01 MAT 4 0008_100LD

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Curitiba
2016
José de França Bueno
Alessandro Ferreira Alves
Lógica Matemática
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
B928l Bueno, José de França 
Lógica matemática / José de França Bueno, Alessandro Ferreira 
Alves. – Curitiba: Fael, 2016.
153 p.: il.
ISBN 978-85-60531-38-7
1. Lógica matemática I. Alves, Alessandro Ferreira II. 
Título
 CDD 511.3
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção de Produção Fernando Santos de Moraes Sarmento
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão FabriCO
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Capa Katia Cristina Santos Mendes
Imagem Capa Shutterstock.com/Senoldo
Diagramação FabriCO
Revisão de Diagramação Katia Cristina Santos Mendes
Sumário
 Carta ao aluno | 5
1. Introdução à Lógica, breve histórico da 
Lógica e cálculo proposicional | 7
2. Operações Lógicas sobre Proposições | 21
3. Tabelas-verdade | 41
4. Tautologias, contradições, implicações lógicas | 55
5. Equivalências lógicas | 67
6. Argumentos: regras de inferência 1 | 81
7. Argumentos: regras de inferência 2 | 93
8. Quantificadores e sentenças abertas | 105
9. Métodos de demonstração: direta, contrapositiva, redução 
ao absurdo, de inclusão e de igualdade de conjuntos | 119
10. Indução matemática | 133
 Conclusão | 147
 Referências | 151
Carta ao aluno
Prezado aluno, uma das habilidades que a sociedade espera 
encontrar em um profissional de Ciências Exatas é a capacidade de 
pensar logicamente. Também se espera desse profissional que iden-
tifique argumentos que não são válidos, bem como apresente as suas 
ideias com clareza, precisão e rigor. 
Áreas do conhecimento, como Matemática, Física, Filosofia, 
Ciência da Computação, Engenharia Elétrica, Sistemas de Informa-
ção, Linguística e mesmo Direito foram, e ainda são, na atualidade, 
objeto de interesse, aplicações práticas e pesquisa científica de fron-
teira na área da Lógica. Além disso, concursos públicos para as mais 
diversas formações vêm exigindo conhecimentos de Lógica. Como 
outras áreas do pensamento humano, a Lógica pode ser estudada 
por seu interesse próprio ou por suas aplicações.
Lógica Matemática
– 6 –
A disciplina, cujos conteúdos estão oferecidos neste material, apresenta os 
conceitos básicos da Lógica: proposições, conectivos; tautologias, contradições 
e implicações; equivalências; argumentos válidos; regras de inferência; senten-
ças abertas; quantificadores; técnicas de demonstração e indução matemática. 
Esperamos que, ao final dos estudos, você tenha ampliado as suas com-
petências de: 
 2 Interpretar textos matemáticos com rigor;
 2 Utilizar tabelas-verdade na resolução de problemas;
 2 Apresentar argumentos válidos;
 2 Identificar falhas em argumentos;
 2 Dominar as técnicas básicas de demonstração de teoremas;
 2 Desenvolver demonstrações, utilizando os conceitos apresentados 
nesta disciplina.
Seja bem-vindo(a) à nossa jornada! 
Bons estudos e boas leituras!
1
Introdução à Lógica, 
breve histórico da 
Lógica e cálculo 
proposicional
Neste capítulo vamos conhecer um pouco da história da 
Lógica, desde Aristóteles até o século XX. O objetivo é proporcio-
nar-lhe o conhecimento que a Lógica, assim como as outras áreas 
do pensamento humano, apresentaram em sua própria evolução ao 
longo dos tempos.Portanto,ela não se encontra estagnada. Na sequ-
ência, definiremos as primeiras noções relativas ao cálculo proposi-
cional: os princípios da Lógica Clássica, o que são proposições e os 
conectivos proposicionais. 
Lógica Matemática
– 8 –
Objetivos de aprendizagem:
 2 Distinguir sentenças que são proposições daquelas que não o são;
 2 Definir proposições e conectivos;
 2 Identificar os conectivos proposicionais em uma sentença;
 2 Listar os princípios das lógicas clássicas. 
1.1 Introdução e histórico da Lógica
Em nosso dia a dia, apresentamos uma sequência de sentenças, segui-
das de uma conclusão. Essa sequência de sentenças constitui um argu-
mento. Esperamos convencer os nossos interlocutores da validade de nos- 
sos argumentos. 
Costuma-se dividir o estudo da Lógica Matemática (também denomi-
nada Lógica Simbólica) em três períodos: 
 2 período grego (para alguns autores estende-se até o início do século 
XIX),
 2 período booleano (referência ao lógico 
matemático britânico George Boole).
 2 período contemporâneo. 
A seguir, explicamos um pouco a res-
peito de cada período. 
Acredita-se que a primeira pessoa a 
realizar a sistematização da Lógica foi o filó-
sofo grego Aristóteles (384 a 322 a.C.), em 
sua obra Organon. O sistema desenvolvido 
por Aristóteles foi denominado de “Lógica 
dos termos”.
Outras escolas lógicas dos gregos foram 
as escolas dos megáricos (cerca de 300 a.C.) e a 
escola dos estoicos (cerca de 260 a.C.) (Bispo; 
Castanheira; Souza Filho, 2011, p. xii). 
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5.
Figura 1: Selo em homenagem 
ao filósofo grego Aristóteles, fun-
dador da Lógica como disciplina 
intelectual.
– 9 –
Introdução à Lógica, breve histórico da Lógica e cálculo proposicional
Não obstante a enorme importância da Lógica Aristotélica, tal sistema é 
considerado reduzido em suas possibilidades. É verdade que muitas argumen-
tações podem ser formuladas em termos de proposições sujeito-predicado, 
contudo, este não é sempre o procedimento adequado para representar uma 
argumentação. E, mais ainda: inúmeras argumentações não podem ser adap-
tadas ao modelo silogístico. 
Apesar do trabalho dos pensadores medievais Pedro Abelardo (1079-
1142) e W. Ockham (1285-1347), a Lógica permaneceu praticamente mil 
anos sem maiores inovações. 
Conquanto o filósofo e matemático 
alemão Gottfried Leibniz (1646-1716) 
tenha produzido obras relacionadas com 
a Lógica Matemática, visto que foram 
publicadas vários anos após a sua morte, 
acabaram por não ter grande influência na 
comunidade científica da época. Sua influ-
ência se fez sentir apenas ao final do século 
XIX. Leibniz lançou a proposição de uma 
“Álgebra Universal”, uma linguagem sim-
bólica extensível a qualquer língua. Apesar 
disso, Leibniz é considerado o primeiro 
filósofo a pensar de forma profunda nas 
vantagens da Lógica Simbólica. 
No segundo período, começou a pre-
dominar uma concepção da Lógica mais 
próxima do cálculo algébrico e simbólico 
da Matemática. Os principais autores dessa fase são George Boole (1815-
1864) e o também matemático e lógico britânico Augustus De Morgan 
(1806-1871). Considera-se como marco inicial desse período a publicação da 
obra de Boole: Análise Matemática da Lógica (1847). Outra obra de Boole, 
Investigations of the Laws of Thought, publicada em 1854, apresenta a compa-
ração daálgebra com as leis do pensamento. Já De Morgan, na obra Formal 
Logic, or the Calculus of Inference, Necessary and Probable, de 1847, superou o 
trabalho de Boole (Eves, 1997). 
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5.
Figura 2 – Selo publicado pela 
Alemanha, em homenagem a G.W. 
Leibniz: suas pesquisas influencia-
ram os desenvolvimentos posterio-
res da Lógica
Lógica Matemática
– 10 –
O tratamento algébrico booleano ultrapassa de forma bastante abran-
gente algumas das críticas ao sistema aristotélico. Enquanto no sistema aris-
totélico parte-se de argumentações, utilizando proposições de certo tipo, na 
lógica booleana são consideradas proposições básicas. É a chamada lógica 
proposicional, uma lógica abstrata, na qual “os padrões lógicos revelados 
estão inteiramente desprovidos de qualquer conteúdo” (Devlin, 2002, p. 52). 
Foi o matemático inglês John Venn (1834-1923) quem efetuou o aperfei-çoamento do uso de diagramas no estudo da Lógica. Com os seus diagramas, 
Venn formalizou aspectos do trabalho de Leonhard Euler (matemático suíço, 
1707-1783) e Gottfried Wilhelm Leibniz (matemático, filósofo e diplomata ale-
mão, 1646-1716). Considera-se que G.W. Leibniz foi o primeiro a buscar uma 
representação geométrica de silogismos (um silogismo é modelo de raciocínio 
constituído por duas premissas que resultam em uma conclusão). Euler utilizou 
os denominados diagramas de Euler (curvas fechadas no plano) para representar 
argumentos de um silogismo, em 1768.Por vezes, os diagramas de Venn tam-
bém são denominados diagramas de Venn-Euler. Com esses diagramas ele pre-
tendia facilitar o estudo das relações de união e intersecção entre conjuntos. Tais 
diagramas, atualmente, são conhecidos como diagramas de Venn.
Figura 3 – Diagramas de Venn.
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5.
– 11 –
Introdução à Lógica, breve histórico da Lógica e cálculo proposicional
Há uma aproximação importante entre as ideias de Boole e os diagra-
mas de Venn: ambos buscaram considerar que as proposições dizem respeito 
a classes ou conjuntos de objetos. A proposta de Boole foi desenvolver uma 
“aritmética” das classes. Para maiores detalhes, consulte Devlin (2002, p. 49).
 Você sabia
Muito embora a Álgebra de Boole já existisse há mais de um século, 
ela não era utilizada em aplicações práticas até 1937. A primeira apli-
cação prática da Álgebra de Boolefoi na análise de circuitos de relés, 
por A. Nakashima, em 1937. 
Notável também é que muitas linguagens de programação de compu-
tadores possuem um tipo lógico denominado “booleano” ou “boo-
lian”, em alusão a George Boole. (Daghlian 1995, p. 18).
Aplicações da álgebra booleana: http://www.dcc.fc.up.pt/~zp/
aulas/9899/me/trabalhos/alunos/Circuitos_Logicos/AlgBoole.html
Biografia de George Boole: http://obaricentrodamente.blogspot.
com.br/2015/11/george-boole-e-algebra-do-pensamento.html
Aplicações da álgebra booleana aos circuitos digitais: http://
repositorio.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/424/1/REV.%20ACAD._
Dias,%20Carlos%20Magno%20Corr%C3%AAa_1994.pdf
No processo para tentar representar os padrões das demonstrações mate-
máticas, temos o esforço realizado por Giuseppe Peano e Gottlob Frege. O 
filósofo alemão G. Frege (1848-1925) apresentou a sua contribuição à Lógica 
com o trabalho relacionado com a Lógica de Predicados. Citamos Eves (1997, 
p. 670): “o trabalho de Frege derivava da necessidade de uma fundamentação 
mais sólida para a matemática”.
