Vigas_Flexão_Simples_2019 (1)

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Disciplina: Estruturas de Concreto Armado I 
Assunto: Notas de Aula – Dimensionamento de vigas a Flexão Simples 
Data 2° Semestre - 2019 Prof: Luiz Gustavo Cruz Trindade 
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4. DOMÍNIO 2 e 3 – SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
 
Embora as vigas possam ter a seção transversal com qualquer forma geométrica, na 
maioria dos casos da prática a seção é a retangular. 
Define-se viga com armadura simples a seção que necessita apenas de uma armadura 
longitudinal resistente tracionada. No entanto, por questões construtivas são colocadas barras 
longitudinais também na região comprimida, para a amarração dos estribos, não sendo esta 
armadura considerada no cálculo de flexão como armadura resistente, ou seja, na seção com 
armadura simples as tensões de compressão são resistidas unicamente pelo concreto. 
 
4.1 Equações de Equilíbrio 
 
A formulação dos esforços internos resistentes da seção é feita com base nas equações 
de equilíbrio das forças normais e dos momentos fletores: 
∑ 𝐹𝐻 = 0 ∑ 𝑀 = 0 
 
A Figura 1 mostra a seção transversal de uma viga sob flexão simples, de forma retangular 
e solicitada por momento fletor positivo, com largura bw e altura h, armadura As e área A’c de 
concreto comprimido, delimitada pela linha neutra (LN). A linha neutra é demarcada pela distância 
X, contada a partir da fibra mais comprimida da seção transversal. A altura útil é d, considerada da 
fibra mais comprimida até o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada. 
O diagrama de deformações ao longo da altura da seção, com as deformações notáveis cd 
(máxima deformação de encurtamento do concreto comprimido) e sd (deformação de 
alongamento na armadura tracionada) e o diagrama retangular simplificado de distribuição de 
tensões de compressão, com altura y =0,8X (Eq. 12), e as respectivas resultantes de tensão (Rcc e 
Rst) estão também mostrados na Figura 1. Os diagramas de tensões e deformações são válidos 
apenas para concretos do grupo 1 (fck < 50Mpa). 
 
Figura 1 – Distribuição de tensões e deformações em uma viga com armadura simples 
 
 
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a) Equilíbrio das Forças Normais 
 
Considerando que na flexão simples não ocorrem forças normais solicitantes, e que a força 
resultante das tensões de compressão no concreto deve estar em equilíbrio com a força resultante 
das tensões de tração na armadura As , como indicadas na Figura 1, pode-se escrever: 
𝑅𝑐𝑐 = 𝑅𝑠𝑡 (1) 
 
 Tomando da Resistência dos Materiais que σ = R/A, a força resultante das tensões de 
compressão no concreto, considerando o diagrama retangular simplificado, pode ser escrita como: 
𝑅𝑐𝑐 = 𝜎𝑐𝑑 ∗ 𝐴′𝑐 
𝑅𝑐𝑐 = (0,85 ∗ 𝑓𝑐𝑑) ∗ (0,8 ∗ 𝑋 ∗ 𝑏𝑤) 
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑋 ∗ 𝑓𝑐𝑑 (2) 
 
 A resultante de tensões na armadura tracionada pode ser escrita como: 
𝑅𝑠𝑡 = 𝑓𝑦𝑑 ∗ 𝐴𝑠 (3) 
 
b) Equilíbrio de Momentos Fletores 
 
Considerando o equilíbrio de momentos fletores na seção, o momento fletor solicitante 
deve ser equilibrado por um momento fletor resistente (MRd), proporcionado pelo concreto 
comprimido e pela armadura tracionada. Assumindo valores de cálculo, por simplicidade de 
notação ambos os momentos fletores devem ser iguais ao momento fletor de cálculo Md , tal que: 
𝑀𝑑 = 𝑀𝑅𝑑 
 
 As forças resistentes internas, proporcionadas pelo concreto comprimido e pela armadura 
tracionada, formam um binário oposto ao momento fletor solicitante, podendo ser escrito: 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑐 ∗ 𝑧 (4) 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑡 ∗ 𝑧 (5) 
 
