ENGENHARIA ECONÔMICA (3)

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Matemática Financeira e 
 Engenharia Econômica 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
 
2013 
v.5.6 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A958m AVILA, Antonio Victorino. 
 Matemática financeira e engenharia econômica / Antonio 
Victorino Avila; Florianópolis. ”Programa de Educação Tutorial 
da Engenharia Civil – UFSC”, 2013. 
228 p.: il. color. ; 24 cm. 
 
 
 Inclui Bibliografia. 
 
 
 1. Matemática financeira. 2. Engenharia econômica. 3. 
Juros. 4. Capital. 5. Comissionamento de Ativos. 5. 
Substituição de Ativos. I. Título. 
 
 CDU 624 
 
 Catalogação na publicação por Graziela Bonin – CRB14/1191 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ENGENHARIA ECONÔMICA 
Copyright do autor 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
3 
 
 
 
ÍNDICE 
 
PRÓLOGO ..................................................................................................... 7 
1. Premissas e Conceitos ......................................................................... 8 
1.0 – Introdução. ....................................................................................... 8 
1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. ...................................... 8 
1.2 – Premissas. ........................................................................................ 9 
1.3 - Nomenclatura das taxas de juros. ................................................ 12 
1.4 – Composição da Taxa Real ........................................................... 13 
1.5 – Definições ....................................................................................... 14 
2. Matemática Financeira .................................................................. 16 
2.0 - Introdução ....................................................................................... 16 
2.1 – Conceituações de Juros ............................................................... 16 
2.2 – Juros Simples ................................................................................ 17 
2.2.1 – Definição de Juros Simples. ...................................................... 17 
2.2.2 - Equações. .................................................................................. 17 
2.2.3 - Operações de desconto. ............................................................ 18 
2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas ........................................... 21 
2.2.5 – Tempo Exato e Comercial ......................................................... 22 
2.2.6 – Exercícios Resolvidos ............................................................... 22 
2.2.7 – Exercícios Propostos. ............................................................... 24 
2.3 – Juros Compostos. ......................................................................... 26 
2.3.1 - Definição. ................................................................................... 26 
2.3.2 - Fórmulas Básicas:...................................................................... 26 
2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro ................................................... 27 
2.3.4 - Exemplos ................................................................................... 30 
2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. ......................... 31 
2.3.6 - Cuidados a observar. ................................................................. 32 
2.3.7 - Exercício Resolvido. ................................................................. 34 
2.4 - Relação entre as taxas nominal e real. ........................................ 35 
2.4.1 – Efeito da Inflação ...................................................................... 35 
2.4.2 – Relação entre taxas. .................................................................. 37 
2.4.3 – Inflação e Índices. ...................................................................... 38 
2.5 – Inflação Acumulada. ...................................................................... 40 
2.5.1 – Fórmulas Básicas. ..................................................................... 40 
2.5.2 – Atualização de valores monetários. ........................................... 41 
2.5.3 - Aplicação .................................................................................... 43 
2.6 – Exercícios Considerando Inflação. .............................................. 43 
3. Séries de Capitais .............................................................................. 50 
3.0 – Definição e Tipos. .............................................................................. 50 
3.1 – Série Uniforme Postecipada. ........................................................ 50 
3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. ................ 51 
3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. ........................................... 52 
3.1.3 - Exemplo. ..................................................................................... 54 
3.1.3 - Comparando Juros Simples e Compostos. ................................ 54 
3.2 – Série Infinita. ................................................................................... 55 
3.2.1 – Conceituação. ............................................................................ 55 
3.2.2 – Exercício Resolvido. .................................................................. 56 
3.3 – Série Uniforme Antecipada. .......................................................... 58 
3.3.1 – Valor Presente da Série Antecipada ......................................... 58 
3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. ............................................ 59 
3.3.3 – Aplicação. .................................................................................. 60 
3.4 – Série Diferida. ................................................................................. 62 
3.4.1 – Metodologia ............................................................................... 62 
3.4.2 - Aplicação .................................................................................... 63 
3.5 – Exercícios Propostos. ................................................................... 64 
4. Amortizações de Dívidas ................................................................ 68 
4.1 – Tipos de Sistemas. ......................................................................... 68 
4.2 - Sistemas de Amortização Constante - SAC ................................. 69 
4.2.1 – A metodologia ............................................................................ 69 
4.2.2 - Exemplo ...................................................................................... 70 
4.3 - Sistemas de prestação constante ................................................. 71 
4.3.1 - Conceituação .............................................................................. 71 
4.3.2 – Metodologia de Calculo. ............................................................ 71 
4.3.3 - Exemplo ...................................................................................... 72 
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4 
 
4.4 – O sistema de amortização variável. ............................................. 72 
4.4.1 – Conceituação. ........................................................................... 72 
4.4.2 - Metodologia ................................................................................ 73 
4.4.3 – Comentários ..............................................................................73 
4.4.3 - Exemplo ..................................................................................... 74 
4.5 - O sistema americano. .................................................................... 74 
4.5.1 - Metodologia. ............................................................................... 74 
4.5.2 - Exemplo. .................................................................................... 75 
4.6.1 – Característica ............................................................................ 75 
4.6.2 – Relação entre Amortizações. .................................................... 76 
4.6.3 – Determinação da Prestação. ..................................................... 76 
4.6.4 – Equivalência Financeira. ........................................................... 77 
4.6.5 – Exemplo. ................................................................................... 78 
4.7 – O sistema de amortização crescente - SACRE ........................... 79 
4.7.1 – O Sistema .................................................................................. 79 
4.7.2 – A metodologia. .......................................................................... 79 
4.7.3 – Exemplo .................................................................................... 80 
4.7.4 - Comentários ............................................................................... 81 
4.8 – Correção do saldo devedor. ......................................................... 81 
4.8.1 – Procedimentos .......................................................................... 81 
4.8.2 – Metodologia ............................................................................... 82 
4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC ....................................................... 83 
4.9 – Exercícios. ................................................................................. 84 
5. –Engenharia Econômica. ................................................................ 91 
5.1 – Conceituação. ................................................................................ 91 
5.2 – Análise de Viabilidade. .................................................................. 92 
5.2.1 - Conceito de Viabilidade ............................................................. 92 
5.2.2 – Premissas. ................................................................................. 92 
5.3 – O Fluxo de Caixa ........................................................................... 95 
5.3.1 – Conceituação ............................................................................ 95 
5.3.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. ........................................ 95 
5.3.3 – Calculo do Fluxo de Caixa ........................................................ 96 
5.4 – Valor Presente. ............................................................................... 97 
5.4.1 – Valor de um Ativo. ..................................................................... 97 
5.4.2 – Calculo do Valor Presente Líquido. .......................................... 98 
5.4.3 – Diagrama de Valor Presente ..................................................... 99 
5.4.4 – Exemplo de Aplicação ............................................................. 100 
5.5 – A TMA: Taxa de Mínima Atratividade ........................................ 101 
5.5.1 – Conceito de TMA ..................................................................... 101 
5.5.2 – Definição da TMA .................................................................... 102 
5.6 – A TIR – Taxa Interna de Retorno ................................................. 103 
5.7 - Previsão de Fluxo de Caixa. ....................................................... 105 
5.7.1 – Modelo de Procedimento ......................................................... 105 
5.7.2 – Informações Gerenciais. .......................................................... 106 
5.8 – Tributos e Depreciação ............................................................... 106 
5.8.1 – Influência dos Tributos. ........................................................... 106 
5.8.2 – Influencia da Depreciação. ...................................................... 107 
5.9 – Classificação dos Investimentos. ............................................... 108 
5.9.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. ........................................ 108 
5.9.2 – Disponibilidade de Recursos. .................................................. 109 
5.10 - O processo de decisão ............................................................... 110 
5.11 – Exercícios Resolvidos. .............................................................. 111 
5.12 - Exercícios Propostos. .............................................................. 111 
6. Método do Valor Presente. ............................................................ 114 
6.1 – Coerência de resultados. ............................................................ 114 
6.1.1 - Projetos na mesma classe de risco .......................................... 114 
6.1.2 - A mesma taxa de desconto. .................................................... 114 
6.1.3 - Projetos com idêntica vida útil. ................................................ 114 
6.1.4 - Distinguir projetos de longa duração ........................................ 115 
6.2 – O Método do valor presente. ....................................................... 115 
6.2.1 – Incremento de Riqueza. .......................................................... 115 
6.2.2 - Decisão ..................................................................................... 116 
6.2.3 – Diagrama de valor presente .................................................... 121 
6.3 - Análise de Sensibilidade - Risco. ................................................ 123 
6.3.1 – Conceituação. .......................................................................... 123 
6.3.2 – Domínio viável de produção. ................................................... 124 
6.4 – Aplicação. ..................................................................................... 125 
6.5 - Equalização de tempos de projetos. .......................................... 128 
6.5.1 – Reinvestimento em ativos semelhantes .................................. 128 
6.5.2 – Caso de Rigidez das Alternativas ............................................ 129 
6.5.3 – Caso de Outras Oportunidades. .............................................. 130 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
5 
 
6.6 – Exercício Resolvido. .................................................................... 131 
6.7 – Exercícios Propostos .................................................................. 132 
7. Método da Recuperação de Capital ........................................... 140 
7.1 - Introdução ..................................................................................... 140 
7.2 - Metodologia. .................................................................................. 140 
7.3 – Exercício. ...................................................................................... 142 
8. Valor Uniforme Equivalente ........................................................ 143 
8.1 – Introdução .................................................................................... 143 
8.2 - Decisão .......................................................................................... 144 
8.3 – Metodologia. ................................................................................. 145 
8.4 – Aplicação da Metodologia. ......................................................... 146 
8.4.1 – Procedimentos. ....................................................................... 146 
8.4.2 - Resolução do Caso .................................................................146 
8.5 - Caso de Reinvestimento. ............................................................ 149 
8.5.1 – Conceituação e Artifício. ......................................................... 149 
8.5.2 – Manutenção em Comissionamento......................................... 150 
8.5.3 – Análise Crítica. ........................................................................ 152 
8.6 – Exercício Resolvido ..................................................................... 153 
8.7 – Exercício Proposto. ................................................................ 155 
9. Taxa Interna de Retorno ............................................................... 157 
9.1 - Definições ...................................................................................... 157 
9.2 - Decisão .......................................................................................... 157 
9.3 – Discutindo a TIR e a TMA ............................................................ 158 
9.4 – Utilização recomendada. ............................................................. 159 
9.4.1 - Caso de títulos mobiliários. ...................................................... 159 
9.4.2 - Caso de financiamentos. ......................................................... 160 
9.4.3 – Caso de investimentos produtivos .......................................... 161 
9.5 – Calculo da TIR. ............................................................................. 162 
9.5.1 – Função Polinomial ................................................................... 162 
9.5.2 - Processo da Bisseção. ............................................................ 163 
9.5.3 – Aplicação da metodologia ....................................................... 165 
9.6 - Existência de múltiplas TIR ......................................................... 166 
9.6.1 – Conceituação. .......................................................................... 166 
9.6.2 – Exemplo ................................................................................... 168 
9.7 – Exercícios. .................................................................................... 168 
10. Métodos Algébricos. ....................................................................... 171 
10.1 – Fórmulas de Karpin .................................................................... 171 
10.2 - Caso de Prestações Constantes. .............................................. 172 
10.2.1 – O método .............................................................................. 172 
10.2.2 – Aplicação ............................................................................... 173 
10.3 - Caso de Prestações Crescentes. .............................................. 173 
10.3.1 – O Método ............................................................................... 173 
10.3.2 – Aplicação ............................................................................... 174 
10.4 – Caso de Prestações Decrescentes........................................... 174 
10.4.1 – O Método. .............................................................................. 174 
10.4.2 – Aplicação. .............................................................................. 175 
10.5 - Exercícios. ................................................................................... 176 
11. – Comissionamento de Ativos. ................................................... 178 
11.1 – Definição ..................................................................................... 178 
11.2 – Tipos de Comissionamentos .................................................... 178 
11.3 – Metodologia. ............................................................................... 178 
11.3.1 – Decisão. ................................................................................. 178 
11.3.2 - Compra a vista ....................................................................... 179 
11.3.3 - Compra a prazo ...................................................................... 180 
11.3.4 - Aluguel com devolução do bem ............................................. 180 
11.3.5 - Aluguel sem devolução do bem ............................................. 181 
11.4 - Leasing-back. .............................................................................. 181 
11.5 – Exercício ..................................................................................... 182 
12 – Alienação de Ativos. .................................................................... 187 
12.1 – Introdução. .................................................................................. 187 
12.2 - Baixa Sem Reposição. ................................................................ 188 
12.2.1 – Processo de decisão. ............................................................ 189 
12.2.2 – Exemplo. ................................................................................ 189 
12.3 - Baixa com Reposição. ................................................................ 190 
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12.3.1 - Reforma ou Substituição por não Similar. ............................. 190 
12.3.2 - Continuidade da Produção com Equipamento Similar. ......... 191 
12.4 - Mudança de Tecnologia. ............................................................ 192 
12.5 - Ativos Com Longa Vida Útil ...................................................... 193 
12.6 – Exercícios. .................................................................................. 193 
12.6.1 - Análise de alienação de ativo ............................................... 193 
12.6.2 - Data de Alienação. ................................................................. 194 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 200 
ANEXOS - Casos e Trabalhos ................................................................ 201 
Anexo I ....................................................................................................... 202 
– Trabalhos. .............................................................................................. 202 
I.1 – Trabalho: Análise de Fluxo de Caixa. ........................................ 203 
I.2 - Trabalho: Métodos de amortização. ............................................ 206 
I.3 – Trabalho: Viabilidade de troca de lâmpadas ............................ 208 
Anexo II ...................................................................................................... 211 
- Casos em Engenharia Econômica. ..................................................... 211 
II.1 – Caso: Ampliação da Sede. ........................................................ 212 
II.2 – Caso: Fabrica de protendidos. ................................................... 213 
II.3 – Caso: Implantação de Termelétrica. .......................................... 214 
II.4 – Caso: Viabilidade de construção de ponte. .............................. 215 
II.5 – Caso: Refinaria de petróleo ........................................................ 215 
II.6 – Caso: Aquisição de prensas. ...................................................... 216 
II.7 – Caso: Financiamento de residência. ........................................ 216 
II.8 – Caso: Venda de Apartamento. ................................................... 217 
II.9 – Caso: Plano de Construção ....................................................... 217 
Anexo III ..................................................................................................... 219 
– Tabelas Financeiras. ............................................................................. 219 
 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
7PRÓLOGO 
 
O objetivo desta publicação é dispor ao aluno de uma 
expressão documental coerente com o conteúdo apresentado 
em sala de aula. E, assim, permitir o acompanhamento e a 
participação nas discussões realizadas em sala de aula. 
 
 O conteúdo abordado abrange a Matemática Financeira 
e a Engenharia Econômica. 
 
 A Engenharia Econômica corresponde ao campo do 
conhecimento que abrange métodos ou modelos que, 
baseados em fatores técnicos, financeiros e sociais, permitem 
o julgamento de conjunto de alternativas propostas para a 
aplicação ou utilização de recursos, sejam naturais, 
tecnológicos ou, financeiros, favorecendo a sua otimização. 
 
 A Engenharia Econômica inicia pelo conhecimento da 
Matemática Financeira, campo da matemática destinada à 
análise de juros, equivalência de capitais de capitais 
considerando, especialmente, sob a ótica do binômio juros 
versus tempo. 
 
 A importância desta área do conhecimento para o 
engenheiro é que, inexoravelmente, no exercício da sua 
profissão e como gestor, se deparará com decisões de 
inversão de capital em: alternativas de investimentos em ativos 
e equipamentos; aplicação de capital financeiro; manutenção, 
baixa e substituição de ativos; previsão de exigibilidades de 
caixa; etc.. 
 
 Além disso, a análise de viabilidade financeira de 
projetos é uma das atividades profissionais dos engenheiros 
definidas pela Lei 5.194 e pela Resolução 1.010 do CONFEA 
quando elencam o campo das atividades do profissional. 
 
No Brasil, cinco erros são comumente efetuados: 
 
 Desconsiderar a perda do valor aquisitivo da moeda no 
tempo; 
 Não distinguir entre juros descontados de juros 
postecipados; 
 Utilizar a matemática dos juros simples em lugar de juros 
compostos; 
 Confundir juros nominais com juros reais; 
 Respeitar a aritmética dos juros compostos, mas, supondo 
que as taxas de juros se mantenham inalteradas no tempo. 
 
Erros que podem levar a decisões equivocadas sobre 
decisões de investimentos. E, incorrer em algum erro de 
decisão pode ser fatal para a rentabilidade de um projeto ou da 
liquidez da empresa. 
 
Assim sendo, o conhecimento de Engenharia Econômica 
é uma ferramenta de decisão imprescindível ao profissional 
enquanto tomador de decisão, pois instrumento de decisão no 
campo financeiro. 
 
 Finalizando, recomenda-se ao interessado consultar a 
bibliografia apresentada, pois o conteúdo exposto não esgota o 
assunto. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
MSc Eng.ª Produção 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
8 
 
 
 
 
1. Premissas e Conceitos 
 
 
1.0 – Introdução. 
 
 O objetivo deste capítulo é apresentar ao interessado 
uma série de premissas, conceitos e definições que amparam o 
processo de decisão financeira e os métodos de decisão 
utilizados na Matemática Financeira e na Engenharia 
Econômica. 
 
 Matemática Financeira é definida como sendo a área da 
matemática que descreve as relações entre o binômio tempo e 
dinheiro necessárias a amparar o calculo de decisões 
financeiras. 
 
 Assim sendo, a matemática financeira estuda, 
basicamente, a formação dos juros, os montantes de capital 
gerados, o valor de prestações em séries e a amortização de 
dívidas. 
 
A Engenharia Econômica contempla um conjunto de 
conhecimentos e metodologias que, amparadas na 
matemática financeira, permite realizar o processo de 
tomada de decisão quanto à eleição ou a classificação de 
alternativas de investimentos financeiros. 
 
Esses investimentos podem ser referentes a: 
aplicação de capital em ações; renda fixa ou variável; 
aquisição de bens e equipamentos; implantação de 
sistemas de produção ou de serviços; a baixa e a 
substituição de equipamentos; etc.. 
 
 
 
1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. 
 
 No sistema econômico em que vivemos a, demanda por 
fatores de capital necessários à produção de bens e serviços 
são: mão de obra; capital; terra; empresas; e a capacidade 
técnica, requer remuneração. 
 
Conforme o caso, esta remuneração recebe 
denominação distinta. Assim sendo, o capital é remunerado 
pelos juros; a terra pelo aluguel; a técnica ou patentes pelos 
royalties; a empresa pelo lucro ou taxa de mínima atratividade, 
TMA; a mão de obra pelo salário. Ver esquema da Figura 1.1 – 
Remuneração dos Fatores de Produção. 
 
Mão de 
Obra
H
Salário
Capital
H
Juros
Terra
H
Aluguel
Empresa
H
Lucro
-TMA-
Técnica
H
Royalties
Figura 1.1 - Remuneração dos Fatores de Produção
Fatores de Capital
 
 
Os juros, tanto podem ser relacionados a um 
empréstimo tomado por pessoa física ou jurídica, como ao 
financiamento tomado na aquisição de bens ou a remuneração 
do capital de sócios. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
9 
 
 
O objetivo desta obra será discutir a remuneração do 
capital, ou seja, os juros. E, o aumento de riqueza propiciado 
pela aplicação de capital em projetos de investimentos 
produtivos ou financeiros. 
 
 Para tanto, será discutido um conjunto de metodologias 
que permitam a realização de um coerente processo de 
decisão quanto à escolha de investimentos produtivos ou da 
aplicação de capital que atenda, corretamente, aos preceitos 
da Matemática Financeira e da Engenharia Econômica. 
 
 
1.2 – Premissas. 
 
 A matemática financeira e a engenharia econômica, 
como instrumentos de apoio à tomada de decisão, se apoiam 
nas seguintes premissas: 
 
1ª Premissa – MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA. 
 
O objetivo de utilizar a engenharia econômica e a 
matemática financeira é amparar um processo de decisão 
capaz de eleger a alternativa de investimentos que maximize o 
lucro e a riqueza dos proprietários, sempre. 
 
2ª Premissa – MOMENTO DA DECISÃO. 
 
As decisões financeiras devem enfocar o quanto uma 
ação efetuada no presente resultará em termos de aumento de 
riqueza no futuro. 
 
 Assim, ao ser analisado um empreendimento já em 
curso, a decisão em data presente em continuá-lo, em alterar a 
sua aplicação ou objetivo, ou simplesmente descontinua-lo 
deverá basear-se em perspectivas futuras e não em resultados 
passados. 
 
Só se decide sobre ações relativas ao futuro. O passado 
já ocorreu e sobre ele nada há que decidir. Em relação ao 
futuro só temos expectativas. De modo que as decisões são 
sempre formadas sobre expectativas. 
 
A 2ª Premissa estabelece que o momento da decisão 
seja sempre a data em que a mesma foi tomada: HOJE. 
 
Como se decide sobre expectativas futuras, há que se 
considerar a variação do valor aquisitivo da moeda no tempo 
para que haja consistência quando se compara valores 
monetários. 
 
Isto porque, é de entendimento comum e mesmo de 
modo intuitivo que, disponível uma quantidade de moedas na 
data de hoje, em data futura a quantidade de bens a adquirir 
com a mesma quantidade de moeda é diferente daquela 
anterior. 
 
Somente se somam ou se subtraem
 valores monetários
 correlacionados à mesma data.
Atenção! Coerência !
 
 
Sob essa consideração, toda operação efetuada com 
valores monetários, seja de adição de valores, ou seja, as 
entradas de caixa. Ou, a diminuição de valores, a exemplo de 
custos incorridos, investimentos realizados ou impostos 
devidos, deve ser correlacionada à data da tomada de decisão. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
10 
 
 
Dado o exposto, somente se somam ou se subtraem 
valores monetários financeiros quando correlacionados à 
mesma data, dada a variação do valor da morda no tempo. 
 
 
3ª Premissa - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. 
 
Financeiramente falando, uma soma de dinheiro na data 
de HOJE, e sob determinadascondições, pode ser 
monetariamente equivalente à outra soma diferente de dinheiro 
considerando a variação do tempo. 
 
Sob tal premissa, os critérios de decisão de 
investimentos devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo 
e, como corolário dessa premissa, a perda do poder aquisitivo 
do dinheiro com o passar do tempo. 
 
tempo
1.500 ≡
R$
5 x 385,00 R$
1 2 3 4 5 
Figura 1.2 – Equivalência de Valores Monetários
 
 
Para que um ativo mantenha o seu valor aquisitivo e, 
consequentemente, não perca valor no tempo, há que ser 
aplicado com um retorno equivalente à taxa de oportunidade 
definida pela empresa ou adotada pelo investidor. 
 
Como exemplo, seja um investidor dispondo de uma 
soma de capital equivalente a R$ 200.000,00 e havendo a 
oportunidade de aplicá-la a taxa de juros i=14,50 % ao ano, ao 
final de um ano a importância inicial montará em R$ 
229.000,00. 
 
O valor de R$ 229.000,00, nas condições relatadas é 
financeiramente equivalente ao valor inicialmente aplicado. 
 
Outro exemplo seja o caso do financiamento de um 
televisor, cujo preço de aquisição é de R$ 1.500,00 a ser 
quitado em cinco prestações iguais, mensais e consecutivas no 
valor de R$ 385,00. Ver Figura 1.2 – Equivalência de valores 
Monetários. 
 
Sob o conceito de equivalência financeira do valor da 
moeda no tempo, o montante das cinco prestações, a um custo 
de oportunidade de 8,94% ao período, é equivalente ao valor 
do financiamento. Ou seja: R$ 1.500,00 ≡ 5 × 385,00 R$. 
 
 
4ª Premissa – CUSTO DE OPORTUNIDADE. 
 
O custo de oportunidade corresponde à melhor 
remuneração a ser obtida por um fator de produção que seria 
obtida por ele, caso fosse aplicado em outra alternativa de 
investimento, mantida a mesma classe de risco. (Sotto Costa & 
Attie, 1984). 
 
Como corolário da definição acima, o custo de 
oportunidade corresponde à maior taxa de desconto a ser 
adotada quando se compara a rentabilidade de um dado 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
11 
 
projeto com a rentabilidade da melhor alternativa já disponível, 
considerando projetos situados na mesma classe de risco. 
 
A literatura existente trata o custo de oportunidade sob 
diversas denominações, tais como: taxa de rentabilidade, taxa 
de oportunidade; taxa de retorno; taxa de atratividade; taxa de 
desconto ou taxa de mínima atratividade - TMA. Como 
nomenclatura nesta obra será a adotada denominação de TMA 
para a taxa de oportunidade. 
 
Dentro dessa premissa, um investidor que dispõe da 
oportunidade de aplicar seus recursos a X%, e os vinha 
fazendo a taxa y% < X%, sua taxa de oportunidade passará a 
ser X%, pois esta será a melhor aplicação disponível para seus 
ativos. 
 
Figura 1.3 – Evolução da Taxa de Oportunidade
Tradicionalmente: 
Remuneração a k%
Oportunidade: Remuneração 
a X% sendo X% > k%
TMA E X%
 
 
Qualquer aplicação efetuada a taxa inferior que a de 
oportunidade reduz a realização ou a perspectiva de manter 
seus ganhos num determinado patamar de lucratividade, o que 
contraria a 1ª Premissa. 
 
Como exemplo da evolução da taxa de oportunidade, 
seja uma empresa que, tradicionalmente, remunera seus ativos 
à taxa de 15% ao ano. Esta é a sua taxa de oportunidade e 
ela não aceita em aplicar recursos á uma taxa inferior a ela. 
Porém, se conseguir remunerar a uma taxa mais elevada, tal 
como 18% ao ano, esta passará a ser a sua nova taxa de 
oportunidade. 
 
O conceito de considerar ou definir a remuneração do 
capital a ser investido como um custo de oportunidade parte do 
entendimento de que ao ser aplicado um capital numa 
alternativa qualquer, a empresa estaria perdendo a 
oportunidade de aplicá-lo em alternativas mais rentáveis a 
ocorrerem no futuro. 
 
 
5ª Premissa – DECISÃO & RESULTADO. 
 
É importante observar a diferença entre boas decisões e 
bons resultados, pois, nem sempre, são diretamente 
proporcionais. 
 
Uma boa decisão é a melhor possível, considerando o 
conhecimento disponível sobre qualquer ação em julgamento, 
no momento de sua realização. Havendo alteração do cenário 
previsto ou ocorrendo azar, uma boa decisão pode redundar 
num mau resultado. É um fato a ser considerado. 
 
A recíproca, porém, dificilmente se mostrará verdadeira, 
ou seja, uma má decisão propiciando em bom resultado. Esta 
assertiva contraria a lei de Murphi que diz: “existindo a 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
12 
 
probabilidade de algum fenômeno dar errado, com certeza ele 
dará errado...“. 
 
A ocorrência de uma boa decisão esta vinculada a 
disponibilidade de dados e informações confiáveis e que as 
alternativas reflitam as condições de mercado da época em que 
foram desenvolvidas. São dados perfeitamente controláveis e 
dependentes da acuidade do decisor. Cabe ao analista, 
elaborar um processo com a melhor qualidade possível, 
visando à fidedignidade dos resultados. 
 
Recomenda-se a realização de auditorias pós - decisão 
visando analisar o processo decisório passado e aperfeiçoar a 
qualidade das decisões futuras. É um processo que educa os 
responsáveis por decisões possibilitando avaliar o desempenho 
da organização. 
 
 
1.3 - Nomenclatura das taxas de juros. 
 
O mercado de capitais e o comércio utilizam uma 
nomenclatura variada para definir as taxas de juros praticadas, 
muitas vezes utilizando denominação diferente para a mesma 
taxa. 
 
 Visando o entendimento das nomenclaturas utilizadas, 
são apresentadas as seguintes definições: 
 
a) Taxa Básica - é a taxa que estabelece a remuneração do 
capital estabelecida por seu proprietário e medida em 
termos de moeda de poder aquisitivo constante. Moeda de 
poder aquisitivo constante é aquela cujo poder de compra 
se mantém inalterada no tempo. Logo, nesta taxa, não está 
embutido o efeito da inflação. 
 
b) Taxa Real – corresponde à taxa básica acrescida de 
outros custos, tributos e do risco vinculado ao tomador do 
recurso. 
 
c) Taxa Nominal – corresponde à remuneração do capital 
expressa em termos de valores de moeda corrente. Esta 
taxa engloba a taxa real e a inflação prevista. Também 
pode ser denominada de taxa efetiva. Neste caso 
corresponde à taxa empregada para a atualização e 
pagamento de valores monetários. 
 
d) Taxa Efetiva – É a que corresponde, exatamente, ao custo 
do dinheiro empregado ou tomado emprestado. Pode ser 
definida, também como aquela que incide sobre o capital 
efetivamente exposto ao risco. 
 
A Taxa Efetiva, então, corresponde à razão entre o custo 
do capital tomado e o valor efetivamente recebido. E, deve ser 
entendida como a efetiva taxa de juros a ser paga pelo tomador 
do recurso. 
 
iEfetiva =
Custo do Capital
Valor Recebido
 
ou 
 iEfetiva =
∑(Juros + Encargos)
Valor Financiado
 
 
 
e) Taxa Declarada – é aquela declarada ou registrada 
nominalmente nos contratos. Normalmente ela é a base 
para o cálculo do juro a ser pago em uma operação. 
 
A taxa declarada pode ser considerada como sendo a taxa 
nominal quando expressamente estabelecida em contrato. Ou, 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
13 
 
à taxa real quando o contrato estabelecer, numa clausula a 
taxa de juros e, noutra cláusula, o índice de correção da 
inflação. 
 
f) Taxa Bruta e Taxa Líquida – são aquelas referentes à 
remuneração bruta ou líquida da inversão, 
respectivamente, antes ou depois da consideração dos 
impostos, comissões, incentivos fiscais, etc. incidentes 
sobre a operação de empréstimo. 
 
Da definição acima, pode-se concluir que a taxa bruta 
pode corresponder à taxa efetivade juros. 
 
g) Juros Descontados - os juros são ditos descontados quanto 
pagos no ato da operação financeira que lhes deu origem. 
Considerando que os juros efetivamente pagos são 
calculados sobre o capital efetivamente recebido, a taxa 
efetiva é superior à taxa expressa ou pactuada. Neste caso 
a situação é mais favorável ao fornecedor do recurso. 
 
h) Juros Postecipados – os juros são ditos postecipados 
quando pagos na data de vencimento da operação 
financeira que lhe deu origem. Neste caso, os juros 
efetivamente pagos e pactuados são equivalentes, situação 
em que os juros são mais favoráveis ao tomador do 
recurso. 
 
Pelo exposto neste item, pode se constatar certo conflito de 
entendimento entre algumas das definições. 
 
 Cabe ao tomador do recurso verificar o conceito ou a 
composição das taxa a ser estipulada em cada contrato, pois 
pode haver entendimento diferente entre instituições 
financeiras distintas quanto a definições de taxas de juros 
expressas em contrato. 
 
No transcorrer deste livro e para efeitos didáticos, serão 
utilizadas como nomenclatura, apenas, a taxa nominal e a taxa 
real. Esta ultima, na maioria dos exercícios considerados neste 
livro, com a conotação de taxa básica. 
 
 
1.4 – Composição da Taxa Real 
 
A taxa real de juros praticada no mercado financeiro não 
é uma simples taxa que expressa a remuneração desejada 
pelo capitalista. Ela resulta da composição de custos, tributos e 
do risco incidentes sobre uma operação financeira. 
 
Resumidamente, corresponde à soma da remuneração 
básica do capital estipulada pelo capitalista acrescida de uma 
taxa suplementar denominada, no mercado financeiro, de 
spread. 
 
iR = iB + iSPREAD 
 
 A taxa do spread tem por objeto cobrir os seguintes 
custos: comissões de corretagem, iF, (também denominada 
flat); custos vinculados ao processo da intermediação 
financeira, iC; tributos sobre operações financeiras, α; e, uma 
taxa de remuneração de risco, iρ. 
 
 Dado o acima exposto, o modelo passa a ter a seguinte 
expressão, sendo cada uma das variáveis relacionadas 
expressa em percentagem: 
 
iR = iB + ( iF + iC + αIOF + iρ) 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
14 
 
 No Brasil, o tributo incidente sobre operações financeiras 
é o IOF, cujas alíquotas são definidas por lei e disponíveis do 
site da Receita Federal. 
 
 O valor da taxa de risco, iρ, é definido segundo a 
classificação do nível de risco atribuída ao tomador do recurso. 
 
Para tanto são consideradas as seguintes variáveis: o 
histórico comercial de crédito do tomador dos recursos, as 
garantias reais que oferece e da vulnerabilidade do mercado 
onde atua. 
 
 A taxa básica de juros, iB, varia de país para país sendo 
determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais. 
 
Como exemplos, no Brasil, ela é denominada de SELIC 
e periodicamente estabelecida pelo Banco Central. Nos 
Estados Unidos é denominada de Prime Rate e na Inglaterra 
de Libor. 
 
 
1.5 – Definições. 
 
 Neste item são definidos alguns conceitos a serem 
utilizados nesta obra. 
 
 Entender esses conceitos é importante para a gestão da 
organização, pois são comuns a áreas do conhecimento como 
a contabilidade e ao controle de custos. Assim sendo, as 
Figuras 5.9, 5.10 mostram, respectivamente, um modelo do 
ativo e do passivo do balanço patrimonial e a 5.11 o 
demonstrativo de resultados do exercício, DRE. 
 
a) Gastos e dispêndios correspondem à assunção de qualquer 
compromisso financeiro a ser quitado à vista ou futuramente 
e que propicie saída de dinheiro do caixa. 
 
b) Custo corresponde a todo dispêndio efetuado com a 
produção de um bem ou serviço. São classificados como 
diretos e indiretos. Os diretos são os custos realizados no 
esforço de produção de um bem ou serviço. Os indiretos 
são alocados ao esforço de produção, comumente, por 
meio de algum processo de rateio. 
 
Contabilmente, os custos são apropriados no DRE, o que 
permite a apuração do resultado do exercício. 
 
c) Despesa corresponde a todo dispêndio que não se 
identifica com o processo de produção de um bem ou 
serviço. Elas são relacionadas aos gastos incorridos com a 
estrutura comercial e administrativa da organização. 
 
Contabilmente, as despesas são apropriadas no DRE, ver 
Figura 5.9, visando à apuração do resultado do exercício. 
 
d) Investimento corresponde a qualquer dispêndio realizado 
com a aquisição de bens móveis, imóveis ou intangíveis que 
integram os ativos da organização, bem como os insumos 
estocados visando consumo futuro. 
 
Contabilmente, os investimentos são apropriados em contas 
do Ativo, ver Figura 5.10, visando registrar o patrimônio, bens e 
direitos, disponíveis pela organização no final de cada 
exercício. 
 
Assim sendo, os valores de capital de giro e estoques são 
apropriados no Ativo Circulante. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
15 
 
Investimentos em bens móveis ou imóveis e a participação 
societária em outras empresas são apropriados no Ativo Não 
Circulante. 
 
São apropriados no Ativo Não Circulante, também, direitos 
realizáveis em longo prazo e o intangível. 
 
e) Valor Econômico – corresponde ao valor ou soma de 
valores que não consideram a perda do valor aquisitivo da 
moeda no tempo. 
 
f) Valor Financeiro – corresponde ao valor ou soma de 
valores que consideram a perda do valor aquisitivo da 
moeda no tempo. 
 
É interessante notar que no balanço são apropriados 
valores econômicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
16 
 
 
 
2. Matemática Financeira 
 
 
2.0 - Introdução 
 
Por definição, a Matemática Financeira corresponde à 
área da matemática que descreve as relações entre o binômio 
tempo e dinheiro necessárias a amparar o calculo de decisões 
financeiras. 
 
Neste capítulo, então, serão discutidas essas relações e 
que permitem realizar operações de equivalência de capitais. 
 
 
2.1 – Conceituações de Juros 
 
Juro, também denominado de interesse, é definido como a 
remuneração efetuada tanto a um dinheiro tomado emprestado 
como ao capital empregado em atividade produtiva ou 
aplicação financeira. 
 
Ao ser pactuada uma operação financeira, alguns 
parâmetros devem ser estabelecidos: 
 
E A taxa de juros referente ao período da operação; 
E O prazo de carência; 
E O período de capitalização ou contabilização dos juros; 
E O índice de correção monetária do saldo devedor; 
E O sistema de remuneração do capital. 
 
A remuneração de um capital pode ser efetuada sob dois 
sistemas que diferem conforme a incidência dos juros sobre o 
capital: o dos juros simples e o dos juros compostos. 
 
 
 
É importante ter em mente que a taxa de juros 
efetivamente paga é aquela que incide sobre o capital 
efetivamente recebido ou disponível para o próprio manuseio. 
 
É comum ao se efetuar uma operação financeira existirem: 
taxas de abertura de crédito; os juros serem pagos 
antecipadamente ao haver uma operação de desconte de título 
de crédito; haver o pagamento de uma entrada no caso de 
financiamento de bens de consumo. 
 
 Em todos esses casos, sob quaisquer dos dois sistemas 
de juros acima mencionados, o princípio a ser estabelecido é 
que a remuneração do capital tomado emprestado, isto é, os 
juros, sejam sempre calculados sobre a importância 
efetivamente recebida. 
 
Observando esse princípio, é possível verificar quando a 
taxa de juros pactuada e a efetivamente praticada são idênticas 
ou distintas. 
 
 
E Juros Simples
E Juros CompostosENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
17 
 
2.2 – Juros Simples 
 
2.2.1 – Definição de Juros Simples. 
 
Por definição, no sistema de remuneração de capital sob 
a matemática de juros simples somente o principal rende juros 
durante todo o tempo em que foi pactuado o financiamento. 
Esquematicamente representado na Figura 2.1. 
S=P+J
P
R$
1 2 3 n-1 n
Períodos
Figura 2.1 – Diagrama tempo - dinheiro
 
 
Partindo da definição de juros simples, o montante de 
juros a ser pago na data de quitação da operação financeira é 
igual ao produto do principal tomado, pela taxa de juros 
pactuada e pelo número de períodos contratados. 
 
 Considerando que os juros gerados após um único 
período de aplicação de um capital equivalem à taxa de juros 
pactuada multiplicada pelo capital. Matematicamente: J = P  i. 
 
 No caso do capital ser aplicado por “n” períodos, o 
montante dos juros a serem pagos é diretamente proporcional 
a esse numero de períodos. Então: 
 
J = P i n 
 
 
2.2.2 – Operações com Juros Simples. 
 
2.2.2.1 – Montante dos Juros Pagos. 
 
 Definindo como: P, o principal tomado ou o capital 
inicialmente aplicado; i (%), a taxa de juros expressa em 
porcentagem; n, o número de períodos básicos 
correspondentes ao tempo total da aplicação; e, S, o Montante 
final de aplicação, representando a soma (P+J), em que J é o 
montante dos juros a serem pagos. 
 
 O montante “S” a ser restituído ao aplicador no final do 
período pactuado é constituído pela soma dos juros rendidos 
no período, acrescidos do capital aplicado. Matematicamente: 
 
Sn = P + J  Sn = P + P i n 
 
Demonstrando: 
 
S1 = P + P× i = P (1+ i) 
S2 = P + P× i + P × i = P (1+ i × 2) 
S3 = P + P× i + P × i + P × i = P (1+ i × 3) 
………………………………………………………… 
Sn = P + P×i + P×i + P×i +····+ P×i = P (1+ n × i) 
 
 Generalizando para n períodos, obtém-se a expressão 
canônica do montante de um capital P corrigido a juros simples 
durante n períodos: 
 
Sn = P (1 + in) 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
18 
 
2.2.2.2 – Equivalência entre Taxas de Juros. 
 
 Um dos questionamentos decorrentes da utilização de 
juros é definir a proporcionalidade entre a taxa de juros 
correspondente a um período maior e àquela correspondente a 
frações inteiras desse mesmo período. 
 
 No caso dos juros simples, ocorre relação direta entre 
essas duas taxas de juros. 
 
 Assim, adotando como nT um dado período e nf uma 
fração deste período. E, respectivamente, iT e if , as taxas de 
juros conexas aos períodos considerados, a proporcionalidade 
entre estas duas taxas é expressa por: 
 
nT
nf
=
iT
if
 
 
 Atenção quanto à utilização do modelo acima. Ele 
somente poderá ser utilizado quando adotada a matemática 
dos juros simples. É conceitualmente errado utilizar este 
modelo quando se opera sob a égide dos juros compostos. 
 
 Nestes termos, se numa operação de empréstimo for 
estabelecida uma taxa mensal de juros de 1,5% a.m., a taxa 
anual de juros é dada por: 
 
nT
nf
=
iT
if
 ∴
 12
1
=
iT
1,5 
 ∴ iT = 18 % a. a. 
 
 
 
 
 
2.2.3 - Operações de desconto. 
 
2.2.3.1 – Tipos de desconto. 
 
 Uma operação financeira corriqueira no mercado é a 
denominada de desconto ou deságio efetuada em transações 
com títulos de crédito. 
 
Os descontos ocorrem quando títulos são negociados 
em data anterior à do efetivo vencimento e correspondem aos 
juros pagos pelo serviço havido entre a data do desconto e a 
do efetivo pagamento. 
P
F
Valor a ser
 recebido
Data da Operação de 
Desconto
Data do Vencimento
 do Título
1 2 3 4 n 
Desconto
Figura 2.2 - Operações de Desconto
 Essas operações servem como fonte de financiamento de curto 
prazo e são lastreadas em cheques “pré-datados” descontados 
por empresas de factoring; duplicatas e letras de câmbio 
negociadas antes da data do efetivo pagamento; e empréstimos 
ou vendas garantidos por notas promissórias. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
19 
 
 
O desconto ou deságio pode ser expresso em termos de 
porcentagem ou em valor monetário a ser descontado do valor 
de face do título negociado: P = F – D. 
 
 O valor de face corresponde ao montante expresso no 
anverso do título, a ser quitado pelo emissor ou o avalista na 
data aprazada e também expressa no título. 
 
Neste caso, a quantia a ser paga ao portador (P), isto é, 
àquele que está negociando o título, deverá ser inferior ao valor 
nominal ou valor de face. Isto porque, na data de vencimento 
do título, este deverá ser quitado pelo valor de face. 
 
O comprador do título, então, o adquire por um valor 
inferior àquele discriminado na face do documento, de forma a 
remunerá-lo durante o período compreendido da data de sua 
negociação até a data do vencimento. 
 
Interessa então, àquele que vende o título, saber qual o 
montante do desconto, ou deságio, a ser efetuado sobre o 
valor de face e qual o montante do capital que ira receber pela 
venda do título. 
 
Dois são os procedimentos realizados pelo mercado para 
calcular o valor do deságio e denominados de: 
 
 Desconto Racional ou por Dentro; 
 Desconto Bancário, Comercial ou por Fora. 
 
Adotando como nomenclatura: 
 
 F = Valor de Face, importância escrita na face do título e a 
ser honrada pelo emitente na data do respectivo 
vencimento; 
 P = Importância a ser paga ao vendedor do título, quando 
negociado antes da data do vencimento; 
 i = taxa de juros praticados ou pactuados; 
 n = número de períodos que antecedem a data de 
vencimento; 
 DR = valor do desconto racional. 
 Dc = valor do desconto comercial. 
 
 Como será visto no item 2.3.3, o valor de face, F, pode 
ser considerado como sendo o valor futuro do título, quando 
este é negociado antes da data do vencimento ou na data de 
sua emissão. 
 
Isto porque, um título só terá o valor expresso em sua 
face, e força legal para cobrança, quando na data de seu 
vencimento, isto é, em um momento futuro determinado por 
esta data. 
 
 
 
 
 
I - Desconto Racional ou por Dentro. 
 
O desconto racional considera o valor da moeda no 
tempo. A taxa de juros pactuada pode ser a taxa real ou a taxa 
nominal em havendo a previsão de inflação. 
 
E Desconto Racional ou Por Dentro.
E Desconto Bancário ou Por fora.
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
20 
 
 Assim, o valor nominal do título na data do efetivo 
pagamento expresso na face do mesmo é financeiramente 
equivalente ao valor do mesmo na data em que foi negociado. 
 
 O valor do desconto e do montante a receber é 
calculado a partir do valor de face na data do vencimento, 
atendendo os procedimentos estabelecidos pela matemática 
financeira. 
 
Os procedimentos utilizados no desconto racional são 
idênticos àqueles utilizados na matemática dos juros simples. 
Porém, deve ser registrado que, muitas empresas, vêm 
combinando procedimentos estabelecidos pela matemática dos 
juros compostos com os de juros simples. 
 
No caso de ocorrer essa superposição de 
procedimentos, ou seja, quando os juros são referidos a um 
período maior, a taxa básica de juros, efetivamente utilizada 
em períodos menores, é calculada segundo a matemática dos 
juros compostos. 
 
 Obtida a taxa básica, os procedimentos seguem 
àqueles estabelecidos para os juros simples, segundo o 
expresso a seguir. 
 
Definindo o desconto racional, este corresponde ao 
montante dos juros expresso em valor monetário, descontado 
do valor de face de um título dada a negociação do mesmoanteriormente à data de vencimento. 
 
 Matematicamente, o desconto racional é definido por: 
 
Dr = F – P 
 
 Da matemática dos juros simples pode-se correlacionar 
o valor de face, F, ao valor a ser recebido, P, considerando ser 
o primeiro o montante disponível no final do período de 
aplicação e o segundo o principal aplicado. Logo: 
 
F= P ∙ (1+iR∙n) ∴ P = 
F
(1+iR∙n)
 
 
 Substituindo “P” na equação acima, obtém-se o 
montante do desconto racional. 
 
DR=F-
F
( 1+iR∙n)
 ∴ DR= 
F∙iR∙n
1+iR∙n
 
 
 
II - Desconto Bancário, Comercial ou Por Fora. 
 
A priori, é importante ressaltar que o desconto “por fora” 
é baseado numa convenção mais simples, não se 
caracterizando por uma cobrança equivalente de juros. Mas, 
como a simples aplicação direta de uma taxa de desconto. Por 
convenção: 
 
DC = F ∙ iC ∙ n 
 
Neste caso, o montante do desconto é obtido ao se 
minorar do valor de face, F, o valor a ser recebido, P. Logo: 
 
DC = F − P 
 
 Ao se igualar as duas expressões acima, obtém-se o 
valor de face: 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
21 
 
F ∙ iC ∙ n = F − P ∴ P = F ∙ (1 − iC ∙ n)  
 
F =
P
(1 − iC ∙ n)
 
 
 
 2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas 
 
2.2.4.1 - Relações entre Descontos. 
 
Neste item é analisada a correlação existente entre o 
montante do desconto por dentro e o montante do desconto por 
fora, considerando que as taxas pactuadas nos dois casos 
sejam idênticas, isto é ir = iC . 
 
 Sendo iguais as taxas nominais pactuadas, a taxa real 
praticada no processo de desconto por dentro, ou racional, é 
inferior àquela praticada no desconto por fora, ou bancário. 
 
Tal assertiva pode ser demonstrada igualando as 
expressões dos descontos: 
 
 DR = F −
F
( 1+i∙n)
 
 
E, sendo por convenção, DC = F i n, ao se substituir o 
valor de F na expressão acima se obtém a relação entre os 
dois descontos: 
 
DR =
DC
(1 + i ∙ n)
 
 
 
 
 
2.2.4.2 - Taxas Equivalentes. 
 
 Um dos questionamentos efetuados no mercado 
financeiro é quanto à correlação entre as taxas praticadas no 
desconto comercial e no racional. 
 
Por definição, diz-se que duas taxas de desconto são 
equivalentes entre si quando, dado um mesmo valor de face, 
após realizado o desconto, resultar num mesmo valor a ser 
recebido, P, considerando terem sido praticados sistemas de 
desconto distintos. 
 
P
F = Face
tempo
Figura 2.3 - Equivalência entre Descontos.
Data da Negociação Data do Vencimento
DC≡DR
 
 
 A equivalência entre estas taxas é demonstrada ao se 
igualar os dois valores dos descontos depois de realizadas as 
respectivas operações. 
 
a) Considerando o desconto racional tem-se: 
 
P = F – DR  P = F  (1 + iR ∙ n) 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
22 
 
 
b) Considerando o desconto comercial tem-se: 
 
P = F − D𝐶 ∴ P = F(1 − iC ∙ n) 
 
 Como o valor a ser recebido, P, por definição é igual 
para ambos os casos, podem ser igualadas as expressões 
acima. 
 
F
(1 + iR ∙ n)
= F ( 1 − iC ∙ n) ∴ ( 1 − iC ∙ n) ∙ (1 + iR ∙ n) = 1 
 
(1 + 𝑖𝑅 ∙ 𝑛) =
1
 ( 1 − 𝑖𝐶 ∙ 𝑛)
 
 
 
2.2.5 – Tempo Exato e Comercial 
 
 Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo principal, o 
rendimento ou montante dos juros apurado em tempo 
comercial será ligeiramente superior àquele apurado em tempo 
real ou exato. 
 
 Essa variação é devido à diferença do número de dias 
estabelecida para cada tipo de exercício. Assim, o ano 
comercial, segundo convenção aceita pelo comercio, 
estabelece que o mesmo tenha 360 dias. O tempo exato segue 
o ano calendário com 365 dias. 
 