O esforço do matemático e lógico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) 
buscava “expressar toda a matemática em termos de um cálculo lógico” (Eves, 
1997, p. 670). Eles procuravam acrescentar novas ferramentas e procedimen-
tos à Lógica Proposicional. O trabalho de Frege, posteriormente, terá como 
resultado o paradoxo de Russel: um tipo de inconsistência que surge em situ-
ações nas quais um conjunto possui a si mesmo como membro. Bertrand 
Lógica Matemática
– 12 –
Arthur William Russel (1872-1970), mais conhecido como Bertrand Russel, 
foi um matemático, filósofo e lógico britânico. A seguir, vamos conhecer um 
pouco sobre alguns paradoxos famosos. 
Um exemplo bastante famoso é o paradoxo do Barbeiro: em certa loca-
lidade havia um barbeiro que: 
a) Fazia a barba de todos os que não se barbeavam a si mesmos; 
b) Ele fazia a barba apenas de quem não se barbeava a si mesmo. 
O paradoxo aparece se buscamos descobrir se o barbeiro faz a sua própria 
barba, ou não. Caso ele faça a sua própria barba, não pode barbear a si mesmo 
(para não quebrar a condição b). Contudo, se ele não fizer a sua própria barba, 
então terá que barbear-se a si mesmo (pois é o que está expresso na condição a). 
Paradoxo: a palavra “paradoxo” é constituída do pre-
fixo de origem grega “para” (que quer dizer “contrá-
rio”) e pelo sufixo, também de origem grega, “doxa” 
(que quer dizer “opinião”). Assim, paradoxo signi-
fica “algo que é contrário à opinião comum”.
 
O terceiro período costuma ter o seu iní-
cio identificado pelo lançamento da obra Prin-
cipia Mathematica, cujos autores são Alfred 
North Whitehead e Bertrand Russel. Alfred 
Whitehead (1861-1947) e Bertrand Russel 
foram dois filósofos e matemáticos britânicos. 
Essa obra teve cada um dos seus três volumes 
publicados, respectivamente, em 1910, 1912 e 
1913, e apresentou grande contribuição para o 
desenvolvimento da Lógica ao longo dos últi-
mos 100 anos. A partir de críticas, controvér-
sias e debates originados do Principia Mathe-
matica, surgiram as lógicas polivalentes. 
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Figura 4 – Selo em homenagem 
a Bertrand Russel, lógico, mate-
mático e filósofo inglês, autor, em 
parceria com A.N. Whitehead, da 
obra Principia Mathematica.
– 13 –
Introdução à Lógica, breve histórico da Lógica e cálculo proposicional
A partir do trabalho de Whitehead e Russel, os matemáticos e lógicos 
iniciaram uma divergência teórica que deu origem a três linhas de pensa-
mento sobre a matemática: 
 2 logicismo (associado principalmente a Russel);
 2 intuicionismo (associado a Brower); 
 2 formalismo (associado principalmente ao matemático alemão David 
Hilbert). 
Na atualidade, a Lógica é utilizada em pesquisas em Inteligência Arti-
ficial, bancos de dados relacionais, teoria de linguagens, projeto de circuitos 
lógicos, teoria de autômatos, dentre outras. 
 Saiba mais
Os microprocessadores são baseados na lógica clássica (Verda-
deiro ou Falso). Contudo, inúmeros desenvolvimentos tecnológicos 
(Robótica, Inteligência Artificial e sistemas digitais de controle com 
processamento de sinais, por exemplo), fazem uso das chamadas 
lógicas não-clássicas. Para saber mais a respeito das Lógicas não 
clássicas, consulte: http://www.mat.ufmg.br/~espec/Monografias_
Noturna/Monografia_AnaPaulaVargas.pdf, http://cursos.unisanta.
br/GLPA/downloads/glpa.pdf e http://www2.fc.unesp.br/matema-
tica/semana/arquivos/lnc.pdf 
1.2 Proposições
Definição: define-se como proposição qualquer conjunto de palavras (ou 
símbolos), declarativas, que apresentam um pensamento com sentido completo. 
As proposições podem ser simples ou compostas. Inicialmente, tratare-
mos das proposições simples. As proposições simples também são deno-
minadas atômicas.
Exemplos de proposições simples: 
i. 2+3 = 5
ii. Todos os homens são mortais.
Lógica Matemática
– 14 –
iii. A Lua é um satélite da Terra.
iv. 22+32 = 10
v. Lisboa é a capital de Portugal.
vi. Pernambuco é um Estado do Brasil.
vii. O Japão é uma monarquia.
Exemplos de frases que não são proposições: 
i. “Que foto magnífica!” (é uma frase exclamativa e não declarativa)
ii. “Vá arrumar o seu quarto, João” (é uma frase imperativa e não 
declarativa)
iii. “O dia de hoje” (é uma frase que não possui verbo)
iv. “Você torce para qual time de futebol?” (é uma frase interrogativa e 
não declarativa)
v. “3x + 5 > 12” (é uma sentença aberta, seu valor lógico depende do 
valor de x)
As sentenças a seguir não são declarativas (assim, não são proposições, pois 
não se pode estabelecer valor lógico para as mesmas): 
i. Joãozinho, vá tomar banho agora! 
ii. Que dia da semana é hoje? 
iii. 5x + 11 = 19
A sentença i) não é declarativa, pois é uma sentença imperativa. A sen-
tença ii) não é declarativa (é uma sentença interrogativa). A sentença iii) tam-
bém não é uma proposição. Não podemos definir um único valor lógico a ela. 
Esse valor lógico depende do valor de x. 
 Importante
Diz-se que o valor lógico de uma proposição é verdade, se a proposição 
for verdadeira, e é falsidade, se a proposição for falsa.
 
– 15 –
Introdução à Lógica, breve histórico da Lógica e cálculo proposicional
É usual representar proposiçõespor letras do alfabeto latino: p, q, r, s, 
t. Para representar o valor lógico das proposições, utilizamos a notação valor 
lógico da proposição p é verdade: 
V(p) = V
valor lógico da proposição p é falsidade:
V(p) = F 
Alternativamente, pode-se utilizar também V(p) = 1 (para verdade) e 
V(p) = 0 (para falsidade). 
Assim, escrevemos: 
p: 2+3 = 5
q: Todos os homens são mortais
r: A Lua é um satélite natural da Terra
s: 22+32 = 13
t: Lisboa é a capital de Portugal.
u: Pernambuco é um Estado do Brasil.
v: O Japão é uma monarquia.
V(p) = 1 ou V(p) = V
V(q) = 1 ou V(q) = V
V(r) = 0 ou V(r) = F
V(s) = 0 ou V(s) = F
V(t) = 0 ou V(t) = F
V(u) = 1 ou V(u) = V
V(v) = 0 ou V(v) = F
Para unir teoria e prática, resolva a questão e verifique quais das expres-
sões a seguir são proposições
i. Qual é a sua nacionalidade? 
ii. Sen(Θ) = 0,5
Lógica Matemática
– 16 –
iii. 1 < 0
iv. 20 + 30 = 50
v. Fique quieto!
Respostas: 
i. É uma sentença interrogativa. Não é uma proposição. 
ii. O valor lógico depende do valor de Θ. Não é uma proposição. 
iii. É uma proposição. Seu valor lógico é falso. 
iv. É uma proposição. Seu valor lógico é falso. 
v. É uma sentença imperativa. Não é um a proposição. 
1.3 Princípios da Lógica Clássica
A Lógica Matemática Clássica apresenta três princípios fundamentais: 
o princípio da identidade, o princípio da não contradição, e o princípio do 
terceiro excluído. Vejamos, a seguir, uma breve explicação de cada um destes 
princípios. 
i. Princípio da Identidade
 Toda proposição é idêntica a si mesma. 
ii. Princípio da não contradição
 Uma proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa.
iii. Princípio do terceiro excluído
 Toda proposição da Lógica Clássica ou é verdadeira ou é falsa. Exis-
tem apenas esses dois valores lógicos, não existindo um terceiro 
valor lógico. 
Em função do Princípio do terceiro excluído, dizemos que a Lógica 
Matemática Clássica é uma lógica bivalente (uma proposição pode assumir 
apenas dois valores lógicos: verdadeiro ou falso). 
– 17 –
Introdução à Lógica, breve histórico da Lógica e cálculo proposicional
 Importante
Os princípios da Lógica Clássica são derrogados pelas lógicas não 
clássicas. Como exemplo de Lógica Não Clássica temos as lógicas 
paraconsistentes. Nas chamadas lógicas paraconsistentes, o princípio 
da não contradição é, em certo sentido, restringido. Já com o trabalho 
do lógico polonês Lukasiewicz, assume-se a possibilidade de termos 
sentenças para as quais poderá haver um terceiro valor de verdade, que 
não coincide com os clássicos verdadeiro ou falso. Mac Coll (1837-
1909) desenvolve um sistema de lógica proposicional para o qual as 
proposições podem assumir cinco valores: verdade, falsidade, certeza, 
impossibilidade e variabilidade.
1.4 Proposições compostas e conectivos
As proposições compostas são formadas pela combinação finita de duas 
ou mais proposições simples. Também são denominadas de moleculares. 
Exemplos de proposições compostas: 
i. Pedro é forte e Maria é alta. 
ii. O número 36 não é quadrado perfeito, ou a função cosseno é limitada.
iii. Pedro é magro ou Maria é alta. 
iv. Se Pedro é magro, então é palmeirense. 
v. Se cos(1) = 0,5, então 5 > 2 
Note que as proposições que constituem uma proposição composta 
podem ser, elas mesmas, proposições compostas. 
 Importante
As proposições compostas podem ser denominadas também de fór-
mulas proposicionais, ou mais simplesmente, fórmulas. 
Lógica Matemática
– 18 –
Notação: se p, q, r representam proposições simples, e P representa uma 
proposição composta formada pelas proposições p, q e r, denotamos: P (p, q, r). 
Exemplos de proposições compostas
i. Na proposição “Sou feliz e torcedor do Amigos da Praia Futebol 
Clube” temos uma proposição composta formada por duas pro-
posições simples: “Sou feliz (a primeira proposição) e torcedor do 
Amigos da Praia Futebol Clube” (a segunda proposição). Essas 
duas proposições estão conectadas pelo conectivo “e”. 
ii. Na proposição “Se não fizermos exercícios físicos, então ficaremos 
doentes”, temos uma proposição composta constituída das proposi-
ções simples: 
“Se não fizermos exercícios físicos,” (esta é a primeira proposição) e 
“então ficaremos doentes” (segunda proposição). Nessa proposição, 
temos o conectivo se...então.
1.5 Conectivos
Denominam-se conectivos as palavras que são utilizadas para, a partir de 
proposições, constituir novas proposições.
Como apresentaremos o cálculo proposicional, faremos uso dos conec-
tivos conhecidos como conectivos. 
Os conectivos que usaremos são: 
“e”
“ou”
“se ...então...”
“se e somente se”
“não”
O ato de combinar proposições na Lógica Matemática é denominado de 
operação. Os conectivos são também denominados operadores. 
– 19 –
Introdução à Lógica, breve histórico da Lógica e cálculo proposicional
Quadro 1 – Operações lógicas, conectivos e respectivos símbolos.
