Desenhos Geométricos Concordância de retas, arcos e circunferência

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DESENHO 
GEOMÉTRICO
Mariana Jardim
Concordância de retas, 
arcos e circunferência
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir concordância em desenho geométrico.
  Descrever os passos para concordar retas, arcos e circunferências.
  Usar concordâncias para resolver problemas de desenho geométrico.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a maneira de dar continuidade a linhas, 
sejam elas retas ou arcos, de forma suave e sem a formação de ângulos. 
Você vai verificar os conceitos de concordância e os seus princípios fun-
damentais, além de aprender a concordar retas, arcos e circunferências 
para resolver questões relacionadas à construção de ovais e arcos.
Conceitos e princípios da concordância
No desenho geométrico, concordância signifi ca unir duas ou mais linhas 
de diferentes espécies de forma que nos pontos de contato haja suavidade ao 
passar de uma linha para outra, sem reversão ou ângulo, conforme lecionam 
Albrecht e Oliveira (2012). A concordância pode ocorrer entre retas, arcos 
e circunferências. É possível destacar alguns elementos de sua composição, 
mostrados também na Figura 1:
  Ponto de concordância — considerado o ponto de transição entre uma 
forma e outra. Dependendo do tipo de concordância, pode haver um ou 
mais pontos de contato e transição entre curvas, retas e circunferências.
  Centro e raio de concordância — elementos do arco que foi traçado 
para concordar com outro raio ou outra reta.
Figura 1. Elementos principais da concordância.
As concordâncias seguem a lógica das aplicações de tangência. Na tan-
gência, reta e circunferência se tocam em apenas um ponto, conhecido como 
ponto de tangência. Na concordância, o ponto de tangência se torna o ponto 
de concordância e o centro perpendicular ao raio. Além disso, o centro da 
circunferência tangente à reta ou à outra circunferência se torna o centro de 
concordância.
Além dos elementos presentes na concordância, existem alguns princípios 
fundamentais para o entendimento e a construção de concordâncias, descritos 
a seguir.
1. A concordância entre uma reta e um arco (ou uma circunferência) ocorre 
quando a reta é tangente ao mesmo. Nesse caso, o ponto de concordância 
é coincidente ao ponto de tangência; pode-se dizer também que o centro 
do arco ou da circunferência e o ponto de concordância estão sobre uma 
reta perpendicular à reta concordante.
2. Dois arcos concordantes possuem centros e ponto de concordância 
colineares, ou seja, estão sobre uma mesma reta. Além disso, no ponto 
de concordância entre dois arcos é possível traçar uma tangente comum, 
conforme leciona Costa (2011). 
3. A concordância entre duas retas ocorre por meio de pelo menos um 
arco entre elas e pelo menos dois pontos de concordância. As retas 
podem ser concorrentes, convergentes ou paralelas entre si, conforme 
afirma Januário (2010).
Ao longo do capítulo, veremos que existe uma maneira precisa de retificar 
a circunferência por meio do desenho geométrico. Com a circunferência 
retificada, é possível medir seu comprimento em linha reta.
Concordância de retas, arcos e circunferência2
Construções de concordâncias
Existem inúmeras situações de concordância entre retas, arcos e circunferências 
que dependem de posições relativas entre os objetos, raios e curvaturas deseja-
das. Nos itens a seguir, será demonstrado como são construídas determinadas 
concordâncias, apresentando-se os passos necessários e os desenhos.
Concordar uma reta conhecida com um arco
Dada uma reta (r), para se concordar um arco em determinado ponto (C) 
dessa reta, é necessário, inicialmente, traçar uma perpendicular (p) nesse 
ponto determinado. Nessa perpendicular, deve-se marcar o segmento de reta 
referente ao raio do arco, encontrando o centro (O) do arco a ser traçado. Por 
fi m, com a ponta seca do compasso no centro do arco e uma abertura com 
a dimensão do raio, resta traçar o arco desejado concordando com a reta, 
conforme leciona Carvalho (2008) e mostra a Figura 2.
Figura 2. Passos para a concordância entre uma reta e um arco.
Concordar uma reta conhecida com um arco que passa 
especificamente por um ponto fora da reta
A situação descrita aqui é uma variação do item anterior, com a particulari-
dade de que o arco deve passar por um ponto específi co, que também é dado 
no problema. Da mesma forma mostrada anteriormente, deve-se iniciar a 
construção da concordância com o traçado de uma perpendicular (p) no ponto 
de concordância (C). Em seguida, é necessário traçar um segmento (CD) 
que une o ponto de concordância ao ponto especifi cado do arco. Traça-se a 
mediatriz (m) desse segmento, que vai cruzar a perpendicular (p) da reta dada. 
3Concordância de retas, arcos e circunferência
O cruzamento entre a mediatriz e a perpendicular é onde se localiza o centro 
(O) do arco a ser traçado, e seu raio é a distância do centro encontrado até o 
ponto de concordância (C). Então, o arco é traçado concordando com a reta, 
colocando-se a ponta seca do compasso em O e a abertura em CO, conforme 
leciona Carvalho (2008) e mostra a Figura 3.
