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FACULDADE DOM ALBERTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
 
SANTA CRUZ DO SUL – RS
 
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1 ESTATÍSTICA E MÉTODO ESTATÍSTICO 
No âmbito educacional, a estatística surge como uma potente ferramenta 
pedagógica, na medida em que oferece uma grande variedade de recursos capazes 
de permitir visualizar uma situação qualquer e agir sobre ela. Cabe a Estatística coletar 
dados, organizá-los, elaborar diagnósticos e, finalmente, apresentar soluções. 
Com exemplo, citemos o caso de uma unidade escolar pública que enfrenta 
problemas com a elevada ausência de alunos apresentada em suas aulas diárias. 
Aplicando o método estatístico como instrumento de solução no caso em 
questão, o primeiro passo é levantar os motivos apresentados pelos alunos como 
justificativa pelas ausências. O segundo passo consiste em padronizar tais motivos, e 
enquadrar cada aluno ausente em um destes. O passo seguinte envolve organizar os 
dados em planilhas e gráficos. A partir daí, inicia-se a fase de análise e tomada de 
decisão. 
 
Estatística 
 
A estatística, é um dos ramos da matemática aplicada que coleta um conjunto 
de dados, organiza-os, apresenta-os de uma forma conveniente, de modo a permitir 
a análise dos dados com o intuito central de constituir uma sólida base para a tomada 
de decisões e formulação de soluções. 
O mundo contemporâneo é caracterizado pela disponibilidade de um grande 
volume de informações que passam a integrar nosso dia a dia. Neste cenário, jornais, 
revistas, Internet e outros meios de comunicação veiculam diversas notícias pautadas 
em dados estatísticos, como podemos ver nos dois exemplos abaixo: 
 1) “Quando se cruzam os dados de escolaridade com os de salário, colhidos 
na última Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios, do IBGE, é possível verificar 
que o maior salto de renda se dá entre o ensino médio e o superior. ” (Revista Veja, 
São Paulo, n. 1.972, 6 set. 2006) 
2) “Em 1976, os índices de analfabetismo na China beiravam os 60% (...) em 
apenas 3 décadas (...) país conseguiu formar nada menos que 1,2 milhão de 
pesquisadores com doutorado e reduzir o analfabetismo a 4%.” (Revista Veja, São 
Paulo, n. 1.968, 9 ago. 2006) 
AULAS 01 A 10 
 
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A maioria das pessoas, ao deparar-se com tais informações, concebem a 
estatística apenas como um meio de organização e descrição dos dados. Elas 
desconhecem o seu aspecto essencial que é o de proporcionar métodos indutivos, 
proporcionando conclusões capazes de transcender os dados obtidos inicialmente. 
 
Método Estatístico 
Método é um modo de proceder a um conjunto de meios dispostos, 
convenientemente, para se alcançar um fim desejado. 
O Método Estatístico admite todas as causas presentes em determinado 
fenômeno aleatório, variando-as, registrando-as e procurando determinar que 
influência cabe a cada uma delas no resultado final. 
O Método Estatístico envolve, usualmente, as seguintes etapas: 
a) Coleta de Dados; 
b) Organização de tais dados; 
c) Descrição dos Dados através de Planilhas e Gráficos; 
d) Análise e Interpretação; 
e) Tomada de Decisões, Soluções. 
 
A coleta, organização e a descrição de dados fazem parte da Estatística 
Descritiva, ao passo que a análise e interpretação, bem como a Tomada de Decisões 
e Soluções, integram a Estatística Inferencial ou Indutiva. 
 
1. Estatística Descritiva 
Corresponde à parte da Estatística que trata da coleta e da organização de 
dados. O objetivo é efetuar, posteriormente, a descrição dos dados coletados através 
de planilhas e gráficos sem, no entanto, propor qualquer tipo de conclusão. 
 
2. Estatística Indutiva 
Também conhecida por Estatística Inferencial, tem por objetivo tirar conclusões 
sobre o todo (população), a partir de informações fornecidas por parte representativa 
do todo (amostra). 
 
 
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População 
População corresponde a todos os elementos do grupo a serem estudados. 
Para uma maior precisão de resultados, seria preferível trabalhar sempre com todo o 
universo estudado, porém, por questões que envolvem aspectos pertinentes a tempo, 
custo e logística, dentre outros, normalmente torna-se inviável tal proposta, surgindo, 
aí, o grande objetivo da estatística: estudar a amostra e tirar conclusões sobre a 
população. 
 
Amostra 
Amostra é a parte do todo efetivamente estudada. É um subconjunto finito de 
elementos de uma população. 
Vamos agora fixar os nossos conhecimentos 
Imagine a seguinte situação problema: Um conjunto de pedagogos 
desenvolveu uma técnica nova para a aprendizagem da leitura, que encurta o tempo 
de aprendizagem tradicional. 
Podemos dizer que a População desse experimento: é o conjunto de todos os 
alunos que ingressam na escola sem saber ler. 
Por sua vez, a Amostra desse experimento: é o conjunto de alunos 
matriculados em algumas escolas selecionadas para tal estudo. Os alunos serão 
separados em dois grupos para se aplicarem as duas técnicas em confronto. 
 
Cabe a Estatística Descritiva efetuar: 
a) Coleta de Dados: coletar o resultado obtido pelos alunos dos dois grupos em 
avaliações idênticas aplicadas a ambos, através da NOTA. Além de outros dados 
classificados como pertinentes ao estudo, tal como SÉRIE, IDADE, SEXO e ESCOLA. 
b) Organização de Dados: agrupar os dados coletados, conforme o interesse 
do estudo podendo adotar critérios, por exemplo, dividir os avaliados em dois grupos. 
O Grupo 1 corresponde à Aprendizagem Tradicional e o Grupo 2 à Aprendizagem 
Nova. 
c) Descrição dos Dados: descrever os dados organizados em tabelas, abrindo 
mão de apresentação gráfica destes. 
 
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Estatística Indutiva: 
Análise de Dados: através da simples análise do gráfico acima, podemos 
concluir que a média obtida pelo grupo de alunos que aprendeu a ler pelo método 
novo obteve melhores resultados que os demais. Fato que induz à ideia de que 
realmente o aprendizado é mais rápido. Porém, através de fórmulas que iremos 
aprender nas próximas aulas, a estatística nos oferece a possibilidade de analisar tais 
informações de forma mais detalhada e precisa. 
2 VARIÁVEIS 
Estatisticamente falando, a cada fenômeno corresponde um número de 
resultados possíveis. 
Para o fenômeno “sexo”, podemos encontrar dois resultados possíveis: 
masculino e feminino; 
1. Para o fenômeno “quantidade de filhos”, há um número de resultados possíveis 
expresso através de números inteiros, que podem ir de 0 a n, pois ninguém pode ter 
1,3 filho; 
2. Para o fenômeno “estatura” temos uma situação diferente, uma vez que os 
resultados podem tomar um número infinito de valores numéricos dentro de um 
intervalo determinado. As pessoas podem medir 1,28 m, 2,14 m, 1,82 m. 
Tal como visto nos exemplos acima, as variáveis podem ser qualitativas ou 
quantitativas. 
 
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2.1 Variáveis Qualitativas 
As variáveis qualitativas são aquelas que podem ser expressas em atributos. 
Atributo é tudo aquilo que é próprio, peculiar ou característico de alguém ou alguma 
coisa. 
a) Sexo - masculino e feminino. 
b) Cor - branco, preto, pardo. 
As variáveis qualitativas podem também ser classificadas em qualitativas 
nominais ou qualitativas ordinais. 
Variável Estatística Qualitativa Nominal: este tipo de variável permite apenas a 
categorização (ou separação em "sacolas" distintas) mas sem uma ordenação entre 
as categorias ou "sacolas". 
Exemplos: cor dos olhos (castanho, verde, azul, etc). Não faz sentido dizermos 
que os olhos castanhos são "maiores" ou estão em uma categoria "acima" das 
categorias de outras cores de olhos. 
Outros exemplos de variáveis qualitativas nominais: religião (católico, 
evangélico, muçulmano, ateu, agnóstico, etc); nacionalidade (brasileiro, argentino, 
chinês, russo, francês, inglês, croata, mexicano, etc); torcidas de futebol (corintianos, 
palmeirenses, flamenguistas, fluminenses, santistas, vascaínos, etc); sexo (masculino 
e feminino).Variável Estatística Qualitativa Ordinal: são variáveis que permitem que se 
estabeleça algum tipo de ordem. 
Exemplos: grau de instrução (ensino fundamental, ensino médio, ensino 
superior) ou classe social (A, B, C, D, E). 
2.2 Variáveis Quantitativas 
As variáveis quantitativas admitem apenas valores expressos em números. 
a) Média bimestral - 9,5, 10, 7,5 
b) Idade dos alunos - 8,7, 15 
Como exemplificado aqui, uma variável quantitativa pode assumir valores 
delimitados por um intervalo (contínuas) ou valores pertencentes a um conjunto 
enumerável (discreta). 
 
