P1 Fisica III Completo 2015.1 2010.1

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Coletânea 
Provas Antigas 
 
P1 - P2 - PF
P1
P2
PF
Física III 
 
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/1 – Primeira Prova: 13/05/2015
Versa˜o: A
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V ,
∫
du sen2u =
u
2
− sen(2u)
4
, ~r = xxˆ+ yyˆ + zzˆ
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Duas part´ıculas de cargas q1 e q2, separadas pela
distaˆncia d, produzem um potencial V12(P ) = 0 no
ponto P . Traz-se enta˜o uma terceira part´ıcula do in-
finito ate´ o ponto P. Sabendo-se que o potencial ge-
rado pelas 3 part´ıculas V123 e´ nulo no infinito, pode-se
concluir que
(a) O campo ele´trico gerado apenas por q1 e q2
deve ser zero em P .
(b) O trabalho total para aproximar as part´ıculas
de carga q1 e q2 do infinito ate´ a distaˆncia d e´
zero.
(c) O trabalho realizado pela forc¸a ele´trica ao
trazer-se a terceira carga do infinito para o
ponto P e´ zero.
(d) A forc¸a ele´trica exercida por q1 e q2 sobre q3 e´
zero.
(e) A energia potencial desse sistema de 3 cargas
e´ zero.
2. Considere um cubo uniformemente carregado com
densidade volumar ρ. Um aluno deseja calcular o
campo ele´trico em um ponto P fora do cubo e para
isso resolve usar a lei de Gauss trac¸ando uma su-
perf´ıcie gaussiana cu´bica que passa pelo ponto P. Ele
faz as seguintes afirmac¸o˜es sobre o problema: (I) A
lei de Gauss vale nessa situac¸a˜o ; (II) Para usar a
lei de Gauss, basta escolher uma superf´ıcie gaussiana
que tenha a mesma simetria do objeto em questa˜o;
(III) Tendo o objeto e a superf´ıcie gaussiana simetria
cu´bica, e´ poss´ıvel afirmar que o campo e´ constante so-
bre a superf´ıcie gaussiana. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Nenhuma.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas.
1
3. Uma superf´ıcie imagina´ria esfe´rica fechada envolve
completamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pontos da
superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico possui mo´dulo constante em
todos os pontos da superf´ıcie.
(c) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em todos
os seus pontos.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma parte
da superf´ıcie pode na˜o ser igual a zero.
(e) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie
na˜o pode ser igual a zero, pois ha´ cargas en-
volvidas pela mesma.
4. Considere as seguintes afirmativas: (I) part´ıculas car-
regadas, no exterior de uma superf´ıcie fechada S,
na˜o contribuem nem para o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de S, nem para o campo ele´trico resultante em
pontos de S; (II) se o fluxo do campo ele´trico atrave´s
de uma superf´ıcie fechada for zero, na˜o ha´ part´ıculas
carregadas no interior de tal superf´ıcie, e (III) a lei de
Gauss so´ vale para distribuic¸o˜es de carga sime´tricas.
Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)?
(a) Nenhuma.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas.
5. Dois basto˜es ideˆnticos, finos, de mesmo comprimento
L, esta˜o dispostos nos semi-eixos positivos X e Y con-
forme mostra a figura. Neles, ha´ uma distribuic¸a˜o
de carga estaciona´ria, na˜o necessariamente uniforme,
com a mesma densidade linear λ(s), onde s e´ a
distaˆncia de um ponto gene´rico sobre um dos basto˜es
ate´ a origem. Considere dois elementos infinitesimais,
nos pontos P : (x, 0) e Q : (0, y), dos basto˜es em X e
Y , com comprimentos dx e dy, respectivamente. Qual
e´ a forc¸a ele´trica d ~FP→Q que o elemento em P exerce
sobre o elemento em Q?
(a) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(−xxˆ + yyˆ) .
(b) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(xxˆ + yyˆ) .
(c) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(xxˆ − yyˆ) .
(d) k0
λ2
(√
x2 + y2
)
x2 + y2
(ds)2 (xˆ+ yˆ) .
(e) k0
λ2
(√
x2 + y2
)
x2 + y2
xˆ .
6. Treˆs part´ıculas pontuais de cargas +Q,−Q e +q
(Q, q > 0) esta˜o localizadas respectivamente nos pon-
tos de coordenadas (x,0), (-x,0) e (0,y) num sistema
de eixos cartesianos (x > 0, y > 0). Sabendo que xˆ, yˆ
sa˜o os vetores unita´rios nas respectivas direc¸o˜es x e
y, podemos dizer que a forc¸a resultante na part´ıcula
de carga +q devida a`s outras duas part´ıculas teˆm a
direc¸a˜o e sentido do vetor
(a) yˆ
(b) −yˆ
(c) xˆ
(d) −xˆ
(e) xˆ+ yˆ
2
7. Considere um capacitor de duas placas paralelas (com
va´cuo entre elas), inicialmente separadas por uma
distaˆncia d e submetidas a uma voltagem V . Algue´m
enta˜o dobra a voltagem entre as placas, mantendo a
distaˆncia de separac¸a˜o . Conclui-se enta˜o que
(a) A capacitaˆncia na nova configurac¸a˜o e´ o dobro
da configurac¸a˜o inicial.
(b) A capacitaˆncia na nova configurac¸a˜o e´ a me-
tade da configurac¸a˜o inicial.
(c) A capacitaˆncia na nova configurac¸a˜o e´ o
qua´druplo da configurac¸a˜o inicial.
(d) A capacitaˆncia na˜o se altera, pois ela e´ inde-
pendente da voltagem aplicada.
(e) Nenhuma das afirmativas anteriores esta´ cor-
reta.
8. Desejamos colocar treˆs part´ıculas pontuais, cujas car-
gas sa˜o dadas por q1 = q2 = q e q3 = −q, nos
ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero. Considere que
inicialmente as part´ıculas estavam no infinito e infini-
tamente distantes entre si. O que podemos dizer sobre
o trabalho necessa´rio para montar essa configurac¸a˜o?
(a) Ele depende da ordem com que trazemos as
part´ıculas.
(b) Ele independe da ordem, mas depende das tra-
jeto´rias pelas quais trazemos as part´ıculas.
(c) Ele independe da ordem e das trajeto´rias, mas
depende do valor de q.
(d) Ele independe de qualquer coisa, pois, pela si-
metria da disposic¸a˜o das cargas, o trabalho e´
nulo.
(e) Nenhuma das afirmativas anteriores esta´ cor-
reta.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (5,2 pontos)
1. [3,0 pontos] Considere um semi-anel circular, fino, de raio R, situado no plano z = 0, conforme mostra a figura.
Suponha que a densidade linear de carga de tal semi-anel seja dada por
λ(ϕ) = C sinϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π , C = const
onde ϕ e´ o tradicional aˆngulo polar, medido no sentido anti-hora´rio, a partir do eixo X .
(a) Qual e´ a carga ele´trica total, Q, do semi-anel? [0,4 ponto]
(b) Calcule o campo ele´trico ~E na origem. [0,8 ponto]
(c) Calcule o potencial eletrosta´tico V (P) em um ponto qualquer do eixo Z, com cota z 6= 0 (Sabendo-se que o
potencial no infinito e´ nulo). [0,8 ponto]
(d) Que componente(s) do campo ele´trico, no mesmo ponto mencionado no item (c), pode(m) ser deduzida(s) a
partir do resultado obtido no item anterior? Justifique e deduza-a(s). [1,0 ponto]
2. [2.2 pontos] O potencial ele´trico em uma regia˜o do espac¸o e´ dado por V (x, y, z) = A(x2 + y2 + z2), onde A e´ uma
constante na˜o nula.
(a) Deduza uma expressa˜o para o campo ele´trico ~E na regia˜o. [0,6 ponto]
3
(b) Deduza o trabalho W realizado pela forc¸a ele´trica sobre uma part´ıcula de carga q, quando esta e´ deslocada do
ponto (0, 0, z0) ate´ o ponto (0, 0, z0/2). [0,8 ponto]
(c) Seja agora uma regia˜o esfe´rica, centrada na origem, de raio R. Qual a carga no interior dessa superf´ıcie? [0,8
ponto] OBS: voceˆ pode achar u´til escrever o campo em coordenadas esfe´ricas.
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (c)
2. (b)
3. (d)
4. (a)
5. (a)
6. (d)
7. (d)
8. (c)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Para uma distribuic¸a˜o linear (ou curvil´ınea), unidimensional, um elemento seu infinitesimal, de comprimentodℓ, possuira´ uma carga infinitesimal
dq = λ dℓ .
Como, na situac¸a˜o em pauta,
λ = C sinϕ
e
dℓ = Rdϕ > 0 ,
temos, pois,
dq = CR sinϕdϕ .
A carga total sera´, portanto,
Q = CR
∫ pi
0
dϕ sinϕ ⇒ Q = 2CR (1)
�
(b) Resolveremos este item pelo princ´ıpio de superposic¸a˜o para o campo ele´trico. Como o semi-anel possui simetria
de reflexa˜o com relac¸a˜o aos plano Y Z e XY , conclu´ımos respectivamente que as componentes Ex e Ez sa˜o nulas,
restando enta˜o apenas a componente Ey. Temos enta˜o
~E(~0) = yˆ
∫
dEy = yˆ
∫
(−|d~E| sinϕ) = − yˆ
4πǫ0
∫ Rdϕ︷︸︸︷
dℓ C sinϕ
|~0−~r|
|~0−~r|2︸ ︷︷ ︸
=R/R2=1/R
sinϕ = − yˆC
4πǫ0R
∫ pi
0
dϕ sin2 ϕ︸ ︷︷ ︸
pi/2
, (2)
donde
~E(~0) = − yˆC
8ǫ0R
(3)
�
(c) Resolveremos este item pelo princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial ele´trico. Um elemento infinitesimal do
anel, com carga infinitesimal dq, cria, em um ponto P do eixo Z, com cota z, o seguinte potencial infinitesimal:
dV = k0
dq
r
,
1
onde r e´ a distaˆncia do elemento ate´ o ponto P, ou seja,
r =
√
z2 +R2 .
