Cap 9

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Mecânica Geral
Capítulo 9 – Centro de Gravidade e Centroide
Prof.: Kelvin Barbosa
E-mail: kelvincristien@ucl.br
Faculdade do Centro Leste Graduação – www.ucl.br
Objetivos
 Discutir o conceito de centro de gravidade, centro de massa
e centroide.
 Mostrar como determinar a localização do centro de
gravidade e do centroide de um sistema de pontos
materiais e de um corpo de formato arbitrário.
Centro de Gravidade e Centro de Massa de um Sistema de Pontos Materiais
Centro de gravidade: é um ponto no qual se localiza o peso
resultante de um sistema de pontos materiais. Sendo que o
peso resultante é igual ao peso de todos os n pontos
materiais, isto é: 𝑊𝑅 = 𝑊
 𝑥𝑊𝑅 = 𝑥1𝑊1 + 𝑥2𝑊2 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑊𝑛
 𝑦𝑊𝑅 = 𝑦1𝑊1 + 𝑦2𝑊2 + ⋯+ 𝑦𝑛𝑊𝑛
 𝑧𝑊𝑅 = 𝑧1𝑊1 + 𝑧2𝑊2 + ⋯+ 𝑧𝑛𝑊𝑛
 𝑥 =
 𝑥𝑊
 𝑊
 𝑦 =
 𝑦𝑊
 𝑊
 𝑧 =
 𝑧𝑊
 𝑊
 𝑥, 𝑦, 𝑧 - coordenadas do centro de gravidade G do sistema 
de pontos materiais.
 𝑥, 𝑦, 𝑧 - coordenadas de cada ponto material no sistema.
 𝑊- soma resultante dos pesos de todos os pontos 
materiais do sistema.
Centro de Gravidade e Centro de Massa de um Sistema de Pontos Materiais
Centro de massa: é um ponto no qual se localiza a massa
resultante de um sistema de pontos materiais. Sendo que a massa
resultante é igual a massa de todos os n pontos materiais, isto é:
𝑚𝑅 = 𝑚
De forma análoga ao centro de gravidade , temos:
 𝑥 =
 𝑥𝑚
 𝑚
 𝑦 =
 𝑦𝑚
 𝑚
 𝑧 =
 𝑧𝑚
 𝑚
• 𝑥, 𝑦, 𝑧 - coordenadas do centro de massa do sistema de pontos
materiais.
• 𝑥, 𝑦, 𝑧 - coordenadas de cada ponto material no sistema.
• 𝑚- soma resultante das massas de todos os pontos materiais do
sistema.
Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centróide de um Corpo
Centro de gravidade: um corpo rígido é composto de
infinitas partículas, dessa forma, torna-se necessário usar a
operação de integração em vez de um somatório de termos.
 𝑥 =
 𝑥 𝑑𝑊
 𝑑𝑊
 𝑦 =
 𝑦 𝑑𝑊
 𝑑𝑊
 𝑧 =
 𝑧 𝑑𝑊
 𝑑𝑊
Para aplicação adequada dessas equações, o peso
infinitesimal 𝑑𝑊 deve ser expresso em função de seu
volume infinitesimal 𝑑𝑊.
Sendo 𝑑𝑊 = γ𝑑𝑉, onde γ é o peso específico do corpo.
Dessa forma, a equação fica da seguinte forma:
Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centróide de um Corpo
Centróide (C): é o ponto que define o centro geométrico de
um objeto.
Volume: se o objeto é subdividido em elementos de volume
infinitesimais 𝑑𝑉, a localização do centroide C ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) para o
volume do objeto pode ser determinado pela seguinte
expressão:
Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centróide de um Corpo
Área: de forma análoga, o centroide para área da superfície de
um objeto, como uma placa ou uma concha, pode ser obtido
subdividindo-se a área do objeto em elementos de áreas
infinitesimais 𝑑𝐴.
Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centróide de um Corpo
Linha: se a geometria do objeto, tal como uma barra fina ou
um fio, tem o formato de um fio, a localização do centroide
para elementos infinitesimais 𝑑𝐿, é dada por:
Exemplos
Ex.1: Localize o centroide da área mostrada na figura.
Corpos Compostos
Um corpo composto consiste em um conjunto de corpos de
formatos ‘mais simples’ que podem ser retangulares,
triangulares e circulares, etc.
Esse corpo pode ser segmentado ou dividido em suas partes
constituintes e, contando que o peso e a localização do centro
de gravidade de cada uma dessas partes sejam conhecidos,
podemos eliminar a necessidade de integração para obter o
centro de gravidade do corpo como um todo.
 𝑥 =
 𝑥𝐴
 𝐴
 𝑦 =
 𝑦𝐴
 𝐴
 𝑧 =
 𝑧𝐴
 𝐴
Exemplos
Ex.2: Localize o centroide da área da placa mostrada na
figura.
Exemplos
Ex.3: Localize o centroide da área da placa mostrada na
figura.
Exercícios de Fixação
Exercício 1: Localize o centroide ( 𝑥 e 𝑦) da área sombreada.
Exercícios de Fixação
Exercício 2: Localize o centroide ( 𝑥 e 𝑦) da área sombreada.
Exercícios de Fixação
Exercício 3: Localize o centroide ( 𝑥 e 𝑦) do fio uniforme
dobrado no formato mostrado.
Exercícios de Fixação
Exercício 4: Determine a localização 𝑦 do centroide da área
da seção reta da viga. Despreze as dimensões das soldas das
quinas em A e B para esses cálculos.
Exercícios de Fixação
Exercício 5: A barragem de gravidade é feita de concreto.
Determine a localização ( 𝑥 e 𝑦) do centro de gravidade G para
a parede.
Exercícios de Fixação
Exercício 6: Um pontalete de alumínio tem seção transversal
conhecida como chapéu fundo. Localize o centroide 𝑦 de sua
área. Cada parte constituinte tem espessura de 10 mm.
Exercícios de Fixação
Exercício 7: Determine a localização 𝑦 do eixo 𝑥 𝑥 do
centroide da área da seção transversal da viga. Despreze as
dimensões das soldas na quinas em A e B para esses cálculos.
Exercícios de Fixação
Exercício 8: Determine a localização ( 𝑥 e 𝑦) do centroide C da
área da figura.