Resolução de Problemas em Educação Matemática 1 - Unidade II

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ESTUDOS DISCIPLINARES
Resolução de Problemas em
Educação Matemática I 
Profa. Ana Carolina Bueno
Geometria Plana
 Os estudos iniciais sobre Geometria 
Plana estão relacionados à Grécia 
Antiga. Também pode ser denominada 
Geometria Euclidiana em homenagem a 
Euclides de Alexandria
(360 a.C. - 295 a.C.).
Ponto, reta e plano
Posições relativas entre retas
Ângulos
Triângulos
Quadriláteros
Polígonos
Perímetro
Áreas de regiões planas
Conceitos preliminares de 
Geometria
Ponto: 
 É um conceito primitivo. Os pontos são 
nomeados com letras maiúsculas (A, B, 
C...) 
A
B
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica
/fundam/geometria/geo-basico.htm
http://cejarj.cecierj.edu.br/pdf_
mod3/matematica/Unid2_MAT_
Matematica_Modulo_3.pdf
Conceitos preliminares de 
Geometria
Reta: 
 É um conceito primitivo.
 Determinada por dois 
pontos distintos.
 Infinita. 
 Por um único ponto 
passam infinitas retas.
 Formada por infinitos 
pontos.
 Nomeadas com letras 
minúsculas: r, s, t
AB
s
http://cejarj.cecierj.edu.br/pdf_
mod3/matematica/Unid2_MAT_
Matematica_Modulo_3.pdf
Conceitos preliminares de 
Geometria
Plano: 
 É um conceito primitivo.
 É formado por infinitas 
retas e infinitos pontos. 
 Três pontos não 
colineares (não 
alinhados) determinam 
um plano.
 Nomeados pelas letras 
minúsculas do alfabeto 
grego: α, β, γ.
AB
s
β
Conceitos preliminares de 
Geometria
Ponto, reta e plano
Softwares educacionais
 A inclusão da informática na educação 
tem acontecido de maneira acentuada 
por meio da utilização de softwares 
educativos. 
 Os softwares podem ser categorizados 
com dois enfoques: agregados a uma 
postura tradicional ou agregados a uma 
postura que favoreça o desenvolvimento 
de competências e habilidades de 
manipulação da informação para 
construção do conhecimento. 
Softwares de Geometria Dinâmica
 Os softwares de Geometria Dinâmica (GD) 
permitem a construção de entes geométricos a 
partir das propriedades que os definem. Eles 
possibilitam ao usuário movimentar os objetos 
construídos, de modo que as propriedades 
utilizadas na construção sejam mantidas. 
 Nos softwares de GD, utilizamos régua e 
compasso virtuais. A régua será fornecida pela 
“reta por dois pontos” e o compasso será dado 
pela “circunferência definida pelo centro e um 
de seus pontos”. 
 Softwares de GD gratuitos: Wingeom, 
GeoGebra. 
 Softwares de GD comerciais: Cabri Géomètre 
II, Geometer’s Sketchpad e Cinderella (possui 
versão gratuita). 
Wingeom
Aplicação do software
 Uma atividade 
pode ser: construir 
um triângulo ABC 
e pedir que a 
bissetriz do ângulo 
seja traçada.
 Em seguida, traçar 
a bissetriz do 
ângulo 
 Marcar o ponto de 
encontro dessas 
duas bissetrizes.
(Enade 2008)
Aplicação do software
 O uso de um software de 
Geometria Dinâmica na 
execução dessa atividade 
e de outras similares 
pode contribuir para a 
elaboração de 
conjecturas pelos 
alunos? Será que 
prejudica ou auxilia o 
desenvolvimento do 
raciocínio lógico-
dedutivo? Dificulta ou 
facilita o 
desenvolvimento do 
pensamento geométrico?
INTERVALO
Derivadas
 Definição: a derivada de uma função y = 
f(x) é denotada por f’(x), sendo que, em 
qualquer x  D(f), 
se esse limite existir.
 Derivada da função potência: se n é um 
número real e f(x) = xn, então f’(x) = n.x n-1 
 Derivada do quociente de funções: sejam 
f e g duas funções e h a função definida 
por: 
 Sendo g(x)  0, se f’(x)e g’(x) existem, 
então:
Aplicação de derivada
 Uma partícula se desloca em linha reta, 
de tal forma que sua distância à origem é 
dada, em função do tempo, pela 
equação: s = 4t + 6t²
 Calcular a sua velocidade, em unidades 
S.I., no instante t =1s.
De acordo com a definição de 
velocidade, temos que: v = ds/dt
Portanto:
 A relação acima fornece a velocidade em 
função do tempo. Substituindo t = 
1s nesta relação, obtemos: 
V = 4 + 12  1 = 16 m/s
Estudo do sinal das funções
 Determinar os intervalos nos quais ela 
tem imagem e os intervalos nos quais ela 
tem imagem positiva.