Como todos os pontos do anel esta˜o a mesma distaˆncia de P, o potencial resultante sera´:
V (x = 0, y = 0, z) =
1
4πǫ0
Q√
z2 +R2
⇒ V (0, 0, z) = 1
4πǫ0
2CR√
z2 +R2
(4)
�
(d) Como esta´ formalmente expl´ıcito no resultado final do item anterior, conhecemos os valores do potencial
somente sobre o eixo Z, na˜o fora dele. Portanto, na˜o podemos calcular a derivada do potencial com respeito a`s
coordenadas x ou y, mas sim somente com respeito a` coordenada z. Logo, fica claro que, a partir da expressa˜o (4),
so´ podemos deduzir, legitimamente, a componente z do campo ele´trico, que e´
Ez = −∂V
∂z
,
ou seja,
Ez(x = 0, y = 0, z) = k0
Qz
(z2 +R2)3/2
zˆ . (5)
Intuitivamente, vemos que a componente Ey e´ na˜o nula, pois temos elementos de carga apenas no semi-plano
X > 0. Portanto, para C > 0, por exemplo, a componente Ey deve ser negativa. Se, ingenuamente, calcula´ssemos
diretamente as derivadas de (4) com respeito a y, encontrar´ıamos o absurdo Ey = 0, justamente porque aquela
expressa˜o so´ vale para x = y = 0. Por outro lado, a simetria do semi-anel garante que Ex = 0, mas em hipo´tese
alguma deve-se achar que isso e´ consequeˆncia da derivada de (4) com relac¸a˜o a x se anular, devido novamente ao
fato dessa expressa˜o so´ valer para x = y = 0.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) O campo ele´trico pode ser obtido a partir do potencial ele´trico a partir de
~E = −~∇V, (6)
e o gradiente de V e´ dado por
~∇V = ∂V
∂x
xˆ+
∂V
∂y
yˆ +
∂V
∂z
zˆ = 2Axxˆ+ 2Ayyˆ + 2Azzˆ = 2Arrˆ, (7)
onde ~r = xxˆ + yyˆ + zzˆ, r = |~r|, e rˆ = ~r/r. Donde
~E = −2Axxˆ− 2Ayyˆ− 2Azzˆ = −2Arrˆ (8)
(b)
• Soluc¸a˜o 1: O trabalho da forc¸a ele´trica sobre uma part´ıcula se movendo numa trajeto´ria C e´ dado por
W =
∫
C
~F · ~dl = q
∫
C
~E · ~dl, (9)
Como o campo ele´trico e´ conservativo, podemos levar a carga do ponto (0, 0, z0) ate´ o ponto (0, 0, z0/2) pelo
caminho que quisermos. Escolhendo ento a linha reta que une esses dois pontos, vemos que o trabalho realizado
e´ dado por
W = q
∫ z0/2
z0
~E · zˆdz = q
∫ z0/2
z0
(−2Azzˆ) · dzzˆ = −2Aq
∫ z0/2
z0
zdz = Aqz2
∣∣∣∣
z0
z0/2
⇒ W = 3Aqz
2
0
4
(10)
2
• Soluc¸a˜o 2: O trabalho da forc¸a ele´trica e´ igual a` menos a variac¸a˜o da energia potencial do sistema (ou,
relaxando um pouco a notac¸a˜o , energia potencial da part´ıcula) ∆U . Temos enta˜o,
W = −∆U = q(Vi − Vf) = q[(V (0, 0, z0)− V (0, 0, z0/2)] = q
[
Az20 −
Az20
4
]
⇒ W = 3Aqz
2
0
4
(11)
(c) Pela lei de Gauss, sabemos que a carga Qint no interior de qualquer superf´ıcie fechada S e´ dada por
Qint = ǫ0
∮
S
~E · ~dA (12)
Como o campo ele´trico (em coordenadas esfe´rico-polares) e´ bastante simples
~E = −2Arrˆ, (13)
podemos efetuar o fluxo no lado direito de (12)∮
S
~E · ~dA =
∮
S
(−2Arrˆ) · rˆdA = −2AR
∮
S
dA︸ ︷︷ ︸
=4piR2
= 8AπR3 (14)
e assim
Qint = 8πǫ0AR
3 (15)
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/1 – Primeira Prova: 13/05/2015
Versa˜o: B
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V ,
∫
du sen2u =
u
2
− sen(2u)
4
, ~r = xxˆ+ yyˆ + zzˆ
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Dois basto˜es ideˆnticos, finos, de mesmo comprimento
L, esta˜o dispostos nos semi-eixos positivos X e Y con-
forme mostra a figura. Neles, ha´ uma distribuic¸a˜o
de carga estaciona´ria, na˜o necessariamente uniforme,
com a mesma densidade linear λ(s), onde s e´ a
distaˆncia de um ponto gene´rico sobre um dos basto˜es
ate´ a origem. Considere dois elementos infinitesimais,
nos pontos P : (x, 0) e Q : (0, y), dos basto˜es em X e
Y , com comprimentos dx e dy, respectivamente. Qual
e´ a forc¸a ele´trica d ~FP→Q que o elemento em P exerce
sobre o elemento em Q?
(a) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(−xxˆ+ yyˆ) .
(b) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(xxˆ+ yyˆ) .
(c) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(xxˆ− yyˆ) .
(d) k0
λ2
(√
x2 + y2
)
x2 + y2
(ds)2 (xˆ+ yˆ) .
(e) k0
λ2
(√
x2 + y2
)
x2 + y2
xˆ .
2. Considere as seguintes afirmativas: (I) part´ıculas car-
regadas, no exterior de uma superf´ıcie fechada S,
na˜o contribuem nem para o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de S, nem para o campo ele´trico resultante em
pontos de S; (II) se o fluxo do campo ele´trico atrave´s
de uma superf´ıcie fechada for zero, na˜o ha´ part´ıculas
carregadas no interior de tal superf´ıcie, e (III) a lei de
Gauss so´ vale para distribuic¸o˜es de carga sime´tricas.
Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)?
(a) Nenhuma.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas.
1
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/2 – Primeira Prova: 01/10/2014
Versa˜o: A
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
U =
1
4πǫ0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = n|q|~v , (1 + x)n ≃ 1 + nx (|x| ≪ 1)
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part´ıculas carregadas em todos os seus 4
ve´rtices, conforme mostra a figura. Qual e´ o mo´dulo
da forc¸a ele´trica resultante sobre a part´ıcula no ve´rtice
superior direito?
q
-2√2 q
q
q
(a)
√
2q2/(4πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c) 0.
(d)
√
5q2/(4πε0a
2).
(e) (2 +
√
2)q2/(4πε0a
2).
(f) (2−√2)q2/(4πε0a2).
2. Seja um anel carregado com uma densidade linear de
carga λ0 em uma de suas metades e −λ0 na outra,
sendo λ0 uma constante, e seja Z o eixo de simetria
perpendicular ao plano do anel. Sabendo-se que o po-
tencial ele´trico no infinito e´ igual a zero, qual a u´nica
afirmativa verdadeira?
(a) ~E 6= ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(b) ~E = ~0 e V 6= 0 sobre o eixo Z
(c) ~E 6= ~0 e V = 0 sobre o eixo Z
(d) ~E = ~0 e V = 0 no centro do anel
(e) ~E = ~0 e V 6= 0 no centro do anel
1
3. A figura mostra duas part´ıculas pontuais, de car-
gas Q e Q′ e massas desprez´ıveis, colocadas sobre os
brac¸os (tambe´m de massas desprez´ıveis) de mesmo
comprimento de uma balanc¸a nas distaˆncias indica-
das. A balanc¸a esta´ em uma regia˜o onde existe um
campo ele´trico uniforme ~E vertical para baixo, con-
forme mostra a figura.Para que a balanc¸a permanec¸a
em equil´ıbrio o valor de Q′ deve ser igual a
(a) −3Q
(b) −2Q
(c) −Q
(d) Q
(e) 2Q
(f) 3Q
4. Seja um cubo isolante e uniformemementecarre-
gado, isolado de todos os outros corpos. Dentre as
afirmac¸o˜es (I) A lei de Gauss so´ se aplica a esse pro-
blema se escolhermos superf´ıcies gaussianas cu´bicas,
haja vista a simetria do sistema, (II) A lei de Gauss
deixa de ser aplica´vel a esse problema se escolhermos
superf´ıcies gaussianas que interceptam o cubo carre-
gado, (III) A lei de Gauss simplesmente na˜o se aplica
a esse problema; qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas esta˜o corretas.
(h) Nenhuma esta´ correta.
5. Considere as treˆs seguintes afirmac¸o˜es: (I) A densi-
dade de energia em um campo ele´trico e´ linearmente
proporcional ao mo´dulo de tal campo. (II) O trabalho
necessa´rio para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessa´rio para criar um campo
ele´trico. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citaˆncia tambe´m dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas esta˜o corretas.
(h) Nenhuma esta´ correta.
6. Uma corrente e´ estabelecida num tubo de descarga de
ga´s quando uma diferenc¸a de potencial (ddp) e´ apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O ga´s se ioniza,
os ele´trons movem-se em direc¸a˜o ao terminal positivo
e os ı´ons positivos em direc¸a˜o ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogeˆnio, 2,00 × 1018
ele´trons e 1,00×1018 pro´tons passam atrave´s da sec¸a˜o
reta do tubo a cada segundo. Quais sa˜o o mo´dulo I da
corrente ele´trica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente ele´trica neste tubo de descarga? Lembre-se que
(i) o mo´dulo da carga do ele´tron vale 1,60× 10−19 C,
e (ii) pro´tons e ele´trons tem carga de mesmo mo´dulo
e sinais opostos.
(a) I = 0,16 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(b) I = 0,48 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(c) I = 0,16 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(d) I = 0,48 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(e) I = 0 A. Sentido: indefinido.
2
7. A figura abaixo representa as linhas de campo de duas
part´ıculas pontuais com cargas A e B. De acordo com
essas linhas as cargas A e B devem ser, respectiva-
mente
(a) Ambas positivas
(b) Positiva e negativa
(c) Negativa e positiva
(d) Ambas negativas
(e) Positiva e neutra
(f) Neutra e negativa
8. Considere uma barra finita de comprimento L, com
densidade linear de carga uniforme λ.
Qual das afirmativas abaixo e´ verdadeira?
(a) O campo ele´trico sempre aponta na direc¸a˜o sˆ.
(b) O campo ele´trico so´ depende da coordenada s.
(c) A direc¸a˜o do campo ele´trico independe da co-
ordenada φ
(d) O mo´dulo do campo ele´trico independe da co-
ordenada z.
(e) A direc¸a˜o do campo ele´trico independe da co-
ordenada s
(f) O mo´dulo do campo ele´trico independe da co-
ordenada φ
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma barra retil´ınea, fina, disposta no eixo Z, entre as coordenadas z = −L e z = L (L > 0).
Em tal barra, existe uma distribuic¸a˜o de carga, com densidade linear
λ(z) = A|z|
sendo A = const.
(a) Calcule a carga total da barra Qtot. [0.6 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico resultante (devido a` barra) em um ponto de seu plano me´dio, a uma distaˆncia s
da barra. [1.4 ponto]
(c) Determine a expressa˜o assinto´tica de tal campo, no limite em que s≫ L. Interprete o seu resultado. [0.6 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois planos infinitos P1 e P2, paralelos entre si, de densidades superficiais −σ e 2σ (σ > 0), esta˜o
localizados respecivamente em z = 0 e z = d.
