Relatório - Momento de inércia: sistema eixo-disco

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SUMÁRIO 
 OBJETIVOS .................................................................................................................... ii 
 RESUMO ....................................................................................................................... iii 
 INTRODUÇÃO TEÓRICA ............................................................................................ 5 
 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL .......................................................................... 7 
04.1. Descrição dos equipamentos .................................................................................. 7 
04.2. Descrição do experimento ..................................................................................... 9 
 RESULTADOS E DISCUSSÃO .................................................................................. 10 
 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 20 
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii 
 
 
 OBJETIVOS 
 Definir experimentalmente o momento de inércia do conjunto eixo-disco e verificar, 
através do experimento, o princípio da conservação da energia mecânica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii 
 
 
 RESUMO 
 Para determinar-se experimentalmente o momento de inércia do conjunto eixo-disco foi 
preciso medir as massas do disco, do corpo menor e medir também todas as dimensões do disco 
e do eixo. Logo após, fixou-se o conjunto em uma mesa e o conectou ao corpo menor por meio 
de um fio de nylon, assim foi possível determinar a altura h, cujo resultado foi de (60,00 ± 
0,05).10−2 m, que o corpo ficaria disto do chão rolando a roldana e enrolando o fio de nylon 
na mesma. Cronometrou-se o tempo de queda do corpo, que foi de (2,48 ± 0,03) s, e a partir do 
tempo e da altura h calculou-se a velocidade escalar da esfera metálica assim que ela toca o 
chão, que foi de (48,4 ± 0,6). 10−2, e a sua velocidade angular máxima, que foi de (11,1 ± 
0,1) rad/s. Com todos os dados colhidos durante o experimento, foi possível determinar o 
momento de inércia experimental considerando a conservação da energia mecânica, que foi de 
(20,9 ± 0,4). 10−3 kg.m², e o momento de inercia teórico foi de (20,59 ± 0,08). 10−3 kg.m², 
obtendo-se um erro percentual de (1 ± 2) %. A energia potencial gravitacional do sistema foi 
de (1.321,3 ± 0,9 ) . 10−3 J e a energia cinética de translação encontrada foi de 
(26,5 ± 0,5 ) . 10−3 J. Por fim, encontrou-se (126 ± 2). 10−2 J de energia cinética de rotação, 
podendo assim obter o erro percentual associado a conservação da energia mecânica de 
(2,6 ± 0,2) % desconsiderando-se dissipações térmicas e atrito. 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 INTRODUÇÃO TEÓRICA 
 No estudo da dinâmica dos corpos rígidos, define-se uma grandeza denominada 
momento de inércia. Para um corpo que rotaciona em relação a um eixo, o momento de inércia 
desempenha um papel análogo a massa na translação. Para um sistema de distribuição discreta 
de massa, ele é matematicamente definido como sendo: 
 𝐼 = ∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖
2𝑛
𝑖=1 (1) 
 Onde m é a massa de cada partícula e r é a distância da partícula até o eixo de rotação. 
 Se a distribuição de massa for contínua, então calcula-se o momento de inércia usando 
a seguinte equação: 
 𝐼 = ∫ 𝑟²𝑑𝑚 (2) 
 Onde r é a distância do elemento diferencial de massa até o eixo de rotação. 
 O momento de inércia de um anel delgado que possui um eixo de rotação que passa 
perpendicularmente pelo seu centro é calculado considerando-se um elemento infinitesimal de 
massa dm e r sendo o raio médio do anel para todos os n-ésimos elementos dm [1]. Integrando, 
obtém-se: 
 I = mr² (3) 
 No caso de um disco circular, imagina-se ele como sendo a composição de diversos 
anéis circulares e delgados concêntricos [1]. Usando uma relação de proporção entre um 
elemento infinitesimal de massa dm do anel e a massa M do disco, e também o elemento 
infinitesimal dv do anel e o volume do disco V, obtém-se: 
 
𝑑𝑚
𝑑𝑣
=
𝑀
𝑉
 (4) 
 Sendo dv =2πrdr e V = πR², a equação 4 se torna: 
 𝐼 =
2
𝑅²
𝑟𝑑𝑟 (5) 
 Integrando todos os elementos dm chega-se na equação 6: 
 I = 
1
2
𝑀𝑅2 (6) 
 Que é a equação do momento de inércia de um disco circular. Se o disco possuir um 
furo em seu centro seu momento de inércia será: 
 I = 
1
2
𝜋𝜌𝑠(𝑅4 − 𝑟4) (7) 
 Onde ρ é a densidade do material que constitui o disco, s é espessura do disco e R e r 
são os raios do disco e do furo, respectivamente. 
 Considere a situação onde um disco é fixado em uma mesa por intermédio de um eixo 
6 
 