 Deste modo, o rendimento i devido a uma aplicação P, 
durante um intervalo de tempo t tem-se, respectivamente, para 
o tempo comercial e o tempo exato: 
 
360
i
tPIComercial 
 e 
365
i
tPIExato 
 
 
 Efetuando a relação entre as duas expressões, fica 
demonstrado que a proporcionalidade existente entre o 
rendimento havido durante ano comercial e rendimento havido 
durante ano exato, é função direta do número de dias em que 
os mesmos foram definidos. Então: 
 
0139,1
360
365
I
I
Exato
Comercial

  IComercial = 1,0139 IExato 
 
 
2.2.6 – Exercícios Resolvidos 
 
2.2.6.1 - Você aplicou a importância de R$ 11.200,00 na 
aquisição de um título, pactuado a juros simples a taxa de 2,2% 
a.m. pelo prazo de 14 meses. Transcorridos oito meses desta 
operação, resolveu vender o título. Qual o montante a ser 
recebido se na data da venda a taxa de juros praticada pelo 
mercado for de 2,9% a.m.? 
 
S = P (1 + i n) 
S = 11.200,00 (1 + 0,022 × 14) 
S = R$ 14.649,60 
 
DC = S × i × n 
DC = 14.649,60 × 0,029 × (14-8) 
DC = R$ 2.549,03 
 
VR = S – DC 
VR = 14.649,60 – R$ 2.549,03 
VR = R$12.100,57 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
23 
 
 
2.2.6.2 - Um veículo está sendo ofertado em duas condições: a 
vista por R$ 23.200,00. Ou, a prazo, sendo 15% de entrada e o 
saldo dividido em quatro parcelas mensais, consecutivas, 
corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.a. 
 
 Nesta condição deseja-se saber: O valor de cada 
prestação; e o montante a ser desembolsado. 
 
 Entrada = R$ 3.480,00 
 Financiamento de cada parcela: R = R$ 4.930,00 
 Taxa mensal de juros: i=42÷12= 3,5% a.m. 
 
1º - Calculo do valor da 1ª prestação: 
VF1 =R1 + (R1 × i × n) 
VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 1) 
VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 172,55)  VF1 = R$ 
 
2º - Calculo do valor da 2ª prestação: 
VF2 = R2 + (R2 × i × n) 
VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 2) 
VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 345,10)  VF2 = R$ 
 
3º - Calculo do valor da 3ª prestação: 
VF3 = R3 + (R3 × i × n) 
VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 3) 
VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 517,65)  VF3 = R$ 
 
4º - Calculo do valor o da 4ª prestação: 
VF4 = R4 + (R4 × i × n) 
VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 4) 
VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 690,20)  VF4=R$ 
 
5º - Calculo do valor do montante: 
VFM = VF1 +VF2 +VF3 +VF4  VFM = R$ 
 
2.2.6.4 - Uma duplicata cujo valor de face, VF, monta a R$ 
8.500,00 foi emitida há cinco meses passados e tem data de 
vencimento estipulada para daqui a sete meses. Caso seja 
descontada nesta data e se a taxa de desconto comercial for 
de 26,4% a.a. solicita-se determinar: 
 
 O desconto comercial, DC 
 O valor a ser recebido, VR. 
 Por quanto a duplicata foi negociada, se na data desta 
operação o juro comercial vigente era de 33,6% a.a. 
 A taxa efetiva de juros no período referente à operação 
do desconto. 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Data
 da 
Ope
raçã
o
VF = 8.500 R$
VR = ?
 
 
1º item - Desconto Comercial. 
DC = VF × i × n 
DC = 8.500,00 × ( 0,264 ÷ 12 ) × 7 
DC = R$ 1.309,00 
 
2º item – Valor Recebido. 
 
VR = VF – DC 
VR = 8.500,00 – 1.309,00 
VR = R$ 7.191,00 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
24 
 
3º item - Preço de compra = PC. 
 
VF = PC (1 + i × n) 
8.500,00 = PC (1 + 0,336 × 1) 
PC = R$ 6.362,27 
 
4º item – Taxa real ou efetiva. 
 
 Adotando a matemática dos juros simples e 
considerando que os juros são calculados sobre o valor 
efetivamente recebido: 
 
VF = VR (1 + i × n) 
8.500,00 = 7.191,00 (1 + i × 7) 
1,182 = 1 + 7i 
0,182 = 7i 
i = 0,026 → i = 2,6% a.m e/ou 31,2% a.a. 
 
 
Em estudos financeiros recomenda-se:
1º. Desenhar SEMPRE o diagrama dos fluxosde caixa;
2º. Escrever as formulas disponíveis;
3º. Visualizar a solução dos problemas, compatibilizando as 
fórmulas com os fluxos de caixa!
 
Atendendo à recomendação, este procedimento facilita a 
adequada solução dos problemas de engenharia econômica! 
Atenção!
 
 
 
2.2.7 – Exercícios Propostos. 
 
2.2.7.1 - A importância de R$ 29.345,00 foi recebida após a 
operação de desconto de uma nota promissória, vincenda em 
120 dias. 
 
 Tendo sido pactuada um taxa de desconto de 42% ao 
ano, solicitam-se, para os dois tipos de desconto, as seguintes 
informações: o valor de face do título; e o montante do 
desconto. (R: R$ 34.122,09/ R$ 33.453,30). 
 
 
2.2.7.2 - Calcular, adotando a matemática dos juros simples, o 
montante a ser recebido após 4 meses quando um empréstimo 
de D$1.000,00 é tomado a 15% ao mês. (R: 1600,00 R$). 
 
 
2.2.7.3 - Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão 
a juros de 33% ao ano, pactuado a juros simples. Quanto 
pagará na ocasião do resgate se quitar o mesmo em cinco ou 
em dezessete meses? (1.126.923/1.431.538 103 R$). 
 
 
2.2.7.4 - Um Banco pratica operações de desconto de títulos 
cambiais à taxa de 4,5% ao mês. Solicitam-se as seguintes 
informações visando comparar o resultado do desconto 
racional com o bancário: 
 
 O deságio relativo à operação de desconto de uma 
duplicata cujo valor de face é de R$ 12.500,00, vincenda 
em 90 dias; (R: 1486,78/1687,50 R$). 
 O montante a ser recebido pelo interessado na operação 
de desconto. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.7.5 - Qual o capital que a juros simples de 14,5% ao ano 
gerará em sete meses um montante de trezentos mil reais? (R: 
276.603,92 R$) 
 
2.2.7.6 - A que taxa de remuneração um capital aplicado sob 
juros simples triplicará no prazo de três anos? (R: 66,67% a.a.). 
 
2.2.7.7 - Uma empresa descontou uma duplicata, no Banco da 
Esquina, à taxa de 84% ao ano. O desconto praticado foi o 
comercial, que montou a R$ 10.164,00. Se a operação fosse 
de desconto racional, o valor do desconto seria reduzido em R$ 
1.764,00. Qual é o valor de face da duplicata descontada? (R: 
48.400,00 R$). 
 
2.2.7.8 - Você deve a um banco a importância de R$ 1.900,00, 
a vencer em 30 dias, garantida por uma nota promissória. 
Como sabe que não poderá quitar a importância na data 
aprazada, propõe que o pagará no prazo de 90 dias após o 
vencimento previsto. Admitindo que a taxa de desconto 
comercial praticada seja de 72% ao ano, qual será o valor de 
um novo título a ser assinado? (R$ 2.317,00). 
 
2.2.7.9 - O Bank of Squire pratica o desconto por fora à taxa de 
3,00% ao mês. Ao aceitar um título cujo valor de face é de R$ 
41.000,00, com prazo de vencimento estabelecido para seis 
meses, quanto o banco pagará pelo título? Qual será a taxa 
total de juros correspondente, sabendo que o banco ainda 
cobra uma taxa de abertura de crédito de 1,0% sobre o valor 
do título? (R: 23,46% ao semestre). 
 
2.2.7.10 - A financeira WACS pratica o desconto racional à taxa 
de 4,35% ao mês. Ao efetuar o desconto de uma duplicata cujo 
valor de face monta a R$ 32 mil vincenda em noventa dias, 
cobra uma taxa de administração no valor de R$ 155,00, ao 
efetuar a operação. Informe qual será a taxa de juros mensal, 
efetiva, incidente sobre esta operação. (R: 4,56% a.m.) 
 
2.2.7.11 - Determinar o valor de um título a ser resgatado no 
prazo de 120 dias antes de seu vencimento, pactuado a uma 
taxa de 12,0% ao ano. Sabe-se que a diferença entre o valor 
do desconto comercial e o desconto racional é de R$ 
76.923,08. (R: R$ 50 milhões). 
 
2.2.7.12 - O Bank of Squire desconta, antecipadamente e por 
fora, os juros na operação de um “papagaio”. Sendo uma 
operação de desconto lastreada numa nota promissória cujo 
valor de face monta a R$ 30 mil, vincenda em noventa dias e 
pactuada à taxa de 7% ao mês, pergunta-se qual será a taxa 
efetivamente paga por esta operação. (R: 8,86% a.m.) 
Nota promissória 
Nº 07/09* R$ 12.500,00 
 Vencimento: 25 de abril de 2.012. 
Ao(s) vinte e cinco dias do mês de abril de dois mil e doze, 
PAGAREI por esta única via de nota promissória a Franz von 
Souza und Silva, CPF nº 111.222.333-44, ou a sua ordem, a 
importância supra de doze mil e quinhentos reais, em 
moeda corrente do País. 
Pagarei em: Florianópolis-SC. 
Emitente: Jose João Jacinto .................................. 
CPF nº. 555.666.777-88. assinatura 
Rua Elfo dos Santos nº. 100. 
Florianópolis – SC. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
26 
 
 
2.2.7.13 - Você dispõe de uma duplicata cujo valor de face monta 
a R$ 200 mil, vencível em 60 dias. Decida em qual banco deverá 
ser efetuada uma operação de desconto sabendo que: 
 
- o Banco A – pratica o desconto racional à taxa de 
8,45% ao mês; 
- o Banco B – procede ao desconto comercial à taxa de 
7,90% ao mês. 
 
2.2.7.14 - Você efetuou uma operação de desconto para um título 
vencível em 60 dias à taxa de 42% ao ano. Montando o valor do 
desconto em R$ 840,00. Pergunta-se qual o valor de face do título 
nos casos de ser adotado o desconto racional ou o comercial? (R: 
12.840,00 / 12.000,00R$ ) 
 
2.2.7.15 - Você necessita hoje da importância de R$ 50 mil e foi 
ao seu banco efetuar um empréstimo. O empréstimo é lastreado 
numa nota promissória vencível em 120 dias. O banco calcula o 
valor de face deste título adotando o desconto comercial à taxa de 
4,5% ao mês. Além disto, cobra uma taxa de abertura de crédito 
de 0,55% sobre o valor de face do título e uma taxa de 
administração de R$77,00, ambos embutidos no valor financiado. 
Pergunta-se, qual a taxa de juros efetiva incidente sobre esta 
operação? (R: 5,74% a.m.) 
 
2.2.7.16 - Você resolveu quitar uma dívida, lastreada em nota 
promissória, sessenta dias antes do vencimento. Qual será o 
valor a ser pago se os juros simples pactuados foram de 2,50% 
ao mês e o valor de face da nota monta a R$ 17.700,00? 
 
2.2.7.17 - Sua empresa previu a necessidade de aquisição de um 
equipamento no valor de R$ 50 mil e o deseja adquirir com 
recursos próprios. Considerando que, neste momento, dispõe da 
importância de R$ 20 mil e o Tesouro Nacional esta remunerando 
as aplicações em 14% ao ano, pergunta-se: em quanto tempo 
poderá dispor do montante previsto? 
 
 
2.3 – Juros Compostos. 
 
 
2.3.1 - Definição. 
 
O regime de juros composto, também denominado de 
regime de capitalização ou anatocismo, é caracterizado pela 
incorporação ao capital dos juros gerados num período, ou 
seja, capitalizados, passando a gerar juros no período 
seguinte. 
 
 Estudos de análise de viabilidade de investimentos são 
lastreados na matemática dos juros compostos, pois parte-se 
do princípio que investidores e empresas reaplicam os lucros e 
os saldos de fluxos de caixa gerados a cada período, fato que 
contribui para aumentar os lucros esperados futuros. 
 
 Pelo acima exposto, torna-se inconsistente a adoção da 
matemática dos juros simples em estudos de viabilidade e, 
além disto, vem de encontro ao estabelecido na primeira 
premissa que estabelece a maximização do lucro dos 
proprietários. 
 
 
2.3.2 - Fórmulas Básicas: 
 
 O principal questionamento nesse sistema de 
capitalização é quanto ao montante a ser recebido pela 
aplicação de um capital, após certo número de períodos de 
tempo e conhecidos os juros pactuados. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
27 
 
 0 1 2 3 ....... n período
P0
S1
S2
S3
Sn
Figura 2.4 – Diagramade Juros Compostos
 
Visando calcular o montante a ser percebido, será 
adotada a seguinte nomenclatura: n, representando o número 
de períodos de capitalização pactuados; Sn = Montante a ser 
recebido após “n” períodos de capitalização; P = Capital 
inicialmente aplicado ou principal; J = Montante dos juros a 
serem pagos; i = Taxa de juros pactuados. Ver Figura 2.4. 
 
O montante após o primeiro período é calculado de 
forma idêntica ao dos juros simples. A partir desse primeiro 
período, os juros passam a incidir dobre o novo montante, 
comumente denominado de capitalizados. Então, 
matematicamente se tem: 
 
S1 = P + (P  i) = P (1 + i) 
S2 = S1 + (S1  i) = S1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)² 
S3 = S2 + (S2  i) = S2 (1 + i) = P (1 + i)² (1 + i) = P (1 + i)³ 
S4 = S3 + (S3  i) = S3 (1 + i) = P (1 + i)3 (1 + i) = P (1 + i)4 
......................................................................................... 
Sn = Sn-1 + ( Sn-1  i ) = Sn-1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )n-1 ( 1 + i ) 
Sn = P ( 1 + i )n 
 
Assim, a expressão do montante a ser pago após n 
períodos é dada por: 
 
Sn = P (1 + i)n 
 
 O total dos juros gerados, por sua vez, é obtido 
aritmeticamente, depois de efetuada a diferença entre o 
montante a ser percebido e o capital inicialmente aplicado, 
também denominado de Principal. Então: 
 
J = Sn – P 
 
 Fórmula do Montante: Sn = P ( 1 + i )
n
Fórmula dos Juros: J = Sn – P ou,
 J = P ( 1 + i )
n
 - P 
Resumo:
 
 
 
2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro. 
 
 Como já comentado, a matemática dos juros compostos 
é a adotada nos estudos financeiros, a exemplo da 
determinação do valor de ativos produtivos, investimentos em 
ações, títulos de capitalização, etc. 
 
A assertiva acima ocorre devido ao entendimento que 
investidores e empresas reaplicam os capitais disponíveis, 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
28 
 
sendo, então, a matemática dos juros compostos a mais 
adequada para avaliar e analisar investimentos. 
 
 Para tanto, ela se ampara no princípio da equivalência 
de capital e operar dois conceitos largamente utilizados nos 
estudos financeiros, quais sejam, o valor presente – VP e o 
valor futuro – VF equivalente a um dado montante e vice versa. 
 
S = VF
P=VP
R$
1 2 3 n-1 n
Períodos
Figura 2.5 – Equivalência: Valor Futuro
i%
0
 
 
Assim sendo, dado nesta data um principal expresso 
pelo seu valor presente, P=VPn¬i%, após certo número de 
períodos e aplicado a taxa de juros i%, gerará uma soma 
financeiramente equivalente ou seu valor futuro: S=VF n¬i%. Ver 
Figura 2.5 – Equivalência: Valor Futuro. 
 
 Deste modo, considerando o conceito de equivalência 
de capital pode-se escrever: VPn¬i% ≡ VF n¬i%. 
 
 Financeiramente, então, denomina-se VPn¬i% de VALOR 
PRESENTE do montante de VFn¬i%. De modo análogo, VFn¬i% é 
denominado de VALOR FUTURO do capital aplicado, VP n¬i%. 
 
2.3.3.1 - Pagamento Único. 
 
a) Valor Futuro - VF. 
 
Por definição, o valor futuro – VF correspondente a uma 
determinada importância P, aplicada durante um período n, é 
equivalente a esta importância quando capitalizada a taxa de 
juros pactuada, i%. 
 
A expressão do montante dos juros compostos 
capitalizados define o VALOR FUTURO a ser recebido pela 
aplicação de um capital, P, denominado de VALOR PRESENTE, 
quando pactuado à taxa de desconto, i%, após “n” períodos de 
rendimento. 
 
Sendo: Sn = P (1 + i)
n, então: 
 
VF ≡ VP (1 + i)n 
 
Essa operação, comercialmente denominada de 
capitalização, é utilizada em operações financeiras de título de 
capitalização, ou seja, de atualização monetária de capital. 
 
 A expressão (1+i)n é denominada de Fator de 
Capitalização ou Fator de Valor Futuro de um Principal, cuja 
representação pode ser efetuada sob as seguintes 
nomenclaturas: 
 
VF = VP (1 + i)n = VP s n¬i% = VP s
i
n
 
 
 
b) Valor Presente – VP. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
29 
 
Em operação inversa, o VALOR PRESENTE – VP, nesta data, 
correspondente a uma determinada importância futura, VF, é 
equivalente a esta importância quando descontada durante 
certo período de tempo n a taxa de juros pactuada, i%. 
 
Partindo da fórmula do montante dos juros compostos, 
obtém-se o VALOR PRESENTE, VP, equivalente a um dado 
montante futuro, VF, quando descontado à taxa de juros i%, 
durante certo período, n. 
 
S ≡ VF
P≡VP
R$
1 2 3 n-1 n
Períodos
Figura 2.6 – Equivalência: Valor Presente
i%
0
 
 
 Sabendo-se que VF ≡ VP (1 + i)n, a expressão da 
equivalência de uma importância no presente, conhecido seu 
montante numa data futura é dada por: 
 
VP≡VF 
1
(1+i)n
 
 
Essa operação também é denominada de desconto de um 
capital a valor presente e realizada quando se deseja conhecer 
o valor atual relativo a um capital no futuro. 
 
 A expressão 1/(1+i)n é denominada de Fator de 
Desconto ou Fator de Valor Presente de um capital, cuja 
representação pode ser efetuada sob as seguintes 
nomenclaturas: 
 
VP ≡ VF 
1
(1 + i)n
= VF × vi
n = VF × vn¬i 
 
 
2.3.3.2 - Pagamentos Diversos. 
 
 
a) Valor Futuro 
 
 Dado uma série de pagamentos como na Figura 27, seja 
estabelecer o valor futuro da soma desses pagamentos. 
 
Figura 2.7 – Valor Futuro Diversos Pagamentos
 
 
Nesta situação, a soma desses pagamentos 
corresponde à soma dos valores futuros de cada pagamento 
singular. Noutras palavras, a soma da capitalização de cada 
pagamento. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
30 
 
Matematicamente: 
 
VF = ∑ Rn × (1 + i)
k−n
K
n=1
 
 
VR = R1(1 + i)k−1 + R2(1 + i)k−2 + R3(1 + i)k−3 + R4(1 + i)k−4
+ R5(1 + i)k−5 
 
Levando na expressão acima os valores de cada fluxo de caixa 
e adotando uma taxa de juros de 7% tem-se: 
 
VF = 78 (1,07)4 + 85 (1,07)3 + 100 (1,07)2 + 100 (1,07)1 + 50 
 
VF = 477,86 R$. 
 
 Neste caso, o valor futuro ocorre no momento do ultimo 
pagamento. 
 
 
b) Valor Presente 
 
Considerando a sequencia de recebimentos expressos 
na Figura 2.8, a soma do valor presente desses valores 
corresponde à soma dos descontos de cada valor singular. 
VP(0)=∑
Rn
(1+i)n
k
n=1
 
 
VP(0) =
R1
(1 + i)1
+
R2
(1 + i)2
+
R3
(1 + i)3
+
R4
(1 + i)4
+
R5
(1 + i)5
 
 
 
 
 
Figura 2.8 – Valor Presente Diversos Pagamentos
 
 
 
Levando na expressão acima os valores de cada fluxo 
de caixa e adotando uma taxa de juros de 7% tem-se: 
 
VP(0) =
78
(1,07)1
+
85
(1,07)2
+
100
(1,07)3
+
100
(1,07)4
+
50
(1,07)5
 
 
VP(0) = 340,71 R$ 
 
2.3.4 - Exemplos. 
 
a) Seja definir o valor atual de um capital aplicado por seis 
meses a juros de 7% ao mês, gerou o montante de R$ 
4.502,19? 
 
P=S×
1
(1+i)n 
=S vi
n 
 
Utilizando tabela financeira: 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
31 
 
 
s
7
6
 = 0.6663  da Tabela Financeira 
 P = s
7
6
 = 4.502,19 x 0.6663 = 3.000,00 R$ 
 
Ou utilizando diretamente o fator de valor presente: 
 
 P=S×
1
(1+i)n 
=4.502,19 ×
1
(1,07)6 
=3.000,00 R$ 
 
b) No caso inverso, seja um capital no valor de R$ 3.000,00, 
qual será o montante a ser recebido após seis meses quando 
aplicado a taxa de juros de 7% ao mês? 
 
S=Psi
n ∴ S=Ps7
6 
 
 E, sendo s
7
6
 = 1,5007  da Tabela Financeira. 
 
S = 3,000 x 1,5007 = 4.502,19 R$ 
 
Ou então: S = P (1+i)n =3.000×(1,07)6=4.502,19 R$ 
 
 O quadro a seguir mostra a evolução do montante, ou 
seja, a situação do saldo devedor no final de cada período. 
 
 
Período Principal – R$ Juros – 7% Montante – R$ 
0 3.000,00 --- --- 
1 3.000,00 210,00 3.210,00 
2 - 224,70 3.434,70 
3 - 240,43 3.675,13 
4 - 257,26 3.932,39 
5 - 275,26 4.207,65 
6 - 294,54 4.502,19 
 
 
 
2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. 
 
Identicamente ao sistema de juros simples, um dos 
questionamentos sobre juros compostos é quanto à 
proporcionalidade existente entre a taxa de juros 
correspondente a um período maior com aquela referente a 
frações inteiras deste mesmo período. 
 
No caso de juros compostos, não há relação direta entre 
essas duas taxas de juros. 
 
Por definição, duas taxas de juros são ditas equivalentes 
quando, sujeitas a diferentes períodos de capitalização, 
produzem iguais montantes de juros depois de aplicadas a um 
mesmo volume de capital. 
 
 Adotando como nomenclatura: nT para o período total 
do financiamento ou empréstimo e nF uma fração inteira deste 
mesmo período. E como iT e iF , respectivamente, as taxas de 
juros conexas aos períodos considerados. 
 
 Demonstra-se a proporcionalidade entre estas duas 
taxas ao serem igualados os montantes devidos pelo tomador 
na data pactuada para a quitação do contrato, conforme a 
definição de taxas equivalentes. Ou seja: ST = SF. 
 
O montante, ST, a ser pago pela utilização de um capital 
P contratado por um período nT e remunerado à taxa iT é: 
 
ST = P (1+ iT ) 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
32 
 
 Por sua vez, o montante SF, a ser pago pela utilização 
do mesmo capital P contratado por um número de períodos nF , 
fração de nT e remunerado à taxa iF é : 
 
SF = P (1+ iF )F 
 
Como ST = SF, pois os dois montantes referem-se à mesma 
operação financeira, e sendo iF uma fração de iT , obtém-se a 
equação de equivalência de juros compostos fazendo: 
 
P (1 + iT ) = P ( 1 + iF )F  ( 1 + iT ) = ( 1 + iF)F 
0 1 2 3 4 n tempo
Figura 2.9 – Equivalência entre taxas de juros 
ST=SF
S1
if
iT
P
 
 
 Da expressão acima surgem duas situações: 
 
a) Conhecida a taxa de juros relativa ao período 
fracionário, deseja-se conhecer a taxa de juros correlata 
ao período total. Então: 
 
𝑖𝑇 = (1 + 𝑖𝐹)
𝐹 − 1 
 
Conhecida a taxa de juros relativa a um período maior, 
deseja-se conhecer a taxa de juros correlata a uma fração 
inteira do mesmo. Então: 
 
iF=√1+iT 
F -1 
 
 Esta operação de calcular a taxa menor correlacionada a 
uma taxa maior é denominada de “pro rata tempore”. 
Expressão comumente adotada em contratos de financiamento 
ou aplicação de capital. 
 
 Exemplificando: Seja calcular a taxa de juros trimestral, 
calculada “pro rata tempore”, incidente sobre uma aplicação 
financeira quando pactuada uma taxa de juros de 25% ao ano. 
Matematicamente: 
 
iTRI=√1+iANO 
4 -1= 0,057.371 
 
 Como um ano dispõe de quatro trimestres, a taxa 
a ser considerada no pagamento dos juros é de 5,7371% ao 
trimestre, calculada utilizando a equação de equivalência de 
juros compostos. 
 
 
 
 
 
2.3.6 - Cuidados a observar. 
 
 Nos estudos de viabilidade há que se observar alguns 
cuidados necessários a evitar a incidência em algum erro 
conceitual, fato que inviabiliza a confiabilidade nos resultados 
encontrados: 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º Considerando que empresas, investidores, etc., costumam 
reinvestir quantias geradas, não se justifica a utilização de 
juros simples em estudos econômicos. 
 
2º Ao ser utilizada a matemática dos juros compostos, faz-se 
necessária à verificação de qual a efetiva taxa de juros 
praticada e que correspondente ao período básico de 
capitalização. É comum não ser a taxa de referência 
expressa em contrato a taxa de capitalização efetivamente 
empregada no cálculo dos juros. 
 
3º Efetuar, sempre, um diagrama de fluxo de caixa visando 
visualizar, claramente, os procedimentos a serem 
observados. 
 
4º Quando se trata da capitalização de aplicações, a 
matemática utilizada é a dos juros compostos. 
 
5º Distinguir quando os juros são descontados e quando são 
postecipados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES EM TÍTULOS DO TESOURO 
NACIONAL 
 
Procedimentos: 
 
1º. Abra uma conta corrente em qualquer banco; 
2º. Solicite ao gerente do banco cadastrar sua 
conta junto ao Tesouro Nacional; 
3º. O Tesouro Nacional lhe enviará uma senha que 
o habilitará a efetuar a aplicação desejada; 
4º. Realize sua aplicação, diretamente, através do 
site: www.tesourodireto.gov.br 
5º. O Tesouro Nacional lhe enviará um email 
informando da aplicação realizada. 
6º. Simultaneamente ao procedimento anterior, o 
Tesouro Nacional efetuará o débito em sua 
conta corrente da importância aplicada. 
7º. Na data aprazada, o Tesouro Nacional 
creditará, diretamente em sua conta corrente, o 
valor aplicado acrescido dos encargos 
pactuados. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
34 
 
 
 
2.3.7 - Exercício Resolvido. 
 
Um terreno foi vendido e faltam pagar duas parcelas de R$ 90 mil, 
vencíveis em 90 e 120 dias. Estas parcelas serão corrigidas à 
taxa de 152,00 % ao ano. Pergunta-se qual o valor de quitação 
das prestações na data de hoje? 
 90.000 90.000
mês
 1 2 3 4
R$
 
 
1º - Definir a taxa de juros mensal: 
 
.%,, am08152111i1i 12 ANOmês 
 
 
2º - Calcular o Valor Presente das prestações – HOJE. 
 
43 )i1(
2P
)i1(
1P
VP




 
 
69,152.6690,444.71
)08,01(
000.90
)08,01(
000.90
VP
43





 
 
VP = 137.597,59 R$ 
 
 
 
2.3.8 - Exercícios Propostos. 
 
2.3.8.1 - Sendo o rendimento de uma caderneta de poupança 
8% ao trimestre, qual o seu rentabilidade anual? (36,05% aa). 
 
2.3.8.2 - Considerando ser a taxa de inflação anual de 54%, 
qual a taxa média mensal? (3,66% am). 
 
2.3.8.3 - Um contrato foi pactuado à taxa de 83,7337% ao ano. 
Considerando que ele será quitado em prestações mensais, 
iguais e consecutivas, pergunta-se qual deverá ser taxa de 
juros mensais, efetiva, a ser utilizada no cálculo das 
prestações. (R: 5,20% a. m.) 
 
2.3.8.4 - Em quantos meses será possível triplicar uma 
aplicação financeira quando pactuada à taxa de juros de 2,37% 
capitalizados mensalmente? (R: ≈ 47 meses). 
 
2.3.8.5 - Em quantos meses se pode levar uma aplicação no 
valor de R$ 45 mil ao montante de R$ 100 mil, quando 
capitalizados à taxa de 1,55% ao mês? ( R: ≈ 52 meses). 
 
2.3.8.6 - Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão 
de reais a juros de 33% ao ano, pactuado a juros compostos. 
Quanto pagará na ocasião do resgate se quitar o mesmo em 
cinco ou em dezessete meses? Compare os dados obtidos 
com exercício similar efetuado a juros simples. (R: 1,1262 / 
1,4978  106 R$ ) 
 
2.3.8.7 - A empresa Alfa de Engenharia Ltda. Realizou um 
empréstimo para aplicação em capital de giro junto ao banco 
TDS a ser quitado em noventa dias. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
35 
 
 A importância da operação montou a R$ 750 mil 
pactuados a taxa de 1,5% ao mês (juros compostos), porém 
cobrados antecipadamente. 
 
 Neste contexto solicita-se: o montante dos juros a serem 
pagos; e qual a taxa efetivada mesma. 
 
2.3.8.8 - O banco TDS apresenta uma lucratividade de 30% ao 
ano. Em quanto tempo os lucros gerados serão equivalentes 
ao capital aplicado pelos acionistas? (R: t = 2 anos e 8 meses). 
 
2.3.8.9 - O Banco TDS efetua empréstimos pessoais cobrando 
a taxa de 4,50% ao mês. Para clientes especiais, ele adota a 
sistemática do juro postecipado. Para clientes normais, o juro 
antecipado. Calcule a taxa efetiva mensal para uma operação 
de 90 dias, calculada a juros simples e a juros compostos. 
 
 
2.4 - Relação entre as taxas nominal e real. 
 
 
2.4.1 – Efeito da Inflação. 
 
 A inflação é um fato de capital importância a ser 
considerado nos estudos financeiros, especialmente quanto a 
definição da taxa de juros adotada no pagamento de 
prestações ou na quitação de empréstimos. 
 
Isto porque, a taxa de inflação determinará o valor da 
taxa nominal de juros a ser utilizada no calculo do montante 
final, também denominada de taxa efetiva. 
 
A inflação corresponde a uma taxa de juros que mede a 
desvalorização da moeda a cada período de tempo. Assim 
sendo, a taxa nominal será determinada fazendo incidir sobre a 
taxa real de juros pactuada a variação percentual da inflação 
ocorrida no período. 
);i(fi RN 
 
 
Como será demonstrado no item 2.4.2, a relação entre a 
taxa nominal de juros, a taxa real e a inflação é dada, 
matematicamente, pela seguinte expressão: 
 
(1 + iN) = (1 + iR) (1 + ) 
 
Definindo então estas três taxas que estabelecem o 
valor das prestações ou a remuneração de um capital aplicado: 
 
I - A taxa real é definida como sendo a efetiva 
remuneração desejada por um investidor e é definida 
em termos de moeda de poder aquisitivo constante. 
Nesta taxa não esta considerada a incidência de 
inflação no período do empréstimo. 
 
II - A taxa nominal é aquela empregada no calculo das 
prestações e pagamentos. Ela é expressa em termos 
de moeda de valor corrente e, matematicamente, 
equivale à taxa real acrescida da taxa de inflação 
ocorrida durante o período do empréstimo. 
 
III - A inflação corresponde à perda do valor aquisitivo da 
moeda no tempo, sendo expressa em porcentagem. 
 
 
Uma expedita diferenciação entre estas duas taxas é 
efetuada no seguinte exemplo: Seja verificar qual a taxa real e 
a taxa nominal de juros ocorrida, considerando o financiamento 
relativo à uma importância P=1.000,00 R$ e que após um 
determinado período tenha gerado o montante de R$ 1.500,00. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
36 
 
 
 
Constatou-se, neste período a ocorrência de uma taxa 
de inflação de 40%? 
 
R$
Principal
Montante
0 1
período
Com Inflação M=1.500 R$
Sem Inflação M = 1.071 R$
Figura 2.10 – Efeito da Inflação
 
 
 
I - Calculo da Taxa Nominal: 
 
 A taxa nominal é definida ao se efetuar a razão entre os 
juros pagos e o montante do principal sobre o qual renderam 
esses juros. Conceitualmente, ela mede o incremento da 
moeda em termos de valor corrente e expresso em percentual. 
A taxa nominal será de 50% no período. Matematicamente: 
 
𝑖𝑁 =
𝑀 − 𝑃
𝑃
 ∴ 𝑖𝑁 =
𝑀
𝑃
− 1 
 
e, iN=
1.500
1.000
-1 → iN=50,00% 
 
 
II - Cálculo da Taxa Real: 
 
Por definição, a taxa real é equivalente à taxa nominal, 
porém em moeda de poder aquisitivo constante, isto é, 
descontado o efeito da inflação. 
 
Considerando ter a taxa de inflação comportamento 
equivalente a uma taxa de juros, tem-se: 
 
M1 = (1 + ) M0  M0 = M1 ÷ (1 + )  
 
M0 = 
1500
1 4
.
,
 = 1.071,43 R$ 
 
 Assim sendo, M1 ≡ M0, ou seja, R$ 1.071,43 é 
equivalente à R$1.500 quando este valor é deflacionando à 
uma taxa de 40%. 
 
 A taxa real de juros, então, é medida pela razão entre o 
acréscimo de dinheiro e o valor aplicado. 
 
iR=
1.071,43-1.000
1.000
=
1.071,43
1.000
-1 → iR=7,1430% 
 
Analisando os resultados obtidos, a taxa nominal foi calculada 
em 50% e a taxa real em 7,10%. 
 
 Pelo exposto é possível verificar que, em face da 
inflação ocorrida no período 01, a taxa nominal, iN, é muito 
superior à taxa real, iR. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
37 
 
 Ao entender a correlação existente entre a taxa real e a 
taxa nominal de juros pode o tomador de recurso financeiro, 
evitar o comprometimento de sua capacidade de pagamento se 
o valor de sua renda evoluir na mesma proporção da inflação. 
 
 
2.4.2 – Relação entre taxas. 
 
 A seguir é demonstrada a relação entre a taxa nominal e 
a taxa real de juros, dada à inflação ocorrida em certo período. 
 
 Adotando como nomenclatura: iN = taxa nominal de 
juros; iR = taxa real de juros;  = taxa de inflação no período; 
M0 =montante a ser pago sem considerar a incidência da 
inflação; M1 = montante a ser pago havendo a incidência da 
inflação; P = Principal ou capital tomado emprestado; 
 
 Partindo do item anterior (Ver Figura 2.10 – Efeito da 
inflação), pode-se afirmar que: 
 
M0 = P (1 + iR) e que M1 = (1 + ) M0 
 
 Pode-se afirmar também, considerando ser um período 
único e a incidência de uma taxa nominal neste período que: 
 
M1 = P (1 + iN) 
 
 Substituindo na expressão acima a variável M1 em 
função da sua expressão por M0: 
 
(1 + ) M0 = P (1 + iN)  (1 + ) P (1 + iR) = P (1 + iN) 
 
 Simplificando a variável P em ambos os lados da 
igualdade chega-se a expressão que relaciona a taxa nominal 
de juros com a taxa real e a da inflação. 
 
(1 + iN) = (1 + iR)  (1 + ) 
 
iN = iR    iR   
 
 Da expressão acima se conclui que a taxa nominal de 
juros é função do somatório da taxa real, da inflação no período 
e do produto da taxa da inflação pela taxa real. 
 
 Finalizando, pode-se determinar a inflação num dado 
período, a taxa real e a taxa nominal de juros, a partir de um 
montante conhecido e do valor investido ou principal, através 
das seguintes expressões: 
P
M
iR
01 
 e 
P
M
iN
1
1  
 
0
1
1
M
M

 
 
 Como exemplo de aplicação, seja calcular a taxa de 
juros a corrigir o valor de um título vencido há trinta dias, tendo 
sido pactuado que renderia juros de 2% ao mês acrescido da 
correção monetária no período, definida em 1,5% neste último 
mês. 
(1 + iN) = (1 + iR) (1 + ) 
 
(1 + iN) = (1 + 0,02) (1 + 0,015)  iN = 3,53% 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
38 
 
2.4.3 – Inflação e Índices. 
 
Inflação é definida como a perda do valor aquisitivo da 
moeda no tempo. 
 
A inflação é expressa em porcentagem e definida depois 
de conhecidos os índices inflacionários atribuídos a cada 
período. 
 
 Os índices inflacionários representam a evolução do 
custo de uma mercadoria, de um serviço por unidade de 
medida. 
 
 Como exemplo destes índices tem-se: o CUB, que 
mede o custo unitário básico para a construção civil, medido 
em R$/metro quadrado; o INPC, que mede o custo para 
sustentar uma família, medido em R$/cesta de custo incorrido; 
ou a evolução do custo do aço, medida por R$/kg, todos esses 
índices definidos para determinado período ou mês. 
 
Adotando como nomenclatura: I0 para representar o 
índice da inflação no período definido como data base e, In 
representar o índice de inflação medido em uma data futura 
qualquer “n”. E, representando por  a taxa de inflação 
ocorrida no período compreendido entre a data base e a data 
n. 
 
A seguir será discutida a metodologia do calculo da 
inflação passada, partindo do conhecimento de índices 
inflacionários. 
 
 Por definição, a inflação havida no preço de um bem ou 
serviço medido numperíodo de tempo equivale à razão entre 
o incremento da evolução dos preços no período e o preço 
verificado no período inicial. 
 
t
I0 I1
0
Data Base
n
Data n
Φ
Figura 2.11 - Inflação e Índices
 
 
 Além disso, a taxa percentual de inflação ocorrida num 
período pode ser facilmente estabelecida através da utilização 
de índices inflacionários, como os já citados, que expressam a 
evolução da perda do valor aquisitivo da moeda, medida a 
partir de uma determinada data, definida esta como data base. 
 
 Exprimindo a definição acima em termos matemáticos 
tem-se que, 
P
P

 ou, similarmente, considerando índices 
inflacionários: 
0
n0
I
I



. 
 
Definindo como I0 o índice de inflação atribuído ao início 
de um período, ou seja, à data base e In o índice de inflação 
estabelecido para o final deste mesmo período, ao substituir o 
valor do incremento na expressão acima pelos índices que lhe 
deram origem tem-se: 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
39 
 
1
I
I
I
II
o
n
o
on



 
 
 Modelo este que mede a taxa de inflação acumulada e 
ocorrida entre os períodos de tempo zero e n, e expressa em 
termos percentuais. 
 
 
A taxa real de juros é utilizada quando não é 
considerada a ocorrência de inflação. Neste caso, 
parte-se do princípio que a moeda em utilização dispõe 
de poder aquisitivo constante. 
Dinheiro em moeda constante i real.
Memorize!
A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a 
ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do 
princípio da ocorrência de perda de valor aquisitivo da 
moeda, no tempo.
Dinheiro em moeda inflacionada i nominal.
 
 
 
2.4.4 – Tipos de Índices 
 
 Diversos são os tipos de índices inflacionários utilizados 
no País. Cada um deles visando atender a um fim específico e, 
portanto, dispondo de distinta metodologia em sua 
determinação. 
 
 Esses índices podem ser destinados a medir a inflação 
de um modo geral, tais como o INPC – Índice Nacional de 
Preços ao Consumidor; o IPCA – Índice Nacional de Preços ao 
Consumidor Ampliado; o IGP – Índice Geral de Preços, todos 
destinados a medir a inflação incidente sobre o consumo das 
famílias brasileiras ou do comércio em atacado. 
 
 Ou, medir de modo mais específico, a exemplo de custo 
materiais elétricos, serviços de transporte, do alumínio e do 
aço, do custo da construção civil, o CUB, ou de qualquer outro 
segmento industrial. 
 
 Existem publicações que tratam, especificamente, deste 
assunto tais como a revista Conjuntura Econômica uma 
publicação da Fundação Getúlio Vargas – FGV e a revista 
SUMA Econômica, mensalmente publicam uma coleção desses 
índices. Ou sites da internet a exemplo de 
http://www.debit.com.br. 
 
 No Brasil, o organismo responsável por acompanhar e 
divulgar índices oficiais de inflação é o IBGE – Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística, a exemplo do INPC e do 
IPCA. 
 
 O IBGE produz índices que medem a inflação ocorrida 
em diversos segmentos sociais do Brasil bem como os preços 
por atacado, sendo os índices adotados oficialmente pelo 
governo e pelos tribunais. 
 
 No âmbito da construção civil, o mais festejado é o CUB 
– Custo Unitário Básico da Construção, elaborado e publicado 
mensalmente pelo Sinduscon – Sindicato da Indústria da 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
40 
 
Construção Civil de cada região, cujo objeto é medir a inflação 
ocorrida tanto em edificações residenciais, como em galpões, 
lojas e andares abertos. 
 
 Finalizando, faz-se um alerta quanto a cuidados a serem 
observados ao serem utilizadas a taxa nominal e a taxa real de 
juros, sob pena de cometer erro conceitual grave. 
 
 A taxa real de juros é utilizada quando não é 
considerada a ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do 
princípio que a moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo 
constante. 
 
 A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a 
ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do princípio da 
perda de valor aquisitivo da moeda, no tempo. 
 
 
2.5 – Inflação Acumulada. 
 
Inflação acumulada é aquela havida em determinado 
espaço de tempo composto por vários períodos. 
 
Geralmente, a cada período de tempo, ocorre uma taxa 
de inflação distinta dos outros. 
 
Como já comentado, a inflação corresponde a uma taxa 
de juros que mede a desvalorização da moeda a cada período 
de tempo. 
 
 E, assim sendo, a taxa de inflação acumulada deve ser 
calculada da forma idêntica à taxa de juros compostos. 
 
A Figura 2.12 mostra a existência de inflação havida em 
cada período havido entre o momento 0 e o momento n. 
 
 P0 P1 P2 P3 ...... Pn
 0 1 2 3 n
 Φ0→1 Φ1→2 Φ2→3 Φ3→n
Figura 2.12 - Inflação por Período
 
 
2.5.1 – Fórmulas Básicas. 
 
 Neste item serão discutidos os modelos matemáticos 
necessários para calcular a inflação acumulada utilizando as 
taxas periódicas havidas e os índices de inflação. 
 
Adotando como nomenclatura: 
 
 Po = preço no tempo 0; 
 P1 = preço no tempo 1; 
 P2 = preço no tempo 2; 
 Pn = preço no tempo n; 
 o1 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-1; 
 o2 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-2; 
  = inflação medida entre dois períodos quaisquer. 
 
 A definição da taxa de inflação ocorrida entre dois 
períodos consecutivos pode ser considerada identicamente 
como o caso de calculo de juros simples incorridos entre dois 
períodos consecutivos. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
41 
 
 Então, para definir a inflação para diversos períodos 
tem-se: 
 
 
P1 = Po + Po o1 = Po (1+ o1 ) 
P2 = Po ( 1 + o1 ) ( 1 + 12 ) = Po ( 1+ o2 ) 
P3 = Po ( 1 + o1 ) ( 1 + 12 ) ( 1 + 23 ) = Po ( 1+ o3 ) 
................................................................................... 
Pn = Po (1 + o-1) (1 + 1-2) (1 + 2-3)  (1+  (n-1)-n) 
 
A expressão acima que permite atualizar monetariamente 
Pn, pode ser expressa sob a seguinte notação, em que  
representa a taxa de inflação medida entre uma data base, 
denominada zero, e uma data qualquer n. Então: 
 
)(PP
n
on
0
1  
 
 
Ao serem igualadas as duas expressões acima pode-se 
escrever a taxa de inflação ocorrida entre um período inicial 0, 
também denominado de data base, e um período qualquer n, 
denominado de período final, em função da taxa de inflação 
medida em cada período intermediário k. Assim: 
)φ1()φ1)(φ1)(φ1()1(
)n)1n(322110
n
0

 
 
 



k
0n
n
n
0
)φ1()1(
 
 
Considerando que os índices inflacionários, In, são 
conhecidos, pois mensalmente determinados e publicados, é 
possível calcular a taxa de inflação, , ocorrida entre um 
período inicial, denominado zero, e um período qualquer 
denominado de n. 
 
 Como já visto a inflação ocorrida entre dois períodos 
quaisquer é dada por: 
 
1
I
I
o
n
n
0

 
 
 
 Por exemplo, seja calcular a inflação acumulada da 
construção civil, medida em CUB, havida entre os meses de 
junho de 2005 e março de 2006. 
 
%98,31
43,860
68,894
1
I
I 2006
março
2005
março
o
n
n
0

 
 
2.5.2 – Atualização de valores monetários. 
 
Basicamente, um valor corrigido, Pn, é equivalente ao 
valor inicial, P0, multiplicado pela taxa nominal de juros relativa 
a todo o período da atualização pactuado. 
 
Pn = P0 × (1 + iNT) 
 
A taxa nominal de juros, como anteriormente visto, é 
função de dois fatores: a remuneração real e periódicado 
capital, iR ,e a correção monetária do período,  . 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
42 
 
(1 + iN) = (1 + iR ) ( 1 +  ) 
 
 
Operacionalmente, a remuneração do capital pode ser 
efetuada adotando a matemática dos juros simples ou a dos 
juros compostos. 
 
 A correção monetária, ou seja, atualização monetária do 
valor é realizada segundo o índice pactuado em contrato, 
sendo considerada nos dois casos da mesma maneira, como 
será analisado abaixo. 
 
 
I. - Atualização adotando juros simples. 
 
 A atualização do valor de Po, ou seja, Pn, é efetuada 
partindo da expressão {(1+iN) = (1+ iR ) (1 +  )} , generalizada 
para n períodos. Isto porque, a taxa de juros adotada na 
atualização de valores monetários é a taxa nominal. E esta, a 
taxa nominal, é função da taxa real – iR pactuada, e da inflação 
no período, porém abrangendo todos os n períodos. 
 
 Então, calculando a atualização monetária em função da 
taxa nominal de juros a ser aplicada para o número total de 
períodos n, tem-se: 
Pn = P0 × (1 + iNT) 
 
 Sabendo-se que a expressão da correção monetária de 
um valor é dada por: 
)(PP
n
n
0
0 1 
 
 E que a expressão do montante dos juros simples pode 
ser expressa sob a seguinte forma: 
 
)in(PP Rn  10
 
 
 Substituindo a expressão representativa da taxa nominal 
de juros, (1 + iNT), pelas expressões do produto da taxa real de 
juros para cada período e da correção monetária, chega-se à 
expressão que permite a atualização de um valor monetário em 
se adotando a matemática dos juros simples. 
 
)in()(PP R
n
n  11
0
0
 
 
 
II. - Atualização adotando juros compostos. 
 
 Adotando procedimento idêntico ao anterior, define-se a 
expressão que permite a atualização de um valor monetário em 
se adotando a matemática dos juros compostos. 
 
 Sabendo-se que: 
n
Rn )i(PP  10
 
 
E, utilizando à mesma fórmula da correção da inflação, 
chega-se à: 
 
n
R
n
n )i()(PP  11
0
0
 
 
 Voltando agora para o caso da relação das taxas de 
juros, conforme discutido no item 2.4.2 e sabendo que: 
 
Pn = P0 × (1+ iNT) 
 
 Substituindo a expressão de Pn na expressão anterior, 
têm-se o caso geral da taxa nominal de juros a corrigir um 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
43 
 
pagamento único durante n períodos, considerando a 
incidência da inflação no período e da taxa de remuneração do 
capital. 
 
n
R
n
NT )i()( )i (1  11
0
 
 
 
2.5.3 - Aplicação 
 
a) Definir a taxa real, trimestral, de juros relativos a uma 
aplicação de capital realizada pelo prazo de noventa dias. Os 
juros nominais pactuados foram de 123,6543% ao ano. E, a 
inflação no período foi, respectivamente, de: 1,2%; 0,9%; e 
1,1% a cada mês da aplicação. Considerar a aplicação 
efetuada sob a matemática dos juros simples e juros 
compostos. 
 
 
I – Juros Simples. 
 
.t.a%9136,30
4
6543,123
4
i
i ANO
NT

 
 )φ(1)i (1 )i (1
3
1n
nRTN 


 
 
1,309136 = (1 + iRT) x {1,012 x 1,009 x 1,011}  
 
iRT = 26,81% a.t. 
 
 
II – Juros Compostos. 
 
.t.a%29,221236543,11i1i1i 4
NT
T
ANONT

 
 
(1 + iN) = (1 + iR) (1 + ) 
 
.t.a%39,18i
011,1009,1012,1
2229,1
)i (1
RTRT



 
 
 
2.6 – Exercícios Considerando Inflação. 
 
 
2.6.1 - Um dos serviços componentes de um contrato de 
empreitada foi orçado em R$ 15.200,00. O contrato foi firmado 
em 10/maio/2005 e o serviço em questão concluso em 
10/outubro/2005. 
 
 Pede-se calcular o preço a ser pago pelo serviço, 
sabendo-se que deverá ser corrigido pela variação mensal do 
CUB. 
 
 
2.6.2 - Um título cujo valor de face monta a R$ 12.500,00 
venceu em 01 março de 2005 e não foi quitado na data 
aprazada. 
 
