três equações se tornam: 
2x1
a + x2
a = 300,040 (a) 
 x1
a + 3x2
a + x3
a = 500,040 (b) 
 x2
a + 2x3
a = 300,080 (c) 
As três equações anteriores que possuem três incógnitas, formam um sistema de 
equações normais que uma vez resolvido, fornecerá resultados consistentes. 
Em se tratando de apenas três equações e do tipo como as anteriores, a resolução 
pode ser feita, devido a facilidade, inclusive por meio de substituições de umas nas outras, 
ou: 
Dividindo (a) por 2 e subtraindo de (b) vem: 
2,5x2
a + x3
a = 350,020 e 
 x3
a = 350,020 – 2,5 x2
a 
aa
aa
a
a
a
xxvl
xxvl
xvl
xvl
xvl
3255
2144
333
222
111
000,200
040,200
080,100
000,100
000,100
325325
214214
3333
2222
1111
aaaa
aaaa
aa
aa
aa
xxlxxv
xxlxxv
xlxv
xlxv
xlxv
0000,2002080,1002
0000,2002040,2002000,1002
0040,2002000,1002
323
3
32212
2
211
1
aaa
a
aaaaa
a
aaa
a
xxx
x
xxxxx
x
xxx
x
 
29
 
substituindo na (c ) vem: 
 x2
a = 99,990m Logo: x3
a = 100,045m e x1
a = 100,025m 
então, a distância ajustada entre A e D é: AD = x1
a + x2
a + x3
a = 300,060m. 
6.2 PESO NAS OBSERVAÇÕES 
O peso de uma observação é a confiança relativa de um valor observado 
comparado com algum outro valor. Em outras palavras, pesos são estimativas ou expressões 
das confianças relativas das observações. Uma grande precisão é indicada por um pequeno 
desvio, implicando uma boa observação e um peso grande. 
A expressão geral do peso é dada por: onde 
 
0
2 é um valor igual à 
variância de uma observação cujo peso é considerado unitário, e 
 
i
2 é a variância da 
observação i. 
O peso de uma observação, é portanto, inversamente proporcional ao quadrado 
do desvio padrão correspondente. Assim, tendo-se L1, L2, L3,…, Ln observações, de padrões 
 
1, 
 
2,…, 
 
n, os pesos serão: 
2
1
2
0
ip ; 2
2
2
2
0p ....... 
2
2
n
np
0
 
logo: p1
 
1
2 = p2
 
2
2 = ..... = pn
 
n
2 = 0
2 
Pode-se, portanto, atribuir a uma observação um peso qualquer e calcular os 
pesos dos demais. 
6.2.1. Matriz dos Pesos 
Seja a matriz variância-covariância X relativa às grandezas dos elementos de X. 
Atribuindo a um dos seus componentes o peso unitário e designando por 0
2 o valor 
correspondente à variância dessa componente. 
A matriz dos pesos relativos aos elementos de X, que é simétrica, poderá ser 
obtida por: Px = 0 
2 
X
-1 
2
2
i
ip
0
 
 
30
 
No caso das componente de x
 
serem independentes entre si, a matrizvariância-
covariância X será diagonal, e a matriz dos pesos que também será diagonal, terá como 
elementos da diagonal 
2
2
0
1
xii
iip
 
6.2.2 Casos Particulares na Atribuição de Pesos 
6.2.2.1 Peso no Nivelamento 
Os pesos são inversamente proporcionais ao comprimento das seções a serem 
niveladas. Assim, quanto maior a seção a ser nivelada menor será o peso. 
6.2.2.2 Peso nas medidas angulares 
Os pesos são proporcionais ao número de vezes em que os ângulos são medidos. 
6.2.3 Considerações sobre a Atribuição de Pesos 
Como se pode ver, a atribuição de pesos, em geral, não deve ser feita 
simplesmente pelo fato do número de repetições ser diferente, mas sim considerando-se 
outras causas diversas, como: que instrumento(s) foi(am) utilizado(s)? Qual(is) 
operador(es)? Em que condição(es) ambiental(is)? 
Assim, verifica-se que a atribuição de pesos não é tão simples como pode 
parecer, é um campo ainda cheio de dúvidas e tido como um dos mais complexos no 
ajustamento de observações. 
 