Onde: 
𝑅𝑐𝑐 ∗ 𝑧 → momento resistente formado pelo concreto comprimido 
𝑅𝑠𝑡 ∗ 𝑧 → momento resistente formado pelo aço tracionado 
𝑧 = 𝑑 − 0,4 ∗ 𝑋 (6) 
 
 Substituindo (6) em (4), fica: 
𝑀𝑑 = 0,68 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑋 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ (𝑑 − 0,4 ∗ 𝑋) 
 
 
 
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 Isolando a variável X, é possível encontrar a Equação da Linha Neutra X: 
𝑋 = 1,25𝑑 [1 ± √1 −
𝑀𝑑
0,425 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑
] 
(7) 
 
 Substituindo a Eq. (3) na Eq. (5) define-se o momento interno resistente proporcionado 
pela armadura tracionada: 
𝑀𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑧 
 
 Isolando a variável As, é possível encontrar o valor da área de aço: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 ∗ 𝑓𝑦𝑑
 
(8) 
 
c) Verificação do Domínio 
𝑋
𝑑
< 0,26 → 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 2 
𝑋
𝑑
< 0,45 → 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 3 
 
 Se resultar o domínio 4, alguma alteração deve ser feita de modo a tornar x  x3lim , e 
resultar, como consequência, o domínio 2 ou o 3. Conforme a Eq. (7) verifica-se que para diminuir 
X pode-se: 
- diminuir o valor do momento fletor solicitante (Md); 
- aumentar a largura ou a altura da viga (> d); 
- aumentar a resistência do concreto. 
 Quando nenhuma alteração pode ser adotada, resta ainda estudar a possibilidade de 
dimensionar a seção com armadura dupla, que está apresentada no item 5. 
 
4.2 Disposições Construtivas – Detalhamento da seção transversal 
 
a) Armadura Mínima de Tração 
A armadura mínima pode ser considerada atendida se forem respeitadas as taxas mínimas 
de armadura da Tabela 17.3 da norma, indicada pela Tabela 1. A armadura mínima pode ser 
calculada pela expressão (9) e o coeficiente 𝜌𝑚í𝑛 pode ser determinado pela Tabela 1 em função 
da classe do concreto. 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛 ∗ 𝐴𝑐 (9) 
 
 
 
 
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Tabela 1 – Tabela para determinação da área mínima, obtida pela NBR 6118-2014 
 
 
b) Armadura Máxima de Tração 
Segundo o item 17.3.5.2.4, a soma da armadura de tração e compressão (As + A’s) não 
pode ter valor maior que 4%*Ac. 
 
c) Cobrimento 
O cobrimento da armadura é uma ação isolante, ou de barreira, sendo exercida pelo 
concreto interpondo-se entre o meio corrosivo e a armadura, como mostra a Figura 2. A 
espessura dessa camada é determinada em função da classe de agressividade do ambiente, 
como mostra a Tabela 2. 
 
Figura 2 – Cobrimento da Armadura 
 
Tabela 2 – Correspondência entre cobrimento nominal e a classe de agressividade do ambiente 
Estrutura 
Classe de agressividade ambiental 
I (Rural ou 
Submersa) II (Moderada) 
III (Marinha ou 
Industrial) 
IV (Industrial ou 
Maresia) 
Cobrimento nominal (mm) 
Laje 20 25 35 45 
Viga/pilar 25 30 40 50 
 
 
 
 
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d) Espaçamento entre as Barras 
Segundo o item 18.3.2.2 da NBR 6118, o espaçamento mínimo livre entre as faces das 
barras longitudinais, medido no plano da seção transversal (Figura 3), deve ser igual ou superior 
ao maior dos seguintes valores: 
- Na direção horizontal (𝑒ℎ): 
𝑒ℎ ≥ {
20𝑚𝑚
∅𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
1,2 ∗ 𝑑𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜- Na direção vertical (𝑒𝑣): 
𝑒𝑣 ≥ {
20𝑚𝑚
∅𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
0,5 ∗ 𝑑𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜
 
 
Figura 3 – Espaçamentos livres mínimos entre as faces das barras de aço longitudinais. 
 