Operação Conectivo Símbolo
Negação não ~
Disjunção Ou ˅
Conjunção E ˄
Condicional se ... então →
Bicondicional se e somente se ↔
Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Exemplos de negação em linguagem natural.
A negação de “algum” é “nenhum”. A negação de “nenhum” é “algum”. 
Veja os exemplos a seguir:
i. p: nenhum trabalhador é poliglota.
ii. ~p: algum trabalhador é poliglota.
iii. q: algum animal não é verde.
iv. ~q: nenhum animal é verde.
v. r: alguém ganhou na Mega-sena.
vi. ~r: ninguém ganhou na Mega-sena.
Sentenças em linguagem natural e sua tradução para símbolos
Considere as proposições: 
p = Está escuro
q = está chovendo
Então, podemos escrever a sentença “não está escuro e não está cho-
vendo”, em símbolos como: 
~p˄ ~q
Poderíamos ter apresentado essa mesma sentença em linguagem natural 
como: “não está escuro nem está chovendo”. 
Lógica Matemática
– 20 –
Já a sentença “não está escuro, mas está chovendo” pode ser traduzida 
em símbolos como: 
~p ˄ q
Observe que o “mas” na segunda sentença possui um sentido “aditivo” 
do conectivo “e”. 
Para unir teoria e prática, resolva a questão.
1. Apresente a negação das proposições seguintes
i. A audiência da TV aberta brasileira está em queda. 
ii. Há sempre um corintiano em Buenos Aires
Respostas: 
i. A audiência da TV aberta brasileira não está em queda. 
ii. Nem sempre há um corintiano em Bueno Aires
Para determinar o valor lógico de proposições compostas, temos que 
definir operações e fornecer o resultado para todas as combinações possíveis 
de valores lógicos das proposições.
Resumindo
Neste primeiro capítulo, vimos um resumo da História da Lógica: lembre- 
se o conhecimento humano não está “congelado” no tempo – está em perma-
nente evolução. Na sequência, vimos a definição de proposição simples, valor 
lógico de uma proposição e os princípios da Lógica Clássica. Foram apresen-
tados os conectivos proposicionais (“e”, “não”, “se...então”, “se e somente se”, 
“ou”) e as proposições compostas. 
Neste capítulo, você vai estudar operações lógicas sobre 
proposições: a negação de uma proposição simples, a conjunção 
de duas proposições, a disjunção de duas proposições, a disjunção 
exclusiva e a condicional. Também veremos a negação conjunta e 
a negação disjunta. Com estes conceitos, você estará apto a com-
preender como se dá a construção da tabela-verdade, bem como as 
tabelas-verdade de cada uma das operações lógicas sobre proposi-
ções. Além disso, você verá como relacionar cada uma destas opera-
ções lógicas com exemplos da linguagem natural. 
Ao final do capítulo teremos um conjunto de exercícios resol-
vidos para fixar os conceitos vistos.
Esperamos que, ao final deste estudo, você diferencie cada uma 
destas operações lógicas e apresente exemplospara cada uma delas. 
2
Operações Lógicas 
sobre Proposições
Lógica Matemática
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Objetivos de aprendizagem:
 2 Determinar o número de linhas para a construção da tabela-ver-
dade de uma proposição composta;
 2 Relacionar as operações lógicas negação, conjunção, disjunção, 
disjunção exclusiva, condicional, bicondicional, negação conjunta 
e negação disjunta com a linguagem natural;
 2 Construir as tabelas-verdade das operações lógicas negação, con-
junção, disjunção, disjunção exclusiva, condicional, bicondicional, 
negação conjunta e negação disjunta.
2.1 Tabelas-verdade e o valor lógico 
de uma proposição composta 
Para determinar o valor lógico de uma proposição composta, pode-
mos utilizar uma forma de representação conhecida como tabela-verdade. 
Observemos que a determinação do valor lógico de uma proposição com-
posta é função apenas dos valores lógicos das proposições simples que a cons-
tituem. Na tabela-verdade elencamos todos os possíveis valores lógicos das 
proposições simples. Elas são as unidades das proposições compostas. 
O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta é função 
do número de proposições simples que constituem essa proposição. A tabela- 
verdade dela com duas proposições simples possui 22 = 4 linhas:
Quadro 1 – número de linhas em uma tabela verdadecomposição composta pelas 
proposições simples (p, q).
p q
Composição composta pelas 
proposições simples (p, q)
F F f(p,q)
F V f(p,q)
V F f(p,q)
V V f(p,q)
Fonte: elaborado pelo autor, 2015.
– 23 –
Operações Lógicas sobre Proposições
Pelo quadro, f (p,q) é uma função que terá valor lógico V (verdadeiro) 
ou F (falso), dependendo dos valores lógicos de p e q. Observe que na pri-
meira coluna da tabela acima, temos metade dos valores lógicos iguais a F e 
a outra metade, igual a V. Na segunda coluna, alternamos os valores V e F. 
São as combinações de V e F que nos mostram este comportamento. É usual 
afirmarmos que “F retorna V ou F”.
Mas se uma proposição composta for formada por três proposições sim-
ples, quantas linhas terá a tabela-verdade? Podemos representar as três propo-
sições simples pelas letras p, q e r, e sua tabela-verdade terá oito linhas.
Quadro 2 – Número de linhas em uma tabela verdade composição composta pelas 
proposições simples (p, q, r).
p q r
Composição composta pelas 
proposições simples (p, q, r)
F F F f(p,q,r)
F F V f(p,q,r)
F V F f(p,q,r)
F V V f(p,q,r)
V F F f(p,q,r)
V F V f(p,q,r)
V V F f(p,q,r)
V V V f(p,q,r)
Fonte: elaborado pelo autor, 2015.
Aqui f(p,q,r) é uma função que retorna V ou F, dependendo dos valores 
lógicos de p, q e r. Observe a primeira coluna da tabela-verdade acima: a 
primeira metade dos valores lógicos é F e a segunda metade é V. Na coluna 
referente à proposição q, temos duas linhas com “F”, duas com ”V”, e assim 
sucessivamente. Finalmente, na 3ª. coluna, referente à proposição r, alterna-
mos os valores V e F. 
Este comportamento nos leva à seguinte afirmação: se temos k proposi-
ções simples na constituição de uma proposição composta, então a tabela-ver-
dade associada possui 2k linhas. Por exemplo, se temos a proposição composta 
por 4 proposições simples, então a tabela verdade terá 24 = 16 linhas.
Lógica Matemática
– 24 –
2.2 Operações lógicas com proposições 
envolvendo conectivos e tabelas-verdade
Você já viu que a partir das proposições simples p e q é possível construir 
novas proposições utilizando-se conectivos. Para as p e q, temos: negação de 
p, conjunção de p e q, disjunção de p e q, condicional de p e q, disjunção 
exclusiva, negação conjunta e negação disjunta. Na sequência, veremos em 
detalhes cada uma destas proposições. A seguir descreveremos cada uma delas. 
Figura 1 - A programação de computadores e a microeletrônica são os exemplos 
mais importantes das aplicações das operações lógicas no nosso diaadia.
 
Fonte: Shutterstock, 2015.
2.2.1 Negação
A negação, denotada por ~ ,inverte o valor lógico de uma proposição. 
Se p éverdadeira, então ~p será falsa e, se p é falsa, então ~p será verdadeira. 
Também podemos escrever: ~V = F e ~F = V caso estejamos nos refe-
rindo aos valores lógicos de uma proposição qualquer.
Além do símbolo ”~”,outras notações são encontradas para representar 
a negação lógica: p e ~p.
Exemplos: 
a. Considere a proposiçãop: 5 é um número primo.
O valor lógico da proposição p é dado por V(p) = V (verdadeiro). 
De fato, 5 é um número primo.
– 25 –
Operações Lógicas sobre Proposições
Anegação da proposição p é a proposição ~p: 5 não é um número 
primo. Neste caso, V(~p) = F (falso). 
b. Considere a proposição q: Antonio é motorista. 
A negação de q 
~q: Antonio não é motorista.
Supondo que Antonio é motorista, V(q) = V (verdadeiro) e V 
(~q) = F (falso). 
 2 Tabela-verdade para a negação
Para a negação de uma proposição simples, a tabela-verdade possui 
apenas duas linhas, pois uma dada proposição p pode assumir ape-
nas os dois valores lógicos: V ou F. Observe o quadro.
Quadro 3 – tabela verdade da negação.
p ~p
V F
F V
Fonte: definição da operação de negação
Exemplos de negação na linguagem natural
Considere a proposição p: Está chovendo
A negação de p é: ~p: Não está chovendo.
Podemos escrever a negação de p de outras formas: 
~p: É falso que esteja chovendo
Ou ainda: ~p: Não é verdade que esteja chovendo
2.2.2 Conjunção
Considere as proposições: 
p: o arroz está quente.
q: o feijão está quente.
§ 3º Os tratados e convenções internacionais sobre direitos 
humanos que forem aprovados, em cada Casa do Congresso 
Nacional, em dois turnos, por três quintos dos votos dos res-
pectivos membros, serão equivalentes às emendas constitucionais.
Observe, então que, segundo a nossa Constituição, por exemplo, todos 
são iguais perante a lei; que ninguém será obrigado a fazer ou deixar de fazer 
alguma coisa, senão em virtude de lei; que é garantido o direito de proprie-
dade, mas este direito deve estar voltado ao atendimento da função social da 
propriedade, sendo que, a pequena propriedade rural, conforme for definido 
em lei, desde que trabalhada pela família, não poderá ser penhorada para o 
pagamento de débitos decorrentes de sua atividade produtiva.
Muito legal, não é mesmo? Os pequenos produtores rurais gozam de 
uma proteção especial por parte da nossa Constituição.
Então, o que seriam os Direitos Humanos?
Os Direitos Humanos são os direitos da pessoa humana, considerada 
enquanto cidadão e indivíduo, e que têm como características a universalidade, 
a historicidade, a inalienabilidade, a imprescritibilidade, a irrenunciabilidade, 
com eficácia erga omnes (atinge a todos), tendo a sua origem nos direitos natu-
rais, devendo, obrigatoriamente, serem respeitados pelo Estado, seja por impo-
sições, seja por ressalvas ao exercício de poder deste (OLIVEIRA, 2000).
Normalmente, os Direitos Humanos são aqueles direitos e garantias 
especificamente dispostas em Tratados e Convenções internacionais, direcio-
nadas à proteção da dignidade humana, ou seja, o termo está vinculado a 
proteção da dignidade da pessoa humana no âmbito internacional.
Cidadão: cidadão é aquela pessoa que tem direitos e deveres 
em um determinado Estado, ou país, podendo, por exemplo, 
ser considerado como aquele que pode votar e ser votado.
Erga omnes: é um termo jurídico, em latim, que sig-
nifica que uma norma ou decisão terá efeito vin-
culante, ou seja, valerá para todos. Por exemplo, a 
coisa julgada erga omnes vale contra todos, e não 
só para as partes envolvidas em um processo.
 
Lógica Matemática
– 26 –
Define-se a conjunção de duas proposições p e q como a que é verda-
deira quando p e q são ambas verdadeiras, e será falsa nos casos restantes. 
Para representar a conjunção das proposições p e q usa-se osímbolo ˄ : p˄q.