31
 
CAPITULO 7 
MÉTODOS DE AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES
 
7.1 MÉTODO DOS PARÂMETROS 
No caso de observações indiretas, deseja-se estimar grandezas que se vinculam às 
grandezas observadas através de algum modelo matemático. Para distinguir estes dois tipos 
de grandezas é usual denominar as primeiras, ou observações indiretas de PARÂMETROS, o 
que explica a denominação de MÉTODO PARAMÉTRICO. 
Assim: Parâmetros são grandezas que não podem ser obtidas diretamente, e como 
exemplo tem-se coordenadas, áreas, etc... 
7.1.1. Obtenção de grandezas observadas 
EQUAÇÃO DE OBSERVAÇÃO:
 
O modelo matemático para o ajustamento pelo 
método dos parâmetros é o seguinte: 
onde La 
 
é um vetor (nX1) dos valores observados ajustados; 
 Xa 
 
é um vetor (mX1) dos parâmetros ajustados. 
Como se vê, os valores observados ajustados são expressos explicitamente como 
uma função dos parâmetros ajustados. 
Através das operações do ajustamento aplicando o método dos mínimos 
quadrados, obtém-se as observações ajustadas. 
 
 onde Lb 
 
é um vetor (nX1) dos valores observados; 
 V 
 
é um vetor (nX1) dos resíduos (ou correções) que transformam os 
valores observados brutos (Lb) em valores ajustados (La). 
E os parâmetros ajustados: 
 
 onde X0 
 
é um vetor (mX1) cujas componentes são valores aproximados dos 
parâmetros; 
 X 
 
é um vetor (mX1) das correções que convertem os parâmetros 
aproximados (X0) em parâmetros ajustados (Xa). 
 
)( aa XFL
VLL ba
XXX a 0
 
32
 
Das equações La = Lb + V e La = F(Xa) pode-se fazer: Lb + V = F(Xa). 
Linearizando F(Xa) pela fórmula de Taylor, vem: 
Lb + V = F(Xa) = F(X0 + X) = F(X0) + 
0XXaa
X
F
 
Fazendo F(X0) = L0 , ou seja, chamando de L0 o vetor (nX1) resultante da 
aplicação nas funções F dos valores aproximados dos parâmetros X0. 
Chamando de A a matriz (nxm) (sendo n
 
o número de observações e m
 
o número 
de parâmetros), resultante da aplicação dos valores aproximados dos parâmetros X0 nas 
derivadas parciais, ou 
Pode-se escrever: Lb + V = L0 + AX V = AX + L0 - Lb 
Fazendo L = Lo – Lb obtém-se o modelo matemático linearizado do método dos 
parâmetros:
 
 
Esta última equação sintetiza, na realidade, sob a forma matricial, n
 
equações de 
observações, ou: 
Os elementos da matriz dos coeficientes A, de n
 
linhas e m
 
colunas, são 
representados por: 
 para i = 1,2,3...., n e 
 j = 1,2,3...., m 
Algebricamente, a primeira linha do sistema de equações representado 
matricialmente atrás, poderá se escrever: 
112121111 .... lxaxaxav mm e o mesmo ocorrerá com as outras linhas. 
0XXaa
mn X
F
A
 
 V = AX + L 
nm
Xoam
n
a
n
a
n
amaa
amaa
n l
l
l
x
x
x
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
v
v
v
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
aj
i
ij x
F
a
 
33
 
A solução pelo método dos mínimos quadrados é obtida fazendo-se 
VTPV = min,, onde P
 
é a matriz dos pesos das observações. 
Então: 
 
= VTPV = (AX + L )T. P. (AX + L) = min. 
 
