Geometria analítica e álgebra linear

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Prof. Felix Claret
UNIDADE II
Geometria Analítica
e Álgebra Linear
 Grandezas escalares – área, volume, tempo etc.
 Grandezas vetoriais – força, velocidade.
 Comprimento ou módulo – medida do vetor.
 Direção – direção da reta que contém o vetor.
 Sentido – orientação.
 Representação geométrica – segmento orientado.
B
A
Vetores
Notação:
 AB – vetor AB, origem A, extremidade B
 CD – origem C, extremidade D
Vetores
A
B
r
D
C
s
CD
 Igualdade
r // s // t
mesmos sentido, direção e módulo:
sentido contrário:
Vetores
D
C
CD
A
B
r
s
AB
E
F
t
EF
 Vetores paralelos (mesma direção, isto é, retas paralelas)
paralelos: 
não paralelos:
Vetores
A B r
D C sCD
AB
Sentido:
mesmo sentido:
sentido contrário (oposto):
Vetores
D
C
CD
A
B
r
s
AB
E
F
t
EF
 Ortogonais (r e s perpendiculares)
perpendiculares:
Vetores
F
t
EF
A B r
AB
D
s
CD
⊡
Exemplos:
1. Observando o paralelogramo ABCD, determinar os vetores que são iguais.
Vetores
A B
CD
 Iguais
Vetores
A B
C
D
A B
CD
2. Observando o cubo, determinar os vetores que são iguais a AB.
Vetores
A B
C
D
E F
GH
Adição:
Adição de vetores
u
v
u + v u
v
 Regra do paralelogramo
Adição de vetores
u
v
A B
CD
Para o cubo ABCDEFGH é correto afirmar:
a) AB ⊥ EF
b) AB // BF
c) AD = FG
d) HG // BC
e) BC = DC
Interatividade
A B
CD
E F
GH
Para o cubo ABCDEFGH é correto afirmar:
a) AB ⊥ EF
b) AB // BF
c) AD = FG
d) HG // BC
e) BC = DC
Resposta
A B
CD
E F
GH
Exemplos:
1. Determinar a soma dos vetores indicados na figura, considerando que ela é 
formada por quadrados iguais.
Adição de vetores
A B
C
D E F
G H I
Vetores a serem somados:
substituições:
Adição de vetores
A B
C
D E F
G H I
2. Considerando o hexágono regular, determine a soma dos vetores indicados.
vetores a somar:
substituições:
Vetores
A B
C
DE
F
G
Multiplicação por escalar (n° real)
v ≠ 0 e α ≠ 0
v é o vetor que tem: direção:
sentido: 
módulo:
Multiplicação por escalar
Exemplo:
1. Dado o vetor v, representar os vetores
Multiplicação por escalar
2 v
-3 v
v
1
2
v
2. Dada a equação vetorial, na variável x, determine a sua solução.
Vetores
2 x + a + b = 4 x – a – b 
Resolvendo:
Vetores
2 x + a + b = 4 x – a – b 
x = a + b
IR2 – (plano)
B = {(1,0), (0,1)} é uma base ortonormal
 coordenadas de v =
Coordenadas dos vetores IR2
v = (a, b) = a . i + b . j 
i = (1, 0) e j = (0, 1) 
x
y
j
ai
b
v
(2,3)
IR3 –
B = {(1,0,0), (0,1, 0), (0,0,1)} é uma base ortonormal
Exemplo:
Determinar as coordenadas dos vetores:
Coordenadas dos vetores IR3
v = (a, b, c) = a . i + b . j + c . k 
v = 2 . i + 1 . j + 3 . k =
u = -2 j+ 0 .i+ 3 . k =
u = 2 . i + 0 . j – 2 k =
Adição no IR3
Multiplicação por escalar
Operações com coordenadas
u + v = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z)
 u =  (a, b, c) = ( . a,  . b,  . c)
u = (a, b, c)
Exemplos:
 Sendo determinar 
Operações com coordenadas
u = (3, 2,1) e v = (-1, 2, 3), u + v e 2 u
u + v = (3, 2, 1) + (-1, 2, 3) = 
2 u = 2 (3, 2, 1) = 
Sendo u = (-2, 0, 3) e v = (2, 2, -1), a resultante r = -2 u + 3 v é:
a) r = (9, 6, 2)
b) r = (5, 6, 3)
c) r = (10, 6, -9)
d) r = (13, 6, 9)
e) r = (13, 2, -9)
Interatividade
Sendo u = (-2, 0, 3) e v = (2, 2, -1), a resultante r = -2 u + 3 v é:
a) r = (9, 6, 2)
b) r = (5, 6, 3)
c) r = (10, 6, -9)
d) r = (13, 6, 9)
e) r = (13, 2, -9)
Resposta
r = -2 u + 3 v
r = -2 (-2, 0,3) + 3 (2, 2, -1)
= (10,6,-9)
 Módulo de um vetor
Exemplo:
Operações com coordenadas
Sendo A = (x, y, z) e B = (a, b, c), o vetor AB, temos:
Exemplo:
Sendo A = (2, -1, 3), B = (1, 0, 2), as coordenadas de u = AB são:
Operações com coordenadas
AB = B – A = (a, b, c) – (x, y, z) 
AB = B – A = (1, 0, 2) – (2, -1, 3) = 
 Combinação linear – escrever como soma de múltiplos
Exemplo:
Determinar k para que u = (k, 1, 4) seja combinação linear de v = (1, 5, 2) e 
w = (2, 3, 0).
