ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE (27)

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Capítulo 3
Modelos Estatísticos
Resenha
Variáveis Aleatórias
Distribuição Binomial
Distribuição de Poisson
Distribuição Normal
Distribuição t de Student
Distribuição Qui-quadrado
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Resenha
Este capítulo aborda as
distribuições de probabilidade 
tendo em conta os conhecimentos de
estatistica descritiva apresentados no 
Capítulo 1 e os de probabilidade
apresentados no Capítulo 2 .
As Distribuições de Probabilidade descrevem 
o que provavelmente acontecerá em vez de o
que realmente aconteceu.
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Definições
�Uma variável aleatória é uma variável 
(usualmente representada por X) que toma 
um certo valor numérico, determinado pelo 
acaso, de cada vez que a experiência é
realizada.
� Uma distribução de probabilidade é 
um gráfico, tabela, ou fórmula que indica
a probabilidade correspondente a cada
valor da variável aleatória. 
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Definições
Uma variável aleatória discreta toma um nº 
finito ou infinito numerável de valores.
Uma variável aleatória contínua toma um nº 
infinito não numerável de valores, os quais 
podem ser associados com medidas numa 
escala contínua. 
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Propriedades das 
Distribuições de Probabilidade
P(x) = 1 
onde x toma todos os valores possíveis.
Σ
0 ≤≤≤≤ P(x) ≤≤≤≤ 1 
para qualquer valor de x.
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Média, Variância e 
Desvio Padrão de uma Variável Aleatória
µ = ΣΣΣΣ [x • P(x)] Média
σσσσ2 = ΣΣΣΣ [(x – µ)2 • P(x)] Variância
σσσσ
2
= [ΣΣΣΣ x2 • P(x)] – µ 2 Variância (forma reduzida)
σσσσ = ΣΣΣΣ [x 2 • P(x)] – µ 2 Desvio Padrão
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Definição
E = ΣΣΣΣ [x • P(x)]
O Valor Esperado de uma variável aleatória 
discreta é denotado por E, e representa a 
média dos resultados. Determina-se através
do valor de ΣΣΣΣ [x • P(x)].
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Em resumo
Até agora aprendemos sobre:
� Combinar os métodos da estatística descritiva
com os da probabilidade. 
� Propriedades da distribuição de probabilidade.
� Média, variância e desvio padrão de uma variável 
aleatória. 
� Variáveis aleatórias e distribuições de 
probabilidade.
� Valor esperado.
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A Distribuição Binomial
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Definições
A distribuição binomial verifica as seguintes condições:
1. A experiência tem um nº fixo de provas, n.
2. As provas são independentes. (O resultado de uma
prova não afecta a probabilidade de ocorrência das 
restantes.)
3. Cada prova origina um de dois resultados possíveis: 
sucesso ou insucesso.
4. A probabilidade de sucesso, denotada por p, é 
constante em cada prova.
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Notação para a Distribuição 
Binomial
n denota o nº de provas (valor fixo à partida). 
x denota um nº específico de sucessos em n
provas, logo x pode ser qualquer nº entre 0 e 
n, inclusive.
p denota a probabilidade de sucesso em cada 
uma das n provas. 
q denota a probabilidade de insucesso em cada 
uma das n provas. 
P(x) denota a probabilidade de obter exactamente x
sucessos em n provas (P(x)=P(X=x)). 
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Métodos para Determinar
as Probabilidades com a
Distribuição Binomial
Vejamos três métodos possíveis para 
determinar as probabilidades correspondentes 
à variável aleatória X com distribuição binomial.
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Método 1: Usando a 
Fórmula da Probabilidade na
Distribuição Binomial
P(X=x) = • px • qn-x(n – x)!x!n !
para x = 0, 1, 2, . . ., n
onde
n = nº de provas
x = nº de sucessos nas n provas
p = probabilidade de sucesso em cada prova
q = probabilidade de insucesso em cada prova (q = 1 – p)
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Método 2: Usando uma Tabela 
de Probabilidades
Reproduz-se em baixo parte da tabela da binomial que 
vamos usar. Com n = 5 e p = 0.2 na distribuição binomial, 
as probabilidades de obter 0, 1, 2, 3, 4 e 5 sucessos são 
0.3277, 0.4096 (=0.7373-0.3277), 0.2048 (=0.9421- 0.7373), 
0.0512, 0.0064 e 0.0003, respectivamente.
n = 5 p
x .01 .05 .10 .20
0 .3277
1 .7373
2 .9421
3 .9933
4 .9997
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Método 3:
Usando a Tecnologia
Software Estatístico, Excel e algumas calculadoras 
fornecem-nos as probabilidades da distribuição binomial.