 
cilíndrico que passa pelo seu centro. Se um corpo de massa m for preso por uma corda e essa 
corda for enrolada ao eixo cilíndrico do disco, o disco ficará a uma altura h do chão. Se for 
considerado como eixo de referência de potencial zero o chão, o corpo terá uma energia 
potencial gravitacional definida pela equação 8: 
 U = mgh. (8) 
 Ao soltar esse corpo dessa altura o disco irá começar a rotacionar em relação ao seu 
eixo, então ele passa a ter uma energia cinética de rotação 𝐾𝑟𝑜𝑡, onde: 
 𝐾𝑟𝑜𝑡 = 
1
2
𝐼𝜔2 (9) 
 Onde I é o momento de inércia do disco e 𝜔 é a velocidade angular do disco. 
 Quando esfera é solta ela passa se deslocar com uma velocidade v, que será máxima 
quando ela atingir o solo. Dessa forma, o corpo passa a ter uma energia cinética E, onde: 
 E = 
1
2
𝑚𝑣2 (10) 
 Se for considerado o sistema como sendo conservativo, então a energia mecânica será: 
 mgh = 
1
2
𝐼𝜔2 += 
1
2
𝑚𝑣2 (11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
04.1. Descrição dos equipamentos 
• Trena: 
 Utilizada na obtenção da distância (altura h) onde o corpo suspenso se situará em relação 
ao disco menor. Graduada em centímetros (cm). Possui precisão de ± 0,5 mm, referente a 
metade da menor divisão, que é de 1 mm. A figura 1 apresenta uma fotografia da trena utilizada 
em laboratório: 
Figura 1 – Trena 
 Fonte: próprio autor. 
• Cronômetro digital: 
 Utilizada na obtenção do tempo de caída do corpo-peso até o chão. Possui precisão de 
± 0,01s. A figura 2 é uma fotografia do cronômetro usado na aula prática: 
Figura 2 – Cronômetro digital 
 Fonte: próprio autor. 
• Paquímetro: 
 Utilizado na obtenção da espessura do disco, comprimento do eixo e no diâmetro do 
eixo e do disco. Consta de uma régua e de um vernier (ou nônio). Possui precisão de ± 0,05 
8 
 
 
mm. A figura 3 ilustra o paquímetro usado no laboratório: 
Figura 3 – Paquímetro 
 Fonte: próprio autor. 
• Balança analítica: 
 Utilizada na obtenção da massa do corpo-peso e do eixo. Possui precisão de ± 0,01 g. A 
figura 4 ilustra a balança utilizada em laboratório: 
Figura 4 – Balança Analítica 
 Fonte: próprio autor. 
• Sistema eixo-disco: 
 Formado por um disco de alumínio com um eixo horizontal ao qual está preso por outro 
disco. O eixo é preso na mesa através de um sargento. O corpo-peso é enrolado no disco 
pequeno através de um fio de nylon. A figura 5 é uma fotografia do experimento: 
9 
 
 
Figura 5 – Sistema eixo-disco 
 Fonte: próprio autor.04.2. Descrição do experimento 
 A princípio, determinou-se todas as dimensões do eixo e do disco com o paquímetro. 
Calculou-se, então, o momento de inércia do eixo e do disco. Em seguida, mediu-se a massa do 
corpo-peso na balança analítica. Montou-se, então, o experimento como mostrado na figura 5. 
Mediu-se a altura h com a trena. Enrolou-se o fio de nylon e em uma de suas extremidades 
prendeu-se um corpo-peso. Liberou-se o corpo-peso a partir do repouso, de modo que ele se 
desenrolou completamente da polia no instante em que o corpo-peso atinge o solo. Anotou-se 
o tempo de queda da esfera metálica com o cronômetro digital. Repetiu-se esse procedimento 
cinco vezes e calculou-se o tempo médio. A queda do corpo-peso fez com que o conjunto eixo-
disco rotacionasse, contou-se o número de voltas feitas pelo disco até a sua parada e achou-se 
a sua velocidade angular através da velocidade escalar e do raio do disco menor. Repetiu-se 
esse procedimento cinco vezes. 
10 
 