 Calcular o montante necessário para quitar o título em 
28 de fevereiro de 2006, sabendo que deverá ser corrigido pelo 
INPC, acrescido dos juros de 1,5% ao mês. Efetuar o solicitado 
utilizando a matemática dos juros simples e a dos juros 
compostos. ( R$ 15.397,36 e R$ 15.601,15) 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
44 
 
2.6.3 - Um título no montante de R$ 7.800,00, vencido em 
31.12.2005, foi quitado em 30.04.2006 pelo valor de R$ 
8.590,86. 
 R$7.800,00
31/12 31/01 28/02 31/03 30/0430/11
8.590,86
 
 
 
 Considerando que o valor do título foi atualizado 
monetariamente pelo INPC, calcule a taxa média mensal real 
de juros adotada para remunerar o capital. Seja adotando o 
calculo por juros simples ou compostos. (R: 1,9925/1,9356% 
a.m.) 
 
2.6.4 - Um título no montante de R$5.700,00, vencido em 
30.01.2005, foi quitado em 30.06.2005 pelo valor de R$ 
7.639,00. Verifique se a atualização dos valores esta correta, 
já que foi pactuada a correção pelo índice do INPC e os juros 
em 2,2 % ao mês (compostos). Caso haja divergência calcule a 
taxa de juros aplicada. 
 
2.6.5 - A importância de R$ 2.500 mil foi capitalizada pelo prazo 
de quatorze meses, tendo sido pactuada uma taxa de juros 
bruta, pré-fixada em 45% ao ano. 
 
 Após receber a importância devida, o aplicador 
descobriu que no período da aplicação ocorreu uma inflação 
média mensal de 3,22% ao mês. Pergunta-se qual o ganho de 
capital no período. 
 
2.6.6 - Um capital no montante de D$ 77.000,00 foi aplicado 
por dois anos, tendo sido pactuada uma taxa real de juros 
capitalizada a taxa de 0,50% ao mês. 
 
 Considerando que no primeiro ano da aplicação a 
inflação medida foi de 34% e, no segundo, 48%, deseja-se 
saber: O valor montante a ser recebido no final do período. E, 
A taxa nominal de aplicação para o período completo? 
 
2.6.7 - Uma dívida no valor de R$ 28 mil foi paga com atraso 
de 14 meses. Os juros pactuados eram de 10,5% ao mês. 
Calcule a diferença entre os juros pagos quando quitada sob a 
matemática dos juros simples e a do composto. 
 
2.6.8 - Você recebeu uma carta de cobrança relativa a uma 
compra efetuada a vinte e dois meses e não quitada. O valor 
cobrado montava a R$ 2.425,96, sendo que o total da nota 
fiscal de origem da dívida somava a R$ 1.350,00. 
 
Pergunta-se: você concorda com o valor cobrado e qual 
seria a sua proposta, dado seus conhecimentos sobre 
cobrança e a incidência de juros, visando quitar a dívida 
nesta data? 
 
2.6.9 - A importância de R$ 53 mil foi aplicada pelo prazo de 
setenta e sete dias, à taxa de 25,58% ao ano, calculada “pro 
rata tempore”. Qual o montante a ser recebido no final do 
período quando os juros pactuados foram o composto? 
 
2.6.10 - Defina qual o valor da taxa de desconto comercial é 
equivalente à da taxa de desconto racional, quando se sabe 
que um banco pratica uma taxa real de 2,5%, acrescida da 
inflação, considerando operações de desconto de títulos 
pactuadas em noventa dias. E, o banco utilizou juros 
compostos. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
45 
 
 
2.6.11 - Você sabe que após 4 períodos vai necessitar da 
importância de R$ 7.000,00. Calcular o Valor Presente - VP e o 
Valor Futuro - VF após onze períodos da data em 
consideração, ao ser adotada uma taxa de desconto de 3% ao 
período. Responder o mesmo questionamento caso ocorrer 
uma inflação de 2,3% a cada período. 
 
2.6.12 - Uma imobiliária vende um terreno em duas prestações 
de R$ 150.000,00 vencíveis em 180 e 270 dias da data do 
negócio. Considerando serem os juros arbitrados em 83,00 % 
ao ano e capitalizados trimestralmente, pergunta-se qual o 
montante a ser pago, à vista, pelo terreno? 
 
2.6.13 - Qual a taxa de juros real pactuada sobre uma 
aplicação financeira de 24 meses cujataxa efetiva foi pactuada 
em 52% a.a., tendo ocorrido uma inflação de 35% no período 
da aplicação? ( 71,14% no período). 
 
2.6.14 - Considerando a questão anterior, pergunta-se se a 
taxa de 52% pode ser denominada de taxa nominal, efetiva ou 
bruta. Explique cada um dos conceitos. 
 
2.6.15 - Uma aplicação financeira foi pactuada para um período 
de nove meses, capitalizados mensalmente, a uma taxa de 
juros de 27,5% ao ano. Sendo aplicados $ 75.000,00, qual será 
a importância a ser recebida no final do período pactuado? ( R$ 
89.988,46). 
 
2.6.16 - Considerando a informação abaixo, informe: 
 
 O crescimento nominal e real da economia ocorrido 
entre 1995 e 2005. 
 O crescimento nominal e real da economia entre 2.000 e 
2.008. ( Utilize o INPC-IBGE). 
 Qual o crescimento real médio no período? 
 
 
 
Ano 
Produto Interno Bruto Brasil 
Em R$1.000.000 
Variação anual real 
Em % 
Preços 
Correntes 
1995 705.641 - 
1996 843.966 2,2 
1997 939.147 3,4 
1998 979.276 0,0 
1999 1.065.000 0,3 
2000 1.179.482 4,3 
2001 1.302.135 1,3 
2002 1.477.822 2,7 
2003 1.699.948 1,1 
2004 1.941.498 5,7 
2005 2.147.239 3,2 
2006 2.369.484 4,0 
2007 2.661.345 6,1 
2008 3.031.864 5,2 
2009(*) 3.143.015 
* Estimativa 
 
 
2.6.17 - Solicita-se calcular: 
 
- O valor percentual da inflação acumulada entre 
01.01.1995 e 31.01.1998, calculada pelo INPC; 
 
- O montante a ser recebido por uma aplicação de R$ 
700,00, contratada em 31.01.1995, por um prazo de três 
anos, a juros de 7,5% ao ano e acrescido de correção 
monetária. Sendo sua a decisão, qual dos índices você 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
46 
 
escolheria caso fosse o aplicador do recurso: o INPC ou 
o IGP-M? 
 
 
2.6.18 - Qual o tempo necessário para triplicar um capital 
quando este for capitalizado à taxa de 1,33 % ao mês? ( ≈ 83 
meses). 
 
2.6.19 - Elaborar um único gráfico mostrando a taxa de 
crescimento nominal e a taxa real do lucro de uma empresa, 
conforme abaixo, utilizando como índice de correção monetária 
o Índice Nacional de Preços ao Consumidor do IBGE: 
 
Ano 2003 2004 2005 2006 2007 2008 
Lucro 
10³ R$ 
650 760 790 850 880 920 
 
 
2.6.20 - A caixinha dos funcionários do Braspel, criada para 
atender rapidamente necessidades financeiras de seus 
associados, empresta e aplica dinheiro, praticando sempre a 
taxa de 8% ao período, para qualquer tipo de operação 
financeira. 
 
 A política de gestão da caixinha é a seguinte: Quando 
ela toma capital emprestado, paga os juros no vencimento. 
Quando empresta aos associados, os juros são cobrados 
antecipadamente. Neste caso, o empréstimo tem como 
garantia um cheque pré-datado, a ser descontado no dia do 
pagamento. 
 
Assim, pergunta-se: 
 
- Se José da Silva emprestar à caixinha a importância de R$ 
40.000,00 quanto a ele será devolvido no final de um mês? 
- Se José desejar retirar da caixinha, exatamente, a 
importância de R$ 40.000,00, qual será o montante do cheque 
(pré-datado) a ser preenchido como garantia do empréstimo? 
- Na hipótese anterior, definir a taxa de juros efetivamente 
paga. 
 
2.6.21 - O capital de R$ 5.000,00 foi aplicado em 01.02.2006 
e capitalizado durante sete meses, tendo rendido a importância 
de R$ 1.077,53 em juros. Pergunta-se qual a taxa mensal de 
juros praticada. 
 
2.6.22 - Defina em qual instituição financeira deverá ser 
descontada uma duplicata emitida pela empresa Rota Norte, 
vincenda em 90 dias. Sabe-se que o banco Brother Inc. pratica 
uma taxa de juros simples de 5,5% ao mês; e, o banco 
Fastmoney Ltda, uma taxa de juros compostos de 4,98 % ao 
mês. (Ver, a seguir, o citado título). (R$ 23.300,00/23.139,27 
R$). 
 
2.6.23 - O montante de R$ 7.000,00 foi aplicado em 
15/12/2004, capitalizado por cinco anos e atualizado 
monetariamente pelo INPC. O valor resgatado foi de R$ 
14.987,65. Pergunta-se qual a taxa real de juros, mensal, 
incidente nesta operação financeira. 
 
2.6.24 - O Banco STS S/A, lhe propôs uma aplicação em título 
de capitalização de R$ 800,00, pelo prazo de 12 meses, findo 
os quais lhe devolverá R$ 1.080,00. Considerando que a 
aplicação em títulos do Tesouro Nacional remunera o investidor 
a taxa de 15.50 % ao ano acrescido da correção monetária 
prevista para 5% no próximo exercício. Assim, deseja-se saber 
qual a taxa de juros embutida na proposta do STS. E, se é 
vantajoso aplicar no STS, ou melhor, se é uma operação de 
risco. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
47 
 
2.6.25 - Um contrato de empreitada no montante de R$ 333,00 
mil foi firmado em 01.08.2004. A última etapa executada e 
conclusa em 30.03.2005, no valor de R$ 27,00 mil, não foi 
quitada. O contrato previa o pagamento e a correção das 
etapas durante a construção segundo a variação mensal do 
CUB. 
 
 Solicita-se seja calculado o valor do montante 
necessário para quitar o título em 30.09.2005, sabendo que o 
índice adotado para a correção da divida é o INPC, acrescido 
dos juros de 1,2% ao mês. Efetuar o solicitado utilizando a 
matemática dos juros simples e a dos juros compostos. 
 
2.6.26 - Uma duplicata relativa à venda de material de 
construção foi emitida com pagamento para 30/06/2006. No 
seu valor de face já estava embutida uma remuneração do 
capital de 1,5% ao mês (juros compostos) e o principal sendo 
corrigido pela projeção da variação mensal do CUB. Montando 
o valor de face em R$ 22.597,25, pergunta-se qual seria o valor 
a ser pago visando a sua quitação sessenta dias antes de seu 
vencimento. 
 
2.6.27 - Uma empresa negociou uma dívida de R$ 10 mil junto 
a um banco, solicitando pagá-la em parcelas mensais de R$ 
1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada em 
empréstimos deste tipo é de 32,52% ao ano, pergunta-se: 
quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? 
 
2.6.28 - Uma empresa negociou a aquisição de um 
equipamento no valor de R$ 22.000,00, financiada pelo 
fabricante e dividido em seis parcelas mensais, iguais e 
consecutivas, sendo a primeira delas quitada na data da 
assinatura do contrato. Calcular o valor efetivo de cada uma 
das parcelas, sabendo que a taxa de juros pactuada é de 3% 
ao mês. 
 
2.6.29 - ENADE 2011. 
Uma empresa fez um investimento inicial de R$ 100 mil 
com uma taxa de retorno no primeiro mês de 10%; no final 
desse período, necessitou fazer uma retirada de R$ 5 000,00. 
 
 A empresa fez uma segunda aplicação do saldo a uma 
taxa de retorno de 8%. 
 
 Em um terceiro período, a empresa reaplicou, por mais 
um mês, o saldo restante acrescido de R$ 7 000,00, agora a 
uma taxa de retorno de 10%. A movimentação financeira da 
empresa está representada no fluxo de caixa abaixo. 
 
100.000 R$
5.000.00
7.000,00
VF
período
10% 8% 10%
Fonte: ENADE 2011
2 3
1
 
Com base na situação apresentada, o valor final (Valor 
Futuro) do investimento da empresa será de: R$ 134.800,00; 
R$ 132.400,00; R$ 128.900,00; R$ 127.700,00; R$ 102.000,00. 
 
2.6.30 - Você, como gerente de uma empresa de engenharia, 
foi aos bancos BVC Inc. e Square Financial, negociar o 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
48 
 
desconto de um conjunto de duplicatas no valor global de 928 
mil reais, vencíveis em 30, 60 e 90 dias. 
Você decidiu e realizou a operação com o BVC Inc. 
 
Em reunião da diretoria da sua empresa, depois de realizada a 
operação de credito, você foi questionado(a) quanto a 
operação realizada, pois os juros cobrados pelo BVC Inc. são 
superiores aos praticados pelo Square Financial. 
 
Dado o contexto pergunta-se: Qual a justificativa técnica que 
amparou a sua decisão? Demonstre.ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
49 
 
 
 
 
 
 
 ROTA NORTE 
 Engenharia e Construções Ltda. 
 
Rua Don João VI nº 1808 – cj. 007 
CGC/MF nº 99.888.777/0001-23 
Insc. Estadual – Isento 
Bairro do Bonaparte – Rio de Janeiro – RJ 
 
Data de emissão: 20 de julho de 2006. 
F A T U R A D U P L I C A T A VENCIMENTO Para uso da Instituição 
Financeira. Valor – R$ Número Valor – R$ Nº de Ordem 
20.10.2006 
100.000,00 1.325 20.000,00 1.433 – C/E 
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
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..
..
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..
 
A
s
s
in
a
tu
ra
 d
o
 E
m
it
e
n
te
 
Nota(s) Fiscal(is) nº 2.322/ 2323/2.329. 
Desconto de: Até 
Condições Especiais: a vista desconto de 5%. 
Nome do Sacado: Ipsis Literis Editora Ltda. 
Endereço: Rua das Maitacas nº 666. 
Município: Rotunda Ária Estado: ST CEP: 11.111-999 
Praça de Pagamento: 
CGC ou CPF: 123.321.213/0001-02 Insc. Est. nº 31.313-03 
VALOR 
 por extenso 
(vinte mil reais)................................................................................ 
........................................................................................................... 
Reconheço(cemos) a exatidão desta Duplicata de Venda Mercantil, em pagamento parcelado na 
importância acima que pagarei (emos) à Rota Norte Engenharia e Construções Ltda., ou a sua 
ordem, na praça e vencimento indicados. 
 
 
 
 ...................................... ................................................................. 
 Data do aceite Assinatura do Sacado 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
50 
 
 
3. Séries de Capitais 
 
3.0 – Definição e Tipos. 
 
Por definição uma série de capitais é caracterizada como 
sendo uma sequência de pagamentos periódicos, consecutivos 
e que apresentem alguma lei de formação. 
 
O estudo contido neste capítulo permite efetuar diversas 
operações com juros e pagamentos realizados 
corriqueiramente no comércio, facilitando o cálculo das 
variáveis desejadas através da adoção de modelos 
matemáticos, primordialmente quanto à análise de: 
 
i. Formação de fundos de capitalização, a exemplo de 
depósitos programados em títulos de capitalização ou a 
formação de capital visando à aquisição futura de bens; 
ii. Amortização de dívidas, mediante o pagamento de 
prestações iguais e consecutivas, tais como operações de 
crédito e compras a prazo; 
iii. Comparação dos resultados econômicos de operações 
financeiras ou análise de decisão entre investimentos que 
rendam dividendos periódicos. 
 
Diversos tipos de séries de pagamentos podem ser 
adotados nos empréstimos ou financiamentos, neste capítulo 
serão estudadas aquelas mais comumente utilizadas no 
comercio e no mercado de capitais brasileiro, a saber: 
 
3.1. Série Uniforme Postecipada; 
3.2. Série Uniforme Infinita; 
3.3. Serie Uniforme Antecipada; 
3.4. Série Diferida. 
 
As variáveis a serem consideradas no estudo de séries 
são: a taxa de juros pactuada, o número de períodos da 
operação, o valor presente, o valor futuro dos pagamentos 
realizados e o valor da prestação. 
 
 
3.1 – Série Uniforme Postecipada. 
 
 Uma série uniforme de pagamentos é dita postecipada, 
quando ocorre uma sucessão de pagamentos iguais, R, 
efetuados em intervalos regulares e constantes, sendo o 
primeiro pagamento realizado concomitantemente com o 
PRIMEIRO PERÍODO POSTERIOR à data da operação financeira que 
lhes deu origem. Modelo da série postecipada na Figura 3.1. 
 
 0 1 2 3 4 n 
R$
R1 Rn
Figura 3.1 - Modelo de Série Postecipada
período
Valor
 Futuro
Valor Presente
1 Per.
 
 
Tomando como exemplo de uma série uniforme 
postecipada o desenho acima, a série de pagamentos iguais a 
“R” é iniciada após a pactuação do principal “P”, ocorrendo o 
primeiro pagamento no primeiro período e, assim 
sucessivamente, até que o ultimo pagamento seja realizado no 
período n. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
51 
 
 
 Nos itens a seguir, será demonstrado como calcular o 
Valor Presente, VP(SP), e o Valor, VF(SP), Futuro de uma série 
uniforme postecipada, conhecida a prestação R(SP), o número 
de períodos e a taxa de juros pactuada. E, também, como 
determinar a prestação quando conhecidas as demais 
variáveis, fato corriqueiro em empréstimos e vendas a prazo. 
 
 
3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. 
 
Adotando como nomenclatura, Pk como sendo o valor 
presente associado a um pagamento singular qualquer Rk, e 
considerando que, por definição, se dispõe de uma série 
uniforme de pagamentos, iguais, periódicos e consecutivos, 
têm-se que: R1 = R2 = ···· = Rn = R. 
 
Matematicamente, o valor presente da série de 
pagamentos, VP, é obtido ao se efetuar o somatório dos 
valores presentes de cada pagamento singular. Então: 
 
VP = P1+ P2 + P3 +∙∙∙∙∙ + Pn 
 
Sabendo que o valor presente de cada pagamento 
singular é dado pela expressão: Pk = Rk (1+ i)-k e, relacionando 
o valor presente para cada “Pk”, com k variando de 1 a n, tem-
se: 
[
 
 
 
 
P1 = R1 ∙ (1 + i)
−1
P2 = R2 ∙ (1 + i)
−2
P3 = R3 ∙ (1 + i)
−3
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
Pn = Rn ∙ (1 + i)
−n]
 
 
 
 
 
 
 Ao ser somado os Pk para k = 1, 2, 3,...,n, obtém-se a 
expressão geral da soma de uma série de pagamentos iguais e 
consecutivos. 
 
VP(sp) = R(sp) (1 + i )-1 + R (1+ i )-2 + ... + R (1+ i )-n 
 
VP(sp) = R(sp) {(1 + i)-1 + (1+ i)-2 + ... + (1+ i)-n } 
 
A série representativa do segundo termo da expressão 
acima, colocada entre chaves, pode ser caracterizada como 
uma progressão geométrica cuja razão é q = (1 + i)-1 e o 
primeiro termo a = (1 + i)-1. 
 
Considerando que a soma de uma progressão geométrica 
decrescente é dada pela expressão 
q1
)q1(a
)PG(S
n



, após 
serem substituídos seus termos pelos respectivos valores 
financeiros, chega-se a: 
n
n
)i(i
)i(
)PG(S



1
11
, expressão esta 
denominada de fator de valor presente. 
 
Substituindo a expressão da soma da progressão 
geométrica decrescente, S (PG), na série acima, fica definida a 
expressão do Valor Presente de uma série uniforme de 
pagamentos “R”, no caso do primeiro pagamento ocorrer um 
período após o início da operação financeira que lhe deu 
origem: 
 











n
n
)i(i
)i(
(sp)R(sp)VP
1
11
 
 
O termo entre colchetes expressa um fator que define o 
valor atual da série postecipada quando o valor da prestação é 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
52 
 
a unidade. Por motivo de facilidade de notação, este fator de é 
grafado sob a seguinte notação: 
 
inn
n
aiFVPn
)i(i
)i(











1
11
 
 
 Então, dada a notação, o valor presente de uma série 
postecipada pode ser expresso como: 
 
VP(SP) = R  FVP n¬i = R(SP)  a
in
 
 
 Tanto FVPn¬i como a
in
 são denominados de FATOR 
DE VALOR PRESENTE ou FATOR DE VALOR ATUAL de uma série de 
pagamentos. Ver tabelas do Anexo-I. 
 
 Assim sendo, o fator de valor presente permite 
determinar o montante do valor presente de uma série 
postecipada, ou seja, o valor de um bem na data de hoje, 
quando conhecida a prestação a ser praga, o número de 
períodos envolvidose a taxa de juros pactuada. 
 
 De modo inverso, ao se deseja conhecer o valor da 
prestação a ser paga, quando conhecidos o capital a ser 
financiado, a taxa de juros, e o prazo de pagamento, a fórmula 
acima é utilizada sob a seguinte forma: 
 











11
1
n
n
)i(
)i(i
(sp)VP(sp)R
 
 
 
Escrevendo, por facilidade de notação: 
 
 aiFRCn
)i(
)i(i
inn
n
1
11
1 











  
 
 R(SP) = VP(SP)  FRCn¬i 
 
 As expressões FRCn¬i e 
1
ina
 correspondem à notação 
resumida da expressão entre colchetes acima e são 
denominadas de FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL a taxa de 
juros i para n períodos. Ver Tabelas do Anexo-I. 
 
O VALOR PRESENTE DA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE 
NO PERÍODO IMEDIATAMENTE ANTERIOR AO DO 
PRIMEIRO PAGAMENTO.
Memorize !
 
 
 
3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. 
 
O valor futuro de uma série de capitais postecipada 
corresponde ao valor do somatório de todos os valores 
integrantes da série, iguais e consecutivos, financeiramente 
considerados na data do ultimo período da série. Noutras 
palavras, corresponde ao montante do capital disponível na 
data do último pagamento da série, capitalizado 
financeiramente à taxa pactuada. 
 
Obtém-se o Valor Futuro equivalente a uma série 
postecipada de modo similar ao utilizado para o cálculo do 
Valor Presente, considerando como razão da progressão 
geométrica o fator q = (1+ i). 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
53 
 
 
A expressão da soma de uma progressão geométrica 
crescente é dada por: 
1
1



q
q
)PG(S
n em que n representa o 
número de termos da progressão. 
 
 Ao se proceder as devidas substituições e de modo 
idêntico ao caso do valor presente, chega-se a expressão do 
Valor Futuro, VF(SP), de uma série de pagamentos iguais e 
consecutivos. Assim: 
 
 Valor Futuro: 







 

i
)i(
(sp)R(sp)S
n 11
 
 
E, em decorrência o valor da prestação é dado por: 
 
Valor da Prestação: 










11 n)i(
i
(sp)S(sp)R
 
 
 Identicamente ao caso do Valor Presente, as expressões 
entre colchetes são denominadas, respectivamente, de Fator 
de Valor Futuro e Fator de Formação de Capital de uma série 
postecipada. 
 
 Por motivo de facilidade de notação, esses fatores 
podem ser escritos sob forma resumida, quais sejam: 
 
iFVFn
i
)i( n








  11
 e, 
 
 
iFFCn
)i(
i
n









 11
 
 
 Assim sendo, a expressão do valor futuro de uma 
série postecipada quando conhecida a prestação e, vice versa, 
a expressão da prestação quando conhecido o valor futuro de 
uma série postecipada, podem ser expressos sob a seguinte 
notação: 
 
S(SP) = R(SP)  FVFn¬i e, R(SP) = S(SP)  FFCn¬i 
 
 O Fator de Valor Futuro, FVFn¬i, permite estabelecer, 
por unidade de capital, qual será o montante “S” a ser 
disponível em data futura, quando conhecidos: o valor das 
prestações, o período de capitalização e a taxa pactuada de 
juros, “i”. 
 
 A cultura das áreas econômica e do comércio de capitais 
adota a denominação de taxa de capitalização para a taxa de 
juros “i” quando se deseja conhecer o valor disponível após 
certo número de períodos de aplicação. 
 
 Analogamente, o Fator de Formação de Capital, FFCn¬i, 
permite definir qual o valor das prestações, iguais e 
consecutivas, a serem capitalizadas para que, no final de 
determinado período se obtenha o montante “S”. 
 
 Identicamente ao anteriormente comentado, estes dois 
fatores podem ser calculados e, também, encontrados em 
tabelas financeiras. Ver Anexo-I. 
 
 Finalizando, alerta-se que neste caso de série 
postecipada de pagamentos, o valor futuro da mesma é 
definido coincidentemente com a data do último pagamento. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
54 
 
 
 
O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE 
COINCIDENTEMENTE
 COM A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO.
Memorize !
 
 
 
3.1.3 - Exemplo. 
 
 Como exemplo, seja o caso de uma loja de varejo que 
vende um equipamento, a vista, por R$ 2.500,00. Deseja-se 
saber o valor do mesmo quando financiado em seis prestações 
iguais, mensais e consecutivas, sabendo que a loja remunera 
seus ativos à taxa de 2% ao mês? 
 






















10201
0201020
2500
11
1 6
nn
n
),(
),(,
)i(
)i(i
(sp)VP(sp)R
 
 
R (SP)= 2.500,00  0,1785 = 446,31R$ 
 
 
3.1.3 - Comparando Juros Simples e Compostos. 
 
 Seja o caso do financiamento de um automóvel novo no 
valor de R$ 60 mil. Foi dado como entrada um veículo de 
mesma marca, usado, no valor de R$ 45.000,00. 
 
 O financiamento do saldo, R4 15.000,00, foi pactuado 
para ser quitado em 12 parcelas, a juros de 7% ao mês. 
 
 Pretende-se analisar qual a forma de pagamento permite 
uma maior economia para o comprador. Para tanto será 
comparado se o financiamento deverá ser efetuado em 
parcelas iguais, mensais e consecutivas, o que caracteriza 
juros compostos. Ou por pagamentos crescentes, com cada 
parcela sendo atualizada pela matemática dos juros simples. 
 
a) Série Uniforme – Juros Compostos. 
 
 Neste caso, o valor a ser financiado monta a R$ 45 mil e 
o valor da prestação será calculado considerando que os 
pagamentos se comportam como uma série uniforme 
postecipada, com o primeiro pagamento ocorrendo trinta dias 
após a data do financiamento. 
 
15.000
R$
Mês
1.888,52 R$/mês
 1 3 6 9 12
 
 









11
1
n
n
)i(
)i(i
(k)VP(k)R
 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
55 
 
R(k) = 15.000 ×
0,07 × (1 + 0,07)12
(1 + 0,07)12 − 1
= 1.888,52R$ 
 
 
b) Pagamento por juros simples. 
 
 Neste caso o valor financiado, R$ 15.000,00, será 
quitado em doze parcelas, mensais e consecutivas no valor de 
R$ 1.250,00, corrigidas até a data do efetivo pagamento à taxa 
de juros pactuada: 
 
1ª Parcela: 1.250,00 x (1+1 x 0,07) = 1.337,50 
2ª Parcela: 1.250,00 x (1+2 x 0,07) = 1.425,00 
3ª Parcela: 1.250,00 x (1+3 x 0,07) = 1.512,50 
4ª Parcela: 1.250,00 x (1+4 x 0,07) = 1.600,00 
5ª Parcela: 1.250,00 x (1+5 x 0,07) = 1.687,50 
6ª Parcela: 1.250,00 x (1+6 x 0,07) = 1.775,00 
7ª Parcela: 1.250,00 x (1+7 x 0,07) = 1.862,50 
8ª Parcela: 1.250,00 x (1+8 x 0,07) = 1.950,00 
9ª Parcela: 1.250,00 x (1+9 x 0,07) = 2.037,50 
10ª Parcela: 1.250,00 x (1+10 x 0,07) = 2.125,00 
11ª Parcela: 1.250,00 x (1+11 x 0,07) = 2.212,50 
12ª Parcela: 1.250,00 x (1+12 x 0,07) = 2.300,00 
Valor total: .....................................R$ 21.825,00 
 
 
c) Análise econômica. 
 
 A comparação dos valores obtidos por análise 
econômica mede, simplesmente, apenas a diferença dos 
desembolsos efetuados. 
 
 Total dos desembolsos: 
 
 Juros compostos = 12 ×1.888,52 = R$ 22.662,24 
 Juros Simples = Σ parcelas pagas = 21.825,00 R$ 
 Comparativo: Δ =Juros compostos - Juros simples 
 Δ = R$ 22.662,24 - 21.825,00 
 Δ = R$ 837,24 
 
 Neste caso, fica demonstrada uma economia de R$ 
837,24, caso os pagamentos fossem realizados adotando a 
matemática dos juros simples. 
 
 
3.2 – Série Infinita. 
 
3.2.1 – Conceituação. 
 
Série infinita, também denominada série perpétua ouperpetuidade de uma série postecipada, é definida como a 
sequência de pagamentos “R”, iguais, periódicos e 
consecutivos, contendo um número muito grande de termos, 
pelo qual é considerada infinita. Ver modelo na Figura 3.2. 
 
Uma série nestas condições é, matematicamente, 
considerada como infinita porque a influência dos últimos 
termos da série no montante do valor presente passa a ser nulo 
ou irrisório. E, este fato é função do grande número de período 
das séries e da taxa de desconto praticada. 
 
𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑝é𝑡𝑢𝑎 → 𝑓(𝑛 → ∞; 𝑖) 
 
Como exemplo de perpetuidade, pode-se citar o caso das 
aposentadorias, prestação da casa própria ou remuneração 
dos fundos de pensão. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
56 
 
 0 1 2 3 4 n →∞
R1 Rn
R$
Figura 3.2 - Modelo de Série Infinita
Períodos
 
 
Partindo da expressão do valor presente de uma série 
postecipada formada por pagamentos iguais, periódicos e 
consecutivos, tem-se: 
 
VP(SP) = R(SP)  FVPn¬i 
 
Quando n 

, tem-se: 
iFVPnLim (sp)R (si)VP
n


 
 
Substituindo a variável FVPn¬i pela sua expressão 
matemática tem-se: 
 
iFVPnLim
n


 = 








 n
n
n )(i
)i(
Lim
11
11
 = 




















n
n
nn
n
n
)i(
)i(
i
)i()i(
)i(
Lim
1
1
1
1
1
1
  
 
iii
)i(
Lim
n
n
1011
1
1






 
 
 Assim, fica demonstrada a expressão de uma 
Perpetuidade ou Série Perpétua, o que permite calcular o Valor 
Presente, VP(SI), de uma série infinita de prestações iguais, 
periódicas e consecutivas: 
 
 
VP(si) =
R(si)
i
 
 
 Analisando tabelas financeiras, é possível verificar qual 
o período a partir do qual uma série postecipada pode ser 
considerada como infinita e isto, também, é função direta da 
taxa de juros praticada. 
 
Deste modo, quanto maior a taxa de juros, menor é o 
número de períodos necessários a caracterizar a série como 
perpetuidade. 
 
 Isto porque, qualquer prestação muito distante da data 
de início, e conforme a taxa de desconto praticada produz um 
valor presente insignificante ou próximo de zero, não influindo 
significativamente no aumento do montante do valor presente 
da série. 
 
 
3.2.2 – Exercício Resolvido. 
 
a) Ao completar 10 anos, seu avo lhe abriu uma caderneta 
de poupança programada e passou a depositar a 
importância de R$ 75 por mês de então até a data de 
sua formatura, 15 anos depois. Considerando que o 
banco remunera este tipo de investimento à taxa de 8% 
ao ano, capitalizados mensalmente, determine o 
montante disponível na data formatura. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
57 
 
 
i(ano) = 8% aa → i(mês) = 0,66667% a.m. 
 
$R,.
,i
(si)R
(si)P 9424911
00666670
75

 
 
 Dos dados obtidos fazem-se os seguintes comentários: 
 
 O montante de R$11.249,94 corresponde ao valor, em 
termos de valor aquisitivo medido no momento atual, da 
poupança em termos de moeda de poder aquisitivo 
constante, já que desconsiderada a inflação no período. 
 Além disto, justifica-se o calculo do valor presente utilizando 
o conceito de perpetuidade, pois o horizonte das prestações 
atinge 180 meses e, assim sendo, as ultimas prestações 
tem reduzida influência no montante do mesmo. 
 
 
b) Você esta vendendo um apartamento no valor de R$ 
150.000,00. Um comprador lhe fez duas propostas para a 
venda em prestações, nas seguintes condições: 
 
Proposta A: 40% de entrada. O saldo sendo pago em duas 
parcelas sem correção: 
 A primeira equivalente a 40% do saldo, a ser quitada em 
60 dias; 
 A segunda, equivalente a 60% do saldo, a ser paga em 
120 dias. 
 
Proposta B: 30% de entrada e o saldo sendo quitado em quatro 
parcelas iguais, mensais e consecutivas, sem correção, 
vencendo a primeira trinta dias após o fechamento do negócio. 
Analise qual das opções seria a mais vantajosa sabendo 
que você utiliza uma TMA = 3% ao mês. 
Os diagramas de fluxo de caixa a seguir mostram as 
condições propostas. 
 
Calculando o valor presente para cada proposta tem-se: 
 
$R75,911.141
)03,1(
54000
)03,1(
36000
60000 VP(A)
42

 
 
$R75,911.141
)03,1(
54000
)03,1(
36000
60000 VP(A)
42

 
 1 2 3 4 mês
 60.000 36.000 54.000
Prop. A
 1 2 3 4 mês
 45.000
Prop. B
26.250,00
 
 
 
VP(B) = 45000 + 26250 ∙ FVP4¬3% 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
58 
 
 
𝑉P(B) = 45000 + 26250 ∙ [
(1 + 0,03)4 − 1 
0,03 × (1 + 0,03)4
] = 142.573,83 R$ 
 
 
 Como VB (B) > VP(A), a Proposta B é a mais vantajosa. 
 
 
3.3 – Série Uniforme Antecipada. 
 
Uma Série Uniforme Antecipada é definida como sendo 
a sucessão de pagamentos iguais, R, efetuada em intervalos 
regulares e constantes, cujo primeiro pagamento ocorra na 
data da operação financeira que lhe deu origem. O modelo 
desta série é apresentado na Figura 3.3. 
 
 Como exemplo de aplicação deste tipo de série, tem-se 
os casos de: 
 
I. Aplicação em depósito programado, também denominado de 
capitalização, quando é pactuado que uma determinada 
importância “R” será recolhida em períodos pré-
determinados, a partir do momento de pactuação da 
operação financeira e cujo montante “VF” será devolvido ao 
aplicador findo o período programado, um período após o 
pagamento da última importância, e; 
 
II. Aquisição de um bem no valor “VP”, a ser quitado em 
parcelas iguais e sucessivas iguais a “R”, sendo que a 
primeira parcela é quitada no momento da compra. 
 
 0 1 2 3 4 n-1 n 
R$
Figura 3.3 - Modelo de Série Antecipada
período
Valor Presente
Valor Futuro
R1 Rn
1 Per.
R2
 
Tomando como expressão gráfica de uma Série Uniforme 
Antecipada o desenho da Figura 3.3, fica caracterizado que, 
neste tipo de série de pagamentos iguais, periódicos e 
consecutivos, “R”, o primeiro pagamento ocorre na data da 
operação financeira que lhe deu origem. 
 
Ressalta-se que o primeiro pagamento da série ocorre 
coincidentemente com a data do pactuado. E, que valor futuro 
desta série, VF(SA), ocorre um período após o pagamento da 
ultima prestação. 
 
A seguir é demonstrado como calcular o Valor Presente, 
VP(SA), e o Valor Futuro, VF(SA), da série antecipada de 
pagamentos. 
 
 
3.3.1 – Valor Presente da Série Antecipada. 
 
 Efetuando o valor presente de cada um dos pagamentos 
singulares, VPK, pode-se escrever o valor presente da série de 
pagamentos postecipada como: 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
59 
 
VP(SA) = VP1+ VP2+ VP3 + VP4 + ∙∙∙ + VPn 
 
 Escrevendo cada termo da expressão acima em função 
de suas variáveis tem-se: 
 
[
 
 
 
 
 
 
VP1 = R
VP2 = R ∙ (1 + i)
−1 − 1
VP3 = R ∙ (1 + i)
−2 − 1
VP4 = R ∙ (1 + i)
−3 − 1
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
VPn = R ∙ (1 + i)
−(n−1) − 1]
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo o valor presente de cada pagamento 
individual em função do pagamento a ser realizado, tem-se o 
valor presente da série, VP(sa): 
 
VP(SA) = R + R (1 + i) -1 + R (1 + i ) -2 + R ( 1 + i ) –3 + + R ( 1 + i ) -n 
 
VP(SA) = R { 1 + ( 1 + i ) -1 + ( 1 + i ) -2 + ( 1 + i ) –3 + + ( 1+ i ) –n } 
 
 Analisando o termo entre colchetes, verifica-se ser este 
um somatório e que pode ser associado a uma progressão 
geométrica decrescente, cujo primeiro termo corresponde ao 
valor 1, o segundo ( 1 + i ) -1, o ultimo termo ( 1 + i ) –n sendo a 
razão de decrescimento igual a (1 + i)-1. 
 
 Como definido anteriormente, a soma de uma 
progressão geométrica decrescente é dada pela expressão 
q
)q(a
)PG(S
n



1
1
 em que, substituindo pelos respectivos 
valores financeiros, chega-se a: 
11
11



n
n
)i(i
)i(
)PG(S
 
 
Substituindo a expressão da soma da progressão 
geométrica, S(PG), na série acima, fica definida a expressão do 
Valor Presente, VP(SA) de uma série de pagamentos 
antecipados: 
 
11
11



n
n
)i(i
)i(
(sa)R(sa)VP
 
 
Ao se desejar conhecer o valor da prestação ou 
pagamento, R(SA), conhecido o montante do Valor Presente, 
VP(SA), parte-se da expressão acima. Então: 
 












11
1 1
n
n
)i(
)i(i
(sa)VP(sa)R
 
 
 
 
 
3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. 
 
Por definição, o valor futuro, VF(SA), de uma série de 
pagamentos antecipada é definido no primeiro período 
subsequente ao do último pagamento. Ver Figura 3.4. 
 
 A determinação do Valor Futuro da série antecipada 
poderá ser efetuada, de modo mais expedito, partindo da 
expressão do Valor Futuro de uma série postecipada. 
 
 Para tanto determina-se, inicialmente, o Valor Futuro da 
Série Postecipada - “S”. Estabelecido o valor de “S” para o 
tempo t(n-1), o Valor Futuro da Série Antecipada – VF é definido 
ao se levar o valor de “S” para o período t(n). 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
60 
 
Figura 3.4 – Valor Futuro de Série Antecipada
VP(SA)
 0 1 2 3 4 n-1 n período 
R1 Rn
VF(SA)
VF(SP)≡S
 
 
 Matematicamente, o valor futuro da série postecipada, é 
obtido ao se multiplicar o valor futuro da série antecipada, S, 
pelo fator de valor futuro de um pagamento único. 
 
 Então: 
)i(S(sa)VF  1
 
 
 Isto porque, multiplicado por (1+i) cada termo de uma 
Série Antecipada, obtém-se o valor de cada termo da série no 
momento seguinte ao de sua realização, passando, então, a se 
comportar como uma Série Postecipada, cuja soma já é 
conhecida. 







 

i
)i(
(sa)R(sa)S
n 11
  
 










 )i(
i
)i(
(sa)R(sa)VF
n
1
11
 
 
No caso inverso, ao ser conhecido o Valor Futuro de 
uma série antecipada, o valor da sua prestação, R(SA), é dado 
por: 
 
)i(})i{(
i
(sa)VF(sa)R
n 

111
 
 
 Recomenda-se cuidado na aplicação dessas fórmulas 
que envolvam o valor futuro da série antecipada, pois ele é 
medido um período após a conclusão do período de 
pagamentos. 
 
 Como exemplo deste caso, seja a aplicação em 
caderneta de poupança programada ou em título de 
capitalização. O primeiro pagamento da série ocorre no 
momento em que é pactuado o contrato de aplicação. O ultimo 
momento da série ocorre um período após o ultimo pagamento, 
já que este último pagamento deverá gerar juros por ainda mais 
um período. 
 
O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA
 É DEFINIDO UM PERÍODO APÓS A DATA
 DE SEU ULTIMO PAGAMENTO.
Memorize !
 
 
 
3.3.3 – Aplicação. 
 
a) Você é um profissional liberal e associado a uma 
cooperativa de crédito. A cooperativa oferece uma 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
61 
 
remuneração de 1,25% ao mês para aplicação em 
investimentos programados em títulos de capitalização. 
Pergunta-se, qual a importância a ser investida visando 
adquirir um computador cujo preço é de R$ 5 mil no prazo 
de quatorze meses? 
)i1(}1)i1{(
i
VFR
n 

 
 
$R,
),(}),{(
,
R 97324
01251101251
01250
5000
14



 
 
b) Calcular o montante de capital propiciado pela aquisição 
de um título de capitalização pactuado à taxa de 2% ao 
mês e contratado por um período de dois anos, nas 
seguintes situações: 
 
 A valores da data de fechamento da operação, ou 
seja, na data de hoje; 
 E, o montante no final do período. 
 
 O valor da prestação contratada foi de D$ 700,00 por 
mês. 
 
0 6 12 18 23 24 mês
R$ - Valor Presente
VF = Valor Futuro
R$ 700,00/mês n =
 24
 me
ses
 
 
Atenção:
Sendo o caso em pauta associado a uma série antecipada, o 
número de período “´n” da série corresponde à duração total 
pactuada para a operação, ou seja, 24 meses.
A devolução do capital investido ou o Valor Futuro da série ocorrerá 
um período após a realização do ultimo pagamento. 
 
 
 
I - Valor Presente: VP = R  FVP (24; 2%) 
 
11
11



n
n
)i(i
)i(
RVP
 
 
$D,.
)i,(,
),(
VP 5450413
021020
1021
700
23
24




 
 
 
II - Valor Futuro: VF = R  FVF (24;2%) 
 










 )i(
i
)i(
RVF
n
1
11
 
 
$D,,),(
,
),(
VF 2172121021
020
1021
700
24












 
 
 Deste modo, a aplicação mensal de D$ 700,00 pactuada 
por um prazo de 24 meses à taxa de 2% ao mês, 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
62 
 
corresponderá à importância de D$ 13.504,54 na data da 
aplicação e de D$ 21.721.21 no final do período. 
 
 No fluxo de caixa representativo da operação, ficam 
caracterizadas 24 prestações, pois a primeira delas ocorre na 
data de fechamento da operação financeira. A última 
prestação ocorre um mês antes do final do período, ou seja, no 
23º mês. 
 
 
3.4 – Série Diferida. 
 
 Uma série de pagamentos é dita diferida quando a 
primeira prestação ocorrer após o primeiro período. Ver Figura 
3.5. 
 
O processo de calcular seja o valor presente, valor 
futuro, como a prestação de uma operação financeira em que o 
primeiro pagamento é diferido, é um processo comum no 
comércio varejista. 
 
VP(0)
VP(k)
R R R R
0 1 2 k k+1 k+2 k+3 n∙∙∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙∙∙
1 Passo2º Passo
Figura 3.5 – Modelo Série Diferida
Período
 
 
Qualquer tipo de série pode ser considerada diferida, seja 
ela uma série uniforme, uma série gradiente ou mesmo uma 
sequência qualquer de pagamentos já que, em termos 
financeiros, diferir significa adiar a data do primeiro pagamento. 
 
 
3.4.1 – Metodologia. 
 
 A determinação do Valor Presente de uma série diferida, 
VP(SD), é efetuada em dois passos: 
 
 1º passo - calcula-se o valor presente da série postecipada, 
VP(k), como anteriormente demonstrado; Neste caso, o 
momento inicial da série corresponde a um momento anterior 
ao do início de pagamentos; 
 
2º passo – disponível o valor presente da série postecipada, 
VP(k), calcula-se o Valor Presente desejado, VP(SD). Para 
tanto, leva-se o valor de VP(k), a valor presente no momento 
zero, ou seja, VP(SD). 
k)i(
)k(VP
)SD(VP


1
 
 Por sua vez, sabendo-se que o Valor Presente de uma 
série uniforme postecipada composta por (n-k) pagamentos 
iguais e consecutivos de valor R é dada por: 
 
VP(k) = R  FVP (n-k; i%) 
 
 Ao se substituir a expressão de VP(k) acima, na 
expressão de VP(SD), chega-se a expressão geral do valor 
presente de uma série postecipada diferida. 
 
VP(SD) = 
R
(1 + i)k
× FVP (n − k; i) 
 
 ENGENHARIAECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
63 
 
 É importante ressaltar que o momento k corresponde ao 
“momento zero” da série uniforme, isto é, o período que 
precede o momento em que se iniciam os pagamentos. 
 
 
3.4.2 - Aplicação 
 
a) Calcular o valor da prestação relativa à venda de um 
equipamento cujo preço monta a D$ 300 mil, negociado 
em sete prestações iguais, mensais e consecutivas, 
vencendo a primeira delas cento e vinte dias após o 
fechamento do negócio. A empresa adota uma TMA de 
7% ao mês. 
 
 Como primeiro passo, deve-se elaborar o diagrama de 
fluxo de caixa do empreendimento. 
 
O diagrama mostra que a série de pagamentos inicia no 
mês 4, sendo seu momento inicial referido ao mês 3. 
 
Como segundo passo, calcula-se o valor presente da 
série tendo como momento inicial o mês 3. 
 
R
300.000,00
Mês
2 4 6 8 10
R$
 
O terceiro passo corresponde ao calculo do valor 
presente, como pagamento único, tendo como momento 
inicial a data da operação ou seja, a data zero. 
 
VP(0) = R × FVP(n−k)¬i% ×
1
(1+i)k
 
 
300.000 = R × FVP7¬7% ×
1
(1+0,07)3
 
 
300.000 = R × 5,3893 ×
1
(1 + 0,07)3
= 𝑅 × 5,3893 × 0,8163 ∴ 
 
R = 72.966,12 D$/mês 
 
 
b) A empresa Mercado Fácil oferta computadores a serem 
pagos em seis prestações iguais, mensais e consecutivas no 
valor de R$ 588,00, sendo a primeira delas vincenda em 
noventa dias. Qual o valor a ser pago a vista sabendo que a 
empresa pratica juros de 2% ao mês em seus financiamentos? 
 
i) k,-n ( FVP
)i(
R
)SD(VP
k



1
 
 
2%) 6, ( FVP
),(
,
)SD(VP 


20201
00588
 
 
$R,.,
1,0404
588,00
 VP(SD) 74165360145 
 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
64 
 
3.5 – Exercícios Propostos. 
 
3.5.1 - A empresa Seminovos Veículos Ltda. vende um 
automóvel, a vista, por R$ 110.000,00. Qual será o valor da 
prestação considerando um plano de pagamento para ser 
quitado em 10 meses a juros de 7% ao mês? As prestações 
deverão ser iguais, mensais e consecutivas. 
 
 Considere: 1º) plano com entrada no valor de R$ 10 mil, 
vencendo a primeira em trinta dias; 2º) plano sem entrada, 
vencendo a primeira em trinta dias da operação; 3º) plano com 
o valor da entrada igual ao valor das dez prestações mensais. 
 
3.5.2 - O gerente da empresa Quick-Delivery Lted, empresa do 
ramo de atacado, propôs ao “Controler” da mesma os 
seguintes planos de pagamento visando à venda de lotes de 
televisores Telecor, conforme abaixo. Os lotes vêm sendo 
vendidos, atualmente, por D$110.000,00, porém apresentando 
crescente dificuldade de comercialização, dado o lançamento 
de novos produtos no mercado. 
Sendo o preço de aquisição dos televisores D$ 63.000,00 qual 
será a decisão do Controler? 
 
Considerar uma taxa de desconto de 2,5% ao período. 
b.1. À vista com 20% de desconto. 
b.2. Dez pagamentos, sem entrada, iguais e consecutivos 
no valor de D$10.099,00 por mês, vencendo a primeira 
em trinta dias da operação. 
b.3. Dez pagamentos mensais e consecutivos no 
montante de D$10.777,00 por mês, sem entrada, com o 
primeiro pagamento ocorrendo após 120 dias contados 
da data da compra. 
b.4. Entrada e mais dez pagamentos mensais e 
consecutivos, todos iguais e no valor de D$ 9.899,00 por 
mês. 
 
3.5.3 - A empresa “Só no Barato Varejão Ltda.” analisa a 
aquisição de um lote de televisores junto à Quick-Delivery Lted. 
Sabe-se que um lote contém 230 televisores e o preço de cada 
aparelho é de R$ 569,99. Esta empresa oferece cada lote de 
aparelhos nas seguintes condições: 
 
 A vista com 20% de desconto; 
 Financiamento sem entrada, pago em quatro prestações 
iguais, mensais e consecutivas de R$ 179,99; 
 Financiamento em cinco parcelas iguais, mensais e 
consecutivas no valor de R$ 95,95 cada, com a primeira 
parcela vincenda em 90 dias após a venda. 
 
 A empresa Sónobarato Varejão Ltda. prevê colocar no 
mercado sessenta unidades por mês. O custo de capital 
praticado pelo Varejão é de 15% ao ano e adota um mark-up 
de 33%. Sendo você o diretor financeiro do Varejão pergunta-
se: qual dos planos oferecido pela Quick-Delivery Lted será o 
escolhido? 
 
3.5.4 - Você vende um imóvel por D$ 36.000,00, para receber 
nas condições abaixo. Qual seria o valor a vista da cada 
proposta, considerando as abaixo enumeradas, e sabendo que 
você pratica um custo de capital é de 15% a.a.? 
 
 Com parte à vista e 60% do total no prazo de trinta dias. 
 O 1º pagamento em 6 meses (50%) e o final em um ano. 
 Em 12 pagamentos, iguais, mensais e consecutivos de D$ 
3.000,00. 
 Em 8 pagamentos iguais, mensais e consecutivos de D$ 
4.650,00. 
 Considere as opções acima quando ocorrer uma inflação de 
20,22% ao ano. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
65 
 
 
3.5.5 - Calcular o preço a vista de um produto, sabendo-se 
que o mesmo é ofertado para pagamento em 5 parcelas. A 
primeira equivalente a 30% do valor a vista, quitada no ato da 
compra; As outras quatro parcelas, iguais e consecutivas, no 
valor de R$ 150,00 cada, vencíveis em 30/60/90/120 dias. 
Considerar um custo de capital de 2% ao mês. 
 