(a) Calcule detalhadamente o campo ele´trico produzido apenas pelo plano P1, tanto para z > 0 como para
z < 0. [1.2 ponto]
(b) De posse desse resultado, encontre o campo ele´trico produzido pelos 2 planos na regia˜o 0 < z < d. [0.6 ponto]
(c) Determine a diferenc¸a de potencial entre o plano P1 e o plano P2, ou seja, VP1 − VP2 . [0.8 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (c)
2. (c)
3. (f)
4. (h)
5. (b)
6. (d)
7. (b)
8. (f)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Como a distribuic¸a˜o de cargas apresenta simetria de reflexa˜o, podemos integrar metade da barra e multiplicar
o resultado por 2. Assim sendo,
Qtot = 2×
∫ L
0
A|z|dz = 2A
∫ L
0
zdz = 2A
z2
2
∣∣∣∣
z=L
z=0
= AL2 .
(b) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para calcular o campo ele´trico resultante devido ao basta˜o. Para tanto,
percebemos, por simetria, que a u´nica componente que restara´ e´ a componente radial (cil´ındrica) s, dada por
dEs = d ~E · sˆ = dE cos θ
=
1
4πǫ0
dq
(s2 + z2)
cos θ =
1
4πǫ0
A|z|dz
(s2 + z2)
s√
s2 + z2
=
1
4πǫ0
A|z|s
(s2 + z2)3/2
dz .
Logo, integrando sobre uma das metades da barra e multiplicando por 2, temos
Es = 2× As
4πǫ0
∫ L
z=0
z dz
(s2 + z2)3/2
, (1)
A integral acima sugere a seguinte substituic¸a˜o trivial de varia´veis:
u := s2 + z2 =⇒ du = 2z dz .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Es =
As
2πǫ0
∫ s2+L2
u=s2
1
2
du
u3/2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣∣s2+L2
u=s2
= − As
2πǫ0
u−1/2
∣∣s2+L2
u=s2
.
Finalmente, pois,
~E(s, φ, z = 0) =
As
2πǫ0
(
1
s
− 1√
s2 + L2
)
sˆ . (2)
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximac¸a˜o do binoˆmio de Newton,
(1 + x)n ≃ 1 + nx+ . . . (n, x ∈ R, |x| ≪ 1) ,
2
da Eq. (2), quando s≫ L, ou seja, para L/s→ 0. Obtemos, enta˜o,
lim
s≫L
~E = lim
s≫L
As
2πǫ0
[
1
s
− 1√
s2 + L2
]
sˆ
=
As
2πǫ0
1
s
[
1−
(
1 +
L2
s2
)−1/2]
sˆ
=
A
2πǫ0
[
1−
(
1− 1
2
L2
s2
+ . . .
)]
sˆ
≈ A
2πǫ0
[
1
2
L2
s2
]
sˆ
=
AL2
4πǫ0
1
s2
sˆ .
Finalmente, enta˜o,
lim
|x|≫L
~E(s, φ, z = 0) =
1
4πǫ0
AL2
s2
sˆ =
1
4πǫ0
Qtot
s2
sˆ .
Tal expressa˜o e´ justamente aquela do campo ele´trico de uma part´ıcula puntiforme de carga Qtot a uma distaˆncia s
de seu centro, ou seja, o ponto onde estamos calculando o campo ele´trico esta´ ta˜o longe da barra que ele a “veˆ”
como uma carga puntiforme.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Devido ao princ´ıpio da superposic¸a˜o , podemos calcular o campo ele´trico devido a cada plano e depois soma´-los.
Comec¸ando enta˜o pelo campo ~E1 plano em z = 0, podemos nos valer do alto grau de simetria presente para resolver
o problema, em 4 passos
• Passo 1: devido a simetria de translac¸o˜es paralelas ao plano, podemos concluir que o campo na˜o depende de
x e y, ou seja, que ~E1(x, y, z)→ ~E1(z).
• Passo 2: devido a simetria de rotac¸o˜es em torno do eixo z, podemos concluir que o campo na˜o tem componentes
paralelas ao plano, ou seja, ~E1(z)→ E(z)zˆ.
• Passo 3: devido a simetria de reflexa˜o com relac¸a˜o ao plano, podemos concluir que o campo e´ antissime´trico
na coordenada z, ou seja, ~E1(−z) = −~E1(z) ⇒ E(−z) = E(z).
• Passo 4: finalmente, podemos nos valer da lei de Gauss para determinar E(z). Utilizando uma superf´ıcie
gaussiana S cil´ındrica de “tampas” paralelas ao plano, podemos calcular o fluxo de campo ele´trico ΦE sobre
S
ΦE =
∮
S
~E1 · ~dA =
∫
Slateral
~E1 · ~dA+
∫
Stampas
~E1 · ~dA, (3)
3
o primeiro termo se anula pois ~E1 ⊥ ~dA em Slateral (ver passo 2), e o segundo podemos escrever como o dobro
do fluxo sobre uma u´nica tampa (ver passo 3). Nos aproveitando ainda do fato que ~E1 e´ func¸a˜o de z apenas
(verpasso 1) e que, sobre a tampa, ~E1 ‖ ~dA (ver passo 2) podemos escrever
ΦE = 2
∫
Stampa
~E1 · ~dA = 2
∫
Stampa
E1dA = 2E
∫
Stampa
dA = 2E1A, (4)
enquanto que a carga encerrada e´ dada por
Qenc =
∫
Senc
σdA = −σ
∫
Senc
dA = −σA. (5)
Finalmente, igualando (4) a (5) temos
2E1A = −σA ⇒ E1 = − σ
2ǫ0
⇒ ~E1(z > 0) = − σ
2ǫ0
zˆ (6)
e a simetria de reflexa˜o em relac¸a˜o ao plano garante
~E1(z < 0) =
σ
2ǫ0
zˆ (7)
(b)
O campo produzido pelo plano P2 plano pode ser encontrado de forma totalmente ana´loga ao procedimento anterior;
devemos apenas tomar o cuidado de localiza´-lo corretamente em z = d e considerar a densidade de carga correta
2σ. O resultado e´
~E2(z < d) = − 2σ
2ǫ0
zˆ = − σ
ǫ0
zˆ (8)
E enta˜o temos, na regia˜o 0 < z < d
~E = ~E1 + ~E2
⇒ ~E = − 3σ
2ǫ0
zˆ .
(c) A diferenc¸a de potencial VP1 − VP2 e´ dada por uma integral de linha entre os planos P1 e P2. Como podemos
escolher uma linha arbitra´ria (uma vez que o campo eletrosta´tico e´ conservativo), escolhemos uma linha reta
perpendicular aos planos e que os une. Desta forma, temos ~dl = dzzˆ e enta˜o
VP1 − VP2 =
∫ P2
P1
~E · ~dl
=
∫ d
0
(
− 3σ
2ǫ0
zˆ
)
· (dzzˆ)
= − 3σ
2ǫ0
∫ d
0
dz
ou seja, temos
VP1 − VP2 = −
3σd
2ǫ0
(9)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSA˜O: A
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
va´cuo, e´ conectado a uma bateria de forc¸a eletromo-
triz constante. Se a distaˆncia entre as placas do ca-
pacitor e´ duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capaci-
tor
(a) quadruplica.
(b) duplica.
(c) na˜o se altera.
(d) reduz-se a metade.
(e) reduz-se a um quarto.
2. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o potencial
ele´trico e´ sempre nulo. (II) Se o campo ele´trico e´
nulo em um determinado ponto do espac¸o, o poten-
cial ele´trico tambe´m sera´ nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do
espac¸o, o campo ele´trico tambe´m deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas sa˜o verdadeiras.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
1
3. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formamos a confi-
gurac¸a˜o de treˆs part´ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part´ıculas esta˜o, de in´ıcio, infini-
tamente afastadas?
(a)
2k0q
2
a
.
(b)
4k0q
2
a
.
(c)
5k0q
2
a
.
(d)
6k0q
2
a
.
(e)
3k0q
2
a
.
4. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribu´ıda e´ envolvida por uma casca esfe´rica,
conceˆntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a) 0 .
(b) − Q
4πa2
.
(c)
Q
4πa2
.
(d) − Q
4πb2
.
(e)
Q
4πb2
.
(f)
Q+ qc
4πa2
.
(g)
Q+ qc
4πb2
.
5. Uma corrente e´ estabelecida num tubo de descarga de
ga´s quando uma diferenc¸a de potencial (ddp) e´ apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O ga´s se ioniza,
os ele´trons movem-se em direc¸a˜o ao terminal positivo
e os ı´ons positivos em direc¸a˜o ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogeˆnio, 7,00 × 1018
ele´trons e 3,00×1018 pro´tons passam atrave´s da sec¸a˜o
reta do tubo a cada segundo. Quais sa˜o o mo´dulo I da
corrente ele´trica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente ele´trica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o mo´dulo da carga do ele´tron vale 1,60×10−19 C.
(a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
6. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esfe´rica em seu interior. Nessa cavidade, ha´
duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regia˜o I
o espac¸o fora do condutor, de regia˜o II o condutor, e
de regia˜o III a cavidade. Qual das opc¸o˜es a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
ele´trico nas treˆs regio˜es?
(a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0.
(d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
(e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
2
7. Considere um enea´gono (pol´ıgono de nove lados) re-
gular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus
ve´rtices, exceto um deles, conforme mostrado na fi-
gura. Qual e´ a forc¸a ele´trica resultante sobre uma
part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono?
(a) −9k0q
2
a2
xˆ .
(b)
9k0q
2
a2
xˆ .
(c) −8k0q
2
a2
xˆ .
(d)
8k0q
2
a2
xˆ .
(e)
k0q
2
a2
xˆ .
(f) −k0q
2
a2
xˆ .
8. Das afirmativas abaixo, assinale a u´nica que e´ incor-
reta.
(a) O campo ele´trico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b) O campo ele´trico no interior de um material
diele´trico e´ sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma regia˜o com campo ele´trico.
(c) O campo ele´trico entre as placas de um ca-
pacitor isolado diminui quando a regia˜o entre
suas placas e´ completamente preenchida por
um material de constante diele´trica K > 1.
(d) Quando um material diele´trico e´ inserido en-
tre as placas de um capacitor, surge uma den-
sidade superficial de carga induzida nas su-
perf´ıcies do diele´trico que causa a mudanc¸a da
capacitaˆncia.