 
 RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 A princípio, realizou-se as medidas do comprimento do eixo e do seu diâmetro com o 
auxílio de um paquímetro. A tabela 1 apresenta os valores obtidos para o diâmetro do eixo. 
Tabela 1 – Medidas do diâmetro do eixo 
𝒅𝟏(𝒎𝒎) 𝒅𝟐(𝒎𝒎) 𝒅𝟑(𝒎𝒎) 𝒅𝟒(𝒎𝒎) 𝒅𝟓(𝒎𝒎) 
11,10 11,00 11,00 11,00 11,00 
Fonte: próprio autor. 
 A média do diâmetro pode ser calculada através da equação 12: 
 𝑑 ̅= 
𝑑1+𝑑2+𝑑3+𝑑4+𝑑5
5
 (12) 
 Assim, a partir dos dados da tabela 1, pode-se determinar �̅�: 
𝑑 ̅= 
11,10+11,00+11,10+11,10+11,10
5
 = 11,02 mm 
 O desvio de cada medida é determinado por meio da equação 13: 
 𝛿𝑖= 𝑑𝑖 − 𝑑 ̅ (13) 
 Com isso, pode-se realizar os cálculos do desvio de cada medida de diâmetro do eixo, 
apresentado na tabela 2. 
Tabela 2 – Desvio de cada medida do diâmetro do eixo 
𝜹𝟏(𝒎𝒎) 𝜹𝟐(𝒎𝒎) 𝜹𝟑(𝒎𝒎) 𝜹𝟒(𝒎𝒎) 𝜹𝟓(𝒎𝒎) 
0,08 -0,02 -0,02 -0,02 -0,02 
Fonte: próprio autor. 
 A fórmula do desvio médio absoluto é dada pela equação 14: 
 𝛿 =
1
𝑛
∑ |𝛿𝑖|
𝑛
𝑖=1 (14) 
 Assim: 
𝛿 = 
|0,08|+|−0,02|+|−0,02|+|−0,02|+|−0,02|
5
 = 0,03 mm 
 O valor apropriado para a incerteza é o maior valor entre o desvio 𝛿 e o avaliado no 
próprio equipamento utilizado para a medida, no caso, o paquímetro (± 0,05 mm). Como δ é 
menor que 0,05 mm, considerou-se o erro estimado na medida como sendo ± 0,05 mm. Assim, 
o diâmetro do eixo é (11,02 ± 0,05) mm. 
 Com o valor do diâmetro do eixo calculado, determinou-se o valor do raio usando a 
equação 15 e 16: 
 𝑟 =
𝑑
2
 (15) 
 𝑐. 𝑎 = 𝑐. (�̅� ± 𝛥𝑥) = 𝑐. �̅� ± c. 𝛥𝑥 (16) 
 Assim: 
11 
 
 
𝑟𝑒𝑖𝑥𝑜 =
1
2
. ( 11,02 ± 0,05) =
1
2
. (11,02) ± 
1
2
. (0,05) = (5,51 ± 0,02) mm 
 As medidas de comprimento do eixo são apresentadas na tabela 3. 
Tabela 3 – Medidas do comprimento do eixo 
𝒄𝟏(𝒎𝒎) 𝒄𝟐(𝒎𝒎) 𝒄𝟑(𝒎𝒎) 𝒄𝟒(𝒎𝒎) 𝒄𝟓(𝒎𝒎) 
160,60 160,60 160,70 160,60 160,70 
Fonte: próprio autor. 
 A partir da equação 12, determinou-se 𝑐:̅ 
𝑐 ̅= 
160,60+160,60+160,70+160,60+160,70
5
 = 160,64 mm 
 Baseado na equação 13, determinou-se o desvio médio de cada medida de comprimento 
do eixo, apresentado na tabela 4. 
Tabela 4 – Desvio de cada medida do comprimento do eixo 
𝜹𝟏(𝒎𝒎) 𝜹𝟐(𝒎𝒎) 𝜹𝟑(𝒎𝒎) 𝜹𝟒(𝒎𝒎) 𝜹𝟓(𝒎𝒎) 
-0,04 -0,04 0,06 -0,04 0,06 
Fonte: próprio autor. 
 A partir da equação 14, determinou-se o desvio médio absoluto: 
𝛿 = 
|−0,04|+|−0,04|+|0,06|+|−0,04|+|0,06|
5
 = 0,05 mm 
 Como δ é igual a 0,05 mm, que é a mesma incerteza do paquímetro, considerou-se o 
erro estimado na medida como sendo ± 0,05 mm. Assim, o comprimento do eixo é (160,64 ± 
0,05) mm. 
 Adotou-se o mesmo procedimento para a medição da massa do eixo. A tabela 5 
apresenta os valores de massa medidos. 
Tabela 5 – Medidas de massa do eixo 
𝒎𝟏(𝒎𝒎) 𝒎𝟐(𝒎𝒎) 𝒎𝟑(𝒎𝒎) 𝒎𝟒(𝒎𝒎) 𝒎𝟓(𝒎𝒎) 
111,91 111,86 111,86 111,86 111,89 
Fonte: próprio autor. 
 A partir da equação 12, determinou-se 𝑚:̅̅̅̅ 
𝑚 ̅̅ ̅= 
111,91+111,86+111,86+111,86+111,89
5
 = 111,88 g 
 Por meio na equação 13, determinou-se o desvio médio de cada medida de massa do 
eixo, apresentado na tabela 6. 
 
