Matemática p BNB - Aula 10

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AULA 10: ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
Olá! 
Hoje começamos a tratar dos tópicos de Estatística. Neste e no 
próximo encontro veremos os tópicos mais importantes de Estatística 
Descritiva (Análise e interpretação de tabelas e gráficos estatísticos. Média, 
mediana e moda). 
 
Tenha uma excelente aula, e lembre-se de seguir meu Instagram, 
onde posto dicas diárias para complementar sua preparação: 
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(@ProfArthurLima) 
 
SUMÁRIO 
ESTATÍSTICA ........................................................................................... 2 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA ......................................................................... 2 
TABELAS ................................................................................................. 6 
GRÁFICOS ............................................................................................... 9 
MEDIDAS ESTATÍSTICAS ......................................................................... 15 
MEDIDAS DE POSIÇÃO ............................................................................ 16 
Média aritmética: .................................................................................... 16 
Mediana: ............................................................................................... 21 
Moda: ................................................................................................... 28 
VALOR ESPERADO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ........................................... 35 
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS ................................................................... 38 
LISTA DE QUESTÕES DESTA AULA .......................................................... 116 
GABARITO DAS QUESTÕES .................................................................... 155 
PRINCIPAIS PONTOS DA AULA ................................................................ 156 
 
 
 
 
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ESTATÍSTICA 
 
Antes de iniciarmos o nosso estudo, saiba que a Estatística se divide 
em dois ramos principais: 
a) Estatística Descritiva (ou Dedutiva): tem por objetivo descrever 
um conjunto de dados, resumindo as suas informações principais. Fazem 
parte deste ramo tanto as técnicas para coletar os dados (técnicas de 
amostragem) quanto as técnicas para o cálculo dos principais parâmetros 
(características) daquele grupo de dados coletados. Também fazem parte 
deste ramo da Estatística as técnicas para a apresentação de dados em 
tabelas e gráficos, bem como o cálculo de medidas utilizadas para resumir 
estes dados (média, moda, mediana, desvio padrão, etc.). 
 
b) Estatística Inferencial (ou Indutiva): tem por objetivo 
inferir/induzir, a partir das informações de um conjunto de dados 
(amostra), informações sobre um conjunto mais amplo (população). A 
teoria da Probabilidade faz parte deste ramo, pois nela o nosso objetivo é, 
a partir do conhecimento de um fenômeno (ex.: lançamento de um dado), 
inferir possíveis resultados para a ocorrência de um determinado evento. 
Também fazem parte da estatística inferencial os testes de hipóteses, que 
visam obter conclusões sobre uma população a partir da análise de um 
subconjunto desta (amostra). 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
Para começarmos o estudo da Estatística Descritiva precisamos 
conhecer alguns conceitos básicos: 
 
- População: é o conjunto de todas as entidades sob estudo. Possui pelo 
menos uma característica em comum que permite delimitar os seus 
integrantes. Ex.: População dos moradores de Brasília; população dos 
alunos da escola A; população dos animais de estimação do meu bairro; 
 
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- Censo: quando efetuamos o censo de uma população, analisamos todos 
os indivíduos que compõem aquela população. Por exemplo: podemos 
contar um por um os moradores de Brasília, ou todos os alunos da escola 
A, ou todos os animais de estimação de meu bairro. Normalmente o nosso 
interesse não é simplesmente contá-los, mas sim verificar um determinado 
atributo, ou característica que esses indivíduos possuem. Exemplificando, 
pode ser que queiramos saber, de todos os moradores de Brasília, quantos 
são Homens, ou quantos tem mais de 1,80m de altura, ou quantos ganham 
mais que R$1.000,00 por mês. 
 
- Amostra: em muitos casos é inviável, custoso ou desnecessário, 
observar um por um dos membros de uma determinada população. Se 
queremos saber qual o percentual de homens na população de Brasília, 
podemos analisar um subconjunto daquela população, isto é, uma amostra. 
Se a amostra for suficientemente grande (e bem escolhida, de acordo com 
o que veremos nesta aula), é possível que o percentual de homens da 
amostra seja muito parecido com o que seria obtido se analisássemos toda 
a população. 
 
- Variável: é um atributo ou característica (ex: sexo, altura, salário etc.) 
dos elementos de uma população que pretendemos avaliar. 
- Observação: trata-se do valor que a variável assume para um 
determinado membro da população. Ex.: a observação da variável SEXO 
UHIHUHQWH�D�-RmR��PHPEUR�GD�SRSXODomR�EUDVLOLHQVH���WHP�YDORU�³0DVFXOLQR´�� 
 
Uma variável pode ser classificada em: 
 
o qualitativa, quando não assume valores numéricos, podendo ser 
dividida em categorias. Ex.: o sexo dos moradores de Brasília é uma 
variável qualitativa, pois pode ser dividido nas categorias Masculino 
ou Feminino. Se o objetivo fosse verificar quantos moradores 
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possuem AIDS, teríamos outra variável qualitativa, dividida nas 
categorias SIM e NÃO. 
 
o quantitativa, quando puder assumir diversos valores numéricos. Ex.: 
a altura dos moradores é uma variável quantitativa: 1,80m; 1,55m; 
1,20m; 2,10m etc. O mesmo ocorre com os salários desses 
moradores. As variáveis quantitativas podem ser ainda divididas em: 
 
o contínuas: quando não é possível separar o valor de uma variável em 
relação ao próximo valor que ela possa assumir. Ex.: a variável Altura 
é contínua. Se alguém tem exatamente 1,80m, qual o valor de altura 
imediatamente seguinte? 1,81m? Errado, pois é possível que alguém 
tenha, por exemplo, 1,80000001m. Ou 1,80000000001m. É 
impossível saber qual o valor que vem logo após (ou antes de) 
1,80m, ou seja, essa variável é contínua. 
o discretas: quando podemos saber o valorque vem imediatamente 
após (ou antes de) outro. Ex.: se nos dissessem que só é possível 
medir as pessoas até a segunda casa decimal, então a variável Altura 
torna-se discreta. Isso porque sabemos que o próximo valor de altura 
é 1,81m, e o valor anterior é 1,79m. 
Chamamos uma variável de Variável Aleatória quando ela pode assumir, 
de maneira aleatória �³DR� DFDVR´�, qualquer dos seus valores. Em 
estatística trabalharemos sempre com variáveis aleatórias, que 
representamos por letras maiúsculas. Ex.: X pode ser a variável idade dos 
moradores de Brasília. Utilizamos letras minúsculas para representar 
valores específicos daquela variável. Exemplificando, x = 25 anos é um dos 
valores possíveis para a variável aleatória X. 
Finalizando, é preciso que você saiba que as variáveis aleatórias podem 
ser classificadas em: 
 
- variáveis nominais: VmR� DTXHODV� GHILQLGDV� SRU� ³QRPHV´�� não 
podendo ser colocadas em uma ordem crescente. Ex.: a variável 
³VH[R�GRV�PRUDGRUHV�GH�XP�EDLUUR´�p�QRPLQDO��SRLV�Vy�SRGH�DVVXPLU�
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RV�YDORUHV�³PDVFXOLQR´�RX�³IHPLQLQR´��9HMD�TXH�QmR�Ki�XPD�RUGHP�
clara entre esses dois possíveis valores (não há um valor maior e 
outro menor). 
 
- variáveis ordinais: são aquelas que podem ser colocadas em uma 
ordem crescente, mas não é possível (ou não faz sentido) calcular a 
diferença entre um valor e o seguinte. Ex.: numa escola onde as 
notas dos alunos sejam dadas em letras (A, B, C, D ou E), sabemos 
TXH� D� PHQRU� QRWD� p� ³(´� H� D� PDLRU� p� ³$´�� 3RUpP� QmR� SRGHPRV�
mensurar quanto seria, por exemplo, a subtração A ± B. 
 
- variáveis intervalares: são aquelas que podem ser colocadas em 
uma ordem crescente, e é possível calcular a diferença entre um valor 
e o seguinte. Ex.: se as notas dos alunos forem dadas em números 
(de 0 a 10), sabemos que a nota 5 é maior que a nota 3, e que a 
diferença entre elas é 5 ± 3 = 2. 
 
