Todos Exercicios de Algebra Linear

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Exercício 1:
Dado o conjunto W = {(x,y,z) / y = 0} podemos afirmar que:
 
A)
é um espaço vetorial pois obedece as propriedades da adição e da multiplicação por um escalar.
 
B)
Não é espaço vetorial pois não obedece a propriedade da adição.
 
C)
Não é espaço vetorial pois não obedece a propriedade da multiplicação por um escalar.
 
D)
Não é espaço vetorial pois, apesar de obedecer as propriedades da adição e da multiplicação por escalar, não possui o
vetor (0, 0, 0)
 
E)
Não é espaço vetorial pois y = 0
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
Dado o conjunto V = {(x,y,z) / z = 2y – 1} podemos afirmar que:
 
A)
 é um espaço vetorial, pois obedecem as propriedades da adição e da multiplicação por um escalar.
 
 
B)
Não é espaço vetorial, pois não obedece apenas a propriedade da adição.
 
C)
Não é espaço vetorial, pois não obedece apenas a propriedade da mul�plicação por um escalar.
 
D)
Não é espaço vetorial, pois, não possui o vetor (0, 0, 0)
 
E)
Não é espaço vetorial, pois x = z
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
Em relação ao espaço vetorial, analise as frases abaixo e assinale a alternativa correta:
 I - Existe um único vetor nulo em V.
 II – Para qualquer vetor u, v e w, que pertencem a V se u + w = v + w, então u = v.
 III – Para qualquer u e v pertencentes a V, existe um e somente um x, tal que u + x = v
 
 
A)
Todas as afirmações são verdadeiras.
 
B)
Apenas a afirmação I é verdadeira.
 
C)
Apenas a afirmação II é verdadeira.
 
D)
Apenas a afirmação III é verdadeira.
 
E)
Duas das três afirmações são verdadeiras.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Seja W o conjunto de todas as matrizes 2x2 da forma M22 = :
a a+1
0 b
Podemos afirmar que:
 
A)
W é um subespaço de M22
 
B)
W não é um subespaço de M22 pois o elemento a12 nunca será nulo
 
C)
W não é um subespaço de M22 pois o elemento a11 nunca será nulo ao mesmo tempo que o elemento a12.
 
D)
W não é um subespaço de M22 pois o elemento a21 será sempre nulo.
 
E)
W não é um subespaço de M22 pois o elemento a11 nunca será igual ao elemento a22.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Dados os subconjuntos abaixo:
W = {(x, y, z) / x = 0}
U = {(x, y, z) / y = 2z}
V = {(x, y, z) / x = 3}
Podemos afirmar que:
 
A)
Todos são subespaços vetoriais de R3
 
B)
Apenas W não é subespaço vetorial de R3
 
C)
Apenas U não é subespaço vetorial de R3
 
D)
Apenas V não é subespaço vetorial de R3
 
E)
Nenhum deles é subespaço vetorial de R3
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Dados os subconjuntos abaixo:
W = {(x, y, z) / x = y - 1}
U = {(x, y, z) / x = 0}
V = {(x, y, z) / x = y}
Podemos afirmar que:
 
A)
Todos são subespaços vetoriais de R3 
 
 
B)
Apenas W não é subespaço vetorial de R3 
 
 
C)
Apenas U não é subespaço vetorial de R3 
 
 
D)
Apenas V não é subespaço vetorial de R3 
 
 
E)
Nenhum deles é subespaço vetorial de R3 
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
No espaço vetorial R3, o vetor v = (-7, -15, 22) é uma combinação linear dos vetores v1 = (2, -3, 4) e v2 = (5, 1, -2)
porque:
 
A)
v = 4 v1 + 3 v2
 
B)
v = 4 v1 - 3 v2
 
C)
v = 3 v1 + 4 v2
 
D)
v = 3 v1 - 4 v2
 
E)
v = -4 v1 - 3 v2
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Determine o valor de k para que o vetor µ = (-1, k, -7) seja combinação linear de v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1)
 
A)
k = 11
 
B)
k = 12
 
C)
k = 13
 
D)
k = 14
 
E)
k = 15
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
Dados os subespaços S = {(x,y,0) pertencente a R3} e T = {(z,z,z) pertencente a R3} podemos afirmar que:
 
A)
S + T = (x + z, y + z, z) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 é soma direta de S e T.
 
B)
S + T = (x + z, y + z, z) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 não é soma direta de S e T.
 
C)
S + T = (x + z, y + z, z) e S intersecção T = (0,0,z), portanto, R3 é soma direta de S e T.
 
D)
S + T = (x + z, y + z, z) e S intersecção T = (0,0,z), portanto, R3 não é soma direta de S e T.
 
E)
S + T = (x + z, y + z, 2z) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 é soma direta de S e T.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
Dados os subespaços S = {(0,y,z) pertencente a R3} e T = {(x,0,c) pertencente a R3} podemos afirmar que:
 
A)
S + T = (x, y, z + c) e S intersecção T = (0,0,c), portanto, R3 é soma direta de S e T.
 
B)
S + T = (x, y, z + c) e S intersecção T = (0,0,c), portanto, R3 não é soma direta de S e T.
 
C)
S + T = (x, y, z + c) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 é soma direta de S e T.
 
D)
S + T = (x, y, z + c) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 não é soma direta de S e T.
 
E)
S + T = (x, y, 0) e S intersecção T = (0,0,c), portanto, R3 é soma direta de S e T.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
Dados os subespaços S = {(x,0,z) pertencente a R3} e T = {(0,y,2y) pertencente a R3} podemos afirmar que:
 
A)
S + T = (x, y, z + 2y) e S intersecção T = (0,0,2y), portanto, R3 é soma direta de S e T.
 
B)
S + T = (x, y, z + 2y) e S intersecção T = (0,0,2y), portanto, R3 não é soma direta de S e T.
 
C)
S + T = (x, y, z + 2y) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 é soma direta de S e T.
 
D)
S + T = (x, y, z + 2y) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 não é soma direta de S e T.
 
E)
S + T = (x, 2y, z + 2y) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 é soma direta de S e T.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Sendo S = {(x, 2x, z) em R3} e T = {(0, y, z) em R3}, a intersecção entre S e T será:
 
A)
{(0, z, z) em R3}
 
B)
{(0, 0, 0) em R3?}
 
C)
{(0, 0, z) em R3?}
 
D)
{(z, 0, 0) em R3?}
 
E)
{(z, z, 0) em R3?}
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Sendo U = {(x, 0, z) em R3?}, V = {(0, y, 0) em R3?} e W = {(0, 0, z) em R3?},
teremos como única alternativa falsa:
 
A)
U + V = R3
 
B)
U intersecção com V = {0, 0, 0}
 
C)
U intersecção com W = {0, 0, z}
 
D)
V + W = {(0, y, z)}
 
E)
V intersecção com W = {(0, 0, z)}
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta.B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Dado o subespaço U = {(x, y, z) de R3 / x - 2y = 0} podemos admitir como um
possível sistema gerador do subespaço
 
A)
[(2, -1, 0); (0, 0, -1)]
 
B)
[(-2, 1, 0); (0, 0, 1)]
 
C)
[(0, 0, 1)]
 
D)
[(2, 1, 0)]
 
E)
[(2, 1, 0); (0, 0, 1)]
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Dado o subespaço V = {(x, y, z) de R3 / x - 2y + 3z = 0} podemos admitir como um
possível sistema gerador do subespaço:
 
A)
[(2, 1, 0); (-3, 0, 1)]
 
B)
[(2, 1, 0); (3, 0, 1)]
 
C)
[(-2, 1, 0); (3, 0, 1)]
 
D)
[(-2, 1, 0); (-3, 0, 1)]
 
E)
[(2, -1, 0); (3, 0, -1)]
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Dado o sistema gerador U = [(1, 0, 0, 0); (-1, 1, 0, 0); (1, 0, 2, 0); (0, 0, 0, 1)]
teremos o subespaço U definido por:
 
A)
(x + y, x - y, 2z, w)
 
B)
(x - y, x + z, z, 2w)
 
C)
(x - y + z, -y, 2z -w)
 
D)
(x - y + z, y, 2z, w)
 
E)
(x + y, x - y, z, 2w)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
A imgem do vetor (1,3,2) pela transformação linear T: R3→R2, T(x,y, z) = (x+z,y),
é:
 
A)
(3,3)
 
B)
(3,2)
 
C)
(3,2,1)
 
D)
(2,3)
 
E)
(2,5)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
Sendo T(x,y) = (2x,2y) uma transformação linear, determinar a imagem do segmento AB pela transformação
linear T, A = (0,0) e B = (1,1)
 
A)
T(A) = (0,0) e T(B) = (2,2)
 
B)
T(A) = (1,1) e T(B) = (2,2)
 
C)
T(A) = (0,0) e T(B) = (1,1)
 
D)
T(A) = (1,1) e T(B) = (0,0)
 
E)
T(A) = (2,2) e T(B) = (2,2)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
 
A)
T é uma transformação linear.
 