(e) Quando um material diele´trico e´ inserido entre
as placas de um capacitor, e´ poss´ıvel submeter
esse capacitor a maiores diferenc¸as de poten-
cial, sem que ocorra a ruptura diele´trica.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ e´ uma constante positiva.
(a) Determine o campo ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) num ponto P situado a uma distaˆncia x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto me´dio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial ele´trico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distaˆncias (|x| ≫ L), o campo ele´trico na˜o e´ exatamente nulo. Qual e´ o comportamento
do campo ele´trico, como func¸a˜o de x, nessa aproximac¸a˜o? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois ane´is circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, teˆm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda.
(a) Determine o potencial ele´trico devido aos ane´is, em um ponto gene´rico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x→∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo ele´trico devido aos ane´is, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
3
Figura 1: Questa˜o discursiva 1
Figura 2: Questa˜o discursiva 2.
(c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada a` interac¸a˜odessa part´ıcula com o campo ele´trico produzido pelos ane´is? [0,4 ponto]
4
Figura 3: Gabarito da questa˜o discursiva 1.
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (d)
2. (h)
3. (e)
4. (b)
5. (a)
6. (c)
7. (f)
8. (b)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para calcular o campo ele´trico resultante devido ao basta˜o “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a u´nica componente que restara´ e´ a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
dEy = d~E · yˆ
=
k0 dq
r2
rˆ · yˆ
=
k0 λ dy
r2
(
−y
r
)
= −k0 λ y dy
(x2 + y2)3/2
.
Logo,
Ey = −2k0 λ
∫ L
y=0
y dy
(x2 + y2)3/2
, (1)
o que sugere a seguinte substituic¸a˜o trivial de varia´veis:
u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Ey = −2k0 λ
∫ x2+L2
u=x2
du/2
u3/2
= −k0 λ u
−1/2
(−1/2)
∣∣∣∣
x2+L2
u=x2
.
Finalmente, pois,
~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ
(
1√
x2 + L2
− 1|x|
)
yˆ . (2)
�
(b) Para o ca´lculo do potencial no mesmo ponto, tambe´m usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, com respeito ao eixo X, e´ o´bvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo e´ identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximac¸a˜o do binoˆmio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L→ 0. Obtemos, enta˜o,
lim
|x|≫L
~E = lim
|x|≫L
2k0 λ
[
1√
x2 + L2
− 1|x|
]
yˆ
= 2k0 λ
[
1
|x|√1 + (L/x)2 − 1|x|
]
yˆ
=
2k0 λ
|x|
{[
1 + (L/x)2
]−1/2 − 1} yˆ
=
2k0 λ
|x|
[
1− 1
2
L2
x2
+ . . .− 1
]
yˆ .
2
Finalmente, enta˜o,
lim
|x|≫L
~E(x, y = z = 0) = −k0 λL
2
x3
yˆ = −k0 ~p
x3
.
Tal expressa˜o e´ justamente aquela do campo ele´trico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano me´dio,
a uma distaˆncia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo ele´trico dado justamente por
~p = QLyˆ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensa˜o do dipolo, ou seja, a distaˆncia entre os pontos
me´dios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para potenciais, ou seja,
V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z = 0) + V+(x, y = z = 0) .
Aqui V− e´ o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
V−(x, y = z = 0) =
k0Q
r−
=
k0Q√
L2 + (x+ L)2
,
e V+ e´ o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
V+(x, y = z = 0) =
k0Q
r+
=
k0Q√
L2 + (x− L)2 .
Logo, o potencial resultante e´
V (x, y = z = 0) = k0Q
{[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2]−1/2} . (3)
�
(b) Devido a` simetria axial da distribuic¸a˜o de cargas nos ane´is, o campo ele´trico resultante tera´ somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
Ex(x, y = z = 0) = −∂V (x, y = z = 0)
∂x
= −k0Q
{(
−1
2
)[
L2 + (L+ x)2
]−3/2
2(L+ x) +
(
−1
2
)[
L2 + (x− L)2]−3/2 2(x− L)} ,
ou, finalmente,
~E(x, y = z = 0) = k0Q
{
x+ L
[L2 + (x+ L)2]3/2
+
x− L
[L2 + (x− L)2]3/2
}
xˆ .
�
(c) Para tal item, so´ precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja,
U = k0qQ
{[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2]−1/2} .
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSA˜O: B
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Uma corrente e´ estabelecida num tubo de descarga de
ga´s quando uma diferenc¸a de potencial (ddp) e´ apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O ga´s se ioniza,
os ele´trons movem-se em direc¸a˜o ao terminal positivo
e os ı´ons positivos em direc¸a˜o ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogeˆnio, 7,00 × 1018
ele´trons e 3,00×1018 pro´tons passam atrave´s da sec¸a˜o
reta do tubo a cada segundo. Quais sa˜o o mo´dulo I da
corrente ele´trica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente ele´trica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o mo´dulo da carga do ele´tron vale 1,60×10−19 C.
(a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
2. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribu´ıda e´ envolvida por uma casca esfe´rica,
conceˆntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a) 0 .
(b) − Q
4πa2
.
(c)
Q
4πa2
.
(d) − Q
4πb2
.
(e)
Q
4πb2
.
(f)
Q+ qc
4πa2
.
(g)
Q+ qc
4πb2
.
1
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2013/2 – Primeira Prova: 27/09/2013
Versa˜o: A
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere as treˆs seguintes afirmac¸o˜es: (I) O trabalho
necessa´rio para carregar um capacitor pode ser pen-
sado como o trabalho necessa´rio para criar um campo
ele´trico. (II) A densidade de energia em um campo
ele´trico e´ linearmente proporcional ao mo´dulo de tal
campo. (III) Para um dado capacitor, quando do-
bramos a carga em cada uma de suas placas, a capa-
citaˆncia tambe´m dobra. Qual alternativa indica a(s)
afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III,
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas esta˜o corretas.
(h) Nenhuma esta´ correta.
2. Considere dois sistemas carregados: (i) uma part´ıcula
de teste, 1, de carga q, (ii) uma barra r´ıgida de fonte,
com carga total Q, devida a part´ıculas em suas extre-
midades, 2 e 3, de cargas −q e q+Q, respectivamente.
Mostre que, mesmo com os dois sistemas tendo car-
gas de mesmo sinal (qQ > 0), eles podem se atrair
eletricamente, contanto que
(a) Corpos com cargas de mesmo sinal jamais po-
dem se atrair.
(b) Q < 2q.
(c) Q > 2q.
(d) Q > 3q.
(e) Q < 3q.
1
3. Das seguintes afirmativas, qual e´ a u´nica verda-
deira?
(a) O mo´dulo do potencial e´ maior onde o mo´dulo
do campo ele´trico e´ maior.
(b) O mo´dulo do potencial e´ menor onde o mo´dulo
do campo ele´trico e´ maior.
(c) O mo´dulo do gradiente do potencial e´ menor
onde o mo´dulo do campo ele´trico e´ maior.
(d) O mo´dulo do gradiente do potencial e´ maior
onde o mo´dulo do campo ele´trico e´ maior.
(e) O mo´dulo do campo ele´trico e´ linearmente pro-
porcional ao mo´dulo do potencial ele´trico.
4. Um condutor esfe´rico conte´m, em seu interior, uma ca-
vidade esfe´rica conceˆntrica. Uma part´ıcula com carga
q encontra-se no centro da cavidade e o condutor, em
equil´ıbrio eletrosta´tico, possui carga ele´trica total −q.
Sendo ~E o campo ele´trico resultante em um ponto P
fora do sistema, assinale o u´nico item correto.
(a) ~E 6= ~0 e a carga total na superf´ıcie externa do
condutor e´ zero.
(b) ~E 6= ~0 e a cargatotal na superf´ıcie externa do
condutor e´ −q.
(c) ~E = ~0 e a carga total na superf´ıcie externa do
condutor e´ q.
(d) ~E = ~0 e a carga total na superf´ıcie externa do
condutor e´ −q.
(e) ~E = ~0 e a carga total na superf´ıcie externa do
condutor e´ zero.
5. Temos duas part´ıculas com cargas q e −q. Aquela de
carga q esta´ no centro de uma superf´ıcie (gaussiana)
cu´bica, com aresta de comprimento a. Um segmento
de reta, tambe´m de comprimento a, perpendicular a
uma das faces do cubo, une as duas part´ıculas. Para
tal arranjo, o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie gaussiana e´ igual a
(a) q/ε0.
(b) 2q/ε0.
(c) 0.
(d) q/(3ε0).
(e) q/(6ε0).
6. A maioria das aplicac¸o˜es pra´ticas de capacitores tira
proveito da sua capacidade de armazenar e liberar
energia. Para uma dada voltagem ou diferenc¸a de po-
tencial V , como devemos associar N capacitores com
a mesma capacitaˆncia C de modo a maximizar a ener-
gia armazenada? E quanto sera´ essa energia?
(a) Associac¸a˜o em se´rie. U = CV 2/(2N).
(b) Associac¸a˜o em paralelo. U = CV 2/(2N).
(c) Associac¸a˜o em paralelo. U = NCV 2/2.
(d) Associac¸a˜o em se´rie. U = NCV 2/2.
(e) Associac¸a˜o em se´rie ou em paralelo da´ a mesma
energia, igual a U = CV 2/2.
2
7. Um “catavento”, com configurac¸a˜o inicial mostrada
na figura, imerso totalmente em um campo ele´trico
~E constante (uniforme e estaciona´rio), e´ constitu´ıdo
por 2 dipolos, perpendiculares, com centro comum.
O comprimento de cada dipolo e´ o mesmo, igual a L,
e suas cargas positivas sa˜o q e 2q. Quando tal “ca-
tavento” for girado de 90◦, no sentido hora´rio, como
sugerido pelo arco tracejado, qual e´ o trabalho reali-
zado pela forc¸a ele´trica?
(a) 3qLE.
(b) −3qLE.
(c) −qLE.
(d) qLE.
(e) 0.
8. Considere um quadrado, com aresta de comprimento
a, com part´ıculas carregadas em todos os seus 4
ve´rtices, conforme mostra a figura. Qual e´ o mo´dulo
da forc¸a ele´trica resultante sobre a part´ıcula no ve´rtice
superior direito?
(a) 3
√
2q2/(8πε0a
2).
(b)
√
2q2/(8πε0a
2).
(c)
√
10q2/(8πε0a
2).
(d) (4−√2)q2/(8πε0a2).
(e) 0.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere uma esfera de raio R, com uma densidade volumar de carga estaciona´ria, mas na˜o uniforme,
dada por
ρ(r) =
{
C(R− r) , se 0 ≤ r ≤ R;
0 , se R < r <∞ ,
onde C e´ uma constante.
