Medidas Separatrizes e Construção de Boxplot

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GST1496 – ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
Profa. Luciana Pontes
E CURTOSE
GRÁFICOS
Introdução
Seperatrizes
•Quartis
•Decis
•Percentis
Exercícios
SUMÁRIO
Medidas separatrizes
Introdução
Os quartis, decis e percentis são muito similares à mediana,
uma vez que também subdividem a distribuição de dados
de acordo com a proporção das frequências observadas.
Elas separam a distribuição em partes iguais.
Quartis: em quatro partes iguais.
Decis: em dez partes iguais.
Percentis: em cem partes iguais.
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Medidas separatrizes
Introdução
As medidas separatrizes, geralmente, só são calculadas para
grandes quantidades de dados.
No Excel, por exemplo, temos a opção de pedir o cálculo
de tais medidas. Com os cálculos dos quartis, juntamente
com os valores mínimo e máximo do conjunto de dados,
podemos construir um gráfico chamado desenho
esquemático ou boxplot.
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Medidas separatrizes
Introdução
A análise deste gráfico é bastante útil no sentido de
informar, entre outras coisas, a variabilidade e a simetria
dos dados.
Conexão
Para se entender quais são os procedimentos utilizados na
construção de um boxplot, bem como sua interpretação,
leia o texto: “ Diagrama de Caixa (Boxplots)” em: TRIOLA,
Mario F.. Introdução à estatística. 10.ed.Rio de Janeiro: LTC,
2008, pp.98 a 102
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Separatrizes: quartis
Sejam os dados:
Os dados destacados são o 1º, 2º e 3º quartis,
respectivamente.
O 1º quartil é precedido por ¼ (25%) dos valores da
distribuição;
O 2º quartil é precedido por ½ (50%);
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Separatrizes: quartis
Sejam os dados:
O 3º quartil é precedido por ¾ (75%).
O 2º quartil é a mediana, pois divide a distribuição em duas
partes iguais.
Não há um consenso universal sobre um procedimento
único para o cálculo dos quartis, e diferentes programas de
computador muitas vezes produzem resultados diferentes.
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Separatrizes: quartis
Como os quartis são medidas separatrizes precisamos,
primeiramente, ordenar o conjunto de dados.
O 1º quartil (Q1) será o valor da variável que ocupar a
posição n/4.
O 2º quartil (Q2) será o valor da variável que ocupar a
posição 2n/4.
O 3º quartil (Q3) será o valor da variável que ocupar a
posição 3n/4.
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Cálculo dos quartis
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Separatrizes: quartis
Quando fazemos estas divisões para encontrar as posições
dos quartis, pode acontecer de o resultado ser um número
inteiro ou um número fracionário.
Neste caso, adotaremos a seguinte convenção:
•Se a divisão resultar num número fracionário, arredonde-
o para cima e o valor do quartil será a resposta da variável
encontrada nesta posição.
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Cálculo dos quartis
Separatrizes: quartis
•Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a média
aritmética da resposta da variável que ocupar a posição
encontrada com a resposta da variável que ocupar a
posição seguinte.
Exemplo:
Um escritório que presta consultoria em administração
levantou os tempos de espera de pacientes que chegam a
uma clínica de ortopedia para atendimento de emergência.
Foram coletados os seguintes tempos, em minutos,
durante uma semana. Encontre os quartis.
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Cálculo dos quartis
Separatrizes: quartis
Exemplo:
Resolução:
Para encontrarmos os quartis, precisamos ordenar o
conjunto de dados. Então:
Q1 = n/4 = 18/4 = 4,5
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Cálculo dos quartis
Separatrizes: quartis
Como a divisão resultou em um valor fracionário, vamos
arredondar para 5. Portanto, o primeiro quartil é o valor
que está na quinta posição. Logo, Q1 = 3.
Então, pelo menos 25% das observações são menores ou
iguais a 3 minutos.
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Cálculo dos quartis
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Separatrizes: quartis
Q2 = 2n/4 = 2.18/4 = 36/4 = 9
Como a divisão resultou em um valor inteiro, o segundo
quartil será o resultado da média aritmética entre o valor
que está na nona posição e o valor que está na décima
posição.
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Cálculo dos quartis
Separatrizes: quartis
Q2 = (6+7)/2 = 6,5
Temos que pelo menos 50% das observações são maiores
ou iguais a 6,5 minutos.
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Cálculo dos quartis
Separatrizes: quartis
Q3 = 3n/4 = 3.18/4 = 13,5
Como a divisão resultou em um valor fracionário, vamos
arredondar para 14. Portanto, o terceiro quartil é o valor
que está na décima quarta posição. Logo, Q3 = 8.
Neste conjunto de dados, pelo menos 25% das
observações são maiores ou iguais a 8 minutos.
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Cálculo dos quartis
Separatrizes: decis
Os decis dividem a distribuição em dez partes iguais. O
primeiro é precedido por 1/10; o segundo de 2/10, e assim
sucessivamente.