 
 
12 
 
 
Tabela 6 – Desvio de cada medida de massa do eixo 
𝜹𝟏(𝒈) 𝜹𝟐(𝒈) 𝜹𝟑(𝒈) 𝜹𝟒(𝒈) 𝜹𝟓(𝒈) 
0,03 -0,02 -0,02 -0,02 0,01 
Fonte: próprio autor. 
 Com base da equação 14, determinou-se o desvio médio absoluto: 
𝛿 = 
|0,03|+|−0,02|+|−0,02|+|−0,02|+|0,01|
5
 = 0,02 g 
 A incerteza avaliada na balança analítica é de ± 0,01 g Como δ é maior que 0,01 mm, 
considerou-se o erro estimado na medida como sendo ± 0,02 g. Assim, a massa do eixo é (111,88 
± 0,02) g. 
 A carga máxima que a balança analítica pode medir é de 1.000 g. Como a massa do 
disco é maior que este valor, adotou-se a medida que já vem inserida no corpo do disco, que é 
de 1.500 g, devido à falta de informação acerca da incerteza do instrumento usado para medir 
a massa do disco, adotou-se o seu valor como uma constante. 
 Repetiu-se o procedimento de medição utilizado no eixo, mas agora para o disco. As 
medidas de raio encontradas com o paquímetro são apresentadas na tabela 7. 
Tabela 7 – Medidas do raio do disco 
𝒓𝟏(𝒎𝒎) 𝒓𝟐(𝒎𝒎) 𝒓𝟑(𝒎𝒎) 𝒓𝟒(𝒎𝒎) 𝒓𝟓(𝒎𝒎) 
125,00 125,00 125,00 124,70 124,90 
Fonte: próprio autor. 
 A média do raio pode ser calculada através da equação 12: 
𝑟 ̅= 
125,00+125,00+125,00+124,70+124,90
5
 = 124,92 mm 
 Por meio na equação 13, determinou-se o desvio médio de cada medida de raio do disco, 
apresentado na tabela 8. 
Tabela 8 – Desvio de cada medida de raio do disco 
𝜹𝟏(𝒎𝒎) 𝜹𝟐(𝒎𝒎) 𝜹𝟑(𝒎𝒎) 𝜹𝟒(𝒎𝒎) 𝜹𝟓(𝒎𝒎) 
0,08 0,08 0,08 -0,22 0,02 
Fonte: próprio autor. 
 A partir da equação 14, determinou-se o desvio médio absoluto: 
𝛿 = 
|0,08|+|0,08|+|0,08|+|−0,22|+|0,02|
5
 = 0,1 mm 
 Como δ é maior que 0,05 mm (incerteza do paquímetro), considerou-se o erro estimado 
na medida como sendo ± 0,1 mm. Assim, o raio do disco é (124,9 ± 0,1) mm. 
 Com o auxílio de um paquímetro, mediu-se a espessura (s) do disco. Os valores obtidos 
em casa medida são apresentados na tabela 9. 
13 
 
 
Tabela 9 – Medidas de espessura do disco 
𝒔𝟏(𝒎𝒎) 𝒔𝟐(𝒎𝒎) 𝒔𝟑(𝒎𝒎) 𝒔𝟒(𝒎𝒎) 𝒔𝟓(𝒎𝒎) 
19,80 19,90 19,90 19,90 19,90 
Fonte: próprio autor. 
 A média da espessura pode ser calculada através da equação 12: 
𝑠 ̅= 
19,80+19,90+19,90+19,90+19,90
5
 = 19,88 mm 
 Por meio na equação 13, determinou-se o desvio médio de cada medida de espessura do 
disco, apresentado na tabela 10. 
Tabela 10 – Desvio de cada medida de espessura do disco 
𝜹𝟏(𝒎𝒎) 𝜹𝟐(𝒎𝒎) 𝜹𝟑(𝒎𝒎) 𝜹𝟒(𝒎𝒎) 𝜹𝟓(𝒎𝒎) 
-0,08 0,02 0,02 0,02 0,02 
Fonte: próprio autor. 
 A partir da equação 14, determinou-se o desvio médio absoluto: 
𝛿 = 
|−0,08|+|0,02|+|0,02|+|0,02|+|0,02|
5
 = 0,03 mm 
 Como δ é menor que 0,05 mm, considerou-se o erro estimado na medida como sendo ± 
0,05 mm (incerteza do paquímetro). Assim, a espessura é (19,88 ± 0,05) mm. 
 Após aferidos os valores do raio, massa e comprimento do eixo e massa, espessura e 
raio do disco, determinou-se o momento de inércia do disco Id e o momento de inércia do eixo 
Ie, a partir da equação 6. 
𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 =(1,50). 10−3((124,9 ± 0,1). 10−3)²
2
 
 Para tornar os cálculos mais simples, dividiu-se a equação em partes. Primeiro, calculou-
se 𝑟𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜² a partir da equação 17: 
 𝑎. 𝑏 = (�̅� ± 𝛥𝑥). (�̅� ± 𝛥𝑦) = (�̅�. �̅�) ± (𝑥.̅ 𝛥𝑦 + �̅�𝛥𝑥) (17) 
 Desse modo, têm-se: 
𝑟𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 . 𝑟𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 = (124,9 ± 0,1). 10
−3. (124,9 ± 0,1). 10−3 = (124,9 . 124,9). 10−6 ±
(124,9 . 0,1 + 124,9 . 0,1). 10−6 = (1.560 ± 2). 10−4 m² 
 Dessa maneira, 𝑟𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
2 = (1.560 ± 2). 10−4 m². Utilizando a equação 16, fez-se 
𝑟𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
2 . 𝑚𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜: 
𝑟𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
2 . 𝑚𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 = (1.560 ± 2). 10
−4. 1,5 = (1.560 . 1,5). 10−4 ± (2. 1,5). 10−4 = 
(2.340 ± 3). 10−4 kg.m² 
 Finalmente, dividiu-se (2.340 ± 3). 10−4 kg.m² pela constante 0,5: 
14 
 