e) Resultante das Armaduras 
Após o detalhamento deve-se verificar a posição real do centro geométrico das armaduras, 
como mostra a Figura 10: 
Se: 
𝑑𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑑𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
≥ 0,95 → 𝑂𝐾! 
𝑑𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑑𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
≤ 0,95 → 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟! 
𝑑𝑟𝑒𝑎𝑙 = ℎ − 𝑦𝑐𝑔 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 10 – Representação da posição do centro geométrico das armaduras 
 
 
5. CÁLCULO DE SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA 
 
Define-se seção com armadura dupla a seção que, além da armadura resistente 
tracionada, contém também armadura longitudinal resistente na região comprimida, ali colocada 
para auxiliar o concreto na resistência às tensões de compressão. 
A Figura 11 ilustra esquematicamente a seção de uma viga com armadura dupla. 
 
Figura 11 – Seção de uma viga com armadura dupla 
 
Para se calcular a Armadura Dupla deve-se calcular primeiramente Mdlim e M2. Assim: 
Mdlim – momento obtido impondo que a seção trabalhe no limite da ductilidade X/d = 0,45; é 
resistido pelo concreto comprimido e armadura tracionada As1; 
M2 – momento que será resistido por uma armadura comprimida A’s e, para que haja equilíbrio, 
por uma armadura tracionada As2. 
 
 
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O momento Mdlim pode ser obtido da equação (4), com X = 0,45*d: 
𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 = 𝑅𝑐𝑐 ∗ 𝑧 = 0,68 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑋 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ (𝑑 − 0,4 ∗ 𝑋) 
𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 = 0,251 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑
2 ∗ 𝑓𝑐𝑑 (14) 
 
A armadura As1 é obtida da Equação (8), com Mdlim no lugar de Md e 𝑧𝑙𝑖𝑚 = (𝑑 − 0,4 ∗
𝑋𝑙𝑖𝑚). 
𝐴𝑆1 =
𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑧𝑙𝑖𝑚 ∗ 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑙𝑖𝑚
(𝑑 − 0,4𝑋𝑙𝑖𝑚) ∗ 𝑓𝑦𝑑
 
(15) 
 
 Fazendo o equilíbrio da seção da Figura 11 com M2, pode ser obtida a armadura As2, 
correspondente ao momento M2: 
𝐴𝑆2 =
𝑀2
(𝑑 − 𝑑′) ∗ 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑑 − 𝑀𝑙𝑖𝑚
(𝑑 − 𝑑′) ∗ 𝑓𝑦𝑑
 
(16) 
 
 Chamando de As o total de armadura tracionada, resulta: 
𝐴𝑆 = 𝐴𝑆1 + 𝐴𝑆2 (17) 
 
 Fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao centro geométrico (CG) da armadura 
tracionada na seção com M2, obtém-se a armadura A’s: 
𝐴′𝑆 =
𝑀2
(𝑑 − 𝑑′) ∗ 𝑓𝑠
=
𝑀𝑑 − 𝑀𝑙𝑖𝑚
(𝑑 − 𝑑′) ∗ 𝑓′𝑠
 
(18) 
 
 Finalmente, é preciso conhecer a deformação específica da armadura comprimida 𝜀′𝑆 para 
encontrar a tensão na armadura comprimida 𝑓′𝑠. O valor de 𝜀′𝑆 é obtido da Figura 11: 
3,5‰
𝑋𝑙𝑖𝑚
=
𝜀′𝑆
𝑋𝑙𝑖𝑚 − 𝑑′
→ 𝜀′𝑆 =
3,5‰ ∗ (𝑋𝑙𝑖𝑚 − 𝑑
′)
𝑋𝑙𝑖𝑚
 
(19) 
 
 Para aço CA-50, tem-se que yd = 2,07 ‰ 
• Se 𝜀′𝑆 ≥ 2,07‰ → 𝑓
′
𝑠
= 𝑓𝑦𝑑 
• Se 𝜀′𝑆 < 2,07‰ → 𝑓
′
𝑠
= 𝐸 ∗ 𝜀′𝑆 
 
 
 
 
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6. ESQUEMA ESTÁTICO DE VIGAS 
 
a) Peso próprio 
 
O peso próprio das vigas pode ser calculado como sendo: 
𝑃𝑃 = 𝛾𝑐 ∗ 𝑏𝑣𝑖𝑔 ∗ ℎ𝑣𝑖𝑔 
 
Onde: 
𝛾𝑐: peso específico do concreto armado, sendo igual a 25KN/m³; 
𝑏𝑣𝑖𝑔: largura da seção transversal da viga; 
ℎ𝑣𝑖𝑔: altura da seção transversal da viga. 
 