 Antes de prosseguir, trabalhe esta questão: 
 
1. CESPE ± CORREIOS ± 2011) Julgue os itens seguintes, relacionados 
aos conceitos de estatística. 
( ) Escolaridade e número de filhos são exemplos de variáveis quantitativas 
ordenável e discreta, respectivamente. 
RESOLUÇÃO: 
 $� YDULiYHO� ³(VFRODULGDGH´� SRGH� DVVXPLU� YDORUHV� FRPR�� 1tYHO 
Fundamental, Nível Médio, Nível Superior, Pós-Graduação etc. Trata-se, 
portanto, de uma variável qualitativa, e não quantitativa. Isto já torna o 
item ERRADO. 
 Já a variável número de filhos é, de fato, quantitativa. Trata-se 
realmente de uma variável discreta, uma vez que o número de filhos pode 
ser {0, 1, 2, 3 ...}, mas não pode assumir qualquer valor entre 0 e 1, ou 
entre 1 e 2, por exemplo. 
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Resposta: E 
 
TABELAS 
 Como já vimos, a estatística descritiva tem por objetivo descrever 
um conjunto de dados, resumindo as suas informações principais. Para 
isso, as tabelas e gráficos estatísticos são ferramentas muito importantes. 
Vamos começar tratando das tabelas. 
 Para descrever um conjunto de dados, um recurso muito utilizado são 
tabelas como essa abaixo, UHIHUHQWH�j�REVHUYDomR�GD�YDULiYHO�³6H[R�GRV�
PRUDGRUHV�GH�%UDVtOLD´� 
Valor da variável Frequências (Fi) 
Masculino 23 
Feminino 27 
 
 Note que na coluna da esquerda colocamos as categorias de valores 
que a variável pode assumir, e na coluna da direita colocamos o número 
de Frequências, isto é, o número de observações relativas a cada um dos 
valores. Note que foi analisada uma amostra de 50 pessoas, das quais 23 
eram homens e 27 mulheres. Estes são os valores de frequências absolutas. 
Podemos ainda representar as frequências relativas (percentuais): 
sabemos que 23 em 50 são 46%, e 27 em 50 são 54%. Portanto, teríamos 
Valor da variável Frequências relativas (Fi) 
Masculino 46% 
Feminino 54% 
 
 Se essa amostra foi bem escolhida, ela nos dá uma boa estimativa 
de como é distribuída a população brasiliense: cerca de 46% são homens 
e 54% mulheres. Quanto maior a amostra (e mais bem escolhida), mais 
nos aproximaremos dos percentuais que seriam obtidos na análise de toda 
a população. 
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 Note que a frequência relativa é dada por Fi / n, onde Fi é o número 
de frequências de determinado valor da variável, e n é o número total de 
observações. 
 Agora, veja a tabela abaixo, referente à observações da variável 
Altura dos moradores de Brasília: 
Valor da variável Frequências (Fi) 
1,50m 15 
1,51m 5 
1,53m 4 
1,57m 2 
1,60m 10 
1,63m 8 
1,65m 1 
1,71m 20 
1,73m 10 
1,75m 3 
1,83m 2 
 
 Quando temos uma variável como esta, que pode assumir um grande 
Q~PHUR�GH�YDORUHV�GLVWLQWRV�� p� LQWHUHVVDQWH� ³UHVXPLU´� RV� GDGRV�� FULDQGR�
intervalos de valores para a variável (que chamaremos de classes). Veja 
um exemplo: 
Classe Frequências (Fi) 
1,50| ± 1,60 26 
1,60| ± 1,70 19 
1,70| ± 1,80 33 
1,80| ± 1,90 2 
 O símbolo | significa que o valor que se encontra ao seu lado está 
incluído na classe. Por exemplo, 1,50| - 1,60 nos indica que as pessoas 
com altura igual a 1,50 são contadas entre as que fazem parte dessa classe, 
porém as pessoas com exatamente 1,60 não são contabilizadas. 
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 $VVLP��WHPRV�DV�VHJXLQWHV�IRUPDV�GH�FULDU�DV�FODVVHV��RQGH�³OL´�p�R�
OLPLWH�LQIHULRU�GD�FODVVH��PHQRU�YDORU��H[���������H�³/L´�p�R�OLPLWH�VXSHUior 
(o maior valor, ex.: 1,60): 
- li| ± Li : limite inferior incluído na classe 
- li ± |Li : limite superior incluído na classe 
- li| ± |Li : limite inferior e superior incluídos na classe 
- li ± Li : limite inferior e superior excluídos da classe 
Veja abaixo novamente a última tabela, agora com a coluna Frequências 
absolutas acumuladas à direita: 
Classe Frequências (Fi) Frequências absolutas 
acumuladas (Fac) 
1,50| ± 1,60 26 26 
1,60| ± 1,70 19 45 
1,70| ± 1,80 33 78 
1,80| ± 1,90 2 80 
 
A coluna da direita exprime o número de indivíduos que se encontram 
naquela classe ou abaixo dela. Isto é, o número acumulado de frequências 
do valor mais baixo da amostra (1,50m) até o limite superior daquela 
classe. Veja que, para obter o número 45, bastou somar 19 (da classe 1,60| 
- 1,70) com 26 (da classe 1,50| - 1,60). Isto é, podemos dizer que 45 
pessoas possuem altura inferior a 1,70m (limite superior da última classe). 
Analogamente, 78pessoas possuem altura inferior a 1,80m. 
De posse das frequências absolutas acumuladas, podemos calcular as 
frequências relativas acumuladas, que nada mais é que o percentual de 
indivíduos cujo valor da variável (altura) é inferior a um determinado limite. 
Veja isso na coluna da direita da tabela abaixo: 
 
Classe Frequências 
(Fi) 
Frequências 
absolutas 
acumuladas (Fac) 
Frequências 
relativas 
acumuladas (Frc) 
1,50| ± 1,60 26 26 32,50% 
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1,60| ± 1,70 19 45 56,25% 
1,70| ± 1,80 33 78 97,50% 
1,80| ± 1,90 2 80 100% 
 
 Portanto, podemos concluir que 32,50% dos indivíduos observados 
possuem menos de 1,60m. Já 56,25% possuem menos de 1,70m, e 
97,50% tem menos de 1,80. Por fim, todos os indivíduos (100%) tem altura 
inferior a 1,90m, já que o maior valor observado foi 1,83m. 
 Note que, para calcular o valor das frequências relativas acumuladas 
(Frc), bastou dividir o valor das frequências absolutas acumuladas (Fac) 
por n, que é o total de observações (n = 80 neste exemplo). 
 
GRÁFICOS 
 Gráficos também são muito utilizados no estudo da Estatística 
Descritiva. O principal deles, conhecido como Histograma, é um gráfico de 
barras que representa, no seu eixo horizontal, as classes de valores que 
uma variável pode assumir, e em seu eixo vertical os valores das 
frequências de cada classe. Para exemplificar, vamos utilizar os dados da 
tabela abaixo, que já usamos anteriormente: 
Classe Frequências 
(Fi) 
Frequências 
absolutas 
acumuladas (Fac) 
Frequências 
relativas 
acumuladas (Frc) 
1,50| ± 1,60 26 26 32,50% 
1,60| ± 1,70 19 45 56,25% 
1,70| ± 1,80 33 78 97,50% 
1,80| ± 1,90 2 80 100% 
 
 O histograma das frequências de cada classe seria assim: 
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 Note que, de fato, temos 26 frequências na classe 1,50| - 1,60; 19 
na classe 1,60| - 1,70; e assim sucessivamente. Podemos traçar ainda o 
gráfico das frequências absolutas acumuladas, que normalmente é 
representado por uma linha como esta abaixo: 
 
 Este gráfico de frequências acumuladas acima, onde ligamos os 
pontos extremos (limites superiores) das classes de valores, é conhecido 
como ogiva. Chamamos a figura formada no gráfico de polígono de 
freqüências. 
Note que no gráfico de frequências acumuladas colocamos apenas o 
limite superior de cada classe de dados. 
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9HMD�� SRU� H[HPSOR�� TXH� R� SRQWR� ³$´� QR� JUiILFR� QRV� LQGLFD� TXH� ���
frequências ocorrem abaixo de 1,80m. Finalmente, veja o gráfico das 
frequências relativas acumuladas: 
 
Aqui, o ponto A nos indica que 97,50% das frequências são iguais ou 
inferiores a 1,80m. 
 Observe agora o seguinte Histograma, relativo à observação das 
idades dos moradores de um determinado bairro: 
 
 Note que esse gráfico possui um pico na classe de 30 a 40 anos, e à 
medida que as classes se afastam desta (para a esquerda ou para a direita), 
a quantidade de frequências é igual, dando um aspecto de simetria (ex.: 
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temos 15 frequências tanto no intervalo 20 - |30 como no intervalo 40 - 
|50). 
 Podemos ter também histogramas assimétricos. Neste abaixo, temos 
uma assimetria à direita (assimetria positiva), pois temos o pico em 10-20 
anos e os dados se estendem para a direita (sentido positivo), assumindo 
valores de até 70 anos. 
 