 O estudo do sinal de funções lineares é 
bastante simples, pois elas apresentam 
uma única raiz real e, portanto, mudam 
de sinal uma única vez. Por exemplo, a 
única raiz da função polinomial y = 2x - 6
é x = 3.
 Assim, a função é positiva em {x 
R/x>3} e é negativa em [x R/x<3}.
Estudo do sinal das funções
 As raízes da função y = x² -3x – 4 são x = -1 e x 
= 4. Como o coeficiente do termo quadrático é 
positivo, o gráfico da função é uma parábola 
com a concavidade voltada para cima.
 Sendo assim, a função é positiva em {x  R / x 
< -1 ou x > 4} e é negativa em {x  R / -1 < x < 4} 
Aplicação de derivadas
Questão Enade 2008
A concentração de certo fármaco no sangue, 
t horas após sua administração, é dada pela 
fórmula: 
Em qual intervalo essa função é crescente? 
a) t ≥ 0 
b) t > 10 
c) t > 1 
d) 0 ≤ t < 1 
e)
Aplicação de derivadas
 Estudar o sinal da primeira derivada de y(t). 
Sejam f e g duas funções e y a função definida 
por:
 Sendo g(t)  0, se f’(t) e g’(t) existem, então:
 Derivando y(t):
Aplicação de derivadas
Vamos estudar o sinal da função:
As raízes de a(t) = -10t² + 10 são:
 a(t) = 0  -10t² + 10 = 0  10t² = 10  t² = 
10/10  t² = 1  t =  1.
As raízes de b(t) = (t + 1)4 são: 
 b(t) = (t + 1) 4  b(t) = 0  (t + 1) 4 = 0 
(t + 1) = 
 t + 1 = 0  t = -1.
 Como a restrição é b(t)  0, então (t + 1)4
 0  t  -1. Assim, a função b(t) não 
apresenta raiz real.
Aplicação de derivadas
 Sendo MA “mesmo sinal de a” e CA “sinal 
contrário de a”, considerando as funções do 1º 
e 2º graus dadas por y = ax + b e y = ax² + bx + 
c, estudamos o sinal do quociente pelo
“varal real”.
 Assim, temos valores positivos para a função 
y’(t) em 0  t  1. Não podemos considerar o 
intervalo -1 < t < 1, pois temos a condição t  0
(-) (+) (-)
MA CA MA
(+)
MA
(+)
MA
-1 1
(-) (+) (+) (-)
-1 10
a(t)
b(t)
a(t)Vb(t)
INTERVALO
Situações-problema
 Surgem de casos relacionados a 
questões cotidianas ou vinculados a 
diversas áreas do conhecimento. 
 A resolução de situações-problema 
auxilia na construção de conceitos, 
procedimentos e atitudes relacionados
à Matemática.
 Meta: fazer o aluno aprender conceitos e 
técnicas e utilizar a linguagem 
matemática para comunicar ideias. 
Tipos de situações-problema
 Não convencionais ou heurísticas: para 
resolver esse tipo de problema, há a 
necessidade da elaboração de um 
raciocínio mais complexo, pois as 
operações não estão evidenciadas
no enunciado. 
 Do cotidiano ou de aplicação: envolvem 
o contexto real do aluno e o 
levantamento de dados, a confecção de 
gráficos, tabelas e desenhos e a 
aplicação das operações. 
Resolução de situações-problema
 Compreensão do problema: interpretar o que 
sugere a situação-problema, extrair os dados 
relevantes, verificar o que está sendo 
perguntando e o que precisa ser usado em 
termos de conhecimentos matemáticos. 
 Estabelecimento do plano de resolução: exige 
que o aluno faça mentalmente ou por escrito a 
conexão “teoria-prática-problema”. 
 Execução do plano: o aluno executa o plano 
elaborado na etapa anterior com o propósito 
de tentar obter a solução. 
 Retrospecto: o aluno verifica se a solução
que encontrou é realmente a que foi solicitada 
pelo enunciado. O professor deve ser um 
agente participante,fazendo as
interferências necessárias. 
Questão Enade
Entre os procedimentos envolvidos na 
modelagem de uma situação-problema, 
estão sua tradução para a linguagem 
matemática e a resolução do problema, 
utilizando-se conhecimentos matemáticos. 
