Sequência numérica, onde aparece?

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Cálculo II 
 
 
 
AULA 2 
SEQUÊNCIA NUMÉRICA, ONDE APARECE? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Sequências numéricas cotidianas ........................................................................................... 2 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 5 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 5 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
Anteriormente foi abordado o tema ‘sequência numérica’, utilizado para 
representar conjuntos de números dispostos em uma ordem preestabelecida. Além 
disso, foram apresentados os dois tipos de sequência, as finitas e infinitas. Foi 
exposto também a representação da sequência de Fibonacci, que ocorre por meio 
de um processo de recorrência, ou seja, partindo de termos anteriores. 
As sequências podem ser aplicadas em situações que necessitam ordenar 
elementos, ou seja, geram uma “lei” de recorrência. Se pensar um pouco, no próprio 
cotidiano existem exemplos de ordenamento, como o tempo entre o acontecimento 
“Copa do Mundo”, em que se conta os anos em intervalos de 4 em 4 anos. A própria 
sequência de números naturais também segue uma lei, conta-se de 1 em 1. 
Partindo desta observação pode-se entender que a sequência numérica, nada 
mais é que uma sucessão numérica, no entanto em uma ordem definida. Existem 
uma gama de aplicações que envolvem sequências, como em fenômenos físicos, 
fenômenos biológicos, artes dentre outros. Este é o assunto desta apostila, em que 
serão apresentados exemplos práticos e situações do cotidiano onde aparecem as 
sequências numéricas. 
Objetivos 
• Compreender a importância das sequências numéricas; 
• Conhecer a utilização das sequências numéricas no dia a dia. 
 
1. Sequências numéricas cotidianas 
As sequências numéricas estão presentes no cotidiano e as vezes não passam 
despercebidos, como por exemplo na contagem do tempo, organização de 
calendário, em que é realizado de forma automática. Outra aplicação, analise os 
dias, com suas horas, minutos, segundos, todos eles na semana, no mês, no ano, nas 
décadas e séculos, a organização da semana, meses, estações do ano. Você 
consegue perceber que existem inúmeras sequências durante um ciclo de vida? 
 É fato que de acordo com o calendário em vigência no ocidente, que 
considera como oficial a contagem dos anos de acordo com o Calendário 
Gregoriano, criado em 24 de fevereiro de 1582, pelo Papa Gregório XIII, os anos 
começam a ser contados a partir do momento de nascimento de Jesus Cristo, 
dividindo desta forma a história da humanidade em antes de Cristo (a.C.) e depois de 
Cristo (d.C.). 
 
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O ponto de interesse neste momento é saber quando e como esta situação foi 
decidida, que vem a ser por volta de 600 d.C., quando houve uma decisão de se 
considerar como ano zero a data do nascimento de Cristo. 
No século VI viveu o monge Dionísio, o Pequeno, que se preocupou e ainda 
fez grande esforço para que fosse estabelecido que a data de nascimento do Cristo 
fosse em 25 de dezembro de 753 a partir da fundação de Roma. 
A data de 25 de dezembro foi aceita e estabelecida pela igreja como o dia do 
nascimento de Jesus Cristo pelo fato de que assim o dia de Natal se sobreporia, às 
celebrações do solstício de inverno e ainda à festa de Mitra, o Deus da luz, festejada 
pelos antigos exatamente neste dia, desta forma, a Igreja conseguiu cristianizar as 
festividades pagãs, impondo-lhes simbolismos cristãos por meio de e uma nova 
linguagem cristã. 
Os estudos da contagem do tempo são chamados de cronologia e compõem 
uma das invenções fundamentais da espécie humana e é justamente por meio deste 
conjunto de conhecimentos que as civilizações conseguem organizar e controlar 
suas atividades e suas vidas. 
Para entender um pouco destas atividades tão cotidianas e de como a 
utilização do relógio tem influência e importância na vida das pessoas, é necessário 
realizar uma análise da história e verificar como estes modelos de organização foram 
desenvolvidos. 
As primeiras medidas de tempo, que se tem conhecimento, tinham suas 
bases nos fenômenos naturais repetitivos, isto é, mesmo antes até da própria 
invenção da escrita, que é um marco histórico, sem dúvida, a humanidade por não 
ter nenhum tipo de conhecimentos sobre a construção de algum utensílio que 
pudesse auxiliar na medição dos intervalos de tempo, recorria-se aos fenômenos 
naturais que fossem periódicos para referência de ciclos de tempo. 
Estes fenômenos, com a característica de serem periódicos, eram os 
movimentos dos corpos celestes que ao longo do tempo passaram a determinar e 
organizar as estações do ano, os meses e os próprios anos. Neste caso, são 
considerados os ciclos das fases da lua e de estrelas, por exemplo, que aparecem em 
períodos iguais e acabam por orientar e determinar épocas de plantio, colheita e até 
de comportamento dos animais. 
Mas como são organizados os minutos, horas, dias, semanas meses e anos? 
Muito simples! Por meio de convenções e determinações históricas eles 
foram organizados em sequências sucessivas de modo a facilitar a ordenação do 
tempo e das atividades dos povos ao redor do planeta. Veja só: 
O dia. 
Foi por meio de uma conferência internacional, realizada em Whashington-
USA, que se estipulou um dia específico de âmbito universal, que se iniciava a zero 
hora GMT, ou seja, Greenwich Meridian Time. 
 