(a) Determine a carga total Q da distribuic¸a˜o. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico nas duas regio˜es t´ıpicas do espac¸o. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial ele´trico nas duas regio˜es t´ıpicas do espac¸o, escolhendo-o como zero no infinito. [1,0 ponto]
3
2. [2,6 pontos] Um basta˜o fino, de comprimento a, esta´ no eixo y, com uma extremidade na origem (y = 0), como
indica a figura. A densidade linear de carga do basta˜o e´ igual λ(y) = Cy, sendo C uma constante.
(a) Determine a carga total do basta˜o. [0,4 ponto]
(b) Determine o potencial ele´trico V num ponto gene´rico P do eixo X, com abscissa x, escolhendo tal potencial
como zero no infinito. [1,0 ponto]
(c) Com base no resultado do item (b), determine a componente Ex do campo ele´trico no ponto P (suponha que
x ≥ 0). [1,0 ponto]
(d)Podemos dizer que a componente y do campo, no ponto P, e´ nula? [0,2 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (e)
3. (d)
4. (e)
5. (a)
6. (c)
7. (c)
8. (b)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Devido a` simetria esfe´rica da distribuic¸a˜o de carga, e´ conveniente trabalharmos com coordenadas esfe´ricas
(r, θ, ϕ), como sugerido pelo pro´prio enunciado do problema. Sendo assim, uma regia˜o infinitesimal t´ıpica, de
volume dV′, tera´, por definic¸a˜o de densidade volumar de carga, carga infinitesimal igual a
dq′ = ρ dV′
= ρ(r′) dr′ r′ dθ′ r′sen θ′ dϕ′ .
Dentro, pois, de uma casca esfe´rica infinitesimal, de raio r′ e espessura dr′, conceˆntrica com o centro da distribuic¸a˜o,
a carga infinitesimal sera´
dq =
∫ π
θ′=0
∫
2π
ϕ′=0
ρ(r′)r′ dr′ r′dθ′ r′sen θ′ dϕ′
= ρ(r′) 4πr′2 dr′ .
Logo, a carga total dentro de uma esfera, de raio r, conceˆntrica com o centro da distribuic¸a˜o, sera´
q(r) =
∫ r
r′=0
ρ(r′) 4πr′2 dr′
= 4πC
∫ r
r′=0
(R − r′) r′2 dr′
= 4πC
(
Rr3
3
− r
4
4
)
. (1)
Por fim, na esfera carregada completa, a carga total sera´, pois, Q = q(R), ou seja,
Q = 4πC
(
R4
3
− R
4
4
)
,
ou
Q =
1
3
πCR4 . (2)
�
(b) Devido a` simetria esfe´rica da distribuic¸a˜o de carga, o campo ele´trico deve ter a forma, em coordenadas esfe´ricas,
~E(~r) = Er(r)rˆ . (3)
1
Com isso, sugere-se, naturalmente, resolver o item por interme´dio da lei de Gauss, escolhendo, como gaussiana
S, uma superf´ıcie esfe´rica, conceˆntrica com o centro da distribuic¸a˜o de carga, de raio gene´rico r. Atrave´s de tal
gaussiana, o fluxo de campo ele´trico sera´, pois, para qualquer uma das duas regio˜es t´ıpicas, dado por
Φ~E [S] :=
∮
S
~E · dA
= 4πr2Er(r) .
Por sua vez, a carga encerrada pela gaussiana tera´ expresso˜es diferentes em cada regia˜o.
• R ≤ r <∞:
Neste caso, a carga no interior da gaussian sera´ toda a carga da distribuic¸a˜o, dada por (2):
Qint(r) = Q =
1
3
πCR4 .
Logo,
~E =
Q
4πε0r2
rˆ =
CR4
12ε0r2
rˆ . (4)
• 0 ≤ r ≤ R:
Neste caso, a carga encerrada pela gaussiana sera´ dada por (1):
Qint(r) = q(r) = 4πC
(
Rr3
3
− r
4
4
)
.
Logo,
~E =
C
ε0
(
Rr
3
− r
2
4
)
rˆ . (5)
�
(c) Como foi solicitado, no enunciado, que fac¸amos o potencial zero no infinito, vamos comec¸ar calculando o
potencial justamente na regia˜o de fora.
• R ≤ r <∞:
Obviamente, devido a (4), o potencial tem de ter a expressa˜o
V (r) =
Q
4πε0r
+ c1 ,
onde c1 e´ uma constante de integrac¸a˜o. Como devemos ter V (r → ∞) = 0, conclu´ımos que tal constante e´
zero, e, portanto,
V (r) =
Q
4πε0r
=
CR4
12ε0r
.
• o ≤ r ≤ R:
Obviamente, devido a (5), o potencial tem de ter a expressa˜o
V (r) = −C
ε0
(
Rr2
6
− r
3
12
)
+ c2
= − C
6ε0
(
R− r
2
)
r2 + c2 ,
2
onde c2 e´ uma outra constante de integrac¸a˜o. Como o potencial deve ser cont´ınuo na fronteira dessas duas
regio˜es, devemos ter
V (r → R−) = V (r → R+)
−CR
3
12ε0
+ c2 =
CR3
12ε0
,
o que implica
c2 =
CR3
6ε0
.
Enta˜o, finalmente,
V (r) = − C
6ε0
(
R− r
2
)
r2 +
CR3
6ε0
.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a)
dQ = λ(y) dy
Q =
∫ a
y=0
λ(y) dy (limites de integrac¸a˜o)
Q =
Ca2
2


�
(b)
• Tomando a origem do potencial no infinito,
dV (P ) =
dQ
4πǫ0r
,
onde,
dQ = λ(y) dy
V (P) =
∫ a
0
Cydy
4πε0(x2 + y2)1/2
.
• Resolvendo a integral,
V (P) =
∫ a
0
Cydy
4πε0(x2 + y2)1/2
=
C
4πε0
∫ (x2+a2)
x2
du
u1/2
=
C
4πε0
(
u1/2
)∣∣(x2+a2)1/2
u=x2
=
C
4πε0
(
(x2 + a2)1/2 − |x|)
3
�
(c) Determinar a componente x do campo ele´trico,
~E = − ~∇V, Ex = −∂V
∂x
Resolver a derivada
∂V
∂x
=
C
4πε0
(
x
(x2 + a2)1/2
− 1
)
e
Ex =
C
4πε0
(
1− x
(x2 + a2)1/2
)
�
(d) A componente y do campo ele´trico na˜o e´ nula em P, pois, nitidamente, se C > 0, apontara´ para baixo.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2013/1 – Primeira Prova: 27/05/2013
Versa˜o: C
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E =
~E0
K
, C = Q/V , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI ,
∫
du
(u2 + 1)1/2
= ln
(
u+
√
u2 + 1
)
,∫
du
u2 + 1
= arctanu ,
∫
du
(u2 + 1)3/2
=
u√
u2 + 1∫
udu
(u2 + 1)1/2
=
√
u2 + 1 ,
∫
udu
u2 + 1
=
1
2
ln(u2 + 1) ,
∫
udu
(u2 + 1)3/2
=
−1√
u2 + 1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Um condutor com uma cavidade encontra-se em equil´ıbrio
eletrosta´tico e possui uma carga total q = −20 mC. No
interior da cavidade, existe uma part´ıcula em repouso, de
carga tambe´m q = −20 mC. Quais sa˜o as cargas nas su-
perf´ıcies interna e externa do condutor, respectivamente?
(a) 20 mC e −40 mC.
(b) −20 mC e 0 mC.
(c) −10 mC e −10 mC.
(d) 0 mC e −20 mC.
(e) −40 mC e 20 mC.
2. Dois fios (1 e 2) condutores, cil´ındricos circulares, ho-
mogeˆneos, de mesmos comprimento e a´rea de sec¸a˜o reta,
sa˜o unidos em se´rie. A resistividade ele´trica do fio 1 e´ o
dobro da do fio 2. Existe uma diferenc¸a de potencial entre
as extremidades do fio combinado. Quais sa˜o as razo˜es
J1/J2 e E1/E2 entre os mo´dulos das densidades de cor-
rente (estaciona´rias) e dos campos ele´tricos nos fios 1 e 2,
respectivamente?
(a) 2 e 1.
(b) 1 e 2.
(c) 2 e 2
(d) 1 e 1.
(e) 1/2 e 1.
(f) 1 e 1/2.
(g) 1/2 e 1/2.
1
3. Uma casca condutora esfe´rica, espessa, de raios interno
e externo iguais a a e b, respectivamente, encontra-se em
equil´ıbrio eletrosta´tico e possui carga q. Uma part´ıcula, de
carga q/2 esta´ situada, em repouso, no centro de tal casca.
Que relac¸a˜o e´ va´lida entre os potenciais Va := V (r = a) e
Vb := V (r = b)?
(a) Vb = 2Va.
(b) Va = 2Vb.
(c) Vb = Va.
(d) Vb = −2Va.
(e) Va = −2Vb.
4. Uma chapa paralelepipedal de cobre, de espessura b e´ in-
troduzida em um capacitor ideal de placas retangulares,
paralelas, separadas por uma distaˆncia L e possuindo am-
bas a´rea A. Mantendo a carga em cada placa constante,
qual e´ a capacitaˆncia apo´s a introduc¸a˜o da chapa e qual
e´ a raza˜o entre as energias armazenadas antes e depois da
introduc¸a˜o da placa?
(a) ε0A/(L− b) e L2/(L− b)2.
(b) ε0(L− b)/A e L2/(L− b)2.
(c) ε0(L− b)/A e L/(L− b).
(d) ε0A/(L− b) e (L− b)/L.
(e) ε0A/(L− b) e L/(L− b).
5. Considere as seguintes treˆs afirmac¸o˜es: (I) a lei de Gauss
so´ vale para distribuic¸o˜es estaciona´rias de carga; (II) todo
campo eletrosta´tico pode ser escrito como o gradiente de
uma func¸a˜o escalar, e (III) ao dobrarmos o mo´dulo da
carga de um dado capacitor vazio, preservando sua geo-
metria e mantendo-o vazio, dobramos sua capacitaˆncia.
Qual(is) dessas afirmac¸o˜es e´(sa˜o) correta(s)?
(a) Nenhuma.
(b) Todas.
(c) I e II.
(d) I e III.
(e) II e III.
(f) Somente I.
(g) Somente II.
(h) Somente III.
6. Duas part´ıculas, de carga q, encontram-se, em repouso, em
ve´rtices opostos de um quadrado com aresta de compri-
mento L. Uma terceira part´ıcula, de carga q0, e´ colocada,
tambe´m em repouso, em um dos ve´rtices originalmente
vazios. Qual e´ a energia potencial ele´trica desse sistema
completo de treˆs part´ıculas e qual e´ o trabalho realizado
pela forc¸a ele´trica, devida a`s duas primeiras part´ıculas,
quando a terceira e´ deslocada de um dos ve´rtices original-
mente vazios para o outro, respectivamente?
