Exercícios de apoio - Semana 3_ GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR_Univesp

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Posições rela�vas, distâncias e espaço vetorial3
 
EXERCÍCIOS DE APOIO (SEMANA 3)
Apenas para praticar. Não vale nota.
Determine as posições relativas das seguintes retas 
 
 
 
1.
 e 
 
a.
 e 
 
b.
 e 
 
c.
 e d.
Determine as posições relativas entre os planos, caso sejam concorrentes determine a reta
interseção dos planos. 
 
 
 
 
2.
 e 
 
 
a.
 e 
 
 
b.
 e 
 
 
c.
 e d.
Verifique que os planos e são ortogonais e
determine uma equação para a reta . 
 
 
 
3.
Determine a posição relativa entre a reta e o plano 
 
 
 
 
4.
Determine uma equação para a reta , paralela a , concorrente com a
reta e que contém o ponto 
5.
 
 
 
Determine uma equação para a reta r, paralela à reta 
 
 e que contém o ponto . 
 
 
6.
Encontre uma equação para a reta , que é perpendicular à reta 
 
 
 
 
 
7.
, e que contém o ponto . 
 
a.
, e que contém o ponto b.
Determine a equação da reta r, normal ao plano de equação geral 
 
 e que passa pelo ponto 
 
 
 
8.
Encontre o plano que contem o ponto e é ortogonal à reta 
 
. 
 
 
 
9.
Calcule a distância do ponto à reta . 
 
 
 
10.
Calcule a distância do ponto ao plano . 
 
 
11.
Calcule a distância do ponto à reta determinada pelos pontos 
 e . 
 
 
12.
Determine a distância entra as retas e . 
 
 
 
 
13.
Calcule a distância entre os planos: e 
 
 
 
14.
Verifique se as seguintes retas são ortogonais. Em caso afirmativo, verifique se são
perpendiculares e, neste caso, encontre o ponto de interseção das retas. 
 
15.
, e , 
 
 
a.
, e , 
 
 
b.
Determine as posições relativas entre a reta e o plano 
. No caso da reta ser transversa ao plano, determine o ponto 
 
 
 
16.
Determine uma equação para a reta , paralela a , concorrente com a
reta e que contém o ponto 
 
 
17.
Determine a distância entre as retas: , e 
, . 
 
 
 
18.
Seja a reta que passa pela origem e é paralela ao vetor . Se é um
ponto do plano , tal que a distância de à reta r seja igual a 1, então: 
 
 
 
 
 
19.
 
 
a.
 
 
b.
 
 
c.
 
 
d.
e.
Considere as retas e . É correto afirmar que: 
 
20.
As retas r e s são paralelas distintas. 
 
a.
 
 
As retas r e s são paralelas coincidentes. 
 
b.
As retas r e s são concorrentes. 
 
c.
As retas r e s são reversas. 
 
d.
As retas r e s são perpendiculares. e.
Uma equação geral para o plano que contém o ponto e é ortogonal à
reta r determinada pelos pontos e é: 
 
 
 
 
21.
 
 
a.
 
 
b.
 
 
c.
 
 
d.
e.
Se , tais que os vetores , e são L.D.,
então o valor de é:
 
 
22.
2 
 
a.
3 
 
b.
-1 
 
c.
-4 
 
d.
0e.
Considere o sistema linear . O conjunto A das soluções do sistema 
 é: 
 
23.
 
 
a.
 
 
 
 
 
 
b.
 
 
c.
 
 
d.
e.
MOSTRAR GABARITO
1. e 
 
Sejam e , como , temos que é LD, logo as
retas são paralelas, precisamos verificar se coincidem ou não. 
 
Seja , vamos verificar se A também pertence à reta s. 
 
, para algum 
 
 
 
 
Logo e, portanto, 
 
 
a.
 e 
 
Sejam e , como , para qualquer , temos que 
 
 é L.I, logo as retas não são paralelas, vamos verificar se elas pertencem a um
mesmo plano. 
 
Sejam e , 
 
Vamos verificar se é L.I ou L.D. 
 
 
 
b.
Logo é LI e as retas são reversas. 
 
 
 
 e 
 
Sejam e , como , para qualquer , temos que 
 é LI, logo as retas não são paralelas, vamos verificar se elas pertencem a um
mesmo plano. 
 
Sejam e , 
 
Vamos verificar se é LI ou LD. 
 
 
 
Logo é LI e as retas são reversas. 
 
 
 
 
c.
 e 
 
Sejam e , como , para qualquer , temos que 
 é LI, logo as retas não são paralelas, vamos verificar se elas pertencem a um
mesmo plano. 
 
Sejam e , 
 
Vamos verificar se é LI ou LD. 
 
 
 
Logo é LD e as retas são concorrentes.
 
 
 
d.
2. e 
 
Sejam e , como é L.I, os planos são
transversos, vamos encontrar uma equação da reta . 
 
 
a.
 
 
 
 
Da 2ª equação temos que, , substituindo na 1ª equação temos: 
 
 
 
 
 
Logo , 
 
 
 
 e 
 
Sejam e , como , os planos são
paralelos, vamos verificar se coincidem. 
 