 Já o histograma abaixo apresenta um caso de assimetria à esquerda 
(negativa) , onde os dados se estendem para a esquerda (sentido 
negativo): 
 
 
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 Antes de prosseguirmos, vejamos dois exercícios sobre gráficos e 
tabelas estatísticas. 
 
Instruções: Para resolver a questão seguinte, considere a tabela de 
frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores 
arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de 
atividade escolhido para análise. Sabe-se que: 
I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de 
recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro 
intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. 
II. O terceiro intervalo possui o dobro do número de recolhimentos do 
segundo intervalo. 
 
2. FCC ± SEFAZ/SP ± 2009 ± Adaptada) A porcentagem de 
recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é 
(A) 70% 
(B) 65% 
(C) 55% 
(D) 45% 
(E) 40% 
RESOLUÇÃO: 
Observe que as frequências relativas somam 1, ou seja, 100%. Ou 
seja: 
0,10 + x + y + 0,20 + 0,10 = 1 
x = 0,60 ± y 
 
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 Como foi dito que o número de recolhimentos do terceiro intervalo é 
o dobro 0do número de recolhimentos do segundo, então também podemos 
dizer que as frequências relativas do terceiro intervalo (y) são o dobro das 
freqüências relativas do segundo (x): 
y = 2x 
 
 Substituindo y por 2x na primeira equação, temos: 
x = 0,60 ± 2x 
3x = 0,60 
x = 0,20 
 Com isso, 
y = 2x = 2.0,20 = 0,40 
 
 Com isso, temos a seguinte tabela: 
Valores 
arrecadados 
(R$) 
Frequências 
relativas 
1000 |--- 2000 0,10 
2000 |---3000 0,20 
3000 |--- 4000 0,40 
4000 |--- 5000 0,20 
5000 |--- 6000 0,10 
TOTAL 1,00 
 
 Assim, a porcentagem de valores arrecadados iguais ou superiores a 
3000 reais é a soma das frequências relativas das três classes mais altas: 
0,40 + 0,20 + 0,10 = 0,70 = 70% 
Resposta: A 
 
3. ESAF ± IRB - 2006) No campo estatístico, ogivas são: 
a) polígonos de frequência acumulada. 
b) polígonos de frequência acumulada relativa ou percentual. 
c) histograma de distribuição de frequência.Arthur Lima, Equipe ArthurLima
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d) histograma de distribuição de frequência relativa ou percentual. 
e) o equivalente à amplitude do intervalo. 
RESOLUÇÃO: 
 A ogiva, como vimos ao estudar os gráficos estatísticos, é uma figura 
formada no gráfico contendo, no eixo horizontal, os pontos extremos 
(limites superiores) dos intervalos de classes de dados, e no eixo vertical 
as frequências acumuladas. Reveja abaixo o exemplo que usamos na aula: 
 
 Como você pode ver, trata-se de um gráfico de frequências 
acumuladas. 
Resposta: A 
 
MEDIDAS ESTATÍSTICAS 
 Além dos gráficos e tabelas, outro recurso importante para a 
estatística descritiva é o uso de medidas estatísticas. Estas medidas tem 
por objetivo auxiliar o entendimento de um conjunto de dados, resumindo-
os e apresentando as suas características mais relevantes. Dividimos as 
medidas estatísticas em alguns grupos. Nesta aula veremos as medidas de 
posição (ou tendência central), e na próxima veremos as medidas de 
dispersão (ou variabilidade). 
 
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MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 As medidas de posição, ou de tendência central, nos fornecem pontos 
de referência para interpretar uma distribuição de dados. Trata-se de 
³SRVLo}HV� FDUDFWHUtVWLFDV´� TXH� SRGHP� VHU� XVDGDs para resumir toda a 
distribuição. A título de exemplo, ao invés de apresentar toda uma 
distribuição de idades dos eleitores de uma cidade, eu poderia fornecer-lhe 
apenas a idade média destes eleitores. Este valor é um resumo daquela 
distribuição ± e como todo resumo, ele acaba por omitir algumas 
informações. 
 As principais medidas de posição são: média, moda e mediana. 
Vejamos cada uma delas. 
 
Média aritmética: 
É a soma de todos os valores da variável observada, dividida pelo 
total de observações. Vamos usar a tabela abaixo para calcular a altura 
média: 
Valor da variável Frequências (Fi) 
1,50m 15 
1,51m 5 
1,53m 4 
1,57m 2 
1,60m 10 
1,63m 8 
1,65m 1 
1,71m 20 
1,73m 10 
1,75m 3 
1,83m 2 
Veja que precisaremos somar as alturas de todos os indivíduos 
observados, e a seguir dividor pelo número de indivíduos. Temos 15 
indivíduos com 1,50m, portanto a soma de suas alturas é 15 x 1,50 = 
22,50m. Analogamente, temos 5 indivíduos com 1,51m, somando 5 x 1,51 
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= 7,55m. E assim por diante. Somando as alturas de todos os indivíduos, 
temos: 
 
Soma = 1,50x15 + 1,51x5 + 1,53x4 + 1,57x2 + 1,60x10 + 1,63x8 + 
1,65x1 + 1,71 x 20 + 1,73x10 + 1,75x3 + 1,83x2 = 130,41m 
 
 Dividindo esse valor pelo total de indivíduos (isto é, soma de 
frequências Fi), temos a média: 
Média = 130,41 / 80 = 1,63m 
 
 Portanto, a fórmula para o cálculo da média de uma variável aleatória 
X é: 
1
n
i
Xi
Média
n
 
¦
 
 Caso tenhamos dados em uma tabela de frequências como a que 
vimos acima, a média é dada por: 
1
1
( )
n
i
n
i
Xi Fi
Média
Fi
 
 
u
 
¦
¦
 
 
 Nessas fórmulas, Xi representa cada um dos valores que a variável X 
(ex.: altura) pode assumir, e Fi representa a frequência referente a cada 
um desses valores. 
 Já se tivermos os dados agrupados em classes, devemos utilizar a 
seguinte fórmula para calcular a média: 
1
1
( )
n
i
n
i
PMi Fi
Média
Fi
 
 
u
 
¦
¦
 
 1HVVD�IyUPXOD��30L�p�R�SRQWR�PpGLR�GD�FODVVH�³L´��3RU�H[HPSOR��VH�
temos a classe 1,50|---1,60, o ponto médio será o valor PM = 1,55 (que é 
justamente a média aritmética entre o limite inferior e superior da classe). 
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 Comece a praticar os conceitos de média aritmética resolvendo essas 
questões: 
 
Instruções: Para resolver à questão seguinte (FCC ± SEFAZ/SP ± 2009), 
considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a 
distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, 
referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que: 
I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de 
recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro 
intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. 
II. A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, 
é igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
deste intervalo). 
 