B)
T é a transformação linear contração de fator 2
 
C)
T não é uma transformação linear pois a área do quadrado da imagem é igual a área
do quadrado do domínio,
 
D)
T não é linear pois não leva a origem ((o,o)) do domínio na origem do contradomínio;
 
E)
T é a transformação linear de translação
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
É correto afirmar que:
 
A)
as três transformações são lineares;
 
B)
somente a transformação G é linear
 
C)
T e H são transformações lineares.
 
D)
nenhuma das transformações é linear
 
E)
G e H são transformações lineares;
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Um retângulo ABCD, com coordenadas A(0,0); B(2,0); C(2,3) e D(0,3), e a transformação linear T(x,y) =
(x+1, y-1) terá a imagem dada por:.
 
A)
A’(1,-1); B’(3,-1); C’(3,-2); D’(1,-2)
 
B)
A’(1,1); B’(3,-1); C’(3,2); D’(1,-2)
 
C)
A’(1,-1); B’(3,1); C’(3,2); D’(1,2)
 
D)
A’(1,1); B’(3,1); C’(3,-2); D’(1,2)
 
E)
A’(1,-1); B’(3,-1); C’(3,2); D’(1,2)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Sendo T (x, y) = (3y, -3x) uma transformação linear, determine a imagem de um
retângulo cujos vértices estão em A (0, 0); B (-1, 0); C (-1, 3); D (0, 3):
 
A)
A' (0, 0); B' (3, 0); C' (3, 9); D' (0, 9)
 
B)
A' (0, 0); B' (0, 3); C' (9, 3); D' (9, 0)
 
C)
A' (1, 0); B' (0, -3); C' (9, 3); D' (9, 0)
 
D)
A' (0, 1); B' (-3, 0); C' (-3, 9); D' (1, 0)
 
E)
A' (1, 1); B' (3, 3); C' (-9, 3); D' (0, 9)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Seja T (x, y) = (4x, 4y) para qualquer vetor em R2, podemos afirmar que ocorrerá:
 
A)
Translação
 
B)
Rotação
 
C)
Contração
 
D)
Expansão
 
E)
Cisalhamento
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Seja T (x, y) = (-x, y) para qualquer vetor em R2, podemos afirmar que ocorrerá
 
A)
Reflexão em relação à origem
 
B)
Reflexão em relação ao eixo x
 
C)
Reflexão em relação ao eixo y
 
D)
Cisalhamento em relação ao eixo x
 
E)
Cisalhamento em relação ao eixo y
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
Se T1: R2 →R3 e T2: R2 →R3 são transformações lineares definidas por T1 (x, y) = (x
+ 2y, 2x -y, x) e T2 (x, y) = (-x, y, x + y), então T1 + T2 é definida por:
 
A)
(2y+x,2x,2x-y)
 
B)
(2y+x,2x,2x+y)
 
C)
(2y,2x,2x+y)
 
D)
(2x,2x+y,2x)
 
E)
(2x+y,2x,2x)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
Se T1: R2→R3 e T2: R2→R3 são transformações lineares definidas por T1 (x, y) = (x +
2y, 2x -y, x) e T2 (x, y) = (-x, y, x + y), então 3T1 -2T2. é definida por:
 
A)
(5x-6y,6x-5y,x-2y)
 
B)
(5x+6y,6x-5y,x-2y)
 
C)
(5x+6y,6x-5y,x+2y)
 
D)
(5x+6y,6x+5y,x-2y)
 
E)
(5x+6y,6x,x-2y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
Se S e T são operadores lineares no R2, definidos por S(x,y) = (2x,y) e T(x,y) = (x,x-
y), então:
 
A)
SoT(x,y)=(2x,x+y)
 
B)
SoT(x,y)=(x,x-y)
 
C)
SoT(x,y)=(2x-y,x)
 
D)
SoT(x,y)=(2x,x-y)
 
E)
SoT(x,y)=(2x,x-2y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Sendo T1 e T2 transformações lineares definidas por T1 (x, y, z) = (3z - 2x; y + 4z);
T2 (x, y, z) = (x + 2xy + z; x - 4y - z). Podemos afirmar que:
 
A)
2T1 - T2 = (-5x -2y -5z, -x + 6y - 9z)
 
B)
2T1 - T2 = (-5x -2y + 5z, -x + 6y + 9z)
 
C)
2T1 - T2 = (5x + 2y + 5z, x + 6y + 9z)
 
D)
2T1 - T2 = (5x + 2y - 5z, x - 6y - 9z)
 
E)
2T1 - T2 = (5x - 2y - 5z, - x -6y + 9z)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Sendo T1 e T2 transformações lineares definidas por T1 (x, y, z) = (3z - 2x; y + 4z);
T2 (x, y, z) = (x + 2xy + z; x - 4y - z). Podemos afirmar que:
 
A)
5T2 - 3T1 = (- 11x - 10y + 6z; - 5x + 23y + 17z)
 
B)
5T2 - 3T1 = (11x - 10y - 6z; 5x + 23y + 17z)
 
C)
5T2 - 3T1 = (11x - 10y + 6z; 5x - 23y - 17y)
 
D)
5T2 - 3T1 = (11x + 10y + 6z; 5x - 23y - 17z)
 
E)
5T2 - 3T1 = (11x + 10y + 6z; 5x + 23y - 17z)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é aresposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Sendo T1 e T2 transformações lineares definidas por T1 (x, y, z) = (x + y; x + y - z;
2x - z) e T2 (x, y, z) = (y - 2z; x - 3y; - x + y - z). Podemos afirmar que:
 
A)
T1 o T2 = (x - 2y - 2z; 2x - 3y + 3y + 3z; x + 4 - 3z)
 
B)
T1 o T2 = (x - 2y - 2z; 2x + 3y + 3z; x - y + 3z)
 
C)
T1 o T2 = (x + 2y + 2z; 2x - 3y - 3z; - x + y - 3z)
 
D)
T1 o T2 = (x + 2y - 3z; 2x + 2y - z; - x - y - 3z)
 
E)
T1 o T2 = (x - 2y + 3z; x - 2y + z; - x + y + 3z)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Sendo T1 e T2 transformações lineares definidas por T1 (x, y, z) = (x + y; x + y - z;
2x - z) e T2 (x, y, z) = (y - 2z; x - 3y; - x + y - z). Podemos afirmar que:
 
A)
T2 o T1 = (- 3x + y + z; 2x - 2y + 3z; 2x)
 
B)
T2 o T1 = (3x + y + z; - 2x - 2y + 3z; -2x)
 
C)
T2 o T1 = (3x + y + z; 2x + 2y - 3z; 2x)
 
D)
T2 o T1 = (- 3x + y + z; - 2x = 2y + 3z; - 2x)
 
E)
T2 o T1 = (- 3x + y + z; 2x + 2y - 3z; 2x)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Sendo T1 e T2 transformações lineares definidas por T1 (x, y, z) = (x + y; x + y - z;
2x - z) e T2 (x, y, z) = (y - 2z; x - 3y; - x + y - z). Podemos afirmar que:
 
A)
T1 - 2T2 = (x + y - 4z; x + 7z + z; - 4x + 2y - z)
 
B)
T1 - 2T2 = (x + y - 4z; x - 7y + z; 4x - 2y + z)
 
C)
T1 - 2T2 = (x - y + 4z; x + 7y -z ; 4x - 2y - z)
 
D)
T1 - 2T2 = (x + y + 4z; - x + 7y - z; 4x + 2y + z)
 
E)
T1 - 2T2 = (x - y + 4z; - x + 7y - z; 4x - 2y + z)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
Se T: R3 →R2 definida por T(x,y, z) = (x+z,y) é uma transformação linear, então a
imagem do vetor (1,2,3) através desta é:..
 
A)
(3,2)
 
B)
(3,3)
 
C)
(1,2)
 
D)
(4,2)
 
E)
(5,1)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
Se T: R3→R2 definida por T(x,y, z) = (x+z,y) é uma transformação linear, então a
imagem do vetor (1,2,-1) através desta é:.
 
