Capítulo 1 - Percolação nos Solos

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FACULDADE DE ENGENHARIAS, ARQUITETURA E 
URBANISMO E GEOGRAFIA – FAENG 
 
 
 
DISCIPLINA: OBRAS DE TERRA 
2101.000.101-0 
 
 
Capítulo 1 – Percolação nos Solos. 
 
 
 
 
Curso: Engenharia Civil – Bacharelado 
 
 
 
 
Campo Grande 
2018 
1 Percolação nos Solos 
 
1.1 Revisão de conceitos básicos 
 
1.1.1 Permeabilidade 
 
É a propriedade que apresentam os meios porosos de permitirem o fluxo de um 
fluido através de seus vazios. 
 Consequências imediatas da definição: a permeabilidade, portanto, variará 
conforme as características do solo (o meio poroso) e da água (o fluido) que o atravessa. 
 
Solo = meio poroso = o permeável. 
 Tamanho das partículas ↑ - K ↑ 
 Índice de vazios ↑ - K ↑ 
 Grau de saturação ↑ - K ↑ 
 Estrutura do solo: para um mesmo [e], a estrutura floculada é mais permeável 
que a estrutura dispersa provocada por amolgamento. 
 
Água = fluido = o permeante. 
 Peso específico γ ↑ - K ↑, para μ = constante 
 Viscosidade μ ↑ - K ↓, para γ = constante 
 
a) Lei de Darcy e coeficiente de permeabilidade K 
 
Figura 1 – Representação da Lei de Darcy e coeficiente de permeabilidade K. 
 
 
Darcy, trabalhando com as variáveis ∆h, A e L, e observando, separadamente, a 
influência de cada uma na vazão Q, concluiu que: 
ܳ = ܸ
ݐ
= ܭ × ∆ℎ
ܮ
× ܣ 
 
Sendo: ݅ = ∆௛
௅
= ݃ݎܽ݀݅݁݊ݐ݁ ℎ݅݀ݎáݑ݈݅ܿ݋ 
ܳ = ܭ × ݅ × ܣ 
 
Sendo ainda, ܳ = ݒ × ܣ, outra forma da Lei de Darcy: 
ݒ = ܭ × ݅ 
 
i = coeficiente de permeabilidade do solo. É a própria medida da permeabilidade do 
solo, sendo dada em cm/s, geralmente. 
v = velocidade real da água nos vazios do solo. 
 
1.1.2 Percolação 
 
É o fluxo de um fluido (a água) através de um meio poroso qualquer (o solo). 
 
Observação: A Lei de Darcy só é válida para fluxo laminar, nunca para o turbulento. Nos 
solos, como as velocidades de escoamento são baixas, nas argilas, siltes e areias sempre 
ocorre o fluxo laminar, o que há não é válido para os pedregulhos, onde as velocidades são 
elevadas o suficiente para provocarem fluxo turbulento. 
 
Tabela 1 – Valores típicos da permeabilidade nos solos. 
Permeabilidade K [cm/s] Solo 
Alta >10-1 Pedregulhos 
Média 10-1 a 10-3 Areias puras 
Baixa 10-3 a 10-5 Areias finas siltosas, areias finas argilosas, siltes argilosos 
Muito baixa 10-5 a 10-7 Argilas com silte e areia 
Baixíssima < 10-7 Argilas muito plásticas 
 
1.1.3 Força de percolação 
 
É a força de arraste aplicada aos grãos do solo pelo fluido em escoamento. A essa 
força de arraste, agindo na superfície de uma partícula, se opõem as forças de atrito com os 
grãos vizinhos, as quais, quando superadas pela força de percolação, permitem o 
carregamento da partícula pela água em movimento. 
 
Figura 2 – Representação do fluxo. 
 
 
Ai = força de atrito resistente, entre a partícula i vizinha e a partícula que sofre a 
força de percolação Fp. 
Se ܨ௣ > ∑ ܣ௜௡௜ୀଵ  o grão é arrastado pela água, dando início a um processo de 
erosão. 
Seja a situação a seguir: 
 
Figura 3 – Representação da força de percolação. 
 
 
Na entrada do fluxo no solo, a água aplica ao mesmo a força P1 e, na saída, a força 
P2, menor do que P1. A força resultante P1 – P2 é a própria força de percolação. 
ܨ௣ = ଵܲ − ଶܲ = ߛ௪ × ܣ × (ℎଵ − ℎଶ) 
 
Como o gradiente hidráulico i é: 
݅ = ℎଵ − ℎଶ
ܮ
= ∆ℎ
ܮ
 
 
A força de percolação aplicada à amostra de solo será: 
ܨ௣ = ߛ௪ × ݅ × ܣ × ܮ = ߛ௪ × ݅ × ܸ 
 
Portanto, a força de percolação por unidade de volume é dada por: 
௣݂ = ߛ௪ × ݅ × ܣ × ܮܣ × ܮ = ݅ × ߛ௪ 
 
1.1.4 Areia movediça – Condições de ocorrência 
 
Seja o fluxo ascendente abaixo: 
 
Figura 4 - Representação de fluxo ascendente. 
 