Nessa perspectiva, um professor propôs a 
seguinte situação-problema para seus 
alunos: Escolha o nome para uma empresa 
que possa ser lido da mesma forma de 
qualquer um dos lados de uma porta de 
vidro transparente. A solução desse 
problema pressupõe encontrar:
Questão Enade
a) letras do alfabeto que sejam simétricas em 
relação a um ponto. 
b) letras do alfabeto que tenham simetria em 
relação a um eixo horizontal. 
c) letras do alfabeto que tenham simetria em 
relação a um eixo vertical. 
d) palavras que sejam simétricas em relação a
um ponto. 
e) palavras que sejam simétricas em relação a um 
eixo horizontal. 
 Alternativa correta: C. Para que uma letra 
possa ser vista da mesma forma de qualquer 
um dos lados de uma porta de vidro, ao 
rotacioná-la, ela deverá manter essa forma.
Logo, deve ser simétrica em relação
a um eixo vertical. 
Outra questão Enade
A professora Clara propôs a seus alunos 
que encontrassem a solução da seguinte 
equação do segundo grau: 
x² - 1 = (2x + 3)(x – 1). Pedro e João 
resolveram o exercício da seguinte 
maneira: 
Resolução de Pedro:
X² - 1 = (2x + 3)(x – 1)
X² - 1 = 2x² + x -3
2 – x = x²
Como 1 é solução dessa equação, então S = {1}
Resolução de João:
X² - 1 = (2x + 3)(x – 1)
(x – 1)(x + 1) = (2x + 3)(x – 1)
X + 1 = 2x + 3
Portanto, S = {-2}
Outra questão Enade
Pedro e João perguntaram à professora por que 
encontraram soluções diferentes. A professora 
observou que outros alunos haviam apresentado 
soluções parecidas com as deles. Entre as 
estratégias apresentadas nas opções a seguir, 
escolha a mais adequada a ser adotada por Clara 
visando à aprendizagem significativa por parte 
dos alunos. 
a) Indicar individualmente, para cada aluno que 
apresentou uma resolução incorreta, onde está 
o erro e como corrigi-lo, a partir da estratégia 
inicial escolhida pelo aluno. 
b) Resolver individualmente o exercício para cada 
aluno, usando a fórmula da resolução da 
equação do 2º grau, mostrando que esse é o 
método que fornece a resposta correta. 
Outra questão Enade
c) Pedir a Pedro e João que apresentem à 
classe suas soluções para discussão e 
estimular os alunos a tentar compreender 
onde está a falha nas soluções apresentadas 
e como devem fazer para corrigi-las. 
d) Escrever a solução do exercício no quadro, 
usando a fórmula da resolução da equação
do 2º grau, para que os alunos percebam
que esse é o método que fornece a
resposta correta. 
e) Pedir que cada um deles comunique à classe 
como resolveu o exercício e, em seguida, 
explicar no quadro para a turma onde está a 
falha na resolução de cada um e como eles 
devem fazer para corrigi-la. 
Outra questão Enade
 Alternativa correta: “c”.
 Pedro, ao chegar a 2 – x = x², não 
verificou que x = -2 satisfaz à equação. 
 João, ao chegar a (x – 1)(x + 1) = (2x + 
3)(x – 1), não verificou que x = 1 satisfaz 
à equação, tornando o fator x – 1 igual a 
zero, e, ao simplificar, desconsiderou a 
raiz nula. 
 Melhor estratégia: fazer com que os 
alunos discutam entre si, verifiquem os 
equívocos cometidos e tentem 
compreender as causas dos erros e 
como corrigi-los. 
INTERVALO
Sustentabilidade: questão 
Enade 2005
Com o objetivo de chamar a atenção para o 
desperdício de água, um professor propôs a 
seguinte tarefa para seus alunos da 6ª série do 
ensino fundamental: 
 Sabe-se que, em média, um banho de 15 
minutos consome 136 L de água. O consumo 
de água de uma máquina de lavar roupas é de 
75 L em uma lavagem completa e uma torneira 
pingando consome 46 L de água por dia. 
Podemos comparar a quantidade de água 
consumida por sua família durante uma semana 
com a quantidade de água que é desperdiçada por 
duas torneiras pingando nesse período. 
Podemos elaborar modelos matemáticos?
Podemos analisar criticamente a situação-
problema levando em conta questões sociais?
Sustentabilidade
 A natureza tem um equilíbrio dinâmico, sua 
sustentabilidade é fundamental e 
esgotável.Tomar consciência dessa realidade é 
imprescindível e urgente.
 O meio ambiente ecologicamente equilibrado é 
direito de todos, cabe ao homem o dever de 
defendê-lo e preservá-lo para futuras gerações. 
Sustentabilidade
 Relacionar a Matemática ao estudo do meio 
ambiente proporciona, através dos números, 
mensurar prejuízos e projetar soluções, e torna 
a aprendizagem algo construtivo, podendo se 
constituir em um comportamento cotidiano ou 
uma práxis educativa para formar a 
consciência ecológica dentro de indicadores 
reais.