A)
(0,2)
 
B)
(2,0)
 
C)
(2,2)
 
D)
(0,0)
 
E)
(1,0)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
Se T: R2→R3 definida por T(x,y) = (x+y,y+2x, x-y) é uma transformação linear, então a imagem do
vetor (1,2) através desta é:.
 
A)
(2,3,-1)
 
B)
(2,3,-2)
 
C)
(2,4,-1)
 
D)
(3,4,2)
 
E)
(3,4,-1)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Se T(x, y) = (3x - y, 2x + y, x - 5y) é uma transformação linear, então a imagem do
vetor (-1, -4) através desta é:
 
A)
(1, -2, 21)
 
B)
(1, -6, 19)
 
C)
(7, -6, 19)
 
D)
(7, -2, 21)
 
E)
(-1, 2, 15)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Se T(x, y, z, w) = (5x - 3y + z - w; 2x + 4y - 3z + 4w) é uma transformação linear,
então, a imagem do vetor (-1, 0, 1, -2) através desta é:
 
A)
(-2, -13)
 
B)
(-2, 13)
 
C)
(2, -13)
 
D)
(2, 13)
 
E)
(2, -9)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Se T(x, y, z) = (x - y, x + 2z; y - z; -x + z) é uma transformação linear, então, a
imagem do vetor (-1, -2, 3) através dessa é:
 
A)
(1, -5, 5, 4)
 
B)
(1, 5, -5, 4)
 
C)
(1, -5, 5, -4)
 
D)
(-1, 5, -5, 4)
 
E)
(-1, -5, 5, -4)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Se T(x, y, w, z) = (x - y + 2z, w - x - y) é uma transformação linear, então, a imagem
do vetor (5, -5, 8, -3) através dessa é:
 
A)
(-4, 8)
 
B)
(4,10)
 
C)
(4, 8)
 
D)
(-4, 18)
 
E)
(5, 10)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Se T(x, y, z) = (x + y, x - 2y, z + x - y, x - y + z) é uma transformação linear, então a
imagem do vetor (-1, 2, 3) através desta é:
 
A)
(-1, 5, 0, 0)
 
B)
(0, 1, 5, 5)
 
C)
(1, -5, 0, 0)
 
D)
(1, 0, 0, 5)
 
E)
(1, 5, 0, 0)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
Sejam F:R2→R2 uma transformação linear e B={(1,-1),(1,1)} uma base do R2. Se F(1,-1)=(2,3) e F(1,1)=(-4,1), então:
 
A)
F(x,y)=(x-3y,2x-y)
 
B)
F(x,y)=(-x+3y,2x-y)
 
C)
F(x,y)=(-x-3y,2x+y)
 
D)
F(x,y)=(-x-3y,2x-y)
 
E)
F(x,y)=(x-3y,-2x-y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
Se T: R2→ R3 é uma transformação linear tal que T(1,-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-1,3), então:
 
A)
T(x, y) = (-7x + 4y, 3x + y, x + y)
 
B)
T(x, y) = (7x + 4y, 3x + y,-x + y)
 
C)
T(x, y) = (7x + 4y, 3x + y,-x -y)
 
D)
T(x, y) = (7x -4y, -3x + y, -x +y)
 
E)
T(x, y) = (7x + 4y, 3x -y, -x -y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
Se T(x,y) é uma transformação linear tal que T(0,1)=(2,3) e T(1,0)=(1,2), então
 
A)
T(1,1)=(1,0)
 
B)
T(1,1)=(2,3)
 
C)
T(1,1)=(1,2)
 
D)
T(1,1)=(3,5)
 
E)
T(1,1)=(2,1)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Se T é uma transformação linear tal que T(1,0)=(2,3) e T(0,1)=(-5,1) , então:
 
A)
T(2,2)=(4,6)
 
B)
T(2,2)=(-10,2)
 
C)
T(2,2)=(-6,8)
 
D)
T(2,2)=(14,4)
 
E)
T(2,2)=(-6,4)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Se T: R2 → R2 é um operador linesr tal que T(1, 0) = (4, 1) e T(0, 1) = (2,3) então:
 
A)
T(1, 1) = (2, 3)
 
B)
T(1, 1) = (6, 4)
 
C)
T(1,1) = (4, 6)
 
D)
T(1, 1) = (3, 2)
 
E)
T(1, 1) = (0, 3)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Se T: R3 → R3 é um operador linear tal que T(1, 0, 0) = (2, 3, 1); T(0, 1, 0) = (4, 0, 5); T(0, 0, 1) =
(3, 1, -1) então
 
A)
T(1, 1, 1) = (9, 4, 6)
 
B)
T(1, 1, 1) = (9, 4, 5)
 
C)
T(1, 1, 1) = (8, 4, 6)
 
D)
T(1, 1, 1) = (8, 5, 6)
 
E)
T(1, 1, 1) = (7, 5, 5)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta.B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Se T: R2 → R3 é um operador linear tal que T(1, 0) = (4, 1, 0) e T(0, 1) = (3, 9, -4) então
 
A)
T(1,1) = (6, 9, 4)
 
B)
T(1, 1) = (7, 10, 4)
 
C)
T(1, 1) = (7, 10, -4)
 
D)
T(1, 1) = (8, 8, 8)
 
E)
T(1, 1) = (6, 9, -4)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Se T: R3 → R2 é um operador linear tal que T(1, 1, 0) = (6, 1); T(1, 0, 1) = (4, 0) e T(0, 0, 1) = (-1,
-2) então
 
A)
T(1, 1, 1) = (2, -3)
 
B)
T(1, 1, 1) = (2, 3)
 
C)
T(1, 1, 1) = (5, 1)
 
D)
T(1, 1, 1) = (5, -1)
 
E)
T(1, 1, 1) = (4, 2)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
 A transformação linear de R2 em R2 que representa uma reflexão em torno do eixo
dos x, f(x, y) = (x -y), seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal,
f(x, y) = (x + xy, y), é:
 
A)
T(x,y)=(-x+5y,y)
 
B)
T(x,y)=(x+5y,y)
 
C)
T(x,y)=(-x, y+5x)
 
D)
T(x,y)=(x-5y,-y)
 
E)
T(x,y)=(-x+5y,-y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
A transformação linear de R2 em R2 que representa uma rotação de 90o, f(x, y) =
[(cosØ) x - (senØ) y, (senØ) x + (cosØ) y, seguida de reflexão em torno do eixo dos
x, f(x, y) = (x -y), é:
 
A)
T(x,y)=(x,y)
 
B)
T(x,y)=(-y,-x)
 
C)
T(x,y)=(y,-x)
 
D)
T(x,y)=(y,x)
 
E)
T(x,y)=(x,-y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
A transformação linear de R2 em R2 que representa uma reflexão em torno do eixo
dos y, f(x, y) = (-x, y), seguida de uma dilatação de fator 2 na direção do vetor, f(x,
y) = (xx, xy) e, por último, um cisalhamento de fator 3 na direção do eixo dos y, f(x,
y) = (x, xx + y), é:
 
A)
T(x, y) = (2x, 6x - 2y)
 
B)
T(x, y) = (-2x, -6x + 2y)
 
C)
T(x, y) = (-2x, 6x - 2y)
 
D)
T(x, y) = (2x, -6x + 2y)
 
E)
T(x, y) = (x, x + 6y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
 
A)
C=(-2,4)
 
B)
C=(2,-1)
 
C)
C=(2,-4)
 
D)
C=(1,-2)
 
E)
C=(-2,1)
 
O aluno
respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
 
A)
uma dilatação de fator 2
 
B)
um cisalhamento horizontal
 
C)
um cisalhamento vertical
 
D)
uma reflexão sobre o eixo ox
 
E)
uma rotação de 90o
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
 
A)
T(x,y)=(-y,x)
 
B)
T(x,y)=(-x,-y)
 
C)
T(x,y)=(-y+x,x)
 
D)
T(x,y)=(-x,y)
 
E)
T(x,y)=(-y,x+y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
 
A)
rotação de 90o , T(x,y)=(-y,x)
 
B)
rotação de 180o , T(x,y)=(--x,-y)
 
C)
reflexão na origem , T(x,y)=(-y,-x)
 
D)
reflexão sobre o eixo ox, T(x,y)=(x,-y)
 
E)
reflexão sobre o eixo oy, T(x,y)=(-x,y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
 