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Distribuição Binomial:
Fórmulas
Desvio Padrão σσσσ = n • p • q
Média µ = n • p
Variância σσσσ 2 = n • p • q
onde
n = nº de provas
p = probabilidade de sucesso em cada uma das n
provas
q = probabilidade de insucesso em cada uma das n
provas
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Esta situação pode ser resolvida através da 
distribuição binomial onde:
n = 14
p = 0.5
q = 0.5
Usando as fórmulas da distribuição binomial, temos : 
µ = (14)(0.5) = 7 raparigas
σ σ σ σ = (14)(0.5)(0.5) = 1.871 raparigas
Exemplo
Determine a média e o desvio padrão para o nº de 
raparigas em 14 nascimentos. 
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Interpretação dos Resultados
Valores Máximos Usuais = µ + 2 σσσσ
Valores Mínimos Usuais = µ – 2 σσσσ
É especialmente importante interpretar os
resultados. Os valores dizem-se pouco usuais
se se encontrarem para além dos seguintes
limites:
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Para esta distribuição binomial,
µ = 50 raparigas
σσσσ = 5 raparigas
µ + 2 σσσσ = 50 + 2(5) = 60
µ - 2 σσσσ = 50 - 2(5) = 40
Em 100 nascimentos, é usual nascerem entre 40 e 60 
raparigas. Assim, não é usual nascerem 68 raparigas.
Exemplo
Determine se é usual em 100 nascimentos, 68 
serem raparigas.
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A Distribuição de Poisson
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Definição
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta que 
se aplica quando ocorre um acontecimento num intervalo 
especificado. A variável aleatória X representa o nº de 
ocorrências num determinado intervalo. O intervalo pode 
se referir a tempo, distância, área, volume, ou algum tipo 
de medida similar. 
P(X=x)= onde e ≈≈≈≈ 2.71828µ x • e -µ
x!
Fórmula
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Condições da 
Distribuição de Poisson
�A variável aleatória X designa o nº de acontecimentos 
nalgum intervalo. Assim, pode tomar quaisquer dos 
valores 0, 1, 2, …)
�Os acontecimentos têm que ser aleatórios.
�Os acontecimentos são independentes.
• Parâmetros
�A média é µ.
� O desvio padrão é σσσσ = µ .
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Diferenças em relação à
Distribuição Binomial
A distribuição de Poisson difere da distribuição
binomial nos seguintes aspectos fundamentais:
� A distribuição binomial é caracterizada pela
dimensão da amostra n e pela probabilidade de 
sucesso p, enquanto que a distribuição de Poisson 
é caracterizada apenas pela média µ.
� Numa distribuição binomial, os valores que a 
variável aleatória X pode tomar são 0, 1, . . . n, 
enquanto que na distribuição de Poisson a variável
X toma os valores 0, 1, . . . , sem limite superior.
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Exemplo
Bombas da 2ª Guerra Mundial Em 1945 os alemães
bombardearam Londres com as bombas V2. A região
londrina está dividida em 576 distritos de superfícies
semelhantes, pelo que admitimos que cada distrito tem 
igual probabilidade de ser bombardeado. Calcula-se que 
o nº de bombas recebidas por Londres foi de 535. 
Se um distrito for seleccionado ao acaso, determine 
a probabilidade de ter sido bombardeado com 
exactamente 2 bombas. 
A distribuição de Poisson é adequada porque 
estamos a lidar com umasituação de ocorrência de 
acontecimentos (nº de bombas recebidas) num certo 
intervalo (distrito).
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Exemplo
Assim, a probabilidade de um qualquer distrito ser 
atingido por exactamente 2 bombas é P(X=2) = 0.170.
O nº médio de bombas por distrito é
µ = 535 = 0.929
576
Então, P(X=2) = 0.9292 e-0.929 = 0.170.
2!
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Cálculo da probabilidade na Distribuição 
de Poisson usando uma Tabela
Reproduz-se em baixo parte da tabela da distribuição de 
Poisson que vamos usar. Com µ = 0.20, as probabilidades 
de ocorrerem 0, 1, 2, 3 e 4 acontecimentos são 
0.8187, 0.1638 (=0.9825-0.8187), 0.0164 (=0.9989- 0.9825), 
0.001, e 0.0001, respectivamente.