 
𝑟𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
2 . 𝑚𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
2
= (2.340 ± 3). 10−4. 0,5 = (2.340 . 0,5). 10−4 ± (3. 0,5). 10−4 = 
 (1.170 ± 1). 10−4 kg.m² 
 Através dos cálculos, concluiu-se que 𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 = (1.170 ± 1). 10
−4 kg.m². 
 De maneira análoga, realizou-se os cálculos para 𝐼𝑒𝑖𝑥𝑜, assim, a partir da equação 6: 
𝐼𝑒𝑖𝑥𝑜 =
(111,88 ± 0,02). 10−3((5,51 ± 0,02). 10−3)²
2
 
 𝑟𝑒𝑖𝑥𝑜 
2 será, através da equação 17: 
𝑟𝑒𝑖𝑥𝑜. 𝑟𝑒𝑖𝑥𝑜 = (5,51 ± 0,02). 10
−3. (5,51 ± 0,02). 10−3 = (5,51 . 5,51). 10−6 ±
(5,51 . 0,02 + 5,51 . 0,02). 10−6 = (30,4 ± 0,2). 10−6 m² 
 Desse modo, 𝑟𝑒𝑖𝑥𝑜 
2 será (30,4 ± 0,2). 10−6 m. Ainda por meio da equação 17, 
multiplicou-se a massa do eixo pelo 𝑟𝑒𝑖𝑥𝑜 
2 : 
𝑟𝑒𝑖𝑥𝑜
2 . 𝑚𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 = (30,4 ± 0,2). 10
−6. (111,88 ± 0,02) . 10−3 = (30,4 . 111,88). 10−9 ±
(30,4 . 0,02 + 111,88 . 0,2). 10−9 = (340 ± 2). 10−8 kg.m² 
 Obteve-se o seguinte resultado para 𝐼𝑒𝑖𝑥𝑜: 
(340 ± 2). 10−8 kg.m² 
 Pode-se, ainda, calcular o momento de inércia do disco através da equação 7. Sabe-se 
que o valor tabelado do alumínio é 2.697 kg/m³ [2], assim: 
I = 
1
2
𝜋. 2.697. (19,88 ± 0,05)(((124,9 ± 0,1). 10−3)4 − ((5,51 ± 0,02). 10−3)4)) 
→ I = 
1
2
𝜋. 2.697. (19,88 ± 0,05)((2.444 ± 6). 10−7 − (92 ± 1)10−11)) 
→ I = 
1
2
𝜋. 2.697. (19,88 ± 0,05)(2.444 ± 6). 10−7) 
→ I = 
1
2
𝜋. 2.697. (486 ± 4) . 10−8 
I = (205,9 ± 0,8) . 10−4 kg.m² 
 Portanto, o momento de inércia do disco calculado através da densidade do alumínio é 
de (205,9 ± 0,8) . 10−4 kg.m². Percebe-se que o raio do eixo é de ordem de grandeza tão 
pequena que quando se faz 𝑅4 − 𝑟4, ele é desprezível. 
 Montou-se o experimento conforme indicado na figura 5. A massa do corpo-peso foi 
medida na balança analítica 5 vezes, a tabela 11 mostra os valores obtidos. 
Tabela 11 – Medidas de massa do corpo-peso 
𝒎𝟏(𝒎𝒎) 𝒎𝟐(𝒎𝒎) 𝒎𝟑(𝒎𝒎) 𝒎𝟒(𝒎𝒎) 𝒎𝟓(𝒎𝒎) 
225,23 225,21 225,19 225,23 225,23 
Fonte: próprio autor. 
15 
 