A)
reflexão na origem
 
B)
rotação de 180o
 
C)
rotação de 90o
 
D)
reflexão sobre o eixo ox
 
E)
reflexão sobre o eixo oy
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
A matriz T: R3→R2 dada por T(x,y,z) = (x+y, x+z) em relação às bases A = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e B = {(1,1), (0,1)}
será de ordem 2x3 e terá os elementos:
 
A)
a11 = -1; a12 = -1; a13 = 0; a21 = 1; a22 = -1; a23 = 0
 
B)
a11 = 1; a12 = 1; a13 = 0; a21 = 0; a22 = -1; a23 = 1
 
C)
a11 = 1; a12 = 1; a13 = 1; a21 = 0; a22 = -1; a23 = 0
 
D)
a11 = -1; a12 = 1; a13 = 0; a21 = 0; a22 = 1; a23 = 1
 
E)
a11 = 1; a12 = -1; a13 = 1; a21 = 0; a22 = -1; a23 = 0
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
A matriz T: R3→R3 dada por T(x,y,z) = (x, x-y, 2z) em relação às bases A = {(1,1,0), (0,1,1), (0,0,1)} e B = {(-1,0,1),
(0,-1,0), (0,0,1)} será de ordem 3x3 e terá os elementos:
 
A)
a11 = -1; a12 = 0; a13 = 0; a21 = 0; a22 = 1; a23 = 0; a31 = 1; a32 = 1; a33 = 1
 
B)
a11 = -1; a12 = 1; a13 = 1; a21 = 0; a22 = 0; a23 = 1; a31 = 1; a32 = 2; a33 = 2
 
C)
a11 = -1; a12 = 0; a13 = 0; a21 = 1; a22 = 1; a23 = 0; a31 = 0; a32 = 2; a33 = 1
 
D)
a11 = 1; a12 = 0; a13 1; a21 = 1; a22 = 1; a23 = 1; a31 = 0; a32 = 1; a33 = 2
 
E)
a11 = 1; a12 = 1; a13 = 0; a21 = 0; a22 = 0; a23 = 0; a31 = 0; a32 = 2; a33 = 1
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
Dada uma matriz M3x2 com a11 = 1; a12 = 0; a21 = 2; a22 = 1; a31 = 3 e a32 = 0, a transformação linear T: R
2→R3 de
maneira que A = {(1,1), (0,1)} base do R2 e B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,1,1)} base do R3 se tenha M = (T)A,B será:
 
A)
T(x,y) = (2x, 4x + y, 3x)
 
B)
T(x,y) = (x, 4x - y, 3x)
 
C)
T(x,y) = (x, 4x + y, 3x)
 
D)
T(x,y) = (x, 4x + y, 2x)
 
E)
T(x,y) = (2x, 4x - y, 2x)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Dada uma matriz M2x3 com a11 = 0; a12 = 0; a13 = -1; a21 = -2; a22 = 2 e a23 = 3, a transformação linear T: R
3→R2 de
maneira que A = {(1,1), (0,1)} base do R2 e B = {(1,-1,1), (0,1,0), (0,1,1)} base do R3 se tenha M = (T)B,A será:
 
A)
T(x,y,z) = (z + x, 2y)
 
B)
T(x,y,z) = (-z + x, y)
 
C)
T(x,y,z) = (z + x, y)
 
D)
T(x,y,z) = (-z + x, 2y)
 
E)
T(x,y,z) = (z - x, 2y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Sendo T: R2 → R3 transformação linear, T(x, y) = (3x, x - y, 2y), determine a matriz
TA,B sabendo que A = {(1, 0), (1 ,1)} é base do R2 e B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0,
1)} é base do R3
 
A)
a11 = 3; a12 = 3; a21 = 1; a22 = 0; a31 = -1; a32 = 2
 
B)
a11 = 3; a12 = 1; a21 = 0; a22 = 0; a31 = -1; a32 = -2
 
C)
a11 = -3; a12 = 3; a21 = 0; a22 = 1; a31 = 0; a32 = 2
 
D)
a11 = -3; a12 = -1; a21 = -1; a22 = 1; a31 = -1; a32 = -2
 
E)
a11 = 1; a12 = 0; a21 = 1; a22 = 0; a31 = 1; a32 = 3
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Sendo T: R2 → R3 transforamação linear T(x, y) = (x + y, 2y, x), determine TA, B,
sabendo que A = {(1, 0), (1, ,)} é base do R2 e B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} é
base do R3
 
A)
a11 = 1; a12 = -2; a21 = 0; a22 = -2; a31 = 1; a32 = -1
 
B)
a11 = -1; a12 = 0; a21 = 0; a22= 2; a31 = 1; a32 = -1
 
C)
a11 = 1; a12 = 2; a21 = 0; a22 = 2; a31 = 1; a32 = -1
 
D)
a11 = 1; a12 = -2; a21 = 1; a22 = 2; a31 = 1; a32 = -1
 
E)
a11 = -1; a12 = 2; a21 = 1; a22 = 2; a31 = -1; a32 = 0
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Sabendo que a matriz de uma transformação linear T: R2 → R3 nas bases A = {(-1,
1), (1, 0)} do R2 e B = {(1, 1, -1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} do R3 é TA,B com a11 = 3,
a12 = 1, a21 = 2, a22 = 5, a31 = 1, a32 = -1, encontre a expressão de T(x, y)
 
A)
(-8x + 18y, -6x - 11y, 2x + 4y)
 
B)
(8x -18y, 6x - 11y, -2x + 4y)
 
C)
(8x + 18y, 6x + 11y, - 2x - 4y)
 
D)
(- 8x - 18y, - 6y + 11y, 2x - 4y)
 
E)
(8x + 18y, 6x - 11y, 2x + 4y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Sabendo que a matriz de uma transformação linear T: R2 → R3 nos bases A = {(1, 0),
(1, 1)} do R2 e B = {(3, 0, 1), (2, 1, 0), (1, 1, -1) do R3, a matriz TA,B com a11 = 1,
a12 = 2, a21 = 3, a22 = -1, a31 = 5, a32 = 2, encontre a expressão de T(x, y)
 
A)
(14x + 8y, 8x + 7y, -4x - 4y)
 
B)
(14x - 8y, 8x - 7y, - 4x + 4y)
 
C)
(14x - 8y, 8x + 7y, - 4x - 4y)
 
D)
(14x + 8x, 8x - 7y, 4x - 4y)
 
E)
(- 14x + 8x, - 8x + 7y, - 4x + 4y)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
 (Poscomp 2012) - Seja o espaço vetorial V = R2. Com relação a esse espaço, assinale a alterna�va correta.
 
A)
 S = {(x, y) ∈ R2|y = 2x − 1} é um subespaço vetorial de V .
 
B)
 O conjunto {(1, 2), (2, 4)} é base de V .
 
C)
 Existem vetores u, v em V tais que u + v ≠ v + u.
 
D)
 Se S1 e S2 são dois subespaços quaisquer de V, então vale a relação: (dimensão de S1+ dimensão de S2−
dimensão de S1 ∩ S2) > 2.
 
E)
 V é soma direta de S1 = {(x, y) ∈ R2|(x, y) = (x, 0)} e S2 = {(x, y) ∈ R2|(x, y) = (0, y)}
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
Dados os vetores u = (2, 3, 4) e v = (-1, 4, 0) assinale a alternativa que indica o
valor de k para o vetor W = (2, k - 3, 2) seja combinação linear de u e v.
 