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 Variáveis Quantitativas Contínuas 
Quando uma variável quantitativa for capaz de assumir valores entre dois 
limites, ou seja, um intervalo delimitado, recebe o nome de contínua. 
O peso dos alunos é uma Variável Quantitativa Contínua, pois eles podem 
pesar tanto 85kg como 43,21kg. Depende da precisão da medida. 
 Variáveis Quantitativas Discretas 
Quando uma variável quantitativa apenas admitir valores pertencentes a um 
conjunto enumerável, recebe o nome de discreta. 
Dessa forma, o número de alunos de uma escola pode assumir qualquer um 
dos valores do conjunto N= {1,2,3,….,50,....}, mas nunca valores como 2,5 ou 3,66, ou 
ainda 2,321. Portanto, número de alunos é uma Variável Quantitativa Discreta. 
Por outro lado, o peso destes mesmos alunos é uma Variável Quantitativa 
Contínua, pois eles podem pesar tanto 85kg, como 43,21kg, dependendo da precisão 
da medida. 
Em regra geral, podemos afirmar que as medições dão origem às variáveis 
contínuas, enquanto que as contagens ou enumerações originam variáveis discretas. 
 
3 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
O planejamento de uma pesquisa envolve, basicamente, quatro etapas: 
delimitação do tema, definição da população e amostra, formulação do problema e 
construção da hipótese. 
 
1. Delimitação do tema 
Para que uma pesquisa seja objetiva e nos conduza a respostas específicas, 
devemos sempre pesquisar temas específicos. Quando necessário podemos 
encaminhar pesquisas paralelas, porém cada uma delas dentro de temas mais 
específicos possíveis. 
 
 
 
 
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Definição da População (Universo) e Amostra 
Uma vez determinado o Universo ou População a ser estudado, o passo 
seguinte consiste em conceituar a Amostra, ou seja, um conjunto representativo de 
todos os itens (pessoas, objetos, conhecimentos ou fenômenos) que interessam ao 
estudo de um fenômeno coletivo segundo alguma característica. 
 
Formulação do Problema 
Um Problema (questão) de pesquisa deve expressar a dúvida que queremos 
esclarecer sobre o tema delimitado, de sorte que exista a possibilidade de respostas 
através de pesquisas. 
 
Construção da hipótese 
Uma hipótese de pesquisa é a resposta que você imagina para o problema 
formulado. Ela deve conter todos os conceitos e variáveis envolvidas. Deve ser 
redigida de forma clara, sem termos ou conceitos implícitos. 
Após o cuidadoso trabalho de planejamento da pesquisa, podemos dar início à 
coleta dos dados numéricos necessários à sua descrição. 
A coleta de dados pode ser realizada de forma direta ou indireta. 
 
A coleta direta é feita de três formas: 
1) sobre elementos informativos de registro obrigatório, como nascimentos, 
casamentos e óbitos; 
2) sobre elementos pertinentes a registros ou arquivos, como os prontuários de 
alunos de uma escola; 
3) diretamente pelo pesquisador, através de inquéritos e questionários, como 
notas de verificação e de exames, censo demográfico. 
 
A coleta direta pode ser ainda classificada em relação ao fator tempo: 
 
 a) contínua – também conhecida como registro, é feita continuamente, tal 
como o registro de nascimentos, óbitos e a frequência dos alunos às aulas; 
 
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b) periódica - quando efetuada em intervalos constantes de tempo, como as 
avaliações mensais, ou bimestrais, dos alunos; 
c) ocasional - realizada de forma extemporânea, visando satisfazer 
determinada conjuntura ou uma emergência, como uma epidemia. 
Define-se uma coleta como indireta quando ela é realizada a partir de 
conclusões sobre dados coletados de forma direta, ou ainda sobre o conhecimento de 
outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. 
Coleta direta: notas bimestrais dos alunos; coleta indireta: avaliação do 
desempenho dos alunos nas provas bimestrais. 
Coleta direta: entrevista diretamente com alunos; coleta indireta: considerações 
a partir de dados extraídos das entrevistas. 
 
Tabela Primitiva – Rol 
 
Após a coleta de dados, tem início a fase de descrição dos dados. 
A forma inicial de apresentação dos dados coletados resultantes de variáveis 
quantitativas, denomina-se Tabela Primitiva. 
 Vamos voltar ao exemplo dado nas aulas anteriores: Um conjunto de 
pedagogos desenvolveu uma técnica nova para a aprendizagem da leitura, que 
encurta o tempo de aprendizagem tradicional. 
 A nossa População: é o conjunto de todos os alunos que ingressam na escola 
sem saber ler. 
A nossa Amostra: é o conjunto de alunos matriculados em algumas escolas 
selecionadas para tal estudo. Os alunos serão separados em dois grupos para se 
aplicarem as duas técnicas em confronto. 
 
Cabe a Estatística Descritiva efetuar: 
A Coleta de Dados: coletar o resultado obtido pelos alunos dos dois grupos em 
avaliações idênticas. 
Cada um dos grupos integrantes da amostra foi composto por 35 alunos do 
ensino fundamental. 
 
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A primeira avaliação aplicada aos dois grupos foi composta por 40 questões 
valendo 0,25 cada. 
Notas de 35 alunos de ensino fundamental do grupo da Nova Aprendizagem, 
na primeira avaliação. 
 
 
Da forma como os dados estão descritos, no exemplo acima, fica difícil fazer 
qualquer tipo de análise, pois os dados coletados não foram numericamente 
organizados. 
A princípio, o modo mais simples de organizar tais dados é através de uma 
certa ordenação, crescente ou decrescente. 
Notas de 35 alunos do Ensino Fundamental. 
Grupo: Nova Aprendizagem 
Avaliação: 01 
 
 
 
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A tabela acima, organizada em ordem crescente, ou decrescente, recebe o 
nome de Rol. 
A partir do Rol, com relativa facilidade, podemos fazer algumas análises, por 
exemplo, identificar que a menor nota foi 2,50 e a maior 10. Por um exame mais 
apurado, pode-se observar ainda que a maioria dos alunos obteve nota no intervalo 
entre 6 e 9. E ainda que apenas dois alunos atingiram a nota máxima (10), sendo que 
nenhum aluno obteve a nota mínima (0). 
Então podemos dizer que a organização do dos dados é algo muito importante 
– Podemos organizar em quadros ou tabelas. 
– As tabelas podem ser: simples ou de dupla entrada. 
– Tabelas simples: são aquelas que apresentam dados ou informações 
relativas a uma variável. 
– Exemplo: A REDE FUTURA DE ENSINO tem em sua Faculdade de 
Economia 30 professores. Foi levantado o tempo de serviço de cada um deles, em 
anos: 3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,9,9. 
Assim, organizando uma tabela simples, temos: 
 
 
 
Tabelas dupla entrada ou cruzada: são aquelas que apresentam dados ou 
informações relativas a pelo menos duas variáveis. 
 
 
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ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
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1 DISTRIBUIÇÃO E FREQUÊNCIA 
Frequência é o número de vezes que um dado coletado se repete. Assim 
sendo, ao dispor os dados de maneira que os valores ordenados fiquem em uma 
coluna e ao lado de cada valor apareça o número de vezes que ele se repete no rol, 
teremos então uma tabela que será denominada Distribuição de frequência. 
Frequência simples ou absoluta: 
Da apostila da Profª. Elizabeth, conforme bibliografia, vamos considerar o 
seguinte exemplo ⇛ notas dos alunos em História de uma turma do 1o. Ano do Colégio 
Máster: 2, 5, 4, 8, 8, 5, 6, 8, 6, 7, 6, 5, 9, 1, 5, 6, 9, 7, 5, 6. 
Essas notas nos levam a seguinte organizaçãoou rol. 
Considerando o exemplo acima, a nota dos alunos é a nossa variável (variável 
discreta), a que chamaremos de Xi, e o número de alunos que obtiveram essas notas 
é a frequência simples; Fi, pois, é o nosso número de observações. 
 