4. FCC ± SEFAZ/SP ± 2009) A porcentagem de recolhimentos com 
valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é 
(A) 70% 
(B) 65% 
(C) 55% 
(D) 45% 
(E) 40% 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que o total de frequências é igual a 1. Ou seja: 
0,10 + x + y + 0,20 + 0,10 = 1 
x = 0,60 - y 
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 Os pontos médios de cada faixa de valores arrecadados são dados 
pela média aritmética entre os limites inferior e superior de cada faixa. 
Assim, estes pontos médios (PMi) são, respectivamente: 1500, 2500, 3500, 
4500 e 5500. Com isso, podemos calcular a média através da fórmula: 
1
1
( )
1500 0,10 2500 3500 4500 0,20 5500 0,10
1
3350 150 2500 3500 900 550
2500 3500 1750
25 35 17,5
n
i
n
i
PMi Fi
Média
Fi
x yMédia
x y
x y
x y
 
 
u
 
u � u � u � u � u 
 � � � �
� 
� 
¦
¦
 
 Como sabemos que x = 0,60 ± y, podemos efetuar essa substituição 
na equação acima: 
25 (0,60 ± y) + 35y = 17,5 
15 ± 25y + 35y = 17,5 
10y = 2,5 
y = 0,25 
 Portanto, x = 0,60 ± y = 0,60 ± 0,25 = 0,35. 
 
 O total de frequências com recolhimentos acima de 3000 reais é dado 
pela soma das frequências das últimas 3 classes da tabela: 
y + 0,20 + 0,10 = 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55 
 Como o total de frequências na tabela é igual a 1, então podemos 
dizer que 0,55 corresponde a 55% dos recolhimentos. 
Resposta: C 
 Vejamos algumas propriedades relativas à média de um conjunto de 
dados (muito cobradas!!!): 
- somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todas as 
observações,a média desse novo conjunto será somada ou subtraída 
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do mesmo valor. Ex.: se somarmos 3cm na altura de cada pessoa, a 
média passará de 1,63m para 1,66m. 
- multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores observados por um 
valor constante, a média desse novo conjunto será multiplicada ou 
dividida pelo mesmo valor. Ex.: se dividirmos todas as alturas 
encontradas por 2, a média também será dividida por 2, tornando-se 
igual a 0,815m. 
- a soma das diferenças entre cada observação e a média é igual a 
zero. Ex.? A diferença entre a observação 1,51m e a média 1,63m é 
de ±0,12m. Já a diferença entre a observação 1,80m e a média 1,63m 
é de 0,17m. Somando todas as diferenças, obteremos o valor zero. 
- O valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra. 
Portanto, qualquer alteração nesses valores poderá alterar a média. 
Assim, costumamos dizer que a média é afetada pelos valores 
extremos da distribuição. Ex.: se incluíssemos na amostra uma 
pessoa com 2,00m, ou outra com apenas 0,60m, isso alteraria a 
média. 
Veja essa questão, que é relativa às propriedades da média: 
 
5. DOM CINTRA - PREF. PALMAS - 2010) A média aritmética das 25 
notas de uma prova de matemática foi igual a 6,0. Se o professor aumentar 
0,5 em cada uma dessas 25 notas, e, em seguida, calcular a média de todas 
elas, o valor encontrado por ele será de: 
a) 5,5 
b) 6,0 
c) 6,5 
d) 7,0 
e) 7,5 
RESOLUÇÃO: 
Aqui podemos usar uma das propriedades da média: se somarmos 
uma constante k a todos os membros de uma amostra, a nova média será 
igual à anterior, somada de k. Portanto, se somamos k = 0,5 na nota de 
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cada um dos alunos, basta somar 0,5 na média anterior e obtemos a nova 
média: 6 + 0,5 = 6,5. 
Resposta: C. 
 
Mediana: 
e�D�REVHUYDomR�³GR�PHLR´�TXDQGR�RV�GDGRV�VmR�organizados do menor 
para o maior. Abaixo da mediana encontram-se 50% (metade) das 
observações, e a outra metade encontra-se acima da mediana. Se temos n 
dados em uma distribuição, a mediana será termo que se encontra na 
posição (n+1)/2. Vamos encontrar a mediana para o conjunto de dados 
abaixo: 
Valor da variável (altura) Frequências (Fi) 
1,50m 15 
1,51m 5 
1,53m 4 
1,57m 2 
1,60m 10 
1,63m 8 
1,65m 1 
1,71m 20 
1,73m 10 
1,75m 3 
1,83m 3 
 Observe que temos 81 dados (acrescentei um a mais na altura 
1,83m). Além disso, veja que os valores da variável altura estão ordenados 
do menor para o maior nessa tabela. Portanto, a mediana será o valor da 
posição (81+1)/2 = 41, isto é, a 41ª posição, pois existem 40 valores 
abaixo dele e outros 40 acima. 
 Para encontrar o 41º valor, precisamos obter as frequências 
acumuladas. 
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Valor da variável Frequências (Fi) Frequências 
absolutas 
acumuladas (Fac) 
1,50m 15 15 
1,51m 5 20 
1,53m 4 24 
1,57m 2 26 
1,60m 10 36 
1,63m 8 44 
1,65m 1 45 
1,71m 20 65 
1,73m 10 75 
1,75m 3 78 
1,83m 3 81 
 
 Veja que até a altura 1,60m temos 36 pessoas. Temos mais 8 
pessoas na altura 1,63m (abrangendo do 37º até o 44º). Portanto, a 
posição 41 tem altura igual a 1,63m. Isto é, mediana = 1,63m. 
 Se tivéssemos um número par de elementos, a conta (n+1)/2 não 
teria resultado exato. Nesse caso a mediana seria dada pela média dos dois 
valores centrais da amostra. Veja o exemplo abaixo, no qual temos listadas 
a idade de 10 pessoas: 
{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} 
 
 Veja que as idades já estão ordenadas da menor para a maior. Como 
temos 10 valores (número par), então (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5,5. Não 
temos um elemento central, que seria a mediana. Ao invés disso, vamos 
utilizar a média dos dois elementos centrais, isto é, o 5º e o 6º elementos. 
Eles estão marcados em vermelho: 
{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} 
 
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A Mediana será igual a (7 + 8)/2 = 7,5. 
Pratique o conceito resolvendo este exercício: 
6. ESAF ± SEFAZ/SP ± 2009) Determine a mediana das seguintes 
observações: 
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 
24, 9. 
a) 13,5 
b) 17 
c) 14,5 
d) 15,5 
e) 14 
RESOLUÇÃO: 
 Primeiramente devemos colocar as observações em ordem 
crescente: 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 
34, 42 
 
 Temos ao todo 23 observações, ou seja, n = 23. Como n é ímpar, 
então a mediana será a observação na posição (n+1)/2 = (23+1)/2 = 12ª. 
 A décima segunda observação é igual a 17. Portanto, Mediana = 17. 
Resposta: B 
 
 Muitas questões de concurso costumam exigir que o aluno conheça o 
método de cálculo de mediana através de interpolação linear dos intervalos 
de classe. Esse método é utilizado quando temos os dados distribuidos em 
intervalos de classes. Vamos aprender a usá-lo através de um exemplo. A 
tabela abaixo apresenta os intervalos de alturas de uma certa população, 
como já vimos anteriormente nesta aula. Com base nisso, vamos obter a 
altura mediana. 
Classe Frequências (Fi) Frequências absolutas 
acumuladas (Fac) 
1,50| ± 1,60 26 26 
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1,60| ± 1,70 19 45 
1,70| ± 1,80 33 78 
1,80| ± 1,90 2 80 
1º passo: calcular a divisão n/2, onde n é o número total de frequências, 
obtendo a posição da mediana. 
 Em nosso exemplo, n = 80 indivíduos, portanto a posição da mediana 
é 80/2 = 40. (muito cuidado, pois quando usamos esse método não 
calculamos (n+1)/2, como vimos anteriormente). 
 
2º passo: identificar a classe onde se encontra a mediana 
 Observe a coluna de frequências acumuladas. Veja que o elemento 
da posição 40 encontra-se na classe 1,60|--1,70 (pois esta classe vai do 
26 ao 45). Portanto, essa é a classe da mediana. 
 