 
Se o reservatório à esquerda for elevado gradativamente, chegará um instante em que 
o fluxo através da areia como que a deixará flutuando na água em ascensão, como se estivesse 
em “ebulição”: é o fenômeno da areia movediça, em que o solo perde totalmente a capacidade 
de suporte. Pode-se analisar o fenômeno de duas maneiras: 
I. Determinando a carga hidráulica h para a qual a pressão neutra em B se iguala 
à tensão total nesse ponto. 
Tensão total vertical no ponto B: 
ߪ௩ = ߛ௪ × ℎଵ + ߛ௦௔௧ × ܮ 
 
Pressão neutra no ponto B: 
ݑ = ߛ௪ × (ℎ + ℎଵ + ܮ) 
 
Se h aumentar o bastante para que u = σv em B σ’vB = 0, ou seja, a tensão efetiva 
se anula, com o solo se comportando como um líquido viscoso, não suportando qualquer 
objeto que se apoie sobre ele. O valor da carga h que provoca essa condução é a altura de 
carga crítica, hc: 
ߛ௪ × ℎଵ + ߛ௦௔௧ × ܮ = ߛ௪ × (ℎ + ℎଵ + ܮ) 
 
ℎ௖ = (ߛ௦௔௧ − ߛ௪)ߛ௪ × ܮ 
 
ℎ௖
ܮ
= ݅௖ = ߛ௦௔௧ − ߛ௪ߛ௪ 
 
݅௖ = ߛ௦௨௕ߛ௪ 
 
Para γw = 1 gf/cm3 ou 1 tf/m3ic = γsub. 
 
II. Determinando a carga hidráulica h para a qual a força de percolação Fp se 
iguala ao peso submerso do solo, w’. Quando tal fato ocorre, manifesta-se a condição de areia 
movediça: 
 
 
ܨ௣ = ݅ × ߛ௪ × ܸ 
 
ݓᇱ = ߛ௦௨௕ × ܸ 
 
݅ × ߛ௪ × ܸ = ߛ௦௨௕ × ܸ 
 
݅௖ = ߛ௦௨௕ߛ௪ 
 
ℎ௖
ܮ
= ߛ௦௨௕
ߛ௪
→ ℎ௖ = ߛ௦௨௕ߛ௪ × ܮ 
 
A areia movediça pode ser evitada com filtros que aumentam a tensão efetiva na 
areia sem obstruir o fluxo ascendente. 
 
1.2 Carga hidráulica 
 
Em Mecânica dos Solos, carga hidráulica é o mesmo que energia hidráulica. 
 
a) Lei de Bernoulli 
 
Ela traduz a aplicação do princípio da conservação da energia ao escoamento 
permanente de um fluido incompressível e não viscoso. A Lei de Bernoulli ensina que, para 
tal fluido, a energia total de uma partícula fluida ao longo de sua trajetória permanece 
essencialmente constante. Assim, para os pontos 1 e 2 quaisquer ao longo de uma linha de 
fluxo, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5– Representação das linhas de carga. 
 
 
A energia total de uma partícula fluida ao longo da trajetória é constante. 
ܪ = ݖଵ + ݑଵߛ௪ + ݒ௣ଵଶ2݃ = ݖଶ + ݑଶߛ௪ + ݒ௣ଶଶ2݃ = ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ 
 
Essa energia total está dividida em 3 parcelas com a dimensão do comprimento (em 
tempo, a Lei de Bernoulli fornece a energia pr unidade de peso da partícula fluida): 
z = carga altimétrica ou de altura ; 
u/γw = carga piezométrica ou de pressão; 
Vp2/2g = carga cinética ou de velocidade. 
Nos solos, para efeitos práticos, pode-se tratar a água como se fosse um fluido 
incompressível. No entanto, a água é um líquido viscoso, perdendo assim, energia total ao se 
atritar com as partículas do solo e consigo própria, energia essa que é dissipada (perdida) ao 
se transformar em calor. 
Observa-se, ainda, que a velocidade real de percolação nos solos, Vp, é pequena, 
tornando a carga cinética desprezível diante das outras duas. 
Portanto, dos solos, a Lei de Bernoulli toma a forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Representação da Lei de Bernoulli. 
 
ܪ = ݖଵ + ݑଵߛ = ݖଶ + ݑଶߛ + ∆ܪ 
 
∆H = perda de carga total. 
Assim: 
 
∆ܪ = (ݖଵ − ݖଶ) + ൬ݑଵ − ݑଶߛ ൰ 
 
É importante observar que o fluxo sempre ocorre de um ponto de maior para outro de 
menor carga total. Sendo assim, é fundamental no estudo do fluxo em solos a determinação da 
carga total. Por outro lado, em Mecânica dos Solos, há um interesse especial pela carga de 
pressão (piezométrica), uma vez que com ela se pode obter a pressão neutra, em um ponto 
qualquer do solo onde ocorre o fluxo e, portanto, a pressão efetiva σ’. 
 
ߪᇱ = ߪ − ݑ 
 
1.2.1 Piezômetros 
 
São aparelhos medidores de pressão utilizados para obter esta grandeza num ponto 
de fluxo do solo. O piezômetro mais simples é um tubo aberto em ambas as pontas, com uma 
delas deixada livre ao ar e a outra inserida no ponto do solo onde se deseja conhecer a pressãoneutra, como na situação seguinte: 
 
 
Figura 7 – Representação do piezômetro simples. 
 