3.5.6 - Um fornecedor de computadores pessoais oferece o 
modelo BO-800, a vista, por US$ 1.175,00. Ou, a prazo, em 
pagamentos iguais de US$ 80,00, sendo uma entrada e mais 
20 pagamentos mensais e consecutivos. 
Verifique qual das duas situações lhe é mais interessante. A 
taxa de juros a ser estabelecida é a sua taxa de oportunidade. 
 
3.5.7 - Sua empresa necessita da importância de R$ 
175.000,00, no prazo de 15 meses, para ser aplicada num 
novo projeto de investimento. O banco onde operam oferece, 
para clientes institucionais, uma taxa de juros de 3% ao mês 
para contratos de capitalização programados. Quanto deverá 
ser o valor da aplicação mensal, para que sua empresa 
disponha da importância citada no momento desejado? 
 
3.5.8 - Você deseja adquirir um veículo cujo preço é de R$ 
36.000,00. Qual será a sua opção de negócio, entre as 
seguintes situações: 
 
1ª) Adquirir o veículo por financiamento através do 
pagamento de 14 prestações mensais, iguais e 
consecutivas, com juros pactuados à taxa de 26,8242% 
ao ano; 
 
 2ª) ou, utilizando uma poupança mensal, cujo prazo é 
idêntico à anterior, com taxa de oportunidade de 1,3% 
ao mês e adquirir o veiculo após dispor do capital 
necessário? 
 
3.5.9 - Verifique se sua empresa, efetuando uma poupança 
mensal de US$ 2.500,00 aplicados à taxa de oportunidade de 
1,20% ao mês e após dez meses, disporá de recursos próprios 
para adquirir um equipamento cujo valor de mercado, hoje, 
monta a US$ 26.000,00? 
 
3.5.10 - Um veículo cujo valor de venda, nesta data, é de R$ 
24.500,00, foi anunciado para ser pago em dez prestações 
iguais, mensais e consecutivas no valor de 2.796,00 R$, 
vencível a primeira em sessenta dias. O anunciante proclama 
que os juros cobrados são de 1,5% ao mês, sem correção 
monetária. Verifique se isto é verdade. 
 
3.5.11 - Analise a diferença, mensal e total, dos juros pagos 
quando da quitação de uma dívida no montante de R$ 28 mil. 
Os juros foram pactuados em 3,5% ao mês, nas seguintes 
condições: 
 
 Pagamento em seis prestações iguais, mensais e 
consecutivas, com a primeira quitada na data da 
operação; 
 A mesma situação anterior, porém sob a égide dos juros 
simples. 
 
3.5.12 - Considerando os coeficientes definidos no exercício 
anterior, pergunta-se qual será o valor da prestação de um 
veículo cujo preço de tabela monta a R$ 36 mil, negociado nas 
seguintes condições: uma entrada equivalente a 30% do valor 
do bem e o saldo quitado em cinco prestações iguais, mensais 
e consecutivas, vincendo a primeira em sessentadias? 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
66 
 
3.5.13 - Analise o interesse da empresa varejista, definida no 
exercício anterior, em promover a venda de seus produtos de 
modo financiado e desestimular as vendas à vista, sabendo-se 
que: 
 
 A empresa não oferece descontos para vendas à vista; 
 Sobre o preço de vendas a empresa recolhe um tributo 
na ordem de 17% do valor agregado, recolhidos ao fisco 
no mês da operação financeira; 
 Sobre os ganhos de financiamento não incide o tributo 
acima; 
 A empresa pratica um mark-up de 35%; 
 Aplicações realizadas no mercado financeiro rendem, 
em média, 1,1% ao mês. 
 
3.5.14 - Um veículo no valor de R$ 28 mil foi financiado em 
seis prestações iguais, mensais e consecutivas, no valor de R$ 
5.254,71 cada, sendo que a primeira foi quitada na data do 
fechamento do negócio. A taxa de juros pactuada para o 
financiamento foi de 3,5% ao mês. Se fosse pactuado a juros 
simples, deseja-se saber qual o valor da prestação a ser 
cobrada. 
 
3.5.15 - Um título com valor de face de R$ 290,00, vencido em 
31 de março de 2004 foi pago com 27 meses de atraso. O valor 
pago montou a R$ 1.066,91. Deseja-se saber qual a taxa 
efetivamente paga, bem como a taxa real de juros já que o 
mesmo foi corrigido pelo INPC. 
 
 
3.5.16 -- Uma empresa varejista, visando orientar seus 
vendedores, deseja estabelecer coeficientes multiplicadores 
para facilitar o calculo das prestações de seus produtos. 
 
 É política da empresa disponibilizar aos clientes vários 
planos de financiamento, todos apresentando prestações em 
parcelas iguais, mensais e consecutivas. 
 
Plano de Financiamento 
Prestação = k  valor financiado 
Finan. 
Tipo 
Numero 
Prestações 
Data da 1ª 
Prestação 
Juros 
Ao Mês 
Coeficiente 
Multiplicador 
1 3 30 dias 1,50% 
2 3 60 dias 1,75% 
3 3 90 dias 2,00% 
4 5 30 dias 1,50% 
5 5 60 dias 1,75% 
6 5 90 dias 2,00% 
7 7 30 dias 1,50% 
8 7 60 dias 1,75% 
9 7 90 dias 2,00% 
 
Além disto, os clientes poderão optar pelo número de 
prestações e por várias datas de início dos pagamentos, 
segundo o plano de financiamento exposto no quadro abaixo. 
 
 Considerando que as prestações deverão ser definidas 
com a incidência de diversas taxas de juros que variam 
segundo a característica de cada tipo de financiamento, 
solicita-se estabelecer os multiplicadores dado as condições 
abaixo. 
 
3.5.17 - Uma vantagem da obtenção de um diploma de curso 
superior é a perspectiva de melhores ganhos futuros, em 
comparação com os que não têm titulação. Existe a estima que 
a graduação em uma faculdade tenha um custo equivalente de 
$28.000 a preços da época da formatura. 
 
 Há o entendimento, também, que os benefícios de uma 
formação superior se farão sentir durante quarenta anos de 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
67 
 
vida profissional e que, em comparação com outros 
profissionais não titulados, o mercado vem praticando um 
salário de $3.000/ano superior, durante os dez primeiros anos 
após a conclusão do curso. 
 
 Durante os dez anos subsequentes, dado o ganho de 
experiência, ocorre uma previsão de renda anual superior em $ 
6.000 a de profissionais não graduados. E, durante os vinte 
anos subsequentes o mercado vem apresentado um salário 
superior em $12.000 acima daquele pago a pessoas não 
graduadas. Admitindo que estas estimativas estejam corretas, 
qual será a taxa interna de retorno prevista como resultado do 
investimento em curso superior? 
 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
68 
 
 
 
4. Amortizações de Dívidas 
 
 
4.1 – Tipos de Sistemas. 
 
O modo de pagamento de dívidas ou empréstimos é função 
do prazo pactuado, do montante e dos juros contratados. 
 
 Sob a ótica do prazo, podem ser classificados em: de curto, 
médio ou de longo prazo. 
 
Os empréstimos de curto e médio prazo geralmente 
saldados num prazo de até três anos são calculados conforme 
anteriormente discutido, quando adotados os sistemas de juros 
simples e compostos. 
 
 Nestes casos, o capital tomado rende juros durante todo o 
prazo pactuado. Como exemplos desses empréstimos, podem 
ser citados: compras a prazo realizadas no mercado varejista 
de bens de consumo durável e os empréstimos em conta 
corrente realizados pelos bancos comerciais. 
 
Os empréstimos de longo prazo são aqueles realizados com 
prazos superiores a dois ou três anos, sendo as importâncias 
envolvidas mais vultosas do que as consideradas nos 
empréstimos anteriores. Esses empréstimos são, geralmente, 
adotados para o financiamento de bens de capital utilizados por 
empresas e da casa própria, sendo operacionalizados por 
instituições ou bancos de investimentos. 
 
Nos empréstimos de longo prazo, os juros incidem somente 
sobre o saldo devedor e uma parte de principal é devolvida a 
cada período. Assim, diferentemente do curto prazo, a 
prestação nos empréstimos de longo prazo é composta de 
duas partes: os juros e a amortização. 
 
 
PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS DO PERÍODO 
 
A amortização corresponde à devolução do principal ou do 
capital tomado emprestado a cada período o que permite 
reduzir o montante devido. Os juros, por sua vez, são 
calculados período a período sobre o saldo devedor 
apresentado no período imediatamente anterior ao daquele em 
que se vai efetuar o pagamento de uma prestação qualquer. 
 
No Brasil, o procedimento para amortização do saldo 
devedor é definido por lei e deve ser efetuado em 
conformidade com o art. 6º, alínea “c”, da Lei nº. 4.380/64, que 
diz: 
 
“c) ao menos parte do financiamento, ou do preço a ser 
pago, seja amortizado em prestações mensais 
sucessivas, de igual valor, antes do reajustamento, 
que incluam amortização e juros.” 
 
Dentro deste contexto, o novo saldo devedor somente 
deverá ser corrigido depois de amortizada parte da dívida 
existente naquele período. Deste modo, a amortização 
efetuada em determinado período abate parte do saldo 
devedor existente. Após esta operação é que será efetuada a 
correção do saldo devedor, gerando um novo saldo devedor 
para o período subsequente. 
 
 Existem diversas metodologias para a quitação dos 
empréstimos de longo prazo. E, elas são distintas segundo a 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
69 
 
forma de calcular os juros ou a amortização. A seguir são 
apresentadas quatro das metodologias mais utilizadas: 
 
 Sistema de amortização constante - SAC 
 Sistema de prestação constante - PRICE 
 Sistema americano 
 Sistema de amortização variável 
 Sistema de amortização crescente – SACRE/CEF. 
 Sistema Alemão 
 
Conforme o contrato pactuado entre as partes, os juros 
podem ser pagos, ou não, durante o prazo de carência. Por 
prazo de carência é entendido como o período, ou períodos, 
em que não ocorre o pagamento de amortizações. 
 
Ocorrendo a hipótese de não haver pagamento de juros 
durante o prazo de carência, eles são incorporados ao 
principal. Nesse caso, o saldo a cada período fica acrescido 
dos juros vencidos e que são incorporados ao montante do 
financiamento. Sobre esse montante é que serão calculadas as 
prestações e as amortizações. 
 
A individualização do valor da amortização e dos juros que 
compõem cada prestação é importante para a escrituração 
contábil e da definição do fluxo de caixa líquido de cada 
exercício. 
 
 A amortização é lançada no balanço patrimonial como conta 
integrante do ativo imobilizado, registrando o aumento de 
patrimônio da empresa. No caso de avaliação do fluxo de caixa 
da empresa é considerada por seu valor integral.Os juros são contabilmente lançados como conta de 
despesa, integrando as contas de resultado do exercício. No 
fluxo de caixa da empresa seu valor é reduzido pela influência 
dos tributos que incidem sobre a renda. 
 
Finalizando, um fator a não ser menosprezado em 
financiamentos é quanto à consideração de impostos, taxas e 
comissões, etc., aplicados sobre operações financeiras e que 
alteram a taxa real a ser paga pelo tomador do empréstimo. 
 
Eles reduzem o valor real disponível pela empresa e podem 
alterar a atratividade de algum financiamento ou projeto de 
investimento. 
 
 
4.2 - Sistemas de Amortização Constante - SAC 
 
4.2.1 – A metodologia 
 
 No sistema de amortização constante, as prestações 
são decrescentes e a amortização proporcional ao número de 
períodos pactuados para a devolução do principal ou do saldo 
devedor. 
 
mortizaçãoPeríododeA
orSaldoDeved
a 
 
 
 Definida a amortização, os juros são calculados, período 
a período, sobre o saldo devedor existente no início do período, 
sob a égide da matemática dos juros simples. 
 
 A prestação, finalmente, é obtida somando o valor dos 
juros à amortização anteriormente calculada. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
70 
 
 O sistema SAC permite o estabelecimento de prazo de 
carência. Neste caso, os juros poderão, ou não, serem pagos 
durante o prazo de carência. 
 
 Quando ocorre a dispensa do recolhimento de juros 
durante a carência eles são incorporados ao principal gerando 
um novo saldo devedor. E, é sobre esse novo saldo devedor 
que a amortização deverá ser calculada. 
 
AMORTIZAÇÃO
JUROS
Prestação
 1 2 3 ............................................ n 
Fig. 4.1 – Modelo de Sistema Amortização Constante
Financiamento
Períodos
 
 
 
 O calculo da prestação, então, segue a seguinte 
metodologia: 
 
1º. Define-se o montante a ser financiado. Em caso de 
carência, os juros poderão ser ou não incorporados ao 
principal; 
2º. Calcula-se o valor da amortização; 
 
mortizaçãoPeríododeA
orSaldoDeved
a 
 
 
3º. Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; 
4º. A prestação do período é definida somando-se o valor 
da amortização ao valor dos juros calculados; 
5º. Calcula-se o novo saldo devedor diminuindo-se do saldo 
havido no início do período o valor da amortização; 
6º. Repete-se sucessivamente esta operação até ser 
definido o valor da ultima prestação. 
 
 
4.2.2 - Exemplo. 
 
Seja calcular a prestação relativa a um empréstimo no 
montante de D$100.000,00 cujo prazo da operação foi 
estabelecido em seis anos. Para tanto, foram pactuados juros 
de 10% ao ano e um prazo de carência de trinta e seis meses 
em que os juros incorridos deverão ser pagos durante este 
prazo. 
 
Ano Saque Saldo Amortizaç Juros 10% Prestação 
0 100.000,00 100.000,00 - - - 
1 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
2 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
3 - 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00 
4 - 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00 
5 - 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00 
6 - - 25.000,00 2.500,00 27.500,00 
Tot. - - 100.000,00 45.000,00 145.000,00 
 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
71 
 
anoD0000025
4
00000100
oamortizaçã /$,.
,.

 
 
 
 
4.3 - Sistemas de prestação constante 
 
4.3.1 - Conceituação 
 
 O sistema de prestação constante, também denominado 
de Sistema Francês tem como característica principal a 
constância do valor das prestações. 
 
 As prestações são consideradas como uma série 
uniforme de pagamentos postecipados. 
 
 
 
 
 
JUROS
AMORTIZAÇÃO
Prestação 
 R$
 1 2 3 .............................. n 
Fig.4.2 – Modelo de Prestação Constante
Financiamento
Períodos
 
 
 Como o valor da prestação é definido a priori, o 
resultado obtido já engloba o valor dos juros e da amortização. 
 
 Neste caso, então, os juros são definidos, período a 
período, sobre o saldo devedor. E a amortização de cada 
período é obtida diminuindo do valor da prestação o montante 
dos juros calculados. 
 
 Adotando como nomenclatura: R(SP) = saldo devedor e 
R(SP) a prestação. E, sendo o valor da prestação definido 
segundo a metodologia da série de pagamentos postecipada, 
tem-se: 
 
R(SP) = S(SP) x FRC n¬i 
 
 Tendo sido pactuado prazo de carência, os juros 
poderão ser pagos durante este prazo ou então incorporados 
ao principal, da mesma forma que no processo anterior. 
 
 No sistema em pauta, o valor da amortização é 
crescente e o valor dos juros decrescente. 
 
Pelas próprias características do processo de cálculo, é 
possível ocorrer saldo devedor no final do contrato. Porém, 
como foram estabelecidas, em número e valor, as prestações 
devidas, a dívida é quitada concomitantemente com o 
pagamento da última prestação, havendo ou não ocorrência de 
saldo residual. 
 
4.3.2 – Metodologia de Calculo. 
 
 A metodologia de calculo utilizada para definir prestação 
e os seus parâmetros de amortização e juros é a seguinte: 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
72 
 
1º. Define-se o montante a ser financiado. Em caso de 
carência, os juros poderão ou não ser incorporados ao 
principal; 
2º. Calcula-se o valor da prestação, considerando-a como 
uma série postecipada; 
3º. Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; 
(Juros)n = i × (Saldo Devedor)n-1 
4º. O valor da amortização é definido ao se diminuir do valor 
da prestação o valor dos juros do período. 
Amortização = Prestação – Juros 
5º. Calcula-se o saldo devedor para o próximo período: 
Sn+1 = Sn – An 
6º. Repete-se a metodologia até se obter os valores da 
amortização e dos juros relativos à ultima prestação. 
 
 
4.3.3 - Exemplo. 
 
Seja calcular o valor da prestação, dos juros e da 
amortização referentes a um empréstimo no montante de 
D$100.000,00 a ser quitado em cinco anos, com juros 
pactuados em 10% ao ano, em que não ocorre prazo de 
carência. 
É importante notar que as prestações correspondem à 
uma série de pagamentos postecipada sendo eles iguais, 
anuais e consecutivos. 
 
O valor da prestação é dado por: R = S  FRC(5¬10%). 
 
Logo: R = 100.000,00  0,2637975 = 26.379,75 R$ 
 
 
 
 
 
Per 
Saldo 
R$ 
Prestação 
R$ 
Amortização 
R$ 
Juros 
I=10% 
0 100.000,00 - - - 
1 83.620,25 26.379,75 16.379,75 10.000,00 
2 65.602,53 26.379,75 18.017,72 8.362,03 
3 45.783,03 26.379,75 19.819,50 6.560,25 
4 23.981,58 26.379,75 21.801,45 4.578,30 
5 0,00 26.379,75 23.981,58 2.398,16 
 131.898,75 100.000,00 31.898,74 
 
 
4.3.4 - O Sistema Price. 
 
 O sistema Price é uma variante do Sistema Francês 
largamente utilizado no comércio e definido com as seguintes 
características: 
 
a) Taxa de juros contratada em termos nominais, normalmente 
referidas ao período de um ano. 
b) O pagamento das prestações comumente pactuado em base 
mensal. 
c) A taxa de cálculo utilizada é proporcional ao período da 
prestação, obtida a partir da taxa nominal. 
 
 
 
4.4 – O sistema de amortização variável. 
 
4.4.1 – Conceituação. 
 
O Sistema de Amortização Variável é um sistema que 
difere dos anteriores, pois não existe definição de lei de 
formação na definição das prestações ou da amortização. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
73 
 
O objetivo maior desse sistema é adequar a capacidade 
de pagamento do tomador ao fluxo de caixa a ser gerado pelo 
projeto, visando o manter superavitário em todos os períodos. 
 
Nestas condições, tanto as amortizações comoas 
prestações podem variar a cada período. 
 
Os juros são calculados sobre o saldo devedor. E, em 
havendo prazo de carência, podem ou não ser incorporados ao 
saldo devedor. 
JUROS
Prestação
 R$
 1 2 3 .................................................. n 
AMORTIZAÇÃO
Figura 4.3 – Modelo de Amortização Variável
Financiamento
Períodos
 
 Pelo exposto, este é um sistema extremamente flexível, 
cujo objetivo é manter a capacidade de pagamento do tomador 
do recurso adequada às condições do fluxo de caixa, visando à 
estabilidade financeira da empresa. 
 
4.4.2 - Metodologia 
 
 As prestações são determinadas conforme a seguinte 
metodologia: 
 
1º Define-se o montante a ser financiado. 
2º O valor da amortização é estabelecido, para cada 
período, segundo a capacidade de pagamento do 
tomador; 
3º Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; 
(Juros)n = iEFT × (Saldo Devedor)n-1 
4º Define-se o valor da prestação para o período: 
Pn = An + Jn 
5º Calcula-se o saldo devedor para o próximo período: 
Sn+1 = Sn – An 
6º Repete-se o processo até se chegar ao valor da ultima 
prestação. 
 
 
4.4.3 – Comentários. 
 
 Como será visto no exemplo a seguir, o sistema de 
amortização variável utiliza a matemática dos juros simples, 
sendo utilizado em financiamentos nacionais ou internacionais. 
 
 Porém a taxa de juros efetiva, iEFT, adotada no calculo 
dos juros pode ser variável a cada período, fato que altera o 
valor previsto para a prestação. 
 
 Nesses casos, é pactuada uma taxa de juros real 
acrescida de uma taxa básica de juros que pode ser variável a 
cada período. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
74 
 
iEFT = iReal+iBasica 
 
 A taxa básica de juros varia de país para país sendo 
determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais. 
Como exemplos, no Brasil, ela é denominada de SELIC, nos 
Estados Unidos de Prime Rate e na Inglaterra de Libor. 
 
 No Brasil, na data em que foi escrita esta obra, a taxa 
SELIC estabelecida pelo Banco Central estava no patamar de 
14,25% ao ano. 
 
 Qualquer instituição financeira que pactuasse, nesta 
data, um empréstimo à taxa real de 12,50% ao ano, estaria 
praticando uma taxa efetiva de 22,75% ao ano. 
 
 
4.4.3 - Exemplo. 
 
Seja definir as prestações, os juros e a amortização de 
um empréstimo no montante de D$100.000,00, contratado por 
prazo de dez anos, sendo dois de carência e havendo o 
pagamento dos juros relativos a este prazo. 
 
 A taxa de juros foi pactuada em 10% ao período sendo 
as amortizações variáveis segundo proposta do tomador. 
 
O primeiro passo necessário ao estabelecimento do 
valor da prestação é estabelecer, período a período, o valor da 
amortização. 
 
 Ressalta-se que este valor é definido 
administrativamente segundo a necessidade em manter 
positivo o fluxo de caixa da empresa. 
 
O valor dos juros é calculado sobre o saldo devedor 
existente no início de cada período. 
 
A prestação, por sua vez, corresponde à soma dos 
valores acima: 
 
Pn = An + Jn 
 
 
Per Saldo Amortização Juros 10% Prestação 
0 100.000,00 - - - 
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
2 100.000,00 5.000,00 10.000,00 15.000,00 
3 95.000,00 5.000,00 9.500,00 14.500,00 
4 90.000,00 5.000,00 9.000,00 14.000,00 
5 85.000,00 7.500,00 8.500,00 16.000,00 
6 77.500,00 10.000,00 7.750,00 17.750,00 
7 67.500,00 12.500,00 6.750,00 19.250,00 
8 55.000,00 15.000,00 5.500,00 20.500,00 
9 40.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00 
10 20.000,00 20.000,00 2.000,00 22.000,00 
Soma - 100.000,00 
 
 
 
4.5 - O sistema americano. 
 
4.5.1 - Metodologia. 
 
O Sistema Americano é caracterizado por não ocorrer 
amortização durante o prazo do contrato. Nestas condições, o 
principal é quitado juntamente com a quitação da ultima 
prestação. 
 
Como o método prevê o pagamento da ultima prestação 
em valor muito elevado, com os juros do período acrescido ao 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
75 
 
principal, aumenta o risco do tomador em conseguir quitar a 
mesma. Este fato inibe sua adoção por parte de tomadores de 
crédito e por organismos financiadores. 
 
Ressalta-se que, tanto o sistema financeiro brasileiro, como 
os organismos internacionais de crédito, via de regra, não 
adotam esse sistema. 
 
 
 
R$
Prestação = Juros
Figura 4.4 – Sistema Americano
Amortização
 1 2 3 ....................... n 
Períodos
Empréstimo
 
 
 
 
4.5.2 - Exemplo. 
 
 Como exemplo de aplicação do método americano, seja 
um empréstimo no montante de R$ 100 mil, pactuado por um 
prazo de quatro anos, a juros de 7,00% ao ano. 
 
 
Per. Saldo Devedor Amortização Juros 7% Prestação 
0 100.000,00 - - - 
1 100.000,00 - 7.000,00 7.000,00 
2 100.000,00 - 7.000,00 7.000,00 
3 100.000,00 - 7.000,00 7.000,00 
4 - 100.000,00 7.000,00 107.000,00 
Total 100.000,00 28.000,00 128.000,00 
 
 
 
4.6 – O sistema alemão. 
 
4.6.1 – Característica. 
 
 O sistema alemão, dado suas características, não 
apresenta equivalência financeira entre o montante emprestado 
e as respectivas contraprestações, dada uma taxa pactuada, A 
equivalência financeira ocorrerá a uma taxa de desconto maior 
do que a pactuada, assunto a ser discutido no item 4.6.4. 
 
As características deste sistema são três: 
 
I. o pagamento dos juros vencíveis no período é 
antecipado, ocorrendo o primeiro pagamento dos juros 
no momento em que ocorre a operação financeira; 
II. as demais prestações são iguais para todos os períodos; 
III. ao ser paga a ultima prestação ocorre, apenas, a 
devolução do resíduo do saldo devedor, porém esse 
resíduo tem o mesmo valor das demais prestações 
pactuadas. 
 
 
Na Figura 4.5 é mostrado o modelo de fluxo de caixa do 
sistema alemão. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
76 
 
 
 Pn=an
1 2 3 4 .......... n-1 n
Financiamento
J0=P
a1
J1
Figura 4.5 – Modelo do Sistema Alemão
Per.
 
 
 
4.6.2 – Relação entre Amortizações. 
 
 Adotando como nomenclatura: M correspondendo ao 
capital inicial ou montante emprestado; J e a, representando, 
respectivamente, os juros e a amortização correspondente a 
cada período. E, P o valor da prestação, pode-se escrever as 
três principais características do Sistema Alemão: 
 
 M = a1 + a2+ a3 + ∙∙∙∙∙ + an-1 + an 
 P0 = J0 
 P1 = P2 = P3 = ∙∙∙∙∙ = Pn-1 = Pn 
 
 Relacionando as prestações em função de suas 
variáveis e sabendo que cada prestação corresponde à soma 
dos juros e da amortização, tem-se: 
 
P = amortização + Juros 
 
P0= M  i 
P1 = a1 + (M – a1 ) i 
P2 = a2 + (M – a1 -+ a2)  i 
P3 = a3 + (M – a1 – a2 - a3)  i 
∙∙·········∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙········∙∙·········∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙········ 
Pn-1 = an-1 + (M – a1 – a2- a3 - ∙∙∙∙∙ - an-1 )  i 
Pn = an + (M – a1 – a2 – a3 - ∙∙∙∙∙ - a n-1 - an)  i = an 
 
 Como as prestações são todas iguais, por definição, 
pode-se escrever: Pn-1 = Pn então; 
 
an-1 + (M - a1 - a2- a3 - ∙∙∙∙∙ - an-1 )  i = 
 = an + (M - a1 - a2 - a3 - ∙∙∙ - an-1 - an)  i 
 
an-1 = an - an  i  an-1 = an  (1- i) 
  
 
 
 
4.6.3 – Determinação da Prestação. 
 
 A determinação do valor da prestação no Sistema 
Alemão é efetuada a partir da série de amortizações. Da 
expressão acima, verifica-se que os valores das amortizações 
estão em progressão geométrica cuja razão é {(n-1)-1}. 
 
)i1(
a
a 1nn

 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
77 
 
 Escrevendo a progressão em ordem decrescente dos 
termos visando facilitar a demonstração e os exprimindo em 
função do último termo, pode-se escrever a seguinte série: 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
an = an 
an−1 = an × (1 − i)
1
an−2 = an × (1 − i)
2
an−3 = an × (1 − i)
3
an−4 = an × (1 − i)
4
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
a2 = an × (1 − i)
n−2
a1 = an × (1 − i)
n−1
 
 
 Sabendo-se que o montante do financiamento 
corresponde à soma das amortizações pode-se escrever, de 
modo matemático: 
 
M = a1 + a2 + a3 + ∙∙∙∙∙ + a n-1 + an 
 
M= an + an  (n-1)1 + an  (n-1)2 + an  (n-1)3 + ∙∙∙∙∙ + an  (n-
1)n-2 + an  (n-1)
n-1 
 
 Por característica e definição do sistema alemão, a 
última amortização apresenta o mesmo valor da ultima 
prestação, ou seja, p = an. Assim a expressão acima pode ser 
escrita da seguinte forma: 
 
M = p + an  (n-1)
1 + an  (n-1)
2 + an  (n-1)
3 + ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ + 
an  (n-1)
n-2 + an  (n-1)
n-1 
 
 Como os termos da amortização estão em progressão 
geométrica, o valor financiado M, corresponde à soma de uma 
progressão geométrica cujo primeiro termo é p e a razão (n-1). 
 
 Sabendo que a expressão da soma de progressão 
geométrica decrescente em que “a” corresponde ao primeiro 
termo, “q” a razão e “n” o número de termos da série, é dada 
por: 
 
S(PG) =
a(1 − qn) 
(1 − q)
 
 Substituindo na expressão acima os valores da 
progressão geométrica, obtém-se a expressão que define o 
valor da prestação no Sistema Alemão: 
 
𝑝 =
𝑀 × 𝑖
1 − (1 − 𝑞)𝑛
 
 
4.6.4 – Equivalência Financeira. 
 
 Como já comentado anteriormente, o sistema alemão 
não apresenta uma equivalência financeira quando se 
compara o valor do empréstimo com a soma das prestações 
pactuadas à taxa estabelecida. 
 
 A definição da taxa real ou efetiva de juros, neste 
sistema, é efetuada de modo mais complexo. 
 
 Para tanto, recomenda-se utilizar a fórmula de Karpin, o 
método de Newton Raphson ou da bisseção, para a definição 
da taxa real de juros, métodos a serem discutidos em capítulos 
posteriores. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
78 
 
1 2 3 4 .......... n-1 n
Financiamento
M-Mi
Figura 4.6 – Modelo da Equivalência Financeira
Per.
Prestação
 
 
 A taxa real ou efetiva de juros pode ser equiparada à 
Taxa Interna de Retorno do financiamento, já que o soma das 
prestações equivale, financeiramente, ao valor do montante 
recebido e corresponde a uma série de pagamentos 
postecipada. Então: 
 
M - Mi = p  FRC (n¬ iREAL%)  
 
(1-i )  M = p  FRC (n¬ iREAL%) 
 
4.6.5 – Exemplo. 
 
 Seja determinar o valor das prestações de um 
empréstimo pactuado sob as seguintes condições: montante 
contratado de R$ 100 mil; taxa de juros pactuada, 5% por 
período; sete anos de duração, sem carência. 
 
 Os procedimentos de cálculo devem ser realizados na 
seguinte ordem: 
 
a) Calculo da Prestação: 
 
𝑝 =
𝑀 × 𝑖
1 − (1 − 𝑖)𝑛
∴ 𝑝 =
100.000 × 0,05
1 − (1 − 0,05)7 
= 16.574,80𝑅$. 
 
 
b) Calculo das Amortizações: 
 
 Sabe-se que a ultima amortização corresponde à ultima 
prestação. Então: a7 = p7. 
 
an =
an−1
(1 − i)
∴ an−1 = an × (1 − i) ∴ 
 
a6 = a7 (1 - 0,05) = 15.746,06 R$ 
 
 
c) Cálculo dos Juros: Os juros podem ser calculados de dois 
modos. Fazendo incidir a taxa pactuada sobre o saldo devedor 
ou diminuindo do valor da prestação o valor da amortização. 
 
 
Período Saldo Juros - 
5% 
Amortização Prestação 
0 100.000,00 5.000,00 - 5.000,00 
1 87.816,00 4.390,80 12.184,00 16.574,80 
2 74.990,74 3.749,54 12.825,26 16.574,80 
3 61.490,46 3.074,52 13.500,28 16.574,80 
4 47.279,64 2.363,98 14.210,82 16.574,80 
5 32.320,88 1.616,04 14.958,76 16.574,80 
6 16.574,82 828,74 15.746,06 16.574,80 
7 16.574,82 0,00 16.574,82 16.574,80 
Total - - 100.000,00 - 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
79 
 
 Atenção! Visando corresponder à soma das 
amortizações, exatamente, ao montante tomado, foi efetuado 
um ajuste de R$ 0,02 no valor da amortização da ultima 
prestação. 
 
 
4.7 – O sistema de amortização crescente - SACRE. 
 
4.7.1 – O Sistema 
 
 O SACRE, ou sistema de amortização crescente, é um 
sistema de financiamento criado pela Caixa Econômica Federal 
visando calcular a prestação dos empréstimos de aquisição da 
casa própria. 
 
 O objetivo do sistema é permitir a amortização de 
parcela expressiva do empréstimo no menor tempo possível e, 
caso ocorra uma inadimplência do mutuário, reduzir o risco de 
perdas para a CEF. 
 
 O valor da prestação no sistema SACRE é definido pela 
soma de duas variáveis básicas, quais sejam: o encargo 
mensal - EM e o seguro, atendendo ao seguinte modelo: 
 
PM = (EM × CES) + Seguro 
 
 Uma característica do sistema é ter a prestação mensal 
calculada em função do montante financiado e o seguro sobre 
o valor de avaliação do imóvel. 
 
 O CES é um parâmetro referente ao Coeficiente de 
Equivalência Salarial, periodicamente atualizado pela CEF. 
 
 Tanto o CES como o seguro possui uma metodologia 
própria para sua definição, porém fugindo do escopo deste 
curso a sua análise. 
 
 O seguro, por sua vez, é dividido em seguro do imóvel e 
seguro pessoal, que abrange morte e invalidez e são dois 
parâmetros a serem considerados no calculo da prestação. 
 
Pelas regras da CEF atualmente em vigor, o saldo 
devedor é atualizado anualmente pelo valor da TR, taxa 
referencial de juros utilizada no reajuste da poupança. Nos 
dois primeiros anos do financiamento e pode a, partir do 
terceiro ano, ser feito trimestralmente, a critério da CEF. 
 
Finalizando, para calcular o saldo devedor a cada 
período em que ocorre o reajuste da prestação, o sistema 
utilizado é o de amortização constante. Porém, considerando a 
variação da TR, a amortização pode variar e mesmo diminuir, 
quando o valor desta for baixo. 
 
 
4.7.2 – A metodologia. 
 
 As prestações são determinadas adotando a 
seguinte metodologia: 
 
1º - Define-se o Encargo Mensal – EM 
 
EM = juros + amortização 
 
  )
n
i(P
n
P
iPEM
1







 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
80 
 
 Em que P corresponde ao saldo devedor e n o número 
de meses pactuados para amortizar o financiamento. 
 
 
2º - Define-se o parâmetro CES. 
 
 O CES é fixado por circular da CEF. Para o exercício de 
2006 foi estipulado em 1,12. 
 
3º - Calcula-se o valor do seguro. 
 
 O seguro, ou seja, a taxa do risco a incidir sobre o 
financiamento é composta pela soma de duas variáveis: uma 
destinada a cobrir danos físicos ao imóvel e a outra para cobrir 
o risco de morte ou de invalidez do tomador. 
 
 Assim sendo, estas taxas de seguro são denominadas, 
respectivamente, de: DIF, visando cobrir danos físicos ao 
imóvel; e MIP destinada a cobrir casos de morte ou de invalidez 
do usuário. 
 
Seguro = DIF + MIP 
 
 As taxas de seguro, por sua vez, são calculadas em 
função do valor do imóvel, da taxa de risco e do CES. 
 
 DIF = valor da avaliação × taxa de risco × CES 
MIP = valor da avaliação × taxa de risco × CES 
 
 A definição de cada taxa de risco deverá ser efetuada 
após consulta à CEF. Ressalta-se que estas taxas variam 
segundo a categoria em que for classificado o imóvel. Para 
tanto é leva do em consideração o valor da avaliação do 
imóvel, a idade do tomador e o prazo de quitação. 
 
 Como exemplo de taxas e considerando financiamentos 
realizadosapós 1994, na Categoria de Risco 6 a taxa definida 
para a DIF é 0,02402 % e para a MIP é de 0,14429%. 
 
4º - Define-se o valor da prestação mensal. 
 
 Como já definido, a expressão da Prestação Mensal é 
dada por: 
PM = (EM × CES) + Seguro 
 
5º - Calcula-se a amortização. 
 
CES
n
P
A 
 
 
6º - Atualização monetária do financiamento. 
 
 É possível que tenha sito pactuado que para o calculo 
de cada prestação o valor financiado deva ser atualizado 
monetariamente, fato a ser considerado quando da quitação 
das mesmas. 
 
7º - Calcula-se o novo saldo devedor. 
 
SD n+1 = SDn – Amortização do período 
 
 
4.7.3 – Exemplo. 
 
 Seja calcular a prestação mensal relativa ao 
financiamento de um imóvel avaliado em de R$ 500 mil, dos 
quais R$ 300 mil serão financiados pela CEF. Os juros foram 
pactuados em 1,5% a.m. e o financiamento previsto para ser 
quitado em 60 meses. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
81 
 
 
a) Calculo do encargo mensal – EM. 
EM = 300.000 (0,015 + 1/60) 
EM = 9.500,00 R$. 
 
b) Calculo dos seguros 
DIF = 500.000 × 0,02402% × 1,12 = 134,51 
MIP = 500.000 × 0,14429% × 1,12 = 808, 02 
Total do seguro = 942,53. 
 
c) Calculo do valor da prestação. 
PM = (EM×CES)+ Seguro. 
PM = (9.500,00 × 1,12) + (134,51+ 808,02) 
PM = 10.640,00 + 942,53 = 11.582,53 R$ 
 
 
4.7.4 - Comentários 
 
 O cálculo da prestação de um imóvel financiado é 
definido pelo sistema de amortização escolhido no ato da 
compra. Das três opções oferecidas no mercado — Sistema de 
Amortização Crescente (Sacre), Sistema Francês de 
Amortização (Tabela Price) e Sistema de Amortização 
Constante (SAC) —, o Sacre tem se revelado o mais vantajoso 
para o mutuário. 
 
 Embora comece com prestações mensais mais altas, se 
comparado à Tabela Price, o Sacre permite maior amortização 
imediata do valor emprestado, porque reduz simultaneamente a 
parcela de juros sobre o saldo devedor do financiamento. 
 
SD n+1 = SDn – Amortização do período 
 
 Pelo sistema, as prestações mensais mantêm-se 
próximas da estabilidade. No decorrer do financiamento, seus 
valores tendem a decrescer. Muito utilizado pela Caixa 
Econômica Federal, o Sacre tem recálculo das prestações 
corrigido anualmente pelo banco, nos dois primeiros anos do 
contrato, podendo ocorrer trimestralmente a partir do terceiro 
ano. 
 No final de cada ano, a Caixa levanta o saldo devedor e 
aplica a correção pela variação do índice de reajuste dos 
depósitos na caderneta de poupança da pessoa física 
(atualmente, a TR) acrescida as taxas de juros de 8%, 10,5% 
ou 12%, de acordo com a modalidade de financiamento obtida. 
 
 Na Caixa, o prazo máximo de financiamento pelo Sacre 
é de 20 anos, só podendo ser comprometida 30% da renda 
familiar, no máximo. No final do contrato, pelo sistema, não há 
os desagradáveis resíduos a serem pagos pelo comprador. 
 
 O exercício deste item 4.6 consta do sitio da internet 
http://www.meusite.pro.br. Amortização pelo Sacre traz 
vantagens ao mutuário. Em 25.08.2006. 
 
 
4.8 – Correção do saldo devedor. 
 
4.8.1 – Procedimentos. 
 
 Com o objetivo de repor o valor aquisitivo da moeda 
corroída pelo efeito da inflação, efetua-se a correção do saldo 
devedor existente, segundo a periodicidade pactuada. 
 
 Essa correção é efetuada segundo algum índice de 
previamente escolhido e atendendo a procedimentos 
legalmente aceitos. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
82 
 
 No Brasil, dada a jurisprudência vigente, a correção do 
saldo devedor é efetuada depois de quitada a prestação do 
período e efetuada a amortização do saldo devedor. 
 
 Consequentemente, o saldo devedor a render juros no 
período seguinte, SDn, é definido atualizando monetariamente o 
saldo devedor do período anterior, SCn-1,apos ser abatido o 
valor de amortização do saldo devido nesse período anterior. 
 
SDn = (SCn-1 – amortizaçãon-1) × (1+Φ) 
 
 
4.8.2 – Metodologia. 
 
 Seja definir o valor da prestação, dos juros e da 
amortização referentes a cada período de um empréstimo a ser 
quitado em cinco prestações anuais. Foram pactuadas as 
seguintes condições: 
 
 A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano; 
 O sistema de pagamentos ocorrerá por amortização 
constante, SAC; 
 O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC. 
 
 Adotando como nomenclatura: SDn representando o 
saldo devedor num período qualquer n; SCn-1 exprimindo o 
saldo devedor no período anterior ja corrigido segundo o índice 
pactuado; a, sendo o valor da amortização; n, o número de 
períodos a amortizar, Jn correspondente ao montante dos juros 
devidos no período n; e In o índice pactuado relativo ao período 
n, qualquer. 
 
 Os procedimentos necessários à determinação das 
prestações são os seguintes: 
 
1º) Calcula-se o valor da amortização para o primeiro período: 
amortizar.per
SC
a nn
1
 
 
2º) Calcula-se o montante dos juros do primeiro período 
relativo ao capital tomado: 
Jn = i × SCn-1 
 
3º) Define-se o valor da prestação: 
Pn = an + Jn 
 
4º) Calcula-se o novo saldo devedor: 
SDn = SCn-1 - a 
 
5º) Atualiza-se o índice de correção e define-se o fator de 
correção do saldo devedor. 
 
6º) Corrige-se o saldo devedor: 
1

n
n
nn
I
I
SDSC
 
 
7º) Repete-se o procedimento até ser obtida a ultima 
prestação. Os juros e a amortizações de qualquer 
período subsequente são calculados tendo por base o 
saldo devedor corrigido. 
 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
83 
 
 
 
4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC. 
 
 Como aplicação, seja calcular as prestações de um 
financiamento de um equipamento no valor de R$ 250 mil, a 
ser quitado em cinco anos, com juros pactuados a 10% ao 
período, sob o sistema da amortização constante. O saldo 
devedor deverá ser corrigido segundo a variação anual do 
INPC ocorrida no período. 
 
 
INPC 
Período Exercício Índice Fator de Correção 
0 01.01.2001 1,8798 - 
1 01.01.2002 2,0573 1,094. 425 
2 01.01.2003 2,3605 1,147. 378 
3 01.01.2004 2,6056 1,103. 834 
4 01.01.2005 2,7654 1,061. 329 
5 01.01.2006 2,9050 1,050. 481 
 
 
Calculo do Saldo Corrigido 
Saldo 
Devedor 
Períodos 
a amortizar 
Amortização 
Fator de 
Correção 
Saldo 
Corrigido 
250.000,00 - 
200.000,00 5 50.000,00 1,094425 218.885,00 
164.163,75 4 54.721,25 1,147378 188.357,87 
125.571,91 3 62.785,96 1,103834 138.610,54 
69.305,27 2 69.305,28 1.061329 72.803,87 
72.803,87 1 72.803,87 1,050481 --- 
 
 
 
 
 
Determinação das Prestações 
Per Saldo 
Amortizado 
Saldo 
Corrigido 
Amorti- 
zação 
Juros 
 10% 
Prestação 
0 250.000,00 - - - - 
1 200.000,00 218.885,00 50.000,00 25.000,00 75.000,00 
2 164.163,75 188.357,88 54.721,25 21.888,50 76.609,75 
3 125.571,92 138.610,55 62.785,96 18.835,79 
4 
5 
 
 Por facilidade de entendimento dos procedimentos 
efetuados na determinação das prestações expostos da 
tabela acima se demonstra, a seguir, os cálculos das três 
primeiras prestações. 
 
 Solicita-se que o interessado realize os cálculos das 
prestações faltantes. 
 
1ª Prestação: 
 
 Na primeira prestação, tanto os juros como a 
amortização são calculados sobre o capital inicial tomado, ou 
seja, R$ 250 mil. Não incide correção sobre este valor. 
 
Valor da 1ª prestação: 
 P1 = a1 + J1 
 P1 = 50.000+25.000 = 75.000,00 R$ 
 
Amortização: 
 
$R,.
,.
amortizar.per
SC
a 0000050
5
000002500
1 
 
 
Montante dos Juros: 
 J1 = 250.000,00 × 0,10 = 25.000,00R$. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
84 
 
 
SaldoDevedor: 
 SD1 = SD0 – a1 
 SD1 = 250.000,00 – 50.000,00 = 200.000,00 R$ 
 
Saldo Corrigido: 
 
$R,.
,
,
.
I
I
SDSC 00885218
87981
05732
000200
0
1
11 
 
 
2ª Prestação: 
 
Valor da 2ª prestação: 
 P2 = a2 + J2 
 P2 = 54.721,25 + 21.888,50 = 76.609,75 R$ 
 
Amortização: 
 
$R,.
218.885,00
amortizar.per
SC
a 2572154
4
1
2 
 
 
Montante dos Juros: 
 J2 = SD1 × i 
 J2 = 218.885,00 × 0,10 = 21.888,50R$. 
 
Saldo Devedor: 
 SD2 = SD1 – a2 
 SD2 = 218.885,00 – 54.721,25 = 164.163,75 R$ 
 
Saldo Corrigido: 
 
1
2
12
I
I
SDSC 
 
 SD2 = 164.163,75 × 1,147378 = 188.357,88 R$ 
 
 
3ª Prestação. 
 
Valor da 3ª prestação: 
 P3 = a3 + J3 
 P3 = 62.785,96 + 18.835,79 = 76.609,75 R$ 
 
Amortização: 
 
$R,.
188.357,88
amortizar.per
SD
a 9678562
3
2
3 
 
 
Montante dos Juros: 
 J3 = SD2 × i 
 J3 = 188.357,88 × 0,10 = 18.835,79 R$. 
 
Saldo Devedor: 
 SD3 = SD2 – a3 
 SD3 = 188.357,88 – 62.785,96 = 125.571,92 R$ 
 
Saldo Corrigido: 
 
2
323
I
I
SDSC 
 
 SD3 = 125.571,92 × 1,103. 834 = 138.610,55R$ 
 
 
 
4.9 – Exercícios. 
 
4.9.1 - Seja um empréstimo de 1 milhão de reais a ser quitado 
em sete anos, com pagamentos anuais, a juros de 9% a.a. e 
carência de dois anos. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
85 
 
 Durante o prazo de carência, também não ocorrerá o 
recolhimento dos juros devidos. Calcular as prestações e os 
juros a serem pagos pelo credor considerando: 
 
O sistema de amortização constante; 
 O sistema de prestações constantes. 
 
4.9.2 - Comparar o montante dos juros pagos, bem como o 
montante do valor das prestações, face os sistemas 
especificados para o calculo de cada financiamento 
considerado no exercício “a”. 
 
4.9.3 - Uma construtora contraiu junto ao BNH um empréstimo 
de 200 mil CUB a ser pago em 10 prestações anuais e 
consecutivas. Qual será a composição da prestação anual, 
juros e principal, no Sistema Francês quando os juros 
pactuados são de 8% ao ano? (Estabeleça a data da operação 
financeira). 
 
 
4.9.4 - Partindo dos dados especificados no exercício “b”, pede-
se calcular as prestações devidas. O saldo devedor deverá ser 
atualizado anualmente, segundo a taxa anual de inflação 
abaixo. 
 
Período 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 
Inflação % 3,00 4,50 6,80 8,50 10,10 12,20 15,70 
 
 
4.9.5 - Sua empresa deseja substituir um equipamento cujo 
valor de mercado é de R$ 125 mil, no prazo de 18 meses. Para 
tanto, estuda duas hipóteses: 
1ª – Efetuar a aquisição utilizando recursos próprios, através de 
uma poupança programada com juros pactuados de 1.25% ao 
mês. 
2ª – Utilizando financiamento de um banco de investimentos, 
que pratica o sistema Price a taxa de 22,0 % ao ano, 
financiáveis em dez anos, sem carência. 
Para ambos os casos definir: o valor da prestação mensal e os 
juros. 
Sabe-se que a TMA da empresa é de 14% ao ano. 
 
 
4.9.6 - Considerando a aplicação efetuada no item 4.7.2, 
recalcular as prestações adotando o sistema de prestação 
constante. 
 
 
4.9.7 - Verifique se o calculo da prestação esta correto. 
O caso em questão refere-se a um contrato de compra e 
venda de bem imóvel e mútuo com alienação fiduciária em 
garantia. Condições do contrato: 
 
- Valor do bem financiado: R$ 82. 000,00; 
- Valor pago com recursos próprios: R$ 42.000,00; 
- Valor financiado pela CEF: R$ 40.000,00; 
- Valor da garantia fiduciária: R$ 82.000,00; 
- Sistema de Amortização: SACRE. 
-Prazo Amortização: 240 Meses 
- Taxa Anual Nominal de Juros (%): 12,0000% 
- Taxa Anual Efetiva de Juros (%): 12,6825% 
- Encargo Inicial – prestação (a + j) = R$ 566,66 
- Seguros = R$ 39,36 
- Total a pagar = 39,36 + 566,66 = R$ 606,02 
- Vencimento: 09/07/2001 
- Atualização dos Encargos: nos dois primeiros anos as 
prestações de amortizações + juros + prêmios de seguros, 
serão recalculados a cada 12 meses, levando em conta a 
data inicial do contrato (08/08/2001 a 08/08/2002 e 
08/08/2003). A partir do 3º ano, tais valores poderão ser 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
86 
 
recalculados trimestralmente, no dia correspondente ao da 
assinatura desde contrato, caso venha ocorrer o 
desequilíbrio econômico-financeiro deste contrato. 
 
 
4.9.8 - Uma empresa em fase de expansão obtém um 
financiamento no montante de R$ 4,8 milhões a ser liberado 
em três parcelas quadrimestrais, segundo o pactuado nos itens 
I e II. 
 Solicita-se: 
 
 As planilhas que demonstrem o valor de cada prestação, 
os juros incorridos e a amortização a ser efetuada; 
 O custo efetivo, mensal, do empréstimo; 
 Efetue o diagrama de fluxo de caixa do financiamento. 
 