3º passo: montar a proporção entre as frequências acumuladas e os limites 
da classe da mediana 
 Neste passo vamos montar duas retas paralelas,como você vê 
abaixo, uma delas com as frequências acumuladas e a outra com os valores 
de alturas correspondentes: 
Frequências: 26 40 45 
|-----------------------------|----------------| 
Valores: 1,60 X 1,70 
|-----------------------------|----------------| 
 Repare eu associei (coloquei um abaixo do outro): 
- a última frequência da classe anterior (26) com o limite de altura daquela 
classe (1,60), que também é o limite inferior da classe da mediana; 
- a frequência da mediana (40) com o valor da mediana (X), que buscamos; 
- a última frequência da classe da mediana (40) com o limite de altura 
dessa classe (1,70). 
 Feito isso, basta montar a proporção abaixo: 
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superior mediana superior mediana
superior inferior superior inferior
freq - freq valor - valor
=
freq - freq valor - valor
 
 Neste exemplo, teríamos: 
45 - 40 1,70 - X
=
45 - 26 1,70 - 1,60
 
 Feito isso, basta encontrar o valor de X, que neste caso é X = 1,67m. 
Esta é a mediana pelo método da interpolação linear. Exercite este método 
com a questão abaixo: 
 
7. FCC ± SEFAZ/SP ± 2006) O histograma de frequências absolutas 
abaixo demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um 
determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada: 
 
Observação: Considere que todos os intervalos de classe do histograma são 
fechados à esquerda e abertos à direita. 
Utilizando as informações contidas nesse histograma, calculou-se a média 
aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método 
da interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média 
aritmética e a mediana é igual a: 
a) R$100,00 
b) R$400,00 
c) R$800,00 
d) R$900,00 
e) R$1000,00 
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RESOLUÇÃO: 
 Para facilitar o nosso trabalho, vamos escrever os dados do gráfico 
em tabela, e já calcular o ponto médio de cada intervalo de classe: 
Classe (milhares de 
reais) 
Ponto Médio Frequências (Fi) 
1 |--- 2 1,5 200 
2 |--- 3 2,5 400 
3 |--- 4 3,5 500 
4 |--- 5 4,5 600 
5 |--- 6 5,5 300 
 
 Assim, a média será: 
1
1
( )
1,5 200 2,5 400 3,5 500 4,5 600 5,5 300 3,7
200 400 500 600 300
n
i
n
i
PMi Fi
Média
Fi
 
 
u u � u � u � u � u � � � �
¦
¦ 
 Veja que os valores no gráfico estão em milhares de reais, portanto 
a média é de R$3700,00. 
 Para obter a mediana, veja que temos n = 2000 frequências ao todo. 
Pelo método da interpolação linear, a mediana será o termo correspondente 
à posição n/2 = 1000. Esta posição encontra-se no intervalo de 3 a 4 mil 
reais, como você pode ver na tabela abaixo: 
Classe (milhares 
de reais) 
Ponto Médio Frequências (Fi) Frequências 
acumuladas 
(fac) 
1 |--- 2 1,5 200 200 
2 |--- 3 2,5 400 600 
3 |--- 4 3,5 500 1100 
4 |--- 5 4,5 600 1700 
5 |--- 6 5,5 300 2000 
Montando a proporção, temos: 
 
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 Frequências: 600 1000 1100 
|-----------------------------|----------------| 
 Valores: 3 X 4 
|-----------------------------|----------------| 
 
 Assim, temos: 
� � � �
 
4 1100 1000
4 3 1100 600
3,8
X
X
 
 Portanto, a mediana é igual a R$3800,00 reais. A diferença entre a 
média e a mediana é de R$100,00. 
Resposta: A 
 
 Para finalizar o estudo da Mediana, note que ela é um único número 
para um determinado conjunto de observações. Não existem duas 
medianas para o mesmo conjunto. Além disso, o seu valor não é afetado 
pela troca de algum valor extremo (máximo ou mínimo) na distribuição. 
Para exemplificar, veja essas duas distribuições: 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 
34, 42 
e 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 
57, 88 
 
 Apesar de eu ter trocado dois termos extremos da primeira para a 
segunda distribuição, ambas possuem a mesma mediana. Repare que a 
média se altera (neste caso, a média da segunda distribuição certamente 
seria maior). 
 
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Moda: 
A moda é o valor da observação com maior número de frequências, 
RX�UHSHWLo}HV��LVWR�p��p�R�YDORU�TXH�HVWi�³QD�PRGD´���$R�FRQWUiULR�GD�PpGLD�
e da mediana, que são valores únicos, uma amostra pode ter 1, 2 ou mais 
modas (ser unimodal, bimodal etc.). Veja este conjunto de idades: 
{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} 
 Note que a idade 8 é a que aparece mais vezes (3 vezes). Portanto, 
a moda deste conjunto é igual a 8. Já na tabela de alturas, que reproduzo 
novamente, a moda é a altura de 1,71m, pois ela aparece 20 vezes: 
 
 
Valor da variável Frequências (Fi) 
1,50m 15 
1,51m 5 
1,53m 4 
1,57m 2 
1,60m 10 
1,63m 8 
1,65m 1 
1,71m 20 
1,73m 10 
1,75m 3 
1,83m 3 
 
Para fixar o que vimos até aqui, resolva a questão abaixo: 
 
8. ESAF ± SEFAZ/CE ± 2006) O conjunto de notas dos alunos de uma 
determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer 
que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: 
a) 3, 6 e 5. 
b) 3, 4 e 5. 
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c) 10, 6 e 5. 
d) 5, 4 e 3. 
e) 3, 6 e 10. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos obter inicialmente a mediana, colocando os dados em ordem 
crescente: 
3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10 
 
 Veja que temos n = 10 notas. Como n é um número par, a mediana 
será a média aritmética das duas notas centrais. Calculando (n+1)/2 = 
(10+1)/2 = 5,5, vemos que as notas centrais são a da 5ª e 6ª posições. 
Na quinta posição temos uma nota 5, e na sexta posição outra nota 5. 
Portanto, a mediana será (5 + 5)/2 = 5. 
 
 A moda é aquela nota que mais se repete. Neste caso, a nota3 
repete-se três vezes, portanto esta é a moda. 
 
 A média é calculada pela soma das notas, dividido pela quantidade 
de notas: 
3 3 3 4 5 5 8 9 10 10 60 6
10 10
X � � � � � � � � � 
Resposta: A 
 Os problemas mais difíceis envolvendo moda são aqueles onde é 
dada uma tabela com classes de valores para a variável, como esta abaixo 
(que também já utilizamos nessa aula): 
Classe Frequências (Fi) 
1,50| ± 1,60 26 
1,60| ± 1,70 19 
1,70| ± 1,80 33 
1,80| ± 1,90 2 
 
 Para calcular a moda, você precisará seguir os seguintes passos: 
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1. Descobrir qual é a classe modal (CM). A classe modal é aquela que 
apresenta o maior número de frequências. Neste caso, trata-se da 
classe 1,70| - 1,80, que apresenta 33 frequências. Já sabemos que a 
moda está ali dentro, isto é, será um valor entre 1,70 e 1,80. Veja 
que o limite inferior dessa classe é li = 1,70. Note ainda que todas as 
classes tem amplitude de 0,10m, isto é, a diferença entre o menor 
(li) e maior (Li) valor da classe é de 0,10m. 
2. Identificar a classe posterior (post) e a classe anterior (ant). Neste 
caso, a classe posterior é a de 1,80| - 1,90, que possui 2 frequências; 
e a classe anterior é a de 1,60| - 1,80, com 19 frequências. 
3. Aplicar uma das duas fórmulas abaixo, dependendo do método de 
cálculo da moda indicado pelo exercício: 
a. Moda de King: 
fpostModa li c
fant fpost
ª º§ · � u« »¨ ¸�© ¹¬ ¼
 
 
Nesta fórmula, li é o limite inferior da classe modal (li = 1,70), c é a 
amplitude da classe modal (c = Li ± li), fpost é o número de frequências da 
classe posterior (fpost = 2) e fant é o número de frequências da classe 
anterior (fant = 19). Portanto, a moda será: 
21,70 0,10 1,7095
2 19
Moda mª º§ · � u ¨ ¸« »�© ¹¬ ¼ 
 
b. Moda de Czuber: 
2 ( )
fcm fantModa li c
fcm fant fpost
ª º§ ·� � u« »¨ ¸� �© ¹¬ ¼
 
 
Nessa fórmula fcm é o número de frequências da classe modal, que 
neste caso é fcm = 33. Portanto, a moda em nosso exemplo será: 
33 191,70 0,10 1,731
2 33 (19 2)Moda m
ª º§ ·� � u « »¨ ¸u � �© ¹¬ ¼
 
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Note que os valores obtidos são diferentes, motivo pelo qual você 
precisará saber as duas fórmulas. Se a questão não especificar o método, 
sugiro tentar primeiramente o método de Czuber. 
E note um grande diferencial do método de Czuber: ele é o único que 
leva em conta, no cálculo, as frequências da Classe Modal! Exercite esta 
fórmula com a questão abaixo: 
 
Instruções: Considere a distribuição de frequências a seguir para resolver 
a próxima questão. 
 