 
 
Notas de 35 alunos de ensino fundamental do grupo da Nova Aprendizagem, 
na primeira avaliação. 
AULAS 11 A 20 
 
 
2 
 
 
 
Agora temos uma tabela um pouco mais organizada, onde podemos visualizar 
claramente o número de vezes que uma nota se repete, porém, a estatística nos 
oferece uma outra forma de organizar esses dados a qual chamamos de Distribuição 
de Frequência com Intervalo de Classe. 
A Distribuição de Frequência com Intervalo de Classe consiste em agrupar os 
valores da variável contínua “nota” em intervalos. Cada intervalo destes é conceituado 
como intervalo de classe. 
E a frequência de cada intervalo passa a ser definida como frequência de uma 
classe. 
 
 
3 
 
 
 
O símbolo indica que o intervalo de classe vai do número à esquerda do 
mesmo até o número exatamente anterior aquele localizado à sua direita. Tal regra 
não se aplica ao último intervalo de classe da tabela, pois, caso o número que indique 
o seu limite superior integre os dados coletados, tal número incidirá na apuração da 
frequência da classe, como é o caso do exemplo acima. 
 
 
 
Vejamos um outro exemplo retirado do livro 
 
Introdução a Bioestatística de Sonia Vieira, Editora Campus 
 
Abaixo, temos uma tabela que representa o número de nascidos vivos segundo 
peso ao nascer, em quilogramas 
 
 
4 
 
 
 
Elementos de uma Distribuição de Frequência 
 
Classes de Frequência: 
Também conhecida simplesmente como Classe, as Classes de Frequência são 
intervalos de variação dos valores que integram uma variável. 
A Classe ou Classe de Frequência é simbolicamente representada pelo “i”, 
sendo i = 1,2,3,....k, onde k representa o número total de classes da distribuição. 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Limites de Classe: 
 
Como o próprio nome sugere, os Limites de Classe são os extremos da classe. 
O menor número do intervalo é o limite inferior da classe (li) e o maior número é o 
limite superior da classe (Li). 
 
 
 
Uma vez conhecidas as definições de limite inferior e superior da classe, cabe 
retomar os esclarecimentos acerca do símbolo ├-. Tecnicamente falando, os 
intervalos de classe devem respeitar os parâmetros impostos pela Resolução 886/66 
do IBGE, que assim prega: “o intervalo vai desta quantidade até menos aquela”, 
usando como símbolo para esta afirmação o “├-”, que indica a inclusão do li e a 
exclusão do Li. Assim a nota 4 não está inclusa no intervalo 02├- 04, mas sim no 
intervalo 04 ├- 06. 
 
Amplitude de um Intervalo de Classe: 
 
A Amplitude de um Intervalo de Classe, ou somente Intervalo de Classe, é a 
medida do intervalo que define a amplitude da classe. Ou seja, em palavras mais 
simples, poderíamos dizer que é a distância, ou a diferença, entre o limite inferior e o 
limite superior da classe. 
 
 
6 
 
Assim sendo, o intervalo de classe é obtido através da seguinte fórmula: hi = 
Li - li 
 
 
Ponto Médio de uma Classe: 
 
O Ponto Médio de uma Classe é justamente aquilo que sua denominação 
sugere, ou seja, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. 
A fórmula para a sua obtenção é a seguinte: 
 
 
 
 
 
Abaixo, vemos um outro exemplo retirado do livro Introdução a Bioestatística 
Vieira, Sônia 
3ª edição – 4ª tiragem Editora Campus 
 
 
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De acordo com o IBGE (1988) a distribuição dos suicídios ocorridos no Brasil 
em 1986, segundo a causa atribuída, foi a seguinte: 263 por alcoolismo, 198 por 
dificuldade financeira, 700 por doença mental, 189 por outro tipo de doença, 416 por 
desilusão amorosa, 217 por outras causas. De acordo com estas informações: 
Apresente esta distribuição em uma tabela. 
 
 
 
– Números de classes intervalares: 
 
Regra de Sturges 
Esta regra permite a determinação do número de classes de uma distribuição, 
que nos dá o número de classes em função do número de valores da variável: 
 
 
 
Onde: 
i: é o número de classes; 
n: é o número total de dados 
 
 
8 
 
Decidido o número de classes intervalares que deve ter a distribuição, devemos 
determinar a amplitude do intervalo de classe, o que conseguimos dividindo a 
amplitude total pelo número de classes: 
 
2 AMPLITUDES 
Amplitude total da Distribuição 
 
A Amplitude total da Distribuição é a diferença entre o limite superior da última 
classe e o limite inferior da primeira classe. É representada por “AT” e pode ser 
encontrada através da seguinte fórmula: 
AT = L(máx) – l(mín) 
Sempre que as classes possuírem o mesmo intervalo, poderá ser observada a 
seguinte relação: 
k =(número total de classes) = AT(amplitude total da distribuição) ÷ hi (intervalo 
de classe) 
 
 
 
 
9 
 
L(máx) = 10 
l (mín) = 02 
AT = 10 – 02 = 08 
k = AT ÷ hi 
k = 08 ÷ 02 = 04 
Amplitude Amostral: 
 
A Amplitude Amostral é a diferença entre o valor mínimo e o valor máximo da 
amostra resultante da coleta de dados. É calculada através da fórmula: 
AA = x(máx) – x(mín) 
Onde x(máx) é o maior valor da amostra e x(mín) é o menor valor da amostra. 
Vejamos um exemplo: 
Abaixo temos as Notas de 35 alunos na Avaliação 01 de Geografia do sexto 
ano do Ensino Fundamental 
Avaliação: 01 
 
 
 
 
10 
 
x(máx) = 10,00 
x(mín) = 02,50 
 
AA = x(máx) – x(mín) 
AA = 10,00 – 02,50 = 07,50 
 
O que nos leva aos seguintes valores para a Amplitude Total e Amplitude 
Amostral 
AT = 08,00 
AA = 07,50 
3 FREQUÊNCIA 
Frequência Simples ou Absoluta, ou ainda simplesmente Frequência, como já 
explicado, é o número de vezes que um dado coletado se repete, ou ainda, o número 
de valores que integram a classe. 
A Frequência Simples é representada por fi, sendo que a soma de todas as 
frequências é representada pelo símbolo: ∑ fi. 
 
 
 
 
 
11 
 
Onde frequência 1 = 04, frequência 2 = 07, frequência 3 = 10, frequência 4 = 14 
E a somatória das frequências .... 
∑ fi = 35 
Em outras palavras: De posse dos conhecimentos abordados sobre 
Distribuição de Frequência com Intervalo de Classe, até o momento, podemos 
transformar aquela tabela bruta apresentada inicialmente que continha as notas de 35 
alunos do Ensino Fundamental na Avaliação 01 
 
 
Na seguinte representação tabular técnica: 
Notas de 35 alunos do Ensino Fundamental 
Avaliação: 01 
 
 
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ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO DE CLASSE 
Quando se trata de variável discreta com uma variação relativamente pequena, 
cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe. Neste caso, a distribuição 
de frequência é denominada Distribuição de Frequência sem Intervalo de Classe. 
Vamos supor que aquela avaliação imposta aos 35 alunos do grupo de 
amostra, fosse composta por cinco questões, cada uma delas valendo 1 ponto. Isto 
quer dizer que cada aluno avaliado só poderia obter uma das seguintes notas: 0, 1, 2, 
3, 4 ou 5. 
Neste caso a variável nota passaria a ser classificada como variável 
quantitativa discreta. 
Vamos agora criar um ROL hipotético para tal situação. 
 
 
 
A partir de tal ROL, a tabela de Distribuição de Frequência sem Intervalo de 
Classe, ficaria assim: 
Notas de 35 alunos de Ensino Fundamental 
AULA 21 A 30 
 
 
2 
 
 
 
Aplicando as frequências vistas na última aula à nossa tabela de Distribuição 
de Frequência sem Intervalo de Classe, encontraríamos: 
Notas de 35 alunos de Ensino Fundamental 
 
 
 
 
 
3 
 
2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
Uma Distribuição de Frequência pode ser representada graficamente pelo 
histograma, pelo polígono de frequência e pelo polígonode frequência acumulada 
também conhecido por Ogiva de Dalton. Qualquer um destes três gráficos 
mencionados é construído da mesma forma: Linha Horizontal, que são os valores da 
variável e Linha Vertical, que são as frequências. 
 