Assim, a conjunção das proposições p e será verdadeira apenas quando 
o arroz ”e” o feijão estiverem ambos quentes. Nos demais casos tempos valor 
lógico falso V(p˄q) = F: V (p) = F ou V (q) = F, V (p)=V e V(q)=F, ou, ainda, 
se V (p) = V (q) = F, 
Exemplos: 
a. p: e5 > 8
q: 2 5 < 12 
Temos que V (p) = V e V (q) = F. Então V (p˄q) = F
Lembre-se, e = 2,718 é um número irracional, chamada constante de Euler.
b. p: 12 é primo
q: 3 + 5 < 100
Neste caso V (p) = F e V (q) =V. Então V (p˄q) = F.
c. p: a temperatura de ebulição da água, ao nível do mar, é de 250ºC.
q: a Lua é um satélite artificial da Terra.
Agora temos que V (p) = F e V (q) =F. Então V (p˄q) = F.
Logaritmo natural: diz-se logaritmo natural o 
de base e, em que e é um número irracional apro-
ximadamente igual a 2,71828182845...
Em símbolos: ln(x) = loge(x).
 
d. p: o número e (base dos logaritmos naturais) é um número trans-
cendente.
q: o número π é um número transcendente.
– 27 –
Operações Lógicas sobre Proposições
Temos que V (p) = V e V (q) = V. Então V (p^q) = V.
 Importante
Número transcendente: define-se como transcendente a todo 
número real ou complexo que não é raiz de nenhuma equação poli-
nomial com coeficientes racionais.
 2 Tabela-verdade da conjunção 
Abaixo apresentamos a tabela-verdade para a conjunção. 
Quadro 4 – tabela verdade da conjunção
p q p ˄ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Fonte: definição da operação de conjunção
Exemplos de conjunção na linguagem natural
Na linguagem natural, a conjunção de duas proposições apresenta-se 
frequentemente ligada pelo conectivo “e”. Observe.
João foi nadar e Antonio foi correr. 
Em símbolos: p: João foi nadar.
q: Antonio foi correr
Em símbolos temos p˄q. 
A conjunção p˄q será verdadeira apenas se João foi nadar e Antonio foi 
correr. Se algum deles deixou de fazer o indicado (ou se ambos deixaram de 
fazê-lo), a conjunção p˄q terá valor lógico falso.
No caso da linguagem corrente, ao invés do conectivo ”e”, também 
podem ser usadas as palavras mas, embora, contudo, todavia, dentre outras. 
Exemplo: João foi à praia,mas Carlos foi ao cinema. 
Lógica Matemática
– 28 –
Essa sentença é equivalente a: João foi à praia e Carlos foi ao cinema. 
p: João foi à praia.
q: Carlos foi ao cinema.
Temos a conjunção: p˄q.
Consultando outros livros ou materiais de lógica matemática, você tam-
bém poderá deparar-se com outros símbolos para a conjunção de proposi-
ções: p.q e p˄q.
2.2.3 Disjunção (disjunção inclusiva ou soma lógica)
Define-se a disjunção de duas proposições p e q, denotada por p′q cujo 
valor lógico é V quando ao menos uma das proposições é verdadeira. Se 
ambas forem falsas, a disjunção é falsa.
Considere as proposições: 
Pedro é prefeito ou professor.
Pedro é baiano ou paranaense.
Na primeira proposição, o ”ou” foi usado no sentido inclusivo: Pedro 
pode ser prefeito e professor ao mesmo tempo. 
Já no caso da segunda proposição, o ”ou” é exclusivo: ou Pedro é baiano 
ou paranaense. Mas não pode ser baiano e paranaense simultaneamente. Uma 
situação exclui a outra. Esta é uma situação de disjunção exclusiva. Veremos 
mais sobre a disjunção exclusiva mais adiante.
O símbolo para a disjunção inclusiva é ˅.
Exemplos: 
a. p: sen(30º) < 1.
q: π é um número irracional.
V(p) = V e V(q) = V
Então, V(p˅q) = V.
– 29 –
Operações Lógicas sobre Proposições
b. p: 20 é um número par.
q: log(5) é um número racional.
V (p) = V e V (q) = F 
Então, V (p˅q) = V.
c. p: 2 é um número algébrico.
q: 3 2 + 5 não é um número inteiro algébrico.
 Importante
Definição de número algébrico: define-se um número a∈C como 
algébrico se existe um polinômio p(x) com coeficientes inteiros tal 
que p(a) = 0. Definição de número inteiro algébrico: denomina-se 
o número algébrico a como número inteiro algébrico se a é raiz de 
uma equação polinomial de grau n, com coeficientes inteiros, tal que 
o coeficiente do termo de grau n é igual a 1.
A partir das definições de número algébrico e número inteiro algébrico 
apresentadas nos verbetes, temos que
V (p) = V e V (q) = F.
Então, V (p˅q) = V.
d. p: 20 é um número primo.
q: log(5) é um número racional.
V (p) = F e V (q) = F. 
Então, V (p′q) = F
 2 Tabela verdade para disjunção 
Quadro 5 – Tabela verdade da disjunção
p q p ˅ q
V V V
Lógica Matemática
– 30 –
p q p ˅ q
V F V
F V V
F F F
Fonte: definição da operação de disjunção.
Você poderá encontrar a notação “+” para a disjunção inclusiva.
 Você sabia
Já comentamos sobre a importância da Álgebra Booleana para a 
Computação. Nos links a seguir você poderá conhecer um pouco 
mais sobre a relação da Lógica Matemática com as Portas Lógicas na 
área da Eletrônica Digital (fundamental para o desenvolvimento dos 
circuitos integrados e da microeletrônica). 
Link 1: http://dcm.ffclrp.usp.br/~augusto/teaching/aba/AB-Funcoes-
Logicas-Portas-Logicas.pdf
Link 2 :http://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/images/0/0b/Portas_logicas.pdf
2.2.4 Disjunção Exclusiva
No caso da disjunção exclusiva, a proposição composta assume valor 
lógico verdadeiro se V (p) ≠ V (q). Se V (p) = V (q) então V (p q) = F
Lemos uma disjunção exclusiva p q da seguinte forma: V (p q) = V se 
ou V (p) = V ou (exclusivamente) se V (q) = V, mas não ambos verdadeiros 
ao mesmo tempo. O valor lógico de p q será falso se V (p) = V (q) = V ou 
se V (p) = V (q) = F. 
Na linguagem natural ou corrente encontramos a disjunção exclusiva 
em afirmações do tipo ”ou a proposição A é verdadeira (excluindo a propo-
sição B) ou a proposição B é verdadeira (excluindo a proposição A)”, mas 
“nunca ambas são verdadeiras ou falsas simultaneamente”. 
Voltemos ao exemplo dado anteriormente: ou Pedro é baiano ou paranaense.
– 31 –
Operações Lógicas sobre Proposições
Pedro não pode ser baiano e paranaense ao mesmo tempo. 
Quadro 6 – Tabela verdade da disjunção exclusiva.
p q p ˅ q
V V F
V F V
F V V
F F F
Fonte: definição da operação de disjunção exclusiva.
Você poderá encontrar a disjunção exclusiva representada por p ⊕ q
2.2.5 Condicional
Considere a proposição: 
“Se fizer Sol, então a temperatura vai subir.”
Na proposição acima, temos uma condicional pela presença da expres-
são: “se...então”. O símbolo para a condicional é à. 
Se p e q são proposições, dizemos que p à q é condicional de p e q. Deno-
mina-se a proposição p de “antecedente” e a proposição q de “consequente”. 
Logo, em um condicional a proposição p é uma condição para a proposição q. 
A seguir apresentamos a tabela-verdade para a condicional.
Quadro 7 – Tabela verdade da condicional.
p q pàq
V V V
V F F
F V V
F F V
Fonte: definição da operação condicional.
Observe a segunda linha da tabela-verdade para a condicional. Esse é o 
único caso no qual pàq é falsa. Se p for verdadeira e q for falsa, então é falso 
afirmar pàq. Nas demais possibilidades de valores lógicos para p e q, a con-
dicional pàq assume valor lógico verdadeiro. 
Lógica Matemática
– 32 –
Veja que nas duas últimas linhas o condicional pàq apresentar valor 
verdadeiro significa que se p for falso, então q pode assumir qualquer valor 
lógico que a condicional pàq será verdadeira. 
Como podemos ”traduzir” isto? Podemos concluir qualquer coisa (sobre 
a proposição q) se a proposição antecedente (a proposição p) for falsa. 
Note que para a lógica não existe a preocupação com o conteúdo (o sig-
nificado) das expressões, mas sim com sua forma. Para a lógica também não é 
relevante se o antecedente é causa do consequente. 
Considere as condicionais: 
 2 Se Martinho da Vila inventou o Jazz, então neva no deserto do Saara; 
 2 Se Martinho da Vila inventou o hip-hop, então ocorrem tempestades 
de areia no Saara. 
Nas duas proposições o antecedenteé falso. Assim, a condicional pàq 
será verdadeira. 
Em uma condicional não há relação real entre o antecedente e o conse-
quente. Por exemplo,“se nevar amanhã no Piauí, então serão vendidas mais 
maçãs”. A condicional afirma que serão vendidas mais maçãs, mas é uma 
“consequência” de se nevar amanhã no Piauí. 
A condicional pàq também “não” afirma que podemos “deduzir” que 
serão vendidas mais maçãs com base no fato de se nevar no Piauí amanhã. 
A afirmação da condicional pàq diz respeito à relação dos valores lógi-
cos da proposição p (o antecedente) e a proposição q (o consequente), tal 
como apresentado na tabela-verdade da condicional. 
Uma proposição pàq pode ser lida como: 
i. p implica q;
ii. p é condição suficiente para q;
iii. Se p então q;
iv. q é condição necessária para p.
– 33 –
Operações Lógicas sobre Proposições
Exemplos: 
a. p: a derivada da função sen(t) é cos(t).
q: a soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela expressão 
Si = (n – 2).180º.
Temos que V (p) = V e V (q) = V.
pàq: se a derivada da função sen(t) é cos(t), então a soma dos ângu-
los internos de um polígono é dada pela expressão Si = (n – 2).180º. 
V (pàq) = V
b. p: a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é igual a 360º, 
independentemente do número de lados.
q: a área de um círculo de raio r é dada por 2πr.
Temos que V (p) = V e V (q) = F
pàq: se a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 
igual a 360º, independentemente do número de lados, então a área 
de um círculo de raio r é dada por 2πr.
V (pàq) = F
O condicional de proposições também pode ser denotado por“′”: p ′ q
2.2.6 Bicondicional
Uma proposição é denominada bicondicional de duas proposições p, q 
se, e somente se, ela assumir valor lógico verdadeiro quando V(p) = V(q) e 
assumir valor lógico falso quando V (p) ≠ V (q). 
Podemos ler uma bicondicional como: 
i. p se e somente se q;
ii. p é condição necessária e suficiente para q.
O símbolo empregado usualmente para representar a bicondicional 
é ”↔”.
