Exercícios de Cálculo e Geometria Analítica

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Lista 2 UFRJ
Prof. Brayan Mauricio Rodríguez
1. Determine a serie de Taylor das seguintes funções , emtorno do ponto dado
(1.a)
f(x) = cos(3x) x0 = 0
(1.b)
f(x) = arctan(x/3) x0 = 0
2. Escreva cadafunção como uma seriede potencia usando frações parcias. Diga o intervalo de
convergencia
(2.a)
f(x) =
3
x2 − x− 2
(2.b)
f(x) =
x+ 2
2x2 − x− 1
3. Encontre a serie de Maclaurin de
(3.a)
f(x) = sin2(x)
(3.b)
f(x) = ex + 2e−x
4. Seja α ∈ R A seguinte série é chamada serie binomial:
1 +
∞∑
k=1
α(α− 1) . . . (α− k + 1)xk
k!
(4.a) Verifique mediante expansão em
serie de Maclaurin que
(1 + x)α = 1 +
∞∑
k=1
α(α− 1) . . . (α− k + 1)xk
k!
(4.b) Ache o raio de convergência
(4.c) Se α ∈ N, verifique que
(1 + x)α = 1 +
∞∑
k=1
(
α
k
)
xk
(4.d) Se f(x) = 1√
x2+1
, calcule f (10)(0).
(4.e) Na teoria da relatividade especiala massa de
umobjeto se movendo a uma velocidade v é
dada por m = m0
Ω(v)
, onde ω(v) =
√
1− v2/c2,
m0 é a massa de umobjeto em repouso e c é a
velocidade da luz .A energia cinética do objeto
é dada por :
K(v) = mc2 −m0c2 = m0x2
[
1
Ω(v)
− 1
]
Determine a serie de Taylor de K = K(v) em
torno de 0.
5. Determine o volume do solido obtido pela rotação ao redor da reta x = 1 (Esta é uma reta
vertical paralela ao eixo y) da região delimitada por y =
√
x, y = 0 e x = 1.
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