Histograma: 
 
O Histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas 
bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios 
coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. As larguras dos retângulos 
equivalem às amplitudes dos intervalos de classe. A altura de cada retângulo deve ser 
proporcional às frequências das classes. 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
Polígono de Frequência: 
 
O Polígono de Frequência é um gráfico em linha, sendo as frequências 
marcadas sobre as perpendiculares ao eixo horizontal levantadas pelos pontos 
médios do intervalo de classe. Em outras palavras, as junções são formadas pelo 
ponto médio da classe na vertical, com a frequência da classe na horizontal. 
Para realmente termos um polígono, devemos ligar os extremos da linha obtida 
aos pontos médios da classe anterior e da posterior à última, da distribuição. 
Por exemplo, se o limite inferior de intervalo da primeira classe é 02 e o limite 
superior da última classe é 10, o polígono será encerrado em 01 e 11. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Polígono de Frequência Acumulada: 
 
O Polígono de Frequência Acumulada é traçado marcando-se as frequências 
acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos 
correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. 
 
 
 
 
6 
 
Representação Gráfica de uma Distribuição de Frequência sem Intervalo 
 
 
 
Vamos dar continuidade ao assunto. O tema é o mesmo, mas a distribuição de 
frequência não terá intervalo. Vejamos: 
A Distribuição de Frequência sem intervalo de classe é composta por uma 
variável discreta com uma variação relativamente pequena, cada valor pode ser 
tomado como um intervalo de classe. Ela pode ser representada graficamente por um 
diagrama onde cada valor da variável é descrito por um segmento de reta vertical e 
de comprimento proporcional à respectiva frequência. 
Exemplo: 
 
 
 
 
7 
 
 
3 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
Para tornar tais explicações mais fáceis de assimilar, para a elaboração de 
cada um dos gráficos vamos adotar o exemplo abaixo, cujos dados foram coletados 
junto ao site: www.inep.gov.br. 
 
 
http://www.inep.gov.br/
 
 
8 
 
 
 
Gráfico Estatístico: 
 
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo 
objetivo consiste em produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão 
mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os gráficos falam mais rápido à 
compreensão que as séries. 
Para tornarmos possível uma representação gráfica, estabelecemos uma 
correspondência entre os termos da série e de uma determinada figura geométrica, 
de modo que cada elemento da série seja representado por uma figura proporcional. 
 
Diagrama: 
 
Os diagramas são gráficos geométricos de, no máximo, duas dimensões. Para 
sua construção, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano. 
O sistema cartesiano utiliza duas retas perpendiculares. As retas são os eixos 
coordenados. O ponto de intersecção é a origem. O eixo horizontal é chamado eixo X 
ou eixo das abscissas, e o vertical é conhecido por eixo Y ou das ordenadas. 
Os principais diagramas são: Gráfico em linha ou curva, gráfico em colunas ou 
em barras e o Gráfico em Setores. 
 
 
 
 
 
9 
 
Gráfico em Linha ou em Curva 
 
O gráfico em linha faz uso da linha poligonal para representar a série estatística, 
constituindo uma aplicação do processo de representação das funções num sistema 
de coordenadas cartesianas. 
Para elaborar o gráfico em linha, fazendo uso do exemplo colhido junto ao 
Instituto Nacional de Estudos Pesquisas Educacionais – INEP, vamos adotar como 
abscissas os tipos de avaliações, e como ordenadas as médias obtidas pelas escolas 
da cidade de Santos. 
Assim sendo, cada tipo de avaliação transcrita no eixo X, junto com a respectiva 
média no eixo Y, formarão um par (X, Y), que poderá ser representado num sistema 
cartesiano. 
Determinados, graficamente, todos os pontos da série, utilizando as 
coordenadas (X, Y), unindo todos estes pontos, dois a dois, por segmentos de reta, o 
que irá originar uma poligonal. Tal poligonal é justamente o gráfico em linha ou em 
curva correspondente ao exemplo adotado. 
 
 
. 
 
 
10 
 
Como o eixo X inicia de um intervalo entre 0 e a primeira média, superior à 
escala entre os demais intervalos, utilizamos o símbolo ( ) acima para indicar tal 
situação. 
Analisando o gráfico acima, podemos perceber que o desempenho dos alunos 
avaliados foi positivo em redação, visto que a Média Total cresce quando os 
resultados da Redação são acrescidos àqueles obtidos na Prova Objetiva. 
 
Gráfico em colunas ou em barras: 
 
O gráfico em colunas ou em barras são representados por meio de retângulos, 
dispostos verticalmente em colunas, ou horizontalmente em barras. Quando em 
colunas, os retângulos possuem a mesma base, sendo que as alturas são 
proporcionais aos seus respectivos dados. 
Quando em barras, os retângulos possuem a mesma altura, sendo que os 
comprimentos são proporcionais aos seus respectivos dados. 
Dessa maneira, estaremos assegurando a proporcionalidade entre as áreas 
dos retângulos e dados estatísticos. 
 
Gráfico de Colunas 
 
 
 
 
 
11 
 
Analisando o gráfico acima podemos, fácil e claramente, perceber que a Média 
Total, ou seja, considerando os resultados na prova objetiva e na redação dos alunos 
avaliados na cidade de Santos, foi superior à Média Nacional e Estadual. 
 
Gráfico em barras: 
 
 
 
Do mesmo modo que no gráfico em colunas, podemos observar que o 
desempenho dos alunos concluintes do ensino médio, no ano de 2005, no ENEM, das 
escolas da cidade de Santos foi superior à média nacional e estadual. Isto 
considerando apenas a prova objetiva. 
 
 
 
 
 
12 
 
Gráfico em colunas ou em barras múltiplas: 
 
O gráfico em colunas ou em barras múltiplas é representado por retângulos, 
dispostos verticalmente em colunas, ou horizontalmente em barras. É empregado, 
usualmente, quando precisamos representar, simultaneamente, dois ou mais 
fenômenos estudados com o propósito de comparação. 
 
Gráfico em Setores 
 
O Gráfico em Setores é um tipo de gráfico construído com base em um círculo, 
e é empregado sempre que desejarmos ressaltar a participação de um certo dado em 
relação ao total. 
O total é representado pelo círculo em sua íntegra. As partes deste total são 
representadas ao dividi-lo em setores. Os setores têm suas áreas respectivamente 
proporcionais aos dados da série. 
A área de cada setor é obtida através da regra de três simples e direta, 
lembrando que o total do gráfico corresponde sempre a 360˚. 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FACULDADE DOM ALBERTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SANTA CRUZ DO SUL – RS
 
1 
 
1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
As Medidas de Tendência Central, recebem tal nome porque os dados 
observados tendem, em regra geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Tais 
medidas são definidas como as medidas típicas ou representativas de um conjunto de 
dados. Dentre as Medidas de Tendência Central destacam-se: a média aritmética, a 
mediana e a moda. 
 
Média Aritmética: 
 
A Média Aritmética é o ponto de qualquer distribuição em torno do qual se 
equilibram as diferenças positivas e negativas. Neste sentido, situa-se entre o valor 
máximo e o mínimo da distribuição, podendo inclusive vir a ser um número não 
presente na distribuição. 
Quando comparada entre dois grupos possibilita algumas interpretações, 
identificado qual o grupo com resultados mais ou menos elevados.O cálculo da média aritmética é feito através da soma de todos os valores da 
distribuição dividida pelo número total de observações da série, em outras palavras, é 
o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número total deles. 
 
