Exercícios de Inferência Estatística

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SME 0123: INFEREˆNCIA ESTATI´STICA - 6a Lista de Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. Um levantamento feito em va´rios supermercados do
pa´ıs revelou que o valor me´dio do prec¸o do vidro de 500 ml de
azeite importado e´ R$ 24,5 com um desvio padra˜o de R$ 5,45.
Seleciona-se uma amostra aleato´ria de 50 vidros de azeite impor-
tado de 500 ml retirados de diferentes supermercados. Qual a pro-
babilidade de que o prec¸o me´dio dessa amostra esteja entre R$
18,00 e R$ 25,00?
Exerc´ıcio 2. Em uma sondagem, perguntou-se a 1.002 membros
de determinado sindicato se eles haviam votado na u´ltima eleic¸a˜o
para a direc¸a˜o do sindicato e 701 responderam afirmativamente.
Os registros oficiais obtidos depois da eleic¸a˜o mostram que 61%
dos membros aptos a votar de fato votaram. Calcule a probabilida-
de de que, dentre 1.002 membros selecionados aleatoriamente, no
mı´nimo 701 tenham votado, considerando que a verdadeira taxa
de votantes seja de 61%. O que o resultado sugere?
Exerc´ıcio 3. De um lote de produtos manufaturados, extrai-se
uma amostra aleato´ria simples de 100 itens. Se 10% dos itens do
lote sa˜o defeituosos, calcule a probabilidade de serem sorteados no
ma´ximo 12 itens defeituosos.
Exerc´ıcio 4. Suponha que se saiba que para uma grande populac¸a˜o
de pessoas o comprimento craniano seja distribu´ıdo de uma forma
aproximadamente normal com me´dia igual a 185,6 mm e desvio
padra˜o igual a 12,7 mm. Qual a probabilidade de que uma amostra
aleato´ria de 10 pessoas da populac¸a˜o tenha comprimento craniano
me´dio acima de 190 mm?
Exerc´ıcio 5. Um distribuidor de sementes determina, por meio
de testes, que 5% das sementes na˜o germinam. Ele vende pacotes
com 200 sementes com garantia de 90% de germinac¸a˜o. Qual a
probabilidade de que um pacote na˜o satisfac¸a a` garantia?
Exerc´ıcio 6. Se uma ma´quina produz resistores ele´tricos com re-
sisteˆncia me´dia de 40 ohms e desvio-padra˜o de 2 ohms, qual a
probabilidade de que uma amostra aleato´ria de 36 desses resistores
tenha uma resisteˆncia combinada de mais de 1458 ohms?
Exerc´ıcio 7. O tempo que um banca´rio gasta com um cliente
e´ uma varia´vel aleato´ria com me´dia µ = 3, 2 minutos e desvio-
padra˜o σ = 1, 6 minuto. Se uma amostra aleato´ria de 64 clientes
for observada, determine a probabilidade de que o tempo me´dio no
balca˜o de atendimento sera´ de
(a) no ma´ximo 2,7 minutos;
(b) mais de 3,5 minutos;
(c) pelo menos 3,2 minutos, mas menos que 3,4 minutos.
Exerc´ıcio 8. Seja X = (X1, . . . , Xn) uma amostra aleato´ria de
uma populac¸a˜o com distribuic¸a˜o Binomial(M,p), com M conhe-
cido. Encontre o(s) estimador(es) de ma´xima verossimilhanc¸a
para o(s) paraˆmetro(s) desconhecido(s).
Exerc´ıcio 9. Uma varia´vel aleato´ria X tem func¸a˜o densidade de
probabilidade f(x) = (β + 1)xβ , 0 < x < 1.
(a) Calcule o estimador de ma´xima de verossimilhanc¸a de β
baseado numa amostra de tamanho n.
(b) Calcule a estimativa de ma´xima de verossimilhanc¸a de β
quando os valores amostrais forem: 0,3; 0,8; 0,27; 0,35;
0,62 e 0,55.
Exerc´ıcio 10. Seja X = (X1, . . . , Xn) uma amostra aleato´ria de
uma populac¸a˜o com func¸a˜o densidade de probabilidade
f(x; θ) = θxθ−1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ θ <∞.
Encontre o estimador pelo me´todo de ma´xima verossimilhanc¸a de
θ.
Exerc´ıcio 11. Suponha que X seja uma varia´vel aleato´ria com
distribuic¸a˜o normal, com me´dia µ e variaˆncia 1. Obtenha o EMV
de µ, para uma amostra de tamanho n, X = (X1, . . . , Xn).
