Aula 3 - Estática dos Fluidos (parte 2)

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INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS
AULA 3: ESTÁTICA DOS FLUIDOS (2)
PROF: ROGER RODRIGUES
SUMÁRIO
• Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas
Submersas
• Determinação da força resultante sobre uma
superfície submersa
• Determinação do centro de pressão de uma
superfície submersa
• Exercícios de fixação
OBJETIVO
• Apresentar uma abordagem introdutória acerca
do conceito de força hidrostática atuante em
superfícies submersas
• Determinação de
• Força Hidrostática Resultante
• Centro de Pressão
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• Quando falamos em
• Placa exposta a um líquido
• Parede de um tanque de armazenamento de líquido
• Casco de um navio em repouso
• Sujeitos à pressão dos fluidos distribuída sobre
sua superfície
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• Para determinar completamente as
especificações da força resultante atuando sobre
uma superfície submersa, é necessário
especificar sua
• Magnitude (ou módulo)
• Direção e sentido
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• Magnitude ou módulo da força
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝0+ 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃
𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑝. 𝑑𝐴 =න
𝐴
(𝑝0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃). 𝑑𝐴
𝐹𝑅 = 𝑝0𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න
𝐴
𝑦. 𝑑𝐴
Da Mecânica, temos que 𝑦𝑐 =
׬𝐴 𝑦. 𝑑𝐴
𝐴
Substituindo:
𝐹𝑅 = (𝑝0+𝜌𝑔𝑦𝑐sin𝜃)𝐴 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ𝑐 𝐴
𝐹𝑅 = 𝑝𝑐𝐴
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• Magnitude ou módulo da força
𝐹𝑅 = 𝑝𝑐𝐴
“A magnitude da força
resultante que age sobre
uma superfície plana
completamente submersa
em um fluido homogêneo
(densidade constante) é
igual ao produto da pressão
pc no centroide da superfície
e da área A da superfície”
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• Magnitude ou módulo da força
𝐹𝑅 = 𝑝𝑐𝐴
“Embora a força resultante
possa ser calculada a partir
da pressão no centro da
placa (centroide da área),
este NÃO É O SEU PONTO DE
APLICAÇÃO!!!”
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• LINHA DE AÇÃO DA FORÇA
• Em geral, não passa através do centroide da superfície,
ficando abaixo do mesmo, onde a pressão é mais alta
• O ponto de interseção entre a linha de ação da força
resultante e a superfície é o CENTRO DE PRESSÃO
• A determinação da coordenada vertical se dá igualando o
momento da força resultante e o momento da força de
pressão distribuída com relação ao eixo x. Isso resulta em:
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• LINHA DE AÇÃO DA FORÇA
𝑦𝑝𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑦𝑝. 𝑑𝐴 = න
𝐴
𝑦(𝑝0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃). 𝑑𝐴
𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0න
𝐴
𝑦. 𝑑𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න
𝐴
𝑦2. 𝑑𝐴
𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0𝑦𝑐𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 . 𝐼𝑥𝑥,𝑂
yp – Distância do centro de pressão
ao eixo x (ponto O)
Ixx,O – Segundo momento de área
(ou momento de inércia de área)
em relação a O
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• LINHA DE AÇÃO DA FORÇA
𝑦𝑝𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑦𝑝. 𝑑𝐴 = න
𝐴
𝑦(𝑝0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃). 𝑑𝐴
𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0න
𝐴
𝑦. 𝑑𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න
𝐴
𝑦2. 𝑑𝐴
𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0𝑦𝑐𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 . 𝐼𝑥𝑥,𝑂
Ixx,C – Segundo momento de área
(ou momento de inércia de área)
em relação ao centroide (centro
de área)
𝐼𝑥𝑥,𝑂 = 𝐼𝑥𝑥,𝐶 + 𝑦𝐶
2. 𝐴
Teorema dos eixos paralelos
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• LINHA DE AÇÃO DA FORÇA
𝑦𝑝𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑦𝑝. 𝑑𝐴 = න
𝐴
𝑦(𝑝0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃). 𝑑𝐴
𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0න
𝐴
𝑦. 𝑑𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න
𝐴
𝑦2. 𝑑𝐴
𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0𝑦𝑐𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 . 𝐼𝑥𝑥,𝑂
𝑦𝑝 = 𝑦𝑐 +
𝐼𝑥𝑥,𝐶
𝑦𝐶 +
𝑝0
𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐴
Substituindo as relações FR e Ixx,O
encontradas anteriormente:
Posição do centro de pressão
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• Em resumo, temos as seguintes equações:
Magnitude da força
Local de aplicação da força 
(centro de pressão)
𝐹𝑅 = 𝑝𝑐𝐴 = 𝑝𝑚é𝑑𝐴
𝑦𝑝 = 𝑦𝑐 +
𝐼𝑥𝑥,𝐶
𝑦𝐶 +
𝑝0
𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐴
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
Ex1 - Um carro pesado sofre
um acidente e mergulha em
um lago e assenta no fundo do
lago sobre as rodas. A porta
tem 1,2m de altura e 1m de
largura, e a parte superior da
porta está 8m abaixo da
superfície livre da água.