 
Antes da execução do aterro sobre o terreno natural, o nível d’água no piezômetro 
subiria apenas até o próprio N.A. natural, havendo apenas uma altura piezométrica estática hpe 
sobre o ponto 1. A pressão neutra seria dada por: 
 
ݑଵ = ߛ௪ × ℎ௣௘ 
 
Imediatamente após a execução rápida do aterro, o nível d’água no piezômetro 
subiria para uma altura piezométrica dinâmica hpd, superior à altura hidrostática hpe. Nessas 
condições, o novo valor de pressão neutra em 1 seria: 
 
ݑଵ = ߛ௪ × ℎ௣ௗ 
 
Observação: A pressão neutra em 1 também poderia ser obtida diretamente por um 
manômetro, como o de Bourdon. 
 
1.2.2 Determinação da carga hidráulica total e suas parcelas 
 
Pontos a observar no cálculo: 
a) A carga cinética é desprezível nos cálculos: Vp2/2g = 0; 
b) Para o cálculo da carga altimétrica z, qualquer nível pode ser tomado como 
referência. Recomenda-se um nível igual ou inferior ao ponto mais baixo da região do fluxo 
em estudo; 
c) Considerar que toda a perda de carga total se dá apenas no solo, desprezando a 
que ocorre no fluxo fora dele; 
d) O fluxo ocorre sempre de um ponto de maior para outro de menor carga 
hidráulica total; 
e) Podem ocorrer pressões neutras negativas ao longo do fluxo; 
f) A sequência mais indicada de cálculo das parcelas de carga é a seguinte: 
 Primeiro, calcula-se a carga altimétrica z; 
 Depois, determina-se a carga total H = z + u/γ; 
 Por fim, obtém-se a carga piezométrica hp = H – z. 
 Notar que: hp = u/γw. 
 
Figura 8 – Seja a situação hidrostática abaixo: 
 
 
À direita da figura estão traçados os diagramas de carga hidráulica dos pontos do 
fluido em repouso (condição hidrostática), em função da altura sobre o nível de referência 
eleito como sendo o fundo do recipiente. Observa-se que, embora haja diferença entre as 
cargas piezométricas e entre as altimétricas dos pontos A e B, não há fluxo de um para o 
outro, uma vez que a carga total é a mesma em ambos. 
A figura a seguir mostra um tubo capilar no qual a água ascende até a altura hc acima 
do N.A., com os correspondentes diagramas de carga hidráulica. Para os pontos A e B da 
nova situação também valem os mesmos comentários anteriores. 
 
 
 
Figura 9 – Representação de tubo capilar. 
 
 
Pressões neutras nos pontos A, B e C (considera-se patm = 0): 
 
ݑ௖ = 0 = ݑ஻ = ݑ஺ + ߛ௪ × ℎ௖ → ݑ஺ = −ߛ௪ × ℎ௖ 
 
Altura piezométrica em A: 
 
ℎ௣஺ = ݑ஺ߛ௪ = −ߛ௪ × ℎ௖ߛ௪ → ℎ௣஺ = −ℎ௖ 
 
1.3 Determinação do coeficiente de permeabilidade no campo 
 
1.3.1 Ensaio de bombeamento em poços 
 
Há, basicamente, duas situações de fluxo na camada permeável que contém o 
aquífero e da qual se pretende determinar a permeabilidade: fluxo não confinado e fluxo 
confinado. 
 
I. Poço com penetração total e fluxo não confinado 
No fluxo não confinado, a fronteira superior do fluxo na camada permeável está à 
pressão atmosférica. 
É um ensaio para determinação in situ da permeabilidade de solos grossos, como 
areias puras ou não e pedregulhos arenosos situados abaixo do nível freático, como segue. 
Figura 10 – Poços testemunhas ou de observação. 
 
 
Bombeia-se água do poço até que o nível no seu interior se estabilize, ou seja em h0. 
Nessa situação, a vazão q ( a mesma extraída do poço pela bomba) através de uma superfície 
cilíndrica de raio r e altura h é, segundo a Lei de Darcy (supondo ao longo da altura h o 
mesmo gradiente hidráulico i e que este possa ser aproximado por i = dh/dr – hipótese de 
Dupuit): 
 
ݍ = ܭ × ݅ × ܣ = ݇ × ݀ℎ
݀ݎ
× ܣ = ݇ × ݀ℎ
݀ݎ
× 2ߨ × ݎ × ℎ 
 
Separando as variáveis e integrando com os dados observados nos poços testemunhas 
1 e 2: 
 
න
݀ݎ
ݎ
௥మ
௥భ
= 2ߨ × ܭ
ݍ
න ℎ × ݀ℎ௛మ
௛భ
 
 
Portanto: 
 
ܭ = ݍ × ln ௥మ௥భ
ߨ × ൫ℎଶଶ − ℎଵଶ൯ → ܭ = 2,3 × ݍ × log ௥మ௥భߨ × ൫ℎଶଶ − ℎଵଶ൯ 
II. Poço com penetração total e fluxo confinado 
 
Figura 11 – Poços testemunhas ou de observação. 
 