Exerc´ıcio 12. Considere um experimento hipote´tico no qual um
homem com um fungo usa uma droga antifu´ngica e e´ curado. Con-
sidere isso, enta˜o, uma amostra de uma distribuic¸a˜o de Bernoulli
com func¸a˜o de probabilidade
p(x) = pxq1−x, x = 0, 1,
em que p e´ a probabilidade de sucesso (cura) e q = 1 − p. E´
claro, a informac¸a˜o da amostra fornece x = 1. Escreva um de-
senvolvimento que mostra que pˆ = 1 e´ o estimador de ma´xima
verossimilhanc¸a da probabilidade de cura.
Exerc´ıcio 13. Seja X = (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra aleato´ria
da varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o Gama(3, β), cuja func¸a˜o
densidade de probabilidade e´ dada por:
fX(x;β) =
1
2
β3x2e−βx, x > 0 e β > 0.
Encontre o estimador de ma´xima verossimilhanc¸a para β.
Exerc´ıcio 14. Seja X = (X1, . . . , Xn) uma amostra aleato´ria da
varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o Exponencial(λ), λ > 0. En-
contre o estimador de ma´xima verossimilhanc¸a para λ.
Exerc´ıcio 15. Seja X = (X1, . . . , Xn) uma amostra aleato´ria da
varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o de Normal(µ, σ2), em que
−∞ < µ < ∞ e σ2 > 0, ambos desconhecidos. Encontrar o esti-
mador de ma´xima verossimilhanc¸a para os paraˆmetros desconhe-
cidos.
Exerc´ıcio 16. Seja X = (X1, . . . , Xn) uma amostra aleato´ria
da varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o de Geome´trica(θ), cuja
func¸a˜o massa de probabilidade e´ dada por:
fX(x; θ) = θ(1− θ)x, x = 0, 1, 2, . . . 0 < θ < 1.
(a) Encontre o estimador de ma´xima verossimilhanc¸a para θ.
(b) Considere as observac¸o˜es associadas n realizac¸o˜es de X
(X):
x 0 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11
Frequeˆncia Observada 14 8 7 4 6 3 2 1 2 2 1
Fornec¸a a estimativa de ma´xima verossimilhanc¸a para θ.
Exerc´ıcio 17. Seja X = (X1, . . . , Xn) uma amostra aleato´ria da
varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o de Rayleigh(θ), cuja func¸a˜o
densidade de probabilidade e´ dada por:
fX(x; θ) =
x
θ
e−x
2/2θ, x ≥ 0, θ > 0.
Encontre o estimador de ma´xima verossimilhanc¸a para θ.
Exerc´ıcio 18. Se X e´ uma varia´vel aleato´ria Binomial com paraˆ-
metros M e p. Mostre que pˆ = X/M e´ um estimador na˜o-viciado
de p.
Exerc´ıcio 19. Seja X = (X1, . . . , Xn) uma amostra aleato´ria de
uma populac¸a˜o com distribuic¸a˜o Poisson(λ). Encontre o estimador
de ma´xima verossimilhanc¸a para λ e verifique se ele e´ na˜o-viciado.
Exerc´ıcio 20. Suponha que θˆ1 e θˆ2 sejam estimadores na˜o-viciados
do paraˆmetro θ. Sabemos que V ar(θˆ1) = 10 e V ar(θˆ2) = 4. Qual
e´ o melhor estimador e em que sentido ele e´ melhor?
Exerc´ıcio 21. Seja X = (X1, · · · , Xn) uma amostra aleato´ria de
uma populac¸a˜o com me´dia µ e variaˆncia σ2 e considere o seguinte
estimador para a me´dia populacional µ:
µˆ =
1
n+ 1
(2X1 +X2 + · · ·+Xn)
Verificar se µˆ e´ um estimador na˜o-viciado e consistente do paraˆ-
metro µ.
Exerc´ıcio 22. Suponha que X tenha uma distribuic¸a˜o uniforme
no intervalo (0, θ), onde θ e´ desconhecido. Uma amostra de n ob-
servac¸o˜es X1,X2, . . . , Xn e´ retirada. Sabemos que E(X) = E(Xi) =
θ/2 e Var(X) = Var(Xi) = θ
2/12 para todo i = 1, . . . , n. Logo, se
calcularmos a me´dia amostral X, essa deve estar pro´xima de θ/2
e podemos estimar θ por θ̂ = 2X.