(a) 2k0q0q/L e 0.
(b) k0q
2/(
√
2L) + 2k0q0q/L e 0.
(c) 2k0q0q/L+ 2k0q
2/(
√
2L) e 4k0q0q/L.
(d) 2k0q0q/(
√
2L) e −4k0q0q/L.
(e) −2k0q0q/L e 0.
7. Considere os seguintes dois sistemas: (a) circunfereˆncia
de c´ırculo com uma metade uniformemente carregada com
densidade linear λ > 0 e a outra metade com densidade
−λ < 0; (b) circunfereˆncia de c´ırculo com um quarto
uniformemente carregado com densidade linear 2λ > 0
e o outro quarto, diametralmente oposto, com densidade
−2λ < 0. Quais sa˜o os campos ele´tricos no centro O
dos sistemas (a) e (b), respectivamente? (Sugesta˜o: use o
princ´ıpio de superposic¸a˜o.)
(a) − λ
πε0R
yˆ e
λ
πε0R
(xˆ− yˆ).
(b) − λ
2πε0R
yˆ e
λ
2πε0R
(xˆ− yˆ).
(c) − λ
πε0R
yˆ e
2λ
πε0R
(xˆ− yˆ).
(d) − 2λ
πε0R
yˆ e
2λ
πε0R
(xˆ− yˆ).
(e) − λ
4πε0R
yˆ e
λ
4πε0R
(xˆ− yˆ).
2
8. Considere uma casca cil´ındrica, muito longa, uniforme-
mente carregada, cujo raio cresce, desde um valor Rini ate´
um valor Rfin. Neste processo (“de crescimento”), em que
a carga permanece constante, o que ocorre com o mo´dulo
do campo ele´trico em cada um dos treˆs pontos fixos, 1, 2
e 3, respectivamente: aumenta, diminui ou permanece o
mesmo?
(a) 1: permanece o mesmo; 2: permanece o mesmo, e
3: aumenta.
(b) 1: permanece o mesmo; 2: aumenta, e 3: au-
menta.
(c) 1: diminui; 2: diminui, e 3: aumenta.
(d) 1: permanece o mesmo; 2: diminui, e 3: perma-
nece o mesmo.
(e) 1: diminui; 2: diminui, e 3: permanece o mesmo.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere um basta˜o retil´ıneo, fino, de compri-
mento 2L, com densidade linear de carga constante λ0, situ-
ado no intervalo (−L,L) do eixo Z, conforme mostra a figura.
(a) Determine o campo ele´trico ~E(s) devido a tal basta˜o, em
um ponto gene´rico, a uma distaˆncia s do basta˜o, de seu plano
me´dio perpendicular de simetria (z = 0). [1,0 ponto]
Considere, agora, um segundo basta˜o retil´ıneo, fino, de
comprimento L, situado no referido plano me´dio perpendicular
de simetria do primeiro basta˜o. Na verdade, o eixo desse novo
basta˜o e´ perpendicular ao eixo do primeiro, conforme mostra
a figura. Finalmente, esse novo basta˜o possui densidade linear
de carga estaciona´ria, mas na˜o uniforme, dada por
λ(s) = Cs2 ,
onde C e´ uma constante e s continua sendo a distaˆncia ate´ o
eixo do primeiro basta˜o.
(b) Determine a carga total desse segundo basta˜o. [0,6 ponto]
(c) Determine a forc¸a eletrosta´tica do primeiro basta˜o sobre o
segundo. [1,0 ponto]
2. [2,6 pontos] Um bala˜o esfe´rico, feito de um material ela´stico na˜o-condutor, sofre uma expansa˜o que dobra o seu raio inicial
R0. A distribuic¸a˜o superficial de carga no bala˜o e´ sempre uniforme e, inicialmente, sua densidade (superficial) e´ igual a σ0.
(a) Determine o campo ele´trico em um ponto arbitra´rio da regia˜o externa do bala˜o, antes da expansa˜o. [1,2 ponto]
(b) Determine a densidade superficial de carga no bala˜o, apo´s a expansa˜o. [0,2 ponto]
3
(c) Determine o potencial ele´trico na superf´ıcie do bala˜o apo´s a expansa˜o, supondo que o potencial se anula no infinito. [0,6
ponto]
(d) Determine a variac¸a˜o da energia potencial ele´trica causada pela expansa˜o, ou seja, a diferenc¸a entre os seus valores final
e inicial. [0,6 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (b)
3. (c)
4. (e)
5. (g)
6. (b)
7. (a)
8. (d)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para campos ele´tricos.
Um determinado elemento infinitesimal do basta˜o, com carga dq, contribui com o seguinte campo ele´trico no ponto de
observac¸a˜o:
d~E(s) =
k0dq
r2
r ,
onde
r
2 = s2 sec2 α .
Ora, por simetria, o campo resultante so´ tera´ componente s, que sera´ a integral de
.dEs(s) =
k0λ0sdz
r3
=
k0λ0sdz
(s2 + z2)3/2
(1)
ou de
dEs(s) =
k0λ0dz
r2
cosα .
Como
z = s tanα⇒ dz = s sec2 αdα ,
temos ainda
dEs(s) =
k0λ0s sec
2 αdα
s2 sec2 α
cosα.
Logo, seja integrando direto (1) pelo formula´rio, seja integrando essa expressa˜o acima, encontramos
~E(s) =
2k0λ0
s
senα0 sˆ ,
onde
senα0 = L/
√
L2 + s2 .
�
(b) Para tal basta˜o, por ser na˜o uniformemente carregado, devemos, necessariamente, integrar λ para obter a carga total.
Logo,
Qtot =
∫ a+L
s=a
Cs2 ds
=
1
3
C
[
(a+ L)3 − a3] ,
1
e, portanto,
Qtot =
1
3
C
[
3a2L+ 3aL2 + L3
]
.
�
(c) Sobre um elemento infinitesimal do segundo basta˜o, situado a uma distaˆncia s do primeiro basta˜oe com carga dq, atuara´
uma forc¸a
d~F = dq ~E(s)
= Cs2 ds
2k0λ0L
s
√
s2 + L2
sˆ
=
2k0λ0CLs ds√
s2 + L2
sˆ .
Logo, a forc¸a resultante e´
~F = 2k0λ0CL
(√
(a+ L)2 + L2 −
√
a2 + L2
)
sˆ .
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Devido a` simetria esfe´rica do problema, e´ mais conveniente encontrarmos o campo ele´trico usando a lei de Gauss. Esta
u´ltima diz que ∮
S
~E · d~A = Qenc
ε0
,
onde S e´ a superf´ıcie gaussiana escolhida e Qenc e´ a carga total no interior de S. Grac¸as a` simetria esfe´rica, sabemos que o
campo so´ depende da coordenada radial r e so´ tem componente na direc¸a˜o radial rˆ, de modo que
~E(r, θ, φ) = Er(r)rˆ.
Escolhendo-se enta˜o uma superf´ıcie gaussiana esfe´rica conceˆntrica ao bala˜o e maior do que ele, temos d~A = dA rˆ =
r2senθdθdφ rˆ, e enta˜o ∮
S
~E · d~A =
∫ π
θ=0
∫
2π
φ=0
Er(r) r
2senθdθdφ = 4πr2Er(r) =
Qenc
ε0
.
Como a densidade σ0 e´ constante, temos
Qenc =
∫ π
θ=0
∫ 2π
φ=0
σ0R
2
0senθdθdφ = 4πR
2
0 σ0
e enta˜o
4πr2Er(r) =
4πR20 σ0
ε0
⇒ Er(r) = σ0R
2
0
ǫ0r2
,
ou seja,
~E =
σ0R
2
0
ε0r2
rˆ.
�
(b) Como o bala˜o apenas se expandiu, sua carga Q0 continua a mesma. Como a densidade superficial se mante´m uniforme,
temos, para um bala˜o de raio 2R0 (e portanto a´rea 16πR
2
0)
σ1 =
Q0
16πR20
=
1
4
Q0
4πR20
=
σ0
4
,
onde σ1 e´ a densidade superficial apo´s a expansa˜o.
�
2
(c) Sabendo-se que, na regia˜o externa ao bala˜o, o campo ele´trico apo´s a expansa˜o e´ ideˆntico ao campo ele´trico anterior a`
expansa˜o, podemos utilizar o resultado do item (a) aqui. O potencial em um ponto de posic¸a˜o ~r e´ dado por
V (~r)− V (∞) = V (~r) =
∫
C
~E · d~ℓ,
onde C e´ uma linha qualquer que leve de ~r ao infinito, e ja´ usamos o fato de que V (∞) = 0. Como o campo e´ radial, e´ mais
conveniente integra´-lo ao longo de uma reta radial, logo,
V (~r) =
∫
C
~E · d~ℓ =
∫ ∞
~r
Er dr =
σ0R
2
0
ε0
∫ ∞
~r
dr
r2
=
σ0R
2
0
ε0r
,
onde r = |~r|. Escolhendo um ponto de posic¸a˜o ~r1 na superf´ıcie do bala˜o expandido, temos |~r1| = 2R0 e, portanto,
V (~r1) =
σ0R
2
0
2ε0R0
=
σ0R0
2ε0
.
�
(d) A variac¸a˜o da energia potencial e´ dada por ∆U = U1 − U0, onde U1 (U0) e´ a energia potencial eletrosta´tica depois
(antes) da expansa˜o. Temos, pelo menos, 3 diferentes maneiras de resolver tal item.
• trabalho atrave´s de uma ddp:
Para calcularmos o trabalho para carregarmos o bala˜o (com raio fixo R, por exemplo), desde uma carga inicial q = 0
ate´ uma carga final q = Q, imaginamos um instante t´ıpico intermedia´rio em que o bala˜o tem carga q entre 0 e Q e
potencial v = k0q/R entre 0 e V = k0Q/R. Nesse instante, trazemos uma carga infinitesimal adicional dq, desde o
infinito ate´ a superf´ıcie do bala˜o e o correspondente trabalho infinitesimal para tanto, visto que o potencial foi feito
zero no infinito, e´
dU = dqv = dqk0q/R .
Logo, o trabalho total para carregar o baa˜o e´:
U =
1
2
k0Q
2
R
.
Agora, temos somente que subtrair o valor de tal expressa˜o quando R = R0 do seu valor quando R = 2R0, para obter:
∆U = −1
4
k0Q
2
R0
= −πσ
2
0R
3
0
ε0
.