Exemplos: 
a. p: log (5) < 100
Lógica Matemática
– 34 –
q: ∫sen(x)dx = – cos(x) + Constante
Temos que V (p) =V e que V (q) = V.
Então, V (p↔q) = V.
b. p: ∫tg(x)dx = ln v sec(x) v + Constante
q: ∫cotg(x)dx = ln v cos(x) v + Constante
Temos que V (p) =V e que V (q) = F.
Então, V(p ↔ q) = F.
Quadro 8 – tabela verdade da bicondicional
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Fonte: definição da operação bicondicional
2.3 Outras operações lógicas: a negação 
conjunta e a negação disjunta
Nesta seção, apresentaremos outras duas operações lógicas: a negação 
conjunta e a negação disjunta. 
2.3.1 Negação conjunta (ou Adaga de Quine)
Denomina-se negação conjunta das proposições p e q a proposição 
~p˄~q, ou seja, é a conjunção entre as negações de p e de q.
A negação conjunta possui valor lógico verdadeiro se as duas proposições 
são falsas e valor lógico falso nos outros casos. Em outras palavras, a negação 
conjunta é a negação da disjunção. 
Ou seja, ~p˄~q é equivalente a~(p ˅ q).
Em linguagem natural, uma negação conjunta está associada a uma frase 
do tipo “não p e não q”, ou, dito de outra forma, a negação conjunta está 
associada ao conectivo ”nem”. 
– 35 –
Operações Lógicas sobre Proposições
Utiliza-se o símbolo ↓ (também denominado Adaga de Quine) para 
representar a negação conjunta de duas proposições: p ↓ q. 
Exemplo: 
Sejam as proposições p: Pedro é paranaense, e q: Carlos é baiano.
A negação conjunta de p e q será p↓q: 
~p˄~q: não é verdade que Pedro seja paranaense e que Carlos seja baiano. 
Ou seja: Pedro não é paranaense, nem Carlos é baiano. Observe que 
também poderíamos dizer (negação da disjunção): “Não é verdade que Pedro 
seja paranaense ou que Carlos seja baiano”. A proposição “nem Pedro é para-
naense nem Carlos é baiano” terá valor lógico verdadeiro se ambas as pro-
posições p: Pedro é paranaense e q: Carlos é baiano forem falsas. Nas outras 
situações a negação conjunta de p e q será falsa. 
Quadro 9 – tabela verdade da negação conjunta
p q p ↓ q
V V F
V F F
F V F
F F V
Fonte: definição da operação de negação conjunta
2.3.2 Negação disjunta
Denomina-se negação disjunta de duas proposições p e q à proposição 
~p v ~q. 
Utiliza-se o símbolo ↑ e chamado conectivo de Sheffer, ou ainda o sím-
bolo |, denominado de traço de Sheffer para representar a negação disjunta 
de duas proposições. 
Representa-se a negação disjunta de p e q pelo símbolo p↑q.
A negação disjunta das proposições p e q é a negação da conjunção p˄q. 
Ou seja, ~p ˅ ~q é equivalente a ~(p ˄ q).
Em linguagem natural a negação disjunta está associada a ”não p ou não q”. 
Lógica Matemática
– 36 –
Exemplo: 
p: Pedro é paranaense.
q: Carlos é baiano.
~p: não é verdade que Pedro é paranaense.
~q: não é verdade que Carlos é baiano. 
A negação disjunta de p e q, ~p ˅ ~q terá valor lógico verdadeiro se 
Pedro não for paranaense ou se Carlos não for baiano, ou, ainda, se ambas as 
afirmações forem falsas. Além disso, se “nem Pedro é paranaense nem Carlos 
é baiano” for verdadeira, então também ~p ˅ ~q terá valor lógico verdadeiro. 
Também poderíamos afirmar, equivalentemente, que (negação da conjun-
ção): “não é verdade que Pedro seja paranaense e que Carlos seja baiano”. 
A negação disjunta ~p ˅ ~q terá valor lógico falso se Pedro for parana-
ense e Carlos for baiano. Ou seja, se ambas as proposições p e q forem verda-
deiras, então a negação disjunta p ↑ q será falsa. 
Quadro 10 – tabela verdade da negação disjunta
p q p ↑ q
V V F
V F V
F V V
F F V
Fonte: definição da operação de negação disjunta
Compare esta tabela com aquela de p˄q a fim de perceber o fato de que 
~p ˅ ~q é equivalente a ~(p ˄ q).
2.4 Exercícios resolvidos
1. A partir dos valores lógicos dados, determine o valor lógico da proposi-
ção p e o valor lógico da proposição q.
a. V (p ˄ q) = V e V (p ↔ q) = V
b. V (p ˅ q) = F e V (p → q) = V
c. V (p → q) = F e V (p ↔ q) = F
– 37 –
Operações Lógicas sobre Proposições
Resolução: 
No caso do item (a), destacamos as células apresentadas na tabela-ver-
dade que são as opções possíveis para a situação apresentada.
p Q p → q p ˄ q p ˅ q p ↔ q
V V V V V V
V F F F V F
F V V F V F
F F V F F V
Fonte: elaborado pelo autor, 2015
Pela tabela-verdade, obrigatoriamente, o valor lógico da proposição p tem 
que ser verdadeiro e o valor lógico da proposição q também tem que ser verdadeiro. 
Repetimos o mesmo procedimento para o item (b), mas destacamos os 
valores lógicos apontados. 
p q p → q p ˄ q p ˅ q p ↔ q
V V V V V V
V F F F V F
F V V F V F
F F V F F V
Fonte: elaborado pelo autor, 2015
Então: V (p) = F e V (q) = F.
No caso do item (c) destacamos as células:
p Q p → q p ˄ q p ˅ q p ↔ q
V V V V V V
V F F F V F
F V V F V F
F F V F F V
Fonte: elaborado pelo autor, 2015
Então: V (p) = V e V (q) = F 
 Você sabia
Em muitos concursos públicos e vestibulares encontramos questões 
sobre Raciocínio Lógico. O livro Matemática e Lógica para Concur-
Lógica Matemática
– 38 –
sos, do prof. José Luiz de Morais, apresenta centenas de questões 
extraídas de concursos públicos. Ele também apresenta material sobre 
silogismo categórico e hipotético. A questão abaixo foi extraída deste 
livro. Veja nas referências bibliográficas todos os dados sobre o livro.
2. (FCC – ICMS/SP) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa 
no concurso”. Nela, o conectivo lógico é: 
a. Disjunção inclusiva.
b. Conjunção.
c. Disjunção exclusiva.
d. Condicional.
e. Bicondicional.
Fonte: Morais, 2012, página 55
Resolução: 
Este é um exemplo de utilização do conectivo “mas” no lugar do conec-
tivo “e”: “Paula estuda e não passa no concurso”. Assim, o conectivo 
lógico é conjunção, alternativab). 
3. Considere as proposições: 
p: Antonio é trabalhador 
q: O avestruz sabe voar
Escreva em linguagem simbólica as frases seguintes: 
a. Não é verdade que o avestruz sabe voar.
b. É falso que Antonio é trabalhador .
c. Ou Antonio é trabalhador ou o avestruz sabe voar.
d. Antonio é trabalhador se e somente se o avestruz sabe voar.
e. Antonio é trabalhador ou o avestruz não sabe voar.
f. Se o avestruz sabe voar então Antonio é trabalhador.
g. Se não é verdade que Antonio é trabalhador então o avestruz sabe voar.
– 39 –
Operações Lógicas sobre Proposições
Resolução: 
a. ~q
b. ~p
c. p ˅ q
d. p ↔ q
e. p˅ ~q
f. q à p
g. (~p) à q
4. Indique o valor lógico das proposições seguintes: 
a. Se log(2) é número primo então 5/3 é número transcendente.
b. É falso que cos(x) > 2.
c. log(7) é número primo se e somente se 5/3 é número algébrico.
Resolução: 
a. O valor lógico da proposição p: log(2) é número é V (p) = F.
O valor lógico da proposição q: 5/3 é um número transcendente é 
V (q) = F. 
Temos a proposição p à q. Como V (p) = F e V (q) = F, V (pà 
q) = V.
b. O valor lógico da proposição p: cos(x) > 2 é V(p) = F. Então, o 
valor lógico da proposição ~p é V (~p) = V.
c. O valor lógico de p: log(7) é um número primo é V (p) = V O 
valor lógico de q: 5/3 é número algébrico é V (q) = V. Como temos 
a proposição p ↔ q, então V(p < – > q) = V.
5. Traduza para a linguagem simbólica as proposições matemáticas: 
a. x > 11 e x < 17
b. x = log(20) ou 3x + 2 = 5
c. se x = log(20) então 5 é um número primo
Lógica Matemática
– 40 –
Resolução: 
a. Escrevemos: p: x > 11 , q: x < 17
Traduzindo a proposição apresentada para a linguagem simbólica: 
p ˄ q
b. Escrevemos: p: x = log(20) , q: 3x + 2 = 5
Traduzindo a proposição apresentada para a linguagem simbólica: 
p ˅ q
c. Escrevemos: p: x = log(20),q: 5 é um número primo
Traduzindo a proposição apresentada para a linguagem simbólica: 
p à q
Resumindo
Você foi apresentado ao conceito de tabela-verdade que estabelece as 
possibilidades de valores lógicos de proposições compostas. Aqui, foram apre-
sentados conetivos lógicos com suas respectivas tabelas.
É importante que você estabeleça a relação entre valor lógico e o seu 
emprego na lógica, mas, especialmente, que você possa perceber o peso do 
sentido neste estudo. 
Feita a apresentação da forma de uma tabela-verdade e dos conectivos 
lógicos com seus respectivos valores lógicos, é chegada a hora de ampliar estes 
conceitos para outras situações que envolvam proposições compostas e tabe-
las-verdade. Vamos, então, ao próximo capítulo.
3
Tabelas-verdade
Neste capítulo, veremos a ordem de precedência em propo-
sições compostas, bem como se ela pode apresentar ambiguidades. 
E, para evitá-las, é importante o correto uso dos parênteses. 
Nem toda a lista de símbolos da lógica proposicional é uma 
fórmula bem estruturada. É necessário caracterizar o que constitui 
essa formulação (well formed formula). 
Apenas após ter clareza destes tópicos é que podemos iniciar o 
item seguinte: a construção de tabelas-verdade para analisar o valor 
lógico de proposições compostas. 
Vamos lá?
Lógica Matemática
– 42 –
Objetivos de aprendizagem:
 2 Identificar a ordem de precedência em uma proposição composta;
 2 Identificar se uma fórmula é bem formada;
 2 Construir tabelas verdade de proposições compostas.
3.1 Proposições compostas, ordem de 
precedência, parênteses e fórmulas bem formadas
Já vimos, anteriormente, que é possível combinar proposições simples 
utilizando os conectivos ~, ˅, ˄, → , ↔ para construir proposições compos-
tas. Vejamos.
Considere as proposições simples p, q e r e algumas composições entre 
elas denotadas por P.