(a) Calcule E(θ̂).
(b) Calcule EQM(θ̂).
(c) θ̂ e´ consistente? Por queˆ?
Exerc´ıcio 23. Se X e´ uma varia´vel aleato´ria binomial, mostre
que:
(a) pˆ1 = X/n e´ um estimador na˜o viciado de p.
(b) pˆ2 =
X+
√
n/2
n+
√
n
e´ um estimador viciado de p.
(c) Mostre que o estimador pˆ2 se torna na˜o viciado quando
n→∞.
Exerc´ıcio 24. Para estimar a me´dia µ desconhecida de uma po-
pulac¸a˜o, foram propostos dois estimadores na˜o viesados e indepen-
dentes µ̂1 e µ̂2, de tal forma que Var(µ̂1) = Var(µ̂2)/3, Considere
os seguintes estimadores ponderados de µ:
(i) µ̂3 = (µ̂1 + µ̂2)/2.
(ii) µ̂4 = (4µ̂1 + µ̂2)/5.
(iii) µ̂5 = µ̂1.
(a) Quais dos estimadores µ̂3, µ̂4 e µ̂5 sa˜o na˜o viesados?
(b) Disponha esses estimadores em ordem crescente de eficieˆncia.
Exerc´ıcio 25. Seja X = (X1, · · · , Xn) uma amostra aleato´ria da
distribuic¸a˜o N(µ, σ2). Mostre que a estat´ıstica T (X) =
n∑
i=1
aiXi,
com
n∑
i=1
ai = 1 e´ na˜o-viciada. Obtenha valores de ai para os quais
T (X) seja consistente.
Exerc´ıcio 26. O Erro Quadra´tico Me´dio (EQM) de um estimador
θˆ qualquer e igual a variaˆncia do estimador mais o quadrado do
v´ıcio. Suponha que θˆ1 θˆ2 e θˆ3 sejam estimadoresdo paraˆmetro
θ. Sabe-se que E(θˆ1) = E(θˆ2) = θ, E(θˆ3) 6= θ, V ar(θˆ1) = 12,
V ar(θˆ2) = 10 e E[(θˆ3 − θ)2] = 6. Com base nessas informac¸o˜es,
compare esses treˆs estimadores e determine qual deles e´ melhor.
Justifique sua escolha.
Exerc´ıcio 27. Suponha que X tenha uma distribuic¸a˜o uniforme
no intervalo (0, θ), em que θ e´ desconhecido. Uma amostra de n
observac¸o˜es X1, . . . , Xn e´ retirada. Sabemos que E(X) = E(Xi) =
θ/2 e Var(X) = Var(Xi) = θ
2/12 para todo i = 1, . . . , n. Logo, se
calcularmos a me´dia amostral X, essa deve estar pro´xima de θ/2
e podemos estimar θ por θ̂ = 2X.
(a) Calcule E(θ̂).
(b) Calcule EQM(θ̂).
(c) θ̂ e´ consistente? Por queˆ?
Exerc´ıcio 28. Seja X uma varia´vel aleato´ria com E(X) = µ e
V ar(X) = σ2. Enta˜o, para todo ε > 0, a seguinte desigualdade
(chamada de desigualdade de Chebyshev) e´ va´lida:
P (|X − µ| ≥ ε) ≤ V ar(X)
ε2
.
Usando essa desigualdade, prove que X e´ um estimador consistente
para a me´dia µ.
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Algumas Respostas: 1-0,7422 ; 2- ≈ 0; 3- 0,7486 ; 4- 0,1379; 5- ' 0
(0,000598); 6- 0,0668; 7-a) 0,0062; b) 0,0668; c) 0,3413; 8- pˆ = X/M ; 9- a)
−n
n∑
i=1
log(xi)
−1; b) 0,2340; 10- n/
n∑
i=1
log(1/Xi); 11- X; 13-
3
X
; 14- X
−1
; 15-
X e σˆ2 =
n∑
i=1
(Xi −X)2
n ; 16- a) θˆ =
1
1+X
; 17-
n∑
i=1
X
2
i
2n
; 18- Bp(pˆ) = 0; 19-
λˆ = X e Bλ(λˆ) = 0; 20- θˆ2; 22- a) θ; b) θ2/3n; 25- ai = 1/n; 26- θˆ2; 27- a)
θ; b) θ2/3n.