 
Nota-se que, neste caso, o de fluxo confinado, a fronteira superior do fluxo na 
camada permeável não está à pressão atmosférica, mas a uma pressão que varia de γw(h0 – D) 
a γw(H – D), aproximadamente. 
Com o nível hidrodinâmico do poço já constante – fluxo estacionário – a vazão q se 
dá através de uma superfície cilíndrica de altura D e raio r. Segundo a Lei de Darcy e a 
hipótese Dupuit, tem-se: 
 
ݍ = ܭ × ݅ × ܣ = ݇ × ݀ℎ
݀ݎ
× 2ߨ × ݎ × ܦ 
 
Separando as variáveis e integrando segundo o observado nos poços testemunha: 
 
න
݀ݎ
ݎ
௥మ
௥భ
= 2ߨ × ܭ × ܦ
ݍ
න ݀ℎ
௛మ
௛భ
 
 
ܭ = ݍ2ߨ × ܦ × ln ݎଶݎଵ × 1ℎଶ − ℎଵ 
1.3.1.1 Comentários acerca do ensaio de bombeamento 
 
a) Mede-se a permeabilidade do solo natural, não perturbado. 
b) O valor obtido representa essencialmente a permeabilidade horizontal. 
c) A permeabilidade medida, na verdade, é um valor médio de uma grande área em 
torno do poço, podendo ocorrer variações locais consideráveis devido à heterogeneidade do 
solo. 
d) A superfície freática original pode não ser horizontal, devido a algum fluxo 
natural no terreno. Pode-se contornar isso medindo a altura freática H em furos ao redor do 
poço, corrigindo-a. 
e) A descarga q do poço em bombeamento não deve ser lançada perto deste nem 
dos poços de observação, para não afetar o nível freático estabelecido pelo ensaio e o natural 
H. 
f) O ensaio de bombeamento é relativamente caro, tanto pela execução dos poços 
como por exigir bombeamento por tempo razoável, até que o fluxo se torne estacionário. 
 
1.3.2 Ensaio de “tubo aberto” 
 
Curva-se um tubo de sondagem no terreno com a ponta aberta, na profundidade onde 
se deseja obter o valor da permeabilidade. O tubo é preenchido com água até um certo nível. 
A água escoa pelo tubo e se infiltra no terreno, segundo superfícies supostas esféricas e 
concêntricas. 
 
Figura 12 – Representação do ensaio de tubo aberto. 
 
A vazão q, que escoa através do revestimento da sondagem, é a mesma que atravessa 
a superfície de uma esfera de raio r no solo, concêntrica com a boca do tubo. A velocidade de 
escoamento nessa superfície é: 
 
ݒ = ݍ
ܣ
= ݍ4ߨ × ݎଶ 
 
Também é verdade que: 
 
ݒ = ܭ × ݅ = −ܭ × ݀ݕ
݀ݎ
 
 
Igualando-se as expressões e separando as variáveis: 
 
ݍ4ߨ × ݎଶ = −ܭ × ݀ݕ݀ݎ → −݀ݕ = ݍ4ߨ × ܭ × ݀ݎݎଶ 
 
Integrando ambos os membros: 
 
න −݀ݕ
௬బ
௬భ
= ݍ4ߨ ×ܭ × න ݀ݎݎଶஶ௥భ 
 [−ݕ]௬భ௬బ = ݍ4ߨ × ܭ × ൤− 1ݎ൨௥భஶ = ݍ4ߨ × ܭ × ൤− 1∞− ൬− 1ݎଵ൰൨ 
 
Portanto: 
 
ݕଵ − ݕ଴ = ℎ = ݍ4ߨ × ܭ × 1ݎଵ 
 
ݍ = 4ߨ × ܭ × ℎ × ݎଵ 
 
Por outro lado: 
 
ݍ = ߨ × ݎଵଶ × ݀ݕ݀ݐ 
Mas, dy = dh. Igualando-se e resolvendo para K: 
 
ܭ = ݎଵ4 × ℎ × ݀ℎ݀ݐ 
 
Para pequenas variações do tempo ∆t e as correspondentes variações ∆h pode-se 
substituir ௗ௛
ௗ௧
 por∆௛
∆௧
 obtendo: 
 
ܭ = ݎଵ4 × ℎ × ∆ℎ∆ݐ 
 
1.3.2.1 Comentários acerca do ensaio 
 
a) O ensaio só é adequado para medir a permeabilidade de solos abaixo do N.A., 
onde se pode admitir que estejam saturados (Sr = 100%). 
b) Pode-se ensaiar solos de pouca permeabilidade, bastando diminuir 
suficientemente o raio r1 da ponta superior do tubo, onde se mete ∆h, para aumentar a 
sensibilidade do ensaio a pequenas vazões. 
c) Faz-se uma medida quase que pontual da permeabilidade, além do fato da 
cravação do tubo no terreno alterar em maior ou menor grau a permeabilidade a ser medida. 
d) O valor da permeabilidade é uma média de todas as direções, pois o fluxo é 
radial e em 3 dimensões, não havendo predominância de direção. 
e) A teoria é tão mais próxima do real quanto menor for r1, pois as superfícies de 
infiltraçãoserão mais semelhantes a esferas concêntricas com a ponta do tubo. 
 
1.4 Permeabilidade de meios estratificados 
 
Um solo homogêneo é aquele com as mesmas propriedades em qualquer de seus 
pontos. Se, além disso, num certo ponto as propriedades forem iguais em qualquer direção, 
diz que o solo é também ISÓTROPO. 
Compreende-se facilmente que nenhum solo pode ser rigorosamente homogêneo ou 
isótropo, devido a sua própria gênese. Por exemplo, os solos sedimentares são depositados em 
longos períodos de tempo, em que os ciclos de sedimentação se alternam fazendo variar a 
natureza dos solos nas camadas. Em uma mesma camada de argila sedimentar, por exemplo, o 
processo de sedimentação permite uma maior compressão vertical que horizontal, o que 
obriga as partículas lamelares a se orientarem mais horizontalmente, levando uma maior 
permeabilidade nessa direção do que na vertical. O mesmo ocorre, com muito mais razão, nos 
solos argilosos compactados, onde o método de colocação e compactação não só orienta 
horizontalmente as partículas, como também tende a produzir estratificações no interior do 
aterro em execução. 
Para se ter uma ideia, numa argila normalmente adensada sedimentar, a 
permeabilidade horizontal é de 2 a 10 vezes a permeabilidade vertical, diferença que, nos 
solos compactados e pelas razões acima, tende a ser ainda maior. 
 