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 Portanto, foi oficializado que a passagem do ano aconteceria sempre quando 
o Meridiano de Greenwich passava do instante 23:45 para 00:00. 
A hora. 
Era observada por meio do relógio de água ou de sol, e foi tecnologicamente 
melhorado a partir da descoberta do “princípio do pêndulo” por Galileu Galilei, no 
ano de 1853. E a partir de então, houve várias descobertas, desde relógios a base de 
quartzo até o atômico. 
No entanto, sabe-se que o planeta é que determina a hora real, ou seja, 
qualquer alteração no movimento, faz-se alterações no relógio atômico. Desta 
forma, pode-se ajustar por meio de uma subtração ou soma nos meses de junho ou 
dezembro de cada ano. 
Existem outras aplicações interessantes em que se utiliza as séries de 
Fibonacci, como na óptica dos raios de luz, uma aplicação à Física. Sabe-se que para 
duas placas de vidro sobrepostas, que apresentem índices de refração distintos, 
qualquer raio incidente irá sofrer reflexão, bem como desvios. 
Neste caso, a aplicação da sequência está na contagem dos possíveis 
caminhos, partindo de uma mudança no número de reflexões que esse raio irá 
sofrer. 
Existem ainda aplicações em fenômenos biológicos, como por exemplo em 
crescimento e ramificações de algumas plantas. Em uma planta denominada 
espirradeira, nos chamados pontos de crescimento, o fortalecimento de cada 
ramificação demora cerca de dois meses, portanto, mensalmente a planta se 
ramifica e segue a sequência de Fibonacci para o fenômeno de ramificação.Artisticamente, esta sequência também pode ser utilizada, como por exemplo 
no quadro da Mona Lisa, pelo famoso Leonardo da Vinci, que realizou toda a obra 
adotando a sequência de Fibonacci. Para isto utilizou-se a razão para relacionar o 
tronco, cabeça e os elementos do rosto. 
Diante destas informações, entende-se que a sequência pode ser aplicada de 
forma natural no cotidiano, mesmo que inicialmente não seja perceptível, basta 
analisar um fenômeno que é possível enxergar sua presença. 
 
Exercícios 
1. (UNIFRA INV/2012) As sequências numéricas aparecem com frequência na 
maneira que contamos e organizamos o tempo, assim, se o dia 1º de um 
determinado mês cair em um domingo, em que dia da semana vão cair: 
a) O dia 11 deste mês. 
b) O dia 17 deste mês. 
c) O dia 29 deste mês. 
 