 
= (XTAT +LT ).P.(AX + L) 
 
 
= XTATPAX + XTATPL + LTPAX + LTPL 
 
 
= XTATPAX + 2XTATPL + LTPL = min 
igualando a zero a primeira derivada em relação a X tem-se: 
022 PLAPAXA
X
TT 
ou é comum fazer: N = ATPA e U =ATPL 
e então 
Tem-se assim um novo sistema de equações, que é denominado SISTEMA DE 
EQUAÇÕES NORMAIS e cuja solução atende o princípio do método dos mínimos 
quadrados. 
A matriz N é quadrada (m x m) e simétrica. 
Para obtenção do vetor das correções X, pode-se resolver o sistema por qualquer 
método de resolução disponível, porém fazendo a resolução utilizando-se a inversão da 
matriz N, alguma vantagem se terá, conforme será elucidado posteriormente, então se: 
NX + U = 0 
 
NX = -U e X = -N-1U ou 
e assim com os valores dos elementos do vetor X, pode-se converter os parâmetros 
aproximados em ajustados por: Xa = X0 + X 
De posse dos parâmetros ajustados poder-se-á também obter as observações 
ajustadas utilizando-se La = F(Xa) ou calculando-se os resíduos V e aplicando em La=Lb + V 
ATPAX +ATPL = 0 
NX + U =0
 
X = -(ATPA)-1ATPL 
 
34
 
7.2. OBTENÇÃO DA PRECISÃO DAS GRANDEZAS OBSERVADAS OU MATRIZ 
VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA NO AJUSTAMENTO PELO MÉTODO PARAMÉTRICO. 
Antes do ajustamento necessita-se estimar a precisão das medidas para compor a 
MVC dos valores observados ( Lb) e, a partir do peso a priori 0
2, chegar à matriz dos 
pesos: 
 
Após o ajustamento pode-se obter a MVC das variáveis aleatórias envolvidas no 
processo: X, Xa , La 
7.2.1. MVC DAS CORREÇÕES ( x) 
Para isto faz-se o seguinte: 
X = -N-1ATPL = -N-1ATP(L0 – Lb) 
X = -N-1ATPL0 + N-1ATPLb 
Aplicando a lei de propagação de covariância: 
x = G. Lb.G
T com G = N-1AP e fazendo o desenvolvimento chega-se em: 
7.2.2. MVC DOS PARÂMETROS
 
( xa) 
Na equação Xa = X0 + X o vetor X0 é constante, então 
7.2.3. MVC DOS VALORES OBSERVADOS AJUSTADOS ( La): 
La = Lb + V = Lb +AX + L = Lb + AX + L0 – Lb 
 
La = AX + L0 
Aplicando a Lei de Propagação: La = A. X. A
T 
La = 0
2 .A.N-1AT 
P = 0
2
 
. Lb
-1
 
x = 0
2 .N-1
 
xa = x = 0
2 .N-1
 
 
35
 
7.2.4. VARIÂNCIA DA OBSERVAÇÃO DE PESO UNITÁRIO: 
 7.2.4.1. Escolha de 
 
0
2 a priori 
Para iniciar o ajustamento necessita-se conhecer a matriz dos pesos das 
observações: 
A variância da unidade de peso 0
2 é dita a priori e costuma ser adotada pelo 
calculista. 
 7.2.4.2. Variância a posteriori 20ˆ
 
Após o ajustamento pode-se estimar um valor 20ˆ
 
em função dos resíduos. A 
esse 20ˆ
 
denomina-se variância da unidade de peso a posteriori . 
O valor estimado de 20ˆ
 
pode ser obtido pela fórmula: 
 
 sendo n 
 
nº de observações 
 m 
 
nº de parâmetros 
 
O 20
 
a priori deve ser comparado ao 20ˆ
 
a posteriori e até deve ser realizado o 
teste de hipótese aplicando x2 (qui-quadrado). 
No caso de 20ˆ
 
e 20
 
serem significativamente diferente, deve-se proceder uma 
análise cuidadosa do ajustamento. Pode haver erro na MVC dos valores observados, ou 
podem os resíduos estar excessivamente grandes em decorrência de uma falta grosseira ou de 
erros sistemáticos; pode o modelo matemático não ser consistente com as observações, etc. 
P =
 
0
2 Lb
-1
 
mn
PVV T2
0
 
 
36
 
7.3 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DOS PARÂMETROSSão conhecidas as coordenadas dos vértices P1, P2, P3 e P4 e foram observadas 
as distâncias dos mesmos a uma estação desconhecida P, bem como o ângulo : 
 