 Tabela - I 
Critério de liberação das parcelas Valor em R$ 
1ª parcela - assinatura 1.300.000,00 
2ª parcela - 1º quadrimestre 3.000.000,00 
3ª parcela - 2º quadrimestre 500.000,00 
 Tabela - II 
Condições pactuadas Encargos 
Taxa nominal de juros 9% ao ano 
Período de capitalização Quadrimestral 
Comissão de abertura de crédito 
sobre o valor total do financiamento. 
0,5% no ato de liberação junto com 
a 1ª parcela. 
Imposto sobre operações 
financeiras – IOF. 
1% sobre o total geral. 
Valor tomado, valor dos juros e da 
comissão de abertura de crédito. 
Carência Quatro (4) quadrimestres. 
Juros durante a carência Serão pagos 
Prazo do financiamento 5 anos 
Sistema de amortização SAC 
Período de amortização Quadrimestral 
 
 
4.9.9 - Seja definir o valor da prestação, dos juros e da 
amortização referentes a cada período de um empréstimo no 
montante de R$ 300 mil, a ser quitado em cinco prestações 
anuais. Foram pactuadas as seguintes condições: 
 A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano; 
 O sistema de pagamentos ocorrerá por prestação 
constante; 
 O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC. 
 
4.9.10 - Uma empresa visando implantar um novo projeto de 
produção obteve um financiamento no montante de R$ 750 
mil. Solicita-se a elaboração do diagrama de fluxo de caixa 
associado ao empreendimento, bem como o valor das 
prestações, da amortização e dos juros incorridos. 
 
Cláusulas pactuadas 
item Condições Contratuais 
Taxa nominal de juros 9 % ao ano 
Período de capitalização Semestral. 
Comissão de abertura 
de crédito sobre o valor 
total do financiamento. 
0,5% do valor do contrato cobrado no ato 
de adjudicação do contrato de 
financiamento. 
Taxa de administração 0,25% do saldo devedor, paga junto com a 
prestação. 
Imposto sobre 
operações financeiras – 
IOF. Valor financiado 
junto com as prestações 
1% sobre o total geral. 
Valor tomado, valor dos juros e da 
comissão de abertura de crédito. 
Carência Dois semestres. 
Juros durante a carência Serão pagos 
Prazo do financiamento 5 anos 
Sistema de amortização Prestação constante 
Período de amortização Semestral 
Saldo devedor O saldo devedor é reajustado 
semestralmente pela variação do INPC. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
87 
 
 
4.9.11 - Calcular o valor das prestações dos financiamentos abaixo qualificados. 
 
I – Sistema de Amortização Constante – SAC. 
 
a. - Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete anos. 
 
SAC sem carência 
Per. Saldo Saldo Amortizado Amortização Juros – 10% Prestação 
0 250.000,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total 
 
b. - Financiamento com carência de três anos e Juros NÃO quitados durante a carência. Operação de sete anos. 
 
SAC com carência 
Per.Saldo Saldo Amortizado Amortização Juros – 10% Prestação 
0 250.000,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
88 
 
 
c - Financiamento com três anos de carência. Juros de 10% ao ano não quitados durante a carência. Prestação corrigida pela 
variação anual do INPC. 
 Operação pactuada em janeiro de 2.000. Prestações anuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SAC com correção monetária e carência 
Per. 
Saldo 
Amortizado 
AS 
Índice de 
Inflação 
Índice de 
Correção 
IC = ÍN ÷ I0 
Saldo Corrigido 
SC = AS x IC 
AMORTIZAÇÃO Juros - 10% aa 
Prestação 
P = A + J 
1/00 250.000,00 - - - - - 
1/01 
1/02 
1/03 
1/04 
1/05 
1/06 
1/07 
Total 
Metodologia: 1º Passo: 
 
1º - Calcular a amortização para o 1º período sobre o saldo financiado; 
2º - Definir o valor dos juros; 
3º - Calcular a prestação: P = A + J. 
4º - Calcular o saldo amortizado; 
5º - Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária 
sobre o saldo amortizado; 
2º Passo: 
 
1º - Para o 2º período calcular o valor da 
amortização sobre o saldo corrigido do 1º 
período. 
............. 
Repetir o processo anterior. 
Obs: a amortização do período subsequente é 
sempre calculada sobre o saldo corrigido. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
89 
 
II – Método da Prestação Constante – Francês. 
 
a - Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete anos. 
 
Sistema Francês sem carência 
Per. Saldo Saldo Amortizado Prestação Juros – 10% Amortização 
0 250.000,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total 
 
 
b. - Financiamento com carência de três anos. Juros NÃO quitados durante a carência. Operação de sete anos. 
 
Sistema Francês com carência 
Per. Saldo Saldo Amortizado Prestação Juros – 10% Amortização 
0 250.000,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
90 
 
 
c. – Financiamento de R$ 250.000,00 com três anos de carência, com base em prestações anuais. 
 Juros de 10% ao ano, pactuados para não serem quitados durante o prazo de carência. 
As prestações deverão ser corrigidas pela variação anual do INPC. 
 Operação pactuada em janeiro de 2.000. 
 
 
 
 
Prestação constante com atualização monetária 
Per. 
Saldo 
Amortizado 
SA 
Índice de 
Inflação 
Índice de 
Correção 
IC = IN ÷ I0 
Saldo 
Corrigido 
SC = AS x IC 
PRESTAÇÃO 
P 
Juros - 10% 
AA 
J 
Amortização 
A = P - J 
1/00 250.000,00 - - - - - 
1/01 
1/02 
1/03 
1/04 
1/05 
1/06 
1/07 
Total 
Metodologia: 1º Passo: 
 
1º - Calcular a prestação para o 1º período sobre o saldo 
financiado; 
2º - Definir o valor dos juros; 
3º - Calcular a amortização: A = P - J 
4º - Calcular o saldo amortizado; 
5º - Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção 
monetária sobre o saldo amortizado; 
2º Passo: 
 
1º - Para o 2º período calcular o valor da 
prestação sobre o saldo corrigido do 1º período. 
............. 
Repetir o processo anterior. 
Obs: a prestação do período subsequente é 
sempre calculada sobre o saldo corrigido do 
período anterior. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
91 
 
 
5. –Engenharia Econômica. 
 
 
5.1 – Conceituação. 
 
 Por definição, a engenharia econômica corresponde à 
área do conhecimento cujo objeto é a decisão sobre 
alternativas financeiras de investimentos. 
 
 Como premissa para a tomada de decisão, a aplicação 
dos métodos de engenharia econômica ocorrerão havendo a 
existência de alternativas de investimentos possíveis de serem 
comparadas. Não havendo alternativas não haverá decisão a 
tomar. 
 
 As técnicas da Engenharia Econômica baseiam-se na 
ciência denominada Matemática Financeira que, com já visto, 
descreve as relações da equivalência de capital sob a ótica do 
binômio TEMPO E DINHEIRO. 
 
 Para que qualquer alternativa seja considerada num 
processo de decisão há que se estudar a sua viabilidade e, 
deste modo, responder aos seguintes questionamentos: 
 
1. Qual o incremento de riqueza que uma alternativa 
propiciará sendo realizada; 
2. Qual o tempo de retorno do capital inicialmente aplicado; 
3. Qual a máxima taxa de desconto possível de ser adotada 
e o projeto permanecer viável; 
4. Qual a taxa de rentabilidade adotada em proposta de 
investimento. 
5. Qual a taxa de rentabilidade de uma aplicação financeira. 
 
 Cabe ao analista de investimentos propor, desenvolver e 
hierarquizar o conjunto de alternativas de investimentos 
disponíveis. 
 
 Porém, deve ter em mente que a decisão de eleger 
qualquer delas é prerrogativa do empresário, ou do decisor, a 
quem caberá a palavra final sobre aquela a ser eleita e a 
melhor oportunidade em deflagrar esse processo. 
 
 
 
Dada a assertiva acima, toda a 
metodologia de análise de 
investimentos se apoia no sistema de 
juros compostos quando trata do 
estabelecimento de padrões de 
comparação de capital ou na decisão 
quanto à escolha da melhor das 
alternativas propostas de projetos de 
investimentos.
Atenção !
 
 
 
 
 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
92 
 
 
 
5.2 – Análise de Viabilidade. 
 
5.2.1 - Conceito de Viabilidade. 
 
 Estudar a viabilidade de um projeto significa quantificar 
suas premissas, construir a projeção dos fluxos de caixa e 
verificar se o projeto propicia um aumento de riqueza. 
 
5.2.2 – Premissas. 
 As premissas que permitem analisar a viabilidade de um 
projeto, geralmente, são as seguintes: 
 
1) O orçamento de investimento; 
2) As projeções operacionais; 
3) O horizonte do prazo do investimento ou tempo de vida 
do projeto; 
4) O custo de capital, ai considerando o capital próprio e o 
de terceiros; 
5) As fontes de recursos disponíveis. 
 
 
5.2.2.1 - Orçamento de Investimento 
 
 O orçamento de investimentos considera dois tipos de 
capitais: o investimento em capital fixo ou imobilizado e o 
investimento em capital de giro. 
 
 O investimento em capital fixo ou imobilizado engloba 
todo aquele investimento que não entrará no “giro” dos 
negócios tais como: terrenos, obras civis, equipamentos, 
despesas de engenharia, montagens, administração do projeto, 
despesas financeiras durante a construção, etc. Contabilmente, 
esse capital é apropriado no item Ativo Não Circulante do 
balanço patrimonial. 
 
 O capital de giro representa os recursos necessários à 
operação quotidiana do projeto. Ele compreende os 
investimentos em: necessidades mínimas de caixa; salários e 
encargos sociais necessários para os primeiros períodos de 
operação do projeto; estoques de matérias primas, de produtos 
em elaboração e de produtos acabados; custos administrativos; 
financiamento de vendas; etc. 
 
 Contabilmente, esse tipo de capital é apropriado em 
contas do ativo circulante. 
 
 Exige cuidado a definição do nível de aporte de capital 
de investimento, pois ocorre um comportamento distinto no 
fluxo nos dois tipos de investimento durante a vida do 
empreendimento. 
 
 No caso do capital de giro, recomenda-se avaliar a 
oscilação do mesmo para cada nível de produção, pois 
ocorrerá uma exigência distintano nível de demanda de capital 
de giro a cada nível de produção considerado. 
 
 
5.2.2.2 – Projeções Operacionais 
 
 As projeções operacionais de um projeto de 
investimento são constituídas pelas estimativas de: 
 
 Demanda do Produto; 
 Preço de Venda do Produto; 
 Custos de Produção a cada nível de demanda. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
93 
 
 
 A demanda do produto corresponde à previsão da 
quantidade do mesmo a ser vendida a cada período de tempo. 
 
 Normalmente, esta quantidade varia com o tempo. Via 
de regra, é crescente até alcançar a quantidade máxima de 
produção instalada e, decrescente quando o produto fica 
tecnologicamente ultrapassado ou prescindível pelos 
consumidores. 
 
 O preço de vendas pode ser estimado de dois modos: 
 
I. Acompanhando o preço praticado pelas empresas 
líderes de mercado; 
II. Ou, impondo o próprio preço ao mercado. 
 
Nestes dois casos recomenda-se definir o próprio preço, a 
partir do orçamento de custo, dos tributos exigidos e do lucro 
desejado para poder avaliar a própria situação de lucratividade 
e comparar o seu preço frente ao praticado pelo mercado. 
 
 Finalizando, é importante analisar o custo de produção a 
ser incorrido a cada nível de demanda. 
 
 Considerando que, em especial, os custos variáveis 
oscilam com a quantidade produzida, há de se observar e 
analisar qual a quantidade ótima de produção que permite 
realizar o lucro máximo. 
 
E, para tanto, observar qual a quantidade de produção 
que permite economia de escala e a quantidade, ou ponto 
ótimo de produção, a partir do qual se entra num processo de 
deseconomia de escala. 
 
 A Figura 5.1, mostra um modelo de relação de produção. 
 
Ao ser iniciado um processo produtivo, o faturamento 
inicia com valor zero, cresce a taxas crescentes e a partir da 
quantidade ótima passa a crescer a taxas decrescentes. 
 
Ponto
Equilíbrio
Inferior
Ponto
Equilíbrio
Superior
Lucro
Máximo
QEinf Qótima QEsup
R$
Produção
Faturamento
Custos Totais
Economia
De Escala
Deseconomia
De Escala
Figura 5.1 - Relações de Produção
 
 
O custo total é função da soma dos custos fixos com os 
custos variáveis para cada nível de produção. Ele já se inicia 
no valor do custo fixo existente no momento que a produção. É 
zero. Assim, os custos totais são crescentes com o aumento de 
produção. 
 
𝐂𝐓 = 𝐂𝐅𝐢𝐱𝐨 + 𝐂𝐕𝐚𝐫𝐢á𝐯𝐞𝐥 = 𝐂𝐃𝐢𝐫𝐞𝐭𝐨 + 𝐂𝐈𝐧𝐝𝐢𝐫𝐞𝐭𝐨 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
94 
 
 
Lucro = Faturamento − Custo Total 
 
 Dado o comportamento do faturamento e dos custos 
totais, conforme Figura 5.1, ocorrem duas quantidades de 
produção em que o lucro é zero. São os pontos de equilíbrio 
inferior e o superior. 
 
 A quantidade ótima de produção, Qótima, que propicia o 
lucro máximo se situa entre as quantidades QEinf e QEsup. 
Graficamente, ocorre quando a distância entre a curva de 
faturamento e a do custo total é máxima. 
 
 
5.2.2.3 – Horizonte do Investimento. 
 
 Por definição, horizonte de investimento, tempo de vida 
ou de operação de um projeto corresponde ao espaço de 
tempo que se pretende operar um empreendimento ou o tempo 
que o leva à obsolescência. 
 
 Teoricamente, o horizonte de investimento de qualquer 
ativo financeiro ou de um ativo real depende do tempo 
estabelecido para obter um melhor retorno. 
 
 Assim, quando se compra ações, regra geral, os 
analistas recomendam ter um horizonte de longo prazo. 
 
 Embora as ações possam ser vendidas a qualquer 
momento, o ideal é que o investidor participe neste mercado 
com uma estratégia de ganhar dinheiro no longo prazo. Não 
convém aplicar hoje em ações o dinheiro que será usado para 
pagar a prestação da casa própria amanhã, por exemplo. 
 
 Esta é uma recomendação natural para investimentos de 
maior risco. Também não se deve comprar um imóvel sabendo 
que será necessário vendê-lo em seis meses. É melhor esperar 
um momento adequado, que pode ser de seis meses, mas 
também pode não ser. 
 
 É interessante notar que, ao termino da vida do projeto, 
havendo Investimento Fixo e/ou Capital de Giro residual, eles 
devem ser incorporados ao fluxo de caixa, como uma entrada 
de caixa, ao final do mesmo. 
 
 
5.2.2.4 – O Custo de Capital 
 
 O custo de Capital é, matematicamente, definido como a 
taxa “ï” a ser adotada nos estudos financeiros da empresa, 
para o desconto de seus projetos. 
 
 Esta taxa, denominada de taxa de rentabilidade, é taxa 
de remuneração desejada pelos proprietários pela 
remuneração do capital próprio aplicado. Pode receber, 
também, as denominações de: taxa de mínima atratividade, 
taxa de oportunidade, custo de oportunidade, taxa de desconto 
da empresa. 
 
 Conceitualmente, a taxa de juros difere da Taxa de 
Oportunidade, mesmo que, matematicamente, o tratamento a 
ser dado a estes dois tipo de taxas possa ser idêntico. 
 
 Isto porque, por definição, a taxa de juros corresponde à 
remuneração do capital paga pela utilização de um capital de 
terceiros. 
 
 A Taxa de Oportunidade, por sua vez, é a taxa 
estabelecida para a remuneração da aplicação de capital 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
95 
 
próprio. Ela corresponde à menor taxa de remuneração 
desejada por uma empresa, ou um capitalista, para a 
remuneração de seus recursos, ao serem consideradas 
alternativas que apresentem a mesma taxa de risco. 
 
 
5.2.2.5 – Fontes de Recursos. 
 
 Consideram-se fontes de recursos os fornecedores dos 
capitais necessários à implantação de um projeto e, 
basicamente, são: 
 
 Capital Próprio; 
 Capital de Terceiros. 
 
 O custo do capital próprio corresponde à remuneração 
desejada pelo proprietário da empresa ou pelo acionista pela 
utilização do capital empregado em qualquer projeto capital 
empregado. 
 
 O custo de capital de terceiros corresponde à 
remuneração do aporte de capitais provenientes de 
empréstimos de curto prazo ou de financiamentos de longo 
prazo. 
 
 
5.3 – O Fluxo de Caixa. 
 
5.3.1 – Conceituação. 
 
 A análise da viabilidade financeira de investimentos é 
realizada realizando o estudo do fluxo de caixa projetado e 
associado a cada uma das alternativas desenvolvidas. 
 
 Conceitua-se fluxo de caixa, como uma série de 
pagamentos e recebimentos de dinheiro, distribuídos no tempo. 
 
 O processo de análise financeira e a elaboração do 
fluxo de caixa projetado podem ser realizados disponíveis as 
seguintes informações: 
 
 Avaliação da variação da demanda do produto durante o 
horizonte de projeto; 
 Preço de Venda do Produto; 
 Custos de Produção a cada nível de demanda; 
 Alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro e o 
faturamento; 
 Utilização do capital próprio ou de terceiros; 
 Valor residual dos ativos imobilizados a serem 
alienados; 
 Taxa de mínima atratividade ou de retorno do capital; 
 Horizonte do projeto. 
 
 
5.3.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. 
 
 O “diagrama de fluxo de caixa” é um instrumento que 
permite visualizar clara e concisamente uma série de fluxos de 
caixa. 
 
 Graficamente ele é representado em um gráfico 
cartesiano onde, em abscissas, fica determinada a linha dos 
tempos e, em ordenadas, o valor monetário de cada fluxo de 
caixa singular. Ver Figura 5.2 – Diagrama de Fluxo de Caixa. 
 
 Neste diagrama, receitas ou entradas de dinheiro são 
representadas por setas voltadas para cima, sinal (+). 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
96 
 
Pagamentos ou saídas de dinheiro representadas por setas 
voltadas para baixo, sinal(-). 
 
 O diagrama de fluxo de caixa, então, expressa 
graficamente o resultado ou saldo das movimentações de caixa 
havidas em determinado período. 
 
F0
R$
tempo
F1
F2
F3
F4
F5
F6 Fn
Figura 5.2 – Diagrama de Fluxo de Caixa
2 3 4 5 6 n
1
 
 
 Recomenda-se, especialmente ao iniciante no assunto, 
desenhar o diagrama de fluxo de caixa dos projetos em 
análise. Este procedimento facilita o acompanhamento e 
entendimento do comportamento do fluxo associado a cada 
alternativa em análise e permite um adequado tratamento 
matemático ao processo de calculo. 
 
 
5.3.2.1 – Premissas e Convenções. 
 
 
 A correta montagem dos diagramas de fluxo de caixa, 
DCF, exige o cumprimento das seguintes premissas: 
 
i - O fluxo de caixa de um período equivale à soma algébrica 
das entradas e saídas de caixa que ocorrem durante o 
mesmo. 
ii - Lançar como investimento, apenas os capitais demandados 
pelo projeto; 
iii - A priori, não há a consideração de risco ou incerteza. 
iv - O montante de capital próprio empregado no projeto e o 
pagamento de dividendos; 
v - A entrada de capital de dívidas, juros e amortizações, não 
vinculados ao projeto; 
vi - O reinvestimento de fundos gerados pelos projetos. 
vii - Decisões financeiras realizadas antes do início anterior 
do projeto em análise. 
 
 A representação gráfica dos fluxos de caixa deve 
atender às seguintes convenções: 
 
 Seta voltada para cima representando um fluxo de caixa 
superavitário ou positivo; 
 Seta voltada para baixo representando um fluxo de caixa 
negativo ou deficitário; 
 Cada fluxo de caixa é considerado no momento final do 
período em que tenha ocorrido. 
 
 
5.3.3 – Calculo do Fluxo de Caixa. 
 
5.3.3.1 – Modelo do Fluxo de Caixa. 
 
Considerando que um fluxo de caixa, Fk, registra o 
somatório líquido do somatório das saídas e entradas de caixa 
havidos num período, k, genérico. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
97 
 
 Tendo por nomenclatura: 
 
a) Receitas, Rec, que correspondem ao faturamento ou 
ganhos a serem auferidos pelo projeto, motivo da razão 
social da empresa; 
 
b) Despesas, correspondendo ao somatório dos custos 
diretos, dos custos indiretos e dos tributos incidentes 
diretamente sobre o faturamento; 
 
c) Investimentos, correspondendo ao somatório das 
inversões realizadas em ativo imobilizado, sejam eles 
imóveis, equipamentos ou veículos e em capital de giro; 
 
d) Deduções são os incentivos fiscais que podem ser 
considerados como despesas e que permitem reduzir o 
lucro antes da provisão para o imposto de renda e da 
contribuição social sobre o lucro líquido. Especialmente 
o montante da depreciação dos ativos imobilizados 
ocorrida no período; 
 
e) Valor residual, VR, que expressa o montante do valor 
das desmobilizações ocorridas no final do projeto devido 
à venda dos bens imobilizados e, também, ao retorno do 
capital de giro inicialmente investido. 
 
 
 O valor do fluxo de caixa em dado período k é dado pelo 
modelo: 
 
Fk = Σ Rec(k) - Σ Desp(k) – Inv(k) + Ded(k) + VR(k) 
 
Alerta-se ao leitor que o conceito de fluxo de caixa transcende 
ao conceito de lucro. 
 
 O lucro representa o resultado da dedução das 
despesas indiretas, custos de produção ou tributos pagos, no 
período, do valor das receitas havidas. 
 
Lucro = Σ Receitas – Σ Despesas, 
 
 Portanto, pode ocorrer a existência de lucro em um 
determinado período e o fluxo de caixa ser negativo. Basta, 
para isto ocorrer, a realização de um grau de investimento 
superior ao somatório do lucro, das deduções e do valor 
residual havidos no período. 
 
 A constatação da assertiva acima pode ser efetuada 
pela análise da expressão abaixo, ao se substituir na 
expressão geral do fluxo de caixa os somatórios das receitas e 
despesas pela expressão do lucro. Então: 
 
Fk = Lucro – Investimentos + Deduções + VR 
 
Do acima exposto e, especialmente, da análise da 
expressão do fluxo de caixa, Fk, pode-se deduzir: 
 
 As deduções e o valor residual reduzem o imposto a 
pagar, melhoram a disponibilidade de caixa. 
 Pode ocorrer fluxo de caixa negativo, mesmo tendo sido 
apurado lucro no exercício, dependendo do volume 
monetário aplicado em investimentos. 
 
 
5.4 – Valor Presente. 
 
5.4.1 – Valor de um Ativo. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
98 
 
Define-se, financeiramente, como sendo o VALOR de um 
ativo ao valor presente líquido do somatório dos fluxos de caixa 
descontados que ele for capaz de gerar, considerando o valor 
da moeda no tempo. 
 
Decorre dessa definição que o VALOR PRESENTE LÍQUIDO 
de um ativo, ou de qualquer projeto de investimento, é 
equivalente à quantidade de riqueza que ele poderá gerar, 
expressa em valores monetários e medida na data de sua 
análise. 
 
O Valor Presente Líquido, então, é a metodologia 
proposta para medir o acréscimo, ou incremento, de riqueza 
propiciada pela implantação de um projeto de investimento. 
 
VP(p) = Δ RIQUEZA
 
 
 A metodologia leva esta denominação de valor presente 
líquido, pois considera todas as entradas e saídas de caixa 
associadas ao projeto, fato que permite medir o incremento de 
riqueza por ele propiciado e expresso em valor monetário. 
 
 
5.4.2 – Calculo do Valor Presente Líquido. 
 
5.4.2.1 - Valor Presente de Fluxo de Caixa Único. 
 
Como já visto no item 2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro, 
o valor presente VP de um único fluxo de caixa, VF, é dado 
pelo modelo abaixo, em que VP e VF correspondem, 
respectivamente, a uma única saída ou entrada de caixa. 
 
n)i(
VFVP


1
1
 
 
 E, “n”, representa o número de períodos em que 
ocorrerá a entrada de caixa e “i”, a taxa de desconto ou TMA, 
pactuada. 
 
período
VF
VP
$
n
Figura 5.3 – Valor Presente Fluxo Único 
 
 
5.4.2.2 - Valor Presente de Múltiplos Fluxos de Caixa. 
 
 No caso de ocorrer múltiplos fluxos de caixa, conforme 
Figura 5.2, o valor presente líquido associado a um projeto p 
corresponde ao somatório dos fluxos de caixa individuais. 
 
 De modo sintético, pode ser expresso pela seguinte 
expressão matemática canônica, em que, F0, corresponde ao 
fluxo de caixa inicial no momento zero e Fk o fluxo de caixa 
previsto para ocorrer no período k: 
 

 

n
1k
k
k
)i1(
F
Fo)p(VP
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
99 
 
 
 
Ou, de forma extensiva, pelo polinômio: 
 
n)i(
Fn
)i(
F
)i(
F
)i(
F
Fo)p(VP








11
3
1
2
1
1
321

 
 
 
 Alerta-se, ao ser analisado qualquer projeto de 
investimento ou um conjunto de alternativas de investimentos, 
para se e elaborar tanto o diagrama de fluxo de caixa como o 
de valor presente de cada alternativa de projeto, no intuito de 
visualizar o comportamento de cada fluxo de caixa singular. 
 
 Tal procedimento evita surpresas no processo de 
tomada de decisão, conforme será visto em capítulo posterior. 
 
 
5.4.3 – Diagrama de Valor Presente. 
 
 Um importante instrumento utilizado para a análise do 
comportamento de qualquer fluxo de caixa é o Diagrama de 
Valor Presente. 
 
 Este diagrama exprime, no eixo das abscissas as taxas 
de desconto ou TMA e, em ordenadas, o valor presente do 
fluxo de caixa descontado à taxa de “i%” ao período. 
 
O exemplo exposto na Figura.5.4, mostra o diagrama de 
um fluxo de caixa descontado a taxas de desconto que variam 
entre 4 a 20% e onde é evidenciado o Valor Presente vinculado 
à taxa de desconto de 4% ao período. 
 
 Como será visto no Capítulo-6, disponíveis os diagramas 
de valor presente das alternativasvinculadas a um projeto, 
torna-se mais fácil e definir adequadamente qual delas propicia 
o maior incremento de riqueza. 
 
 
i%
R$
4 8 12 16 20
Figura 5.4 – Diagrama de Valor Presente – Projeto Convencional
0
VP(4%)
Valor Presenete do fluxo de 
caixa descontado à taxa de 
4% ao período.
 
 
 
 É interessante ressaltar que a curva representativa da 
função valor presente líquido, expressa na Figura 5.4, se 
comporta de modo decrescente, contínua e convexa, quando 
referida a projetos de investimento convencionais. 
Investimentos definidos e classificados no item 5.6. 
 
 Ao serem analisadas alternativas de projetos de 
investimentos não convencionais, nada se pode afirma a priori 
quanto ao comportamento da curva. Ver Fig.5.5. 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
100 
 
Isto porque, é possível ocorrer valores presentes 
negativos entre valores presentes positivos, fato que pode 
induzir o analista a erro ao elaborar suas recomendações. 
 
 
i%
R$
4 8 12 16 20
Figura 5.5 – Diagrama de Valor Presente – Projeto Não Convencional
0
 
 
 
No diagrama da Figura 5.5, é possível verificar a 
existência de valores presentes positivos, ocorrendo entre as 
taxas de zero a 6%. Entre as taxas de 6% a 12% ocorrem 
valores presentes negativos. Entre 12% a aproximadamente 
19% ocorrem, novamente, valores presentes positivos. A partir 
de 19%, os valores presentes são negativos. 
 
Constata-se, então, que o projeto é viável entre taxas de 
zero a 6% e de 12 a 19%. Sendo inviável para TMA’s entre 6 e 
12% e, acima de 19%. 
 
Sob a ótica matemática, isto quer dizer que o polinômio 
representativo da função valor presente líquido pode 
apresentar diversas raízes reais. 
 
 Nestes casos, recomenda-se elaborar graficamente o 
diagrama de valor presente visando amparar a análise de 
decisão, e definir corretamente as taxas de desconto que 
propiciem valores presentes positivos e as que propiciam 
valores negativos. 
 
 
5.4.4 – Exemplo de Aplicação. 
 
 Seja, como exemplo de obtenção de um diagrama de 
valor presente, um projeto representado pelo seu fluxo de 
caixa: 
 
7654321 1
320
1
680
1
630
1
570
1
520
1
450
1
850
1200
)i()i()i()i()i()i()i(
VP














 
 Resolvendo o polinômio acima para cada uma das 
seguintes taxas de desconto: 0,0 %; 3%; 6%; 9% e 12%; 
obtém-se o valor presente líquido associado a cada uma das 
taxas, conforme disposto na tabela abaixo. 
 
 Valores Presentes em R$ 
Per. i = 0% i = 3% i =6% i =9% 12% 
0 - 1.200,00 
1 - 850,00 
2 450,00 
3 520,00 
4 570,00 
5 630,00 
6 680,00 
7 320,00 
∑ 1.120,00 754,36 449,67 194,25 -21,08 
Figura 5.6 – Tabela de Valores Presentes dos Fluxos de Caixa 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
101 
 
 
200
-200
400
600
800
1.000
1.200
3 6 9 12 15
Figura 5.7 – Diagrama de Valor Presente
i%
R$
0,00
 
 
 
Solicita-se preencher os dados faltantes na tabela da 
Figura 5.5, o que permite definir o valor presente do projeto 
para cada TMA especificada. 
 
Com os dados obtidos, segundo expresso na ultima 
linha da tabela da Figura 5.6: 1.120,00; 754,36; 449,67; 194,25; 
-21,08; pode-se traçar o diagrama de valor presente líquido do 
fluxo de caixa, conforme diagrama expresso na Figura 5.7. 
 
Analisando o diagrama do valor presente, é possível 
constatar que o projeto em questão passa a ser viável para 
investidores que praticam taxas de desconto, ou seja, TMA’s 
inferiores a 11,6%. 
 
Para investidores que pratiquem Taxa de Mínima 
Atratividade superiores a 11,6%, o projeto torna-se inviável, já 
que os valores presentes passam a apresentar valores 
negativos. 
 
 
5.5 – A TMA: Taxa de Mínima Atratividade 
 
5.5.1 – Conceito de TMA. 
 
Por definição, a Taxa de Mínima Atratividade, TMA, 
corresponde à menor rentabilidade desejada para a 
remuneração de um projeto. Ela corresponde à remuneração 
das alternativas de investimento em análise. 
 
Assim a TMA é a taxa de desconto, i, ao se calcular o 
Valor Presente Líquido - VP(p) associado às diversas 
alternativas do projeto. Ver Figura 5.8, onde é mostrada uma 
determinada TMA e o valor presente a ela correspondente. 

 

n
1k
k
k
)i1(
F
Fo)p(VP
 
 
𝑉𝑃(𝑝) = 𝐹0 + 
𝐹1
(1 + 𝑖)
+
𝐹2
(1 + 𝑖)2
+
𝐹3
(1 + 𝑖)3
+ ⋯+
𝐹𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
Como já comentado, havendo diversas alternativas de 
investimentos propostas para a aplicação de um mesmo 
capital, deverá ser adotada a mesma TMA ≡ i para o calculo do 
valor presente líquido de cada uma delas. Isto porque, não há 
sentido financeiro comparar valores presentes associados à 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
102 
 
alternativas de investimentos descontados à taxas distintas ou, 
noutras palavras, remunerados segundo parâmetros diferentes. 
 
 
i%
R$
TMA TIR
Função Valor
Presente Líquido
Figura 5.8. - TIR & TMA
VPL>0
 
 
 
 
Obtidos os valores presentes de cada alternativa, as 
mesmas podem ser hierarquizadas segundo o aumento de 
riqueza quer propiciam. Basicamente, a alternativa que 
apresentar o maior incremente de riqueza será considerada 
como a mais interessante. 
 
 A taxa Interna de Retorno – TIR, corresponde à taxa que 
zera função valor presente líquido. Ou seja, é a raiz do 
polinômio representado pelo respectivo fluxo de caixa. 
 
 
5.5.2 – Definição da TMA. 
 
 A TMA pode ser definida sob a ótica do investidor ou da 
empresa. 
 
a) Se investidor: Neste caso, o investidor singular determina, a 
seu talante, a taxa de remuneração desejada para o capital 
disponível a ser investido. 
 
a) Se empresa: No caso das empresas, a TMA corresponde à 
remuneração desejada pelos acionistas, sendo expressa 
pelo custo médio ponderado do capital da empresa. 
(GITMAN, 2001). 
 
 O custo médio ponderado de capital expressa o custo 
de todos os capitais mobilizados para financiar a empresa, a 
saber: capital próprio, capital de terceiros e financiamentos de 
curto e longo prazos. 
 
 Matematicamente e partindo dos balanços da empresa 
pode-se, também, definir a TMA como: 
 
FLPPL
Lucro
iTMA


 
 
 Em que: o lucro é definido pelo valor registrado no DRE; 
o PL, Patrimônio Líquido, corresponde ao total do patrimônio 
líquido registrado no Passivo; e, o FLP, representa o valor total 
dos financiamentos de longo prazo registrados em contas do 
exigível de longo prazo. 
 
Considerando o balanço de uma empresa expresso nas 
Figuras 5.9 a 5.11, o valor da TMA ≡ i, é dado por: 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
103 
 
𝑖 =
195.293,60
1.509.358,23 + 71.104,34
= 0,1236 → 12,36% 
 
Pelo exposto, o custo de capital ou taxa de desconto da 
empresa é de 12,36 %. 
 
 
5.6 – A TIR – Taxa Interna de Retorno 
 
 
 A Taxa Interna de Retorno – TIR pode ser definida sob 
duas óticas: 
 
a. Matematicamente, corresponde àquela taxa que zera a 
função Valor Presente Líquido. Logo, é a raiz da função 
Valor Presente Líquido. 
 
b. Financeiramente, ela índica a maior rentabilidade que um 
projeto pode oferecer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - DRE R$ 
3.1 Receita Operacional Bruta + 956.712,25 
3.2 Deduções à Receita (Tributos + Descontos) 
3.2.1 - Tributos 
3.2.2 - Descontos 
(-) 147.764,69 
140.376,26 
7.388,43 
3.3 Receita Operacional Líquida = 808.947,56 
3.4 Custo de Produtos Vendidos (-)470.370,65 
 3.4.1 – Produto A 
3.4.2 - Produto B 
3.4.3 – Serviços Técnicos 
92.630,65 
178.230,00 
199.510,00 
3.5 Lucro Operacional Bruto = 338.576,91 
3.6 Despesas Operacionais. (-) 40.267,59 
 3.6.1 - Despesas com Vendas 
 3.6.2 - Despesas Gerais e Administrativas 
1.237,04 
39.030,55 
3.7 Lucro Operacional Líquido - EBITDA1 298.309,32 
3.8 
3.9 
3.10 
Depreciação 
Amortizações 
Resultado Financeiro 
 3.10.1 – Juros Recebidos (+) 
 3.10.2 – Juros Pagos (-) 
(-) 5.500,00 
(-) 4.166,51 
(-) 2.728,54 
4.194,35 
6.422,89 
3.11 Lucro Operacional = 254.531,74 
3.12 Resultado Não Operacional 
 3.12.1 - Receitas Não Operacional 
 3.12.2 - Despesas Não Operacional 
+ 5.004,01 
7.004,01 
(-) 2.000,00 
3.13 Lucro Antes do Imposto de Renda - LAIR = 259.535,75 
3.14 Provisão p/ o Imposto de Renda – 15%+10% (-) 40.883,93 
3.15 Contribuição Social s/ o Lucro Líquido – 9% (-) 23.358,22 
3.16 Lucro Líquido do Exercício = 195.293,60 
Figura 5.9 – Modelo de Demonstrativo de Resultados do Exercício 
 
 
 
(1) EBITDA = Earnings before interest, tax, depreciation, and amortization. 
Esta é a expressão utilizada em língua inglesa para o lucro operacional líquido. Ou 
seja, o lucro antes da incidência de juros, taxas, depreciação e amortização. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
104 
 
 
 
 
 
 
 
1 - Ativo R$ 
1.1 - Circulante 712.823.08 
1.1.1. Caixa e Bancos 
1.1.2. Recebíveis de Clientes 
1.1.3. Aplicações Financeiras 
1.1.4. Prov. Devedores Duvidosos (-) 
1.1.5. Impostos a Compensar 
1.1.6. Estoques Produtos Acabados 
1.1.7. Estoques de Produtos em Elaboração 
1.1.8. Estoques de Matérias Primas 
1.1.9. Adiantamentos a Fornecedores 
1.1.10. Contratos de obras 
44.653.73 
121.033.96 
23.872,07 
4.430,51 
1.037,12 
220.000,00 
57.197,70 
70.934,41 
9.663,58 
160.000,00 
1.2 – Não Circulante 1.275.176,92 
1.2.1 – Realizável em Longo Prazo 216.408,27 
 1.2.1.1 – Créditos em Coligadas 
 1.2.1.2 – Financiamentos a clientes 
 1.2.1.3 - Contratos futuros 
13.085,87 
103.322,40 
100.000,00 
1.2.2 - Investimentos 430.347,00 
 1.2.2.1 – Empresa A 
 1.2.2.2 – Empresa B 
130.347,00 
300.000,00 
1.2.3 – Imobilizado 578.282,57 
 1.2.3.1 - Imóveis 
 1.2.3.2 - Equipamentos 
 1.2.3.3 - Veículos 
 (-) Depreciações 
370.000,00 
100.282,57 
129.600,00 
21.600,00 
1.2.4 - Intangível 50.139,08 
 1.2.4.1 - Softwares 
 1.2.4.2 - Patentes 
20.139,08 
30.000,00 
1.4 - Total do Ativo 1.988.000,00 
Figura 5.10 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas de Ativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Passivo R$ 
2.1 - Circulante 294.039,54 
2.1.1. Bancos 
2.1.2. Fornecedores 
2.1.3. Obrigações Fiscais a Recolher 
2.1.4. Encargos Sociais 
2.1.5. Encargos Trabalhistas 
2.1.6. Outras Obrigações 
2.1.7. Provisões 
61.325,00 
165.895,52 
10.181,46 
11.283,18 
10.500,00 
30.070,75 
4.783,63 
2.2 – Exigível de Longo Prazo 184.602,63 
2.2.1. Financiamentos a Pagar 
2.2.2. Débitos em Coligadas 
2.2.3. Contratos p/ Entrega Futura 
71.104,34 
13.469,61 
100.028,68 
2.3 – Patrimônio Líquido 1.509.358,23 
2.3.1. Capital Social 
2.3.2. Reservas de Capital 
2.3.3. Reservas de Lucro 
1.156.110.00 
95.545,85 
62.408,78 
2.3.4. Lucros Acumulados no exercício 195.293,60 
2.4 - Total do Passivo 1.988.000,00 
Figura 5.11 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas de Passivo 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
105 
 
 
 
5.7 - Previsão de Fluxo de Caixa. 
 
5.7.1 – Modelo de Procedimento. 
 
 A definição do fluxo de caixa a ocorrer em cada período 
vindouro é um processo de previsão dos recebimentos e 
pagamentos futuros, investimentos a serem realizados, tributos 
a serem pagos, deduções fiscais e depreciação dos ativos; e 
do valor residual disponível ao final do projeto. 
 
 Um modelo de procedimento recomendável para a 
elaboração dos fluxos de caixa projetados é seguir modelo 
contábil do DRE – Demonstrativo de Resultado do Exercício. 
 
O exemplo da Figura 5.12, mostra a composição dos 
fluxos de caixa projetados, relativos aos meses de agosto a 
dezembro de 2.011, e que permite analisar, o fluxo de caixa 
projetado e, também, o nível de disponibilidade de caixa a cada 
período. 
 
O objetivo, então, é projetar: os recebimentos ou 
faturamentos futuros, preferencialmente em função da 
capacidade de produção prevista para cada exercício; os 
custos diretos de produção; as despesas indiretas sejam elas 
administrativas ou de vendas; os investimentos em ativos e em 
capital de giro; a depreciação e a os possíveis incentivos 
fiscais. 
 
Há que ressaltar que o valor residual dos investimentos 
resultante da venda dos ativos ao final do projeto, acrescido do 
retorno do capital de giro devido ao encerramento da produção, 
não constam do DRE. Porém, seu valor é considerado no 
ultimo período do fluxo de caixa. 
 
 
 
 
 
Fluxo de Caixa R$ mil R$ mil R$ mil R$ mil R$ mil 
Exercício 2.011 Ago Set Out Nov Dez 
 
1 - Recebimentos 326 523 550 606 630 
Vendas a vista 42 137 144 159 170 
Contas a Receber 149 219 230 254 260 
Outros 0 80 84 92 90 
 
2 - Tributos 55 87 92 101 110 
 
3 - Custos de Produção 80 129 136 150 155 
Insumos 32 52 48 60 65 
Mão de Obra + ES 38 61 56 71 71 
Eletricidade 10 16 15 19 19 
 
4 - Despesas 203 226 245 260 268 
Fornecedores 77 89 106 118 124 
Honorários 50 60 60 60 60 
Salários 29 30 32 35 35 
Aluguel 25 25 25 25 25 
Impostos 22 22 22 22 24 
 
 5 - Depreciação +8 +12 +12 +12 +12 
 
6 – Lucro do Exercício -4 93 89 107 109 
 
7 - Investimentos - 97 - 32 - 94 - 94 0 
Equipamentos 67 32 94 94 0 
Capital de Giro 30 0 0 0 0 
 
8 - Fluxo Caixa Líquido -111 61 -5 13 109 
9 - Saldo Caixa Anterior 145 34 95 90 103 
10 - Saldo Caixa - Final 34 95 90 103 212 
Fig.5.12 – Previsão de Fluxo de Caixa 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
106 
 
 
Analisando o Fluxo de Caixa da Figura 5.12, verificam-
se: fortes investimentos nos quatro primeiros meses; dois 
fluxos negativos nos meses de agosto e outubro; mensalmente, 
um crescente nível de caixa. 
 
5.7.2 – Informações Gerenciais. 
 
 Disponível a previsão dos fluxos de caixa, o gestor 
dispõe de informações para avaliar os saldos disponíveis de 
caixa e, deste modo, ter condições para: 
 
i) Analisar a viabilidade e o comportamento dos fluxos 
financeiros de projetos; 
ii) Verificar a necessidade de investimento em capital de giro 
quando a projeção do fluxo de caixa do projeto prever a 
ocorrência de saldo negativo; 
iii) Estabelecer a época e a oportunidade de implantar novos 
projetos ou aplicação de capital em havendo previsão de 
expressivo saldo de caixa. 
iv) Conhecer o saldo final de caixa ao fim de cada período ao 
se somar o saldo de caixa existente em período anterior. 
 
O calculo do fluxo de caixa para cada período, k, em 
função da quantidade a ser produzida, q, é realizado utilizando 
o seguinte modelo matemático: 
 
Fk = Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) – Invest. + Deduções + V. Residual 
 
 
5.8 – Tributos e Depreciação. 
 
A importância em conhecer a influência dos tributos e 
da depreciação na composição de um fluxo de caixa e, em 
consequência no calculo do Valor Presente é porque os 
tributos reduzem o valor do fluxo de caixa. E, a depreciação, ou 
qualquer outra dedução fiscal, aumentam o fluxo de caixa poisreduzem tributos a pagar. 
 
 O conteúdo deste item é circunscrito a contratos da 
indústria da construção civil, considerando as situações de 
empreitada ou de serviços. (2) 
 
5.8.1 – Influência dos Tributos. 
 
 No Brasil, os tributos influenciam o Fluxo de Caixa de 
dois modos: i) diretamente sobre o faturamento; ii) sobre o 
lucro do exercício – LAIR. Recomenda-se analisar o exposto no 
exemplo da Tab.5.1 – Demonstrativo do Resultado do 
Exercício, onde é mostrada a incidência dos tributos. 
 
É interessante ressaltar que, conforme a opção tributária 
da empresa há que se considerar, separadamente, tributos 
incidentes sobre o faturamento e sobre o lucro. 
 
I – Opção pelo Lucro Real. 
 
 Neste caso, os tributos incidentes sobre o faturamento 
são: o ISS, de competência municipal; o ICMS, de competência 
estadual; o Pis/Pasep, o COFINS e o IPI, estes de competência 
federal. 
 
 
(2) Os conceitos de empreitada e de serviços são aqueles a que se refere o 
Código Civil, Lei nº 10.406 de 10.01.2002. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
107 
 
Considerando que esses tributos incidem diretamente 
sobre o faturamento, eles podem ser tratados na formação do 
fluxo de caixa como sendo uma despesa operacional. 
 
 O Imposto de Renda e a Contribuição Social sobre o 
Lucro Líquido, CSLL, incidem sobre o Lucro antes da provisão 
para o imposto de renda, LAIR. 
 
 Genericamente e inexistindo tributação, um fluxo de 
caixa é dado pelo seguinte modelo: 
 
Fk = Lucro – Inv + Ded + VR 
 
 Ao considerar o IR e a CSLL, eles atuam reduzindo o 
lucro operacional e também sobre a depreciação, pois esta 
melhora o Lucro Líquido do Exercício. 
 
 Denominando a soma das alíquotas dos tributos 
incidentes sobre o faturamento de αFAT, o modelo acima pode 
ter a seguinte notação: 
αFAT = αIR + αCSLL 
 
Fk = Lucro - αFAT Lucro - Inv + αFAT Ded + VR 
 
 Fk = (1 - αFAT) Lucro - Inv + αFAT Ded + VR 
 
Fk = (1 - αFAT) Σ Rec(k) - (1 - αFAT) Σ Desp(k) – Inv(k) + 
 αFAT Ded(k) + VR(k) 
 
 
II – Opção pelo Lucro Presumido ou o Simples. 
 
 Neste caso todos os tributos incidem sobre o 
faturamento. 
 
 Alerta-se que não existe o benefício da na formação do 
fluxo de caixa quando a opção tributária ocorra sob o regime do 
lucro presumido. 
 
 O fluxo de caixa, então, observa o seguinte modelo: 
 
Fk = Σ Rec(k) - Σ αFAT Σ Rec(k) - Σ Desp(k) - Inv(k) + VR(k) 
 
 Há que se ter cuidado com a compreensão da 
nomenclatura adotada para os fluxos de caixa, pois, caso a 
opção seja pelo lucro real, αFAT corresponde, apenas, à soma 
das alíquotas do IR e da CSLL. 
 
 Caso seja o lucro presumido, αFAT corresponde ao 
somatório das alíquotas do ISS, do ICMS, do Pis/Pasep, do 
COFINS, do IR e da CSLL. 
 
5.8.2 – Influencia da Depreciação. 
 
 A depreciação é uma dedução fiscal que permite abater 
a cada exercício fiscal, como se despesa fosse, um percentual 
do investimento efetuado em ativos, a exceção de terrenos. 
 
Este procedimento reduz o imposto de renda a pagar, 
fato que melhora o lucro do exercício. Porém este benefício 
somente é utilizado quando a opção fiscal tenha sido pelo lucro 
real. 
 
 Por definição, o valor da depreciação é função do tempo 
de vida fiscal do bem, definido pela legislação. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
108 
 
 Existem vários métodos de depreciação. Porém, será 
considerado o método comumente aceite pela Legislação 
Brasileira. 
 
 Assim sendo, a depreciação, d, é dada pela razão entre 
o valor do bem conforme lançado na conta do Ativo Imobilizado 
e o tempo de vida do mesmo, conforme estabelecido na 
legislação fiscal do imposto de renda. 
 
d =
Valor do Bem
Tempo de Vida 
 
 
 A depreciação participa da expressão do fluxo de caixa, 
Fk, conforme modelo do item anterior, sendo o valor da 
depreciação do período multiplicado pela alíquota do Imposto 
de Renda incidente sobre o DRE da empresa. 
 
 
5.9 – Classificação dos Investimentos. 
 
 Os investimentos podem ser classificados segundo a 
variação dos fluxos de caixa ou conforme a disponibilidade dos 
recursos para investimentos. 
 
 
5.9.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. 
 
 Segundo a variação do sinal dos fluxos de caixa os 
investimentos podem ser divididos em: 
 
 Investimento Simples ou Empréstimo; 
 Investimento Convencional; 
 Investimento Não Convencional. 
 
 
a) Investimento Simples ou Empréstimo. 
 
 O investimento simples ou empréstimo é caracterizado 
por apresentar uma única variação de sinal em seu fluxo de 
caixa. Ver o projeto nº S1 da Figura 5.13 – Tipificação dos 
Fluxos de Caixa. 
 
 Além disto, o primeiro fluxo de caixa deve ser 
caracterizado por uma saída de caixa, ou seja, um movimento 
negativo, seguido por uma série de fluxos de caixa positivos. 
 
 Este caso é o que comumente ocorre em operações de 
crédito pessoal ou empréstimos à pessoa física, tais como: 
aquisição de um bem de consumo durável a exemplo de 
eletrodoméstico e automóvel financiado pelo comércio 
varejista; empréstimos pessoais realizados por bancos 
comerciais. 
 