, logo e são coincidentes. 
 
 
b.
 e Sejam e 
, como é LI, os planos são transversos, vamos encontrar uma
equação da reta .
 
 
 
Da 2ª equação temos que, , substituindo na 1ª equação temos: 
 
 
 
Logo , 
 
Assim , 
 
 
c.
 e 
 e , como , os planos são paralelos,
vamos verificar se coincidem. 
 
, logo e não são coincidentes. 
 
 
d.
 e .
 
Temos: 
 
 e são vetores normais a e respectivamente, 
 
, logo . 
 
Vamos encontrar uma equação para a reta 
 
Um vetor paralelo a reta r é dado por 
 
Tomemos então , vamos encontrar um ponto . 
 
Se , por outro lado, como 
 
, logo, 
 
 
 
 
 
Escolhendo e assim 
 
Assim o ponto 
 
Logo , . 
 
 
 
3.
 e 
 
Sejam e , como , a reta é paralela ao plano, vamos
verificar se ela esta contida ou não no plano. 
 
Seja , , logo A não pertence ao plano , assim
r não esta contida no plano . 
 
 
 
4.
Se , quero encontrar tal que seja paralelo a , ou seja,
tal 
 
5.
, onde é um vetor normal ao plano . 
 
Tome , temos , logo 
 
, logo 
 
, , 
 
 
 
A direção da reta r é a mesma direção do vetor , com e normais aos planos
que definem a reta s. 
 
Tome , 
 
logo , 
 
 
 
6.
7. Vamos encontrar as coordenadas do ponto , de tal forma que , onde 
, a reta procurada é a reta por P com direção do vetor . 
 
Se , logo , 
 
 
 
Logo 
 
, 
 
Também podemos escrever 
 
, 
 
 
a.
Vamos encontrar as coordenadas do ponto , de tal forma que , onde 
, assim a reta procurada é a que contém o ponto P e tem a direção do
vetor . 
 
Se , 
 
logo , 
b.
 
 
 
Logo 
 
, 
 
Também podemos escrever 
 
, 
 
 
Sabemos que é um vetor normal a , logo 
 
, 
 
 
 
8.
Como queremos ortogonal a , o vetor é um vetor normal ao plano , logo 
 tem uma equação geral da forma: 
 
 
 
 
Como , logo 
 
 
 
 
9.
 
 
 
 
10.
 
 
 
 
11.
 , onde e tem a direção da reta
por A e B.
12.
 
. 
 
Como . 
 
 
 
Como as retas são paralelas, pois , podemos reescrever a equação
da reta r, multiplicando a equação dada por -2 e obtemos: 
 
, como 
 
 
 
 
 
 
13.
Sejam e , como , os planos são paralelos. 
 
Multiplicando os coeficientes da equação geral de por -1, as equações de e ficam
com os mesmos coeficientes para x, y e z. 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
14.
15. , 
 
, 
 
Temos, e , assim , logo r e s não são
ortogonais. 
 
 
 
 
a.
, b.
 
, 
 
Temos, e , assim , logo r e s são
ortogonais. 
 
Vamos verificar se são perpendiculares. 
 
Se , então e . 
 
, para algum 
 
, para algum 
 
Dessa forma temos: 
 
 
 
 
 
 
Na 1ª equação temos que , substituindo na 2ª equação temos 
 
, logo . 
 
Substituindo na 3ª equação, . 
 
Logo e, portanto, não são perpendiculares. 
 
 
 
 e 
 
Sejam e , como , a reta é transversalao plano .
Vamos encontrar o ponto . 
 
Como , para algum . 
 
Como 
 
Assim . 
 
 
 
16.
Se , quero encontrar tal que seja paralelo a ,
ou seja, tal , onde é um vetor normal ao plano . 
 
Tome , temos , logo 
 
 , logo 
 
, , 
 
 
 
17.
Sejam e , como , temos que é LI, logo as retas
não são paralelas. 
 
Sejam e , temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
18.
Uma equação vetorial para a reta é , .
 
Como , temos que .
 
 
Em que e , assim, , e 
 
19.
, mas , então 
 
Logo, , dessa forma:
 
 
 
 
Alternativa e). 
 
 
 
Como os coeficientes de x, y, z na equação simétrica de r são iguais a 1, temos que uma
equação vetorial para r é , 
 
, logo os pontos da reta s são da forma , então
uma 
 
equação vetorial para s é , .
Como é L.I., as retas não são paralelas, por outro lado, , logo elas não
são ortogonais, e como o ponto , elas são concorrentes.
Alternativa c). 
 
 
 
20.
Um vetor normal ao plano é o vetor diretor da reta r por A e B. Podemos tomar 
, assim tem uma equação geral da forma . Para determinar
o valor d, basta impor que o ponto , assim,
uma equação geral para o plano é .
Alternativa a) 
 
21.
é L.D. 
 
 
Alternativa d). 
 
 
 
22.
 
, da 3ª equação, temos que . Substituindo na 1ª equação,
obtemos 
 
. Levando ambas para a 2ª equação, obtemos que 
 e, 
 
portanto, 
 
as soluções são da forma , .
Alternativa c).
 
23.