Caderneta de campo com ângulo e distâncias observadas com o respectivo desvio 
padrão: 
Lb
 
distância (m) 
 
Lb1 
Lb2 
Lb3 
Lb4 
Lb5 
244,512 
321,570 
773,154 
279,992 
0,012 
0,016 
0,038 
0,014 
2,0’’ 
ângulo 
123º38’01,4’’ 
 
SOLUÇÃO: 
a) Estabelecimento de Equações (ou modelo matemático) 
Como parâmetros têm-se as coordenadas ajustadas da estação P, logo 
- O vetor dos parâmetros ajustados é: 
- O vetor das observações ajustadas é: 
a
a
a
a
a
a
l
l
l
l
l
L
5
4
3
2
1 
E como equação para cada observação tem-se: 
 
x(m)
 
y(m)
 
P1
 
842,281 925,523 
P2
 
1.337,544
 
996,249 
P3
 
1.831,727
 
723,962 
P4
 
840,408 658,345 
 
P4
 
P2
 
P1
 
P3
 
l1
 
l2
 
l3
 
l4
 
P 
 
Calcular as coordenadas 
ajustadas da estação P 
a
a
y
x
Xa
 
37
 
b) Modelo linearizado 
As equações devem ser linearizadas aplicando TAYLOR e então chega-se em 
equações na forma: AX + L = V 
b1) – Cálculo de L L =L0 – Lb = F(X0) - Lb 
Para obtermos L0 = F(X0) precisa-se obter valores aproximados para os 
parâmetros ou seja coordenadas do ponto P. 
Consideremos os seguintes valores: X0 = 
0
0
2,825
2,1065
y
x 
l2
0 = 321,60382 
l3
0 =773,18353 
l4
0 =279,95006 
l5
0 =
2,825523,925
2,1065281,842
2,825249,996
2,1065544,1337 11 tgtg 
 l5
0 = 123º38’19,87’’ 
 Então: L = L0 – Lb = 
 b2) Cálculo da Matriz 5A2 
´ 
a
a
a
aba
aiaii
b
i
a
i
yy
xx
tg
yy
xx
tgvll
iyyxxvll
1
11
2
21
555
2
1
22 4e3,2,1para))()((
myyxxl ii 65,453.244))()((
2
1
2
0
2
0
0
1
''47,18
04194,0
02953,0
03382,0
05835,0
"4,01'38º123
992,279
154,773
570,321
512,244
''87,19'38º123
95006,279
18353,773
60382,321
45365,244
Xo
aa
aa
aa
Xoa
ya
l
xa
l
ya
l
xa
l
ya
l
xa
l
X
F
A
55
22
11
 
38
 
2
1
1
2
2
25
2
1
1
2
2
25
1
1
4 e 1,2,3 i para 
aa
a
aa
a
a
a
a
a
l
xax
l
xax
ya
l
l
yay
l
yay
xa
l
li
yayi
ya
l
li
xaxi
xa
lsendo: 
 
Aplicando “no ponto” xa = xo e ya = yo 
573787,312.1163394,5
596017,0802972,0
130937,0991391,0
531862,0846831,0
410397,0911907,0
A :então e
''573787,131200636354,0
'5,163394' 0000250.0
45365,244
2,1065281,842
603816,321
2,1065544,1337
596017,0 802972,0
130937,0 991391,0
531862,0 846831,0
410397,0
45365,244
2,825523,925
911907,0
45365,244
2,1065281,842
25
5
22
5
44
33
22
1
11
1
11
rd
ya
l
rd
xa
l
ya
l
xa
l
ya
l
xa
l
ya
l
xa
l
l
yy
ya
l
l
xx
xa
l
Yo
a
Xo
a
Yo
a
Xo
a
Yo
a
Xo
a
Yo
a
Xo
a
a
o
Yo
a
a
o
Xo
a
 