 
9. FCC ± BACEN ± 2006) O valor da moda, obtida com a utilização da 
Fórmula de Czuber*, é igual a (desprezar os centavos na resposta) 
 Dados: 
 * 
max
2. max ( )
Z ZantModa Li h
Z Zant Zpost
� � � � 
 em que: 
 Li = limite inferior da classe modal 
 h = intervalo de classe modal 
 Zmax = freqüência da classe modal 
 Zant = freqüência da classe anterior à classe modal 
 Zpost = freqüência da classe posterior à classe modal 
a) R$3201,00 
b) R$3307,00 
c) R$3404,00 
d) R$3483,00 
e) R$3571,00 
RESOLUÇÃO: 
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 Veja que a classe que apresenta maior número de frequências é 
aquela entre 3000-4000 reais, com Zmax = 16 frequências. Essa é a classe 
modal. O seu limite inferior é Li = 3000 reais, e o seu intervalo é de h = 
1000 reais. 
A classe anterior é a de 2000-3000 reais, que possui Zant = 8 
frequências. E a classe posterior é a de 4000-5000 reais, que possui Zpost 
= 10 frequências. 
Assim, podemos aplicar a fórmula de Czuber: 
max
2. max ( )
16 83000 1000
2.16 (8 10)
83000 1000 3571,42
14
Z ZantModa Li h
Z Zant Zpost
Moda
Moda
� � � �
� � � �
 � 
 
Resposta: E 
Finalizando o estudo da Moda, veja que o seu valor não é afetado 
pelos valores extremos (mínimos e máximos) da distribuição. Isto é, a 
moda destas duas distribuições abaixo é a mesma: 
{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} 
e 
{ 1, 2, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} 
Conhecendo a média, mediana e moda de uma amostra, podemos 
determinar a simetria daquela distribuição de dados. Veja isso na tabela 
abaixo: 
Simetria Média, Mediana e Moda 
Simétrica Média = Mediana = Moda* 
Assimétrica positiva (à direita) Média > Mediana > Moda 
Assimétrica negativa (à esquerda) Média < Mediana < Moda 
* se unimodal. 
 Você não precisa decorar essa tabela. Inicialmente, veja um exemplo 
de distribuição simétrica, e perceba que, de fato, a média, mediana e moda 
encontram-se na mesma posição: 
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 Quanto às distribuições assimétricas, basta lembrar que uma curva 
FRP�DVVLPHWULD�QHJDWLYD�WHP�HVVH�QRPH�SRUTXH�SRVVXL�XPD�³FDXGD´�SDUD�
o lado esquerdo, isto é, para o sentido negativo do eixo horizontal; e uma 
curva com assimetria positiva possui uma cauda voltada para o sentido 
positivo do eixo horizontal. 
 A existência de um prolongamento para um dos lados afeta a média, 
³SX[DQGR-D´� QDTXHOH� VHQWLGR�� 3RU� H[HPSOR�� QD� FXUYD� FRP� DVVLPHWULD�
QHJDWLYD��D�PpGLD�p�³SX[DGD´�SDUD�D�HVTXHUGD��WRUQDQGR-se a menor das 
três medidas de posição. A moda corresponde ao pico da curva (maior 
número de frequências���TXH�QHVWH�FDVR�p�³SX[DGR´�SDUD�D�GLUHLWD��WRUQDQGR�
a moda o maior dos três valores: 
 
DĠĚŝĂ ? 
DĞĚŝĂŶĂ�
Ğ 
ŵĠĚŝĂ ŵĞĚŝĂŶĂ ŵŽĚĂ 
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 No caso da assimetria positiva, a cauda se estende para a direita, 
puxando a média para este lado. A moda é puxada para a esquerda, pois 
há um pico de frequências à esquerda. Veja: 
 
 Sobre este assunto, veja essa questão: 
10. ESAF ± IRB ± 2006) Sendo a moda menor que a mediana e, esta, 
menor que média, pode-se afirmar que se trata de uma curva 
a) Simétrica. 
b) Assimétrica, com frequências desviadas para a direita. 
c) Assimétrica, com frequências desviadas para a esquerda. 
d) Simétrica, com frequências desviadas para a direita. 
e) Simétrica, com frequênciasdesviadas para a esquerda. 
RESOLUÇÃO: 
 No gráfico de distribuição de frequências, a moda se localiza na 
posição onde temos um pico de freqüências. Se a moda é o menor valor, 
ela está deslocada para o lado esquerdo do eixo de valores (eixo 
horizontal). Isto significa que temos um pico de frequências à esquerda. 
7HUHPRV�WDPEpP�XP�SURORQJDPHQWR�GRV�GDGRV�SDUD�D�GLUHLWD��R�TXH�³SX[D´�
a média para este lado, tornando-a maior que as demais medidas de 
posição: 
mo media méd
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 Assim, estamos diante de uma distribuição Assimétrica Positiva (à 
direita). 
Resposta: B 
 
VALOR ESPERADO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 Chamamos de valor esperado de uma variável aleatória a soma dos 
produtos entre cada valor que a variável pode assumir e a probabilidade de 
cada valor ser obtido. Imagine, por exemplo, a variável aleatória X = 
³Q~PHUR�GH�FDUURV�HP�XPD�FDVD´��$�SDUWLU�GD�DQiOLVH�GH�XPD�DPRVWUD�GH�
casas, você monta a tabela abaixo: 
Número de carros em uma 
casa: X 
Probabilidade: p(x) 
0 10% 
1 40% 
2 30% 
3 15% 
4 5% 
Mais de 4 0 
 Veja, por exemplo, que a probabilidade de entrar em uma casa com 
exatamente 3 carros é de 15%. Isto é, p(X = 3) = 15%. Assim, ao escolher 
aleatoriamente uma casa, o número esperado de carros ali presentes é 
dado por: 
( ) ( )E X x p x u¦ 
( ) 0 10% 1 40% 2 30% 3 15% 4 5% 1,65E X u � u � u � u � u 
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 Portanto, espera-se encontrar 1,65 carros em uma casa escolhida 
aleatoriamente. Ou melhor, o valor esperado da variável aleatória X é igual 
a 1,65. Obviamente você nunca encontrará em uma casa um número 
fracionário de carros, mas ao avaliar várias casas, espera-se que em média 
você encontre 1,65 carros por casa. 
8WLOL]DPRV�DLQGD�RV�QRPHV�³(VSHUDQoD�GH�;´�RX�³([SHFWkQFLD�GH�;´�
FRPR�VLQ{QLPRV�GR�³9DORU�HVSHUDGR�GH�;´��(�utilizamos o símbolo E(X). 
 
Assim, a rigor a esperança matemática, valor esperado ou 
expectância da variável aleatória X é dada por: 
1
( ) ( )i i
i
E X x p x
f
 
 u¦ 
 A fórmula acima é válida para variáveis aleatórias discretas, de modo 
que p(xi) representa a probabilidade de cada valor xi que a variável X pode 
assumir. 
 