A)
k = 1
 
B)
k = 2,5
 
C)
k = 5,5
 
D)
k = 6
 
E)
k = 7,5
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
(AL) Sendo R = {(x,y,0) pertencente a R3} e S = {(0,b,c) pertencente a R3} subespaços de R3, assinale a
alterna�va que indica R ∩ S
 
A)
 R ∩ S = {(x,y,0) pertencente a R3}
 
B)
 R ∩ S = {(x,0,z) pertencente a R3}
 
C)
 R ∩ S = {(0,0,z) pertencente a R3}
 
D)
 R ∩ S = {(x,0,0) pertencente a R3}
 
E)
 R ∩ S = {(0,y,0) pertencente a R3}
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
(AL) Sendo S = {(x,y,2x) pertencente a R3} e T = {(z+y,y,z) pertencente a R3}, assinale a alterna�va que
indica S ∩ T
 
A)
 S ∩ T = {(x, -x, 2x) pertencente a R3}
 
B)
 S ∩ T = {(-x, -x, 2x) pertencente a R3}
 
C)
 S ∩ T = {(x, -x, -2x) pertencente a R3}
 
D)
S ∩ T = {(-x, x, 2x) pertencente a R3}
 
E)
S ∩ T = {(x, x, -2x) pertencente a R3}
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
(AL) Sendo R = {(x,y,0) pertencente a R3} e S = {(0,b,c) pertencente a R3}
subespaços de R3, assinale a alternativa que indica R + S:
 
A)
R + S = {(x, y + b, c) pertencente a R3
 
B)
R + S = {(x, y, c) pertencente a R3
 
C)
R + S = {(x, b, c) pertencente a R3
 
D)
R + S = {(0, y + b, 0) pertencente a R3
 
E)
R + S = {(0, b, 0) pertencente a R3
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
(AL) Sendo S = {(x,y,2x) pertencente a R3} e T = {(z+y,y,z) pertencente a R3},
assinale a alternativa que indica R+S
 
A)
R+S = {(x + b + c, y - b, 2x - c) pertencente a R3
 
B)
R+S = {(x + b, y - c, 2x + c) pertencente a R3
 
 
 
C)
R+S = {(-x, -b, 2x - c) pertencente a R3
 
D)
R+S = {(x, y + b, 2x) pertencente a R3
 
E)
R+S = {(x + b + c, y + b, 2x + c) pertencente a R3
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
(Metro - 2014) Para que S seja subespaço vetorial de V é necessário que, dados u e v
pertencentes a S, e ß um número real, aconteçam três condições:
I. (0,0) pertença a S.
II. u + v pertença a S.
III. ß.u pertença a S.
Seja V = R2 um espaço vetorial, e S = {(x, x+1); x pertence a R} um conjunto,
então, S não é um espaço vetorial de V. Das três condições necessárias para que S
seja um subespaço de V, S:
 
A)
apenas I não atende.
 
B)
apenas II não atende.
 
C)
apenas III não atende
 
D)
I e II não atendem.
 
E)
I, II e III não atendem
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
(IFRS-2014) Analise as afirmações a seguir:
I. seja V = R3 e W = {(a,b,0) / a,b pertencem a R}. Temos que W é subespaço de V.
II. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços vetoriais: o subespaço
nulo e o próprio espaço vetorial V.
III. No R3, os vetores (-1,2,0); (5,0,1) e (8,-6,1) são linearmente independentes
É correto afirmar que:
 
A)
I e III são verdadeiras e II é falsa.
 
B)
II e III são verdadeira e I é falsa.
 
C)
I e III são verdadeiras e II é falsa.
 
D)
I, II e III são verdadeiras.
 
E)
I, II e III são falsas.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 9:
Se U={(x,y,z); z = 0)} e W={(x,y,z); y - 2x = 0} são subespaços do espaço vetorial
R3, é correto afirmar que as dimensões de U+W e U intersecção W, respectivamente:
 
A)
1 e 2
 
B)
1 e 3
 
C)
2 e 3
 
D)
3 e 1
 
E)
3 e 2
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
(IAL) Sendo u1 = (1,2,-3), u2 = (3,-1,-1) e u3 = (2,-2,0) do R
3. Considerando este espaço munido do produto interno
usual, assinale a alterna�va que indica o vetor v tal que v.u1 = 4, v.u2 = 6 e v.u3 = 2.
 
A)
v = (1,2,3)
 
B)
v = (2,3,1)
 
C)
v = (3,1,2)
 
D)
v = (3,2,1)
 
E)
v = (2,1,3)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
(IAL) O conjunto B = {(1,-1),(2,m)} é um a base ortogonal do R2 em relação ao produto interno (x1,y1).(x2,y2) = 2(x1x2+ y1y2). Podemos afirmar que :
 
A)
m = 1
 
B)
m = 3
 
C)
m = 2
 
D)
m = 4,5
 
E)
m = 7
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
(AL) Dado o subespaço S = {(x,y,z) / z = 2x + 3y} do espaço vetorial V = R3, assinale a alterna�va que indica uma base e
a dimensão do subespaço indicado.
 
A)
S = [ (1,0,-2), (0, 1, -3) ] e dimensão 2.
 
B)
S = [ (1,0,2), (0, 1, 3) ] e dimensão 2.
 
C)
S = [ (1,0,-2), (0, 1, 3) ] e dimensão 3.
 
D)
S = [ (1,0,2), (0, 1, 3) ] e dimensão 3.
 
E)
S = [ (1,0,2), (0, 1, -3) ] e dimensão 2.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Dado o conjunto de geradores de V = [ (1, -2, 3), (3, 2, -1), (4, 5, 3) ] con�dos em R3 podemos afirmar:
 
A)
São Linearmente independentes e a dimensão de V é 3.
 
B)
São linearmente independentes e a dimensão de V é 2.
 
C)
São linearmente dependentes e a dimensão de V é 3.
 
D)
São linearmente dependentes e a dimensão de V é 2.
 
E)
São vetores ortogonais, portanto, não definem a base de V.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
(AL) Sendo U = {(x, x – z, z, t) pertencente a R4} e V = {(2y, y, t, t) pertencente a R4} assinale a alterna�va que indica
respec�vamente a base de U, a dimensão de U, a base de V e a dimensão de V.
 
A)
BU = { (1, 1, 0, 0), (0, -1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}; dim U = 3; BV = {(2, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}; dim V = 2.
 
B)
BU = { (1, 1, 0, 0), (0, -1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}; dim U = 2; BV = {(2, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}; dim V = 3.
 
C)
BU = { (1, 0, 0, 0), (0, -1, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}; dim U = 3; BV = {(2, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}; dim V = 2.
 
D)
BU = { (1, 0, 0, 0), (0, -1, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}; dim U = 2; BV = {(2, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}; dim V = 3.
 
E)
BU = { (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, -1)}; dim U = 3; BV = {(2, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}; dim V = 2.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
(AL) Sendo U = {(x, y, x - y, x - z) pertencente a R4} e V = {(2x - y, x, y, x - y) pertencente a R4} assinale a alterna�va que
indica respec�vamente uma base de U e uma base de V.
 
A)
BU = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, -1, 0)] e BV = [(2, 1, 0, 1), (-1, 0, 1, -1), (0, 0, 1, 0)]
 
B)
BU = [(2, 1, 1, 0), (2, 1, 0, 0)] e BV = [(0, 1, 1, 0 ), (2, 1, 0, 1), (0, 1, -1, 0)]
 
C)
BU = [(1, 0, 0, 1), (0, 1, -1, 0), (0, 0, 0, 1)] e BV = [(2, -1, 0, 1 ), (2, -1, 0, 1), (-1, 0, 1, -1)]
 
D)
BU = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1] e BV = [(2, 1, 0, 1 ), (1, 0, 1, 1)]
 
E)
BU = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, -1, 0), (0, 0, 0, -1] e BV = [(2, 1, 0, 1 ), (-1, 0, 1, -1)]
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
(AL) Sendo U = {(x - y + z, x, y - 2z) pertencente a R3} e V = {(x - y, 2x - y, x - 3y) pertencente a R3} assinale a alterna�va
que indica respec�vamente uma base de U e uma base de V:
 
A)
BU = [(1, 0, 1), (0, 1, 2)] e BV = [(1, 1, 1)]
 
B)
BU = [(1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)] e BV = [(1, 1, 0)]
 
C)
BU = [(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 2)] e BV = [(1, 2, 1), (1, 1, 3)]
 
D)
BU = [(1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 0, -2)] e BV = [(1, 2, 1), (-1, -1, 3)]
 
E)
BU = [(1, 0,1), (1, 2, 1)] e BV = [(1, 1, 0), (1, 2, -3)]
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
(METRÔ - 2010) Dados os vetores u = (1,1,1), v = (1,2,3) e w = (2,-1,1) do espaço
vetorial R3, é verdade que:
 
A)
u, v e w são lineramente dependentes.
 