39
 
c) Matriz dos Pesos 
Como já se viu anteriormente: 
Considerando as observações independentes entre si, a MVC se reduz a uma 
matriz diagonal, cuja inversa pode ser obtida tomando na diagonal principal o inverso da 
variância de cada observação e fazendo ainda o
2 = 1: 
d) Equações Normais 
Como foi visto anteriormente: NX + U = ATPAX+ATPL = 0 
 X = -N-1.U 
Fazendo as devidas multiplicações, chega-se em: 
014281,0
055400,0
.- X então e
984978,031.6
618710,649
00000230,000000059,0
00000059,000007981,0
:se- teminversa a oEncontrand
54110,811.43404304,208.3
04304,208.301960,553.12
1
1
UN
PLA
PAA
PAAN
T
T
T 
e) Parâmetros Ajustados 
a
a
a
y
x
XXX
1867,825
2554,1065
01281,02,825
055400,02,1065
0 
12
0 bLP
2
2
2
2
2
20000
0014,0000
00038,000
000016,00
0000012,0
P
 
40
 
CAPITULO 8 
8.1 MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO OU DOS CORRELATOS 
O método das equações de condição (ou dos correlatos) não envolve parâmetros, 
o modelo matemático é função dos valores observados ajustados. Como exemplo clássico de 
aplicação deste método tem-se quando são medidos os três ângulos de um triângulo, e estes 
deverão satisfazer a uma equação matemática conhecida, ou seja, os valores observados, 
depois de ajustados, deverão satisfazer ao modelo matemático: 
 Triângulo plano Triângulo esférico 
 (A)a + (B)a + (C)a – 180º = 0 (A)a + (B)a + (C)a – (180º+ ) = 0 
Em se tratando de valores simplesmente observados, é sabido que: 
(A) + (B) + (C) – 180º 
 
0 (T. plano) 
(A) + (B) + (C) – (180º+ ) 
 
0 (T. esférico) 
Por este exemplo já dá para se ver que as observações deverão ser tratadas ou 
ajustadas, a fim de satisfazer a condição matemática. 
O modelo matemático que caracteriza observações condicionadas, na forma 
matricial é: 
 
onde F simboliza r 
 
funções e o vetor La tem dimensão n x 1. 
Assim tendo-se como resultado n
 
observações ajustadas, que podem ser obtidas 
por: 
 então: 
 
aplicando a aproximação linear da série de Taylor em forma matricial, vem: 
 F(La) = F(Lb + V) = F(Lb) + 0V
L
F
bLa 
A
 
B
 
C
 
A
 
B
 
C
 
F(La) = 0 
La
 
= Lb
 
+ V
 
F(Lb
 
+ V) = 0
 
 
41
 
BV + W 
A função F(Lb) dos valores observados, tem o significado de um erro de 
fechamento e será simbolizado por W. 
Chamando de B a matriz r x n (sendo r o número de equações e n o número de observações) 
resultante da aplicação dos valores observados Lb nas derivadas parciais, ou: 
E aí se pode escrever que é modelo linearizado do método dos correlatos, 
representativo de r
 
equações de condição transformadas, ligando n
 
incógnitas vi. 
Esta última equação sintetiza, na realidade, sob a forma matricial, n equações de 
observações, ou: 
Para que as incógnitas se subordinem no M.M.Q e ao mesmo tempo satisfaçam 
às equações de condição, utiliza-se a técnica lagrangiana em forma matricial definindo a 
função 
 
: 
sendo K o vetor (r x 1) dos “multiplicadores de Lagrange” (ou “correlatos”) 
Igualando a zero as derivadas parciais em relação a V e a K tem-se: 
W = F(Lb) 
B= 
bLa
L
F
 
0
0
0
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
nn
Lban
r
a
r
a
r
anaa
anaa
w
w
w
v
v
v
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
L
F
 
= VTPV - 2KT(BV + W) = mínimo 
0 0)(2
0 022
WBVWBV
K
KBPVKBPV
V
TT
 
42
 
A primeira das equações matriciais anteriores: 
I) nPn . nV1 - nB
T
r . rK1 representa n equações algébricas 
A segunda representa r equações algébricas lineares. 
II) 
Resolvendo ( I ) em relação a V ou V = P-1BTK
 
e introduzindo este vetor na ( II) 
B.P-1 BTK + W = 0, obtém-se a equação matricial representativa do sistema de r equações 
normais que proporciona os r multiplicadores de Lagrange (correlatos): 
 