Algumas variáveis aleatórias apresentam a mesma probabilidade 
para qualquer dos valores possíveis. Em um dado não-viciado, por 
exemplo, a probabilidade de obter qualquer dos valores {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
é igual a 1/6. Neste caso dizemos que estamos diante de um espaço 
amostral equiprovável, ou seja, todos os valores possíveis do espaço 
amostral da variável X possuem a mesma probabilidade. Nestes casos, o 
valor esperado é igual à média aritmética dos possíveis valores da variável 
aleatória. No caso do dado, temos: 
1
1 1 1 1 1 1( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 3,5
6 6 6 6 6 6i ii
E X x p x
f
 
 u u � u � u � u � u � u ¦
 
 
 Repare que o valor encontrado é justamente a média dos valores do 
conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Isto é, a esperança matemática da variável 
aleatória X é justamente o valor médio desta variável. 
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 No caso das variáveis aleatórias contínuas, a fórmula da esperança é 
essencialmente a mesma, porém usando a Integral (operação que você não 
precisa conhecer). A título de curiosidade, seria: 
( ) ( )E X x f x dx
f
�f
 u³ , 
onde f(x) é a função de densidade de probabilidade de X 
 
 Finalizando, seguem algumas propriedades do Valor Esperado que 
julgo serem interessantes você conhecer: 
 
a) E(k) = k Æ a esperança de uma função constante é igual à própria 
constante. Ex.: se uma variável X é tal que só assume o valor k = 7, então 
E(X) = 7. 
 
b) E(aX + b) = aE(X) + b Æ sendo a e b duas constantes, a variável 
aleatória Y = aX + b tem o valor esperado igual a aE(X) + b. Ex.: sendo Y 
= 2X + 1, então: 
E(Y) = E(2X + 1) = 2E(X) + 1 
 
c) E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) Æ sendo X e Y duas variáveis aleatórias, 
então a esperança da variável Z = aX + bY é igual a aE(X) + bE(Y). Ex.: 
sendo Z = 2X + 3Y, então: 
E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 
11. ESAF ± IRB ± 2006) Histograma e Polígono de frequência são 
a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de 
frequência. 
b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de 
frequência. 
c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de 
frequência. 
d) duas representações gráficas de uma distribuição de frequência. 
e) duas representações gráficas de uma distribuição de frequência, porém 
com sentidos opostos. 
RESOLUÇÃO: 
 O histograma é o gráfico barras com a distribuição de frequências. Já 
o polígono de frequências é o gráfico de linha representando essa mesma 
distribuição de frequências, porém utilizando apenas os limites superiores 
de cada classe. 
 Assim, ambos são representações gráficas de uma distribuição de 
frequências. 
Resposta: D 
 
12. CESPE ± CORREIOS ± 2011) Julgue o item a seguir: 
( ) Define-se variável como o conjunto de resultados possíveis para uma 
característica avaliada. 
RESOLUÇÃO: 
 &255(72�� &RQVLGHUDQGR� D� FDUDFWHUtVWLFD� ³LGDGH´� GDV� SHVVRDV��
definimos a variável Idade como sendo os valores desta característica em 
uma determinada amostra ou população. 
Resposta: C 
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13. CESPE ± TRE/ES ± 2011) 
 
A tabela acima apresenta uma distribuição hipotética das quantidades de 
eleitores que não votaram no segundo turno da eleição para presidente da 
República bem como os números de municípios em que essas quantidades 
ocorreram. Com base nessa tabela, julgue os itens seguintes, relativos à 
análise exploratória de dados. 
( ) Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir 
que a variável em questão é contínua. 
RESOLUÇÃO: 
 Apesar de a tabela do enunciado ter utilizado intervalos de classe, 
UHSDUH�TXH�DV�YDULiYHLV�³Q~PHUR�GH�HOHLWRUHV´�RX�³Q~PHUR�GH�PXQLFtSLRV´��não são contínuas. Afinal, é possível ter 20 eleitores, ou 21, mas não é 
possível ter 20,5 eleitores. Trata-se de variáveis discretas. Isto torna o item 
ERRADO. 
 Porém atenção: também é possível utilizar intervalos para 
representar variáveis contínuas! 
Resposta: E 
 
 
 
 
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14. CESPE ± TRE/ES ± 2011) 
 
Com base na tabela acima, referente às eleições de 2010, que apresenta a 
quantidade de candidatos para os cargos de presidente da República, 
governador de estado, senador, deputado federal e deputado 
estadual/distrital, bem como a quantidade de candidatos considerados 
aptos pela justiça eleitoral e o total de eleitos para cada cargo pretendido, 
julgue os itens a seguir. 
( ) O histograma é a representação gráfica ideal para a distribuição de 
frequências do número de candidatos aptos segundo o cargo pretendido. 
����$�YDULiYHO�³FDUJR´�FODVVLILFD-se como uma variável qualitativa ordinal. 
RESOLUÇÃO: 
( ) O histograma é a representação gráfica ideal para a distribuição de 
frequências do número de candidatos aptos segundo o cargo pretendido. 
 Recorde-se da nossa definição de histograma: gráfico de barras que 
representa, no seu eixo horizontal, as classes de valores que uma variável 
pode assumir, e em seu eixo vertical os valores das frequências de cada 
classe. 
 Entretanto, a YDULiYHO� ³FDUJR´� p� TXDOLWDWLYD. Assim, por mais que 
possamos ordenar os cargos do menor para o maior, não podemos 
mensurar a diferença entre eles para dispor na escala horizontal do gráfico. 
É possível, sim, fazer um gráfico de barras que represente a variável cargo, 
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mas este gráfico NÃO é um histograma, que representa apenas variáveis 
quantitativas. Item ERRADO. 
����$�YDULiYHO�³FDUJR´�FODVVLILFD-se como uma variável qualitativa ordinal. 
 &255(72��$�YDULiYHO�³FDUJR´�p�TXDOLWDWLYD��FRPR�Mi�GLVVHPRV��H�RV�
seus valores podem ser ordenados do menor para o maior (de deputado 
estadual/distrital até presidente da república). Assim, esta variável é 
³RUGLQDO´�� 6H� QmR� SXGpVVHPRV� RUGHQDU�� HVWD� YDULiYHO� VHULD� TXDOLWDWLYD�
nominal��8P�H[HPSOR�p�D�YDULiYHO�³VH[R�GDV�SHVVRDV´��(VWD�YDULiYHO�SRGH�
assumir dois valores qualitativos (masculino e feminino), porém estes 
valores não podem ser colocados em uma ordem crescente. 
Resposta: E C 
 
15. FCC ± BACEN ± 2006) A média aritmética dos salários dos 100 
empregados em uma empresa é de R$ 1500,00. Na hipótese de serem 
demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2500,00, 
e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários 
dos remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de 
 a) R$ 1 375,00 
 b) R$ 1 350,00 
 c) R$ 1 345,00 
 d) R$ 1 320,00 
 e) R$ 1 300,00 
RESOLUÇÃO: 
 Chamando de Si o salário de cada empregado, e sabendo que a média 
de salários dos 100 empregados (n = 100) é 1500, podemos dizer que: 
1
n
i
i
S
Média
n
 
¦
 
100
11500
100
i
i
S
 
¦
 
Portanto, 
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100
1
1500 100 150000i
i
S
 
 u ¦ 
 
 Ou seja, a soma dos salários dos 100 empregados é de 150000 reais. 
Retirar 20 empregados que ganham 2500 reais cada, significa retirar 
20x2500 = 50000 reais desta soma, sobrando 150000 ± 50000 = 100000 
reais. Além disso, o número de funcionários passou a ser de 80. 
 Após essa retirada, é concedido aumento de 10% para os 
funcionários, o que faz a soma dos salários (100mil) aumentar em 10%, 
chegando a 110000 reais. 
 Deste modo, para obter a nova média dos salários, basta dividir a 
soma total (110mil) pelo novo número de empregados (80): 
Média = 110000/80 = 1375 reais 
Resposta: A 
 
16. DOM CINTRA - CREMERJ/RJ - 2011) A média aritmética das idades 
de 10 alunos de uma determinada turma é igual a 15 anos. Se dois alunos, 
um com 12 anos e outro com 18 anos, saírem dessa turma, a média 
aritmética das idades dos 8 alunos restantes será igual a: 
A) 13 
B) 14 
C) 15 
D) 16 
E) 17 
RESOLUÇÃO: 
 A média das idades dos 10 alunos da turma original é dada por: 
15
10
Xi
Média
n
Xi
 
 
¦
¦ 
 
Podemos assim obter o valor da soma das idades dos alunos: 
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15 10 150Xi u ¦ 
 