 
 A média da massa pode ser calculada através da equação 12: 
𝑚 ̅̅ ̅= 
225,23+225,21+225,19+225,23+225,23
5
 = 225,22 g 
 A partir na equação 13, determinou-se o desvio médio de cada medida de massa do 
corpo-peso, apresentado na tabela 12. 
Tabela 12 – Desvio de cada medida de massa do corpo-peso 
𝜹𝟏(𝒈) 𝜹𝟐(𝒈) 𝜹𝟑(𝒈) 𝜹𝟒(𝒈) 𝜹𝟓(𝒈) 
0,01 -0,01 -0,03 0,01 0,01 
Fonte: próprio autor. 
 A partir da equação 14, determinou-se o desvio médio absoluto: 
𝛿 = 
|0,01|+|−0,01|+|−0,03|+|0,01|+|0,01|
5
 = 0,01 g 
 Como δ é igual a 0,01 g, que é a mesma incerteza da balança analítica, considerou-se o 
erro estimado na medida como sendo ± 0,01 g. Assim, a massa do corpo-peso é (225,22 ± 0,01) 
g. 
 Com a trena, foi possível medir a distância (altura h) onde o corpo suspenso se situa em 
relação ao disco menor. O valor obtido foi de (60,00 ± 0,05) cm. Inicialmente, soltou-se o corpo-
peso da altura h para que pudesse realizar cinco medidas do seu tempo de queda com o 
cronômetro digital. A tabela 13 contém os valores medidos. 
Tabela 13 – Dados experimentais dos tempos do percurso vertical do corpo-peso 
𝒕𝟏(𝒔) 𝒕𝟐(𝒔) 𝒕𝟑(𝒔) 𝒕𝟒(𝒔) 𝒕𝟓(𝒔) 
2,46 2,43 2,50 2,48 2,53 
Fonte: próprio autor. 
 A média dos tempos pode ser calculada através da equação 12: 
𝑡 ̅= 
2,46+2,43+2,50+2,48+2,53
5
 = 2,48 s 
 A partir da equação 13, calculou-se o desvio médio de cada medida de tempo, 
apresentado na tabela 14. 
Tabela 14 – Desvio médio de cada medida de tempo 
𝜹𝟏(𝒔) 𝜹𝟐(𝒔) 𝜹𝟑(𝒔) 𝜹𝟒(𝒔) 𝜹𝟓(𝒔) 
-0,02 -0,05 0,02 0,00 0,05 
Fonte: próprio autor. 
 A partir da equação 14, determinou-se o desvio médio absoluto: 
𝛿 = 
|−0,02|+|−0,05|+|0,02|+|0,00|+|0,05|
5
 = 0,03 s 
 Como δ é maior que 0,01 s (incerteza do cronômetro digital), considerou-se o erro 
estimado na medida como sendo ± 0,03 s. Assim, o tempo de queda é (2,48 ± 0,03) s. 
16 
 
 
 Contou-se também o número de voltas feitas pelo disco a partir do momento que a esfera 
metálica toca o chão até a sua parada. A tabela 15 apresenta esses valores. 
Tabela 15 – Dados experimentais do número de voltas do disco 
𝒏𝟏(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔) 𝒏𝟐(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔) 𝒏𝟑(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔) 𝒏𝟒(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔) 𝒏𝟓(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔) 
88,0 87,0 88,0 88,0 87,0 
Fonte: próprio autor. 
 A média do número de voltas pode ser calculada através da equação 12: 
𝑡 ̅= 
88+87+88+88+87
5
 = 87,6 voltas 
 A partir da equação 13, calculou-se o desvio médio de cada medida de número de voltas, 
apresentado na tabela 16. 
Tabela 16 – Desvio médio de cada medida de número de voltas 
𝜹𝟏(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔) 𝜹𝟐(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔) 𝜹𝟑(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔) 𝜹𝟒(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔) 𝜹𝟓(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔) 
0,4 -0,6 0,4 0,4 -0,6 
Fonte: próprio autor. 
 A partir da equação 14, determinou-se o desvio médio absoluto: 
𝛿 = 
|0,4|+|−0,6|+|0,4|+|0,4|+|−0,6|
5
 ≈ 0,5 voltas 
 Assim, o número de voltas é (87,6 ± 0,5) voltas. 
 Quando a esfera metálica é desenrolada do fio de nylon até tocar o solo, o movimento 
do corpo é uniformemente acelerado. Determinou-se a aceleração do corpo. Considerou-se a 
velocidade inicial como sendo zero, já que o corpo parte do repouso. A velocidade no 
movimento uniformemente acelerado é dada pela equação 18: 
 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎. 𝑡 (18) 
 Desse modo, a aceleração é dada pela equação 19: 
 𝑎 =
𝑣
𝑡
 (19) 
 Outrossim, a equação horária da posição é dada por: 
 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0. 𝑡 +
𝑎.𝑡2
2
 (20) 
 Considerou-se a posição inicial como sendo zero. Assim, a equação 20 é reduzida à 
equação 21: 
 𝑎 =
2𝑠
𝑡²
 (21) 
 Comparando a equação 19 e 21: 
 𝑣 =
2𝑠
𝑡
 (22) 
 A distância s já foi calculada anteriormente e vale (60,00 ± 0,05).10−2 m e o tempo de 
17 
 
 
queda é (2,48 ± 0,03) s. Utilizando a equação 22, têm-se que a velocidade do corpo-peso assim 
que ele toca o chão é: 
𝑣 =
2 . (60,00 ± 0,05). 10−2
(2,48 ± 0,03) 
 