P(p,q) = (p ˄ q) ˅ (~q)
P(p,q,r) = (p ↔ r) ˄ (~q ˅ r)
P(q, r) = (~r) → q
3.1.1 Ordem de precedência 
Para evitar dúvidas na leitura de proposições compostas, deve-se estabe-
lecer uma ordem de precedência entre os conectivos, qual seja:
 2 Em primeiro lugar a negação: ~ 
 2 Em segundo lugar a conjunção e a disjunção: ˅, ˄
 2 Em terceiro lugar a implicação: →
 2 Em quarto lugar a bicondicional: ↔
Além disso, as fórmulas devem ser lidas da “esquerda para a direita”. 
Exemplo: 
a) p ˄q ↔ q ˄ p
Obedecendo a ordem estabelecida, como a conjunção deve ser realizada 
antes da bicondicional, primeiro determinamos o valor de p ˄ q e de q ˄ p.
– 43 –
Tabelas-verdade
Só então determinamos o valor da bicondicional a partir dos valores 
lógicos anteriormente determinados. 
b) q ˅ ~p → s ˄ p
Em primeiro lugar, determinamos o valor lógico de ~p. Após, definimos 
o valor lógico de q ˅ ~p e, em seguida, de s ˄ p. Na sequência, precisaremos 
o valor lógico de q ˅ ~p → s ˄ p
Assim, em decorrência das ordens de precedência dos conectivos, deno-
minamos a proposição a: r ˅ q ↔ p ˄ q como um bicondicional e não como 
uma conjunção ou como uma disjunção. 
Por que isto? 
Em primeiro lugar faz-se a conjunção p ˄ q e a disjunção r ˅ q. Só então 
avaliamos o bicondicional ↔. 
Pode-se destacar a precedência utilizando parênteses entre os conectivos. 
Por exemplo, a proposiçãob: r ˅ (q ↔ p ˄ q) passa a ser uma disjunção, se 
assim os parênteses estabelecerem.
Da mesma forma,a proposição b: (r ˅ q ↔ p) ˄ q passa a ser 
uma conjunção. 
É importante destacar, caro estudante, que você deve estar atento à 
ordem de precedência para avaliar o valor lógico de uma composição de pro-
posições. A ordem equivocada pode alterar totalmente o valor lógico de uma 
proposição composta.
Logo a seguir veremos mais sobre parênteses. 
3.1.1 Parênteses
Além da regra de precedência entre os conectivos, também existe uma 
regra para o uso dos parênteses: “os parênteses mais internos devem ser calcu-
lados antes dos mais externos”. Além disso, quando um parêntese for aberto, 
ele deve ser obrigatoriamente fechado. 
Exemplos: 
a) Considere a proposição: p ˅ (q → r) 
Lógica Matemática
– 44 –
Levando em conta a ordem de precedência, a proposição é diferente 
da proposição (p ˅ q) → r. 
Na proposição p ˅ (q → r), temos que determinar em primeiro 
lugar o valor lógico da implicação (q → r). 
Já na proposição (p ˅ q) → r, temos que definir em primeiro lugar 
o valor lógico de (p ˅ q).
b) No caso da proposição composta ~(p ˄ q) ˅ ~(q → p) temos que 
determinar, em primeiro lugar, o valor lógico de (p ˄ q) e de (q → 
p). Em seguida, precisarmos o valor lógico de ~(p ˄ q) e de ~(q → p). 
Só então podemos delimitar o valor lógico de ~(p ˄ q) ˅ ~(q → p).
c) Considere a proposição composta (q → p ˄ ( ~s ↔ p)) ˅ ~p. 
Devemos iniciar pelos parênteses mais internos: ( ~s ↔ p).
Dentro deste parêntese, devemos iniciar pela negação ~s. 
Em seguida, determinamos o valor de ~s ↔ p.
Depois, vamos para o parêntese externo: (q → p ˄ ( ~s ↔ p)).
Agora a precedência é pelo símbolo ˄.
Assim, devemos definir o valor lógico de p ˄ ( ~s ↔ p).
Feito isto, precisamos o valor lógico de q → p ˄ ( ~s ↔ p).
Na sequência, determinamos o valor de ~p. 
Finalmente, terminamos o cálculo achando o valor lógico de (q → 
p ˄ ( ~s ↔ p)) ˅ ~p.
Se a ausência dos parênteses não provocar ambiguidades na fórmula, 
então eles podem ser retirados. Por exemplo, considere a proposição p: (a ˅ 
b). É possível retirar os parênteses que ainda assim a leitura não apresentará 
ambiguidade. Então, podemos simplesmente escrever: p: a ˅ b. 
3.2 Fórmula bem formada
Fórmula: diz-se que qualquer sequência de sím-
bolos do cálculo proposicional é uma fórmula. 
 
– 45 –
Tabelas-verdade
Contudo, não é porque temos uma fórmula que ela será considerada 
aceita para o cálculo proposicional. 
Por exemplo, Pq )~p~(q˄(˅q) não tem significado lógico. 
Como identificar quando 
uma sequência de símbolos 
representa uma proposição 
composta? Para determinar seuma fórmula pode ser aceita 
para o cálculo proposicional, 
temos que determinar se ela é 
uma fórmula bem formada ou 
well-formed formula (ou, wff). 
Veja as regras que devem 
ser seguidas para identificar 
wff, segundo Bispo e Souza 
Filho (2012, p.13)
1. Uma letra proposicional isolada é uma wff (em outras palavras, pro-
posições simples são fórmulas);
2. se p é uma wff, então ~p também é uma wff;
3. se p e q são wff´s, então p ˅ q, p ˄ q, p → q e p ↔ q também são wff´s. 
Exemplos
a) A fórmula p → ˅ q não é wff, pois não satisfaz a regra 3. 
b) A fórmula q ↔ p ˄ r é wff, pois há precedência do conectivo ˄ 
sobre o conectivo ↔ (não é necessário que utilizemos parênteses). 
c) A fórmula p → q) ~r não é bem formada pois um parêntese foi 
fechado sem ter sido aberto. 
d) A fórmula r ↔ q → p não é bem formada pois os conectivos ↔ e 
→ possuem precedência igual. Para que ela fosse wff teríamos que 
escrever de uma das duas formas:
(r ↔ q) → p ou r ↔ (q → p)
F
on
te
: S
hu
tt
er
st
oc
k,
 2
01
5.
Figura 1: será que qualquer conjunto de 
símbolos matemáticos constitui uma fórmula 
bem formada?
Lógica Matemática
– 46 –
 Você Sabia
Já ouviu falar de linguística computacional? Ela é utilizada em proble-
mas como reconhecimento de fala, síntese de voz, robôs de tradução 
automáticas e ferramentas de correção automática de textos por exem-
plo. A linguística computacional é uma área que junta conhecimentos 
da Inteligência Artificial, da Informática, da Lógica Matemática, da Esta-
tística e da Linguística. Os linguistas computacionais buscam, utilizando 
modelos lógicos-matemáticos (ou probabilísticos/estatísticos) das lín-
guas naturais, construir ferramentas automáticas que consigam processar 
textos apresentados na linguagem natural. 
Para saber mais consulte: http://icmc.usp.br/Portal/Pesquisa/ pesquisa-
Dinamico.php?id_laboratorio=67, 
http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/fale/article/view 
File/597/428,
http://mulheresnacomputacao.com/2013/04/24/linguistica-computacional/ 
3.3 Construção de tabelas-verdade 
de proposições compostas
Considere uma proposição composta P(p, q, r). A partir dos valores 
lógicos das proposições simples p, q e r, podemos construir a tabela-verdade 
correspondente à proposição composta P(p, q, r) para determinar o valor 
lógico da proposição composta em função dos valores lógicos das proposições 
simples que a compõem. 
Vamos construir juntos uma tabela-verdade de proposições compostas? 
Siga os passos indicados abaixo. 
1. A partir do número de proposições simples da proposição com-
posta, determine o número de linhas da tabela-verdade, usando 
a relação de que, se temos k proposições simples então a tabela-
-verdade terá 2k linhas; 
2. Preencha as colunas das proposições simples com os valores lógicos 
Verdadeiro e Falso, de forma a atender a todas as combinações pos-
síveis de V ou F; 
– 47 –
Tabelas-verdade
3. Verifique a ordem de precedência dos conectivos;
4. Insira colunas adicionais (se julgar necessário) para explicitar os cál-
culos intermediários do valor lógico da proposição composta; 
5. Utilizando-se das definições para os valores lógicos das proposições 
simples, calcule o valor da proposição composta; 
6. A sequência de passos acima foi construída a partir das sugestões de 
procedimentos de construção de tabelas-verdade para proposições 
compostas apresentadas por Alencar (2002) e Daghlian (1995). 
Exemplo: 
a) Construa a tabela verdade para a proposição P(p,q): ~p ˅ q.
Como temos duas proposições simples p e q, a tabela-verdade terá 
4 linhas. 
Preenchemos as colunas referentes às proposições simples com V ou F de 
forma a cobrir todas as possíveis combinações.
Inserimos a coluna adicional ~p para facilitar nossos cálculos. Não é 
obrigatória a inclusão desta coluna, mas inicialmente vamos detalhar para 
conduzir você à compreensão do sentido da tabela-verdade. De qualquer 
forma, a inclusão de colunas adicionais para a determinação dos valores lógi-
cos intermediários é aconselhável em proposições mais complexas.
p q ~p ~p ˅ q
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V
b) Construa a tabela-verdade para a proposição ~(p ˄ q) ˅ ~(q à p).
Neste caso, a proposição composta é formada por apenas duas propo-
sições simples p e q, o que nos leva a concluir que a tabela-verdade possui 
22 = 4 linhas. 
Lógica Matemática
– 48 –
Pelos parênteses, temos que determinar, primeiramente, o valor lógico 
de (p ˄ q) e de (q p). Só após definimos o valor lógico de ~(p ˄ q) e de ~(q → 
p). Lembre-se que a negação possui precedência sobre a conjunção e disjun-
ção. Por isso, efetuamos primeiro a negação de (p ˄ q) e de (q p) para só 
então determinarmos o valor lógico da disjunção de ~(p ˄ q) com ~(q → p).
p q p ˄ q q → p ~(p ˄ q) ~(q → p) ~(p ˄ q) ˅ ~(q → p)
V V V V F F F
V F F V V F V
F V F F V V V
F F F V V F V
c) Construa a tabela-verdade para a proposição q ˅ ~p à s ˄ p.
Observe que é a mesma proposição apresentada no item sobre 
precedência dos conectivos (exemplo b). Como a proposição é formada por 
três proposições (p, q e s), a tabela-verdade deverá ter 23= 8 linhas. 
p q s ~p q ˅ ~p s ˄ p q˅~p → s ˄ p
V V V F V V V
V V F F V F F
V F V F F V V
V F F F F F V
F V V V V F F
F V F V V F F
F F V V V F F
F F F V V F F
Veja que a última coluna apresenta o valor lógico de todas as possíveis 
combinações para a composição.
d) Construa a tabela-verdade para a proposição (q → p ˄ ( ~s ↔ p)) 
˅ ~p.
– 49 –
Tabelas-verdade
Essa é a composição apresentada no item sobre precedência dos conec-
tivos (exemplo c). Como esta proposição é formada por p, q e s proposições 
simples, deverá possuir 23 = 8 linhas.