 
 Investimento Simples ou Empréstimo 
Nº F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 
S1 - + + + + + + + + 
 
Investimento Convencional 
 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 
C1 - - - - + + + + + + + + + 
C2 - - + + + + + + + + 
 
Investimento Não Convencional 
 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 
N1 - - - + + - - + + + - - + 
N2 - - + + + - + - + + + + - 
N3 + + + - - - - - - + - + + 
Figura 5.13 – Tipificação dos Fluxos de Caixa 
 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
109 
 
b) Investimento Convencional 
 
 O investimento convencional é definido como todo 
aquele em que ocorre, inicialmente, apenas fluxos de saídas de 
caixa (-) e, a seguir, períodos de entrada de caixa (+). 
 
Neste tipo de investimento, a exemplo do anterior, 
ocorre apenas uma variação de sinal no fluxo de caixa. Ver os 
projetos n.º C1 e C2 da Figura 5.13. 
 
 Como exemplo de investimento convencional tem-se a 
implantação de algum complexo fabril, quando o faturamento 
acontecerá após o período de implantação do mesmo, o que 
ocorre em projetos de hidrelétricas, siderúrgicos ou usinas 
beneficiadoras de leite. 
 
 
c) Investimento Não Convencional 
 
 O investimento não convencional distingue-se dos 
anteriores por apresentar mais de uma variação de sinal em 
seu diagrama de fluxo de caixa. 
 
 Como exemplo de investimento não convencional tem-
se o projeto nº N1 disposto na Figura 5.13– Tipificação dos 
Fluxos de Caixa, que apresenta cinco variações de sinal no 
fluxo de caixa. 
 
{-FO, -F1, - F2, +F3, +F4, - F5, - F6, +F7, + F8, +F9, - F10, - F11, + F12} 
 
 Verificando os exemplos dados na figura citada acima, 
os fluxos de caixa iniciais podem ser tanto positivos como 
negativos. 
 
 É uma situação muito comum de ocorrer na indústria da 
construção civil, quando ocorrem investimentos pré e durante a 
fase de construção, entremeados pela venda de unidades, 
sejam terrenos ou apartamentos. Fato que propicia a existência 
de fluxos de caixa negativos entremeados por positivos, o que 
exige cuidado quanto à decisão e escolha de investimentos 
neste setor. 
 
 
5.9.2 – Disponibilidade de Recursos. 
 
 Os investimentos podem ser classificados, também, 
segundo a restrição de capital o que permite analisar a 
viabilidade de sua realização. São classificados em três 
categorias: 
 
 Investimentos Independentes, 
 Investimentos Dependentes, 
 Investimentos Mutuamente Exclusivos. 
 
a) Investimentos Dependentes. 
 
 Diz-se que uma proposta de investimentos é 
economicamentedependente de outra quando os fluxos de 
caixa esperados da primeira proposta podem sofrer influência 
com a aceitação da segunda. 
 
 
b) Investimentos Independentes. 
 
 Dois investimentos são considerados independentes 
quando é tecnicamente viável realizar um deles, seja ou não 
aceito o segundo. E, que as receitas líquidas esperadas do 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
110 
 
primeiro não são afetadas pela aceitação ou rejeição do 
segundo investimento. 
 
 Havendo disponibilidade financeira para a execução 
simultânea de dois projetos distintos, não há necessidade em 
compará-los. Mas, simplesmente, verificar se ambos promovem 
o aumento de riqueza dos proprietários. 
 
 
c) Investimentos Mutuamente Exclusivos 
 
 Dois investimentos são ditos mutuamente exclusivos 
quando as receitas oriundas do primeiro cessarem, 
completamente, havendo a aceitação do segundo. Ou, quando 
for tecnicamente impossível implantar um deles em havendo a 
decisão de executar o outro. 
 
 
5.10 - O processo de decisão. 
 
 Todas as decisões sobre análise de investimentos ou 
propostas de projetos de investimentos são tomadas a partir do 
desenvolvimento de propostas de alternativas de 
investimentos. 
 
 Inexistindo alternativas, não há opção de escolha e, 
portanto, não há decisão a tomar. 
 
 Quando se comparam alternativas de investimentos, 
apenas as diferenças existentes entre elas é que são 
relevantes para análise. 
 
 Como as alternativas competem entre si, uma serve de 
referência para a outra no processo de seleção. Ao ser 
considerada a competição de alternativas, o objetivo é definir o 
projeto vencedor, aquele que mais aumenta a riqueza dos 
proprietários. Isto quer dizer que são comparados, apenas, 
projetos mutuamente exclusivos. 
 
 Decisões separáveis devem ser tomadas 
separadamente. Não há por que considerar num processo de 
decisão projetos definidos como independentes com aqueles 
mutuamente exclusivos. 
 
 É preciso manter a visão clara e não entrar em 
comparações irrelevantes e que perturbem um processo 
decisório. 
 
Os métodos discutidos neste livro permitem amparar a 
tomada de decisão financeira ao estabelecer parâmetros 
capazes de permitir a comparação e hierarquização das 
alternativas de investimento segundo o incremento de riqueza 
proporcionado por cada uma das alternativas ou a rentabilidade 
das mesmas. São eles: 
 
E Valor Presente Líquido; 
E Retorno do Capital ou Pay-Back; 
E Custo Anual Equivalente ou Beneficio Anual 
Equivalente; 
E Taxa Interna de Retorno. 
 
É muito possível que a adoção de um único método, 
isoladamente, não satisfaça as exigências de um bom processo 
decisório. 
 
 Visando melhor amparar o processo decisório, 
recomenda-se ao analista que elabore a hierarquização das 
alternativas considerando, conjuntamente, vários dos métodos 
apresentados e não se limitar a simples adoção de apenas um 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
111 
 
deles, procedimento que vem a enriquecer a qualidade de sua 
analise. 
 
 
 
5.11 – Exercícios Resolvidos. 
 
5.11.1 – Calculo do Valor Presente e Futuro. 
 
 Calcular o Valor Presente e o Valor Futuro do projeto 
abaixo, representado pelo seu Diagrama de Fluxo de Caixa. A 
Taxa de Desconto é de 10% por período. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º - Calculo do Valor Presente. 
 
%10632
FVP
)i1(
1
490
)i1(
1
580VP 




 
 
VP = 580  0,8264 + 490  0,7513  4,3553 = 2.082,66 $ 
 
 
2º - Calculo do Valor Futuro. 
 
VF = 580 (1+ 0,10) 7 + 490  FVF (6; 10% )  
VF = 580  1,9847 + 490  7,7156 = 4.931,77 $ 
 
 É importante lembrar, que o Valor Futuro é dado no 9º 
período, coincidentemente com o ultimo período do fluxo de 
caixa. 
 
 
5.12 - Exercícios Propostos. 
 
5.12.1 - Calcular o valor presente e o valor futuro do projeto 
representado pelo diagrama dos fluxos de caixa abaixo. Adotar 
a taxa de 10% ao mês como custo de oportunidade. 
 
900
420
R$
350
380
1.850
420
1
2 3 4 5
6 7 8 9 10
11
12 mês
 
 
 
5.12.2 - Determinar o valor presente de um projeto com 
horizonte de quatro anos, cujos dados estão 
relacionados no quadro abaixo. Individualizar o que é 
receita, despesa ou investimento. 
 
R$ 490,00/período 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 per. 
580 
 R$ 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
112 
 
 
 
item Valor R$ mil 
Investimentos capital de giro 3.250,00 
Salários diretores/mês 8.000,00 
Salário pessoal da produção/mês 12.500,00 
Salário pessoal administrativo/mês 7.500,00 
Previdência Social/mês 5.900,00 
Material de consumo/mês 900,00 
Matérias primas p/ 4 meses. 6.900,00 
Recebimentos diversos/mês 6.000,00 
Venda de produtos/mês 33.000,00 
Venda de equipamento 3.400,00 
Aluguel de Terreno/mês 4.000,00 
Aquisição de Máquina 3.000,00 
Investimentos em imobilizado podem ser vendidos por 25% do valor de 
aquisição findo o prazo do projeto. 
 
 
5.12.3 - Calcular o valor presente de um projeto cujas 
características operacionais estão relacionadas a seguir. 
 
 Sabe-se que: 
 
 O tempo de vida do projeto foi estimado em sete anos; 
 A taxa de mínima atratividade adotada é de 15% ao ano; 
 Os dados relacionados no Quadro 2 mostram o 
percentual de utilização da capacidade instalada em 
cada ano; 
 A previsão de vendas evoluirá segundo as estimativas 
expressas no Quadro 1. 
 
Quadro 1 - Previsão Anual de Faturamento sobre a Capacidade 
Instalada Total 
Ano 1 2 3 4 5 a 7 
Percent 40% 50% 60% 70% 100% 
 
 
 
Quadro 2 – Informações Contábeis Valor R$ mil 
Investimento inicial 240.555,00 
Salários diretores/ mês 8.000,00 
Salário pessoal da produção/mês 18.500,00 
Salário pessoal administrativo/mês 3.500,00 
Previdência Social - mês 3.900,00 
Material de consumo - mês 1.150,00 
Matérias primas - mês 7.900,00 
Venda de produtos c/ capacidade total – mês 63.000,00 
Valor residual do item 1, Investimento. 48% 
 
 
 
5.12.4 - Uma empresa remunera seus ativos a uma TMA de 
12% ao período, esta analisando um projeto de investimento 
representado pelo respectivo fluxo de caixa projetado. Assim 
sendo deseja-se saber se a implantação deste projeto é viável 
para a empresa. 
 
 Solicita-se, também, definir o fator de valor presente 
associado e o valor presente associado a cada fluxo de caixa, 
bem como traçar o diagrama de valor presente. 
 
Havendo, simplesmente, a soma dos fluxos de caixa 
projetados, o projeto parece viável por se mostra positivo em 
R$ 765,00. 
 
 Ao ser descontado o fluxo de caixa de cada período a 
TMA de 12%, verifica-se que o projeto é financeiramente 
inviável, pois seu valor presente líquido é de (-) 940,37 R$. 
 
 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
113 
 
 
Período. 
Fluxo de Caixa 
 $ 
n)i( 

1
1
 Valor Presente 
 $ 
0 -1.400,00 
1 -1.000,00 
2 -420,00 
3 0,00 
4 450,00 
5 510,00 
6 550,00 
7 605,00 
8 680,00 
9 790,00 
∑ (+)765,00 (-) 940,37 
 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
114 
 
 
 
 
6. Método do Valor Presente. 
 
 
6.1 – Coerência de resultados. 
 
 Ao se comparar alternativas de investimentos, os 
resultados obtidos devem ser compatíveis financeiramente. 
 
 Para tanto, os seguintes procedimentos devem ser 
observados: 
 
 Comparação projetos na mesma classe de risco; 
 Adoção da mesmataxa de desconto; 
 Comparação de projetos com idêntica vida útil; 
 Distinção dos projetos de longa duração ou grande vida 
útil com projetos, com os demais projetos. 
 
Estes procedimentos são analisados a seguir. 
 
6.1.1 - Projetos na mesma classe de risco. 
 
 A coerência dos resultados inicia-se ao se eleger para 
comparação projetos cujo risco seja equivalente, pois não tem 
sentido comparar alternativas muito distintas. 
 
 Como exemplo, seja o caso de duas alternativas, a 
primeira, uma malharia situada no polo têxtil de Santa Catarina 
- Brasil, a segunda, uma mina de ouro na Tanzânia. 
 
 Facilmente se depreende que os riscos associados a 
cada uma das alternativas acima citadas tais como: local do 
empreendimento; política governamental; tipo de gestão; 
cultura da mão de obra; a legislação trabalhista de cada país; 
enfim, o comportamento do mercado de cada uma delas, são 
muito distintos. Logo, estes projetos são incomparáveis. 
 
 Assim sendo, a decisão sobre projetos de investimento 
deve ser realizada comparando alternativas que possuam certa 
semelhança. 
 
 
6.1.2 - A mesma taxa de desconto. 
 
 Investidores, sejam eles institucionais ou pessoas 
físicas, adotam a TMA – taxa de mínima atratividade ou a TIR – 
taxa interna de retorno como parâmetro de decisão e de 
desconto dos fluxos de caixa. 
 
 A TMA geralmente adotada em processos de decisão 
relativos a investimentos produtivos e a TIR quando da 
aplicação em investimentos financeiros ou em aplicações 
bursáteis (3). 
 
 Assim sendo, quando comparam projetos dentro de uma 
mesma classe de risco adotam a mesma taxa de desconto 
como referencia. Seria ilógico adotar múltiplas taxas de retorno, 
ou seja, taxas distintas para cada projeto. 
 
 
6.1.3 - Projetos com idêntica vida útil. 
 
 
(3) Bursátil, relativo a bolsas de valores ou de mercadorias. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
115 
 
 Ao se proceder a comparação de alternativas com 
distintas durações, há que haver a compatibilidade temporal 
entre elas, ou seja, projetos com idêntica vida útil. 
 
Não há sentido financeiro comparar, simplesmente, um 
projeto que tenha duração t igual a n anos com outro que 
disponha de t=k anos de duração, sendo kn. 
 
 A assertiva acima é amparada numa premissa da 
análise de investimento e no procedimento de reinvestimento 
de recursos livres comumente adotados por investidores. E, a 
premissa em questão recomenda eleger a alternativa que 
propicie a maximização da riqueza dos proprietários em longo 
prazo. 
 
 O longo prazo, nesta situação de alternativas com 
distinta duração, é entendido como sendo o final do horizonte 
de planejamento, horizonte este definido pelo projeto de maior 
duração. 
 
 Investidores, via de regra, ao disporem de recursos 
livres oriundos do término de outros investimentos, os 
reinvestem em outras alternativas disponíveis ou em 
alternativas semelhantes. 
 
 Assim sendo, só se pode comparar projetos que 
apresentem a mesma vida útil. (Soto Costa & Attie, 1984). 
 
 No item 6.3 serão discutidos diversos procedimentos 
capazes de compatibilizar os horizontes de alternativas de 
projetos que apresentem distintas vidas úteis. 
 
 
6.1.4 - Distinguir projetos de longa duração. 
 
 Projetos com previsão de vida útil demasiadamente 
longa, maior do que 15 ou 20 anos de duração, a exemplo de 
plantas de fabricas de cimento ou de usinas elétricas e mesmo 
parte de seus equipamentos como geradores e rotores, devem 
ter seus tempos de duração considerados de modo adequado. 
 
Carece de sentido utilizar os procedimentos relatados 
no item 6.3, pois estes artifícios são adotados para projetos 
com menor horizonte de vida útil. 
 
Justifica-se esta falta de sentido, pois o tempo de 
exploração se mostra suficientemente longo. Nesta situação, 
fica muito difícil, no presente, de serem elaboradas 
considerações e definidas premissas sobre outras 
oportunidades futuras de investimentos, dada a impossibilidade 
de prever, antecipadamente, o surgimento de novas 
tecnologias, os interesses dos proprietários ou o 
comportamento da economia a ocorrer em futuro muito 
distante 
 
Assim sendo, se torna inverossímil qualquer previsão 
quanto à reaplicação de recursos financeiros e continuidade de 
projetos sobre qualquer alternativa que será finalizada num 
tempo longínquo. Ressalva-se que a análise desta situação 
foge ao escopo deste curso, pela qual recomendamos 
consultar a bibliografia complementar. 
 
 
6.2 – O Método do valor presente. 
 
6.2.1 – Incremento de Riqueza. 
 
O método do valor presente, também denominado de 
valor presente líquido, considera o valor da moeda no tempo, 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
116 
 
medido na data em que foi realizada a análise ou avaliação de 
um projeto. 
 
Utiliza-se, também, a denominação de valor presente 
líquido, pois cada alternativa deve ser expressa em termos de 
todas as receitas, custos, investimentos e benefícios fiscais e 
tributos nela incidentes, ou seja, de todas as entradas e saídas 
de caixa, permitindo uma análise sobre o incremento de 
riqueza produzido. 
 
O processo, como o próprio nome diz, visa determinar o 
valor presente líquido associado a uma alternativa de projeto 
de investimento, parâmetro que exprime o incremento de 
riqueza propiciado a esta alternativa. 
 
VP(p) =  RIQUEZA 
 
 Dado a conceituação acima, o método do valor presente 
é compatível com a 1ª e a 2ª das premissas adotadas em 
investimentos de alternativas de projetos e expostas no 
Capitulo 1, o que o torna este método extremamente atrativo 
como instrumento de decisão. 
 
O método favorece a decisão quanto à hierarquização 
de alternativas disponíveis para investimento de capital. E, 
especialmente recomendado para a decisão sobre 
investimentos produtivos. 
 
 Enfim, o método é recomendado para ser utilizada em 
qualquer tipo de decisão financeira, especialmente naquelas 
cujo objeto seja a implantação de ativos produtivos, a exemplo 
de: implantação de unidade fabril completa, incorporação de 
edificações, nova linha de produção, campanha publicitária, etc. 
 
 
6.2.2 - Decisão. 
 
 Por definição, o valor presente líquido de um projeto de 
investimento qualquer p, corresponde à soma algébrica dos 
valores presentes associados aos fluxos de caixa integrantes 
do projeto, quando descontados a uma taxa de desconto i, 
sendo i ≡ TMA. 
 
 A TMA, por sua vez, corresponde àquela taxa que 
oferece a melhor remuneração a ser obtida por um fator de 
produção. 
 
 Matematicamente, o valor presente líquido do projeto, 
então, é dado por: 
 
𝑉P(p) = F0 + ∑
Fn
(1 + TMA)n
k
n=1
 
 
 Em que: F0 representa o fluxo de caixa no momento em 
que é efetuada a decisão ou o fluxo de caixa inicial; Fn um fluxo 
de caixa genérico a ocorrer num momento n, qualquer; VP(p) 
corresponde ao valor atual ou valor presente líquido associado 
ao projeto p; n o número de períodos integrantes do projeto ou 
horizonte de projeto; e, a TMA a taxa de desconto adotada pelo 
investidor como a rentabilidade desejada. 
 
 Estabelecidos os fluxos de caixa, o horizonte do projeto 
e definida a TMA pelo proprietário, depois de calculado o VP(p) 
– Valor Presente Líquido utilizando o modelo acima podem 
ocorrer três situações: 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
117 
 
 VP(P)=0; neste caso ocorre o que se denomina de 
indiferença de projeto. O investimento é remunerado 
à taxa tradicionalmente obtida, não causando aumento 
na riqueza do proprietário; 
 VP(P)>0; este é o caso de projeto viável. O projeto 
aumenta a riqueza do proprietárioem valor superior à 
remuneração tradicionalmente obtida; 
 VP(P)<0; este é o caso de projeto inviável. Nesta 
situação, quando o projeto descontado à TMA 
apresenta um VP negativo, mostra que o projeto reduz 
o ganho tradicionalmente desejado. 
 
VP(p) > 0 E Projeto Viável
VP(p) = 0 E Indiferença Financeira
VP(p) < 0 E Projeto Inviável
Critérios de Decisão
 
 
 No caso de haver a análise de um conjunto de 
alternativas mutuamente exclusivas, o critério de decisão 
deverá eleger a alternativa que apresentar o MAIOR valor 
presente líquido. 
 
 Esse critério de decisão é coerente com o exposto na 1ª 
Premissa da matemática financeira, a que trata da 
maximização da riqueza. 
 
O conceito de se adotar o método do valor presente líquido 
como medida do incremento de riqueza, pode ser facilmente 
entendido ao se analisar um projeto de investimento qualquer, 
P, que disponha, apenas, de um fluxo de saída de caixa inicial, 
F0, e de uma única entrada de caixa projetada, Fn. Esquema na 
Figura 6.1. 
 
Fn
F0
R$
Período
1 3 nn-1
Valor Futuro
Valor Presente
Figura 6.1 – Valor Presente Líquido.
TMA%
 
 
 Comentando as três situações possíveis de ocorrer: 
 
 
I - Quando VP(P)=0. 
 
 Para que o valor presente líquido de um investimento 
seja zero, há que ocorrer: 
 
0
11
0 

 

k
n
n
n
)TMA(
F
F)P(VP
. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
118 
 
 Nesta condição, o valor presente do retorno esperado é 
equivalente ao valor do capital investido. 
 
 Esta situação configura um caso de indiferença 
financeira, pois, sob a ótica do investidor, a remuneração 
oferecida pelo projeto é equivalente a que vem obtendo 
tradicionalmente para a remuneração de seus ativos. 
 
 Depreendem-se da assertiva acima dois fatos: 
 
 1º) a margem de retorno estabelecida, ou taxa de 
mínima atratividade é mantida sem haver acréscimo de 
riqueza além do habitualmente obtido; 
 
 2º) o projeto foi descontado à maior taxa de 
remuneração que ele possa oferecer, taxa esta 
denominada de TIR e que, neste caso, é igual à TMA. 
Assunto a ser discutido no Capítulo 9. 
 
 Visando um melhor entendimento dos conceitos 
efetuados e uma análise do resultado obtido, a seguir é 
efetuado um exemplo numérico do caso em questão, atribuindo 
valores aos dois fluxos de caixa, F0 e Fn. 
 
 Seja, então, uma empresa ou investidor que dispõe da 
importância de R$ 150,00 e que analisa os seus investimentos 
adotando uma TMA de 18% ao período. 
 
 Ao ser aplicado este capital em um determinado 
investimento produtivo pelo prazo de cinco períodos, é previsto 
um retorno de R$ 343,16. 
 
Descontado este fluxo de caixa de R$343,16 a TMA de 
18%, obtém-se um valor presente de R$ 150,00. 
 
 Somado este valor ao investimento inicial o resultado 
corresponde ao valor presente líquido do investimento 
efetuado, cujo valor é zero. Assim sendo, o investimento não 
propiciou um aumento de riqueza maior do que o 
tradicionalmente obtido pelo aplicador Ver Figura 6.2 – Caso 
da Indiferença de Decisão. 
 
0
181
16343
00150
1 5
0 


),(
,
,
)TMA(
F
F)P(VP
n
n
 
 
 Aparentemente, como se pode constatar, o projeto é 
rentável já que apresenta um retorno bem superior ao 
investimento inicial de R$ 343,16. 
 
Porém, ele não aumenta a riqueza do investidor já que 
remunera o capital investido exatamente na porcentagem que 
o investidor vem obtendo tradicionalmente pela aplicação de 
seus recursos, ou seja, no valor da TMA de 18%. 
 
150
-150
343,16
VP – R$
1 2 3 4 5
Per.
18%
Figura 6.2 - Indiderença de Decisão
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
119 
 
 
O investimento em pauta, sob a ótica do aplicador que 
deseja uma remuneração de 18% sobre o capital investido, 
simplesmente corrige o capital inicial a uma taxa igual a da TMA 
habitualmente praticada. 
 
 Quando o valor presente líquido de uma alternativa de 
investimento for zero, não é o caso de abandonar pura e 
simplesmente a alternativa, pois ela pode ser a única 
oportunidade dentro da margem de risco desejada. 
 
 Finalizando, quando ocorre o caso de VP(P)=0, projeto 
pode não propiciar um incremento de riqueza, mas remunera 
os ativos investidos à taxa habitualmente praticada, a TMA. 
 
 
II - Quando VP(P)>0. 
 
 
Considerando o modelo de calculo do Valor Presente: 

 

k
n
n
n
)TMA(
F
F)p(VP
1
0
1
 
 
 
Para que ocorra VP(P)>0, deve-se ter: 
 

 

k
n
n
n
)TMA(
F
F
1
0
1
. 
 
 Financeiramente, significa que o valor presente do 
retorno previsto, descontado à TMA, é financeiramente superior 
ao valor do capital investido. 
 
Nestas condições, fica caracterizado que o projeto produz um 
incremento de riqueza em proporção superior ao habitualmente 
obtido. 
 
Logo, é uma situação que caracteriza a aceitabilidade do 
projeto sendo o mesmo considerado viável, pois propicia um 
incremento de riqueza em valor superior aquele que vem sendo 
tradicionalmente obtido. Ver Figura 6.3 – Caso da 
Aceitabilidade do Projeto. 
 
172,66
-150
395,00
VP – R$
1 2 3 4 5
Per.
18%
Figura 6.3 – Caso da Aceitabilidade do Projeto
 
 
 Exemplificando numericamente, seja um projeto que 
oferece uma projeção de retorno após cinco períodos no 
montante de R$ 395,00. Quando descontado este valor à taxa 
de 18% ao ano obtêm-se um valor presente de R$172,66. O 
valor presente líquido do projeto é calculado em R$ 22,66. 
 
 Matematicamente, o calculo do valor presente líquido do 
fluxo de caixa é dado por: 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
120 
 
$R,
),(
,
,
)TMA(
F
F)P(VP
n
n 6622
181
00395
00150
1 5
0 


 
 
 Como pode se constatar, o projeto é rentável e aumenta 
a riqueza em valor superior ao da simples correção do capital 
investido tendo como taxa de rentabilidade a TMA. Assim 
sendo, deve ser considerado como viável. 
 
 
III - Quando VP(P)<0. 
 
 Para que ocorra VP(P)<0, deve-se ter: 
 

 

k
n
n
n
)TMA(
F
F
1
0
1
. 
 
 Nesta situação, o valor presente líquido do fluxo de caixa 
projetado descontado à TMA é inferior ao valor do investimento 
inicial. 
 
 Configura-se o caso de rejeição do projeto, pois ele não 
remunera o investimento inicial. Noutros termos, o retorno 
previsto do investimento, do ponto de vista financeiro, é inferior 
ao do investimento inicial. 
 
 Retomando o exemplo anterior e considerando uma 
projeção de retorno, após cinco períodos, no valor de R$ 
320,00, o valor presente deste fluxo de caixa é de R$ 139,87. 
 
Calculado o valor presente líquido do projeto, obtém-se 
um valor de investimento R$ (-) 10,13. Ver Figura 6.4 – Caso 
da rejeição do projeto. 
 
Efetuando o calculo do valor presente líquido do fluxo de caixa: 
 
$R,
),(
,
,
)TMA(
F
F)P(VP
n
n 1310
181
00320
00150
1 5
0 


 
 
 Mesmo sendo previsto um retorno superior ao 
investimento inicial, ocorre uma perda financeira, pois ela não 
remunera o investimento efetuado, quando o retorno for 
descontado à taxa de mínima atratividade, ou seja, 18%. 
 
 
139,87
-150
320,00
VP – R$
1 2 3 4 5
Per.
18%
Figura 6.4 – Caso da Rejeição do Projeto
 
 
 Logo, sendo o valor presente líquido associado ao fluxo 
de caixa projetado de um investimento um valor menor do que 
zero, ou seja, negativo, ele deverá ser considerado inviável. 
 
 Os exemplos acima discutidos consideraram o caso de 
um projeto isolado. Os resultados obtidospodem ser facilmente 
visualizados e entendidos. É interessante notar que, nos três 
casos analisados, o ganho de capital é superior ao 
investimento inicial. Porém, segundo a remuneração desejada 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
121 
 
de 18% ao período pode ser ou não interessante ao aplicador 
realizar este investimento de capital. 
 
Generalizando o caso analisado, quando se analisa 
projetos que apresentem uma seqüência de fluxos de caixa, 
especialmente em projetos não convencionais, torna-se o 
método do valor presente um forte instrumento para amparar a 
tomada decisão. 
 
 Isto porque, os resultados obtidos são de fácil 
interpretação e levam em consideração a dimensão financeira 
do investimento ao invés de, simplesmente, um ganho 
econômico. 
 
 
6.2.3 – Diagrama de valor presente. 
 
 
6.2.3.1 – Traçado do Diagrama. 
 
 O diagrama de valor presente é um forte instrumento 
para amparar a análise de decisão de um projeto conforme 
modelo da Figura 6.5. 
 
Ele exprime, em diagrama cartesiano, a curva do polinômio 
associado ao fluxo de caixa quanto se determina em abscissas 
as taxas de desconto e em ordenadas o valor presente 
associado à cada taxa de desconto. 
 
 O diagrama permite visualizar o comportamento do fluxo 
de caixa, o valor da TIR, fato importante, pois há casos em 
que o fluxo de caixa apresenta mais do que uma TIR. Fato este 
em que a análise do valor presente associado a uma 
determinada TMA deve ser analisada com cuidado. 
 
 Escrevendo a expressão do valor presente liquido sob 
forma polinomial tem-se: 
 
n
n
)i(
F
)i(
F
)i(
F
)i(
F
F)P(VP








1111
0
3
3
2
2
1
1 
 
O diagrama da Figura 6.5 é obtido ao descontar o fluxo 
de caixa a varias taxas “i”. 
 
Com o diagrama traçado pode-se verificar, claramente, o 
comportamento do fluxo de caixa, a taxa de desconto 
equivalente à TIR e o campo de viabilidade do projeto. 
 5 10 15 20 25
Figura 6.5- Modelo de Diagrama
VPL > 0
R$ - Valor Presente
i%
TMA
Este ponto define a 
TIR, a maior taxa de 
remuneração de um 
projeto viável.
 
 
 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
122 
 
 
6.2.3.2 – Exemplo de Procedimento. 
 
Seja determinar o diagrama de valor presente 
representativo de um dado fluxo de caixa, seja o caso de um 
projeto A, definido pelo seu conjunto de fluxos de caixa 
projetados, conforme abaixo. 
 
FC(A) = { -1.200; 450; 400; 350; 300} 
 
A função valor presente líquido deste fluxo de caixa, 
expressa em forma polinomial, é dada por: 
 
432 1
300
1
350
1
400
1
450
1200
)i()i()i()i(
)A(VP








 
 
 Calculando o valor presente para a função VP(A), 
considerando uma série de taxas de desconto pré-
estabelecidas, obtêm-se os valores presentes expressos no 
quadro abaixo: 
 
 
item Taxa de Desconto 
 i(%) 
Valor Presente Líquido 
($) 
1 0 300,00 
2 3 200,78 
3 6 112,02 
4 9 32,31 
5 10,31  TIR 0,00 
6 12 (-) 39,56 
 
 
 O diagrama de valor presente desta função VP(A) é 
efetuado ao se traçar um gráfico elaborado em coordenadas 
cartesianas, em que no eixo das abscissas tem-se o domínio 
das taxas de desconto. E, no das ordenadas, o domínio do 
valor presente em expressão monetária. 
 
 No exemplo, o valor presente do fluxo de caixa 
descontado à taxa i=3% é dado por: 
 
$,
),(),(),(),(
)A(VP 78200
031
300
031
350
031
400
031
450
1200
432

 
 
 Lançando o par i(%)×VP($), dispostos na tabela, em 
diagrama cartesiano, chega-se à curva conforme exposto na 
Figura 6.6. 
TIR
300
200
100
0,00
R$ - Valor Presente
i%
3 6 9 12
Figura 6.6 – Diagrama de Valor Presente
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
123 
 
 
 
6.2.3.3 – Metodologia do VPL. 
 
 A metodologia proposta para a elaboração de um 
diagrama de valor presente é a seguinte: 
 
1º - Calcula-se o valor presente à taxa i=0. 
 
 Este procedimento corresponde a desconsiderar o valor 
da moeda no tempo. Caso este valor seja igual ou menor do 
que zero, a alternativa deve ser descartada, pois não apresenta 
rentabilidade para qualquer taxa de desconto. Ela não 
apresenta ganho financeiro nem econômico; 
 
2º - Arbitra-se uma taxa de desconto e desconta-se fluxo de 
caixa à taxa arbitrada; 
 
3º - Repete-se o processo definido no item 2º tantas vezes 
quanto o for necessário, de modo a resultar em uma curva a 
mais contínua e representativa possível da função 
polinomial desejada. 
 
4º - O processo deve ser interrompido ao ser obtido um valor 
presente menor do que zero. 
 
5º - No ponto em que a curva cortar o eixo das abscissas, fica 
definida a taxa interna de retorno – TIR. 
 
 Esta é a maior taxa de desconto, ou de oportunidade, 
que um projeto pode apresentar enquanto viável. 
 
 
 
6.3 - Análise de Sensibilidade - Risco. 
 
6.3.1 – Conceituação. 
 
 A análise de sensibilidade é uma técnica que possibilita 
verificar o domínio da viabilidade financeira de um projeto e, 
consequentemente, realizar uma análise do risco de sua 
implantação. 
 
Para tanto, deve-se definir a máxima e a mínima 
capacidade ou quantidade de produção dentro da qual um 
projeto possa ser financeiramente viável. 
 
 A técnica recomenda que se efetue o calculo do valor 
presente para cada situação limite, em função da quantidade a 
ser produzida. 
 
 
n)i(
Fn
)i(
F
)i(
F
)i(
F
Fo)p(VP








11
3
1
2
1
1
321

 
 
Fk =Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) – Invest. + Valor Residual 
 
 Partindo do princípio que cada nível de produção possa 
ser definido como uma alternativa, a priori, pode ocorrer três 
situações: 
 
1º. Produção sob capacidade máxima; 
2º. Produção sob a quantidade mais provável; 
3º. Produção realizada sob quantidade mínima viável. 
 
Elaborando, num mesmo diagrama cartesiano, o gráfico de 
valor presente para cada uma das alternativas, pode-se 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
124 
 
estabelecer o campo de domínio financeiro do projeto. Ver 
Figura 6.7. 
 
Assim, como primeira alternativa, considera-se a produção 
sendo realizada sob capacidade máxima. Neste caso, adota-
se como quantidade máxima de produção a capacidade que 
corresponda à capacidade instalada do projeto ou a máxima 
produção possível de ser efetuada com o mesmo. 
 
Como segunda alternativa, ou seja, a quantidade mais 
provável de ocorrer, o recomendável é adotar a quantidade de 
produção média historicamente utilizada pela indústria onde a 
empresa esta inserida. 
 
VP – R$
i%
TIRMIN
Quantidade Mínima
Quantidade Provável
Quantidade Máxima
Corte p/ TMA
Figura 6.7 – Campo de Domínio Financeiro
i1 i6i5i4i3i2 i7
 
 
 
A terceira alternativa, relativa à quantidade mínima de 
produção, deve corresponder àquela capacidade, qMIN, cujo 
valor presente líquido do fluxo de caixa ao ser descontado pela 
TMA seja zero. Matematicamente: VP f(qMIN) = 0. 
 
A particularidade desta última alternativa é que a sua 
TIR corresponde à TMA da empresa. 
 
 Noutras palavras, o valor do fluxo da caixa relativo à 
alternativa que adote a quantidade mínima de produção e que 
viabilize financeiramente o projeto, quando descontado à TMA 
da empresa, é zero. E, nesta situação, tem-se: TIR≡TMA. 
 
 
6.3.2 – Domínio viável de produção. 
 
 O objetivo deste item é mostrar um procedimento 
derivado do método do valor presente líquido que permite 
mostrar o domínio dasquantidades de produção 
financeiramente viáveis, estabelecida uma TMA. 
 
 O primeiro passo do processo é dispor do diagrama de 
valor presente de uma alternativa de investimento 
considerando diversas quantidades a serem produzidas, 
conforme exposta na Fig. 6.7. 
 
Como segundo passo, traçar a curva que contemple o 
domínio das quantidades viáveis de produção, quando 
estabelecida uma TMA. Ver Figura 6.8. 
 
Para tanto, deve-se efetuar um corte no campo de viabilidade 
de um projeto na altura da TMA desejada. E, com os dados 
obtidos traçar um gráfico “quantidade versus valor presente”, 
em coordenadas cartesianas, mostrado na Fig.6.8. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
125 
 
 
 No citado gráfico da Figura 6.8, devem ser lançadas, em 
ordenadas, as quantidades a serem produzidas e em 
abscissas, o valor presente líquido de cada alternativa 
desenvolvida, descontada à TMA previamente estabelecida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Da análise da curva obtida, Figura 6.8, depreende-se: 
 
a) O limite inferior da curva indica o limite de viabilidade 
corresponde à quantidade mínima viável de produção, 
qMIN, caso em que a TMA=TIR. 
 
b) O limite superior corresponde à quantidade máxima de 
produção, qMAX , correspondente à capacidade instalada, 
quantidade esta em que o projeto oferece o maior valor 
presente líquido. 
 
c) Se o projeto operar a uma capacidade de produção 
entre a máxima e a mínima, apresentará um valor 
presente líquido maior do que zero. Logo, este é o 
domínio viável de produção. 
 
 
6.4 – Aplicação. 
 
 Uma empresa está estudando a aquisição de um 
sistema destinado à confecção de perfis moldáveis. 
 
 O equipamento em questão produz perfis com 6,00 
metros de comprimento sendo a capacidade instalada de 
produção prevista para 45 mil metros mensais. 
 
Dados disponíveis: 
 
 Item Valor 
Preço do sistema R$ 2.600.000,00 
Vida útil (anos) 10 
Valor residual R$ 260.000,00 
Comprimento da peça (m) 6 
Custo operacional (anual) R$ 1.100.000,00 
Insumos (unidade) R$ 80,00 
Preço de venda (unidade) R$ 125,00 
Produção média 83,00% 
Capacidade Máxima (unidades) 45.000 
Custo de oportunidade 14,00% ao ano 
 
 A vida média do equipamento em análise é de 10 anos 
e, vencido este período, poderá ser vendida a 10% do seu 
valor de aquisição. 
 
 Como informação orçamentária, estima-se que ocorrerá 
um incremento no custo administrativo e de vendas da 
empresa na ordem de R$ 1,1 milhão por ano. 
 
Fig. 6.8 – Limites de viabilidade para determinada TMA. 
VP f(qK) 
 qMIN qprov qMAX qK 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
126 
 
O custo direto de produção orçado em R$ 80,00 por 
unidade produzida. E, o investimento em ativos imobilizados no 
valor de R$ 2.600.000,00. 
 
 Um levantamento efetuado no segmento de mercado em 
pauta indicou que as empresas vêm operando, em média, com 
83% da capacidade instalada. 
 
Porém, existe campo da expansão dado a inexistência 
de produção similar na região. E, que o preço de 
comercialização do produto é de R$ 125,00 por unidade. 
 
 Informações oriundas da contabilidade da empresa 
indicam que ela vem remunerando os seus ativos à taxa de 
14% a.a. Dado o exposto solicita-se: 
 
a) O fluxo de caixa propiciado pelo projeto; 
b) A quantidade anual de produção, em metros, para que a 
aquisição seja viável; 
c) O maior e o mais provável acréscimo de riqueza 
propiciado pelo projeto; 
d) A elaboração de um diagrama lucro/produção; 
e) A confecção de um diagrama que mostre o campo de 
viabilidade do projeto. 
 
 Considerando que se deseja conhecer a quantidade a 
ser produzida, denominou-se de q, a variável respectiva. 
 
 Assim, o projeto será analisado sob três níveis possíveis 
de produção: produção mínima ou viável; produção máxima; e 
produção mais provável. 
 
a) Fluxo de Caixa do Projeto: 
 
1 10
Valor 
Residual
260.000
Valor do
 Equipamento
2.600.000,00
R$
Preço de Venda = 125 q
Custo Operacional = 1.100.000
Materia Prima = 80 q
Figura 6.9 – Fluxo de Caixa do Sistema de Perfis
ANOS
 
 
b) Produção viável: 
 
A quantidade mínima de produção que permita tornar viável 
o projeto, quando descontado à TMA da empresa, é aquele que 
zera a função valor presente líquido a ele associado. Nesta 
situação, o VP f(qMIN) = 0. 
 
     
 
0
14,01
000.260
%14;10000.100.1%14;1080125000.600.2
10


 FVPFVPqq
q = 35.222 peças 
 
 O comprimento total dos tubos a serem produzidos é 
dado por: 
 
L = 6 × q = 211.332 metros/ano. 
 
 
c) Máximo acréscimo de riqueza: 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
127 
 
 
A máxima produção de riqueza ocorre sendo possível 
produzir uma quantidade igual à capacidade instalada, durante 
todo o tempo de vida do projeto. A expressão abaixo exprime, 
algebricamente, o exposto no desenho da Fig.6.9. 
 
   
 
 101401
000260
14100001001
141000045801250006002
,
.
%;FVP..
%;FVP...VPMAX



 
 
VPMAX = 2.295.040,36 R$ 
 
 
d) Mais provável acréscimo de riqueza: 
 
Esta situação ocorre em sendo possível produzir uma 
quantidade equivalente à capacidade esperada de produção 
durante o tempo de vida do projeto. Ou seja, 83% da 
capacidade instalada. 
 
Quantidade Esperada = 45.000 × 0,83 = 37.350. 
 
   
 
 101401
000260
14100001001
141083000045801250006002
,
.
%;FVP..
%;FVP,...VPMP



 
 
VPMP = 499.392,55 R$ 
 
 
e) Campo de Viabilidade do Projeto. 
 
O diagrama de valor presente a seguir, Fig.6.10, 
mostra campo de viabilidade do projeto, com o 
desenvolvimento de cada alternativa de produção: em 
capacidade mínima de produção, quando a maior taxa de 
retorno corresponde à TMA; a capacidade mais provável; e a 
capacidade máxima, quando ocorre a utilização da capacidade 
instalada durante toda a vida do projeto. 
 
Considerando as curvas de máxima e mínima 
quantidade de produção mostradas na Fig.6.10 e, traçando 
uma reta perpendicular à taxa de 14%, se obtêm o campo de 
variação dos valores presentes das possíveis quantidades 
viáveis de produção. 
 
 
 
 
 
f) Diagrama Lucro Produção 
-1.000.000
 -
 1.000.000
 2.000.000
 3.000.000
 4.000.000
 5.000.000
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%
Valor 
Presente 
Líquido
Taxas de Desconto - %
Figura 6.10 - Campo de Viabilidade do Projeto
Série1 Série2 Série3
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
128 
 
 
Dados de Produção 
Produção – em peças Lucro VPL – R$ 
35.222 0,00 
37.350 499.392,55 
45.000 2.295.040,36 
 
 
 O diagrama da Figura 6.11, derivado do diagrama da 
Figura 6.10, relaciona as quantidades de produção viáveis e 
os respectivos valores presentes líquidos considerando uma 
mesma TMA. 
 
 
 
Ele exprime todo o conjunto de quantidades variando de 
um limite qMIN= 35.222,44 unidades e um limite superior qMAX = 
45.000 unidades se mostram viáveis considerando a TMA de 
14,00% ao ano. 
 
 Implantado o projeto e as quantidades produzidas e 
vendidas oscilando entre o valor mínimo e máximo citados, a 
empresa tem garantida a ocorrência de um positivo incremento 
de riqueza. 
 
 
6.5 - Equalização de tempos de projetos. 
 
 Como já comentado, para se comparar alternativas de 
investimentos com vidas úteis distintas, há que se adotar 
artifício que iguale os horizontes de projeto de todas as 
alternativas. 
 
 O objetivo do artifício é suprir a lacuna de informações 
existentes quanto a possíveis fluxosde caixa entre os finais 
das alternativas, de modo lógico. Ver Figura 6.12. 
 
 Ao serem analisados investimentos mutuamente 
exclusivos, três situações podem ocorrer, sendo distintas as 
premissas propostas para igualar os tempos de projeto: 
 
 Caso de reinvestimento em ativos semelhantes; 
 Caso de rigidez das alternativas; 
 Caso de outras oportunidades futuras. 
 
 
6.5.1 – Reinvestimento em ativos semelhantes. 
 
Neste caso ocorre o pressuposto da continuidade de 
vida ou produção do ativo em análise. Isto é, findo o período de 
vida do ativo, a firma reinvestira em outro ativo com 
características semelhantes à do ativo desmobilizado. 
 
 0,00 
 500. 
 1.000 
 1.500 
 2.000 
 2.500. 
35.222,44 
Figura 6.11 - Quantidade de Produção x Valor Presente 
37.350,00 45.000 
V
a
lo
r 
P
re
s
e
n
te
-R
$
1
0
³ 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
129 
 
 0 1 2 3 n
 0 1 2 3 z-1 z
FA1 FA2 FA3 FAn
FA0
FB1 FB2 FB3 FBz-1 FBZ
FB0
Fig. 6.12 – Alternativas com vidas úteis distintas.
Projeto A
Projeto B
 
 
O horizonte de planejamento será, então, o mínimo 
múltiplo comum das vidas das alternativas em comparação. 
 
A metodologia a ser utilizada no caso de reinvestimento 
em ativos semelhantes será discutida no Capítulo 8 – Valor 
Uniforme Equivalente, que mostra um método de fácil aplicação 
quando as equalizações dos horizontes dos projetos se 
mostram muito grandes, ou seja, muitos distantes da data 
atual. 
 
 
6.5.2 – Caso de Rigidez das Alternativas. 
 
 É considerado haver rigidez na continuidade de 
alternativas de investimentos quando não há previsão de 
manutenção na continuidade de um projeto ou na 
impossibilidade de manutenção em operação do ativo em 
análise, pois não há sentido ou possibilidade técnica em 
continuar a exploração do ativo. 
 
 Os exemplos clássicos desta situação são os 
investimentos em minas ou em poços de petróleo, quando 
esgotada a jazida os respectivos equipamentos de exploração 
ficam impossibilitados de serem removidos ou reaproveitados. 
 
 Como o princípio a ser mantido é o de aumento de 
riqueza do proprietário, a equalização dos tempos de vida das 
alternativas em análise é feita considerando que, ao fim da vida 
útil de cada ativo, a firma reinvestirá os lucros oriundos do 
projeto que apresentar a menor duração. Estes lucros serão 
aplicados em ativos que rendam tanto quanto o valor da moeda 
no tempo até alcançar o período do projeto de maior duração. 
 
O diagrama exposto na Fig. 6.13, mostra um modelo de 
diagrama de fluxo de caixa recomendado para o caso em 
análise. 
 
Nesta situação, VF equivale à reaplicação dos lucros 
obtidos com o projeto, equivalente ao Valor Futuro dos lucros 
do projeto de menor duração no momento “n”, momento em 
que ocorre o fim de utilização deste projeto. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
130 
 
E, Pt, o valor do fluxo de caixa atribuído ao projeto de 
menor duração no momento “t”, momento este coincidente com 
o término do projeto de maior duração. 
 
Então: 
 
 VF = Pj (1+i )j , variando j de 1 até “n” e sendo “i” a taxa de 
retorno adotada para o projeto. E, 
 
Pt = (1+ i) (t-n) 
 
 
período
período
Período a 
considerar
 n-3 n-2 n-1 n t-1 t
 n-3 n-2 n-1 n t
F(n-3) F(n-2) F(n-1) F(n) F(t-1) F(t)
VF
PT
F(n-3) F(n-2) F(n-1) F(n) 
Fig. 6.13 – Rigidez de Alternativas
 
 
 
Nestes casos duração de projetos com prazos 
rigidamente determinados, o processo de decisão deve ser 
efetuado através do método do valor presente, utilizando o 
artifício proposto. 
 
 
 Alerta-se que, neste caso, não cabe a utilização do 
método do Benefício Anual Equivalente, pois o mesmo 
pressupõe a repetição dos projetos, fato que é obstado pela 
própria caracterização dos projetos em pauta. 
 
 
6.5.3 – Caso de Outras Oportunidades. 
 
 Neste caso, finda a vida do ativo ou o interesse em sua 
exploração, a firma tem interesse de considerar outras 
oportunidades de investimento disponíveis no futuro, tais como 
a mudança de sistema de produção, o lançamento de novos 
produtos ou mesmo a mudança de ramo. 
 
 Ao analista de investimentos, nestes casos, recomenda-
se criatividade e lógica ao utilizar a metodologia disponível. 
 
Esta recomendação visa alertar quanto à possibilidade 
do processo de decisão transcender a área da Análise de 
Investimentos e haver necessidade ou possibilidade, para 
maior sofisticação e confiabilidade do processo decisório, do 
uso de algum processo de otimização. 
 
 Assim sendo, recomendamos consultar a bibliografia 
que trata especificamente do assunto, pois foge ao escopo 
deste curso. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
131 
 
 
6.6 – Exercício Resolvido. 
 
 
Elaborar o diagrama de valor presente do projeto abaixo, 
referente à análise de viabilidade de aproveitamento de uma 
jazida mineral visando à produção de pedra britada. 
 
 As informações do projeto constam da tabela abaixo. 
 
 
Capital: Próprio mais investidores 
Produção mensal: 30 mil m³ 
Vida Útil do Projeto: 20 anos 
Preço de Venda: 32,00 R$/m³ 
Custo de Produção: 8,50 R$/m³ 
Preço terreno: 3 milhões de reais 
Investimento Equipamentos: 7,50 milhões de reais 
Projetos, autorizações, estudos 
ambientais: 
550 mil reais 
Opção tributária: Lucro Presumido 
Tributos  Lucro Presumido 27 % 
Financiamento Finame – BNDES. 
- Prazo financiamento 
- Carência 
- Taxa de juros 
- 
72 meses 
1 ano 
3,50 % ao ano 
 
 
 
 
 
 
 
Invest.
Inicial
5 1510
R$
Ano
Faturamento
Tributos
Custos Operacionais
Financiamento
1 20
 
 
 
3.550
5 1510
R$
Ano
11.520
3.110,40
3.060,00
1.719,20
1 20
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
132 
 
 
 
 
Considerando que a TIR ultrapassa a taxa de 70% ao ano, 
fica verificado ser um projeto extremamente viável. 
 
 
6.7 – Exercícios Propostos 
 
6.7.1 - Considerando as seguintes propostas de investimentos: 
 
Qual a mais interessante para ser implantada? 
 
 Adotar uma taxa de Descontos de 7% ao período. 
 
 0 1 2 3 4 período
R$
R$ 250,00
500,00
1.000,00
R$
330,00
 0 1 2 3 4 período
R$ 380,00
1200,00
Proposta A
Proposta B
 
6.7.2 - José da Silva pensa alugar uma loja por R$ 24.000,00 
mensais. Porém, fazendo alguns melhoramentos no prédio 
poderá alugar por R$ 31.000,00. Um orçamento de reforma 
apresentou um valor de R$ 600 mil. Sendo sua taxa de 
atratividade mínima de 1,2% a.m., pergunta-se: seria 
financeiramente interessante a execução dos melhoramentos? 
 