Figura 13 – Permeabilidade equivalente “horizontal” (paralela às camadas). 
 
 
Considerando-se primeiramente a ocorrência de fluxo horizontal, a vazão resultante 
qH é: 
 
ݍு = ݍଵ + ݍଶ + ݍଷ 
 
Sendo: 
 ݍଵ = ܭுଵ × ݅ × ݀ଵ 
 ݍଶ = ܭுଶ × ݅ × ݀ଶ 
 ݍଷ = ܭுଷ × ݅ × ݀ଷ 
 
Idealizando-se uma permeabilidade equivalente horizontal KH, tem-se que: 
 
ݍு = ܭு × ݅ × (݀ଵ + ݀ଶ + ݀ଷ) 
 
Assim: 
 
ܭு × ݅ × (݀ଵ + ݀ଶ + ݀ଷ) = ܭுଵ × ݅ × ݀ଵ + ܭுଶ × ݅ × ݀ଶ + ܭுଷ × ݅ × ݀ଷ 
 
ܭு = ܭுଵ × ݀ଵ + ܭுଶ × ݀ଶ + ܭுଷ × ݀ଷ݀ଵ + ݀ଶ + ݀ଷ 
 
Generalizando para n camadas: 
 
ܭு = ∑ ܭு௜ × ݀௜௡௜ୀଵ∑ ݀௜௡௜ୀଵ 
 
Analisando agora a percolação “vertical” (transversal às camadas) nos extratos, a 
vazão qv é a mesma em todas as camadas, com a perda de carga total ∆h sendo a soma das 
perdas de carga de cada camada: 
 
ݍ௩ = ܭ௩ଵ × ∆ℎଵ݀ଵ × ܣ = ܭ௩ଶ × ∆ℎଶ݀ଶ × ܣ = ܭ௩ଷ × ∆ℎଷ݀ଷ × ܣ 
 
Imaginando-se uma permeabilidade equivalente vertical, Kv, pode-se escrever: 
 
ݍ௩ = ܭ௩ × ∆ℎ݀ଵ + ݀ଶ + ݀ଷ × ܣ → ∆ℎ = ∆ℎଵ ∓ ∆ℎଶ + ∆ℎଷ 
 
Isto é, a perda de carga total ∆h é a soma das perdas de carga das camadas. 
 
∆ℎଵ = ݍ௩ × ݀ଵܭ௩ଵ × ܣ∆ℎଶ = ݍ௩ × ݀ଶܭ௩ଶ × ܣ∆ℎଷ = ݍ௩ × ݀ଷܭ௩ଷ × ܣ 
 
∆ℎ = ݍ௩ × (݀ଵ + ݀ଶ + ݀ଷ)
ܭ௩ × ܣ 
 
ݍ௩ × (݀ଵ + ݀ଶ + ݀ଷ)
ܭ௩ × ܣ = ݍ௩ × ݀ଵܭ௩ଵ × ܣ + ݍ௩ × ݀ଶܭ௩ଶ × ܣ + ݍ௩ × ݀ଷܭ௩ଷ × ܣ 
 
ܭ௩ = ݀ଵ + ݀ଶ + ݀ଷௗభ
௄ೡభ
+ ௗమ
௄ೡమ
+ ௗయ
௄ೡయ
 
 
Generalizando para n camadas: 
 
ܭ௩ = ∑ ݀௜௡௜ୀଵ
∑ ௗ೔
௄ೡ೔
௡
௜ୀଵ
 
 
1.5 Equação básica da percolação nos solos 
 
Seja o paralelepípedo elementar de solo através do qual ocorre um fluxo estacionário 
de água, da maneira indicada a seguir. 
Considere-se o grau de saturação Sr = 100%, isto é, Vv = Vw. 
 
Figura 14 - Paralelepípedo elementar. 
 
 
A quantidade de água que penetra no elemento na unidade de tempo (vazão de água 
que entra) é dada por: 
 
ݒ௫ × ݀ݕ × ݀ݖ + ݒ௬ × ݀ݔ × ݀ݖ + ݒ௭ × ݀ݔ × ݀ݕ 
 
Da mesma forma, a vazão de água que sai do elemento é: 
 
ݒ௫ × ݀ݕ × ݀ݖ + ݒ௬ × ݀ݔ × ݀ݖ + ݒ௭ × ݀ݔ × ݀ݕ+ ቆ߲ ݒ௫
߲ݔ
 ݀ݔ × ݀ݕ × ݀ݖ + ߲ ݒ௬
߲ݕ
 ݀ݕ × ݀ݔ × ݀ݖ + ߲ ݒ௭
߲ݖ
 ݀ݖ × ݀ݔ × ݀ݕቇ 
 
Se supormos que a água é perfeitamente incompressível assim como as partículas do 
solo, e que não há carregamento destas pela água em movimento, então o volume do elemento 
considerado permanece constante. Isto equivale a que a parcela entre parênteses seja nula. 
 