 Ou K = -M-1.W com M = BP-1BT 
Uma vez obtido o vetor dos correlatos K, chega-se no vetor dos resíduos com 
Com os resíduos conhecidos, pode-se então chegar nas observações ajustadas: 
 
8.2 M.V.C. dos Valores observados ( La) 
Sem apresentar as deduções, por serem um pouco extensas, mas ciente de que é 
resultado de aplicação da lei de propagação de covariâncias às equações envolvidas, a 
M.V.C. das observações ajustadas poderá ser obtida utilizando-se: 
11112
0 ... PBMBPPL
T
a lembrando que M = BP
-1BT
 
Pode-se reescrever a equação anterior da seguinte forma: 
1112
0 .. PBMBIPL
T
a
 
Sendo I uma matriz identidade, mas pode-se ver que Lb = 
12
0 P , logo: 
11 .. PBMBILL Tba 
Assim vê-se que a segunda parte desta última equação representa umamelhoria 
às precisões, introduzida com o ajustamento. 
rBn
 
. nV1
 
+ rW1
 
= 0
 
WBPBK T .).( 11
 
V = P-1BTK 
 La = Lb + V 
 
43
 
VARIÂNCIA DA OBSERVAÇÃO DE PESO UNITÁRIO A POSTERIORI (
2
0ˆ ) 
O valor estimado de 20ˆ
 
pode ser calculado com a fórmula: 
sendo r o número de equações de condição. 
Pode-se demonstrar que VTPV = -KTW 
 
r
PVV T2
0
 
 
44
 
 8.3. DESENVOLVIMENTO ITERATIVO DO MÉTODO CONDICIONADO 
O método condicionado é uma função apenas dos valores observados ajustados, 
sendo que o modelo matemático para a i-ésima interação é: (*) 
Com o desenvolvimento interativo, o vetor Lb, dos valores observados, deverá ser 
melhor após cada interação. Então: 
A equação (*) linearizada por Taylor é: 
F(Lai) = F(Lai-1 + Vi) = F(Lai-1) + 0)(
1
1
i
i
i
aia
Laa
LL
L
F 
Onde: i
Laa
B
L
F
i
i
1
 e F(Lai-1) = Wi 
E então Bi .Vi + Wi = 0 
 Após aplicar o M.M.Q, vem: WBPBK T .).( 11 e V = P-1BTK 
e os valores ajustados são: iaa VLL ii 1 
Observações:
 
a) A matriz Bi deve ser recalculada para cada interação, tomando o valor da derivada 
parcial no ponto observado ajustado melhorado (Lai-1). 
b) O vetor do erro de fechamento Wi, também deve ser recalculado para cada interação 
tomando o valor de Lai-1. 
c) Quando Lai = Lai-1 ocorrerá a convergência, e então Vi = 0 e conseqüentemente 
F(Lai) = 0. 
d) A MVC dos valores observados ajustados será: 
F(Lai) = 0
 
 e 
11 iaaab
VLLLL
iii
11112
0 ... PBMBPPL ii
T
ia
 
45
 
8.4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DOS 
CORRELATOS OU DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO 
Ajustamento de uma rede de nivelamento geométrico pelo método das equações de condição. 
Obs: As setas do esquema indicam o sentido em que o terreno se eleva 
SOLUÇÃO
 
1) O número de observações são nove (n= 9 ) (desníveis medidos) e o número de pontos 
cujas altitudes não são conhecidas (incógnitas) são cinco (u = 5), então o número de 
equações de condição r = n – u = 4. Assim, devem ser formuladas 4 equações de condição 
independentes entre si. 
Assim, devem ser formuladas 4 equações de condição independentes entre si. 
Dentre as várias possibilidades sejam por exemplo: 
0
0
0)(
0)(
6743
532
879
8621
aaaa
aaa
AB
aaa
cB
aaaa
llll
lll
hhlll
hhllll 
As equações de condição transformadas se escrevem: 
lb1+v1 + lb2+v2 + lb6+v6 + lb8+v8 – (hB - hC) = 0 
v1+v2+v6+v8+ [lb1+lb2+lb6+lb8 - (hB - hC)] = 0 
 logo, v1+v2+v6+v8+w1 = 0 
Esquema da rede 
Altitudes conhecidas
 