Figura 3. Passos para a concordância entre uma reta e um arco que passa por um ponto 
específico.
A mediatriz é uma reta que divide um segmento de reta ao meio, a partir de seu ponto 
médio. Para traçar uma mediatriz, você vai precisar de compasso e régua. Inicialmente, 
coloque a ponta seca do compasso em uma das extremidades do segmento a ser 
dividido. A abertura do compasso deve ser maior que a metade do segmento. Agora 
é só traçar arcos em cima e embaixo do segmento e repetir a operação na outra 
extremidade.
Atenção! Mantenha sempre a mesma abertura de compasso! Com uma régua ou 
esquadro, trace a mediatriz unindo os cruzamentos dos arcos desenhados. É importante 
perceber que a mediatriz é uma reta perpendicular ao segmento que está sendo 
dividido.
Concordar duas retas convergentes com um círculo
Para concordar duas retas convergentes (a e b), é necessário prolongar essas 
retas até o ponto de cruzamento (V) entre elas. Em seguida, deve-se traçar a 
bissetriz do ângulo formado entre os prolongamentos. Com a ponta seca do 
Concordância de retas, arcos e circunferência4
compasso no vértice do ângulo, traça-se um arco com um raio que alcance os 
trechos das retas a serem concordados, marcando os pontos de concordância (A 
e B). Em um dos pontos de concordância, deve-se desenhar uma perpendicular 
à respectiva reta, que cruzará a bissetriz, resultando, então, no centro do arco 
de concordância (O). Com a ponta seca do compasso em O e a abertura até 
um dos pontos de concordância, traça-se o arco de concordância, conforme 
mostra a Figura 4.
Figura 4. Passos para concordar duas retas convergentes com um círculo.
Caso não seja possível determinar o ponto de encontro entre as retas, 
é necessário construir um ângulo auxiliar interior e com lados paralelos e 
equidistantes às retas que se deseja concordar. Deve-se traçar a bissetriz 
desse ângulo e, em seguida, construir uma perpendicular a uma das retas 
no ponto que se deseja concordar (A). Assim como nos passos anteriores, 
o cruzamento da bissetriz com a perpendicular resulta no centro do arco 
de concordância. O traçado do arco é feito com o compasso no centro (O) 
e a abertura até o ponto de convergência (A), conforme leciona Carvalho 
(2008) e mostra a Figura 5.
5Concordância de retas, arcos e circunferência
Figura 5. Passos alternativos para concordar duas retas conver-
gentes com um círculo.
A bissetriz é uma semirreta que divide um ângulo pela metade no seu vértice, for-
mando dois ângulos congruentes, ou seja, iguais. A bissetriz pode ser traçada com 
o compasso. Inicialmente deve-se colocar a ponta seca do compasso no vértice do 
ângulo e desenhar um arco de raio qualquer que cruze os doislados do ângulo. Em 
seguida, deve-se encontrar o ponto médio entre os pontos gerados pelo cruzamento 
dos lados do ângulo com o arco traçado. Por último, traça-se a bissetriz, partindo do 
vértice e passando pelo ponto médio encontrado.
Concordar um arco com outro de sentido contrário 
e que passa por um ponto específico
Dado o arco AB de centro O, para concordar outro arco a BP, sendo B o ponto 
de concordância e P um ponto do arco, é necessário, inicialmente, traçar uma 
reta passando pelo centro O e o ponto de concordância. Como princípio da 
concordância, o centro do novo arco a ser concordado deverá estar sobre essa 
reta. A posição exata desse centro é determinada pela mediatriz do segmento 
formado pelo ponto de concordância e o ponto em que o novo arco deve passar, 
conforme mostra a Figura 6.
Concordância de retas, arcos e circunferência6
Figura 6. Passos para concordar dois arcos de sentido contrário.
Concordância e desenho geométrico de ovais 
e arcos
Existem elementos conhecidos na geometria e no desenho geométrico que são 
formados por arcos de circunferência e retas concordantes. Entender o processo 
e os passos de concordância é importante para a compreensão da formação 
e do traçado desses elementos. É o caso das ovais e dos arcos arquitetônicos, 
elementos geométricos formados pelo processo de concordância. Cada qual tem 
suas particularidades e variações conforme suas características geométricas.
As ovais são curvas fechadas compostas por arcos de circunferência con-
cordantes entre si e com dois eixos, um maior e outro menor. Não existe um 
número único de arcos concordantes para a formação de ovais, mas o número 
é sempre par. Sendo assim, conforme a quantidade de arcos, as ovais possuem 
desenhos diferentes, o que diferencia também seus processos de desenho. A 
seguir demonstraremos alguns problemas de desenho geométrico de ovais e 
como resolvê-los. Mas, antes, é importante verificar a classificação das ovais 
conforme a natureza da composição de seus arcos, podendo ser regulares ou 
irregulares.
  Ovais regulares: formadas por arcos simétricos dois a dois, tendo dois 
eixos de simetria. São consideradas falsas elipses.