B)
a forma reduzida da matriz cujas linhas são os vetores dados é
1 1 1
0 2 1
0 0 5
 
 
C)
a forma reduzida da matriz cujas linhas são os vetores dados possui linhas nulas
 
D)
um deles é combinação linear dos outros dois
 
E)
u, v e w determinam uma base de R3.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
Um retângulo, representado pelas coordenadas A(0,0), B(2,0), C(2,1), D(0,1), tem como imagem após a
transformação T(x,y) = (x, 2x + y), um quadrilátero com as coordenadas:
 
A)
A’(1,0); B’(3,4); C’(3,5); D’(1,1)
 
B)
A’(0,0); B’(2,4); C’(2,5); D’(0,1)
 
C)
A’(0,1); B’(2,5); C’(2,6); D’(0,2)
 
D)
A’(0,0); B’(2,-4); C’(2,-5); D’(0,1)
 
E)
A’(0,0); B’(-2,4); C’(-2,5); D’(0,1)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
(AL – adaptado) Seja T(x,y) = (3x,3y), para qualquer (x,y) pertencente a R3, assinale
a alternativa que indica as coordenadas da imagem e o tipo de transformação
ocorrida para um retângulo com coordenadas A(0,0), B(1,0), C(1,2), D(0,2):
 
A)
A’(0,0), B’(6,0), C’(6,3), D’(0,3) – contração.
 
B)
A’(0,0), B’(-3,0), C’(-3,-6), D’(0,-6) – expansão.
 
C)
A’(0,0), B’(-3,0), C’(-3,-6), D’(0,-6) – contração.
 
D)
A’(0,0), B’(3,0), C’(3,6), D’(0,6) – expansão.
 
E)
A’(0,0), B’(3,0), C’(3,6), D’(0,6) – contração.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
Um triângulo representado pelas coordenadas A (0, 0), B (2, 0), C (1, 3) tem como
imagem após a transformação T (x, y) = (2x, -2x), um triângulo onde ocorreu:
 
A)
Expansão é reflexão em relação ao eixo y
 
B)
Expansão é reflexão em relação ao eixo x
 
C)
Contração e rotação em 90º
 
D)
Contração e reflexão em relação ao eixo x
 
E)
Contração e reflexão em relação ao eixo y
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Um retângulo representado pelas coordenadas A (0, 0), B (2, 0), C (0, 4), D (2, 4)
tem como imagem, após a transformação T (x, y) = (x, 2x + y), um retângulo onde
ocorreu:
 
A)
Rotação em 90º
 
B)
Cisalhamento na direção do eixo x
 
C)
Cisalhamento na direção do eixo y
 
D)
Reflexão em relação ao eixo x
 
E)
Reflexão em relação ao eixo y
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Um triângulo representado pelas coordenadas A (0,0), B (2, 1), C (2, 4) tem como
imagem após a transformação T (x, y) = (y, x) em um triângulo onde ocorreu:
 
A)
Reflexão em relação ao eixo x
 
B)
Reflexão em relação ao eixo y
 
C)
Reflexão em relação à origem
 
D)
Reflexão em relação à reta y = x
 
E)
Reflexão em relação à reta y = -x
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Um triângulo representado pelas coordenadas A (0,0), B (2, 1), C (2, 4) tem como
imagem após a transformação T (x, y) = (-y, -x) em um triângulo onde ocorreu: 
 
 
A)
Reflexãoem relação ao eixo x
 
B)
Reflexão em relação ao eixo y
 
C)
Reflexão em relação à origem
 
D)
Reflexão em relação à reta y = x
 
E)
Reflexão em relação à reta y = -x 
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Um triângulo representado pelas coordenadas A (0,0), B (2, 1), C (2, 4) tem como
imagem após a transformação T (x, y) = (-y, -x) em um triângulo onde ocorreu: 
 
 
A)
Reflexão em relação ao eixo x
 
B)
Reflexão em relação ao eixo y
 
C)
Reflexão em relação à origem
 
D)
Reflexão em relação à reta y = x
 
E)
Reflexão em relação à reta y = -x 
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Um triângulo representado pelas coordenadas A (0,0), B (2, 1), C (2, 4) tem como
imagem após a transformação T (x, y) = (-y, -x) em um triângulo onde ocorreu: 
 
 
A)
Reflexão em relação ao eixo x
 
B)
Reflexão em relação ao eixo y
 
C)
Reflexão em relação à origem
 
D)
Reflexão em relação à reta y = x
 
E)
Reflexão em relação à reta y = -x 
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 9:
Um triângulo representado pelas coordenadas A (0,0), B (2, 1), C (2, 4) tem como
imagem após a transformação T (x, y) = (-y, -x) em um triângulo onde ocorreu: 
 
 
A)
Reflexão em relação ao eixo x
 
B)
Reflexão em relação ao eixo y
 
C)
Reflexão em relação à origem
 
D)
Reflexão em relação à reta y = x
 
E)
Reflexão em relação à reta y = -x 
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
(AL) Sendo F e G operadores lineares do R3 definidos por F(x,y,z) = (x – z, 2y + x, z
+ 3y) e G(x,y,z) = (x + y, z – x, 2z – y). Assinale a alternativa que indica o resultado
de F o G:
 
A)
(F o G) (x,y,z) = (x – 2y + 2z, – x + y + 2z, – 3x – y + 5z)
 
B)
(F o G) (x,y,z) = (x + 2y – 2z, – x + y + 2z, – 3x – y + 5z)
 
C)
(F o G) (x,y,z) = (x + 2y – 2z, – x – y + 2z, – 3x – y + 5z)
 
D)
(F o G) (x,y,z) = (x + 2y + 2z, – x + y + 2z, – 3x – y – 5z)
 
E)
(F o G) (x,y,z) = (x + 2y – 2z, + x + y + 2z, + 3x – y + 5z)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
(AL) Sejam F, G: R3 → R2 , funções definidas por F (x,y,z) = (x + 2y – 3z, 5x + z) e G
(x,y,z) = (3y – 2z, x – y + 5z), assinale a alternativa que indica o resultado de 3F +
2G:
 
A)
(3F + 2G) (x,y,z) = (3x – 12y – 13z, 17x – 2y + 13z)
 
B)
(3F + 2G) (x,y,z) = (3x + 12y – 13z, 17x – 2y + 13z)
 
C)
(3F + 2G) (x,y,z) = (3x + 12y – 13z, 17x – 2y – 13z)
 
D)
(3F + 2G) (x,y,z) = (3x – 12y – 13z, 17x – 2y – 13z)
 
E)
(3F + 2G) (x,y,z) = (3x + 12y – 13z, 17x + 2y – 13z)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
Sendo F: R3 → R2, G: R2 → R3 e H: R3 → R3 transformações lineares, não são
possíveis as operações:
 
A)
G o H e H o F
 
B)
G o H e F o H
 
C)
H o G e H o F
 
D)
G o F e H o F
 
E)
G o H e F o G
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
( AL) Sendo F: R3 → R2, G: R2 → R3 e H: R3 → R3 transformações lineares dadas por:
F (x,y,z) = (x + y – z, 2x – 3y), G(x,y) = (x + 3y, x – y, x + y) e H (x,y,z) = (x – y +
z, x – 2y – z, y – z), assinale a alternativa que corresponde a G o F o H:
 
A)
(G o F o H) (x,y,z) = ( x + 8y + 16z, 3x + 8y – 4z, x + 6z)
 
B)
(G o F o H) (x,y,z) = ( x + 8y + 16z, 3x – 8y – 4z, x + 6z)
 
C)
(G o F o H) (x,y,z) = (– x + 8y + 16z, 3x – 8y – 4z, x + 6z)
 
D)
(G o F o H) (x,y,z) = (– x + 8y + 16z, 3x + 8y – 4z, x – 6z)
 
E)
(G o F o H) (x,y,z) = (– x + 8y + 16z, 3x – 8y + 4z, x – 6z)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
(METRÔ - 2012) Considerando que T: R2→R2 é um operador linear tal que T(-1,0) =
(2,1) e T(2,1) = (0,3), é correto afirmar que T(1,1) é igual a:
 
A)
(4,-1)
 
B)
(4,1)
 
C)
(2,4)
 
D)
(2,-2)
 
E)
(0,5)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Sendo F e G operadores lineares do R3 definidos por F (x, y, z) = (x + y, x -z, 2y - z)
e G (x, y, z) = (z - x, y - z, x+ y) assinale a alternativa que indica o resultado de F -
G:
 
A)
(y + z, x + y - 2z, x + 3y - z)
 
B)
(2x + y - z, x - y, - x + y - z)
 
C)
(5x + 3y - 2z, 3x - 2y - z, - 2x + 4y - 3z)
 
D)
(-x + y, - 2x - y + z, - x + y - 2z) 
 
 
E)
(- x + y - z, x - 2y, 2x + y - z) 
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Sendo F e G operadores lineares do R3 definidos por F (x, y, z) = (x + y, x -z, 2y - z)
e G (x, y, z) = (z - x, y - z, x+ y) assinale a alternativa que indica o resultado de 3F -
2G:
 