µ 
x .05 .10 .15 .20
0 .8187
1 .9825
2 .9989
3 .9999
4 1.0000
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Distribuição Normal
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� Variável aleatória contínua
� Distribuição Normal
Caracterização
Figura 3-1
Fórmula 3-1
f(x) = σσσσ 2 pipipipi
x-µµµµ
σσσσ
2( )
e
-1
2
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� Curva da Densidade (ou da função 
densidade de probabilidade é o gráfico da 
distribuição de probabilidade de uma 
variável aleatória contínua). 
Definições
1. A área total sob a curva é igual a 1.
2. Todo o ponto sob a curva deve ter uma 
ordenada de valor igual ou superior a 
zero. 
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Uso da Área para 
determinar a Probabilidade
Figura 3-2
Como a área total sob a curva é igual a 1, existe 
uma correspondência entre a área e a 
probabilidade.
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Alturas de Homens e Mulheres
Figura 3-3
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Definição
Distribuição Normal Standard :
a distribuição Normal que tem
média 0 e desvio padrão 1.
Figura 3-4
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P(a < z < b) 
denota a probabilidade de z tomar valores entre
a e b
P(z > a)
denota a probabilidade de z tomar valores maiores do 
que a
P(z < a)
denota a probabilidade de z tomar valores menores do
que a
Notação
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Cálculo do valor de z correspondente 
a uma certa probabilidade
Figura 3-5
Cálculo do Percentil 95
1.645
5% ou 0.05
(o valor de z será positivo)
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Figura 3-6 
Cálculo dos Percentis 2.5% e 97.5%
(Um dos valores de z será negativo e o outro positivo)
Cálculo do valor de z correspondente 
a uma certa probabilidade
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Distribuições Normais 
não Standard
Se µµµµ ≠≠≠≠ 0 ou σ σ σ σ ≠≠≠≠ 1 (ou ambos), teremos que 
converter os valores usando a Fórmula 3-2; 
então, os procedimentos passam a ser os 
mesmos do que os usados com a distribuição 
Normal Standard. 
Fórmula 3-2
x – µ
σσσσz =
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Figura 3-7
Conversão para a Distribuição
Normal Standard 
x – µµµµ
σσσσ
z =
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 1. Não confunda valores de z com as correspondentes 
áreas. Os valores de z são distâncias ao longo do eixo 
horizontal enquanto que as áreas são regiões sob a 
curva da distribuição Normal. A tabela usada apresenta 
os valores de z na coluna à esquerda e na linha superior, 
enquanto que as áreas se encontram no “meio” da 
tabela. 
 2. Escolha o lado certo (direito/esquerdo) do gráfico.
 3. Um valor de z deve ser negativo sempre que se 
encontre na metade esquerda da distribuição Normal.
 4. As áreas (ou probabilidades) têm valores positivos ou 
nulos, mas nunca têm valores negativos. 
Precauções a ter em conta
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Cálculos usando a Tabela da 
distribuição Normal Standard
Seja Z a variável aleatória com distribuição Normal 
standard, ou seja, com valor médio zero e desvio padrão 1.
Para calcular P(Z<0.32), é necessário consultar a tabela, na 
página referente aos valores positivos de z, como a seguir 
se indica:
z .00 .01 .02
0.0 .5080
0.1 .5478
0.2 .5871
0.3 .6255
Assim, P(Z<0.32)=0.6255.
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Cálculos usando a Tabela da 
distribuição Normal Standard
De modo análogo, P(Z<-1.51)=0.0655, mas onde agora se 
consultou a mesma tabela, embora na parte referente aos 
valores negativos de z.
Por outro lado, para encontrar o valor de z correspondente 
a uma certa probabilidade, por exemplo, 0.975, o valor da 
probabilidade tem que ser procurado no interior da tabela 
para, só depois, determinar o valor de z que lhe 
corresponde.
z … .05 .06
… …
1.8 .9686
1.9 .9750
Assim, o valor de z correspondente à probabilidade 0.975 é 
1.96, ou seja, se P(Z<t)=0.975, então t=1.96.