Devemos iniciar pelos parênteses mais internos: ( ~s ↔ p) e, dentro 
destes parênteses, devemos iniciar pela negação ~s. 
Em seguida, determinamos o valor de ~s ↔ p.
Depois, vamos para o parêntese externo: (q → p ˄ ( ~s ↔ p)).
Agora a precedência é pelo símbolo ˄.
Assim, devemos definir o valor lógico de p ˄ ( ~s ↔ p).
Feito isto, chegamos ao valor lógico de q → p ˄ ( ~s ↔ p).
Na sequência, precisamos o valor de ~p. 
Finalmente, terminamos o cálculo determinando o valor lógico de 
(q → p ˄ ( ~s ↔ p)) ˅ ~p.
A sequência é: 
1. ~s
2. ( ~s ↔ p)
3. q → p
4. q → p ˄ ( ~s ↔ p)
5. ~p
6. (q → p ˄ ( ~s ↔ p)) ˅ ~p
p q s ~p ~s (~s ↔ p) p ˄ (~s ↔ p)
(q → p ˄ 
( ~s ↔ p))
(q → p ˄ ( ~s 
↔ p)) ˅ ~p
V V V F F F F F F
V V F F V V V V V
V F V F F F F V V
V F F F V V V V V
F V V V F V F F V
F V F V V F F F V
F F V V F V F V V
F F F V V F F V V
Lógica Matemática
– 50 –
e) Construa a tabela-verdade para a proposição 
P(p,q,r) = (p ↔ q) ˅ ~((r → p) → ~ q) .
Seguindo o mesmo raciocínio apresentado nos itens anteriores, P pode 
ser avaliada logicamente a partir da tabela-verdade.
p q s ~s ~s ↔ p q → p q → p ˄ 
( ~s ↔ p) ~p
(q → p ˄ ( ~s 
↔ p)) ˅ ~p
V V V F F V F F F
V V F V V V V F V
V F V F F V F F F
V F F V V V V F V
F V V F V F F V V
F V F V F F F V V
F F V F V V V V V
F F F V F V F V V
 Dica
Dica: ao se construir tabelas-verdade de proposições compostas é útil 
ter ao seu lado um ”lembrete” com uma tabela-verdade ”resumo” dos 
conectivos ~, ˅,˄,→, ↔. 
p q p˅q p˄q p→q p↔q
V V V V V V
V F V F F F
F V V F V F
F F F F V V
– 51 –
Tabelas-verdade
3.4 Valor lógico de uma proposição composta
Considere uma proposição composta P (p, q, r, s, ...). Suponha que 
sejam dados os valores lógicos das proposições p, q, r, s etc. Então, é possível 
determinar o valor lógico da proposição composta P (p, q, r, s, ...).
Exemplos: 
a) Considere a proposição composta: P(p,q) = p → q ↔ (~p ˅ q). 
Determine o valor lógico de P(p,q) se V(p) = F e V(q) =V. 
Inicialmente devemos identificar aordem de precedência das operações: 
1. ~p
2. ~p ˅ q
3. p → q
4. p → q ↔ (~p ˅ q)
Como V(p) = F, então V(~p) = V. 
Como V(q) = V, então V(~p ˅ q) = V ˅ V = V
Como V(p) = F e V(q) = V, então V(p → q) = V
Finalmente, V(p → q ↔ (~p ˅ q)) = V (V ↔ V) = V. 
Resposta: se V(p) = F e V(q) = V, então o valor lógico da proposição 
composta P(p,q) = p → q ↔ (~p ˅ q) é verdadeiro. 
b) Considere a proposição P(p,q,r) = (p ˅ (r ˄ ~q) ˅ ~(~p ˅ (r ˄ q)). 
Determine o valor lógico de P(FFV). 
Resolução: 
Pelo enunciado sabemos que V(p) = F, V(q) = F e V(r) = V. Então, 
V(~q) = V. Assim, V(r ˄ ~q) = V(V ˄ V) = V e V(r ˄ q) = V(V ˄ F) = F.
Como V(p) = F, então V(~p) = V. 
Temos que: V(p ˅ (r ˄ ~q)) = V(V ˅ V) = V. 
E que: V(~p ˅ (r ˄ q)) = V(V ˅ F) = V
Finalmente: V(p ˅ (r ˄ ~q) ˅ ~(~p ˅ (r ˄ q)) = V(V ˅ ~(V)) = V(V ˅ 
F) = V
Lógica Matemática
– 52 –
Chegamos então à seguinte reposta: se V(p) = F, V(q) = F e V(r) = 
V, então o valor lógico da proposição composta P(p,q,r) = (p ˅ (r ˄ ~q) 
˅ ~(~p ˅ (r ˄ q)) é verdadeiro. 
c) Suponha que a proposição p: x é um número amigo e tenha valor 
lógico V, que a proposição q: y é um número de Mersenne e tenha 
valor lógico F, e que a proposição r: z é um primo de Mersenne com 
valor lógico F. Nestas condições, determine o valor lógico da pro-
posição composta P(p,q,r) = q à (~r ˄ ~p).
 Importante
Denominam-se a e b números amigos se cada um deles é igual à soma dos 
divisores próprios do outro. Exemplo: 284 e 220 são números amigos.
Definem-se números de Mersenne todo número natural tal que Mn= 
2n – 1, com n um número natural. 
Dizemos que um número é primo de Mersenne quando um número 
de Mersenne também for número primo. A série de números de 
Mersenne primos é M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127, M13 = 
8.191, M17 = 131.071, M19 = 524.287, ....
Resolução: 
Como V(p) = V, então V(~p) = F. Como V(r) = F, então V(~r) = V. 
Assim, V(~r ˄ ~p) = V(V ˄ F) = F
Como V(q) = F e V(~r ˄ ~p) = F, então V(q à (~r ˄ ~p)) = V(F à F) = V. 
 Saiba mais
Qual a relação entre a lógica no cotidiano e a lógica na matemática? 
Em um minicurso apresentado no IX ENEM (Encontro Nacional 
de Educação Matemática), os professores Flávia Soares (PUC-RJ) e 
Geovani Nunes Dornelas (Universidade Severino Sombra/RJ) inves-
tigaram estas relações, bem como o ensino da Lógica, e apresentam
– 53 –
Tabelas-verdade
atividades relacionando a linguagem natural e a lógica. Vale a pena 
consultar o texto. O link para o texto é: http://www.sbembrasil.org.
br/files/ix_enem/Html/minicursos.html
Resumindo
Neste capítulo, apresentamos proposições compostas e procedimentos 
para a sua construção. Vimos que deve ser obedecida uma ordem de prece-
dência entre os conectivos para eliminar-se possíveis ambiguidades na leitura 
de proposições compostas. 
Além disso, aprendemos que os parênteses também são utilizados nas propo-
sições compostas para que se deixe clara a sequência de aplicação dos conectivos. 
Você também foi apresentado ao conceito de fórmula bem formada no 
cálculo proposicional. 
E, finalmente, concluímos com as operações lógicas sobre proposições. 
No próximo capítulo, estudaremos as tautologias, contradições e contingências. 
Você deve ter percebido que em determinadas tabelas-ver-
dade encontramos na última coluna valores lógicos V ou F. Em 
alguns casos, apenas V ou F. Outras apresentam os dois em linhas 
diferentes. Cada um destes conceitos mostra uma característica de 
proposições compostas em relação aos valores lógicos apresentados 
nas tabelas. 
Cada uma das situações tem nomenclaturas específicas e este é o 
tema do presente capítulo: veremos as tautologias (do grego ταὐτολογία, 
significa ”dizer o mesmo”), as contradições e as contingências. 
4
Tautologias, contradições, 
implicações lógicas 
Lógica Matemática
– 56 –
Veremos também o princípio da substituição para tautologias e o prin-
cípio da substituição para contradições e suas aplicações. 
Por fim, você conhecerá o conceito de implicação lógica e suas pro-
priedades.
Preparado? Vamos começar? 
Objetivos de aprendizagem:
 2 Definir tautologias, contradições e contingências;
 2 Identificar tautologias, contradições e contingências utilizando 
tabelas verdade;
 2 Aplicar corretamente o Princípio da Substituição para Tautologias;
 2 Aplicar corretamente o Princípio da Substituição para Contradições;
 2 Definir implicações lógicas;
 2 Distinguir a condicional de uma implicação lógica.
4.1 Tautologias
Definição: uma proposição composta é denominada tautologias quando 
a última coluna de sua tabela-verdade possui apenas o valor lógico verdadeiro, 
quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes. 
A seguir, serão apresentadas as tautologias encontradas frequentemente 
em problemas envolvendo lógica. A proposição p ˅ ~p é um exemplo. 
Para verificar se uma proposição é uma tautologia, construímos sua 
tabela verdade. Em seguida verificamos se a última coluna da tabela apresenta 
apenas valores lógicos verdadeiros para todos os possíveis valores das proposi-
ções simples constituintes da proposição composta.
a) A proposição p ˅ ~p é uma tautologia
p ~p p ˅ ~p
V F V
F V V
– 57 –
Tautologias, contradições, implicações lógicas 
b) A proposição p à p é uma tautologia 
Neste caso, a tabela verdade possui apenas duas linhas.
p p p → p
V V V
F F V
c) A proposição p ↔ p é uma tautologia 
Também neste caso a tabela verdade possui apenas duas linhas.
p p p ↔ p
V V V
F F V
d) A proposição ~(p ˄ ~p) é uma tautologia. 
p ~p p ˄ ~p ~(p ˄ ~p)
V F F V
F V F V
A tautologia aqui pode ser “traduzida” em palavras como: “é sempre ver-
dadeiro afirmar que qualquer proposição p não pode ser, ao mesmo tempo, 
verdadeira e falsa”. 
e) A proposição (p à q) ↔ (~q à ~p) é uma tautologia. 
p q p → q ~q ~p ~q → ~p (p → q) ↔ (~q → ~p)
V V V F F V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
Esta proposição é denominada de contrapositiva.
f ) A proposição~(p ˄ q) ↔ (~p ˅ ~q), é uma tautologia. Ela é bas-
tante empregada em problemas de argumentação e é chamada Tau-
tologia De Morgan.
p q p ˄ q ~( p ˄ q) ~p ~q (~p ˅ ~q) ~(p ˄ q) ↔ 
(~p ˅ ~q)
V V V F F F F V
V F F V F V V V
F V F V V F V V
F F F V V V V V
Lógica Matemática
– 58 –
4.2 O princípio de substituição para tautologias
Seja uma tautologia T(p,q,r,...). Considere ainda P(p,q,r,...), Q(p,q,r,...) 
e R(p,q,r,...) proposições quaisquer. 
Se substituirmos na tautolo-
gia T(p, q, r,...) a proposição p por 
P(p,q,r,...), a q por Q(p, q, r, ...), a r 
por R(p, q, r, ...), e assim sucessiva-
mente, então o valor lógico de T(P(p, 
q, r,...), Q(p,q,r,...), R(p,q,r,...), ...) 
será sempre verdadeiro. 