Operações com coordenadas
v = a1 . u1 + a2 . u2 + . . . + an . un
Substituindo as coordenadas:
Operações com coordenadas
u = a . v + b . w
(k, 1, 4) = a.(1, 5, 2) + b.(2, 3, 0)
(k, 1, 4) =
(k, 1, 4) = (a + 2b, 5a + 3b, 2a)
a + 2b = k → k = 
5a + 3b = 1 → b = 
2a = 4 → a = 
a = 2, b = - 3 e k = - 4 
 Produto escalar u . v, lê-se u escalar v
Produto escalar
u = x1 . i + y1 . j + z1 . k
v = x2 . i + y2 . j + z2 . k
u . v = x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2
1. Dados os vetores, calcular os produtos indicados u . v e v . v.
Exemplos:
a) u = (1, 2) e v = (- 1, 1)
u . v =
v . v =
Produto escalar
b) u = (1, 3, -1) e v = (0, 1, 2)
u . v =
v . v =
Produto escalar
Dados os pontos A = (4, -3, 2) e B = (10, -5, 7), as coordenadas do vetor 2 AB são:
a) (12, - 4, 10).
b) (-12, - 4, 10).
c) (12, 4, 10).
d) (12, - 4, -10).
e) (-12, 4, 10).
Interatividade
Dados os pontos A = (4, -3, 2) e B = (10, -5, 7), as coordenadas do vetor 2 AB são:
a) (12, - 4, 10).
b) (-12, - 4, 10).
c) (12, 4, 10).
d) (12, - 4, -10).
e) (-12, 4, 10).
Resposta
AB = B – A =
2 AB =
Notação:
u x v ou u Ʌ v (lê-se: u vetorial v)
Produto vetorial
u = (x1, y1, z1)
v = (x2, y2, z2)
u Ʌ v =
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
Exemplos:
1. Calcular o produto vetorial dos vetores:
Produto vetorial
u = (1, 3, -1) e v = (0, 1, 2)
 Substituindo as coordenadas na definição:
Produto vetorial
u Ʌ v =
i j k i j
1 3 -1 1 3
0 1 2 0 1 
- (0k - i 2 j ) + (6 i 0 j 1 k )
u Ʌ v =
2. Sendo |a| = 4, |b| = 5 e âng(a, b) = 30°, calcule |a Ʌ b|, sabendo que
sen30º = 0,5.
Produto vetorial
| u Ʌ v | = | u | . | v | . senθ
|a Ʌ b| =
3. Determinar a área do paralelogramo formado pelos vetores:
Produto vetorial
u = (2, -1, 1) e v = (1, 0, -1)
| u x v | = AParalelogramo
 Resolvendo o produto vetorial:
A = | u Ʌ v | =
Produto vetorial
u Ʌ v =
i j k i j
2 -1 1 2 -1
1 0 -1 1 0 
u Ʌ v = (1, 3, 1)
Produto misto
notação
Definição:
Produto misto
[ u, v, w ]
u = (x1, y1, z1)
v = (x2, y2, z2)
w = (x3, y3, z3)
u . v Ʌ w[ u ,v, w ] =
Exemplos:
1. Calcule dados:
Produto misto
u = (-1, 0,2)
v = (1, 3, 0)
w = (0, 1, 2)
u . v Ʌ w,
 Primeiro o produto vetorial
Produto misto
v Ʌ w =
i j k i j
1 3 0 1 3
0 1 2 0 1 
v Ʌ w = (6, -2, 1) 
[ u ,v, w ] = u . v Ʌ w = (-1, 0, 2) . (6, -2, 1) =
2. Calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores:
(propriedade: )
Produto misto
u = (1, -2,1)
v = (0, -1, 1)
w = (0, 1, -1)
Vp = | [ u ,v, w ] |
 Vamos utilizar outro modo para calcular o produto misto:
Vp = 2
Produto misto
Vp = | [ u, v, w ] | =
1 -2 1
0 -1 1
2 1 -1
[ u, v, w ] = = 
1 -2
0 -1 
2 1
O valor do produto misto [ u , v , w ], dados:
u = (-1, -2, 0) v = (0, 0, 3) w = (1, 2, -1)a) 0.
b) 2.
c) -2.
d) 3.
e) -3.
Interatividade
O valor do produto misto [ u , v , w ], dados:
u = (-1, -2, 0) v = (0, 0, 3) w = (1, 2, -1)
a) 0.
b) 2.
c) -2.
d) 3.
e) -3.
Resposta
-1 -2 0
0 0 3
1 2 -1
[ u, v, w ] = = 
-1 -2
0 0 
1 2
ATÉ A PRÓXIMA!