A)
(y + z, x + y - 2z, x + 3y - z)
 
B)
(2x + y - z, x - y, - x + y - z)
 
C)
(5x + 3y - 2z, 3x - 2y - z, - 2x + 4y - 3z)
 
D)
(-x + y, - 2x - y + z, - x + y - 2z) 
 
 
E)
(- x + y - z, x - 2y, 2x + y - z)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Sendo F e G operadores lineares do R3 definidos por F (x, y, z) = (x + y, x -z, 2y - z)
e G (x, y, z) = (z - x, y - z, x+ y) assinale a alternativa que indica o resultado de G O
F:
 
A)
(y + z, x + y - 2z, x + 3y - z) 
 
 
B)
(2x + y - z, x - y, - x + y - z)
 
C)
(5x + 3y - 2z, 3x - 2y - z, - 2x + 4y - 3z)
 
D)
(-x + y, - 2x - y + z, - x + y - 2z)
 
E)
(- x + y - z, x - 2y, 2x + y - z)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 9:
Se T: R2 → R3 é uma transformação linear e B = [v1 = (1, 1) e v2 = (0, 1)], uma
base de R2. Se T (v1) = (1, -1, 3) e T (v2) = (-2, 1, 0) então T (2, 1) é:
 
A)
(4, 3, -6)
 
B)
(4, -3, 6)
 
C)
(-4, 3, 6)
 
D)
(-4, -3, -6)
 
E)
(-4, 3, -6)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
1. (UFSJ - adaptado) Seja T : R 2 → R 3 a transformação definida por Tx = A, onde A
é uma matriz 2x3 = 
1 2 2
-1 2 1
Encontre a imagem de u onde u é uma matriz coluna 3x1 dada por u =
2
-3
0
 
 
A)
-4
-8
 
 
B)
-4
8
 
 
C)
4
-8
 
 
D)
4
8
 
 
E)
8
-4
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é aresposta correta. 
Exercício 2:
(UFSJ - adaptado) Para os valores da matriz A e vetor b abaixo, encontre, se for
possível, um vetor x tal que Tx = b.
A = 
1 0 1
2 -1 3
b =
2
3
 
 
A)
Tx = 
2 + c
1 + c
c
 
 
B)
Tx = 
2 - c
1 + c
c
 
C)
Tx = 
2 + c
1 - c
c
 
D)
Tx = 
2 - c
1 - c
c
 
E)
Tx = 
2 - c
1 - c
- c
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
(METRÔ - 2012) - Considere a transformação linear T, de R3 em R2, dada por T(x,y,z)
= (x+y, x-2y+z), o núcleo de T é o conjunto:
 
A)
{(y, -y, 3y) / y pertence a R}
 
B)
{(-y, y, 3y) / y pertence a R}
 
C)
{(y, y, -3y) / y pertence a R}
 
D)
{(-y, 3y, y) / y pertence a R}
 
E)
{(y, -3y, y) / y pertence a R}
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Considere u = (1,-1,0,0); v = (2,0,1,1). Seja V = (u,v) (espaço gerado por u e v).
Seja W o conjunto dos vetores (x,y,z,w) pertence a R4 tais que x - y = 0 e 2x + z + w
= 0. Logo a dimensão do subespaço vetorial V intersecção W é:
 
A)
0
 
B)
1
 
C)
2
 
D)
3
 
E)
4
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Seja T: M22→M22 a transformação linear definida por:
T = 
a b
c d
=
a 0
0 d
Assinale a alternativa que indica a matriz que pertence ao núcleo de T:
 
A)
1 2
-1 3
 
 
B)
0 4
2 0
 
C)
3 0
0 -3
 
D)
-1 -2
-1 3
 
E)
0 -2
-1 5
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Seja T: M22→M22 a transformação linear definida por:
T = 
a b
c d
=
a 0
0 d
Assinale a alternativa que indica a matriz que pertence a imagem de T:
 
A)
1 2
-1 3
 
B)
0 4
2 0
 
C)
3 0
0 -3
 
D)
-1 -2
3 4
 
E)
-2 1
1 -3
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Seja T: P2(x)→R2 a transformação definida por T(a+bx+cx2) = 
a - b
b + c
Assinale a alternativa que indica um polinômio que pertence ao núcleo de T:
 
A)
1
 
B)
1 + x
 
C)
x - x2
 
D)
1 + x - x2
 
E)
1 - x + x2 - x3
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Leia atentamente as frases abaixo:
Seja T: V → W uma transformação linear:
I. o Núcleo de T é o conjunto de todos os vetores de V que são levados por T em 0 de
W
II. A imagem de T é o conjunto de todos os vetores de W que são imagens de vetores
de V através de T.
III. O núcleo e a imagem de uma transformação linear de primeira ordem são sempre
iguais.
Assinale a alternativa correta: 
 
A)
Todas as frases são verdadeiras.
 
B)
Apenas a frase I é falsa
 
C)
Apenas a frase II é falsa
 
D)
Apenas a frase III é falsa
 
E)
Todas as frases são falsas
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
(METRÔ - 2010) Qual das afirmações seguintes é falsa:
 
A)
O núcleo de uma transformação linear T: V→W é um subespaço vetorial de V.
 
B)
A imagem de uma transformação linear T: V→W é um subespaço vetorial de W.
 
C)
Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e T: V→W uma transformção linear,
então dim Ker (T) + dim Im (T) = dim (W)
 
D)
uma transformação linear T: V→V é um operador linear sobre V
 
E)
Existe uma transformação linear T: R2→R2 tal que Ker (T) intersecção Im (T) = (1,1)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
(METRÔ-2012) Se a transformação linear T:R2→R3 é tal que T(1,0) = (1,1,0) e T(0,1)
= (0,1,1), então T(-2,1) é igual a:
 
A)
(1,2,-1)
 
B)
(-2,0,1)
 
C)
(-2,-1,1)
 
D)
(-1,2,0)
 
E)
(-1,2,1)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
Sendo x = (2,3), B = {(1,0);(0,1)} e C = {(1,1);(1-1)} em R2, a matriz mudança de
base de C para B é:
 
A)
1 1
-1 -1
 
 
B)
1 -1
1 -1
 
C)
1 1
1 1
 
D)
1 1
-1 -1
 
E)
1 1
1 -1
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Sendo x = (1,0,-1), B = {(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)} e C = {(1,1,1); (0,1,1), (0,0,1)}
em R3 encontre a matriz mudança de base de B para C:
 
A)
1 0 0
-1 -1 0
0 -1 -1
 
 
B)
0 1 0
-1 1 0
-1 0 1
 
C)
1 0 0
-1 1 0
0 -1 1
 
D)
1 0 1
-1 1 1
0 -1 1
 
E)
1 0 0
1 -1 0
0 1 -1
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Se T: R3 → R2 é uma transformação linear e B = [v1 = (1, 0, 0); v2 = (1, 01, 1);
v3 = (0, 1, 1)] uma base de R3. Se T (v1) = (2, 1), T (v2) = (-2, 3) e T (v3) = ( 0, 4)
então, T (2, 1, -2) é:
 
A)
(-2, 4)
 
B)
(8, 2)
 
C)
(2, 8)
 
D)
(0, 16)
 
E)
(16, 0)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Se T: R2 → R2 é uma transformação linear e B = [v1 = (0, 1) e v2 = (1, 1)], uma
base de R2. Se T (v1) = (8, 1) e T (v2) = (0, -4), então T (4, 3) é:
 
A)
(8, 17)
 
B)
(-8, -17)
 
C)
(-8, 17)
 
D)
(8, -17)
 
E)
(18, 7)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Se T: R3 → R4 é uma transformação linear e B = [v1 = (1, 1, 0); v2 = (1, -1, 0) e
v3 = (0, 1, 1, 1)] uma base de R3. Se T (v1) = (2, 2, 0, 0); T (v2) = (0, 2, 4, 0) e T (
v3) = ( 0, 4, 1, -1), então T (1, 2, 0) é :
 
A)
(3, -2, 0, 2)
 
B)
(-3, 2, 2, 0)
 
C)
(-3, 2, 0, 2)
 
D)
(3, -2, 2, 0)
 
E)
(3, 2, -2, 0)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
Um triângulo possui as seguintes coordenadas A(0,3); B(1,5) e C(3,1) e deve sofrer
uma reflexão em relação ao eixo x dada por:
1 0
0 -1
Quais serão as novas coordenadas do triângulo após sofrer a reflaxão?
 