 Novamente, para facilitar os cálculos, dividiu-se a operação em partes. Primeiro, 
calculou-se 2s pela equação 16: 
2𝑠 = 2. ( 60,00 ± 0,05). 10−2 = 2. (60,00). 10−2 ± 2. (0,05). 10−2 = (120,0 ± 0,1) . 10−2 m 
 Em seguida, dividimos (120,0 ± 0,1) . 10−2 m por (2,48 ± 0,03) s por meio da 
equação 23: 
 𝑎/𝑏 = (�̅� ± 𝛥𝑥)/(�̅� ± 𝛥𝑦) = �̅�/�̅� ± (𝑥.̅ 𝛥𝑦 + �̅�𝛥𝑥)/ �̅�² (23) 
𝑣 =
120.10−2
2,48 
± 
(120,0 .0,03 +2,48 .0,1) .10−2
2,48²
= (48,4 ± 0,6).10−2 𝑚/𝑠 
 Portanto, a velocidade linear será (48,4 ± 0,6).10−2 𝑚/𝑠. A relação entre a velocidade 
angular e a velocidade linear é dadapela equação 24: 
 𝑣 = ω. 𝑟 (24) 
 Onde r é o raio do disco menor. Para tanto, realizou-se as medidas do diâmetro do disco 
menor com o paquímetro, os valores são apresentados na tabela 17: 
Tabela 17 –Dados experimentais do diâmetro do disco menor 
𝒅𝟏(𝒎𝒎) 𝒅𝟐(𝒎𝒎) 𝒅𝟑(𝒎𝒎) 𝒅𝟒(𝒎𝒎) 𝒅𝟓(𝒎𝒎) 
87,11 87,00 87,10 87,00 87,15 
Fonte: próprio autor. 
 A média dos diâmetros pode ser calculada através da equação 12: 
𝑑 ̅= 
87,11+87,00+87,10+87,00+87,12
5
 = 87,07 mm 
 A partir da equação 13, calculou-se o desvio médio de cada medida de tempo, 
apresentado na tabela 14. 
Tabela 14 – Desvio médio de cada medida de diâmetro 
𝜹𝟏(𝒔) 𝜹𝟐(𝒔) 𝜹𝟑(𝒔) 𝜹𝟒(𝒔) 𝜹𝟓(𝒔) 
0,04 -0,07 0,03 -0,07 0,08 
Fonte: próprio autor. 
 A partir da equação 14, determinou-se o desvio médio absoluto: 
𝛿 = 
|0,04|+|−0,07|+|0,03|+|−0,07|+|0,08|
5
 = 0,06 mm 
 Como δ é maior que 0,05 mm (incerteza do paquímetro), considerou-se o erro estimado 
na medida como sendo ± 0,06 s. Assim, o diâmetro do disco menor, cujo fio de nylon é 
amarrado, será (87,07 ± 0,06) mm. A partir da equação 15 e 16, calculou-se o raio do disco 
18 
 
 
menor: 
𝑟𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 =
1
2
. ( 87,07 ± 0,06) =
1
2
. (87,07) ± 
1
2
. (0,06) = (43,53 ± 0,03) mm 
 Substituindo o valor do raio e da velocidade linear na equação 24, tem-se que a 
velocidade angular é: 
𝜔 =
(48,4 ± 0,6). 10−2 
(43,53 ± 0,03). 10−3
 
 Onde, através da equação 23, têm-se: 
𝜔 =
48,4.10−2
43,53.10−3 
± 
(48,4 . 0,03 +43,53 .0,6) .10−2
43,53²
 = (1,112± 0,014).10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 Dessa maneira, a velocidade angular será (11,1 ± 0,1) rad/s. Com todos os dados 
coletados e as equações calculadas, pode-se agora determinar a energia mecânica do sistema. A 
energia potencial gravitacional é dada pela equação 8, têm-se: 
U = (225,22 ± 0,01). 10−3. 9,78 . (60,00 ± 0,05).10−2 = (135,1 ± 0,1) 10−3. 9,78 =
(1.321,3 ± 0,9 ) . 10−3 J 
 A energia potencial gravitacional é, portanto, (1.321,3 ± 0,9 ) . 10−3 J. 
 Em seguida, calculou-se a energia cinética de translação pela equação 10: 
E = 
1
2
. (225,22 ± 0,01). 10−3. (48,4 ± 0,6). 10−2)2 
 Em que, por meio da equação 16 e 17, têm-se: 
E = 
1
2
. (225,22 ± 0,01). 10−3. (234 ± 6). 10−3 =
1
2
. (53 ± 1). 10−3 
= (26,5 ± 0,5). 10−3 J 
 A energia cinética de translação é, portanto, (26,5 ± 0,5 ) . 10−3 J. 
 Por fim, conhecendo o momento de inércia do disco e a velocidade angular máxima, 
pode-se determinar a energia cinética de rotação: 
𝐾𝑟𝑜𝑡 = 
1
2
. (205,9 ± 0,8). 10−4 . (11,1 ± 0,1) 2 
 Onde, pela equação 16 e 17, dispõem-se: 
𝐾𝑟𝑜𝑡 = 
1
2
. (205,9 ± 0,8). 10−4 . (123 ± 2) =
1
2
. (253 ± 5). 10−2 = (126 ± 2). 10−2 J 
 Sabe-se, portanto, que a energia cinética de rotação é (126 ± 2). 10−2 J. 
 O princípio de conservação da energia estabelece que a variação da energia mecânica é 
nula, ou seja, a energia na altura h deve ser a mesma energia ao tocar o solo. Assim, tem-se que 
U = E + 𝐾𝑟𝑜𝑡. E + 𝐾𝑟𝑜𝑡 será (1.286 ± 1). 10
−3 J e U será (1.321,3 ± 0,9 ) . 10−3 J. 
 Pode-se explicar esta diferença causada pelo fato de não ser considerado o atrito 
envolvido no sistema e a transformação da energia mecânica em calor. Essa diferença pode ser 
determinada percentualmente através da equação 25: 
19 
 
