Resumo - Vetores

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ÁLGEBRA VETORIAL (VETORES) 
 
Material de apoio para as LIVES: 
Entendendo a ÁLGEBRA VETORIAL: http://www.resp.ai/aprendendo_vetores 
 
Parte I: Introdução aos vetores 
Podemos pensar que um vetor é uma flechinha que liga dos pontos 𝐴 e 𝐵. Ele possui 
três características: seu módulo (o tamanho da flecha), direção (a reta a qual o vetor está 
definido) e seu sentido (indo de A para B ou de B para A) 
 
 
Para achar as coordenadas do vetor que liga esses pontos fazemos 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 
O sentido é determinado por quem é o ponto final e o inicial. Neste caso, se fossemos de 
B para A, teríamos 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴 − 𝐵 
Exemplo: Vamos calcular o vetor que liga o ponto 𝐴 = (1,0, −3) ao ponto 𝐵 =
(1,−1,−2). Então 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (1,−1,−2) − (1,0,−3) 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1 − 1,−1 − 0,−2 + 3) = (0,−1,1) 
Módulo de um vetor: 
O módulo de um vetor (o tamanho da flechinha) pode ser calculado através de suas 
componentes. Suponha 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), o módulo desse vetor, que representamos por 
|𝑣 | é calculado pela fórmula 
|𝑣 | = 𝑥1
2 + 𝑦1
2 + 𝑧1
2 
 
 
 
 
 
 
Parte II: Operações com vetores 
Soma de vetores: 
Representamos a soma de dois vetores 𝑎 e �⃗� como um terceiro vetor 𝑠 . 
Para representarmos geometricamente essa soma, usamos a regra do paralelogramo: 
• Desenhamos os dois vetores unindo as pontas traseiras (cuidado para não alterar 
o sentido e a direção dos vetores fornecidos); 
 
• Fazemos uma cópia de cada vetor da soma e fechamos um paralelogramo como 
o abaixo: 
 
• O vetor 𝑠 será representado pelo vetor que liga a junção das partes de trás dos 
vetores com as pontinhas: 
 
 
 
 
Agora, se tivermos as componentes dos vetores 𝑎 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e �⃗� =
(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) calculamos a soma como 
𝑠 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) 
Propriedades da soma de vetores: 
• Comutativa: 𝑎 ⃗⃗⃗ + �⃗� = �⃗� + 𝑎 
• Associativa: (𝑎 + �⃗� ) + 𝑐 = 𝑎 + (�⃗� + 𝑐 ) 
Diferença entre vetores: 
Tudo o que fazemos para a soma funciona aqui só precisamos trocar um dos vetores �⃗� 
por −�⃗� . Na prática, isso só inverte o seu sentido. Por exemplo, vamos calcular �⃗� = 𝑎 −
 �⃗� . A representação dos vetores fica: 
 
E podemos realizar todos os passos anteriores com 𝑎 e com o vetor −�⃗� . A representação 
da soma fica: 
 
 
 
Agora, se tivermos as componentes dos vetores 𝑎 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 
calculamos a subtração como 
�⃗� = (𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2, 𝑧1 − 𝑧2) 
Multiplicação por um número real 𝒌 
• Representação: 𝑘�⃗� 
• 𝑘�⃗� = 𝑘(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) = (𝑘𝑥1, 𝑘𝑦1, 𝑘𝑧1) 
• Na representação geométrica, multiplicar um vetor por um número real é alterar 
o seu tamanho e seu sentido (dependendo do sinal de 𝑘): 
 
Parte III: Produto entre vetores 
Produto escalar ou interno 
𝑢 ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑣 𝑜𝑢 < 𝑢 ⃗⃗ ⃗, 𝑣 > 
Como calcular? 
Sendo �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), fazemos: 
𝑢 ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑣 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 = |�⃗� | |𝑣 | cos 𝜃 
Onde 𝜃 é o ângulo formado entre os vetores. 
 Propriedades do produto escalar: 
• Comutativa: 𝑢 ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑣 = 𝑣 ⃗⃗⃗ ∙ �⃗� 
• Distributiva em relação à adição de vetores: 𝑢 ⃗⃗ ⃗ ∙ (𝑣 + �⃗⃗� ) = 𝑢 ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑣 + 𝑢 ⃗⃗ ⃗ ∙ �⃗⃗� 
• O produto escalar entre vetores ortogonais (que fazem 900 entre si) é sempre 
zero 
Obs: Algumas vezes nos pedem para calcular o ângulo entre os vetores dados. Usamos 
essa fórmula aqui: 
cos 𝜃 = 
𝑢 ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑣 
|�⃗� | |𝑣 |
 
 
 
 
Produto vetorial 
�⃗� × 𝑣 
 
Podemos calcular o módulo do produto vetorial por meio da fórmula: 
|�⃗� × 𝑣 | = |�⃗� | |𝑣 | sen 𝜃 
Propriedades do produto vetorial 
• �⃗� × �⃗� = 0⃗ para qualquer que seja o vetor �⃗� 
• �⃗� × 𝑣 = − 𝑣 × �⃗� , o produto vetorial não é comutativo 
• �⃗� × (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� × 𝑣 + �⃗� × �⃗⃗� 
• �⃗� × 𝑣 = 0⃗ se, e somente se, um dos vetores é nulo ou os vetores são colineares 
• O resultado de �⃗� × 𝑣 é um vetor que é perpendicular aos vetores �⃗� e 𝑣 
• O produto vetorial não é associativo: �⃗� × (𝑣 × �⃗⃗� ) ≠ (�⃗� × 𝑣 ) × �⃗⃗� 
 
 
 
Exercícios: 
1) Dados os vetores �⃗� e 𝑣 da figura, mostrar, num gráfico, um representante do 
vetor: 
 
a)�⃗� − 𝑣 
b) 𝑣 − �⃗� 
c) −𝑣 − 2 �⃗� 
d) 2 �⃗� − 3 𝑣 
2) Calcular 𝑎 e 𝑏 de modo que os pontos 𝐴(3,1, −2), 𝐵(1,5,1) e 𝐶(𝑎, 𝑏, 7) sejam 
colineares 
3) Calcular o ângulo entre os vetores �⃗� = (1,1,4) e 𝑣 = (−1,2,2). 
4) Calcule o produto vetorial entre �⃗� = (1,2,3) e 𝑣 = (−1,1,2) 
5) Determinar o valor de 𝑚 para que o vetor �⃗⃗� = (1,2,𝑚) seja simultaneamente 
ortogonal aos vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (2,−1,0) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (1,−3,−1)