߲ ݒ௫
߲ݔ
+ ߲ ݒ௬
߲ݕ
+ ߲ ݒ௭
߲ݖ
= 0 
Como: 
 
ݒ௫ = −ܭ௫ × ߲ℎ߲ݔ ݒ௬ = −ܭ௬ × ߲ℎ߲ݕ ݒ௭ = −ܭ௭ × ߲ℎ߲ݖ 
 
Tem-se a equação básica da percolação em meios homogêneos e anisotrópicos: 
 
ܭ௫ × ߲ଶℎ߲ݔଶ + ܭ௬ × ߲ଶℎ߲ݕଶ + ܭ௭ × ߲ଶℎ߲ݖଶ = 0 
 
Para solos também isotrópicos Kx = Ky = Kz e, portanto: 
 
߲ଶℎ
߲ݔଶ
+ ߲ଶℎ
߲ݕଶ
+ ߲ଶℎ
߲ݖଶ
= 0 ݋ݑ ∇ଶℎ = 0 
Ou equação de Laplace, que é a equação básica da percolação em meios homogêneos 
e isotrópicos. 
 
A solução da equação de Laplace pode ser representada por dois conjuntos de curvas 
que se cortam mutuamente perpendiculares e que se chamam linhas de fluxo e linhas 
equipotenciais. 
Hipóteses para a equação de Laplace: 
a) Lei de Darcy é válida, isto é, o fluxo é laminar. Este equivale a um escoamento 
onde as linhas de fluxo não se cruzam, são estáveis e ordenadas. 
b) A água é incompressível e o solo idem, isto é, ambos não sofrem variações de 
volume. É o mesmo que se considerar o fluxo permanente ou estacionário: o campo de 
vetores velocidade das partículas de fluido não depende (não varia) do tempo. Em outras 
palavras, não ocorre adensamento ou expansão. 
c) O grau de saturação é Sr = 100%. 
d) O solo é homogêneo e isotrópico. 
 
1.6 Rede de fluxo – Fluxo bidimensional 
 
A figura a seguir ilustra uma rede de fluxo, cujas curvas mutuamente perpendiculares 
são a representação gráfica da solução da equação de Laplace, ou seja, da equação base da 
percolação. 
 
Figura 15 - Rede de fluxo. 
 
 
Tais curvas, além de satisfazer esta equação, devem também cumprir as condições de 
contorno. Portanto, a rede de fluxo é constituída pelas linhas de fluxo que são os próprios 
caminhos das partículas de fluido no domínio do fluxo, e pelas linhas equipotenciais que são, 
cada uma delas, o lugar geométrico dos pontos do domínio do fluxo que possuem uma mesma 
carga hidráulica total. De acordo com estas duas definições, pode-se estabelecer as condições 
hidráulicas de contorno, assim ditas se verificarem nas fronteiras (ܾܽതതത e݀݁തതത) e nos limites ou 
contornos (ܾܿ݀തതതതത e ݂݃തതതത) do domínio do fluxo, e às quais a solução da equação de Laplace deve 
satisfazer. 
É claro que existem infinitas linhas de fluxo, adjacentes umas as outras, bem como 
infinitas linhas equipotenciais, idem. Desenhá-las todas, então, faria do domínio do fluxo um 
imenso borrão. Escolhe-se, portanto, um número determinado de linhas de fluxo e 
equipotenciais (traçando-as perpendiculares nas interseções, como devem ser) para que a rede 
de fluxo possa ser representada. 
Para facilitar, admite-se que a queda de potencial entre duas linhas equipotenciais 
seja constante e igual a ∆h. 
∆ℎ = ℎଵ
ௗܰ
 
 
Nd = número de quedas de potencial, arbitrário. 
 
O espaço entre duas linhas de fluxo adjacentes chama-se tubo de corrente ou canal de 
fluxo. Como as partículas de água viajam ao longo das linhas de fluxo, a água não penetra 
num canal a não ser pela sua entrada, e nem o abandona, a não ser pelo seu extremo de 
descarga. Não obstante, a largura do canal e a correspondente velocidade de fluxo ao longo do 
percurso. 
 
Figura 16 – Tubo de corrente ou canal de fluxo. 
 
 
1 e 2 são pontos sobre uma mesma equipotencial, portanto h1 = h2. 
Isto é: 
 
ℎ௣ଵ + ݖଵ = ℎ௣ଶ + ݖଶ 
 
ℎଵ = ℎଶ > ℎଷ = ℎ௣ଷ + ݖଷ 
 
ℎଵ − ℎଷ = ℎଶ − ℎଷ = ∆ℎ 
 
A parcela de um canal de fluxo entre duas equipotenciais adjacentes forma uma 
malha da rede de fluxo, conforme a parcela hachurada anterior. Se l é a distância média entre 
as duas equipotenciais desta malha, o gradiente hidráulico médio dentro da malha é: 
 
݅ = ∆ℎ
݈
 
 
A quantidade de água que atravessa a malha, por unidade de tempo e de 
profundidade do canal de fluxo (vazão na área hachurada a seguir) é: 
 
Figura 17 – Vazão na área hachurada. 
 