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Separatrizes: quartis e percentis
Para o cálculo do Q1 utilizamos a seguinte fórmula:
Onde:
é o limite inferior da classe que contém o primeiro
quartil;
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Dados agrupados em classes
Observação:
Para calcular os quartis quando os dados estão
organizados em intervalos de classes, utilizaremos o
mesmo procedimento descrito para o cálculo da mediana
(Q2) para dados agrupados em classes.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
é o número total de observações da distribuição
de frequências;
é a frequência acumulada da classe anterior à classe
que contém o primeiro quartil;
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
é o número de observações da classe que contém
o primeiro quartil;
é a amplitude do intervalo de classe que contém o
primeiro quartil.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
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De maneira semelhante, o cálculo do Q3 será feito
utilizando a seguinte fórmula:
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
Exemplo:
A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do
tempo de vida de 60 componentes eletrônicos (medido
em dias) submetidos à experimentação num laboratório
especializado. Calcular o primeiro e o terceiro quartil.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
Exemplo:
Primeiramente, temos que encontrar a classe que contém
o primeiro quartil. Esta classe corresponde à classe
associada à frequência acumulada imediatamente superior
à
Como temos que a classe que contém o
primeiro quartil é de 48├ 63 (pois fa = 19).
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
Além disso, temos:
= número total de observações da distribuição de
frequências. Portanto,
Fq1 = frequência acumulada da classe anterior à classe que
contém o primeiro quartil. Portanto, Fq1 = 11.
fq1 = número de observações da classe que contém o
primeiro quartil. Portanto, fq1 = 8.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
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Aq1 = amplitude do intervalo da classe que contém o
primeiro quartil. Portanto,Aq1 = 63 – 48 = 15.
Agora, basta substituirmos todos os valores encontrados
na fórmula e encontrar o valor do primeiro quartil:
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
De acordo com o resultado obtido podemos esperar que
aproximadamente 25% dos dados são menores ou iguais a
55,5, ou seja, aproximadamente 25% dos componentes
eletrônicos têm duração inferior a 55 dias e 12 horas.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
Agora, vamos encontrar a classe que contém o terceiro
quartil. Esta classe corresponde à classe associada à
frequência acumulada imediatamente superior à
Como temos que a classe que contém o
terceiro quartil é de 78├93 (pois fa = 57).
Além disso, temos:
= número total de observações da distribuição de
frequências. Portanto,
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
Fq3 = frequência acumulada da classe anterior à classe que
contém o primeiro quartil. Portanto, Fq3 = 29.
fq3 = número de observações da classe que contém o
primeiro quartil. Portanto, fq3 = 28.
Aq3 = amplitude do intervalo da classe que contém o
terceiroquartil. Portanto,Aq3 = 93 – 78 = 15.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
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Agora, basta substituirmos todos os valores encontrados
na fórmula e encontrar o valor do terceiro quartil:
De acordo com o resultado obtido podemos esperar que
aproximadamente 75% dos dados são menores ou iguais a
86,57, ou seja, aproximadamente 75% dos componentes
eletrônicos têm duração inferior a 86 dias e 14 horas.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
Agora, vamos passar para o cálculo dos percentis. No caso
dos dados estarem organizados em intervalos de classes,
os percentis são calculados utilizando a seguinte fórmula:
em que k = 1,2,…,99.
O procedimento para encontrar as quantidades que devem
ser substituídas nesta fórmula são os mesmos que
utilizamos para encontrar os quartis.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
Agora, vamos passar para o cálculo dos percentis. No caso
dos dados estarem organizados em intervalos de classes,
os percentis são calculados utilizando a seguinte fórmula:
em que k = 1,2,…,99.
O procedimento para encontrar as quantidades que devem
ser substituídas nesta fórmula são os mesmos que
utilizamos para encontrar os quartis.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
Exemplo:
Vamos utilizar os dados do exemplo do cálculo dos quartis
para encontrar o décimo quinto percentil.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
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Primeiramente, temos que encontrar a classe que contém
o décimo quinto percentil. Esta classe corresponde à
classe associada à frequência acumulada imediatamente
superior à
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
Como , temos que a classe que contém
o décimo quinto percentil é de 33├48 (pois fa = 11).
Além disso, temos:
= número total de observações da distribuição de
frequências. Portanto,
Fp15 = frequência acumulada da classe anterior à classe que
contém o primeiro quartil. Portanto, Fp15 = 7.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
fp15 = número de observações da classe que contém o
primeiro quartil. Portanto, fp15 = 4.
Ap15= amplitude do intervalo da classe que contém o
décimo quinto percentil. Portanto,Ap15 = 48 – 33=15.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
Agora, basta substituirmos todos os valores encontrados
na fórmula e encontrar o valor do décimo quinto
percentil:
De acordo com o resultado obtido podemos esperar que
aproximadamente 15% dos dados são menores ou iguais a
40,5, ou seja, aproximadamente 15% dos componentes
eletrônicos têm duração inferior a 40 dias e 12 horas.
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Separatrizes: quartis e percentis
Dados agrupados em classes
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FERREIRA, Valeria A. M. Probabilidade e Estatística. Rio de
Janeiro: Estácio, 2015.
NAZARETH, Helenalda R. de S. Curso Básico de Estatística. São
Paulo: Ática, 2003.
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Referências