 
6.7.3 - Você atua profissionalmente numa firma de assessoria 
e consultoria técnico-financeira e lhe coube analisar a 
aquisição de um mesmo equipamento para dois clientes 
distintos. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA133 
 
 
 O equipamento em questão, novo, custa 250 mil reais e 
tem condições de oferecer receitas líquidas mensais na ordem 
de R$ 5,10 mil. 
 
 Dada à evolução contínua da tecnologia, há previsão de 
utilizá-lo por cinco anos. 
 
 É procedimento de empresas que atuam no ramo, 
substituir o equipamento antigo e o utilizar como entrada para a 
aquisição de outro mais moderno, de modo a manter o 
processo financeiramente viável. Sabe-se que equipamentos 
com cinco anos de uso custam o equivalente a 15% de um 
novo. 
 
 Analise e comente o resultado do processo de aquisição 
para os seguintes casos: 
- Cliente A, cujo custo de capital é de 7% ao ano; 
- Cliente B, cujo custo de capital é de 16% ao ano. (obs.: 
Calcule em período anual). 
 
6.7.4 - Explique porque é desnecessário levar em consideração 
o efeito inflacionário na análise do valor presente de um ativo 
produtivo, conhecida a projeção dos fluxos de caixa futuros, do 
horizonte de projeto e do custo de oportunidade. 
 
6.7.5 - Uma empresa tomou emprestada uma importância no 
montante de R$ 30.000,00 por 60 dias, à taxa de 12% ao mês. 
 
Ao receber o montante deste primeiro período aplicou 30% à 
taxa de 13,5% ao mês por 45 dias. O restante aplicou à taxa de 
14% a.m., também por 45 dias. 
 
 Deseja-se saber: 
 Qual o fluxo de caixa (montar) desta operação? 
 Qual o montante total destas duas últimas aplicações ao 
final deste 2o período? 
 
6.7.6 - Você é o diretor de uma construtora que atua a nível 
regional e esta analisando a realocação do escritório central da 
empresa, pois os custos operacionais estão crescendo muito, 
dado o incremento de sua carteira de serviços. 
 
 Para tanto, foram desenvolvidas alternativas situadas 
em quatro cidades distintas, cujos custos envolvem o preço de 
terrenos, os custos de operação nas novas condições e a 
construção de instalações de apoio e oficinas necessárias. 
 
Cidade 
Investimento 
R$ 
Redução Anual 
 de Custos 
Valor Residual 
R$ 
A 18,00 3,60 14,00 
B 34,00 4,70 27,00 
C 48,00 8,20 41,00 
D 64,00 9,30 70,00 
Valores em R$ 105 mil 
Atenção: considerar a redução anual de custos como uma entrada 
de caixa da empresa. Justifica-se este procedimento, pois com a 
mudança, esses recursos permanecerão no caixa. 
 
 Além disso, foi previsto um horizonte de 10 anos de 
utilização para as alternativas e os valores residuais dos 
investimentos realizados estão apresentados na tabela abaixo. 
 
 Sendo a TMA praticada pela empresa estabelecida em 
15% ao ano, definir qual das alternativas é, financeiramente, a 
melhor. 
 
 Solicita-se efetuar o processo de decisão utilizando o 
método do Valor Presente. E, traçar em um único gráfico, o 
diagrama de valor presente de cada alternativa. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
134 
 
 
6.7.7 - O executivo chefe de uma empresa distribuidora de 
concreto usinado esta analisando a modernização de uma das 
suas unidades. 
 
 Essa unidade vem apresentando uma queda de 
produtividade. Devido à idade dos equipamentos, apresentam 
paralisações constantes e uma crescente evolução dos custos 
com manutenção. 
 
 Para tanto, dois novos processos de fabricação foram 
considerados e que propiciam níveis de faturamento 
semelhantes. 
 
 Sendo a taxa de oportunidade praticada pela empresa 
de 15% ao ano, deseja saber qual das alternativas é a melhor, 
considerando: 
 Aquisição por compra a vista do equipamento; 
 Aquisição por financiamento com juros de 8% ao ano 
e prazo de cinco anos. Adotar o método da prestação 
constante. 
 Investimento 
Processo Alfa 
R$ 
Processo Beta 
R$ 
Equipamentos 50.000,00 30.000,00 
Custo Operacional Anual 13.900,00 18.300,00 
Custo de Manutenção Anual 2.100,00 1.800,00 
Valor Residual do Projeto 25.000,00 16.000,00 
Vida Estimada em anos 10 10 
 
 
6.7.8 - Dado o fluxo de caixa representativo de um projeto, 
solicita-se: 
 
 Demonstrar que, se praticada a taxa de desconto de 12% o 
projeto pode ser viável; 
 Verificar se praticada a taxa de desconto 14,6439%, o 
projeto pode ser aprovado; 
 
Fluxo de caixa Valor R$ Situação 
Fo - 255,00 Investimento inicial 
F1 - 95,00 Investimento no 1º período 
F2 80,00 Fluxo de caixa líquido 
F3 100,00 idem 
F4 120,00 idem 
F5 140,00 idem 
F6 160,00 idem 
 
6.7.9 - Deseja-se saber qual o mínimo valor residual de um 
equipamento usado, para que possa ser dado como entrada na 
aquisição de um similar, porém novo e que, financeiramente, o 
processo comercial seja viável. Para tanto, dispõem-se das 
seguintes informações: 
 
 Custo de capital da empresa: 15% ao ano; 
 Vida útil do equipamento: 5 anos; 
 Receitas anuais líquidas: 7,00 mil reais; 
 Preço do equipamento novo: 30,00 mil reais. 
 
 
6.7.10 - Você como diretor técnico de uma empresa de 
engenharia deve decidir entre dois diâmetros de uma adutora 
necessária à implantação de uma pública; 
 
 Com base nos dados apresentados no quadro a seguir, 
solicita-se: 
 
- O monte o fluxo de caixa dos empreendimentos; 
- O calculo do Valor Presente (VP) de cada alternativa; 
- Decidir qual a alternativa a ser selecionada. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
135 
 
 
DISCRIMINAÇÃO 
ADUTORA 
 = 1,00 m. 
ADUTORA 
 = 1,20 m. 
Custo Inicial (CI) R$3.000.000,00 R$5.000.000,00 
Custo manutenção 
anual (de 0 a 5 anos) 
7% 
do Custo Inicial 
1% 
do Custo Inicial 
Custo de 
manutenção anual 
 (de 5 a 15 anos) 
10% 
do Custo Inicial 
2% 
do Custo Inicial 
Custo de revisão e 
manutenção 
periódica 
10% 
do Custo Inicial 
no ano 5 
2% 
do Custo Inicial 
nos anos 5, 10 e 15 
Receita 
 (de 0 a 5 anos) 
25% 
do Custo Inicial 
16% 
do Custo Inicial 
Receita 
 (de 5 a 15 anos) 
25% 
do Custo Inicial 
18% 
do Custo Inicial 
Período de cálculo 
(anos) 
10 15 
Taxa de Mínima 
Atratividade (TMA) 
12,0% 12,0% 
 
6.7.11 - O diretor da MiksCorp, empresa atuante na indústria 
da telecomunicações e informática, após pesquisa de 
mercado, concluiu haver demanda para absorver o lançamento 
de um novo produto denominado TI-struvspro, equipamento 
com capacidade de atender a convergência digital dos diversos 
tipos de mídia, telefonia, GPS, tratamento de dados, etc. 
 
 Dado o comportamento desse mercado, previu que um 
produto com as características do TI-struvspro teria uma vida 
comercial de sete anos. 
 
 Como a empresa estava com os seus recursos 
empenhados noutros investimentos e não teria capacidade 
financeira para investir neste novo produto, conseguiu suporte 
de um banco de investimentos. 
 
 Assim sendo, verifique: 1º - a viabilidade do projeto dada 
as condições abaixo; 2º - o menor faturamento mensal 
possível, de modo a tornar o projeto viável. 
 
 Condições: 
 
 A Mikscorp pratica um custo de capital de 15% ao ano; 
 Equipamentos do gênero podem ser vendidos, no final da 
vida útil, a 18% do valor de um novo; 
 O diretor prevê receitas mensais na ordem de R$ 36 mil e 
despesas operacionais de R$ 25 mil por mês; 
 A aquisição dos equipamentos de produção requer 
investimentos iniciais no montante de R$ 1.200 mil; 
 A empresa dispõe de instalações físicas para instalação dos 
equipamentos; 
 O BDE, banco de investimentos, propôs as seguintes 
condições de financiamento: aporte do capital necessário à 
produção no fechamento do contrato a ser realizado na data 
de fechamento do contrato; prestações anuais, constantes e 
consecutivas, pagas anualmente a juros de 8% ao ano; 
prazo de pagamento de seis anos sendo dois de carência. 
 
6.7.12 - Numa análise realizada em determinada empresa, 
foram detectados custos operacionaisexcessivamente 
elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização 
de equipamentos velhos e obsoletos. 
 
 Os engenheiros responsáveis pelo problema 
propuseram à gerência duas soluções alternativas. 
 
 A primeira consistindo numa reforma geral da linha, 
exigindo investimentos estimados em $ 10.000, cujo resultado 
será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
136 
 
anos, após os quais os equipamentos seriam sucatados, isto é, 
sem nenhum valor residual. 
 
 A segunda proposição foi a aquisição de uma nova linha 
de produção no valor de $ 35.000 para substituir os 
equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi 
estimado a $ 5.000. Esta alternativa deverá proporcionar 
ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor 
residual de $ 10.705 após dez anos. 
 
 Sabendo-se que a empresa pratica uma TMA de 15% ao 
ano, qual das alternativas deve ser preferida pela gerência? 
(Contribuição Dr. Engº Oscar Ciro Lopes). 
 
m) Uma empresa mineradora recebeu duas propostas visando 
à aquisição de dois equipamentos de escavação necessários à 
exploração uma jazida mineral até a levar a exaustão. 
 
Previsão dos Fluxos de Caixa 
Equipamento Opção A Opção B 
Investimento Inicial - 4.000,00 -6.000,00 
Ano 1 860,00 2.100,00 
Ano 2 900,00 2.300,00 
Ano 3 950,00 2.500,00 
Ano 4 1.000,00 2.590,00 
Ano 5 1.100,00 - 
Ano 6 1.200,00 - 
Valores em R$ 10³ 
 
 Sabe-se que: 
 
- A previsão dos fluxos de caixa líquido, anuais, de cada 
alternativa esta relacionada no quadro de previsão; 
- O custo de oportunidade determinado corresponde a 1, 
1714917 % ao mês; 
- Vencida a vida útil dos equipamentos, eles serão repostos. 
 
 Pede-se: 
- Qual sua recomendação quanto ao melhor projeto sendo os 
fluxos de caixa definidos em períodos anuais; 
- Uma decisão quanto ao melhor projeto, definindo os fluxos 
de caixa em períodos mensais; 
 
 
6.7.13 - Analise a viabilidade de investir em escritórios 
comerciais tendo por objetivo a cobrança de alugueis. 
 
 Após levantamentos efetuados no mercado imobiliário 
dispõem-se das seguintes informações: 
 
- As empresas construtoras praticam um preço de vendas na 
ordem de 2,2 CUB/m². 
- Foram coletadas informações de três conceituadas empresas 
que atuam no mercado de construção e vendas de imóveis, 
expostas no quadro abaixo. 
 
Empresa Padrão 
Área Sala 
m² 
Custo 
CUB/m² 
Aluguel mensal 
R$ 
PrimeTop Alto 65,00 959,61 490,00 
Nortecon Médio 48,90 679,82 350,00 
Belafonte Baixo 36,95 604,88 270,00 
 
- Como informação adicional, a taxa básica de juros 
estabelecida pelo BCB esta, na data da pesquisa, definida em 
14,25% e há o entendimento no mercado que é adequada a 
remuneração de 12% ao ano para imóveis alugados. 
 
6.7.14 - Um investidor estudou detidamente várias companhias 
e suas ações ordinárias. Por sua análise concluiu que as ações 
de seis firmas são as melhores entre as muitas que examinou. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
137 
 
 
 Essas seis firmas representam praticamente o mesmo 
risco, e assim, ele deseja determinar a firma em que aplicará 
seu dinheiro. Ele planeja conservar as ações durante quatro 
anos, e exige uma taxa mínima de atratividade de 10% a.a. 
Que ações o investidor deve preferir (usar como método de 
decisão o VPL)? (Contribuição Engº Oscar Ciro Lopes, Dr). 
 
Ações 
ordinárias 
Preço por 
Ações 
(em Reais) 
Dividendo 
anual 
por ação 
(em Reais) 
Preço estimado 
ao final dos 4 
anos 
(em Reais) 
Petrocisa 23,75 1,25 32 
Bragantin 45,00 4,50 45 
Cauai 30,53 0,00 42 
Enervale 33,48 2,00 40 
Rechtam 52,55 3,00 60 
 
 
6.7.15 - Uma firma está estudando três alternativas 
mutuamente exclusivas como parte de um programa de 
melhoramentos na produção. Para tanto sabe-se que: 
 
O valor residual, ao final da vida útil, é zero em qualquer 
uma das alternativas. Ao final da vida útil, cada alternativa 
poderá ser reposta por outra que apresenta custos e benefícios 
idênticos. 
 
 Sendo a taxa de mínima atratividade definida em 14% 
ao ano, qual será a alternativa que Você recomendará? 
(Contribuição Dr. Oscar C. Lopes). 
 
Projeto A B C 
Custo instalado - $ 10.000 15.000 20.000 
Benefício anual uniforme - $ 1.625 1.650 1.946 
Vida útil - em anos 10 15 20 
 
 
6.7.16 - Um cliente solicitou sua ajuda para assessorá-lo na 
aquisição de um imóvel. 
 
 Para tanto, lhe informou que, para adquirir a residência 
que hoje possui, foi necessário contrair uma dívida. 
 
 Ele disse que, ao longo de um ano, com o objetivo de 
dar entrada na compra do imóvel, fizera três depósitos 
trimestrais numa conta de poupança de um banco que 
remunerava os seus depósitos a uma taxa nominal de 12 % ao 
ano com capitalização trimestral. 
 
 Depósitos realizados nas seguintes datas: 
 
Data dos depósitos Valor (em R$) 
01/set/2000 6.500 
01/dez/2000 9.500 
01/mar/2001 14.000 
 
 Dado a poupança realizada deram entrada, no dia 
01/jun/2001, na compra da residência. 
 
 Disse, também, que o montante final dos depósitos 
correspondeu a 40% do valor da casa tendo sido necessário, 
portanto, financiar o restante. 
 
 A dívida foi contraída nas seguintes condições: 
 
- Pagamento em 10 prestações mensais iguais. 
- Taxa de juros de 14% ao ano, capitalizados semestralmente. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
138 
 
Após o pagamento da terceira prestação, em 
01/set/2001, Roberto após consulta ao banco, está pensando 
renegociar o saldo devedor nos seguintes termos: 
- O saldo devedor pago em 20 Prestações mensais iguais. 
- Taxa de juros de 16 % ao ano, capitalizados trimestralmente. 
 
 Seu amigo, sabendo que você está no último ano de 
engenharia e conhecendo a sua grande habilidade para 
equacionar este tipo de problemas (montar o fluxo de caixa), 
fez as seguintes perguntas: 
 
 Qual a taxa efetiva anual que o banco pagou para os seus 
depósitos e quais as taxas efetivamente cobradas no 
financiamento? 
 Qual o valor da dívida contraída, ou seja, o valor 
financiado? 
 Qual o valor do saldo devedor renegociado? 
 Qual o valor das prestações da dívida original e da dívida 
renegociada? 
 
6.7.17 - O gerente de uma empresa produtora de tecidos de 
decoração e papeis de parede, a WPP Ltda., está negociando 
com um banco um empréstimo cujo objeto é o desenvolvimento 
de um novo produto. 
 
 Ele previu que, a época do lançamento do novo produto 
a empresa poderá incorrer em custos com pesquisa e 
desenvolvimento equivalentes a US $280.000,00 e supõe que 
este deverá ser o valor a ser contratado. 
 
 O banco propôs um financiamento a ser amortizado em 
parcelas semestrais ao longo de cinco anos, adotando o 
Sistema de Amortização Constante e pactuada uma taxa de 
juro de 25% ao ano. 
 
 É entendimento da WPP Ltda. que o desenvolvimento 
do novo produto abre a perspectiva de ocorrer maiores ganhos 
futuros, em comparação com os produtos similares dos seus 
concorrentes. 
 
 Entende, também, que os benefícios oriundos do 
lançamento do produto se farão sentir durante quarenta meses 
e que o produto, poderá ter uma renda superior em 
$30.000/mês em comparação com os dos concorrentes, 
durante os dez primeiros meses após o lançamento. 
 
 Durante os dez meses subsequentes, a WPP Ltda. 
prevê uma renda mensal superior em $60.000,00. E, durante 
os vinte meses restantes, espera que o novo produto tenha 
conquistado uma parcela de mercado que apresente uma 
renda de $120.000 acima dos concorrentes. 
 
 Admitindo que as estimativas da WPP Ltda. estejam 
corretas, informe: 
 Caso seja contratado o empréstimo, qual ovalor da primeira 
prestação? 
 Qual o valor da sexta prestação e qual o saldo devedor 
imediatamente após o pagamento desta sexta prestação? 
 Qual será a taxa interna de retorno prevista para o projeto? 
 
6.7.18 - Elabore o estudo de viabilidade para o seguinte 
projeto: 
Sendo VOCE diretor técnico de uma empresa de 
construção civil, o Diretor Presidente de sua empresa lhe 
comunicou ser interessante analisar a implantação de uma 
nova fabrica para a produção de peças protendidas para 
estruturas de pontes. Para tanto, deseja saber qual a 
quantidade mensal mínima de produção para que o 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
139 
 
empreendimento seja considerado viável. Além disso, lhe 
informou que o BNDES esta financiando equipamentos de 
forma vantajosa. 
Sua assessoria lhe forneceu as seguintes informações: 
 
1) Ativos Imobilizados 
1) Investimento R$ Condições 
1.1 - Terrenos 100.000,00 
1.2 - Edificações 120.000,00 
1.3 - Estoques 75.800,00 
1.4 - Equipamentos 240.000,00 Juros de 8% ao ano. 
Financiamento em seis anos com 
dois de carência. Prestações 
constantes. 
 
 
2) Custos Operacionais R$ 
2.1 – Matérias Primas 3.500,00/ unidade 
2.2 – Mão de Obra Direta 10.500,00/ mês 
2.3 – Vendas – Adm. Central – Custos Indiretos 23.000,00/ mês 
2.4 – Eletricidade 3.950,00/ mês 
2.5 - Embalagens 90,00/ unidade 
 
 
3) Informações Gerenciais Dados 
3.1 – Taxa Mínima de Atratividade 1,1714917 % am 
3.2 – Tempo de vida do produto 10 anos 
3.3 – Preço de venda mínimo/médio 6.380,00 R$/unidade 
3.4 – Impostos sobre a Renda 15,00 % 
3.5 – Depreciação da Edificação 20 anos 
3.6 – Depreciação dos Equipamentos 5 anos 
3.7 – Impostos incidentes sobre o faturamento 10,50 % 
 
 
 
 
 
4) Informações Estratégicas & Comerciais 
4.1 – É pensamento estratégico do grupo vender as instalações após a vida 
do produto e não reinvestir em reformas ou up-grades industriais. 
4.2 – Terrenos situados na área industrial, onde esta localizado o próprio da 
empresa, vem sofrendo uma valorização real de 5% ao ano. 
4.3 – A perda de valor de edificações industriais do gênero da projetada 
para ser implantada acusa um valor de 70% em dez anos. 
4.4 – Propostas das empresas fornecedoras de equipamentos daqueles em 
estudo informam que seu valor comercial decresce a taxa de 7,5% ao ano. 
4.5 – Evolução do mercado: A previsão é que esse mercado cresça à taxa 
de 30% ao ano. 
 
 
6.7.19 - Analise a viabilidade do aproveitamento da jazida de 
granito visando a instalação de um britador. Solicita-se: 
efetuar o Diagrama de Fluxo de Caixa do projeto; o 
Diagrama de Valor Presente; Comentar quanto a viabilidade 
do mesmo. . 
 
Informações do Projeto: 
 Capital: Próprio e investidores 
 Produção mensal : 30 mil m³ 
 Vida Útil do Projeto: 20 anos 
 Preço de Venda: 32,00 R$/m³ 
 Custo de Produção: 8,50 R$/m³ 
 Preço terreno: 3 milhões de reais 
 Investimento Equipamentos: 7,50 milhões de reais 
 Projetos, autorizações, estudos 
ambientais: 
550 mil reais 
 Opção tributária: Lucro Presumido 
 Carga Tributária: 27 % 
 Financiamento Finame – BNDES. 
- Prazo financiamento 
- Carência 
- Taxa de juros 
 
72 meses 
1 ano 
3,50 % ao ano 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
140 
 
 
 
7. Método da Recuperação de 
Capital 
 
 
7.1 - Introdução. 
 
O método do Período de Recuperação de Capital, MRC, 
é utilizado quando se deseja decidir a hierarquização de 
alternativas usando como parâmetro de decisão o menor tempo 
de retorno do capital investido. O método também é conhecido 
como Método de Recuperação da Capacidade de Investimento 
ou sob a terminologia inglesa, pay-back. 
 
 A intenção em adotar este método como parâmetro de 
decisão é eleger a alternativa de investimento que propicie o 
retorno do capital investido no menor prazo possível, a fim de 
dispô-lo para aplicação em futuras oportunidades de 
investimento. 
 
A metodologia adotada consiste em verificar o tempo de 
retorno do capital inicialmente investido em cada alternativa 
disponível, a partir da soma acumulada dos fluxos de caixa. 
 
O tempo de retorno indicara o grau de imobilização de 
um capital, sendo que a alternativa a ser eleita será aquela que 
apresentar o menor tempo de retorno. Noutras palavras, o 
menor grau de imobilização do capital. 
 
Justifica a adoção do método o entendimento dos 
investidores que, quanto maior for o tempo de retorno do 
capital investido, maior será o grau de maturação do 
empreendimento e, em consequência, aumentará o risco 
associado ao projeto. 
 
 Isto porque, crescerá a incerteza associada à realização 
esperada dos fluxos de caixa futuros, exigindo um adequado 
nível de controle visando a efetiva realização do planejamento 
inicial. 
 
Ao ser efetuada uma análise de hierarquização de 
alternativas através do MRC, deve estar implícito que os fluxos 
de caixa estejam referenciados a uma moeda de poder 
aquisitivo constante. Sem esse cuidado, o resultado obtido 
poderá ser de parca utilidade. 
 
O MRC pode, também, servir como critério de 
desempate quando se efetua a hierarquização de alternativas e 
se utiliza o Método do Valor Presente Líquido. E, é de fácil 
entendimento que, em duas alternativas apresentando o 
mesmo Valor Presente Líquido, aquela que propiciar um 
retorno mais rápido do capital investido deverá ser a escolhida. 
 
Deste modo, além de propiciar o mesmo retorno, o 
capital inicialmente imobilizado estará disponível para outras 
aplicações futuras. Esta situação confere ao MRC a 
atratividade de ser utilizado como critério de hierarquização e 
desempate entre alternativas, subsidiariamente ao método do 
valor presente líquido. 
 
7.2 - Metodologia. 
 
 Pelo exposto, as alternativas de investimento deverão 
ser hierarquizadas iniciando por aquela que apresentar o 
menor tempo de recuperação do capital investido. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
141 
 
 A metodologia proposta será exposta ao se analisar o 
exemplo de dois projetos representados pelos valores 
presentes de seus fluxos de caixa segundo o quadro a seguir, 
visando à facilidade de entendimento do leitor. 
 
 Alerta-se que alguns autores efetuam o somatório dos 
fluxos de caixa desconsiderando o valor da moeda no tempo. 
 
 Este autor, porém, entende que deva ser considerado o 
valor da moeda no tempo pois, em assim sendo, reduz-se a 
influência dos fluxos de caixa futuros que possam apresentar 
valores sensivelmente superiores aos iniciais e, também, maior 
risco em sua realização. 
 
 No exercício da Tab.7.1, nas colunas discriminadas 
como Valor Presente dos Fluxos de Caixa, o valor aposto já 
expressa o valor presente de cada fluxo de caixa relativo ao 
período especificado, ambos descontados à mesma TMA. 
 
 As colunas denominadas “Fluxo Acumulado”, indicam o 
somatório acumulado dos dados indicados nas colunas “Valor 
Presente – Fluxo de Caixa”. 
 
No caso em pauta, para ambos os projetos ocorre a 
previsão dos dois projetos propiciarem idêntico incremento de 
riqueza, pois o VPL monta a R$ 250,00. 
 
 Adotando como critério de decisão o MRC, o projeto a 
ser escolhido deverá ser o “A”, dado apresentar um retorno do 
capital inicialmente investido durante o 7º período, em 
comparação com o projeto “B” cujo retorno acontecerá no 10º 
período. 
 
Assim sendo, realizado o Projeto - A, o investidor 
disporá do capital investido três períodos antes do que se 
adotar o Projeto – B, fato que reduz a incerteza sobre a 
realização dos fluxos de caixa em períodos futuros. 
 
 O ultimo fluxo acumulado indica o valor presente líquido 
dosdois projetos que monta a $250,00, e apresentam o 
mesmo valor. 
 
P
e
rí
o
d
o
 Projeto A Projeto B 
Valor 
Presente 
Fluxo de 
Caixa 
Fluxo de 
Caixa 
Acumulado 
$ 
Valor 
Presente 
Fluxo de 
Caixa 
Fluxo de 
Caixa 
Acumulado 
$ 
0 -180,00 -180,00 -180,00 -180,00 
1 -100,00 -280,00 -100,00 -280,00 
2 -40,00 -320,00 -40,00 -320,00 
3 +45,00 -275,00 +30,00 -290,00 
4 +55,00 -220,00 +30,00 -260,00 
5 +85,00 -135,00 +40,00 -220,00 
6 +80,00 -55,00 +40,00 -180,00 
7 +85,00  +30,00 +50,00 -130,00 
8 +60,00 +90,00 +50,00 -80,00 
9 +40,00 +130,00 +50,00 -30,00 
10 +60,00 +190,00 +60,00  +30,00 
11 +20,00 +210,00 +70,00 +100,00 
12 +20,00 +230,00 +50,00 +150,00 
13 +20,00 +250,00 +100,00 +250,00 
VPL(A) 250,00 VPL(B) 250,00 
Obs: os Fluxos de Caixa já estão representados pelo seu valor presente 
Tab.7.1 – Recuperação de Capital 
 
 
 Pelo exposto, fica demonstrado que o método do MRC 
adotado, em complementação ao do VPL, permite atender à 
exigibilidade do retorno do capital inicial. E, também, 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
142 
 
estabelecer como critério à tomada de decisão, a eleição de 
qual projeto produz o retorno do capital em menor tempo. 
 
7.3 – Exercício. 
 
 Verifique qual o projeto apresenta um menor tempo de 
retorno de capital. 
 
 Projeto Gama Projeto Delta 
Ano 
Valor 
Presente 
Fluxo de 
Caixa 
Fluxo de 
Caixa 
Acumulado 
R$ 105 
Valor 
Presente 
Fluxo de 
Caixa 
Fluxo de 
Caixa 
Acumulado 
R$ 105 
0 -200 -180 
1 -222 -180 
2 -150 -180 
3 -80 -150 
4 -55 -100 
5 -50 -50 
6 -9 90 
7 70 100 
8 130 120 
9 150 120 
10 170 150 
11 190 150 
12 200 150 
13 200 150 
14 200 130 
15 180 100 
16 170 90 
17 100 -40 
18 -70 -20 
 VPL(A) VPL(B) 
 
 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
143 
 
 
8. Valor Uniforme Equivalente 
 
 
8.1 – Introdução. 
 
A aplicação do método do valor uniforme equivalente é 
mais recomendada quando se decide sobre aquisição de 
equipamentos cuja reposição seja efetuada periodicamente. 
 
Assim, o MVU é adequado para amparar decisões 
quanto à aquisição, seja por compra, financiamento ou aluguel 
(leasing), de equipamentos que executem idêntico trabalho. 
 
O método permite, também, estabelecer o tempo ótimo 
de comissionamento de equipamentos. Neste caso cada 
período de tempo analisado corresponde a uma alternativa de 
investimento distinta. 
 
 Em ambos os casos acima comentados, seja em 
aquisição ou definição de tempo, o objetivo do processo é 
definir qual alternativa apresenta o maior benefício ou o menor 
custo equivalente no período. 
 
Como exemplo de equipamentos a serem 
periodicamente repostos cita-se: veículos integrantes de frota 
de serviços; equipamentos de terraplenagem; maquinas de 
solda; equipamentos de inserção automática; moldes para 
injeção, etc. 
 
 É comum o processo ser expresso sob duas 
denominações distintas, adotadas quando se analisa custos ou 
faturamento em período anual. 
 
 No caso da análise envolver, predominantemente, 
custos, a metodologia é denominada de Custo Anual 
Equivalente - CAE. Caso se analise, predominantemente, 
faturamentos ou o resultado do processo for expresso em 
termos de lucro, o método leva a denominação de Benefício 
Anual Equivalente - BAE. 
 
Sob qualquer das denominações acima citadas, o 
processo de decisão segue a mesma metodologia. 
 
 Adotando como nomenclatura: 
 
 BAE(p) = Benefício Anual Equivalente associado a um 
projeto qualquer P; 
 CAE(p) = Custo Anual Equivalente associado a um projeto 
qualquer P; 
 VUE(p) = valor uniforme equivalente da série, seja ela 
expressa em termos de BAE ou de CAE. 
 F0 = fluxo de caixa inicial. 
 Sn ou S1 = serie de pagamentos iguais; 
 VP(p) = valor presente do projeto. 
 Pn; P2 ou P3 = fluxos de caixa referentes a pagamento 
único; 
 VP(p) = somatório dos valores presentes dos fluxos de 
caixa associados ao projeto P, ou seja, o seu valor 
presente líquido; 
 Σ Rec (p)K = somatório das receitas associadas ao projeto 
p no período k; 
 Σ Desp (p)K = somatório das despesas associadas ao 
projeto p no período k; 
 Fk = fluxo de caixa associado ao projeto p no período k. 
 I(p)K = investimentos associados ao projeto p, realizados 
no período k; 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
144 
 
 VR = valor residual associado ao projeto p, normalmente 
considerado no ultimo período de vida do projeto. 
 
A vantagem da adoção do MVU num processo de 
decisão em que as alternativas disponíveis sejam repetidas 
periodicamente é quanto à facilidade de aplicação do método. 
Isto porque, matematicamente, o valor da série equivalente ao 
fluxo de caixa original ou a qualquer número de suas 
repetições é o mesmo. 
 
Basicamente, a metodologia do valor uniforme 
equivalente segue três etapas: 
 
1º Estabelece-se o fluxo de caixa de cada alternativa 
disponível; 
2º Calcula-se o valor presente das alternativas; 
3º Calcula-se a série uniforme equivalente relativa ao 
valor presente de cada alternativa. Ver Fig. 8.1 
 
 Alerta-se que a unidade da série representativa do valor 
uniforme equivalente associado ao projeto p, VUE(p), é dada 
em unidade monetária por período. 
 
 E, que ela expressa em termos monetários, o custo 
médio incorrido ou o benefício médio propiciado por cada 
alternativa na unidade de tempo, considerando a vida 
estimada da alternativa. 
 
 Como equação dimensional tem-se: 
 
   
 período
$R
VUE(p) 
 
 
 Assim sendo, a unidade do VUE é dada em R$/mês, 
R$/ano, etc. 
 
 
8.2 - Decisão 
 
 Dado um conjunto de alternativas em análise, a 
hierarquização das mesmas ocorrerá quando comparados o 
valor da economia ou do retorno das respectivas séries 
equivalentes. 
 
 No caso de se efetuar uma análise de custos, a melhor 
alternativa será aquela que apresentar o MENOR CUSTO 
PERIÓDICO EQUIVALENTE. A literatura que versa sobre o assunto, 
comumente, denomina o processo de custo anual equivalente 
– CAE. 
 
 No caso de estar em análise, predominantemente, a 
comparação de lucro ou faturamento propiciado pelas 
alternativas de investimento, a melhor alternativa será aquela 
que apresentar o MAIOR BENEFÍCIO PERIÓDICO EQUIVALENTE. 
 
 De modo idêntico ao efetuado no comentário anterior, a 
literatura que versa sobre o assunto, denomina, comumente, o 
processo de benefício anual equivalente – BAE. 
 
A confiabilidade do processo com a consequente 
coerência de resultados será tanto maior quanto melhor for a 
apuração das receitas, despesas, investimentos, tributos e 
valores residuais associados a cada alternativa. 
 
 O modelo matemático básico para a definição do valor 
uniforme equivalente, seja ele expresso em termos de BAE ou 
de CAE, associado a um projeto P, qualquer, é dado por: 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
145 
 
 
 
11
1



n
n
)i(
)i(i
)p(VP)p(VUE
 
 
Considerando a existência de duas alternativas de 
investimentos, X1 e X2, e estando em julgamento Benefícios 
Anuais Equivalentes, sendo o BAE(X1)  BAE(X2), então será 
escolhida como a melhor a alternativa X1, desde que 
reconhecida a repetitividade do projeto. 
 
No caso de estar em pauta uma análise de custos, 
sendo o CAE (X1)  CAE (X2), então será considerada como 
alternativa mais interessante a X2, dado que os custos 
praticados são menores que a de X1, desde que reconhecida a 
repetitividade do projeto. 
 
 
8.3 – Metodologia.A metodologia para determinar o valor da série uniforme 
equivalente, tanto em termos de BAE como de CAE, segue os 
seguintes procedimentos: 
 
1º Passo: Elaborar o conjunto de fluxos de caixa do projeto; 
 
Fk =Σ Rec (p)K - Σ Desp (p)K – I (p)K + VR(k) 
 
2º Passo: Calcular o respectivo valor presente líquido; 
 
n)i(
Fn
)i(
F
)i(
F
)i(
F
Fo)p(VP








11
3
1
2
1
1
321

 
 
 
3º Passo: Calcular ao valor da série periódica equivalente. 
 
 VUE(p) = VP(p) × FRC(n¬i%) 
 
Ou, em termos de variáveis características da série: 
 
11
1



n
n
)i(
)i(i
)p(VP)p(VUE
 
 
 Como exemplo de aplicação, seja o projeto representado 
pelo seu fluxo de caixa, conforme expresso na Figura 8.1, 
composto por uma série de pagamentos, iguais, periódicos e 
consecutivos, S1, e, também, outros dois fluxos representados 
por pagamentos únicos, P2 e P3. 
 
Neste caso a série anual equivalente será expressa em 
termos de BAE, pois dispõe, predominantemente, de entradas 
de caixa. 
 
1º Passo – Levar todos os fluxos de caixa a valor presente; 
 
64 1
3
1
2
31
)i(
P
)i(
P
%)i;(FVPSFO)p(VP




 
 
2º Passo – efetuar o somatório dos valores presentes de todos 
os fluxos de caixa; 
 
VP(p) = Σ { - F0 + VP(S1)+ VP(P2) + VP(P3)} 
 
3º Passo – calcular o valor da serie uniforme equivalente, 
postecipada, relativa ao valor presente calculado no passo 
anterior. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
146 
 
BAE(p) = VP(p) × FRC(6¬i%) = M R$/período. 
 
 
 
Figura 8.1 – Metodologia do Valor Uniforme Equivalente
S1
P2
P3
VP
VP ≡ ΣVP (S1 + P2 + P3)
P0
1º Definir
Fluxos de Caixa
2º Calcular
Valor Presente
3º Calcular
Série Equivalente
R$
R$
1 2 3 4 5 6
Período
1 2 3 4 5 6
Período
1 2 3 4 5 6
 
 
 
 
 
 
8.4 – Aplicação da Metodologia. 
 
 Neste item é apresentada a aplicação da metodologia do 
VUE ao caso de produção de um novo produto. Para tanto, o 
processo de decisão considera duas alternativas de projetos 
que apresentam características de investimento e de custos 
operacionais distintos. 
 
8.4.1 – Procedimentos. 
 
A aplicação da metodologia do Valor Uniforme Equivalente 
ao caso segue os seguintes procedimentos: 
 
1º passo: define-se o diagrama de fluxo de caixa de cada 
processo; 
 
2º passo: calcula-se a série uniforme equivalente ao fluxo de 
caixa inicial; 
 
3º passo: calcula-se o valor presente de cada fluxo de caixa; 
 
4º passo: calcula-se a série anual equivalente associada à 
soma dos valores presentes dos fluxos de caixa 
definidos no passo anterior. 
 Neste caso, o resultado do processo se dará em 
termos de Benefício Anual Equivalente - BAE, já que 
são consideradas entradas e saídas de caixa 
associadas a cada processo. 
 
5º passo: a decisão, então, elegerá o processo que apresentar 
o maior benefício anual equivalente. 
 
 
8.4.2 - Resolução do Caso – Novo Produto. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
147 
 
 
Uma empresa está estudando a produção de um novo 
produto. Para tanto dispõe de dois processos alternativos de 
produção cujas características estão abaixo especificadas. 
 
Os equipamentos a serem utilizados são previstos para 
serem repostos periodicamente, dado o desgaste contínuo e o 
alto valor do custo de manutenção e operação. 
 
 Considerando o custo de capital da firma de 7% a.a., 
calcular os custos anuais equivalentes. 
 
 
item PROCESSO A PROCESSO B 
Investimento Inicial R$ 65.000,00 130.000,00 
Valor Residual 0,00 30.000,00 
Retorno Anual R$ 50.000,00 50.000,00 
Custo anual de 
Operação 
Fixo 
R$ 30.000,00 
Variável 
Ver diagrama 
Vida útil: 4 anos 6 anos 
 
 
Resolvendo o problema: 
 
I – Processo A 
 
a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo A. 
 
 Para este processo o diagrama de fluxo de caixa foi 
montado lançando, diretamente na escala de tempo, as 
entradas e saídas de caixa previstas. Ver Figura 8.2. 
 
 
50.000
-30.000
50.000
-30.000
50.000
-30.000
50.000
-30.000
1 2 3 4 
ano
65.000,00
R$
Figura 8.2 – Processo A – Digrama do Fluxo de Caixa
 
 
 
b) Calculo do Benefício Anual Equivalente – BAE. 
 
 Ao se analisar o fluxo de caixa deste processo, verifica-
se que, pra a determinação do fluxo de caixa anual equivalente 
torna-se mais imediato calcular a série anual equivalente 
associada ao investimento inicial e somar esta, diretamente, 
aos demais fluxos de caixa, já que são uniformes. 
 
- Investimento Inicial: 
 
 Considerando que o investimento inicial corresponde à 
uma saída de caixa, será definido o seu custo anual 
equivalente. 
 
 CAE(A) = P× FRC ( 7%,4 ) 
 CAE(A) = ( -65.000 ) × 0,2952 
CAE(A) = -19.188 R$/ano. 
 
 Como se pode verificar no diagrama de fluxo de caixa, 
Fig. 5.7, não há necessidade em calcular os valores presentes 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
148 
 
dos custos anuais ou das receitas, pois já expressos em 
valores iguais, o que caracteriza uma série uniforme. 
 
Com os dados acima, pode-se calcular a série uniforme, 
anual, equivalente do Projeto A, expressa em ternos de 
benefícios – BAE. 
 
Item BAE em R$/ano 
Investimento Inicial (-) 19.188,00 
Custo Operacional (-) 30.000,00 
Receitas (+) 50.000,00 
Benefício Anual Equivalente do Projeto A (+) 812,00 R$/ano 
 
 
50.000
-30.000
-19.188
812,00
1 2 3 4 
ano
R$
Fig.8.3 – Processo A – Serie Anual Equivalente = BAE(A)
50.000
-30.000
-19.188
812,00
50.000
-30.000
-19.188
812,00
50.000
-30.000
-19.188
812,00
 
 
 
 
II - Processo B 
 
a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo B. 
 
 Os valores do fluxo de caixa relativos aos custos anuais 
de operação deste processo, que foram previstos como 
variáveis e crescentes, foram lançados diretamente no 
diagrama de fluxo de caixa. 
 
 Neste caso, o procedimento de calculo seguido foi o de 
exprimir, tanto o investimento inicial, como os custos anuais 
variáveis e o valor residual, em termos de série anual 
equivalente visando possibilitar a soma de todos os valores e 
definir o BAE do Processo B. 
 
 
50.000
- 21.000
29.000
1 2 3 4 5 6
ano
R$
Fig.8.4 – Processo B – Diagrama do Fluxo de Caixa
30.000
50.000
- 26.000
54.000
-130.000
50.000
- 22.000
28.000
50.000
- 23.000
27.000
50.000
- 24.000
26.000
50.000
- 25.000
25.000
 
 
b) Cálculo do Custo Anual Equivalente do Projeto B: 
 
 
b1) Capital Inicial: Pi = 130.000 x FRC (7%,6) 
Pi = - (130.000  0.2098) 
Pi = (- 27.274) R$/ano 
b2) Valor Residual: 
 R = S x FFC ( 7,6 ) = 30.000 x ( 0,1398 )  
 R = 4.194 R$/ano 
 
b3) Custo Operacional: 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
149 
 
- Valor Presente S = 
 
n
ii VFC
 
 
S = -21.000 ( 0,9346 ) - 22.000 ( 0,8734 ) - 23.000 ( 0,8163 ) 
 -24.000 ( 0,7029 ) - 25.000 ( 0,7130 ) -26.000 ( 0,6663 ) 
S = - ( 19.626 + 19.215 + 18.775 +16.870 + 17.825 + 17.324 ) 
S = - 109.635 R$/ano 
 
- Série Uniforme Equivalente: 
 
Po = - 109.635 FFC (7,6) = = - 109.635 (0,2098) 
Po = - 23.001,00 R$/ano 
 
b4) Calculo do Benefício Anual Equivalente. 
 
 O benefício anual equivalente do ProcessoB é obtido ao 
se proceder a soma dos valores das séries anuais 
equivalentes associadas a cada tipo de custo ou retorno anual 
equivalente (faturamento). Então: 
 
Item BAE em R$/ano 
Investimento Inicial (-) 27.274,00 
Valor Residual (+) 4.194,00 
Custo Operacional (-) 23.001,00 
Receitas (+) 50.000,00 
Benefício Anual Equivalente (+) 3.919,00 R$/ano 
 
 
III – Análise de decisão: 
 
Pelo acima exposto, o Benefício Anual Equivalente - BAE 
relativo ao Processo A é de 812,00 R$/ano e ao Processo B de 
3.919,00 R$/ano. 
 
Assim, a alternativa que apresentou o maior Benefício 
Anual Equivalente foi a Alternativa B. Logo, a mais interessante 
a ser adotada. 
 
Alerta-se, neste ponto, que, como as alternativas 
apresentam períodos de vida distintos, há que se ter cuidado 
na comparação de alternativas. 
 
Este processo de série anual equivalente, seja em termos 
de BAE ou de CAE, é recomendado para decisão quando se 
analisa projetos repetitivos. 
 
Projeto repetitivo é definido como aquele que, findo seu 
período de vida previsto, o investimento inicial, ou parte dele, 
deverá ser reposto visando manter o processo em 
funcionamento. 
 
 Como exemplo de projeto repetitivo tem-se: aquisição de 
ônibus empregados por empresas concessionárias de serviços 
públicos; de caminhões para serviços de terraplenagem; 
análise do tipo de pneu a ser utilizado em um mesmo veículo; 
tipos de escoramento ou formas utilizadas em serviços de 
concretagem sejam em obras pré-fabricadas ou moldadas no 
local; etc.. 
 
No caso de se comparar projetos produtivos que 
apresentem períodos de vida distintos e que sejam não 
repetitivos, recomenda-se efetuar o processo de decisão 
atendendo as considerações realizadas no capítulo 5. 
 
 
8.5 - Caso de Reinvestimento. 
 
8.5.1 – Conceituação e Artifício. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
150 
 
 Neste caso existe a pressuposição da continuidade de 
utilização de um ativo ou a manutenção do bem em produção, 
expirada a vida útil do projeto original. 
 
 Para tanto, findo o período de vida de um ativo, se 
pressupõe uma imediata reaplicação do capital gerado pelo 
projeto em um novo ativo com características semelhantes à do 
ativo desmobilizado. 
 
 Havendo diversas alternativas de investimento, o 
horizonte de planejamento previsto para análise considera que 
a equalização dos tempos de vida de cada alternativa seja 
equivalente ao mínimo múltiplo comum, MMC, de suas vidas 
úteis. Vide Figura 8.5, que mostra a repetição dos fluxos de 
caixa dada a manutenção e continuidade do uso do ativo, ou 
de um sistema de produção. 
 
Ao ser adotado o mínimo múltiplo comum das vidas úteis 
das alternativas como horizonte de análise do projeto, o 
processo de cálculo pode se tornar complexo e trabalhoso pela 
grande número de fluxos de caixa envolvidos. 
 
Para contornar essa complexidade, o método do VUE 
torna-se um artifício de fácil e rápida aplicação, pois permite 
efetuar o processo considerando o tempo de cada alternativa 
sem haver repetição. 
 
Isto porque, o valor da série equivalente de uma 
alternativa de investimento, seja qual for o número de 
repetições realizados, será sempre o mesmo. 
 
 
8.5.2 – Manutenção em Comissionamento. 
 
 Este caso discute a análise de decisão de alternativas 
quando há a previsão de continuidade de produção. 
 
 O caso em questão diz respeito a uma empresa que 
esta comparando duas alternativas de projeto visando a 
instalação de um processo produtivo e que visam à produção 
de um mesmo bem. 
 
 Esses processos são representados por seus fluxos de 
caixa e apresentam tempos de vida útil, distintos. 
 
 O objetivo é definir qual destes dois projetos, 
representados por seus fluxos de caixa é o mais lucrativo, 
sendo adotada uma TMA de 10% ao ano. 
 
Período 0 1 2 3 4 
Projeto “A” -20 -25 45 45 45 
Projeto “B” -60 25 40 50 
Valores em 104 R$ 
 
 
 
-60 - 60 -60 
 25 40 50 25 40 50 25 40 50 
Figura 8.5 – Continuidade de Utilização de Ativo 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
151 
 
Havendo a pressuposição da continuidade de produção, 
a compatibilidade dos tempos de vida útil é efetuada após a 
equalização dos tempos de vida dos projetos utilizando o 
mínimo múltiplo comum dos períodos em consideração. 
 
a) Decisão por Valor Presente. 
 
 Como o Projeto A apresenta quatro anos de vida útil e o 
Projeto B três anos, o mínimo múltiplo comum dos tempos é 
de doze anos. Assim sendo, o Projeto A deverá ser repetido 
três vezes e o Projeto B quatro vezes para que os seus 
períodos de vida sejam equalizados. 
 
 O quadro da Figura 8.7 mostra o procedimento de 
repetição relativo ao Projeto A. 
 
 Ressalta-se que o investimento inicial da 2ª repetição e 
subsequentes, deve ocorrer durante o último período da 
repetição anterior. Este procedimento visa evitar a ocorrência 
de solução de continuidade no processo de produção. 
 
Projeto A Valores em 104 R$ 
Fluxo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
1ª Rep -20 -25 45 45 45 
2ª Rep -20 -25 45 45 45 
3ª Rep -20 -25 45 45 45 
Final -20 -25 45 45 25 -25 45 45 25 -25 45 45 45 
Figura 8.7 – Procedimento para Repetição de Investimento - A 
 
 Somando os fluxos de caixa de cada repetição, 
dispõem-se do fluxo de caixa final do projeto equalizado. 
 
 Repetindo o mesmo procedimento para o Projeto B, 
chega-se à solução abaixo que apresenta os fluxos de caixa 
dos projetos equalizados. Exemplo na Figura 8.8. 
 
 
Fluxo de Caixa Final dos Projetos Valores em 104 R$ 
Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Projet
o “A” 
-20 -25 45 45 25 -25 45 45 25 -25 45 45 45 
Projet
o “B” 
-60 25 40 -10 25 40 -10 25 40 -10 25 40 50 
Figura 8.8 – Procedimento para Repetição de Investimento - B 
 
Realizada a equalização dos tempos, pode-se calcular o 
valore presente líquido de ambos os projetos, o que permitirá a 
escolha de qual dos dois é que mais aumenta a riqueza dos 
proprietários. 
 
 Calculando o valor presente líquido de cada alternativa 
tem=se: VP (A) = 126,84 x 106 R$ e VP (B) = 91,38 106 R$. 
 
 Como o projeto A, apresenta um aumento de riqueza de 
R$ 126,84 x 106 R$ sendo, consequentemente, superior ao 
incremento propiciado pelo projeto B, é o recomendado a ser 
realizado. 
 
 
b) Decisão por Valor Uniforme Equivalente. 
 
 O artifício financeiro de calcular os Benefícios Anuais 
Equivalentes de cada projeto, sem efetuar a repetição dos 
fluxos, isto é, de simplesmente apenas comparar os BAE’s dos 
projetos originais, facilita o processo de decisão. 
 
 Como já comentado, ao ser calculado o BAE de um 
projeto tomando o seu fluxo de caixa original e o BAE deste 
mesmo projeto repetido, o valor a ser obtido em ambos os 
casos é o mesmo. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
152 
 
 
 Voltando ao exemplo acima, a obtenção do Benefício 
Anual Equivalente relativo a cada projeto segue os 
procedimentos: 
 
1º - Determina-se o valor presente líquido do projeto original. 
 