Situações para pensar
“Cada pessoa produz entre 300 gramas e 1 quilo de 
lixo por dia. Mas alguns países contribuem mais. Em 
2003, somente os Estados Unidos geraram 236 
milhões de toneladas apenas em lixo doméstico. Os 
aterros sanitários estão saturados. O índice de 
reciclagem ainda não é o bastante. Os EUA reciclam 
só 30% de seus resíduos.” Fonte: Revista Época, 
outubro/2006.
 Maria produz, em média, 500 gramas de lixo por 
dia. Ao descobrir que, se reduzisse sua produção 
de lixo em 10%, ao final de um ano ela poderia 
evitar de jogar na atmosfera 550 quilos de dióxido 
de carbono, resolveu mudar seus hábitos e passou 
a produzir, em média, 300 gramas de lixo por dia. 
Ao final de um ano, quantos quilos de CO2 ela terá 
evitado lançar na atmosfera? 
Fonte: Profª Debora da Silva Soares, 
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/sustentabilidade
/matematica.htm
Questões para pensar
“A erosão e o uso inadequado estão secando 
alguns dos principais rios do planeta, como o 
Amarelo, na China, e o Colorado, nos Estados 
Unidos. Em média 18% da população mundial 
tem de andar mais de 1 quilômetro a pé para 
buscar água. Para alimentar 1,1 bilhão de 
pessoas, a Índia retira mais água do subsolo 
do que as chuvas conseguem repor.”
 Uma torneira pingando um pouco mais de 
uma gota por segundo desperdiça 0,0005325 
litro de água por segundo. Quantos litros de 
água serão desperdiçados se a torneira 
permanecer aberta durante um dia inteiro?
Fonte: Profª Debora da Silva Soares, 
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/su
stentabilidade/matematica.htm
Questão simulado Enem
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Quantidade de litros de água virtual que foram 
empregados na produção de alguns itens:
Questão simulado Enem
A quantidade de água utilizada como matéria-prima 
ou como insumo da introdução de um bem ou 
serviço é chamada de água virtual. 
Considere que uma pessoa, num único dia, tenha 
realizado as seguintes atividades:
 de manhã, saiu com uma camiseta
de algodão;
 no almoço, consumiu carne bovina (um bife de 
300 g) e, no jantar, um pedaço de carne suína 
(300 g);
 tomou duas xícaras de café: uma após o almoço 
e outra após o jantar;
 utilizou cinco folhas de papel A4 para fazer 
exercícios escolares;
 à noite, saiu com outra camiseta de
algodão e um par de sapatos de couro.
Questão simulado Enem
Com base nessas informações, quantos 
litros de água virtual foram utilizadosnos 
produtos que essa pessoa usou e 
consumiu neste único dia?
 Justificativa: para calcular quantos litros 
de água virtual foram utilizados nos 
produtos que a pessoa usou e consumiu 
no dia, devemos verificar quanto de água 
foi utilizada em cada situação 
comparando com a tabela. Assim:
De manhã, saiu com uma camiseta de 
algodão:
Para cada camiseta, são consumidos 
2.000 litros de água.
No almoço, consumiu carne bovina 
(um bife de 300 g):
Um bife de 150 g de carne bovina 
consome 2.325 litros de água, então 
300 g irá consumir 2 x 2.325 = 4.650 
litros.
E, no jantar, um pedaço de carne 
suína (300 g):
Um bife de 150 g de carne suína 
consome 720 litros de água, então 
300 g irá consumir 2 x 720 = 1.440 
litros.
Tomou duas xícaras de café: uma 
após o almoço e outra após o jantar:
Cada xícara de café consumiu 140 
litros de água e, como ele tomou duas 
xícaras, o consumo de água foi 2 x 
140 = 280 litros.
Utilizou cinco folhas de papel A4 para 
fazer exercícios escolares:
O uso de uma folha de papel A4 
consome 10 litros de água, então o 
uso de 5 folhas será 5 x 10 = 50 
litros.
À noite, saiu com outra camiseta de 
algodão: 
Uma camiseta de algodão consome 
2.000 litros de água.
E um par de sapatos de couro:
Um par de sapatos de couro consome 
8.000 litros de água.
Questão simulado Enem
Com os valores calculados do consumo de 
água que a pessoa gastou em cada 
situação, podemos determinar o uso e 
consumo total de água somando o 
consumo gasto em cada situação:
 Consumo total de água = 2.000 + 4.650 + 
1.440 + 280 + 50 + 2.000 + 8.000
 Consumo total de água = 18.420 litros
ATÉ A PRÓXIMA!