  Ovais irregulares: possuem apenas um eixo de simetria; também são 
conhecidas como óvulos.
A construção de uma oval deve levar em conta quantos arcos vão compor 
o desenho, sendo necessário determinar os centros desses arcos para poder 
desenhá-los. Nas ovais regulares, é importante que a construção também 
inicie a partir de um de seus eixos. Para construir uma oval com quatro arcos 
e centros partindo do eixo maior, deve-se, inicialmente, dividir o eixo dado 
7Concordância de retas, arcos e circunferência
(AB) em quatro partes iguais, criando os pontos A, B, C, D e E. Com os pontos 
C e E originados dessa divisão e os centros de concordância, o próximo passo 
é construir um triângulo equilátero (CEF), sendo um dos lados o segmento 
CE. O outro vértice do triângulo (F) é um dos centros de concordância. Por 
ser uma oval regular, basta repetir a mesma construção de triângulo do outro 
lado do eixo e encontrar o outro centro de concordância (G). Os arcos dos 
respectivos centros C, E, F e G têm os pontos de concordância nos cruzamentos 
com os prolongamentos dos lados dos triângulos, conforme leciona Carvalho 
(2008) e mostra a Figura 7.
Figura 7. Passos para a construção de uma oval regular com quatro 
centros a partir de seu eixo maior.
Para desenhar uma oval irregular com quatro centros, ou seja, formada por 
quatro arcos concordantes, é necessário traçar, inicialmente, uma circunferên-
cia e dois diâmetros ortogonais (AB e CD). O primeiro arco concordante é a 
semicircunferência que vai de A até B. Depois, deve-se traçar duas retas (a e 
b): uma saindo do ponto A e passando por D, e outra saindo de B e também 
passando por D. Agora, com a ponta seca do compasso em A e abertura AB, 
traça-se o segundo arco concordante, partindo de B até cruzar com a reta 
prolongada (a), criando-se o ponto de concordância E. Repetindo a mesma 
operação com a ponta seca do compasso em B, encontra-se o outro ponto de 
Concordância de retas, arcos e circunferência8
concordância F. Por fim, com o centro em D e abertura DE ou DF, resta traçar 
o último arco concordante para finalizar a oval, conforme mostra a Figura 8.
Figura 8. Passos para a construção de uma oval irregular de quatro centros.
Além das ovais, os arcos são linhas encontradas em elementos arquitetô-
nicos, como abóbodas, pontes e aberturas de portas. Compõem-se de um ou 
mais arcos ou circunferências concordantes apoiadas em segmentos de reta 
paralelos entre si. Existe uma infinidade de formas de arcos, dos mais simples 
aos mais elaborados e complexos, conforme mostra a Figura 9.
Figura 9. Exemplos de arcos arquitetônicos.
Fonte: Rvector/Shutterstock.com.
9Concordância de retas, arcos e circunferência
O arco mais comum é conhecido como arco pleno, ou romano, denomi-
nação que remete ao período histórico de sua criação. Ele se caracteriza pela 
concordância de um arco com dois segmentos de reta paralelos. Sua construção 
inicia pelo traçado de uma perpendicular aos segmentos em suas extremidades, 
criando-se dois pontos de concordância (C1 e C2). Em seguida, é necessário 
construir a mediatriz que divide o segmento desses pontos de concordância, 
criando-se o centro de concordância (O) no ponto médio do segmento. Nesse 
caso, os pontos de concordância e o centro do arco são colineares. Por fim, com 
o compasso no centro de concordância, deve-se desenhar o arco concordante, 
conforme leciona Januário (2010) e mostra a Figura 10.
Figura 10. Passos para a construção de um arco pleno ou romano.
Outro arco amplamente conhecido é chamado de arco ogival, arco comum 
na arquitetura gótica da Alta Idade Média. A sua versão mais simples se ca-
racteriza pela concordância de dois arcos simétricos entre si a dois segmentos 
de reta paralelos. Nesse caso, o centro de concordância de um arco coincide 
com o ponto de concordância do outro arco com o segmento. Pela simetria, a 
mesma situação ocorre em ambos lados, conforme mostra a Figura 11.
Figura 11. Passos para a construção de um arco ogival.
Concordância de retas, arcos e circunferência10
Os arcos e as ovais são formas presentes em muitos projetos de arquite-
tura, engenharia, mecânica e design, seja na construção de uma ponte, nas 
curvas de uma estrada, no desenho de uma engrenagem, em tipografias ou em 
mobiliários. Assim, a concordância entre arcos, retas e circunferências acaba 
por ser um conhecimento fundamental para os projetos, sendo a solução de 
muitos problemas que envolvem o desenho geométrico e diversas situações 
do âmbito profissional.
ALBRECHT, C.; OLIVEIRA, L. Desenho geométrico. Viçosa: UFV, 2012.
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. 2. ed. Rio de Janeiro: Imperial, 2008.
COSTA, D. M. B. Apostila geometria descritiva. Curitiba: UFPR, 2011.
JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. 3. ed. Florianópolis: UFSC, 2010.
11Concordância de retas, arcos e circunferência
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