 
 E% =
|Vtabelado−Vexperimental|
Vtabelado
. 100 (25) 
 Dessa maneira, utilizando a equação 16, 17 e 23, obteve-se um erro percentual de: 
E% =
|(1.321,3 ± 0,9 ) . 10−3 − (1.286 ± 1). 10−3|
(1.321,3 ± 0,9 ) . 10−3
. 100 =
|(35 ± 2). 10−3|
(1.321,3 ± 0,9 ) . 10−3
. 100 
= (0,026 ± 0,002). 100 = (2,6 ± 0,2) % 
 A fim de se comparar, pode-se realizar o processo inverso e obter o momento de inércia 
do sistema através da energia mecânica, supõe-se: 
(1.321,3 ± 0,9 ) . 10−3 = 
1
2
. I . (11,1 ± 0,1)2 + (26,5 ± 0,5 ) . 10−3 → 
(1.321,3 ± 0,9 ) . 10−3 = 
1
2
. I . (123 ± 2) + (26,5 ± 0,5 ) . 10−3 → 
(1.321,3 ± 0,9 ) . 10−3 = I. (62 ± 1) + (26,5 ± 0,5 ) . 10−3 → 
 (1.321,3 ± 0,9 ) . 10−3 − (26,5 ± 0,5 ) . 10−3 = I . (62 ± 1) → 
𝐼 = 
(1.295 ±1 ) .10−3
(62 ± 1) 
→ 𝐼 = (20,9 ± 0,4). 10−3 kg.m² 
 O momento de inércia ideal seria, portanto, (20,9 ± 0,4). 10−3 kg.m². Já foi calculado 
anteriormente o momento de inércia do disco usando a densidade do alumínio, o resultado 
encontrado foi de (20,59 ± 0,08) . 10−3 kg.m². Da mesma forma que foi feito para a energia 
mecânica do sistema, pode-se calcular o erro percentual do momento de inércia através da 
equação 25: 
E% =
|(20,9 ± 0,4) . 10−3 − (20,59 ± 0,08).10−3|
 (20,9 ± 0,4). 10−3
. 100 =
|(0,3 ± 0,5). 10−3|
 (20,9 ± 0,4). 10−3
. 100 
= (0,01 ± 0,02). 100 = (1 ± 2) % 
 Como o erro percentual é muito baixo, pode-se afirmar que o experimento foi adequado 
para se colocar em prática a teoria física envolvida no movimento de rotação e de translação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 CONCLUSÃO 
Para realização do experimento foi necessário medir as dimensões do disco com régua 
e paquímetro, a massa do corpo suspenso e do disco através da balança de precisão e a altura 
de queda do corpo que estava preso ao fio de nylon enrolado no sistema eixo-disco com uma 
trena. Com o cronômetro digital mediu-se o tempo de queda do peso-corpo até o chão, e então 
contou-se o número de voltas do disco até que ele parasse de girar. Com esses dados coletados, 
foram feitos os cálculos que possibilitaram encontrar o momento de inercia do conjunto eixo-
disco. O material usado foi adequado, pois não apresentou dificuldades em seu uso. 
 Porém, cabe salientar que devido algumas formas grosseiras de manusear os 
equipamentos de medição, como, por exemplo, o tempo de resposta do operante no momento 
de acompanhar a queda do corpo e parar o cronômetro ao mesmo tempo, ocorreram variações 
nas medições. Entretanto, o erro percentual da energia mecânica foi de (2,6 ± 0,2) %, dessa 
forma, pode-se afirmar que o experimento cumpriu totalmente a proposta apresentada. 
Com isso, encontrou-se o valor do momento de inércia do sistema eixo-disco 
de (20,59 ± 0,08). 10−3 kg. m2 e, com a verificação da conservação de energia mecânica, 
encontrou-se o valor de (20,9 ± 0,4). 10−3 kg.m². O erro percentual do momento de inércia é, 
portanto, de (1 ± 2) %. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 [1] Nussenzveig, H. M., Curso de física básica, Vol. 1, 4ª edição. Editora Blucher, São 
Paulo (2002). 
 [2] Zadorosny, R., Carvalho, C. L., Apostila da disciplina: Laboratório de Física – II. 
DFQ: Departamento de Física e Química, Ilha Solteira (2011).