A fórmula adotada para calcular a Média Aritmética é: 
 
Média Aritmética de Dados não agrupados: 
A média aritmética dos dados não agrupados é apurada através da média 
aritmética simples. 
Exemplo: 
 
AULAS 31 A 40 
 
2 
 
a) Número de participantes de nove Escolas Estaduais da Cidade de 
Santos no ENEM/2005: 11 – 46– 56 – 62 – 65 – 80 – 104 – 130 – 166. 
(Fonte: INEP) 
 
 
Neste exemplo, a média aritmética é um número pertencente à série de dados 
que ele representa, porém, como dito acima, a média pode ser um número que não 
integra a série. 
Número de participantes de seis Escolas Privadas da Cidade de Santos no 
ENEM/2005: 29 – 21 – 07 – 37 – 84 – 26. (Fonte: INEP) 
 
 
 
Desvio em relação à média: 
 
Desvio em relação à média(di) é a diferença entre cada elemento da série e a 
média que o representa. Calculada através da fórmula: 
 
 
Para um melhor entendimento sobre o desvio em relação à média, vamos 
relembrar a definição da média acima transcrita: “A Média Aritmética é o ponto de 
qualquer distribuição em torno do qual se equilibram as discrepâncias positivas e 
negativas”. Apliquemos sua fórmula sobre os exemplos propostos: 
 
3 
 
Exemplo: 
 
 
2 PROPRIEDADES DA MÉDIA 
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é 
nula. Ou seja, a soma de todos os desvios de uma série é igual a ZERO: ∑ di = 0. 
Exemplo: 
a) (-69) + (-18) + 24 + (-34) + (-15) + 50 + (-24) + 86 = 0 
b) (-05) + (-13) + (-27) + 03 + 50 + (-08) = 0 
 
2ª propriedade - Somando-se, ou subtraindo-se, uma constante (c) de todos os 
valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada, ou diminuída, dessa 
constante. Ou seja, se somarmos, ou diminuirmos, um valor constante a cada uma 
das variáveis da série, por exemplo, 2 ou -2, teremos a média acrescida, ou reduzida, 
em exatamente tal valor: 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Exemplo 
 
 
3ª propriedade: Multiplicando-se, ou dividindo-se, todos os valores de uma 
variável por uma constante, a média do conjunto fica multiplicada, ou dividida, por tal 
constante. 
Exemplo: 
 
 
 
Média Aritmética de Dados Agrupados: 
Sem intervalo de Classe: 
A média aritmética dos dados agrupados sem intervalo de classe é apurada 
através da média aritmética ponderada. Esta é a fórmula usada para o cálculo: 
 
5 
 
 
Notas de 25 alunos em avaliação mensal cujas notas variam entre 0 e 5: 
 
 
 
 
 
6 
 
Cabe esclarecer que mesmo x sendo uma variável discreta, o valor médio 2,6 
sugere que a maioria dos alunos obtiveram nota entre 2 e 3. 
Com intervalo de Classe: 
No cálculo da média aritmética dos dados agrupados com intervalo de classe, 
leva-se em conta que todos os valores incluídos em um certo intervalo de classe 
coincidem com seu ponto médio. Esta é a fórmula: 
 
 
Vamos agrupar a distribuição acima em intervalos: 
 
 
 
Assim sendo: 
 
7 
 
 
3 MODA E MEDIANA 
A Moda é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. 
 
 
 
 
 
Neste exemplo, a nota modal é 5, visto que é a nota que mais se repete entre 
os alunos. 
 
8 
 
 
A Moda em dados não agrupados: 
 
Quando tratamos com dados não agrupados, a moda é facilmente identificada. 
Na série de dados: 3, 3, 3, 4, 5, 5, obviamente a moda é 3. 
Vale destacar que existem séries de dados sem números que se repetem. A 
série de dados: 1, 2, 3, 4, 5, é chamada amodal. Da mesma forma, há séries com 
números que se repetem identicamente. A série de dados: 1, 1, 4, 4, 5, é chamada 
bimodal, pois tem duas modas, o 1 e o 4. 
 
A Moda em dados agrupados: 
 
Sem intervalo de classe: 
Uma vez agrupados os dados, a moda é imediatamente localizada. 
Como é o caso da tabela anterior, da onda a moda é, evidentemente “5”. 
Com intervalo de classe: 
A classe com maior frequência é denominada classe modal, ou seja, o valor 
dominante estará compreendido entre os limites da classe modal. 
O método mais simples para se calcular a moda consiste em somar os limites 
da classe e dividir por dois: 
Mo = li + Li, onde li é o limite inferior e Li é o limite superior da classe 
 2 
O resultado de tal fórmula é denominado Moda Bruta. 
 
 
 
9 
 
Como a frequência maior está na segunda classe, a Moda será assim 
calculada: Mo = (2+4) /2 = 3 
li = 02 
Li = 04 
Mediana (Md) 
 
A Mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de 
grandeza, é o valor situado de tal forma que o separa em dois subconjuntos de mesmo 
número de elementos. Ou seja, é o número que divide uma série de valores 
exatamente ao meio. 
 
Exemplo: 
 
a) Notas de 11 alunos: 2, 3, 6, 9, 10, 4, 5, 2, 1, 8, 7. 
O primeiro passo para o cálculo da mediana consiste em ordenar tais dados: 
1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 
Em seguida, observamos o número que se situa exatamente ao centro da série 
de valores expostos em ordem crescente. 
No caso, a mediana é o 5, visto que a sua esquerda ficará cinco números e a 
sua direita mais cinco números. 
 
Temos então: Md = 5 
Em nosso exemplo, a série é composta por onze valores, então fica fácil 
determinar a Mediana. Porém, como seria a apuração da Mediana no caso de uma 
série com dez valores? 
Para séries com número de valores par, convencionou-se utilizar o chamado 
ponto médio. 
a) 1, 2, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10. 
Nesta série de dados temos dois valores centrais, daí o cálculo do ponto médio 
será encontrado através da média aritmética entre os dois valores centrais 4 e 6. 
Assim sendo: 
 
Md = (4+6) /2 = 5 
 
10 
 
Neste exemplo, podemos notar que o valor da mediana não fará parte da série 
de dados quando o número de valores de tal série for par. 
Observações: 
a) A média aritmética e a mediana nem sempre terão o mesmo valor. 
b) A mediana depende da posição física dos dados ordenados, e não dos 
valores em si. Essa é uma das marcantes distinções entre média e mediana. Exemplo: 
1, 2, 3, 4, 5 => Mediana = 3 e Média = (1+2+3+4+5) /5 = 3 
 
Mediana em dados agrupados: 
 
A forma de apuração da mediana em dados agrupados não difere muito 
daquela aplicada em dados não agrupados. 
 Para o cálculo da mediana em dados agrupados, o primeiro passo consiste 
em encontrarmos a frequência acumulada da distribuição para, posteriormente, 
determinarmos um valor que separe tal distribuição em dois grupos com o mesmo 
número de elementos. Neste sentido, deveremos utilizar a fórmula: 
 
Sem intervalo de classe: 
 
Para entender melhor o cálculo da mediana em dados agrupados sem intervalo 
de classe, vamos adotar o seguinte exemplo: 
 
 
 
 
11 
 
Sendo = 35/2 = 17,5, o valor de Fi que mais se aproxima de 17,5 é 
17. Na distribuição o valor 17 equivale à nota 4, que, observando, podemos perceber 
claramente ser o valor que divide a tabela em duas partes iguais, com duas classes 
abaixo e duas classes acima. 
Neste exemplo, o número de classes é ímpar, porém, no caso de uma 
distribuição com número de classe par, o cálculo da mediana será elaborado da 
seguinte fórmula: Md = (xi + xi + 1) / 2. Sendo xi os valores correspondentes à 
frequência acumulada encontrada, é a seguinte. 
 
 
 
Sendo Md = (x3 + x4 + 1) / 2 = (4+5+1) /2 = 5. 
O valor de Fi se encontra entre 17 e 20. 
Na distribuição o valor 17 equivale à nota 4, bem como, 20 corresponde à nota 5, que, 
observando, podemos perceber claramente serem os valores que dividem a tabela 
em duas partes iguais, com duas classes abaixo e duas classes acima. 
4 MEDIANA EM DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSE 
No caso da apuração da mediana em dados agrupados com intervalo de 
classe, o problema consiste em localizar o intervalo de classe em que está contida a 
 
12 
 
mediana. Nestecaminho, o primeiro passo reside na determinação da classe 
mediana. 
Classe mediana é aquela correspondente à frequência acumulada 
imediatamente superior ao resultado da fórmula: 
 
Exemplo: 
 
 
Aplicando a fórmula, teremos: 
 
 
Portanto, a classe mediana será aquela cuja frequência acumulada é superior 
a 12,5. Considerando que o valor de Fi mais próximo de 12,5 é F3 = 20, que equivale 
ao intervalo da segunda classe, podemos afirmar que a terceira classe é a classe 
mediana da distribuição. 
Ainda neste exemplo, o próximo passo consiste em aplicar a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
13 
 