hA = 33,831m 
hB = 19,316m 
hC = 2,791m 
 
A 
B 
C 
l8 
l9 
l7 
l6 
l3 
l4 
l5 
l1 
l2 
Desníveis Observados 
 Linha h = Lb
 
comprimento
 
l1
 
10,038 m 1,14 km 
l2
 
 8,297 2,84 
l3
 
 1,949 3,21 
l4
 
-5,217 6,03 
l5
 
10,244 6,75 
l6
 
 1,562 0,84 
l7
 
 4,837 2,94 
l8
 
-3,370 2,01 
l9
 
-15,979 5,28 
 
 
46
 
Por um desenvolvimento análogo chega-se nas outras equações. E as equações 
são: 
v1+v2+v6+v8+w1 = 0 
v9+v7+v8 +w2 = 0 BV + W = 0 
v2+v3-v5 +w3 = 0 
v3+v4+v7-v6+w1 = 0 
O modelo sendo linear os coeficientes dos resíduos já representam as derivadas 
parciais, resultando: 
001101100
000010110
111000000
010100011
94 B 
O vetor dos erros de fechamento: 
.)(
7
2
3
2
)(
)(
)(
6743
532
879
8621
mm
llll
lll
hhlll
hhllll
LFW
bbbb
bbb
CBbbb
CBbbbb
b
 
2) Equações Normais 
MK + W = 0 
 
K = - M-1W, sendo M = BP-1BT 
Já são conhecidas as matrizes W e B; para escrever a Matriz dos pesos, admite-se: 
a) que as observações são independentes (a matriz será diagonal); 
b) que os pesos são inversamente proporcionais aos comprimentos das linhas; 
c) admitir a variância da unidade de peso a priori 0
2 = 1 
 
47
 
3) Cálculo do vetor dos resíduos 
 V = P-1 BT K 
57,0
07,0
06,0
37,0
094,0031,0034,0035,0
031,0097,0019,0050,0
034,0019,0117,0046,0
035,0050,0046,0185,0
02,1321,394,284,0
21,380,12084,2
94,2023,1001,2
84,084,201,283,6
0094,284,0003,621,300
000075,6021,384,20
28,501,294,2000000
001,2084,000084,214,1
280,500000000
001,20000000
0094,2000000
00084,000000
000075,60000
0000003,6000
00000021,300
000000084,20
0000000014,1
1
1
1
1
WMK
M
BBPM
BP
p
T
 
48
 
4) Desníveis ajustados 
5) Variância da unidade de peso a posteriori 
6) Verificações 
As equações de condição, tanto naturais como transformadas, prestam-se as 
verificações, as primeiras mediante os desníveis ajustados e as segundas mediante os 
resíduos. Por exemplo: 
 16,5251 = 16,525 
O mesmo poderia ser feito com as outras equações. 
(mm.) 
3,0
9,0
8,1
2,0
5,0
4,3
6,1
8,0
4,0
P V 
0028,50
0001,201,2
94,2094,20
84,00084,0
075,600
03,6000
21,321,300
084,2084,2
00014,1
1-1 KBBP TT
9793,15
3709,3
8352,4
5622,1
2435,10
2204,5
9474,1
2962,8
0376,10
VLL ba
r
PVV T2
0
 
77,4
7
2
3
2
57,007,006,037,0KTWVTPV
525,163709,35622,12962,80376,10
8621 cBaaaa hhllll
 
49
 
7) Altitudes 
As altitudes das estações novas são obtidas das altitudes fixas somando-se os 
respectivos desníveis ajustados, independentemente do “caminho percorrido”; assim: 
hr = hc +l1a = 2,791 + 10,038 = 12,829 ou 
hr = hb – l8a –l6a –l2a = 12,829 etc. 
8) MVC das observações ajustadas: La = Lb [I – BT M-1B P-1]