Estatísticas, Probabilidade e Processos Estocásticos
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Probabilidade, Estatística e Processos Estocásticos
Carlos Alberto Ynoguti
25 de janeiro de 2011
Agradecimentos
Ao Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães pela criteriosa revisão do texto.
Sumário
Lista de Figuras vii
1 Probabilidade 1
1.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Teoria de Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Lei de De Morgan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Princípio da Dualidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Definições de Probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Frequência Relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Axiomática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Clássica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Cálculo de probabilidades usando métodos de contagem. . . . . . . . . . 7
1.4.1 Amostragem com reposição e ordenação. . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Amostragem sem reposição e com ordenação. . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Permutação de n objetos distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.4 Amostragem sem reposição e sem ordenação. . . . . . . . . . . . 10
1.4.5 Amostragem com reposição e sem ordenação. . . . . . . . . . . . 11
1.5 Probabilidade Conjunta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Probabilidades Marginais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Probabilidade Condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.1 Regra de Bayes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Eventos independentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Experimentos sequenciais e diagramas em árvore . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Variáveis Aleatórias 25
2.1 Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Função distribuição cumulativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Tipos de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3 Mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Função Densidade de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Algumas variáveis aleatórias discretas importantes . . . . . . . . . . . . 36
2.5.1 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
SUMÁRIO iii
2.5.2 Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.3 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.4 Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Algumas variáveis aleatórias contínuas importantes . . . . . . . . . . . . 38
2.6.1 Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.2 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.3 Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.4 Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.5 Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.6 m-Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.7 Chi-Quadrado (\u3c72) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.8 Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.9 Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7 Densidades Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 Variáveis Aleatórias Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8.1 Função Distribuição de Probabilidade Conjunta . . . . . . . . . . 51
2.8.2 Densidades marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8.3 Caso multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8.4 Função distribuição de probabilidade condicional . . . . . . . . . 54
2.8.5 Independência Estatística de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . 56
2.9 Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9.1 Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9.2 Caso Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Médias Estatísticas de Variáveis Aleatórias 72
3.1 Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.1 Média de uma Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.2 Média de uma Função de uma Variável Aleatória . . . . . . . . . 74
3.1.3 Médias para Variáveis Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.4 Média da Soma de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.5 Média do Produto de Duas Variáveis Aleatórias Independentes . 77
3.1.6 Média Quadrática da Soma de Duas Variáveis Aleatórias . . . . . 77
3.1.7 Média condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.1 N -ésimo momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.2 Momentos Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.3 Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.4 Caso Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.5 Variáveis Aleatórias Descorrelacionadas e Ortogonais . . . . . . . 82
3.3 Funções Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.1 Caso multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4 Métodos computacionais para geração de números aleatórios 90
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 Método do resíduo da potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Método da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
iv SUMÁRIO
4.4 O método da rejeição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5 Geração de funções de uma variável aleatória . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6 Geração de misturas de variáveis aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5 Somas de Variáveis Aleatórias e o Teorema do Limite Central 100
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 Médias de somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Fdp da soma de duas v.a.\u2019s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4 Função geratriz de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5 FGM da soma de v.a.\u2019s independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.6 Somas de v.a.\u2019s gaussianas independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.7 Somas aleatórias de v.a.\u2019s independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.8 Teorema do limite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.9 Aplicações do Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120