A soma das idades dos alunos ( Xi¦ , na fórmula acima) pode ser 
representado por S + 12 + 18, ou simplesmente S + 30, onde S é a soma 
das idades dos 8 alunos que restaram na turma. Substituindo isso na 
equação acima, temos: 
150Xi ¦ 
S + 30 = 150 
S = 120 
 
 Portanto, a soma das idades dos alunos que restaram na turma é de 
120. Como são apenas 8 alunos restantes, a nova média será: 
Média = 120 / 8 = 15 (letra C) 
 
 Note que a média se manteve, mesmo com a saída de 2 alunos. Isso 
porque foram retirados 2 alunos cuja média de idades era igual à média de 
idade do total, isto é, 15 anos: (18+12)/2 = 15. Se tivéssemos tirados 2 
alunos muito velhos ou muito novos, a média com certeza se alteraria. 
Resposta: C 
 
17. FCC ± BACEN ± 2006) O histograma de frequências absolutas a 
VHJXLU� IRL� HODERUDGR� FRP� EDVH� QDV� LQIRUPDo}HV� FRQWLGDV� QD� UHYLVWD� ³2�
(PSUHLWHLUR´�� GH� MXQKR� GH� ������ TXH� GHPRQVWUD� R� FRPSRUWDPHQWR� GDV�
empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram 
faturamento em 2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor ou 
igual a 120 milhões de reais 
 
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Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do 
faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os 
valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o 
ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste 
histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de 
classe que contém 
 a) 24% das empresas 
 b) 16% das empresas. 
 c) 9% das empresas. 
 d) 7% das empresas. 
 e) 5% das empresas. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos representaros dados da tabela acima pela seguinte tabela: 
Classe 
(milhões de 
reais) 
Frequências 
(Fi) 
15 |--- 30 31 
30 |--- 45 24 
45 |--- 60 16 
60 |---75 9 
75 |---90 5 
90 |---105 7 
105 |---120 8 
 
 Calculando os pontos médios de cada classe, temos: 
Classe 
(milhões de 
reais) 
Ponto médio 
(milhões de 
reais) 
Frequências 
(Fi) 
15 |--- 30 22,5 31 
30 |--- 45 37,5 24 
45 |--- 60 52,5 16 
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60 |---75 67,5 9 
75 |---90 82,5 5 
90 |---105 97,5 7 
105 |---120 112,5 8 
 
 Com isso em mãos, podemos calcular o faturamento médio através 
da fórmula 1
1
( )
n
i
n
i
PMi Fi
Média
Fi
 
 
u
 
¦
¦
. A coluna da direita da tabela abaixo nos 
auxilia a implementar essa fórmula: 
Classe 
(milhões 
de reais) 
Ponto 
médio 
(milhões 
de reais) 
Frequências 
(Fi) 
uPMi Fi 
15 |--- 30 22,5 31 697,5 
30 |--- 45 37,5 24 900,0 
45 |--- 60 52,5 16 840,0 
60 |---75 67,5 9 607,5 
75 |---90 82,5 5 412,5 
90 |---105 97,5 7 682,5 
105 |---
120 
112,5 
8 900,0 
 
 Somando os valores da coluna da direita, temos: 
1
( ) 5040
 
u ¦n
i
PMi Fi . 
Veja ainda que a soma da coluna das frequências é 
1
100
 
 ¦n
i
Fi . 
Portanto, o faturamento médio é: 
1
1
( ) 5040 50,40
100
 
 
u
 
¦
¦
n
i
n
i
PMi Fi
Média
Fi
 
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 Este valor de faturamento (50,40 milhões de reais) está na 3ª classe 
(de 45 a 60 milhões de reais), que contém 16 empresas. Portanto, o 
percentual de empresas que se encontram nesta classe é igual a 16/100 = 
16%. 
Resposta: B 
 
18. ESAF ± SEFAZ/CE - 2006) A média aritmética discreta de uma 
população qualquer é dada pela seguinte formulação: 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
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 Veja que o exercício menciona POPULAÇÃO, e não AMOSTRA. 
Normalmente utilizamos X para representar a média amostral, e P para 
representar a média populacional. 
 Portanto, a fórmula correta para a média populacional é: 
iX
n
P ¦ 
 Temos isso na letra C. 
Resposta: C 
 
19. ESAF ± SEFAZ/CE - 2006) Qual a variação (índice de aumento ou 
redução) do preço médio verificado na tabela de compras abaixo? 
 
a) 25%. 
b) 33%. 
c) 50%. 
d) 125%. 
e) 133% 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular o preço médio em cada ano, lembrando da fórmula 
para a média: 
i i
i
X F
Média
F
u ¦¦ 
9HMD�TXH�D�FROXQD�³4WGH�´�DSUHVHQWD�R�Q~PHUR�GH�frequências (Fi). 
-i�D�FROXQD�D�³9DORU�7RWDO´�DSUHVHQWD�R�YDORU�GD�PXOWLSOLFDoão do preço 
unitário Xi pelo número de frequências Fi , ou seja, os produtos i iX Fu da 
fórmula acima. 
Portanto, a média de cada ano será: 
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20 20 20 30( 0) 1,5
10 20 10 20
i i
i
X F
Média ano
F
u � � � � � �
¦
¦ 
e 
40 60 40 40( 1) 2
20 30 20 20
i i
i
X F
Média ano
F
u � � � � � �
¦
¦ 
 Portanto, de um ano para o outro o preço médio variou: 
2 1 33,3%
1,5
� 
Resposta: B 
 
20. FCC ± Banco do Brasil ± 2006) Os salários dos 40 empregados de 
uma empresa, em 31 de dezembro de 2005, estavam distribuídos conforme 
a tabela abaixo: 
 
Neste caso, tem-se que a média aritmética dos salários dos empregados é 
(A) R$ 1 400,00 
(B) R$ 1 230,00 
(C) R$ 1 150,00 
(D) R$ 1 100,00 
(E) R$ 1 050,00 
RESOLUÇÃO: 
 Como temos uma tabela de frequência, podemos usar a fórmula: 
1
1
( )
n
i
n
i
Xi Fi
Média
Fi
 
 
u
 
¦
¦
 
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400 4 550 8 1000 10 1400 16 1800 2 1050
4 8 10 16 2
Média u � u � u � u � u � � � � 
Resposta: E 
 
21. FCC ± Banco do Brasil ± 2011) Palmira faz parte de um grupo de 10 
funcionários do Banco do Brasil cuja média das idades é 30 anos. Se Palmira 
for excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes passa 
a ser 27 anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é 
(A) 60. 
(B) 57. 
(C) 54. 
(D) 52. 
(E) 48. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P a idade de Palmira e S a soma das idades dos 9 colegas 
restantes. Como a média destes 9 colegas seria 27 anos, então: 
Média dos restantes = S / 9 
27 = S / 9 
S = 27 x 9 = 243 anos 
 
 Como a média total, incluindo a idade de Palmira, é de 30 anos, 
temos que: 
Média = (S + P) / 10 
30 = (243 + P) / 10 
P = 57 anos 
Resposta: B 
 
22. FCC ± BANESE ± 2012) O número de caixas eletrônicos disponíveis 
em cada agência de um banco varia de acordo com o tamanho da agência. 
O gráfico a seguir mostra como estão distribuídos esses caixas nas várias 
agências. 
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O número médio de caixas eletrônicos disponíveis por agência desse banco 
é igual a 
(A) 3,25. 
(B) 3,4. 
(C) 3,5. 
(D) 3,6. 
(E) 3,75. 
RESOLUÇÃO: 
 A partir do gráfico temos a seguinte tabela de frequências: 
Xi fi 
1 10 
2 15 
3 49 
4 33 
5 37 
6 6 
 
Assim, a média é dada por: 
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1
1
( )
n
i
n
i
Xi Fi
Média
Fi
 
 
u
 
¦
¦ 
1 10 2 15 3 49 4 33 5 37 6 6 3,6
10 15 49 33 37 6
Média u � u � u � u � u � u � � � � � 
Resposta: D 
 
23. FCC ± SPPREV ± 2012) O professor