• OU energia de uma distribuic¸a˜o superficial gene´rica:
A energia potencial associada a uma distribuic¸a˜o superficial de carga e´ dada por
U =
1
2
∫
S
σ(~r)V (~r) dA,
onde S e´ uma superf´ıcie dada. No nosso caso, enta˜o, temos
Ui =
1
2
∫
Si
σiV (~ri)dA =
V (~ri)
2
∫
Si
σi dA =
Q0V (~ri)
2
onde i = 0, 1 e S0 (S1) e´ a superf´ıcie do bala˜o antes (depois) da expansa˜o. Usamos ainda o fato de que superf´ıcies
esfe´ricas sa˜o equipotenciais de V (~r). Sabendo-se enta˜o que
V (~r0) =
σ0R0
ǫ0
e usando o resultado do item (c), temos finalmente
∆U =
Q0
2
(V (~r1)− V (~r0)) = −πσ
2
0R
3
0
ε0
.
3
• OU energia armazenada em um campo ele´trico:
Uma superf´ıcie esfe´rica, de raio R e carga total Q uniformemente distribu´ıda gera, no seu exterior e somente no seu
exterior, um campo ele´trico de mo´dulo igual a
E(r) = k0
|Q|
r2
(r > R) .
Logo, a energia total armazenada no correspondente campo ele´trico e´
U =
∫ ∞
r=R
1
2
ε0E
2(r)4πr2dr
= 2πε0
∫ ∞
r=R
k20Q
2
r4
r2dr
=
1
2
k0Q
2
∫ ∞
r=R
1
r2
dr
=
1
2
k0Q
2
R
.
Portanto, assim como na primeira maneira de resoluc¸a˜o acima,
∆U = −1
4
k0Q
2
R0
= −πσ
2
0R
3
0
ε0
.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica – F´ısica III
– 2012/2
Primeira Prova: 10/12/2012
Versa˜o: A
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
~E = − ~∇V , V = k0 q
r
, U = k0
qq′
r
, ~E =
~E0
K
, C = Q/V
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. A figura mostra um dipolo ele´trico, imerso em um campo
ele´trico constante (estaciona´rio e uniforme) ~E = Exˆ
(E > 0), em treˆs configurac¸o˜es diferentes. O comprimento
do dipolo e´ L. Qual dessas configurac¸o˜es e´ a de equil´ıbrio
esta´vel e quais sa˜o, para essa configurac¸a˜o esta´vel, o vetor
momento de dipolo ele´trico ~p e a energia potencial ele´trica
U?
(a) Configurac¸a˜o 3. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(b) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(c) Configurac¸a˜o 2. ~p = qLyˆ e U = −qLE.
(d) Configurac¸a˜o 1. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(e) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(f) Configurac¸a˜o 2. ~p = −qLyˆ e U = 0.
(g) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = qLE.
(h) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLx e U = qLE.
2. Considere uma esfera macic¸a com densidade volumar de
carga constante (estaciona´ria e uniforme), raio R e carga
total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor repre-
senta os gra´ficos do mo´dulo do campo ele´trico e do poten-
cial ele´trico devidos a essa esfera em func¸a˜o da distaˆncia
r ao centro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios re-
til´ıneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As
projec¸o˜es dos fios retil´ıneos se encontram no ponto P que
fica no centro do anel. As linhas cont´ınuas representam
distribuic¸o˜es uniformes com densidade linear λ+ de carga
positiva e as linhas tracejadas representam distribuic¸o˜es
tambe´m uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de
carga negativa. Sendo E o mo´dulo do campo ele´trico re-
sultante, ~E, no ponto P e V o potencial ele´trico no mesmo
ponto, qual das alternativas abaixo e´ a correta? Considere
o potencial ele´trico nulo no infinito.
(a) ~E = Exˆ e V = 0.
(b) ~E = −Exˆ e V = 0.
(c) ~E = Eyˆ e V = 0.
(d) ~E = −Eyˆ e V = 0.
(e) ~E = Exˆ e V =
λ+
2πǫ0
.
(f) ~E = −Exˆ e V = λ+
2πǫ0
.
4. A figura mostra treˆs sistemas com distribuic¸o˜es uniformes
de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos
um plano infinito com densidade superficial de carga σ in-
teragindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera
(3). O anel, o disco e a esfera teˆm a mesma carga to-
tal Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a
comparac¸a˜o entre os mo´dulos das forc¸as ele´tricas exerci-
das pelo plano sobre: o anel (F1), o disco (F2) e a esfera
(F3)?
(a) F1 > F2 > F3.
(b) F1 = F2 = F3.
(c) F1 > F2 = F3.
(d) F1 = F2 > F3.
(e) F1 = F2 < F3.
(f) F3 > F1 > F2.
(g) F1 < F2 < F3.
5. Considere as seguintes treˆs afirmaco˜es relativas a um con-
dutor em equil´ıbrio eletrosta´tico: (I) podemos ter uma
linha de campo ele´trico que une dois pontos do condu-
tor, (II) em um ponto imediatamente fora da superf´ıcie do
condutor, no qual a densidade superficial de carga e´ σ, o
campo ele´trico tem mo´dulo |σ|/(2ǫ0), e (III) em uma cavi-
dade vazia, cercada pelo condutor, o campo ele´trico e´ zero.
Qual dasalternativas abaixo indica a(s) afirmac¸a˜o(oes)
correta(s)?
(a) Somente a I e a II.
(b) Somente a I e a III.
(c) Somente a II e a III.
(d) Somente a I.
(e) Somente a II.
(f) Somente a III.
(g) Todas sa˜o corretas.
(h) Nenhuma e´ correta.
6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de
placas planas e paralelas. O espac¸o entre as placas esta´
preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constan-
tes diele´tricas K1 e K2, de modo que uma metade de tal
espac¸o e´ preenchida pelo isolante 1, e a outra metade,
pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor cor-
reto da capacitaˆncia desse capacitor, em termos da sua
capacitaˆncia no va´cuo C0?
(a) 2 (K1 +K2) C0.
(b)
K1K2
K1 +K2
C0.
(c)
2K1K2
K1 +K2
C0.
(d) (K1 +K2) C0/2.
(e)
K1K2
2 (K1 +K2)
C0.
(f) (K1 +K2) C0.
2
7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio
diele´trico de “recheio”. Das treˆs afirmac¸o˜es a seguir,
qual(is) e´(sa˜o) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a
carga em cada uma de suas placas, a sua capacitaˆncia
tambe´m dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da ou-
tra, a sua capacitaˆncia cresce, e (III) ao retirarmos o meio
diele´trico, a sua capacitaˆncia diminui.
(a) Todas sa˜o verdadeiras.
(b) Somente a I e a II.
(c) Somente a I e a III.
(d) Somente a II e a III.
(e) Somente a I.
(f) Somente a II.
(g) Somente a III.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
8. Considere treˆs objetos carregados: (I) um fio retil´ıneo,
posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com
densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma
chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L},
com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um
so´lido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com
densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses obje-
tos encontram-se no interior de uma superf´ıcie fechada S.
Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo ele´trico
atrave´s da superf´ıcie S?
(a) Φ =
1
ε0
(
aL2
2
+
bL3
2
+
cL4
2
)
.
(b) Φ =
1
ε0
(
aL2 + bL3 + cL4
)
.
(c) Φ =
1
ε0
(
aL+ bL2 + cL3
)
.
(d) Φ =
1
ε0
(
aL2 + 2bL3 + 3cL4
)
.
(e) Φ =
1
ε
(
abcL9
)1/3
9
.
9. Na figura, representamos um gra´fico do potencial ele´trico
entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniforme-
mente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme
medido ao longo da direc¸a˜o ortogonal a`s placas, sendo uma
das placas escolhida como tendo potencial e posic¸a˜o nu-
los. Qual e´ o campo ele´trico ~E em qualquer ponto entre
as placas?
(a) −(10000 V/m) xˆ.
(b) −(1000 V/m) xˆ.
(c) (1 V/m) xˆ.
(d) −(1 V/m) xˆ.
(e) (100 V/m) xˆ.
(f) −(100 V/m) xˆ.
10. Considere as seguintes distribuic¸o˜es de carga:
i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ),
em coordenadas esfe´ricas;
ii fio retil´ıneo muito longo (suposto infinito) com den-
sidade linear de carga na˜o uniforme;
iii anel circular com densidade linear de carga constante
(estaciona´ria e uniforme);
iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densi-
dade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas
cil´ındricas;
v disco circular com densidade superficial de carga
constante (estaciona´ria e uniforme).
Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suple-
mentada por argumentos de simetria, para determinar o
campo ele´trico em um ponto gene´rico do espac¸o?
(a) Em todos os casos.
(b) Nos casos (i), (ii) e (iv).
(c) Somente no caso (iv).
(d) Nos casos (ii), (iv) e (v).
(e) Somente no caso (i).
(f) Em todos casos exceto o (ii).
(g) Somente no caso (iii).
(h) Somente nos casos (i) e (iv).
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma part´ıcula de carga q > 0 e massa m
encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0,
no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular.
Em um determinado instante, essa part´ıcula e´ lanc¸ada (ou
impulsionada), com velocidade ~v = −vzˆ, no sentido do anel.
Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga
constante (estaciona´ria e uniforme) λ0 > 0.
(a) Determine o potencial ele´trico devido ao anel na posic¸a˜o
inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(b) Deduza, a partir do item anterior, o campo ele´trico devido
ao anel na posic¸a˜o inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(c) Determine a energia mecaˆnica total da part´ıcula imedia-
tamente apo´s o lanc¸amento. [0,6 ponto]
(d) Deduza o mo´dulo da velocidade cr´ıtica vc, acima do qual
a part´ıcula cruza o centro do anel. [0,7 ponto]
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento in-
finito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r,
onde k e´ uma constante e r e´ a distaˆncia ao eixo do cilindro.
Esse cilindro e´ coaxial a um outro cilindro vazado, neutro,
tambe´m de comprimento infinito e feito de material condutor,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com raio interno b e raio externo
c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura.
(a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do
cilindro interno. [0,5 ponto]
(b) Calcule o campo ele´trico em cada uma das quatro regio˜es:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c e c < r <∞. [2,0 pontos]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. A figura mostra um dipolo ele´trico, imerso em um campo
ele´trico constante (estaciona´rio e uniforme) ~E = Exˆ
(E > 0), em treˆs configurac¸o˜es diferentes. O comprimento
do dipolo e´ L. Qual dessas configurac¸o˜es e´ a de equil´ıbrio
esta´vel e quais sa˜o, para essa configurac¸a˜o esta´vel, o vetor
momento de dipolo ele´trico ~p e a energia potencial ele´trica
U?