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Aproximação da Distribuição Binomial 
pela Distribuição Normal se:
np ≥≥≥≥ 5 e
nq ≥≥≥≥ 5
então µ = np e σσσσ = npq 
e a variável aleatória tem uma
distribuição Normal
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Procedimento para usar a Distribuição 
Normal para Aproximar a Distribuição 
Binomial
1. Verifique que a distribuição Normal é uma aproximação 
adequada à distribuição Binomial confirmando que np ≥≥≥≥ 5 e
nq ≥≥≥≥ 5.
2. Determine os valores dos parâmetros µ e σσσσ calculando µ = np e 
σσσσ = npq.
3. Identifique o valor discreto de x (o nº de sucessos). Altere o 
valor discreto x substituindo-o pelo intervalo x – 0.5 a x +0.5. 
Represente a curva da Normal e assinale os correspondentes 
valores de µ , σσσσ, e de x – 0.5 ou x + 0.5, conforme a situação. 
4. Determine a área correspondente à probabilidade desejada.
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Definição
Quando usamos a distribuição Normal 
(que é uma distribuição contínua) para
aproximar a distribuição Binomial (que é
uma distribuição discreta), fazemos uma
correção de continuidade ao valor 
discreto x na distribuição binomial 
representando o valor x pelo intervalo de 
x – 0.5 a x + 0.5.
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Figura 3-8
x = pelo menos 120
= 120, 121, 122, . . .
x = mais do que 120
= 121, 122, 123, . . .
x = no máximo 120
= 0, 1, . . . 118, 119, 120
x = menos do que 120
= 0, 1, . . . 118, 119
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x = exactamente 120
Intervalo que representa o valor discreto 120
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Distribuição t de Student
A distribuição t de Student é a designação 
de uma família de distribuições indexada 
pelo parâmetro νννν, que representa o 
número de graus de liberdade (g.l.).
Reproduz-se em seguida parte da tabela 
desta distribuição.
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Distribuição t de Student
αααα
νννν … .025 .01
… …
9 2.8214
10 2.7638
Os valores indicados escrevem-se na forma 
t(0.01; 10) = 2.7638
e lê-se: o percentil 0.01 da distribuição t de 
Student com 10 graus de liberdade é 2.7638.
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Distribuições t de Student
com n = 3 e n = 12
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Características importantes da 
distribuição t de Student
1. A distribuição t de Student varia de acordo com a 
dimensão da amostra (de acordo com a figura anterior, 
para os casos n = 3 e n = 12).
2. A curva da distribuição t de Student tem a mesma forma 
em sino da distribuição Normal, mas reflecte a maior 
variabilidade (com curvas mais alargadas) que é de 
esperar em amostras pequenas.
3. A distribuição t de Student tem valor médio zero (tal como 
a distribuição Normal standard).
4. O desvio padrão da distribuição t de Student varia de 
acordo com o tamanho da amostra e é maior do que 1 (o 
que não acontece com a distribuição Normal standard, 
onde σ σ σ σ = 1).
5. Quanto maior a dimensão da amostra, mais a distribuição t
de Student se aproxima da distribuição Normal.Slide 50
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Distribuição Qui-quadrado
A distribuição Qui-quadrado é a designação
de uma família de distribuições indexada 
pelo parâmetro νννν, que representa o número
de graus de liberdade (g.l.).
Reproduz-se em seguida parte da tabela 
desta distribuição.
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Distribuição Qui-quadrado
α (α (α (α (���������dade))))
gl (df) … .10 .05
… …
9 16.919
10 18.307
Os valores indicados escrevem-se na forma 
ℵℵℵℵ2(0.05; 10) = 18.307
e lê-se: o percentil 0.05 da distribuição Qui-
quadrado com 10 graus de liberdade é 18.307.
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Características da distribuição
Qui-Quadrado
1. A distribuição Qui-quadrado não é simétrica, ao 
contrário do que sucede com as distribuições Normal 
e t de Student.
Distribuição Qui-quadrado Distribuição Qui-quadrado para 
g.l.= 10 e g.l.= 20
À medida que o nº de graus de liberdade aumenta,,
a distribuição torna-se mais simétrica.
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Características da distribuição
Qui-Quadrado
2. Os valores da distribuição Qui-quadrado podem ser 
positivos ou nulos, mas não podem ser negativos.
3. A distribuição Qui-quadrado é diferente consoante o nº
de graus de liberdade, os quais se escrevem g.l.= n – 1. 
À medida que o nº de g.l. aumenta, a distribuição 
aproxima-se da distribuição Normal.