$R,
),(),(),(),(
)A(VP 0159
101
45
101
45
101
45
101
25
20
432

 
 
 
2º - Calcula-se o Benefício Anual Equivalente - BAE 
 
 BAE (P) = VP(P)  FRC (n; i) 
 BAE (A) = 59,01  FRC (4¬10%) = 18,62 R$/ano 
 
 Repetindo o mesmo procedimento para o projeto B, 
obtém-se os valores indicados no quadro abaixo que 
demonstra, mesmo utilizando ao processo do Beneficio Anual 
Equivalente, a superioridade do projeto A sobre o projeto B. 
 
BAE (B) = 33,35  FRC (3¬10%)= 13,41 R$/ano. 
 
 Projeto Período original de cada projeto 
A VP(A) = 59,01 R$ 
B VP(B) = 33,35 R$ 
A BAE(A) = 59,01  0,3155 = 18,62 R$/ano 
B BAE(A) = 33,35 0,4021 = 13,41 R$/ano 
 
 
8.5.3 – Análise Crítica. 
 
 No exercício 8.5.1, coincidiu que os resultados obtidos 
segundo a aplicação dos dois métodos, valor presente líquido e 
benefício anual equivalente, demonstraram uma superioridade 
do projeto A sobre o projeto B. 
 
 O leitor não pode generalizar o resultado obtido no 
exercício quando compara alternativas de investimentos, 
vinculando, necessariamente, a obtenção de um maior 
presente líquido a um maior valor periódico equivalente. 
 
 Uma alternativa pode apresentar um maior valor 
presente líquido em relação às outras e não, necessariamente, 
o maior valor periódico equivalente, seja ela calculada em 
termos de BAE ou de CAE. Os resultados dependerão dos 
valores fluxos de caixa e da duração de cada projeto. Como 
regra geral, a priori, nada se pode inferir. 
 
 Com o objetivo de demonstrar a obtenção de igual 
resultado no calculo do valor periódico equivalente, aplicando o 
método, simplesmente, ao projeto inicial ou a um número 
qualquer de repetições, será vista a situação de se considerar 
o horizonte de projeto de doze anos, às duas alternativas. 
Prazo este equivalente ao mínimo múltiplo comum do tempo de 
vida de cada uma das alternativas em consideração. 
 
 Ao se calcular o valor presente do projeto repetido 
considerando o horizonte de doze anos, obter-se-á os 
seguintes valores presentes: VP(A) = 126,84 R$ e VP(B) = 
91,38 R$. 
 
 A seguir, calcula-se o Benefício Anual equivalente para 
cada alternativa, definindo a série equivalente pelo prazo de 
doze anos. 
 
 Partindo do caso geral tem-se: 
 
BAE (k) = VP(k)  FRC (n¬i%) 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
153 
 
BAE (k) = VP(k)  FRC (12¬10%) 
 
BAE (A) = 126,84 FRC (12¬10%) = 18,62 R$/ano 
BAE (B) = 91,38  FRC (12¬10%) = 13,41 R$/ano 
 
 
 
 
Dos resultados encontrados fica a constatação que os 
diversos BAE associados a um mesmo projeto são sempre 
iguais, independentemente do número de períodos de 
repetição utilizados, situação que facilita o processo de tomada 
de decisão. 
 
 Finalizando, não se deve esquecer que o BAE indica o 
acréscimo de riqueza médio gerado por um projeto a cada 
período de sua vida útil. Ao se desejar saber qual o acréscimo 
de riqueza propiciado pelo tempo em que o projeto será 
explorado, há que ser calculado o Valor Presente do mesmo, 
para o tempo originalmente estabelecido. 
 
 
8.6 – Exercício Resolvido. 
 
 
Uma empresa industrial está estudando a produção de 
um novo produto. 
 
 
 Item PROCESSO A PROCESSO B 
Investimento Inicial R$ 65.000,00 130.000,00 
Valor Residual - 30.000,00 
Faturamento R$ 50.000,00 50.000,00 
Custo de Operação 
R$ 30.000,00 - 
Fixos 
Ano1 = 21.000,00 
Ano2 = 22.000,00 
Ano3 = 23.000,00 
Ano4 = 24.000,00 
Ano5 = 25.000,00 
Ano6 = 26.000,00 
Vida útil Quatro anos Seis anos 
 
Para tanto, dois processos industriais estão em análise 
duas propostas cujas características estão expostas na tabela 
acima. 
 
 Estabelecido o custo de capital da firma em 7% a.a., 
calcular o benefício anual equivalente, associado a cada 
alternativa. 
 
 O método de decisão a ser adotado quanto à escolha da 
melhor alternativa é o do Custo Anual Equivalente dada às 
razões: 
 
a) Há previsão de produção continuada. Esgotada a vida 
útil dos ativos, eles deverão ser repostos, situação que 
recomenda a adoção do método proposto; 
b) Sendo equivalentes os faturamentos previstos para os 
dois processos, pode-se efetuar a análise considerando 
apenas custos. O processo que apresentar o menor 
custo deverá ser o recomendado. 
 
A metodologia adotada seguirá os seguintes passos: 
 
a) Definição do Valor Presente de cada processo, 
isoladamente; 
Projeto Mínimo Múltiplo Comum de 12 Anos 
A VP(A) = 126,84 R$ 
B VP(B) = 91,38 R$ 
A BAE(A) = 126,84  0,1468 = 18,62 R$/ano 
B BAE(B) = 91,38  0,1468 = 13,41 R$/ano 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
154 
 
 
b) De posse do Valor Presente, calcular a série relativa ao 
Custo Anual Equivalente; 
 
c) Disponíveis os valores dos CAE de cada processo, 
comparar os resultados e recomendar para implantação 
o que apresentar o menor Custo Anual Equivalente. 
 
I - Processo A. 
 
 1 2 3 4 anos
 
 
 
-30.000
 
 1 2 3 4 anos
 
 
 
- 65.000
-49.188
Figura 8.8 – Processo A
Custo de Operação Custo Anual Equivalente - CAE(A)
 
 
a) Custos Operacionais: CO(A) = 30.000 R$/ano. 
 
 
b) Custo Anual Equivalente do Projeto A: 
 
Investimento Inicial: 
 
CAE(IIn) = P  FRC (7%,4 ) 
CAE(IIn) = 65.000  0,2952  CAE(IIn) = 19.188 R$/ano 
 
 
c) Custo Anual Equivalente – Processo A 
 
 CAE(A) = CAE(IIn) + CO(A) 
 CAE(A) = 30.000,00 + 19.188,00 = 49.188,00 R$/ano 
 
II - Processo B 
 
-21.000
-26.000
 1 2 3 4 5 6 anos
30.000
-22.000
-23.000
-24.000
-25.000
-130.000
Figura 8.9 - Custo de Operação – Processo B
 
a) Capital Inicial: 
Pi = 130.000 x FRC (7%,6) = 130.000  0.2098 
Pi = = 27.274 R$/ano 
 
b) Valor Residual: 
 
R = S x FFC (7%,6) = 30.000  0,1398  
R = 4.194,00 R$/ano 
 
c) Custo Operacional: 
 
n
ii
VPVPCO(B)
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
155 
 
VPCO(B) = 21.000  0,9346 + 22.000  0,8734 + 23.000  
0,8163 + 24.000  0,7029 + 25.000  0,7130 + 26.000  
0,6663 
VPCO(B) = 19.626 + 19.215 + 18.775 +16.870 + 17.825 + 
17.324 = 109.635,00 R$/ano. 
 
d) Série Uniforme Equivalente do Custo Operacional: 
 
COE(B) = VPCO(B)  FFC (7%,6). 
COE(B) = 109.635 FFC (7%,6) = 109.635  0,2098 
COE(B) = 23.001,00 R$/ano. 
 
e) Custo Anual Equivalente - Processo B: 
 
CAE(B) = Invest. Inicial + Custo Operacional - Valor Residual. 
CAE(B) = 27.274,00 + 23.001,00 - 4.194,00  
CAE(B) = 46.081,00 R$/ano 
 
 
III – Recomendação. 
 
 Sendo o CAE(A) = 49.188 R$/ano e o CAE (B) = 
46.081,00 R$/ano; recomenda-se como o mais interessante a 
ser implantado o Processo-B, já que apresenta o menor Custo 
Anual Equivalente. 
 
 Se, neste exercício, o objetivo fosse o cálculo do 
Benefício Anual Equivalente, o faturamento no valor anual de 
R$ 50.000,00 deveria ser somado às séries de custo anual. 
 
 Os resultados seriam: BAE (A) = 812,00 R$/ano e 
BAE(B) = 3.919,00 R$/ano. A decisão, como não poderia 
deixar de ser, seria a mesma da anterior e inclinada ao 
Processo-B, por apresentar o maior Benefício Anual 
Equivalente. 
 
 
8.7 – Exercício Proposto. 
 
8.7.1 - A Universidade utiliza para a iluminação do campus, 
atualmente, 150 refletores com lâmpadas de descarga e 
potência de 1.400 W e estuda a possibilidade de substituí-los 
por refletores com LED´s. Assim sendo solicita-se: 
 
 Analise a viabilidade financeira dessa substituição; 
 Mostre a economia mensal pela substituição; 
 Qual o pay-back havendo substituição. 
 Defina qual o tipo de refletor a ser adquirido sem haver 
redução da luminosidade. 
 
 
8.7.2 - Qual o tempo ótimo de manter comissionado um 
equipamento de terraplanagem cujo catálogo de especificação 
define sua vida útil em 7 (sete) anos e o valor de aquisição de 
uma unidade nova esta orçada US$ 20 mil? 
 
 Os valores de mercado de equipamentos usados e os 
custos anuais de manutençãoestão apresentados no quadro 
abaixo. 
 
 Como premissas do problema, considerar o custo de 
capital da empresa estipulado em 15% a.a. 
 
 Além do acima solicitado, elabore uma curva 
tempocusto para melhor visualizar os resultados obtidos. 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
156 
 
 
 
Anos 
Operação 
Valor de Mercado 
US$ 
Manutenção 
 Anual US$ 
CAE 
R$/ano 
1 18.000,00 2.000,00 7.000,00 
2 16.000,00 2.500,00 
3 14.600,00 2.800,00 6.889,00 
4 13.500,00 3.700,00 
5 12.000,00 4.200,00 6.952,00 
6 10.500,00 4.700,00 
7 8.000,00 5.200,00 7.184,00 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
157 
 
 
9. Taxa Interna de Retorno 
 
9.1 - Definições. 
 
O método da Taxa Interna de Retorno - TIR exige a 
descrição de qualquer proposta de alternativa de investimento 
em termos do fluxo de caixa projetado, onde sejam externados 
os custos e as receitas a ele associados, levando-se em 
consideração a previsão dos momentos em que os mesmos 
efetivamente ocorrerem. 
 
i%
Figura 9.1– Caracterização da TIR e da TMA.
TMA
Valor Presente 
descontado 
pela TMA
i* = TIR
VPL – R$
 
 
A TIR pode ser definida sob duas óticas: a financeira e a 
matemática. 
 
a) Do ponto de vista financeiro, a TIR corresponde à maior taxa 
de rentabilidade oferecida por um projeto a partir da qual 
ele passa a ser antieconômico. 
 
c. Do ponto de vista matemático, a TIR ≡ i* é definida como a 
taxa de desconto que zera a função valor presente líquido. 
 
0
1111 3
3
2
21









n
n
*)i(
F
*)i(
F
*)i(
F
*)i(
F
Fo)A(VP 
 
 
 
Noutras palavras, a TIR ≡ I* corresponde às raízes do 
polinômio expresso pela função valor presente. Ver Figura 9.1. 
 
 
9.2 - Decisão 
 
 Quando se dispõe de várias alternativas de investimento 
em julgamento, o processo de decisão adotando a TIR como 
parâmetro de decisão deve atender a duas premissas: 
 
1ª Premissa: Para haver a aceitabilidade de qualquer 
projeto singular, a TIR deverá superar a taxa de mínima 
atratividade, a TMA. Taxa esta que recebe, também, as 
denominações de: custo de capital da empresa, taxa de 
oportunidade, custo de oportunidade da empresa ou taxa de 
desconto do projeto. 
 
Neste caso, ocorrem três situações, quais sejam: 
 
I) Quando a TMA apresentar valor inferior à TIR, o projeto é 
considerável como viável. Financeiramente falando, a 
maior taxa de rentabilidade que um projeto pode apresentar 
supera a taxa de atratividade exigida pelo investidor; 
 
II) Quando as duas taxas se equivalerem, ocorre uma 
situação dita de indiferença financeira. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
158 
 
 
O projeto, nesta situação, continua sendo viável. Porém, 
neste caso, a maior taxa de remuneração que um projeto possa 
apresentar a TIR, equivale à TMA do investidor. 
 
III) No caso da TMA apresentar valor superior à TIR, o projeto é 
considerável inviável. 
 
 Nesta situação, o valor presente das alternativas de 
investimento passa a ser negativo o que significa, também, que 
o valor da TIR é inferior à taxa de atratividade tradicionalmente 
adotada pelo investidor para remunerar os seus investimentos. 
 
TIR > TMA E Projeto Viável
TIR = TMA E Indiferença Financeira
TIR < TMA E Projeto Inviável
Critérios de Decisão
 
 
 2ª Premissa: no caso de haver a comparação entre 
diversas alternativas de investimento mutuamente exclusivas, 
aquela que apresentar a MAIOR TIR será definida como a melhor 
alternativa a ser eleita. 
 
Justifica-se a adoção das duas premissas como 
parâmetro de decisão, pois ambas vem ao encontro do 
princípio do aumento da riqueza dos proprietários, já que: 1º) a 
TIR corresponde a maior remuneração possível para que um 
projeto seja viável; 2º) sendo a TIR superior à TMA, o valor 
presente líquido de qualquer alternativa de projeto será 
superior a zero, ao ser adotada esta taxa como parâmetro de 
decisão. 
 
9.3 – Discutindo a TIR e a TMA 
 
Alerta-se que, financeiramente, a TIR e a TMA, 
expressam conceitos distintos. 
 
A TMA corresponde à remuneração desejada em 
investimentos produtivos. 
 
Ela pode ser estabelecida de dois modos: 
 
Por definição dos investidores para a remuneração de 
seus ativos. 
 
Ou, a partir do desempenho da empresa. Neste caso é 
calculada do seguinte modo: 
 
ELPPL
Lucro
iTMA


 
 
No modelo acima, PL corresponde ao patrimônio líquido 
médio e ELP ao exigível de longo prazo, consubstanciando o 
montante dos recursos que a empresa tomou visando o 
financiamento de suas operações. Ambos os valores expressos 
passivo do balanço patrimonial da empresa. 
 
A TIR, por sua vez, corresponde à maior remuneração 
possível, oferecida por uma alternativa de investimentos, a 
partir da qual passa a ser financeiramente inviável. No limite, a 
TMA pode ser equivalente à TIR o que não implica na distinção 
conceitual das duas. Ver Figura 5.9 - Distinção entre a TIR e a 
TMA. 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
159 
 
 
 
9.4 – Utilização recomendada. 
 
O método da taxa interna de retorno é recomendado para 
os seguintes casos: 
 
 Pelo lado do aplicador, quando realiza aplicações 
financeiras no mercado de títulos mobiliários ou bursáteis 
(4), pois ele deseja a maior rentabilidade possível em suas 
aplicações financeiras o que decorre num menor tempo de 
retorno do capital aplicado; 
 Pelo lado do tomador, na determinação da efetiva taxa de 
juros praticadas no financiamento de bens; 
 Na definição da maior taxa de remuneração possível 
propiciada por um projeto de investimento produtivo. 
 
Nos itens seguintes serão analisadas as condições de 
aplicação dos casos acima citados. 
 
9.4.1 - Caso de títulos mobiliários. 
 
O método é adequado para ser utilizado pelo investidor no 
mercado mobiliário ao desejar conhecer a rentabilidade de sua 
aplicação financeira. 
 
 A TIR demonstra, no caso da aplicação em títulos 
mobiliários, à remuneração a ser obtida pelo capital aplicado e 
a equivalência financeira quanto aos retornos previstos. 
 
 E, no caso de financiamento, a equivalência entre o capital 
tomado e os pagamentos a serem efetuados. 
 
(4) Relativos à bolsa de valores. 
 
Pelo exposto, verifica-se ser a TIR um instrumento 
adequado para análise da rentabilidade de projetos quando 
utilizada pela ótica do investidor ou tomador de empréstimos. 
 
Como exemplo de aplicação no mercado imobiliário, tem-se 
o caso da compra de ações. 
 
 Ao se efetuar a aplicação em ação de qualquer empresa, 
o preço e a rentabilidade da mesma e estabelecida ao ser 
conhecida a política de dividendos, de bonificações 
regularmente pagas sobre o capital investido e do valor de 
vendas previsto. 
 
Neste caso, entende-se que o preço a ser pago pela ação 
seja equivalente ao somatório dos valores presentes dos 
dividendos, das bonificações e do valor de vendas previsto 
para ocorrer em determinado futuro. 
 
Adotando como nomenclatura: 
 
 VC = valor de compra da ação; 
 VV = valor previsto para venda de uma ação; 
 Bk = valor da bonificação referente ao período k, com k 
variando de um a n; 
 Dk = valor do dividendo referente ao período k; 
 n = o número de períodos previstos para manter a ação em 
carteira; 
 i* = valor da taxa interna de retorno, TIR. 
 
 O valor da ação é dado por: 
 
n
n
k
k
kk
*)i(
VV
*)i(
DB
VC









 
 111ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
160 
 
 
Por sua vez, o valor da tir=i* é aquele que resolve o 
polinômio: 
 
0
111










 

n
n
k
k
kk
*)i(
VV
*)i(
DB
VC
 
 
 9.4.2 - Caso de financiamentos. 
 
Neste segundo caso, o método é recomendado para definir 
a taxa de juros efetivamente adotada em projetos de 
investimentos simples ou empréstimos, correspondendo a uma 
série postecipada, em que os pagamentos sejam iguais, 
periódicos e consecutivos. 
 
A taxa de juros, então, é definida sob a ótica do tomador do 
recurso. Para o tomador do recurso, a TIR corresponde à taxa 
de juros que faz a equivalência entre o valor do montante 
financiado e o valor das prestações pactuadas. Ver. Figura 
9.2. 
 
Como exemplo cita-se o financiamento de eletrodomésticos 
ou veículos vendidos a prestação. 
 
Há o entendimento, então, que valor presente das 
prestações corresponde ao valor do bem adquirido, 
financeiramente falando. A taxa interna de retorno, em 
decorrência, exprime a taxa de juros efetivamente paga pelo 
tomador. 
 
Dado o entendimento acima, pode-se escrever a seguinte 
expressão matemática: 
 
Valor do Bem ≡  das Prestações a Valor Presente 
 
{Valor do Bem} - { das Prestações a Valor Presente} = zero 
 
Considerando que a série de pagamentos, conforme 
visto na figura 9.2, corresponde a uma série de pagamentos 
postecipada, a expressão acima toma a seguinte forma: 
 
%)*i,n(FVPVBVB 
 ou, 
 
0
1
11









n
n
*)i(*i
*)i(
VBVB
 
 
Prestações iguais a R
Valor 
Do Bem
Figura 9.2 - Equivalência de Valores
R$
tempo
1..........................................................................n
Valor Financiado ≡
Valor Presente da Série
 
 Em operações de financiamento, como é conhecido o 
valor do bem, VB, a financiar e pactuado o número de 
prestações, ao se resolver a expressão acima se tem o valor da 
TIR≡ i*. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
161 
 
No Capítulo 10 - Métodos Algébricos, serão 
apresentados alguns métodos de calculo da TIR. 
 
 
9.4.3 – Caso de investimentos produtivos. 
 
9.4.3.1 – Recomendações. 
Quando se analisa um conjunto de alternativas de 
investimento em projetos produtivos, recomenda-se adotar o 
valor presente líquido como parâmetro de decisão, 
procedimento que garante o atendimento da premissa de 
maximização da riqueza. 
 
Tal recomendação visa resguardar a consistência do 
processo decisório, pois a assertiva que deva ser eleita a 
alternativa que apresentar a maior TIR pode não ser sempre 
verdadeira e levar à decisão contrária daquela recomendada 
pelo Método do Valor Presente Líquido. 
 
 Isto porque a decisão quanto à escolha da melhor 
alternativa, dado um conjunto delas, visando a implantação de 
algum investimento produtivo é realizada com o objetivo de 
escolher a alternativa que propicie o maior incremento na 
riqueza do investidos ou proprietário. Ou seja, o maior valor 
presente líquido. Para tanto, o fluxo de caixa de cada 
alternativa em análise é descontado à taxa de mínima 
atratividade, a TMA. 
 
Ao serem traçados os diagramas de fluxos de caixa, das 
alternativas em análise, e analisando o que exprime a Fig. 9.3, 
é possível verificar que, para um conjunto de valores de taxas 
de desconto, a decisão de adotar a TIR como único parâmetro 
de decisão pode induzir a erro. 
Da figura tem-se que: ao se considerar um valor da TMA 
entre zero e a definida pela Intersecção de Fischer(5), o valor 
presente do projeto A supera o do projeto B. 
 
 A partir da Intersecção de Fischer, o valor presente do 
projeto B passa a superar o do projeto A. Nestas condições fica 
demonstrado que, para distintos valores da TMA, a decisão pelo 
método do valor presente pode diferir do método da TIR, sendo 
que este pode induzir o decisor a erro de julgamento. 
 
9.4.3.1 – Exemplo. 
 
Sendo dados dois projetos de investimentos produtivos 
representados pelos respectivos diagramas de fluxo de caixa, 
conforme Figura 9.3. 
 
Utilizando, unicamente, a TIR como fator de decisão, pode o 
analista ser induzido a erro ao recomendar o projeto B como 
sendo mais rentável que o projeto A, sem efetuar uma análise 
mais acurada, ao verificar que a TIR(B) = 29% supera a TIR (A) 
= 22%. 
 
Há que se considerar que empresas, ao investir seus 
recursos em projetos produtivos, o fazem visando obter o maior 
incremento de capital e, para tanto, utilizam o método do valor 
presente líquido dos fluxos de caixa projetados para medir tal 
incremento. E, descontam os citados fluxos de caixa adotando 
a TMA como taxa de desconto. 
 
 
(5) A intersecção de Fischer corresponde ao ponto de intersecção dos 
diagramas de valor presente de dois projetos de investimentos distintos. 
Neste ponto, para um mesmo valor de TMA, os projetos apresentam igual 
valor presente líquido. 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
162 
 
No caso em pauta, os fluxos de caixa descontados a uma 
TMA = 8%, apresentem os seguintes valores presentes: VP (A) 
= R$ 153,00 e VP(B) = R$ 110,00. Resultado que indica ser o 
projeto A superior ao projeto B. Logo, o projeto A deve ser o 
eleito para implantação, fato que contraria a decisão efetuada 
utilizando exclusivamente a TIR como parâmetro de decisão. 
 
Do desenho, verifica-se que os fluxos de caixa 
descontados a uma TMA = 15%, apresentem os seguintes 
valores presentes: VP (A) = R$ 37,00 e VP(B) = R$ 44,00. 
 
VP – R$
153,00
110,00
44,00
37,00
8 12
i%
15
Projeto A
Projeto B
Intersecção 
de
Fischer
TIR A = 22% TIR B = 29%
Figura 9.3 - Consistência TIR e VPL.
 
 
Esse resultado indica ser o projeto B superior ao projeto A, 
fato que coincide com a decisão quanto se tem a TIR como 
parâmetro de decisão. 
 
Analisando os dois diagramas expostos na Figura 9.3, 
verifica-se que o projeto A é superior ao Projeto B a taxas de 
desconto inferiores àquela definida pela interseção de Fischer, 
isto é, de zero a 12%. Já o projeto B é superior ao projeto A 
para taxas situadas entre a interseção de Fischer, 12%, e a TIR 
(B), 29%. 
 
Pela análise acima efetuada, constata-se a possibilidade de 
ocorrer duas soluções tendo como ponto limite a taxa de 
desconto conexa à intersecção de Fischer. A análise em 
questão foi realizada ao se comparar dois diagramas de valor 
presente. Havendo um conjunto de alternativas de investimento 
em julgamento, pode ocorrer mais de duas soluções, fato que 
requer uma análise criteriosa do decisor. 
 
Finalizando, cabe ao analista se precaver quando julga 
diversas alternativas possíveis destinadas à realização de um 
investimento produtivo e deseja adotar a TIR como parâmetro 
de decisão. Visando manter a consistência de sua análise, 
recomenda-se efetuar um desenho onde conste o diagrama de 
valor presente de cada alternativa disponível e, deste modo, se 
certificar do campo de domínio de cada uma delas. 
 
 
9.5 – Calculo da TIR. 
 
9.5.1 – Função Polinomial. 
 
Como visto, matematicamente, a taxa interna de retorno 
é aquela taxa que iguala a zero a função valor presente líquido 
associado aos fluxos de caixa de um projeto. 
 
Considerando que a função valor presente líquido pode 
ser representada por um polinômio de grau equivalente ao do 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
163 
 
número de períodos do fluxo de caixa, a TIR corresponde às 
raízes desta função polinomial. 
 
n
n
)i(
F
)i(
F
)i(
F
)i(
F
Fo)A(VP







1111 3
3
2
21

 
 
 Da teoria dos polinômios, sabe-se que, um polinômio 
dispõe de tantas raízes quanto for o seu grau. Logo, um 
polinômio do n-ésimo grau dispõe de n raízes. 
 
Então, quando ocorrer o caso de i* = TIR, o valor da 
função polinomial passa a ser zero. 
 
 E, sendo a TIR uma raiz da função polinomial que 
expressa o fluxo de caixa, pode-se igualar este polinômio a 
zero. Deste modo pode-se escrever: 
 


 
n
0k
k
K0
0*)i1(FF
 
0
1111 3
3
2
21









n
n
*)i(
F
*)i(
F
*)i(
F
*)i(
F
Fo)A(VP 
 
 
Como exemplo de função polinomial associada à um 
fluxo de caixa, seja um projeto representado pelo seguinte 
conjunto de fluxos de caixa projetados: 
 
 FC(A) = {-1.200; 450; 400; 350; 300} 
 
A função valor presente líquido é dada por: 
 
432 1
300
1
350
1
400
1
450
1200
)i()i()i()i(
)A(VP








 
 
 A solução deste tipo de polinômio pode ser efetuada por 
diversos métodos: o Processo da Bisseção, metodologia 
iterativa; pelas fórmulas de Karpin que permitem definir a TIR de 
modo algébrico, cujo resultado é obtido de modo aproximado, 
fórmulas essas recomendadas para serem utilizadas quando os 
fluxos de caixa apresentem uma lei de formação conforme 
modelo pré-determinado; o Método de Newton- Raphson e o 
método de Wild, ambos permitindo a obtenção da TIR de forma 
algébrica. 
 
9.5.2 - Processo da Bisseção. 
 
É o processo de mais fácil aplicação, com o 
inconveniente de ser muito trabalhoso, pois iterativo. 
 
O processo de tentativa e erro é iniciado ao ser arbitrado 
um valor qualquer para a taxa “ï” e, a seguir, calculado o Valor 
Presente do fluxo de caixa para essa taxa. 
 
 Sendo este primeiro valor positivo (+), arbitra-se um 
novo valor para a taxa de desconto, maior que o anterior, e 
calcula-se, novamente, o Valor Presente. 
 
Tal operação deve ser repetida, iterativamente, até ser 
encontrado um valor presente negativo. 
 
Ao ser encontrada uma taxa i em que o Valor Presente 
seja menor que zero, volta-se ao procedimento inicial. Ou 
melhor, procura-se uma taxa “i” com valor menor que a ultima 
encontrada e cujo valor presente seja positivo. 
 
O processo em questão deve ser repetido até se obter 
um valor presente zero ou insignificante. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
164 
 
Como recomendação para acelerar o processo de 
cálculo pode-se adotar o processo da bisseção. 
 
Justificam a assertiva duas situações: a primeira dado a 
TIR corresponder à maior remuneração possível para que um 
de projeto seja viável; a segunda, pois sendo a TIR superior à 
TMA, o valor presente líquido da alternativa de projeto será 
superior a zero e, por conseguinte, ocorrerá o aumento da 
riqueza dos proprietários. 
 
Em havendo a comparação entre dois ou mais 
investimentos, o que apresentar a mais alta TIR deverá ser 
considerado o economicamente mais interessante. Porém, 
como já comentado, para projetos de investimentos produtivos 
e que não integrem o mercado mobiliário, essa assertiva pode 
não ser sempre verdadeira. 
 
Neste processo, para cada nova taxa de desconto a ser 
utilizada dever-se-á adotar o resultado da média aritmética 
obtida entre as seguintes taxas: aquela ultima taxa cujo valor 
presente tenha sido negativo e aquela cujo ultimo valor 
presente tenha se apresentado como positivo. 
 
2
00 )VP(i)VP(i
i nmnova


 
 
Repetido o processo tantas vezes quantas forem 
necessárias, ter-se-ão valores de “i” que propiciam valores 
presentes cada vez mais próximos de zero. 
 
O processo de iteração pode ser dado como concluído 
ao se obter uma taxa de desconto associada a um valor 
presente líquido irrisório ou, financeiramente, próximo a zero. 
 
Arbitrar uma 
taxa “i”
Comparar 
VP(i)
Com zero
Calcula Valor 
Presente = VP(i)
Tentar Taxa
MENOR
Tentar Taxa
MAIOR
Fim do
Processo
VP<0
VP~0
VP>0
Figura 9.4 - Determinação da TIR - Fluxograma
 
A bibliografia, comumente, indica o processo da tentativa 
bisseção para o cálculo da TIR. 
 
É possível, porém, calcular algebricamente a TIR, utilizando 
os métodos discutidos no Capítulo 10. 
 
Ressalta-se que os métodos apresentados permitem definir, 
apenas, uma das raízes do polinômio, ou seja, uma das TIR 
associadas ao projeto de investimento. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
165 
 
Recomenda-se, assim, que seja elaborado um diagrama de 
valor presente para que, graficamente, seja verificado se um 
apresenta mais de uma única TIR. 
 
9.5.3 – Aplicação da metodologia 
 
Seja determinar a TIR associada à seguinte função de valor 
presente: 
 
432 1
300
1
350
1
400
1
450
1200
)i()i()i()i(
)A(VP








 
 
 O processo da bisseção é um procedimento iterativo e 
segue os procedimentos abaixo. Ver, também, a Fig.9.4. 
 
Viabilidade – Inicia-se verificando a viabilidade do projeto 
para alguma taxa de desconto. Para tanto, faz-se i=0. Sendo 
VP>0, o projeto é viável e o processo pode prosseguir. Caso 
ocorra VP<0, o projeto é inviável para qualquer TMA e deve ser 
abandonado. 
 
 1ª iteração – Arbitra-se uma taxa de desconto. Nesta 
primeira iteração foi adotada uma taxa de desconto i=10%. 
Calculado o valor presente obteve-se VP = +7,53R$. 
 
 2ª iteração – Como na iteração anterior obteve-se VP>0, 
arbitra-se uma taxa maior visando obter um VP<0. Nesta 
iteração foi adotada uma taxa de desconto de i=12%. 
Calculado o valor presente chegou-se a VP = -39,56R$. 
 
 3ª iteração – A próxima taxa de desconto adotada, 
utilizando a metodologia da bisseção, corresponde ao resultado 
da média aritmética definida entre as taxas que apresentaram, 
respectivamente, o menor valor presente positivo e o maior 
valor presente negativo: 
 
11
2
1210
2
21
3 




ii
i
 
 
Calculado o valor presente, chega-se a: VP= -16,41 R$. 
 
 
 4ª iteração - A taxa de desconto a seguir adotada 
corresponde à média aritmética entre as duas ultimas taxas 
que apresentaram, respectivamente, o menor valor presente 
positivo e o maior valor presente negativo. Então: 
 
5010
2
1110
2
31
4 .
ii
i 




 
 
Calculado o valor presente, chega-se a: VP= -4,54 R$. 
 
 
 5ª iteração – Considerando que na iteração anterior 
obteve-se um VP= - 4,54, repete-se o procedimento efetuado. 
Logo: 
2510
2
501010
2
41
5 ,
,ii
i 




 
 
Calculado o valor presente, chega-se a: VP= +1,47 R$. 
 
 6ª iteração - A taxa de desconto a ser adotada nesta 
iteração corresponde à média aritmética entre as duas ultimas 
taxas que apresentaram, respectivamente, o menor valor 
presente positivo e o maior valor presente negativo. Ou seja, 
i4= 10,50 e i5 =10,25. Então: 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
166 
 
375010
2
25105010
2
54
6 ,
,,ii
i 




 
 
Calculado o valor presente, chega-se a: VP= -1,54 R$. 
 
 Enésima iteração - repetindo o procedimento exposto 
por n-vezes, chega-se ao valor da TIR = 10,3110%. 
 
 
iteração Taxa de desconto – i% VP – R$ 
viável 0,00 +300,00 
1 10,00 +7,53 
2 12,00 -39,56 
3 (10+12)/2 = 11 -16,41 
4 (10+11)/2 = 10,50 -4,54 
5 (10+10,50) = 10,25 1,47 
6 (10,50+10,25) = 10,3750 -1,54 
7 (10,25+10,3750)/2 = 10,3125 -0,0360 
8 (10,25+10,3125)/2 = 10,28125 0,71730 
9 (10,3125+10,28125)/2=10,29688 0,34053 
······· ·············································· 
n TIR → 10,3110 0,00 
 
 
9.6 - Existência de múltiplas TIR. 
 
9.6.1 – Conceituação. 
 
 Quando se utiliza a TIR como parâmetro de decisão, é 
recomendável a verificação de que ela seja ÚNICA, caso 
contrário poderá o analista incorrer em erro de avaliação. 
 
 Esta unicidade de TIR é garantida quando o polinômio 
representativo do projeto se apresenta como uma função 
contínua, decrescente e convexa, a exemplo dos diagramas 
mostrados na Fig. 9.1. 
 
 Tal situação ocorre quando o projeto é do tipo de 
investimento convencional. No caso de projetos tipo “não 
convencional”, pode ocorrer a existência de diversas TIR, nada 
se podendo afirmar a priori. 
 
 Justifica-se a assertiva acima já que a função valor 
presente associada a um fluxo de caixa pode ser representado 
por uma função polinomial do enésimo grau. Assim, apresenta 
um número de raízes igual ao do grau do polinômio. 
 
 Como o número de raízes é igual ao do grau do 
polinômio, existe um número de TAXAS INTERNAS DE RETORNO 
correspondente ao do grau do polinômio associado ao fluxo de 
caixa. Porém, sendo a maioria delas múltiplas ou não 
pertencentes ao conjunto dos números reais. 
 
 Deste modo, um projeto pode apresentar uma ou várias 
TIR segundo o comportamento do fluxo de caixa. E, o que 
define o comportamento do fluxo de caixa é o número de 
variações de sinal que ele apresenta. 
 
Como exemplo deste tipo de fluxo de caixa pode-se ter 
um fluxo que apresente três variações de sinal como o conjunto 
apresentado acima, caso que pode decorrer na existência de 
um diagrama de fluxo de caixa similar ao representado na 
Fig.9.5, onde fica evidenciada a existência de múltiplas TIR. 
 
Ao apresentar diversas variações de sinal, o valor 
presente da função fluxo de caixa pode ser negativo para 
algumas taxas de desconto. 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
167 
 
No diagrama da Fig. 9.5, pode-se verificar, graficamente, 
a assertiva acima quanto a existência de um conjunto de 
valores presentes negativo associados à taxas de desconto 
que se situam entre a TIR1 e a TIR2. 
 
 
 
 
 
Considerando que um projeto pode ser definido como 
convencional ou não convencional e esta definição é expressa 
pelo número de variações de sinal do fluxo de caixa. E, sendo 
viável o projeto, tem-se: 
 
 a) Investimento do tipo convencional ou empréstimos 
apresenta apenas uma TIR. O comportamento de sua função se 
apresenta de modo decrescente, contínua e convexa, o que 
leva à existência de apenas uma raiz real. Ver diagrama da 
Fig.5.10. 
 
9 Investimento do tipo não convencional pode apresentar 
mais de uma variação de sinal no fluxo de caixa. Deste 
modo o projeto pode dispor de um número de taxas internas 
de retorno igual ao número de variações de sinal. (De Faro, 
1980). 
10 Tomando como exemplo o diagrama da Figura 9.5, 
qualquer empresa que desconte seus investimentos à TMA’s 
situadas entre os valores da TIR-1 e da TIR-2, pode incorrer 
em erro se considerar apenas a taxa interna de retorno 
como parâmetro de decisão. Pois, como visto, ela poderá 
não ser única! 
11 Pelo exposto e quando houver o interesse em conhecer ou 
analisar um projeto do tipo não convencional adotando a TIR 
como parâmetro de decisão, recomenda-se ao analista 
financeiro efetuar o diagrama de valor presente de modo a 
visualizar o comportamento da função. 
 
 
i%
R$
Figura 9.5 - Existência de Múltiplas TIR
TIR 3TIR 1
4 8 12 16 200
 
TMA
TIR 2
Valor Presente
Descontado
Pela TMA
 
 
 
 Esse procedimento evita incorrer em equivoco durante 
seu processo decisão, especialmente quando em análise de 
empreendimentos produtivos. 
 
Esta situação não é corriqueira, mas pode ocorrer em 
empreendimentos produtivos, especialmente aqueles ligados à 
construção civil e à de mineração, quando grandes 
investimentos são realizados e ocorrem períodos onde os 
fluxos de caixa são negativos, especialmente na fase de 
captação de recursos. Ou, em projetos onde se prevê etapas 
sucessivas de aumento de produção que demandem, para 
tanto, novos investimentos. 
 
{ -F0; -F1; +F2; + F3 ;+ F4; -F5 ;-F6 ;-F7;+F8 ;+F9 ;+F10;+F11;+F12} 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
168 
 
 
9.6.2 – Exemplo 
 
 Como exemplo de fluxo de caixa que apresenta mais de 
uma TIR, seja o projeto de investimento que apresenta o 
seguinte fluxo de caixa: {-100; 230; -132}. 
 
 A expressão do valor presente líquido é dada por: 
 
21
132
1
230
100
)i()i(
VPL




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O diagrama de fluxo de caixa deste investimento, 
Fig.9.6, evidencia a existência das duas TIR. 
 
 
9.7 – Exercícios. 
 
9.7.1 - Comparando os projetos representados pelos conjuntos 
de fluxo de caixa solicita-se: os polinômios representativos dos 
mesmos; o diagrama do valor presente dos dois projetos 
representados em um único diagrama cartesiano e, aquele a 
ser recomendado para implantação, sabendo que a empresa 
pratica uma TMA=15% ao período. 
 
P(A) = [-100, 16, 20, 30, 45, 55, 100] e 
P(B) = [-35, - 45, 35, 45, 55, 55, 45] 
 
 
9.7.2 - Calcular a taxa de juros embutida nos projetos de 
financiamento representados pelos seguintes conjuntos de 
fluxos de caixa: 
 
FC(A) = {-1.200; 500; 450; 400; 350; 300} 
 
FC(B) = {-350; -480; 0; 155; 248; 320; 340; 365; 395} 
 
 
9.7.3 - Dentre os cinco projetos de investimentos abaixo, qual 
deles VOCÊ escolheria para ser implantado? Justifique a sua 
opinião! 
 
Projeto 
V. Presente Líquido 
10³ R$ 
TIR - % 
Pay Back 
anos 
A1 123.456,00 22,07 7,20 
B2 132.675,99 19,44 6,40 
C3 132.529,78 19,00 5,00 
D4 101.199,99 29,56 4,10 
E5 125.678,90 31,44 6,90 
 
 
9.7.4 - Qual a diferença conceitual entre TMA e TIR? 
 
VPL - $ 
i 
Figura 9.6. – Exemplo de projeto 
TIR 1 
TIR 2 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
169 
 
9.7.5 - Quando se deve utilizar, num processo de decisão ou 
de comparação de alternativas, cada uma delas? 
 
 
9.7.6 - Você é um dos diretores de uma empresa quando, em 
reunião de diretoria, foi discutida a ampliação e implantação de 
mais uma linha de produção. Para tanto quatro alternativas de 
investimentos foram apresentadas. 
 
 Sabe-se que apenas um dos projetos será escolhido, 
pois os recursos disponíveis são limitados. 
 
 O analista financeiro recomendou a adoção do projeto 
GAMA! 
 
 Ele justificou seu ponto anexando o memorial de calculo 
da TIR dos projetos, cujo resultado consta do quadro abaixo. 
 
 Você concorda com a opinião do analista? Justifique. 
 
 
Projeto Taxa Interna de Retorno 
Alfa 36,9432 
Beta 34,5678 
Gama 39,0298 
Delta 35,7554 
 
 
9.7.7 - Um investimento produtivo cujo horizonte de projeto foi 
previsto para quinze anos, esta sendo analisado sob duas 
condições: 
 
1ª) o investimento dos ativos produtivos poderá ser realizado 
com a utilização de capital dos acionistas, a ser suprido com 
aumento de capital da empresa realizado pelos sócios; 
 
2ª) utilização de capital oriundo de um banco de investimentos. 
Como condições de financiamento, a proposta do banco previa 
quitação em dez parcelas iguais, anuais e consecutivas 
definidas pelo sistema SAC, dois anos de carência e juros de 
8,5% ao ano. 
 
 O analista de investimentos elaborou os respectivos 
fluxos de caixa e os descontou à taxa de remuneração do 
financiamento, ou seja, 8,5% ao ano. 
 
 Pergunta-se: VOCE concorda com a adoção da taxa 
citada? Justifique a sua assertiva. 
 
 
9.7.8 - Você, como Diretor Técnico de uma empresa de 
engenharia que atua na área de terraplenagem, detém a 
responsabilidadede analisar a aquisição de cinco 
equipamentos de compactação de solos. 
 
 Tal equipamento pode ser fornecido por três empresas. 
 
 Para julgamento das propostas recebidas, VOCE dispõe 
das informações constantes do quadro abaixo. E, sabe 
também, que sua empresa pratica uma taxa de atratividade no 
valor de 15% aa. 
 
 Justifique, conceitualmente e á luz de seus 
conhecimentos, qual será a sua decisão! 
 
 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
170 
 
 
 
Equipamento unidade 
Empresa 
Prefax Terrapac Complus 
Modelo 5 PCM-32 TCON-K9 CP-X5 
Preço - Compra 10³ R$/un 420 340 495 
Vida Útil anos 7,0 5,0 9,0 
TIR % 27,99 30,68 36,40 
BAE 10³ R$/ano 844 844 798 
Manutenção 10³ R$/ano 76 64 45 
Valor Presente 10³ R$/ano 3.511,39 2.829,22 3.807,72 
 
 
9.7.9 - Você, como Diretor Técnico de uma empresa de 
engenharia que atua no setor de terraplenagem, detém a 
responsabilidade de analisar a aquisição de cinco 
equipamentos de compactação de solos. 
 
 Tal equipamento pode ser fornecido por três empresas. 
 
 Visando subsidiar o julgamento das propostas, foi 
elaborado o quadro de informações abaixo. 
 
 Além disso, Você sabe que sua empresa adota uma TMA 
no valor de 17,7% aa. Justifique, conceitualmente e á luz de 
seus conhecimentos, qual será a sua decisão! 
 
Especificações 
Equipamento 
unidades 
Empresa 
Prefax Terrapac Complus 
Modelo 5 PCM-32 TCON-K9 CP-X5 
Preço de Compra 10³ R$/un 420,0 340,0 495,0 
Vida Útil anos 7,0 5,0 9,0 
TIR % 27,99 30,68 36,40 
BAE 10³ R$/ano 844,0 844,0 798,0 
Manutenção 10³ R$/ano 76,0 64,0 45,0 
Valor Presente 10³ R$/ano 3.511,39 2.829,22 3.807,72 
 
9.7.10 - Assinale as afirmativas corretas: 
 
 A taxa de desconto adotada na análise de viabilidade de 
alternativas de projetos produtivos deve ser a mesma 
adotada para a quitação dos financiamentos dos projetos. 
 A análise de viabilidade de projetos produtivos, quando 
compara alternativas de projetos de longa duração, deve 
desconsiderar as distintas vidas úteis das mesmas. 
 É irrelevante a elaboração dos diagramas de valor presente 
quando se analisa alternativas de projetos de investimentos 
produtivos não convencionais. 
 A TIR é a taxa de desconto tecnicamente recomendável a 
ser adotada na analise de viabilidade de projetos não 
convencionais. 
 Sempre que se realiza a analise de viabilidade de projetos 
de investimentos produtivos, os valores dos imóveis e 
equipamentos financiados não são considerados no fluxo 
de caixa no momento de sua aquisição. 
 Todas as assertivas acima são incorretas. 
 Todas as assertivas acima são corretas. 
 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
171 
 
 
10. Métodos Algébricos. 
 
Neste capítulo são apresentados alguns métodos 
destinados a calcular algebricamente uma das possíveis TIR 
associadas a um dado fluxo de caixa. 
 
Não se pretende esgotar este assunto, mas fornecer ao 
interessado uma metodologia capaz de solucionar a maioria 
dos problemas desta área de conhecimento. 
 
Em projetos de investimento do tipo simples ou 
convencional, cujos fluxos de caixa apresentem determinada 
lei de formação, a TIR pode ser determinada utilizando uma 
metodologia denominada Fórmulas de Karpin. Isto porque, 
nestes casos, os diagramas de fluxo de caixa se apresentam 
de modo decrescente e convexo ocorrendo uma única TIR. 
 
Ressalta-se que projeto tipo empréstimo é definido como 
aquele em que ocorra apenas uma única saída de caixa 
seguida de tantas entradas de caixa quantos forem os períodos 
de pagamento. E, que a primeira entrada ocorra no período 
imediatamente subsequente ao da saída de caixa. 
 
Em projetos de investimento do tipo não convencional, a 
TIR pode ser determinada utilizando os algoritmos de Wild ou 
de Newton-Raphson. 
 
Considerando que em projetos do tipo não convencional 
ocorrem variações de sinal nos fluxos de caixa, ocorre a 
possibilidade da existência de diversas TIR. Assim sendo, dada 
a facilidade de utilização de métodos computacionais para o 
traçado de diagramas de fluxo de caixa, recomenda-se elaborar 
o desenho dos fluxos de caixa de modo a definir a existência, 
ou não, de uma única TIR. 
 
 
10.1 – Fórmulas de Karpin 
 
 O calculo da TIR utilizando as fórmulas de Karpin, como 
já comentado, é recomendado para utilização em projetos de 
investimentos de modo expedito e que atendam as seguintes 
condições: 
 
i) Em operação de crédito do tipo empréstimo ou 
financiamento, liberado em única vez; 
ii) E, que os pagamentos atendam a uma lei de formação 
pré-definida. 
 
A operação do tipo empréstimo é definida como aquela em 
que ocorre uma única saída de caixa no momento em que 
ocorre a operação financeira, seguida por uma série de 
entradas de caixa. 
 
No caso das formulas de Karpin ocorre uma exigência 
complementar para que possam ser aplicadas é que os 
pagamentos apresentem uma lei determinada de formação. 
Logo, fica vedada sua aplicação para séries que apresentem 
pagamentos distintos. 
 
 É oportuno ressaltar que o resultado obtido pela utilização 
da fórmula de Karpin é aproximado e, para que o resultado seja 
compatível com o real, os juros deverão ser calculados, 
exclusivamente, sobre a importância a ser financiada. 
 
 Isto quer dizer que eventuais entradas ou sinal de 
negócio devam ser abatidos do montante do bem financiado. 
 
 ENGENHEIRO CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 
172 
 
 Três serão os casos de prestações a serem 
apresentados: 
 
E Prestações constantes; 
E Prestações crescentes; 
E Prestações decrescentes. 
 
Como nomenclatura, neste capítulo será adotado: R, 
correspondendo ao valor da prestação; VB, o valor do bem 
financiado; n, representando o número de prestações. 
 
 
10.2 - Caso de Prestações Constantes. 
 
10.2.1 – O método. 
 
O modelo proposto é recomendado para utilização em 
projetos convencional tipo financiamento ou empréstimo com 
retornos constantes, correspondendo a uma série postecipada, 
e destinado a definir a taxa de juros sob a ótica do tomador do 
recurso. 
 
Como exemplo deste tipo de aplicação seja o caso de 
aquisição de bens de consumo realizado no comércio varejista, 
quando os pagamentos realizados à prestação constante. 
 
Estabelecendo a seguinte nomenclatura: S correspondendo 
ao valor a ser financiado; Q representando a prestação; e, n o 
numero de prestações. 
 
 
R1 R2 R3 Rn
Valor 
Do Bem
 1 2 3 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ n
período
R$
Figura 10.1 – Diagrama de Prestação Constante
 
 
 
 
E, considerando um projeto de financiamento representado 
por deu fluxo de caixa: 
 
Projeto: {-VB, R1, R2, R3,..., Rn } 
 
Ou, em forma polinomial, 
 
n
n
3
3
2
2
1
1
)i1(
R
)i1(
R
)i1(
R
)i1(
R
VB)P(VP







 
 
 
Em que, por definição: R1 = R2 = R3 = ···· = Rn = R 
 
O processo de obtenção da TIR ocorre em duas etapas: 
 
 
1º Etapa – Define-se uma constante denominada “a”: 
 
 ENGENHARIA ECONÔMICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
173 
 
1
VB
nR
VB
VBnR
a NN 


 
 
2º Etapa – Calcular-se a TIR: 
 
 Disponível o valor da constante a, pode-se determinar a 
TIR, utilizando o modelo abaixo. 
 
)n(na
)a(a
)P(TIR
132
32



 
 
 
 
10.2.2 – Aplicação. 
 
 Seja calcular a taxa de juros embutida no financiamento 
de um bem cujo preço ofertado é de R$ 1.800,00, a ser pago 
em dez prestações iguais, mensais e consecutivas no valor de 
R$ 195,00. 
 
08333,01