Onde: 
- li = limite inferior da classe mediana 
- F(ant) = frequência acumulada anterior à classe mediana 
- fi = frequência simples da classe mediana 
- hi = amplitude da classe mediana 
Assim sendo: 
Md = 02+[ (25÷2) -05] x 02 = 2+(12,5-5) x 2 = 2 + (7,5x2) /15 = 
15 15 
= 2+(15/15) = 2+1 
Md = 3 
 
Passos para a apuração da Mediana: 
1) Calcular os valores de Fi(frequência acumulada); 
 
 2) Calcular 
3) Localizar a classe mediana 
4) A partir da classe mediana aplicamos a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FACULDADE DOM ALBERTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SANTA CRUZ DO SUL – RS
 
1 
 
1 DESVIO PADRÃO 
Toda totalidade de valores da variável possui uma variância, que é simbolizada 
pelo σ2 (sigma ao quadrado). 
Esta variância não é nada clara ou fácil de identificar. Por esta razão, temos de 
utilizar uma medida que possibilite tal identificação. Esta medida é conhecida como 
desvio padrão e representa a raiz quadrada positiva da variância. 
A variância apura a distância média entre os resultados da série e a sua média. 
Estas distâncias são elevadas ao quadrado, para que uma distância negativa não 
anule uma distância positiva. 
Assim, o desvio padrão e a variância medem o grau de dispersão dos valores 
em torno da média. 
Desvio-Padrão em Dados Não Agrupados 
Fórmula : S= √(∑xi²÷n)-(∑xi÷n)² 
Onde: 
S = Desvio Padrão 
Xi = é cada conteúdo da variável 
Xi² = é cada conteúdo da variável ao quadrado 
N = é a quantidade de conteúdos de uma variável 
Número de matrículas dos alunos no ensino médio de primeira à quarta série, 
no Brasil: 
 
 
 AULA 41 A 50 
 
 
2 
 
 
 
 
1.1 Desvio-Padrão em Dados Agrupados 
Desvio-Padrão em Dados Agrupados 
Sem intervalo de classe: 
Fórmula 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Onde: 
S = Desvio Padrão 
fi = é frequência simples 
Xi = os valores das variáveis 
N = é o total de fi 
 
 
 
 
Com intervalo de classe: 
Fórmula: 
Onde: 
S = Desvio Padrão 
 
 
4 
 
fi = é frequência simples 
Xi = ponto médio 
N = é o total de  
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
2 PROBABILIDADE 
Antes de explicarmos probabilidade, cabe uma prévia explanação sobre alguns 
conceitos importantes para a compreensão de probabilidade. 
Em quase tudo que integra a vida, nosso dia a dia, podemos encontrar o famoso 
acaso. 
Por exemplo, “é provável que meu time ganhe”; resultados possíveis: 
a) derrota, mesmo que seja favorito; 
b) vitória; 
c) empate. 
 
 
6 
 
O fenômeno cujo resultado final é influenciado pelo acaso é chamado 
experimento aleatório. Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos 
várias vezes, sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. A 
cada fenômeno ou experimento correspondem resultados possíveis. 
Ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: cara ou coroa. Já no 
caso de lançarmos um dado, teremos seis resultados possíveis. 
Nesses dois exemplos o espaço amostral será representado da seguinte forma: 
Moeda – S = {Ca,Co} 
Dado – S={1,2,3,4,5,6} 
Espaço Amostral são os resultados possíveis em um certo experimento 
aleatório. É representado por S. 
Se ao invés de lançarmos uma moeda, lançarmos duas moedas. 
S={(Ca, Ca ),( Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} 
Cada um dos elementos de S recebe o nome de ponto amostral. 
Cada um dos subconjuntos de S recebe o nome de evento. 
São chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um 
experimento aleatório. 
 
Fórmula da Probabilidade: 
 
Probabilidade de um evento (A) 
Onde : 
n(A) = é o número de elementos de A 
n(S) = é o número de elementos de S 
1) Retomando o exemplo da moeda, vamos calcular a probabilidade de dar 
cara. 
(A) Chances de dar cara = 1 
(S) Resultados possíveis = {CA,CO} = 2 
então: 
P(A) = ½ = 0,50 ou 50% 
 
2) No caso do dado, qual a possibilidade de obtermos um par? 
(A) Pares Possíveis = {2,4,6} = 3 
 
 
7 
 
(S) = Resultados Possíveis = {1,2,3,4,5,6} = 06 
então: 
 P(A) = 3/6 = 0,5 ou 50% 
 
3) Ainda sobre o dado, qual a possibilidade de obtermos um número inferior a 5? 
 
(A) Números inferiores a 5 = {1,2,3,4} = 04 
(S) = Resultados Possíveis = {1,2,3,4,5,6} = 06 
então: 
P(A) = 4/6 = 0,6667 ou 66,67% 
 
Eventos Complementares: 
 
Como vimos, um evento pode ocorrer ou não ocorrer. Sendo p a probabilidade de que 
venha a ocorrer e q a probabilidade de que ele não ocorra. Para cada evento sempre 
existirá a relação: p+q=1 => q=1-p. 
 
Qual a possibilidade de obtermos um número inferior a 5 no lançamento de um dado? 
(A) Números inferiores a 5 = {1,2,3,4} = 04 
(S) = Resultados Possíveis = {1,2,3,4,5,6} = 06 
então: 
P(A) = 4/6 
Portanto p=4/6 e q=1-4/6. 
Então q = 1 – 0,6667 = 0,3333 ou 33,33% 
Em outras palavras, a possibilidade de um número ser inferior a 5 no lançamento de 
um dado é 66,67%, bem como a possibilidade de não sair um número inferior a 5 é 
igual a 33,33%. 
 
Eventos Independentes: 
Dois eventos são independentes quando a realização ou não realização de um dos 
eventos não afeta a probabilidade do outro, e vice-versa. 
 
 
8 
 
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles sejam realizados 
simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois 
eventos. 
Ou seja, p = p1 x p2. 
 
Dois dados são lançados. 
Qual a chance de obtermos 1 em cada dado? 
Primeiro dado: 
(A) Chance de sair 1 = 01 
(S) = Resultados Possíveis = {1,2,3,4,5,6} = 06 
então: P1(A) = 1/6 = 0,1667 ou 16,67% 
Segundo dado: 
(A) Chance de sair 1 = 01 
(S) = Resultados Possíveis = {1,2,3,4,5,6} = 06 
então: P2(A) = 1/6 = 0,1667 ou 16,67% 
Logo, a probabilidade de obtermos simultaneamente 1 em cada dado é igual a: 
p = p1(A) x p2(A) = 0,1667 x 0,1667 = 0,0277 ou 2,77%. 
 
Eventos Mutuamente Exclusivos: 
 
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um 
exclui a realização do(s) outro(s). A possibilidade de que um ou outro ocorra é igual a 
soma das possibilidades de que cada um dos eventos se realize. Ou seja: p = p1 + 
p2. 
No lançamento de uma moeda, a probabilidade de dar cara como resultado 
exclui, automaticamente, a possibilidade de sair coroa no mesmo lançamento. 
Ou seja, os eventos cara e coroa são mutuamente exclusivos. 
Ao aplicarmos a fórmula p = p1 + p2, teríamos: 
Cara: 
(A) Chance de sair cara = 01 
(S) = Resultados Possíveis = {Cara, Coroa} = 02 
então: P1(A) = 1/2 = 0,5 ou 50% 
Coroa: 
 
 
9 
 
(A) Chance de sair coroa = 01 
(S) = resultados possíveis = {cara, coroa} = 2 
Então, P(A) = ½ = 0,5 ou 50% 
 
Exercícios de Fixação 
 
Numa avaliação com notas inteiras entre 0 e 5, qual a chance de um aluno 
obter uma nota 3? 
De 0 a 5, temos apenas uma nota 3 possíveis, tendo em vista que o 3 vai 
aparecer apenas uma vez no conjunto. Sendo assim, temos: 
P(A) = Chance de tirar nota 3 na prova = {03} = 01 
 
No grupo de 0 a 5, nós temos 6 números. Logo, o aluno pode ter 6 possíveis 
notas: 
P(S) = Notas possíveis = {0,1,2,3,4,5} = 06 
Então, dividindo as chances pelo número de possibilidade, temos: 
P= 01/06 = 0,1667 ou 16,67% 
 
Qual a chance de alcançar uma nota maior que 3? 
P(A) = Chance de tirar nota maior que3 na prova = {4,5} = 02 
P(S) = Notas possíveis = {0,1,2,3,4,5} = 06 
Então: P= 02/06 = 0,3333 ou 33,33% 
 
Qual a possibilidade de tirar nota 02 na avaliação, e não tirar 02 nesta mesma 
avaliação? 
 