A)
A'(0,-3); B'(-1,-5); C'(3,1)
 
B)
A'(0,-3); B'(-1,-5); C'(-3,-1)
 
C)
A'(0,3); B'(1,5); C'(3,1)
 
D)
A'(0,-3); B'(1,-5); C'(3,-1)
 
E)
A'(0,3); B'(-1,5); C'(-3,1)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
Um quadrilátero com as coordenadas A(-1,2); B(-3,2); C(-5,1); D(-4,4) sofre umareflexão em relação ao eixo y dada por:
-1 0
0 1
Quais serão as novas coordenadas do quadrilátero após a reflaxão?
 
 
A)
A'(-1,2); B'(-3,2); C'(-5,1); D'(-4,4)
 
B)
A'(1,2); B'(3,2); C'(5,1); D'(4,4)
 
C)
A'(1,-2); B'(3,-2); C'(5,-1); D'(4,-4)
 
D)
A'(-1,-2); B'(-3,-2); C'(-5,-1); D'(-4,-4)
 
E)
A'(-1,2); B'(3,-2); C'(-5,1); D'(4,-4)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
Dada as coordenadas do polígono A(2,2); B(1,4); C(5,4); D(4,2) que sofre uma
rotação de 180° no sentido anti-horário em torno da origem (0,0) a partir de:
cos
180°
-sen
180°
sen
180° cos 180°
Quais serão as novas coordenadas do polígono após a rotação?
 
A)
A'(2,-2); B'(1,-4); C'(5,-4); D'(4,-2)
 
B)
A'(-2,2); B'(-1,4); C'(-5,4); D'(-4,2)
 
C)
A'(-2,-2); B'(-1,-4); C'(-5,-4); D'(-4,-2)
 
D)
A'(2,2); B'(1,4); C'(5,4); D'(4,2)
 
E)
A'(-2,-2); B'(1,4); C'(-5,-4); D'(4,2)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Um pentágono possui as coordenadas A(0,0); B(2,0); C(2,2); D(1,3); E(0,2) sofre
uma transformação baseada na matriz:
3 0
0 1
Qual foi o tipo de transformação ocorrida com o pentágono?
 
A)
Dilatação na direção do eixo x
 
B)
Rotação de 90° no sentido anti-horário
 
C)
Reflexão em relação ao eixo x
 
D)
reflexão em relação ao eixo y
 
E)
Cisalhamento em relação ao eixo x
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Considere um triângulo que possui as coordenadas A(2,2); B(6,2); C(2,6); que sofre
uma ampliação dada pela matriz:
4 0
0 1
Qual será a relação entre as áreas do triângulo antes e após a ampliação ocorrer?
 
A)
1/2
 
B)
1/4
 
C)
1/8
 
D)
1/16
 
E)
1/32
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
cos 270° -sen 270°
sen 270° cos 270°
-2 0 
0 -2
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Um triângulo com coordenadas A (2, 0); B (2, 4); C (3, 5) sofre uma rotação de 270º
no sentido anti-horário em torno da origem (0, 0) de acordo com a matriz:
 
 
Quais serão as novas coordenadas do triângulo após sofrer a rotação?
 
A)
A' (0, -2); B' (4, -2); C' (5, -3)
 
B)
A' (0, -2); B' (4, 2); C' (5, 3)
 
C)
A' (0, 2); B' (-4, 2); C' (-5, 3)
 
D)
A' (0, 2); B' (-4, -2); C' (-5, -3)
 
E)
A' (2, 0); B' (2, 4); C' (3, -5)
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Um quadrilátero possui as coordenadas A (0, 0); B (3, 0); C (4, 2); D (1, 2) sofre
uma transformação baseada na matriz:
 
 
Quais foram os tipos de transformação ocorridas com o quadrilátero?
1 0
0 2
 
A)
Dilatação e reflexão em relação ao eixo x
 
B)
Dilatação e reflexão em relação ao eixo y
 
C)
Dilatação e reflexão em relação à origem
 
D)
Contração e reflexão em relação ao eixo x
 
E)
Contração e reflexão em relação ao eixo y
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Um triângulo possui as coordenadas A (0, 0); B (2, 0); C (2, 4) sofre uma
transformação baseada na matriz:
 
 
Qual foi o tipo de transformação ocorrida com o triângulo?
 
A)
Cisalhamento na direção do eixo x
 
B)
Cisalhamento na direção do eixo y
 
C)
Dilatação na direção do vetor
 
D)
Dilatação na direção do eixo y
 
E)
Dilatação na direção do eixo x
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
 
 
Exercício 1:
Seja uma transformação linear T: R3 → R3 definida por T(x) = Ax, em que x é um
vetor de R3.
Se A = 
2 0 0
0 2 0
0 0 2
Se u =
-2
0
3
Se v = 
4
-1
5
então a imagem de u + v por T é:
 
A)
4
-2
16
 
 
B)
-4
2
16
 
 
C)
4
2
16
 
 
D)
4
-2
-16
 
 
E)
4
2
-16
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 2:
(IFsul-2013) Seja T uma matriz de transformação linear de modo que a matriz A
indica os vertices que formam uma base de A e a matriz B indica a matriz de
transformação de A para B. Qual é o determinante da matriz B?
Matriz A: 
2 1
8 9
Matriz B:
26 28
12 11
 
A)
(- 5) / 3
 
B)
(- 11) / 10
 
C)
11 / 10
 
D)
5 / 6
 
E)
8 / 5
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
Exercício 3:
(Metrô - 2010 Adaptado) Se uma transformação linear leva um dado vetor (x,y) para
sua imagem (x,-y) então:
 
A)
Ocorre reflexão em relação ao eixo y
 
B)
 Ocorre reflexão em relação à origem
 
C)
 Ocorreu cisalhamento em relação ao eixo x
 
D)
 Ocorreu reflexão em relação ao eixo x
 
E)
 Ocorreu cisalhamento em relação ao eixo y
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
Exercício 4:
Seja B = {(1,1), (0,2)} uma base do espaço vetorial R2. A matriz de mudança de
base B para a base canônica de R2 é:
 
A)
1 0
-1/2 1/2
 
 
B)
1 0
1/2 -1/2
 
C)
1 1/2
-1/2 0
 
D)
1 1
-1/2 1/2
 
E)
1 -1/2
1/2 1
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 5:
Seja T:R3→R2 a transformação linear definida por T(x,y,z) = (x-2y, x+y-3z) e sejam B
= {(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)} e C = {(0,1); (1,0)} bases para R3 e R2,
respectivamente. Encontre a matriz T em relação às bases B e C:
 
A)
1 1 -3
1 -2 0
 
 
B)
1 1 3
1 2 0
 
C)
1 -1 -3
1 -2 0
 
D)
1 1 -3
-1 2 0
 
E)
-1 1 3
1 -2 0
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 6:
Encontre a matriz transformação de B para C da transformação linear T: V→W em
relação às bases B e C de V e W respectivamente.
T(a,b) = (a+2b, -1, b); B = [(1,2); (3,-1)] e C = [(1,0,0); (1,1,0); (1,1,1)].
 
A)
-6 4
-3 2
2 -1
 
B)
6 -4
-3 2
2 -1
 
C)
6 4
-3 -2
-2 1
 
D)
-6 4
3 -2
2 1
 
E)
6 4
-3 -2
2 -1
 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta. 
C) Esta é a resposta correta. 
D) Esta é a resposta correta. 
E) Esta é a resposta correta. 
Exercício 7:
Seja uma transformação linear dada pela matriz a11 = 2; a12 = 0; a21 = 0; a22 = 1, a imagem do
vetor u = (4, 1) será:
 
A)
a11 = 8 a21 = -1
 
B)
a11 = 1 a21 = -1
 
C)
a11 = 8 a21 = 8
 
D)
a11 = -1 a21 = -8
 
E)
a11 = 1 a21 = 1
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Esta é a resposta correta. 
Exercício 8:
Seja uma transformação linear dada pela matriz a11=0 ; a12 = 1 ; a12 = 1 ; a13 = 1 ; a21 = 0 ;
a22 = 2 ; a23 = -1, a imagem do vetor u = (1, 0, -1) será:
 
A)
a11 = -1 a21 = -1
 
B)
a11 = -1 a21 = 1
 
C)
a11 = 1 a21 = 1
 
D)
a11 = 1 a21 = -1
 
E)
a11 = 1 a21 = 0
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Estaé a resposta correta. 
B) Esta é a resposta correta.