b) Reações das lajes 
 
Para lajes maciças, deve-se considerar que as cargas são transferidas nas duas 
direções, podendo ser calculadas pelas tabelas professor LIBÂNIO. Para lajes pré-
moldadas, pode-se calcular as reações das lajes admitindo que metade do seu peso é 
transferido para as vigas que as apoiam. 
 
c) Peso de paredes 
 
O peso das paredes sobre as vigas pode ser calculado como sendo: 
𝑃𝑝𝑎𝑟 = 𝛾𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 ∗ 𝑏𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 ∗ ℎ𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 
 
Onde: 
𝛾𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒: peso específico da alvenaria. 
𝑏𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒: largura da parede 
ℎ𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒: altura da parede; 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.1 ENGASTAMENTO VIGA-PILAR DE EXTREMIDADE 
 
Quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares 
com a viga, deve ser considerado, nos apoios externos, momento igual ao momento de 
engastamento perfeito (Meng) multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes 
relações: 
 
 
𝑟 =
𝐼
𝑙
→ 
rigidez do elemento, avaliada conforme indicado na Figura 13 
inf, sup, vig → índices referentes ao pilar inferior, ao pilar superior e à viga, respectivamente. 
 
 
Figura 13 – Aproximação em apoios extremos 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1) Dada a viga abaixo, pede-se o cálculo das armaduras de flexão para projeto e o 
detalhamento da seção transversal. 
 
 
 
2) Dada a planta de forma, o esquema estático das vigas e seus diagramas de momento 
fletor, pede-se o cálculo das armaduras de flexão para projeto e o detalhamento da seção 
transversal. 
 
V3: 
 
 
Dados: 
Pk = 11,85kN/m 
fck = 25Mpa 
brita: 19mm 
∅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 = 5𝑚𝑚 
Aço: CA-50 
d = 40cm 
c = 3cm 
Seção: 12x45 
Dados: 
fck = 25Mpa 
brita: 19mm 
∅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 = 5𝑚𝑚 
Aço: CA-50 
d = 35cm 
c = 3cm 
 
 
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V6: 
 
 
V4: 
 
 
 
 
V1: 
 
 
 
 
 
Mk = 4,69KN.m → As = 2Ø8,00 
Mk = 20,4KN.m → As = 2Ø12,5 
 As = 3Ø10,0 
 As = 4Ø8,0 
 
Mk = 28,5KN.m → As = 2Ø16,0 
 As = 3Ø12,5 
 As = 4Ø10,0 
Mk = 8,4KN.m → As = 2Ø8,0 
 
Mk = 9,9KN.m → As = 2Ø8,0 
 
Mk = 28,5KN.m → As = 2Ø16,0 
 As = 3Ø12,5 
 As = 4Ø10,0 
 
 
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3) Dada a viga abaixo, pede-se o cálculo das armaduras de flexão para projeto e o 
detalhamento da seção transversal. 
 
 
4) Dimensionar e detalhar a armadura longitudinal de flexão para o momento fletor negativo 
no apoio intermediário de uma viga contínua, considerando os dados a seguir: 
 
Resp: As,ef = 5∅20/ 4∅22/ 3∅25; A’s,ef = 2∅12,5 
 
5) Considere o esquema estático da viga de concreto armado e o diagrama de momento 
fletor. Pede-se o cálculo das armaduras de flexãoe de cisalhamento para projeto e o 
detalhamento transversal e longitudinal. 
 
Mk (KN*m) 
 
Dados: 
Seção: 15x40 
fck = 20Mpa 
Aço CA-50 
c = 2,5cm 
d = 35cm 
d’ = 3cm 
brita 1 = 19mm 
largura dos apoios = 15cm 
Dados: 
fck = 20Mpa 
brita: 19mm 
Aço: CA-50 
d = 44cm 
d’ = 4cm 
c = 3cm 
b = 20 cm 
h = 50 cm 
Mk = – 15.700 kN.cm 
concreto C25 
aço CA-50 
c = 2,0 cm 
∅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 = 6,3 mm 
brita 1 
 
 
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6) Obter os carregamentos e o esquema estático das vigas da planta de forma, cotas em cm. 
a) Sem considerar a ligação com os pilares de extremidade. 
b) Considerando a ligação com os pilares de extremidade. 
 