A chance de alcançar a nota 02 é 1/6 ou 0,1667. Sendo assim, a chance de 
não tirar nota 02 é q= 01-0,1667 = 0,8333 ou 83,33%. Em outras palavras, há 16,67% 
de chance de tirar nota 02 e 83,33%, que é o restante, de chance de não tirar. 
 Considerando que este aluno, além da avaliação acima, participe de mais uma 
outra avaliação oral com notas inteiras entre 0 e 5, qual a possibilidade de alcançar 
nota 3 na primeira e 2 na segunda? 
P1(A) = Chance de tirar nota maior que 3 na prova = {3} = 01 
 
 
10 
 
P1(S) = Notas possíveis = {0,1,2,3,4,5} = 06 
Então: P= 01/06 = 0,1667 ou 16,67% 
P2(A) = Chance de tirar nota maior que 2 na prova = {2} = 01 
P2(S) = Notas possíveis = {0,1,2,3,4,5} = 06 
Então: P= 01/06 = 0,1667 ou 16,67% 
Logo: p= p1 x p2 = 0,1667 x 0,1667 = 0,0278 = 2,78% 
3 CORRELAÇÃO 
Quando consideramos variáveis do tipo peso e altura de um grupo de pessoas, 
procuramos verificar se há alguma relação entre este par de variáveis e qual o grau 
desta possível relação. Por exemplo, em regra, quanto maior a altura maior deve ser 
o peso da pessoa. 
Caso tal relação estudada seja entre variáveis quantitativas, a correlação é o 
instrumento adequado para descobri-la e medi-la. 
Uma vez caracterizada a relação, o próximo passo é descrevê-la através de 
uma função matemática. 
 
Relação funcional e relação estatística: 
 
As relações entre o perímetro e o lado de um quadrado são estudadas através 
da fórmula: 2p=4ℓ, onde 2p = perímetro e ℓ = lado. Já no caso da relação entre peso e 
altura, o estudo entre elas requer uma precisão muito maior, pois as pessoas podem 
ter peso e altura iguais, pesos iguais e alturas diferentes, pesos diferentes e alturas 
iguais, embora a tendência natural seja: quanto maior a altura, maior o peso. 
As relações do tipo perímetro e lado são chamadas funcionais. As relações do 
tipo peso e altura são chamadas estatísticas. Quando duas variáveis estão ligadas 
por uma relação estatística, dizemos que há correlação entre elas. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Diagrama de Dispersão: 
 
 
 
Da tabela acima vamos obter a seguinte distribuição: 
 
 
 
 
12 
 
 
 
Representando em um sistema coordenado cartesiano ortogonal, os pares 
ordenados (xi, yi), obtemos uma nuvem de pontos denominada: Diagrama de 
Dispersão. 
4 COIFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR 
O instrumento adotado para a medida da correlação linear é o chamado 
coeficiente de correlação. Tal coeficiente deve indicar o grau de intensidade da 
correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação, ou seja, negativo 
ou positivo. Para a apuração de tal correlação faremos uso do coeficiente de 
correlação de Pearson, que é dado por: 
 
 
 
13 
 
 
 
Esta fórmula, assim, à primeira vista, nos parece algo complicado, de difícil 
resolução, porém, tomemos um exemplo de aplicação sobre distribuição de frequência 
para podermos perceber, que sua compreensão é muito mais fácil do que parece. 
Considerando como população, todas as escolas de Santos que participaram 
do ENEM/2005, e como amostra um grupo formado por dez destas instituições de 
ensino, obtemos a seguinte distribuição: 
 
 
 
 
14 
 
Para efeito de didática, estipulamos uma legenda para cada coluna: A,B,C,D,E. 
Onde A(xi) são os valores da variável Prova Objetiva, e B(yi) são os valores da Média 
Total de cada Escola da cidade de Santos, no ENEM/2005. 
Para calcularmos o coeficiente de correlação precisamos encontrar os valores 
de xi.yi, coluna C, que corresponde a cada valor de xi multiplicado por seu respectivo 
yi. 
Na coluna D, temos xi² que equivale a cada valor da coluna A(xi) elevado ao 
quadrado. O mesmo acontece com a coluna E, onde temos yi ² que equivale a cada 
valor da coluna B(yi) elevado ao quadrado. 
Agora ficou mais fácil compreender a fórmula do coeficiente de correlação de 
Pearson: 
 
 
 
Onde: 
 
n = quantidade de escolas que integram a amostra = 10 
(∑xi ) = total da coluna A = 388,91 
(∑yi ) = total da coluna B = 459,61 
∑ xi.yi = total da coluna C = 18.507,74 
 ∑xi ² = total da coluna D = 15.903,17 
 ∑yi ² = total da coluna E = 21.645,09 
 Assim, temos: 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
Os valores limites de r são -1 e +1, isto é, o valor de r pertence ao intervalo [-1, 
+1]. 
 
Dessa forma: 
a) se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então r = + 1; 
b) se a correlação é perfeita e negativa, então r = -1; 
c) se não há correlação entre as variáveis, então r = 0. 
 
Logo: 
a) se r = +1, há uma correlação perfeita e positiva entre as variáveis; 
b) se r = -1, há uma correlação perfeita e negativa entre as variáveis; 
c) se r = 0, ou não há correlação entre as variáveis, ou a relação, que acaso exista, 
não é linear. 
Vamos agora calcular o coeficiente de correlação relativo à seguinte tabela, 
onde constam as notas de dez alunos em matemática e estatística. Como já 
aprendemos o modo mais prático para obtermos r é abrir colunas correspondentes 
aos valores de xi.yi, xi ², yi ². Assim: 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
Sendo r = 0,91, podemos afirmar que há uma correlação linear positiva 
consideravelmente significante entre as duas variáveis. 
 
FACULDADE DOM ALBERTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SANTA CRUZ DO SUL – RS
 
1 
 
1 ESTATÍSTICA BÁSICA, PROBABILIDADE 
Volume 1 
Morettin, Luiz Gonzaga 
 7ª Edição 
 Editora Makron Books 
 
A tabela abaixo pretende verificar se existe uma relação entre a renda familiar 
e o número de aparelhos de TV em cores em cada lar brasileiro: 
Sejam X: renda familiar em R$1.000,00 e Y: nº de aparelhos de TV em cores 
 
Considere o quadro: 
 
 
Verificar, usando o coeficiente de correlação ρ, se há dependência entre as 
duas variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULAS 51 A 60 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Há dependência Linear entre X e Y 
Parece complicado à primeira vista, mas, se você praticar tudo isso, ficará mais 
simples. Refaça os exemplos para ver se assimilou tudo. Caso tenha dúvida, converse 
com seus amigos no Ambiente Virtual de Aprendizagem ou entre em contato conosco! 
 
 
 
Correlação Linear: 
 
Os pontos obtidos formam uma elipse em diagonal. Podemos correlação linear. 
Cada correlação está associada como imagem relações funcionais são chamadas 
relações perfeitas. então afirmar que houve uma de uma relação funcional. 
As relações funcionais são chamadas relações perfeitas. 
 