Exemplo: Considere a proposição 
T(p, q, r) = (p à q) à (p ˅ r à q ˅ 
r). Se você construir a tabela verdade de 
T(p, q, r) verá que se trata de uma tau-
tologia (verifique!).
Considere agora a proposição P(p, q, r) = ~p ˄ q. Vamos substituir na 
proposição T(p, q, r):p por P(p, q, r) = ~p ˄ q. Então:
T(P(p, q, r), q, r) = (P(p, q, r) à q) à (P(p, q, r) ˅ r à q ˅ r)
T(P(p, q, r), q, r) = ((~p ˄ q) à q) à ((~p ˄ q) ˅ r à q ˅ r)
Teremos, então, a tabela-verdade conforme segue.
p q r ~p (~p ˄ q) (~p ˄ q) ˅ r q ˅ r (~p ˄ q) ˅ r → 
q ˅ r
(~p ˄ q) 
→ q
V V V F F V V V V
V V F F F F V V V
V F V F F V V V V
V F F F F F F V V
F V V V V V V V V
F V F V V V V V V
F F V V F V V V V
F F F V F F F V V
Finalmente, as últimas colunas da tabela verdade determinam a tautolo-
gia conforme o princípio da substituição.
Figura 1 - O valor lógico de uma 
tautologia será sempre verdadeiro
F
on
te
: S
hu
tt
er
st
oc
k,
 2
01
5
.
– 59 –
Tautologias, contradições, implicações lógicas 
(~p ˄ q) → q (~p ˄ q) ˅ r → 
q ˅ r
((~p ˄ q) → q) → 
((~p˄ q) ˅ r → q ˅ r)
V V V
V V V
F V V
F V V
V V V
V V V
V V V
V V V
 Saiba mais
Assista ao divertido vídeo A Alegria da Lógica (The Joy of 
Logic) com o professor e cientista da computação Dave Cliff. 
Tenho certeza que você vai gostar. É bastante elucidativo e 
bem-humorado. 
O link é: 
https://www.youtube.com/watch?v=NICqvkMmUZo
4.3 Contradições
Definição: uma contradição é toda proposição composta, tal que a 
última coluna da sua tabela verdade apresente somente falsidade, quaisquer 
que sejam os valores das proposições simples que a constituem. 
Exemplos
a) p ˄~p 
p ~p p ˄~p 
V F F
F V F
b) p ˄ q) ˄ (~p) 
p q ~p p ˄ q (p ˄ q) ˄ (~p)
V V F V F
V F F F F
F V V F F
F F V F F
Lógica Matemática
– 60 –
c) (p ˄ q) ˄ (~p ˄ ~q) 
p q ~p ~q p ˄ q ~p ˄ ~q (p ˄ q) ˄ (~p ˄ ~q)
V V F F V F F
V F F V F F F
F V V F F F F
F F V V F V F
d) (p ˄ q) ˄ (q ↔~p)
p q ~p p ˄ q (q ↔~p) (p ˄ q) ˄ (q ↔~p)
V V F V F F
V F F F V F
F V V F V F
F F V F F F
 Importante
As contradições também são denominadas de proposições 
contraválidas.
4.3.1Princípio da substituição para contradições
Da mesma forma que vale o princípio da substituição para tautologias, 
temos o princípio da substituição para contradições. 
Seja uma contradição dada por C(p,q,r,...). Considere ainda P(p,q,r,...) 
e Q(p,q,r,...) e R(p,q,r,...) proposições quaisquer. 
Se substituirmos na contradição C(p, q, r,...) a proposição p por 
P(p,q,r,...), a q por Q(p, q, r, ...), a r por R(p, q, r, ...), e assim sucessivamente, 
então a proposição C(P(p, q, r,...), Q(p,q,r,...), R(p,q,r,...), ...), também é 
uma contradição.
 Você sabia
Que foi um brasileiro o criador de toda uma nova área de pesquisa 
na Lógica Matemática em meados do Século XX? 
O nome dele é Newton Carneiro Affonso da Costa. Ele nasceu em 
Curitiba (capital do Paraná) em 16 de setembro de 1929. Formou-se
– 61 –
Tautologias, contradições, implicações lógicas 
em Engenharia Civil (em 1952) e em bacharelado (1955) e licen-
ciatura (em 1956) em Matemática. O prof. Newton da Costa con-
cluiu seu Doutorado em matemática em 1961. Eleé mundialmente 
reconhecido por seu importante trabalho na área de Lógica Mate-
mática.Seus trabalhos científicos apresentaram grande repercussão no 
mundo todo: já ultrapassaram mais de 1500 citações, em pelo menos 
10 idiomas. Em seu trabalho, rompeu com a abordagem aristotélica 
ao desenvolver sistemas lógicos que podiam lidar com contradições 
(sem que com isso, incorresse em trivialização). A partir de 1976, 
surgiu o nome de Lógica Paraconsistente. 
Você pode encontrar mais detalhes sobre a vida e a obra do prof. 
Newton da Costa no link: https://www.cle.unicamp.br/arquivoshis-
toricos/ ?destino=Newton_Costa/newtondacosta_biografia.html
Você também pode assistir à palestra: Lógica, teoria da computação 
e direito,prof. Newton da Costa: https://youtu.be/CY_EFSZa4V4
4.4 Contingências
Definição: denomina-se contingência toda equalquer proposição com-
posta tal que na última coluna de sua tabela-verdade tenhamos tanto valores 
lógicos verdadeiros quanto valores lógicos falsos. 
Exemplos
a) p à ~p 
p ~p p → ~p
V F F
F V V
b) (~p ˅ ~q) ˄ (q à p)
p q ~p ~q ~p ˅~q q → p (~p ˅ ~q) ˄ (q → p)
V V F F F V F
V F F V V V V
F V V F V F F
F F V V V V V
Lógica Matemática
– 62 –
c) (p ˄ q) ↔ q
p q p˄q (p ˄ q) ↔ q
V V V V
V F F V
F V F F
F F F V
d) (~q à ~p) à (q à p)
p q ~p ~q ~q → ~p q → p (~q → ~p) → (q → p)
V V F F V V V
V F F V F V V
F V V F V F F
F F V V V V V
 Importante
As contingências também são denominadas proposições inde-
terminadas.
Não se deve confundir pleonasmo com tautologia.
Pleonasmo é a repetição, na fala ou na escrita, de 
ideias que apresentem o mesmo sentido. Lembra-
mos que, em grego, pleos significa abundante. 
 
4.5 Implicação Lógica
Definição: uma proposição composta P(p, q, r, ...) implica logicamente 
uma proposição Q(p, q, r, ...) se, sempre que P(q, r, r, ...) apresentar valor lógico 
verdadeiro, então o valor lógico de Q(p, q, r, ...) também será verdadeiro. 
Representa-se simbolicamente a implicação lógica com a seta ⇒. 
Destaca-se que na tabela verdade de uma implicação lógica não existe 
nenhuma linha na qual tenhamos a sequência Verdadeiro Falso. 
– 63 –
Tautologias, contradições, implicações lógicas 
 Importante
ão confunda o símbolo para a condicional → à com o símbolo 
utilizado para a implicação lógica ⇒ .
Estudante, fique atento! O símbolo à é uma operação lógica entre pro-
posições. Seu resultado é outra proposição. O símbolo representa uma relação 
entre duas proposições. A flecha dupla indica uma “implicação lógica”.
Exemplos
a) p ⇒ q à p
p q q → p
V V V
V F V
F V F
F F V
Observe que não existe sequência V – F (da coluna ”p”´´ para a coluna 
”q”à “p”). Logo, podemos concluir a implicação lógica p ⇒ q àp.
Observe que, na primeira linha da tabela-verdade, a sequência é V – V. 
Na segunda linha, é V – V, na terceira linha, F – F e na quarta linha a sequ-
ência é F – V. 
b) p ˄ q ⇒ p ˅ q
p q p ˄ q p ˅ q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
Na tabela verdade de p ˄ q e p ˅ q não temos linha alguma com V – F 
(entre as colunas ”p” ˄ “q”e “p” ˅ “q” -nesta ordem!). 
Veja que “não é verdade que p ˅ q ⇒ p ˄ q”. Na tabela verdade 
para p ˅ q e p ˄ q (nesta ordem!) existe ao menos uma linha com a 
sequência V – F. Destaque-se que existir ao menos uma sequência do 
tipo V – F na tabela verdade nos leva a concluir que não temos uma 
implicação lógica. Apresentamos a tabela-verdade abaixo para conferir 
Lógica Matemática
– 64 –
que p ˅ q ⇒ p ˄ q não é uma implicação lógica (observe as células em 
cinza escuro).
p q p ˅ q p ˄ q 
V V V V
V F V F
F V V F
F F F F
c) p ↔ q ⇒ p à q
p q p ↔ q p → q
V V V V
V F F F
F V F V
F F V V
A seguir, apresentamos algumas implicações usuais empregadas em 
demonstrações. Nos próximos capítulos, voltaremos a elas. Elas recebem o 
nome de “Regras de Inferência”. Outras implicações lógicas notáveis serão 
apresentadas no capítulo oportuno. 
Adição p ⇒ p˅ q
Simplificação
p ˄ q ⇒ p 
p ˄q ⇒ q
Silogismo disjuntivo 
(p ˅ q) ˄ ~p ⇒ q
(p ˅ q) ˄ ~q ⇒ p
Modus Ponens (p à q) ˄p ⇒ q
Modus Tolens (p à q) ˄ ~q ⇒ ~p
Fonte: elaborado pelo autor, baseado em DAGHLIAN e FILHO.
4.4.1.1 Propriedades da Implicação Lógica 
A implicação lógica possui três propriedades: 
i) Propriedade reflexiva: p ⇒ p 
ii) Propriedade transitiva: se p ⇒ q e q ⇒ r, então p ⇒ r
iii) Para que uma implicação p ⇒ q seja verdadeira é condição 
necessária e suficiente que p à q seja tautologia. 
– 65 –
Tautologias, contradições, implicações lógicas 
Como consequência das propriedades da implicação lógica temos 
que, se P(p, q, r, ..) ⇒ Q(p, q, r, ..), então também é verdadeiro que 
P(p1, q1, r1, ..) ⇒ Q(p1, q1, r1, ..). 
Resumindo
O presente capítulo apresentou a você as tautologias, as contradições e as 
contingências lógicas. São, em verdade, possíveis resultados lógicos encontra-
dos na análise de proposições compostas quanto ao seu valor lógico.
A partir desses conceitos, você pode conhecer o conceito de implicação 
lógica e suas propriedades que serão empregadas mais adiante.
No próximo capítulo, você estudará a equivalência lógica e outros con-
ceitos que derivam dela. Esteja pronto para isso revisando todos os conceitos 
e propriedades vistos até o momento. As equivalências lógicas envolvem todo 
o exposto até aqui. Bons estudos.
Neste capítulo, você vai conhecer o conceito de equivalên-
cia lógica, que segue a linha da implicação lógica. Veremos como 
identificá-las usando a tabela-verdade e conheceremos algumas 
equivalências lógicas notáveis. Na sequência, identificaremos as suas 
aplicações e as propriedades delas. Veremos também o teorema que 
relaciona equivalências