(a) Configurac¸a˜o 3. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(b) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(c) Configurac¸a˜o 2. ~p = qLyˆ e U = −qLE.
(d) Configurac¸a˜o 1. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(e) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(f) Configurac¸a˜o 2. ~p = −qLyˆ e U = 0.
(g) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = qLE.
(h) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLx e U = qLE.
2. Considere uma esfera macic¸a com densidade volumar de
carga constante (estaciona´ria e uniforme), raio R e carga
total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor repre-
senta os gra´ficos do mo´dulo do campo ele´trico e do poten-
cial ele´trico devidos a essa esfera em func¸a˜o da distaˆncia
r ao centro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios re-
til´ıneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As
projec¸o˜es dos fios retil´ıneos se encontram no ponto P que
fica no centro do anel. As linhas cont´ınuas representam
distribuic¸o˜es uniformes com densidade linear λ+ de carga
positiva e as linhas tracejadas representam distribuic¸o˜es
tambe´m uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de
carga negativa. Sendo E o mo´dulo do campo ele´trico re-
sultante, ~E, no ponto P e V o potencial ele´trico no mesmo
ponto, qual das alternativas abaixo e´ a correta? Considere
o potencial ele´trico nulo no infinito.
(a) ~E = Exˆ e V = 0.
(b) ~E = −Exˆ e V = 0.
(c) ~E = Eyˆ e V = 0.
(d) ~E = −Eyˆ e V = 0.
(e) ~E = Exˆ e V =
λ+
2πǫ0
.
(f) ~E = −Exˆ e V = λ+
2πǫ0
.
4. A figura mostra treˆs sistemas com distribuic¸o˜es uniformes
de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos
um plano infinito com densidade superficial de carga σ in-
teragindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera
(3). O anel, o disco e a esfera teˆm a mesma carga to-
tal Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a
comparac¸a˜o entre os mo´dulos das forc¸as ele´tricas exerci-
das pelo plano sobre: o anel (F1), o disco (F2) e a esfera
(F3)?
(a) F1 > F2 > F3.
(b) F1 = F2 = F3.
(c) F1 > F2 = F3.
(d) F1 = F2 > F3.
(e) F1 = F2 < F3.
(f) F3 > F1 > F2.
(g) F1 < F2 < F3.
5. Considere as seguintes treˆs afirmaco˜es relativasa um con-
dutor em equil´ıbrio eletrosta´tico: (I) podemos ter uma
linha de campo ele´trico que une dois pontos do condu-
tor, (II) em um ponto imediatamente fora da superf´ıcie do
condutor, no qual a densidade superficial de carga e´ σ, o
campo ele´trico tem mo´dulo |σ|/(2ǫ0), e (III) em uma cavi-
dade vazia, cercada pelo condutor, o campo ele´trico e´ zero.
Qual das alternativas abaixo indica a(s) afirmac¸a˜o(oes)
correta(s)?
(a) Somente a I e a II.
(b) Somente a I e a III.
(c) Somente a II e a III.
(d) Somente a I.
(e) Somente a II.
(f) Somente a III.
(g) Todas sa˜o corretas.
(h) Nenhuma e´ correta.
6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de
placas planas e paralelas. O espac¸o entre as placas esta´
preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constan-
tes diele´tricas K1 e K2, de modo que uma metade de tal
espac¸o e´ preenchida pelo isolante 1, e a outra metade,
pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor cor-
reto da capacitaˆncia desse capacitor, em termos da sua
capacitaˆncia no va´cuo C0?
(a) 2 (K1 +K2) C0.
(b)
K1K2
K1 +K2
C0.
(c)
2K1K2
K1 +K2
C0.
(d) (K1 +K2) C0/2.
(e)
K1K2
2 (K1 +K2)
C0.
(f) (K1 +K2) C0.
2
7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio
diele´trico de “recheio”. Das treˆs afirmac¸o˜es a seguir,
qual(is) e´(sa˜o) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a
carga em cada uma de suas placas, a sua capacitaˆncia
tambe´m dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da ou-
tra, a sua capacitaˆncia cresce, e (III) ao retirarmos o meio
diele´trico, a sua capacitaˆncia diminui.
(a) Todas sa˜o verdadeiras.
(b) Somente a I e a II.
(c) Somente a I e a III.
(d) Somente a II e a III.
(e) Somente a I.
(f) Somente a II.
(g) Somente a III.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
8. Considere treˆs objetos carregados: (I) um fio retil´ıneo,
posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com
densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma
chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L},
com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um
so´lido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com
densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses obje-
tos encontram-se no interior de uma superf´ıcie fechada S.
Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo ele´trico
atrave´s da superf´ıcie S?
(a) Φ =
1
ε0
(
aL2
2
+
bL3
2
+
cL4
2
)
.
(b) Φ =
1
ε0
(
aL2 + bL3 + cL4
)
.
(c) Φ =
1
ε0
(
aL+ bL2 + cL3
)
.
(d) Φ =
1
ε0
(
aL2 + 2bL3 + 3cL4
)
.
(e) Φ =
1
ε
(
abcL9
)1/3
9
.
9. Na figura, representamos um gra´fico do potencial ele´trico
entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniforme-
mente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme
medido ao longo da direc¸a˜o ortogonal a`s placas, sendo uma
das placas escolhida como tendo potencial e posic¸a˜o nu-
los. Qual e´ o campo ele´trico ~E em qualquer ponto entre
as placas?
(a) −(10000 V/m) xˆ.
(b) −(1000 V/m) xˆ.
(c) (1 V/m) xˆ.
(d) −(1 V/m) xˆ.
(e) (100 V/m) xˆ.
(f) −(100 V/m) xˆ.
10. Considere as seguintes distribuic¸o˜es de carga:
i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ),
em coordenadas esfe´ricas;
ii fio retil´ıneo muito longo (suposto infinito) com den-
sidade linear de carga na˜o uniforme;
iii anel circular com densidade linear de carga constante
(estaciona´ria e uniforme);
iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densi-
dade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas
cil´ındricas;
v disco circular com densidade superficial de carga
constante (estaciona´ria e uniforme).
Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suple-
mentada por argumentos de simetria, para determinar o
campo ele´trico em um ponto gene´rico do espac¸o?
(a) Em todos os casos.
(b) Nos casos (i), (ii) e (iv).
(c) Somente no caso (iv).
(d) Nos casos (ii), (iv) e (v).
(e) Somente no caso (i).
(f) Em todos casos exceto o (ii).
(g) Somente no caso (iii).
(h) Somente nos casos (i) e (iv).
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma part´ıcula de carga q > 0 e massa m
encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0,
no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular.
Em um determinado instante, essa part´ıcula e´ lanc¸ada (ou
impulsionada), com velocidade ~v = −vzˆ, no sentido do anel.
Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga
constante (estaciona´ria e uniforme) λ0 > 0.
(a) Determine o potencial ele´trico devido ao anel na posic¸a˜o
inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(b) Deduza, a partir do item anterior, o campo ele´trico devido
ao anel na posic¸a˜o inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(c) Determine a energia mecaˆnica total da part´ıcula imedia-
tamente apo´s o lanc¸amento. [0,6 ponto]
(d) Deduza o mo´dulo da velocidade cr´ıtica vc, acima do qual
a part´ıcula cruza o centro do anel. [0,7 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Ja´ supondo que o zero do potencial esta´ no infinito, podemos dizer que uma contribuic¸a˜o infinitesimal dV para o
potencial eletrosta´tico em um ponto (de observac¸a˜o) a uma distaˆncia r de um elemento infinitesimal da distribuic¸a˜o com
carga infinitesimal dq, e´
dV =
1
4πǫ0
dq
r
. [0,2 ponto]
Logo, para a distribuic¸a˜o completa de carga, no domı´nio curvil´ıneo C, por superposic¸a˜o, temos
V =
1
4πǫ0
∫
C
dq
r
.
No caso concreto, de um ponto sobre o eixo perpendicular de simetria (x = y = 0, z) do anel, e´ o´bvio que todos os pontos
do anel carregado esta˜o a` mesma distaˆncia do ponto P . Logo,
V =
1
4πǫ0r
∫
C
dq
=
1
4πǫ0
Q
r
, [0,2 ponto]
onde, claro, Q e´ a carga total do anel, ou seja,
Q = λ02πR ,
e
r =
√
R2 + z2 .
Finalmente, enta˜o,
V (x = y = 0, z) =
λ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,2 ponto]
�
(b) Genericamente, o campo eletrosta´tico se relaciona com o potencial eletrosta´tico por
~E = − ~∇V.
4
Por simetria, no eixo Z, sabemos que na˜o existem componentes do campo nas direc¸o˜es x e y. Portanto,
~E(x = y = 0, z) = −∂V (x = y = 0, z)
∂z
[0,3 ponto]
= −λ0R
2ǫ0
∂
∂z
[(
R2 + z2
)−1/2]
.
Logo,
~E(x = y = 0, z) =
λ0
2ǫ0
Rz
(R2 + z2)3/2
zˆ . [0,3 ponto]
�
(c) A energia mecaˆnica Em da part´ıcula e´ igual a sua energia cine´tica Ec mais a sua energia potencial Ep. Logo apo´s o
lanc¸amento, a part´ıcula possui velocidade −vzˆ, donde conclu´ımos que sua energia cine´tica se escreve
Ec =
1
2
mv2 . [0,2 ponto]
Ja´ a energia potencial, logo apo´s o lanc¸amento, e´ U = qV , ou seja,
U =
qλ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,2 ponto]
Temos enta˜o,
Em = Ec + U =
1
2
[
mv2 +
qλ0R
ǫ0
√
R2 + z2
]
. [0,2 ponto]
�
(d) A forc¸a eletrosta´tica entre o anel e a part´ıcula (sempre repulsiva), na parte da trajeto´ria dessa u´ltima com z > 0, freara´
o movimento. Destarte, a situac¸a˜o limite em que a part´ıcula podera´ atingir o centro do anel corresponde a ela ter ali uma
energia cine´tica nula. Logo, por conservac¸a˜o da energia mecaˆnica, devemos ter
Em(z = 0) = Em(z)
0 +
qλ0R
2ǫ0R
=
1
2
mv2c +
qΛ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,4 ponto]
Resolvendo para vc, obtemos
vc =
√
qλ0
ǫ0m
[
1− R√
R2 + z2
]1/2
. [0,3 ponto]
�
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento in-
finito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r,
onde k e´ uma constante e r e´ a distaˆncia ao eixo do cilindro.
Esse cilindro e´ coaxial a um outro cilindro vazado, neutro,
tambe´m de comprimento infinito e feito de material condutor,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com raio interno b e raio externo
c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura.
(a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do
cilindro interno. [0,5 ponto]
(b) Calcule o campo ele´trico