 
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2. (Banestes, 2015) Um determinado cofre possui uma senha para sua 
abertura, composta por uma sequência de sete números, todos eles menores do que 
100 e obedecendo certa lógica. Considerando que não se sabe qual é o quinto 
número dessa sequência e demais são: (32, 27,35, 30, __, 33, 41). Então, de acordo 
com as informações, qual é o quinto número da sequência? 
a) 45 
b) 31 
c) 44 
d) 40 
e) 38 
 
3. (Autora, 2019) Alguns números aparecem dispostos em uma determinada 
sequência lógica: 0, 5, 50, 5, 10, 45, 10, 15, 40, 15,… 
De acordo com esta condição, a soma entre os dois próximos números que 
aparecerão nesta sequência é: 
a) 45 
b) 50 
c) 55 
d) 60 
e) 65 
 
Gabarito 
 
1. A organização das semanas segue uma sucessão numérica com 7 dias 
diferentes, desta forma se o dia 1º de um mês foi em um domingo, os dias 8, 15, 22 e 
29 também serão no domingo, logo: 
 
a) Se o dia 8 foi em um domingo, o dia 11 será três dias depois, na quarta-feira. 
b) Da mesma forma, se o dia 15 foi no domingo, o dia 17 será na terça-feira. 
c) Logo o dia 29 será em um domingo também. 
 
2. Observando a sequência percebemos que é possível verificar que ora 
subtrai-se 5, ora soma-se 8, então de acordo com esta lógica, podemos concluir que 
o número 38 pode ser inserido na quinta posição. 
 
32 – 5 = 27 
27 + 8 = 35 
 
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35 – 5 = 30 
30 + 8 = 38 
38 – 5 = 33 
33 + 8 = 41 
Resposta: E = 38 
 
 
3. Analisando a sequência, percebemos que existe um padrão, separado em 
duas ordens: 
_, _, 50, _, _, 45, _, _, 40, _, _, 35, … 
e 
_, 5, _, 5, 10, _, 10, 15, _, 15, 20, _, 20, 25, _… 
 
Assim, a continuação da sequência será: 
0, 5, 50, 5, 10, 45, 10, 15, 40, 15, 20, 35, 20, 25, 30… 
 
Então, a soma dos dois próximos termos é 20 + 35 = 55 
Resposta: letra C 
Resumo 
Em nosso cotidiano estamos cercados pelas sequências numéricas, ainda que 
em muitas vezes nem nos demos conta disso. Um dos principais momentos em que 
isto acontece é na contagem do tempo e na organização do nosso calendário, nos 
dias, horas, minutos, segundos, semanas, meses, anos, décadas e séculos. 
No ocidente o calendário seguido é o que considera como oficial a contagem 
dos anos de acordo com o Calendário Gregoriano, criado em 24 de fevereiro de 1582, 
pelo Papa Gregório XIII, em que os anos começaram a ser contados a partir do 
momento de nascimento de Jesus Cristo, dividindo desta forma, a história da 
humanidade em antes de Cristo (a.C.) e depois de Cristo (d.C.). 
O estudo da contagem do tempo é chamado de cronologia e faz parte das 
invenções fundamentais da humanidade para organizar e controlar suas atividades e 
de um modo geral suas vidas. 
As primeiras medidas de tempo que se tem conhecimento tinham suas bases 
nos fenômenos naturais repetitivos, isto é, mesmo antes até da própria invenção da 
escrita a humanidade por não ter nenhum tipo de conhecimentos sobre a 
construção de algum utensilio que pudesse auxiliar na medição dos intervalos de 
tempo, recorria-se aos fenômenos naturais que fossem periódicos para referência de 
ciclos de tempo. 
 
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Estes fenômenos eram os movimentos dos corpos celestes, sendo os ciclos 
das fases da lua e também das aparições de estrelas e passaram a determinar e 
organizar as estações do ano, os meses e os próprios anos. 
Toda esta ordenação, organização e denominação de tempo é baseada em 
uma sequência ou em uma sucessão numérica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
GIOVANNI, J. R. Matemática 2: progressões, matrizes, análise combinatória, geometria. São Paulo: FTD, 1992. 
RUDIN, W. Princípios de Análise Matemática. Ed. Ao Livro Técnico S.A., 1971. 
STEWART, J. Cálculo, volume II. 4ª. Ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.