 
7) Dimensionar e detalhar as vigas V2 e V4. Cotas em cm. 
 
Resposta: 
V4 
 
 
 
 
Laje: 
Peso Próprio: 1,5KN/m² 
Revestimento: 
𝛾𝑟𝑒𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 19KN/m³ 
espessura: 6cm 
Carga Acidental: 2KN/m² 
 
Alvenaria: 
𝛾𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 13KN/m³ 
Altura alvenaria = 3,00m 
Esp. Parede interna = 15cm 
Esp. Parede externa = 25cm 
 
Vigas: 
Internas: 14x50 
Externas: 19x50 
 
Pilares: 
extremidade: 19x19 
canto: 19x55 
comprimento: 3m 
fck = 20Mpa 
Aço CA-50 
c = 2,5cm 
d = 50cm 
∅𝑒𝑠𝑡 = 5mm 
Brita 1 = 19mm 
 
Laje: 
Peso Próprio: 2,57 KN/m² 
Revestimento: 1,15 KN/m² 
Carga Acidental: 3,00 KN/m² 
 
Alvenaria: 
𝛾𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 13KN/m³ 
Altura alvenaria = 3,00m 
Esp. Parede interna = 15cm 
Esp. Parede externa = 25cm 
 
Pilares: 
seção 25x25 
Pé-direito: 280cm 
As + = 2,42cm² 
As,proj + = 2∅12,5 = 2,45cm² 
As,mín = 1,24cm² 
As, máx = 33cm² 
 
 
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V2: 
 
As + = 8,25cm² 
As - = 1,92cm² 
As,proj + = 7∅12,5 = 8,59cm² 
As,proj - = 2∅12,5 = 2,45cm² 
As,mín = 2,06cm² 
As, máx = 55cm² 
 
8) Dimensionar a viga V2 da planta de forma e verificar se é possível posicionar 
transversalmente uma tubulação de 50mm indicada na planta de forma, cotas em cm. 
 
Resposta: 
As + = 6,13cm² 
As - = 3,38cm² 
As,proj + = 5∅12,5 = 6,14cm² 
As,proj - = 3∅12,5 = 3,68cm² 
As,mín = 1,01cm² 
As, máx = 27cm² 
 
fck = 30Mpa 
Aço CA-50 
c = 3cm 
d = 40cm 
∅𝑒𝑠𝑡 = 5mm 
Brita 1 = 19mm 
 
Laje: 
Peso Próprio: 217kgf/m² 
Revestimento: 100kgf/m² 
Carga Acidental: 150kgf/m² 
 
Alvenaria: 
𝛾𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 1300kgf/m³ 
Altura alvenaria = 3,00m 
Espessura parede = 15cm 
 
Pilares: 
seção 20x40 
Pé-direito: 280cm 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
• ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2014). NBR 6118 – Projeto de 
estruturas de concreto - Procedimento, Rio de Janeiro. 
• BASTOS, P.S.S. (2015). Flexão Normal Simples - Vigas – Notas de Aula. Departamento 
de Engenharia Civil-UNESP, Bauru. 
• CAMACHO, J.S. (2006). Curso de Concreto Armado (NBR 6118/2003): Estudo das 
Vigas – Flexão Normal Simples - NEPAE-UNESP, Ilha Solteira. 
• CARVALHO, R. C. (2015). Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto 
Armado – Segundo a NBR 6118:2014. Edufscar. 4ed. São Carlos. 
• GIONGO, J.S. (1996). Concreto Armado: Projeto Estrutural de Edifícios. EESC-USP, 
São Carlos. 
• PINHEIRO, L.M. (1985). Noções sobre pré-dimensionamento de Estruturas de 
Edifícios - EESC-USP - Curso de Especialização em Estruturas. 
• PINHEIRO, L.M. (2007). Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios - EESC-USP 
- Curso de Especialização em Estruturas.