 
 
4 
 
 
 
A correlação linear pode ser: 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2 REGRESSÃO 
Sempre que desejamos estudar determinada variável em relação à outra, 
fazemos uma análise de regressão. A análise de regressão tem por objetivo 
descrever, através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo 
de n observações da mesma. A variável sobre a qual se pretende fazer uma estimativa 
recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável 
independente. 
Supondo que X seja a variável independente e Y seja a variável dependente, 
obtemos a função definida por: Y = aX + b, onde a e b são os parâmetros. 
A fórmula Y = aX + b permite o ajustamento de uma reta ao diagrama de 
dispersão. 
Vamos agora calcular os valores de a e b: 
 
 
Onde: 
n = número de observações 
 
 
Porém, antes disso precisamos montar a tabela com os valores de xi, yi, xi.yi e 
xi²: 
 
 
6 
 
 
 
 
 
b = 6,25 - 0,9048 x 5,5 = 6,25 - 4,9764 = 1,2736 
 
 
 
7 
 
 
3 AJUSTAMENTO DE RETA, INTERPOLAÇÃO E EXTRAPOLAÇÃO 
Visando traçarmos uma reta no gráfico de dispersão, basta definir dois pontos 
desta. 
Para encontrarmos o primeiro ponto,vamos assumir que o valor de X é ZERO, 
então a fórmula ficaria: 
Y = (0,90 x 0) + 1,27 
Y = 0 + 1,27 
Y = 1,27 
Logo para X = 0 o valor de Y será 1,27, então temos que o primeiro ponto para 
traçarmos a reta será (0;1,27), ou seja no cruzamento onde a reta x equivale a 0 e a 
reta Y é igual a 1,27. 
Na obtenção do segundo ponto, vamos propor que X seja igual a 5. 
Y = (0,90 x 5) + 1,27 
Y = 4,50 + 1,27 
Y = 5,77 
Logo para X = 5 o valor de Y será 5,77, então temos que o segundo ponto para 
traçarmos a reta será (5;5,77), ou seja no cruzamento onde a reta x equivale a 5 e a 
reta Y é igual a 5,77. 
 
 
 
8 
 
 
 
O ponto Ο corresponde ao cruzamento entre X=0 e Y=1,27, ao passo que o 
ponto Ο corresponde ao cruzamento entre X=5 e Y=5,77. 
 
Interpolação e Extrapolação: 
 
Interpolação ocorre quando utilizamos um valor que não integra a variável, mas 
está dentro do intervalo de valores desta, na fórmula: Y=aX+b. 
Extrapolação ocorre quando utilizamos um valor que não integra a variável, e 
não está dentro do intervalo de valores desta, na fórmula: Y=aX+b 
 
 
 
 
9 
 
 
 Y = 0,90X + 1,27 
 
 Extrapolação: 
 
O intervalo de X vai de 2 a 9, então tomaremos X=1 na fórmula acima. 
Y = 0,9 x 1 + 1,27 
Y = 2,17 
 
Neste caso, como 5 E [2,9], dizemos que foi feita uma extrapolação. 
 
Interpolação: 
 
Para um exemplo de interpolação, vamos supor que o número 5 não seja um 
valor da variável x. 
X= 5 => Y= 0,90 x 5 + 1,27 = 4,50 + 1,27 = Y = 5,77 
Neste caso, como 5 E [2,9], dizemos que foi feita uma interpolação. 
4 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Considerando as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, podemos 
afirmar que a Distribuição Normal é uma das mais adotadas. A maioria das pesquisas 
que são veiculadas através de jornais e revistas faz uso de variáveis socioeconômicas. 
Tais variáveis tendem a corresponder à Distribuição Normal, ou se aproxima bastante 
desta. 
A Distribuição Normal é assim representada graficamente: 
 
 
 
 
10 
 
 
A partir do gráfico acima representado poderemos rápido e facilmente perceber 
ou identificar as seguintes propriedades da Distribuição Normal: 
 
 A variável X é capaz de assumir qualquer valor real; 
 A Distribuição Normal é representada graficamente por meio de uma 
curva que lembra a forma de um sino; 
 Curva da Distribuição Normal é simétrica em torno da média x que é 
denominada como Curva Normal ou Curva de Gauss; 
 A Área Total da Distribuição Normal, que têm como limites as dimensões 
da curva de um lado e o eixo das abscissas de outro, será igual a 1, visto 
que tal área irá corresponder à probabilidade de uma variável aleatória 
X assumir qualquer valor real; 
 A Curva Normal é Assintótica em relação aos eixos das abscissas, ou 
seja, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, no 
entanto, alcançá-lo ou tocá-lo; 
 Uma vez que a curva será simétrica em torno de x, a probabilidade de 
ocorrer um valor maior do que a média também será idêntica à 
probabilidade de ocorrer um valor inferior ao da média. Em outras 
palavras, a probabilidade de X ser maior que a média será 0,5, da 
mesma maneira que a probabilidade de X ser menor que a média será 
igual a 0,5. 
 
 Uma distribuição normal fica completamente especificada por dois 
parâmetros: sua média e seu desvio-padrão, ou seja, existe uma única 
distribuição normal para cada combinação de uma média e um desvio-
padrão, assim o número de distribuições normais é ilimitado. 
 
Ao estudarmos uma variável aleatória com distribuição normal, a principal 
intenção será determinar a probabilidade de a mesma assumir um valor dentro de 
certo intervalo. 
 
 
 
11 
 
Exemplo: 
Considerando X uma variável aleatória que representa os diâmetros dos 
parafusos produzidos por determinada máquina, vamos imaginar que X = 2 cm e o 
desvio padrão seja s = 0,04 cm. 
Vamos agora apurar a probabilidade de um parafuso ser fabricado com um 
diâmetro entre 2 e 2,05 cm. Podemos definir que: P (2 < X < 2,05) 
Graficamente tal probabilidade será assim representada: 
 
 
 
Para calcular essa probabilidade, utilizaremos a tabela de probabilidade: Áreas 
de uma distribuição Normal Padrão. 
A distribuição normal constitui uma família infinitamente grande de 
distribuições, uma para cada combinação possível de média e desvio-padrão. Na 
maioria das vezes em que necessitamos da área sob uma curva normal, devemos 
recorrer a uma tabela. Seria impossível elaborar uma tabela para cada distribuição 
normal com todos os valores possíveis da média e variância. Podemos achar os 
resultados para qualquer distribuição normal apelando para uma tabela de distribuição 
normal com média √ = 0 e variância s2 = 1. Esta distribuição normal especial é 
chamada de distribuição normal padrão. 
5 DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA 
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média [1] x e desvio 
padrão [1] s, a variável resultante da fórmula a seguir terá distribuição normal reduzida 
de média = 0 e desvio padrão = 1. 
 
 
 
12 
 
 
As probabilidades associadas a uma Distribuição Normal Padronizada não são 
obtidas através de cálculos, mas sim por meio de localização em tabelas. 
A tabela demonstrada na página a seguir nos fornece as probabilidades de Z 
assumir qualquer valor no intervalo entre a média 0 e certo valor de z, ou seja: 
 
 
Logo, quando X for uma variável aleatória com distribuição normal de média [1] 
x e desvio padrão [1] s, escreveremos: 
 
 
 
Exemplo: 
 
Os funcionários de certa empresa ganham em média R$ 400,00 mensais, com 
desvio padrão de R$ 40,00. Qual a probabilidade de um funcionário ganhar um salário 
mensal entre R$ 380,00 e R$ 410,00? 
Solução: 
Temos que: 
 
 
 
13 
 
 
 
Os valores 0,1915 e 0,0987, correspondem respectivamente à localização dos 
valores 0,50 e 0,25 na tabela normal padrão a seguir (a tabela completa está no final 
da aula). 
 
 
 
Portanto, podemos dizer que em média, 29,02% dos funcionários recebem 
salários entre R$ 380,00 e R$ 410,00. 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
Exemplo: 
 
Sabe-se que o faturamento diário de um restaurante segue uma distribuição de 
média R$ 20 mil e desvio padrão de R$ 2 mil. Qual a probabilidade, em um período 
de 60 dias, do faturamento total ultrapassar R$ 1230 mil? 
Solução: 
Seja X o faturamento diário do restaurante, em mil reais. Sabemos que: 
 
Obtemos uma amostra aleatória de 60 valores de X, denotada por: 
X1, X2, ..., X60, sendo xi o faturamento do restaurante no dia i, i = 1, 2, ..., 60. 
Então, 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
Áreas sob a curva normal padrão. 
(Para os valores negativos de z as áreas são obtidas por simetria) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
6 BIBLIOGRAFIA 
DONAIRE, D.; MARTINS, G. A. Princípios de estatística. 4. ed. São Paulo: Atlas, 
1990. 
 
MARTINS, G. A.; FONSECA, J. S. Curso de estatística. 6. ed. São Paulo: Atlas, 
1996. 
 
NOVAES, D. V.; COUTINHO, C. Q. S. Estatística para educação profissional. 4. 
ed. São Paulo: Atlas, 2009. 
 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
 
ARA, A. B. Introdução à estatística. 3. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2001. 
 
HOFFMANN, R.; VIEIRA, S. Elementos de estatística. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2004. 
 
MARTINS, G. A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2005. 
 
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 
2002. 
 
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. São Paulo, Harbra, 1987.