 
݈ × ܾ × ܭ × ݅ = ܭ × ∆ℎ
݈
× ܾ 
 
ݍ௖ = ܾ × ܭ × ݅ = ܭ × ∆ℎ × ܾ݈ 
 
Como a vazão é a mesma ao longo de todo o comprimento do canal de fluxo, a 
relação b/ldeve ser também constante. O traçado da rede de fluxo fica muito facilitado se se 
fizer b/l = 1, isto é, se as malhas forem desenhadas “quadradas”. Nestas condições, a vazão 
correspondente a 1 canal de fluxo é: 
 
ݍ௖ = ܭ × ∆ℎ = ܭ × ܪ
ௗܰ
 
 
Se Nf é o número total de canais de fluxo, a vazão total Q por unidade de 
profundidade da seção indicadas na figura é: 
 
Para malhas quadradas: ܳ = ܭ × ܪ × ே೑
ே೏
 
Para malhas retangulares: ܳ = ܭ × ܪ × ே೑
ே೏
× ௕
௟
 
 
1.7 Método gráfico para o traçado das redes de fluxo (Método de Forchheimer) 
 
1.7.1 Elementos do domínio do fluxo 
 
Seja o fluxo de água pelas fundações da cortina de estacas-prancha a seguir. Este é 
dito fluxo confinado, ou seja, aquele em que todas as fronteiras do domínio do fluxo estão sob 
carga piezométrica. 
 
Figura 18 – Fluxo confinado. 
 
 
Linhas equipotenciais: são o lugar geométrico dos pontos do fluxo de mesma carga 
total (linhas pontilhadas). 
Linhas de fluxo: são as próprias trajetórias das partículas d’água ao longo do fluxo 
(linhas cheias). 
Fronteira contribuinte: é a fronteira permeável pela qual a água penetra no solo que é 
o domínio do fluxo (AB). 
Fronteira drenante: é a fronteira permeável pela qual a água sai do domínio do fluxo 
(CD). 
Limites ou contornos do fluxo: são fronteiras impermeáveis ao longo das quais o 
fluxo ocorre paralelamente às mesmas, constituindo-se em linhas de fluxo, no caso 
bidimensional (EF). 
As mesmas definições acima valem para o caso de fluxo não confinado. 
 
Figura 19 – Fluxo não confinado. 
 
 
Superfície livre ou freática: é, ao mesmo tempo, um contorno do fluxo e uma linha 
de fluxo com carga piezométrica nula (BC). 
O fluxo não confinado é aquele em que pelo menos uma das fronteiras de seu 
domínio é uma superfície livre (ou freática). 
 
1.7.2 Método gráfico 
 
Vantagens do método: 
 Não requer equipamentos específicos; 
 Pode-se sempre obter uma solução (rede de fluxo); 
 Ajuda a desenvolver a compreensão dos problemas do fluxo. 
Desvantagem: 
 A solução é aproximada, apresentando algum grau de dependência em relação ao 
indivíduo que a executa. 
Procedimento para o traçado: 
a) Identificar as fronteiras do domínio do fluxo, atentando para os seguintes pontos: 
 
Figura 20 – Traçado de uma rede de fluxo. 
 
 
 Toda fronteira em contato com a água livre, isto é, sob lâmina d’água, é uma 
equipotencial (ABC e EFG). 
 Fronteira drenante (DEFG) é aquela através da qual a água sai do domínio do 
fluxo. É a fronteira que drena o fluxo. 
 A superfície livre ou freática (CD) é a fronteira representada por uma linha de 
fluxo que está à pressão atmosférica, ou seja, apresenta carga piezométrica 
nula. 
b) De início, o número de canais de fluxo não deve superar 3 ou 4. Começar 
traçando poucos canais e só então refinar a rede, se necessário. 
c) Como sugestão para facilitar o traçado, escolher a relação b/l = 1. Na verdade, b/l 
pode ser qualquer, contanto que seja constante para toda a rede. 
d) Desenhar as equipotenciais de modo que: 
 O b/l escolhido seja obedecido. 
 Haja ortogonalidade na interseção com as linhas de fluxo. 
e) Na interseção da superfície livre com as equipotenciais, observar que ∆H seja 
constante e a ortogonalidade satisfeita. 
 
 
 
Figura 21 – Ortogonalidade satisfeita. 
 
 
Casagrande fez importantes sugestões para a aprendizagem do traçado das redes de 
fluxo: 
I. Sempre que se tiver oportunidade, observar bem o aspecto das redes de fluxo bem 
traçadas, tentando, após reproduzi-las de memória. 
II. Na primeira tentativa do traçado, não desenhar muitos canais. Traçar, no máximo, 
4 ou 5 canais e prestar atenção a detalhes importantes, tais como a ortogonalidade entre 
equipotenciais e linhas de fluxo, relação b/l = constante, etc. 
III. Cuidar primeiro que a rede de fluxo como um todo se apresente aproximadamente 
correta, antes de tentar acertar detalhes. 
IV. Observar que a concordância entre trechos retos e curvos das linhas são sempre 
suaves, de forma elíptica ou parabólica, com os “quadrados” (malhas) mudando 
gradativamente de tamanho. 
 
Observe que, em todas as redes de fluxo apresentadas, não se fez qualquer 
consideração a respeito do tipo de solo em que foram traçadas. Ou seja, o traçado da rede de 
fluxo independe do solo: depende apenas da geometria e condições de fronteira do domínio 
do fluxo. O que varia com o tipo de solo, ou melhor, com a permeabilidade, á a vazão. 
Outro erro comum é achar que a perda de carga total H aumenta quando a 
permeabilidade diminui. Isto não é verdade: a carga hidráulica total H dissipada no fluxo é 
uma condição geométrica e independe do solo ou da permeabilidade. 
 