Determine a força hidrostática
sobre a porta e discuta se o
motorista consegue abrir a
porta.
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
Hipóteses:
• A superfície inferior do lago é
horizontal;
• A cabine de passageiros está bem
vedada, de modo que nenhuma
água vaza para dentro;
• A porta pode ser aproximada por
uma placa retangular vertical;
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
Hipóteses:
• A pressão na cabine de
passageiros permanece com o
valor atmosférico, uma vez que
não há vazamento de água para
dentro e, portanto, nenhuma
compressão do ar interno. Assim,
a pressão atmosférica se cancela
nos cálculos uma vez que ela age
em ambos os lados da porta;
• O peso do carro é maior do que a
força de flutuação (empuxo) que
age sobre ele.
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• Propriedades
Tomamos a densidade da água
como 1000 kg/m³ em todo o lago.
• Análise
A pressão média sobre a porta é o
valor da pressão no centroide, e
esse valor de pressão é
determinado por
𝑝𝑐 = 1000 𝑥 9,81 𝑥 8 +
1,2
2
𝑝𝑐 = 𝜌𝑔ℎ𝑐 = 𝜌𝑔 8 +
1,2
2
𝑝𝑐 = 84,4 Τ𝑘𝑁 𝑚
2
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
• Propriedades
Tomamos a densidade da água
como 1000 kg/m³ em todo o lago.
• Análise
Então, a força hidrostática
resultante sobre a porta torna-se:
𝐹𝑅 = 𝑝𝑐𝐴 = 𝑝𝑚é𝑑𝐴
𝐹𝑅 = 84,4 𝑥 1 𝑥 1,2
𝐹𝑅 = 101,3 kN
RESPOSTA
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
DISCUSSÃO
• Uma pessoa forte pode levantar
100kg, cujo peso é 981N ou cerca
de 1kN. Da mesma forma, a pessoa
pode aplicar a força em um ponto
mais distante das dobradiças (1m
além) para obter o efeito máximo e
gerar um momento de 1 kN.m
• A força hidrostática resultante age
sob o ponto médio da porta e,
portanto, a uma distância de 0,5m
das dobradiças. Isso gera um
momento de 50,6 kN.m, que é
cerca de 50 vezes o momento que
o motorista poderia gerar.
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
Ex2 - A superfície inclinada mostrada, articulada ao longo de A, tem 5m
de largura. Determine a força resultante FR da água sobre a superfície
inclinada.
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
Ex3 - Uma comporta plana, de espessura uniforme, suporta uma coluna
de água, conforme mostrado. Determine o peso mínimo da comporta
necessário para mantê-la fechada.
OBS:
ρÁGUA = 999kg/m
3
g = 9,81m/s2
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
Ex4 - Um portão de 2000 kg e largura w = 8 m, tem comprimento L a
ser determinado. A situação de equilíbrio é alcançada para D = 1m
(nível da água) e ângulo de 30º, entre o portão e o nível do tanque.
Determine o comprimento de equilíbrio.
OBS:
ρÁGUA = 999kg/m
3
g = 9,81m/s2
Forças Hidrostáticas Sobre 
Superfícies Planas Submersas
Ex5 - Uma comporta retangular, de largura w = 2m, é articulada
conforme mostrado, com um batente na borda inferior. Em que
profundidade H a comporta estará prestes a abrir?.
OBS:
ρÁGUA = 999kg/m
3
g = 9,81m/s2
REFERÊNCIAS
[1] ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. “Mecânica dos Fluidos:
Fundamentos e Aplicações”. Volume Único. São Paulo: McGraw-
Hill. 2007.
[2] FOX, R.W.; MCDONALD, A.T.; PRITCHARD, P.J. “Introdução à
Mecânica dos Fluidos”. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC. 2006.