Observação: São dados os anexos com exemplos de várias situações em que as redes de fluxo 
foram traçadas obedecendo aos critérios anteriormente descritos. 
 
 
1.8 Percolação em meios anisotrópicos 
 
Apenas no caso da equação da percolação em meios isotrópicos (Equação de 
Laplace) é que as linhas de fluxo e equipotenciais são perpendiculares entre si, o que não 
ocorre nos meios anisotrópicos (Kx ≠ Ky ≠ Kz), dificultando enormemente o traçado das redes 
de fluxo. 
Para contornar essa dificuldade, utiliza-se o artifício da “transformação de seção”, 
proposto por Samsioe. 
No caso de fluxo bidimensional e anisotrópico: 
 
ܭ௫ × ߲ଶℎ߲ݔଶ + ܭ௬ × ߲ଶℎ߲ݕଶ = 0 
 
Esta equação pode ser reescrita como: 
 
߲ଶℎ
௄೤
௄ೣ
× ߲ݔଶ + ߲ଶℎ߲ݕଶ = 0 
 
Que equivale à própria Equação de Laplace: 
 
߲ଶℎ
߲ݔ௧
ଶ + ߲ଶℎ߲ݕଶ = 0, ܿ݋݉ ݔ௧ = ඨܭ௬ܭ௫ × ݔ 
 
Ou seja, na seção transformada as dimensões na direção x serão reduzidas (Ky<Kx) 
na proporção de ටܭ௬ ܭ௫൘ . Portanto, a seção transformada será desenhada na nova escala (xt, 
y). 
Assim, a rede de fluxo é desenhada como isotrópica na seção transformada (linhas de 
fluxo e equipotenciais ortogonais entre si) e, após, transposta para a seção real, ponto a ponto. 
 
 
 
 
Figura 22 – Comparativo de seção real com seção transformada. 
 
 
O cálculo da vazão Q pode ser feito em cima da seção transformada, como se segue. 
Seja para a seção transformada: 
 
ܳ = ܭ௘ × ܪ × ௙ܰ
ௗܰ
 
 
Sendo Ke = permeabilidade equivalente na seção transformada. 
 
Figura 23 – Comparativo da malha de seção real com seção transformada. 
 
 
Seção transformada: 
 
ݍ௧ = ܭ௘ × ݅ × ܣ = ܭ௘ × ∆hݔ௧ × ܾ = ܭ௘ × ∆h → ܾݔ௧ = 1 
 
Seção real: 
 
ݍ = ܭ௫ × ݅ × ܣ = ܭ௫ × ∆ℎ
ݔ௧ × ට௄ೣ௄೤ × ܾ = ܭ௫ × ∆ℎට௄ೣ௄೤ 
 
Mas qt = q, portanto: 
 
ܭ௘ × ∆ℎ = ܭ௫ × ∆ℎ
ට
௄ೣ
௄೤
= ඥܭ௫ × ඥܭ௫
ට
௄ೣ
௄೤
= ඥܭ௫ × ඥܭ௬ = ඥܭ௫ × ܭ௬ 
 
Assim: 
 
ܭ௘ = ඥܭ௫ × ܭ௬ ݁ ܳ = ඥܭ௫ × ܭ௬ × ℎ × ௙ܰ
ௗܰ
 
 
Já para o cálculo das pressões neutras e gradientes hidráulicos, deve-se trabalhar em 
cima da rede de fluxo traçada na seção real, obtida ponto a ponto da rede de fluxo isotrópica 
desenhada na seção transformada. 
 
1.9 Condições de transferência das linhas de fluxo na fronteira de dois meios 
 
Figura 24 – Transferência das linhas de fluxo. 
 
 
α e β são sempre ângulos agudos. 
Para a situação (a) K1> K2 e β >α.Para a situação (b) K2> K1 e β <α. 
 
Seja a situação da figura seguinte, onde se considera apenas um dos canais de fluxo 
que atravessam a fronteira entre os solos 1 e 2. 
 
Figura 25 – Canal de fluxo que atravessa a fronteira entre dois solos. 
 
 
Quando uma partícula em A chegar à posição C no solo 1, a partícula que antes 
estava em B terá se transferido para a posição D no solo 2. Suponha-se que, por escolha, a 
queda de potencial entre as equipotenciais AB e CD seja ∆h, a mesma entre as equipotenciais 
de ambosos meios. 
Pode-se, então, escrever: 
 
ܳଵ = ܭଵ × ∆ℎܣܥ × ܣܤ × 1 ܳଶ = ܭଶ × ∆ℎܤܦ × ܥܦ × 1 
 
Como Q1 = Q2: 
 
ܭଵ
஼஽
஻஽
= ܭଶ஺஻
஺஼
→
ܥܦ
ܤܦ
= ݐ݃ ߚ ݁ ܣܤ
ܣܥ
= ݐ݃ ߙ 
 
ܭଵ
ݐ݃ ߚ = ܭଶݐ݃ ߙ → ܭଵܭଶ = ݐ݃ ߚݐ݃ ߙ 
 
Como l1 = AC; b1 = AB; l2 = BD; b2 = CD, tem-se que: 
 
ܭଵ
ܭଶ
= ܾଶ ݈ଶൗ
ଵܾ
݈ଵ
ൗ
 
 
Escolhendo a rede de fluxo com malhas quadradas para o solo 1, por exemplo, a 
relação para os lados das malhas do solo 2 será: 
 
ܾଶ
݈ଶ
= ܭଵ
ܭଶ