algebra linear

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Acadêmico:
	
	Disciplina:
	Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
	Avaliação:
	Avaliação I - Individual FLEX ( Cod.:424232) ( peso.:1,50)
	Prova:
	7738766
	Nota da Prova:
	9,00
	Anexos:
	Formulário - Álgebra Linear e Vetorial
Gabarito da Prova:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada
Parte superior do formulário
	1.
	Existem várias técnicas utilizadas para calcular o determinante de uma matriz, entre elas estão: Regra de Sarrus, Teorema de Laplace, Teorema de Jacobi, entre outras. Todas essas técnicas podem ser facilitadas se aplicarmos as propriedades dos determinantes, lembrando que os determinantes, bem como suas propriedades, são aplicados apenas em matrizes quadradas. Sendo assim, quanto à possibilidade de o valor do determinante ser nulo, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O determinante possui duas linhas iguais.
(    ) O determinante possui duas colunas iguais.
(    ) Todos os elementos de uma linha são iguais.
(    ) Uma linha é combinação de outras.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - V - F - V.
	 b)
	F - V - V - F.
	 c)
	V - V - F - F.
	 d)
	F - F - V - V.
	2.
	Ao visualizar uma matriz, é importante, a partir de suas características, classificá-la. Desta forma, as matrizes A, B, C e D a seguir, são classificadas quanto ao tipo, respectivamente, em:
	
	 a)
	Matriz simétrica - Matriz triangular inferior - Matriz triangular superior - Matriz diagonal.
	 b)
	Matriz simétrica - Matriz triangular superior - Matriz triangular inferior - Matriz diagonal.
	 c)
	Matriz diagonal - Matriz triangular inferior - Matriz triangular superior - Matriz simétrica.
	 d)
	Matriz diagonal - Matriz triangular superior - Matriz triangular inferior - Matriz simétrica.
	3.
	A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros dos coeficientes em relação ao determinante da matriz que representa os coeficientes das equações e, através desses parâmetros, classificar os sistemas quanto às suas soluções. Sendo assim, realizando a discussão do sistema apresentado, analise as sentenças a seguir:
I- O sistema é impossível, para todo k real diferente de -21.
II- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63.
III- O sistema é possível e determinado, para todo k real diferente de -21.
IV- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3.
Assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a sentença III está correta.
	 b)
	Somente a sentença II está correta.
	 c)
	Somente a sentença I está correta.
	 d)
	Somente a sentença IV está correta.
	4.
	Os sistemas lineares possuem aplicações não apenas na matemática. Muitas vezes, podemos ter diversas variáveis, sendo que estas estão ligadas a algumas restrições. Neste momento, podemos organizar um sistema que consiga determinar as soluções necessárias, respeitando as restrições iniciais dadas. Dado o sistema a seguir, analise as seguintes sentenças:
	
	 a)
	Somente a sentença I está correta.
	 b)
	Somente a sentença II está correta.
	 c)
	Somente a sentença III está correta.
	 d)
	Somente a sentença IV está correta.
	5.
	As matrizes podem ser classificadas em diversos tipos, dependendo da sua dimensão e também dos elementos que a formam. A identificação dos tipos de matrizes facilitará os cálculos matemáticos, e os conhecimentos de suas propriedades são bastante úteis nas aplicações. Então, se A é uma matriz triangular superior, a matriz transposta de A é:
	 a)
	Impossível calcular.
	 b)
	Uma matriz triangular inferior.
	 c)
	Uma matriz triangular superior.
	 d)
	Uma matriz identidade.
	6.
	O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, entre outras. Um dos processos iniciais é o de construção de matrizes. Visto isto, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção IV está correta.
	 b)
	Somente a opção III está correta.
	 c)
	Somente a opção II está correta.
	 d)
	Somente a opção I está correta.
	7.
	Joaquim faltou na aula e pegou emprestado o caderno de seu amigo Manoel para estudar e copiar a matéria atrasada. No entanto, como este seu amigo não era nada caprichoso parte da resolução de uma das questões de multiplicação de matrizes aprendida estava apagada. O que se conseguia ler no exercício era:
	
	 a)
	Apenas II.
	 b)
	Apenas III.
	 c)
	Apenas IV.
	 d)
	Apenas I.
	8.
	A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros dos coeficientes em relação ao determinante da matriz que representa os coeficientes das equações e, através desses parâmetros, classificar os sistemas quanto às suas soluções. Desta forma, com relação à solução do sistema linear, podemos afirmar que:
	
	 a)
	Admite infinitas soluções.
	 b)
	Não admite solução.
	 c)
	Admite somente duas soluções.
	 d)
	Admite apenas uma solução.
	9.
	O esquema a seguir indica as diversas possibilidades de soluções de um sistema linear:
	
	 a)
	a = 1
	 b)
	a = -14/3
	 c)
	a = 0
	 d)
	a = 3/4
	10.
	Um sistema de equações lineares é chamado possível ou compatível quando admite pelo menos uma solução. É chamado de determinado quando a solução for única e de indeterminado- quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, X - Y = 2 e 2X + WY = Z, pode-se afirmar que se W = -2 e Z = 4. Baseado nisto, sobre este sistema, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Impossível e determinado. 
(    ) Impossível ou determinado. 
(    ) Possível e determinado. 
(    ) Possível e indeterminado.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - F - V - F.
	 b)
	F - V - F - F.
	 c)
	V - F - F - F.
	 d)
	F - F - F - V.
Parte inferior do formulário
	
	Acadêmico:
	Diego Strutz da Rocha (711056)
	Disciplina:
	Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
	Avaliação:
	Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:424229) ( peso.:1,50)
	Prova:
	7783515
	Nota da Prova:
	7,00
	Anexos:
	Formulário - Álgebra Linear e Vetorial
Gabarito da Prova:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada
Parte superior do formulário
	1.
	Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD:
	 a)
	{(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}
	 b)
	{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}
	 c)
	{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
	 d)
	{(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}
	2.
	A ortogonalidade entre dois vetores pode ser calculada. Trata-se de verificar se o ângulo formado entre dois vetores é 90º. Para isto, podemos nos apoiar nos conceitos de produto interno usual para auxiliar no processo. Com base nisso, analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	As opções I, II e IV estão corretas.
	 b)
	As opções II, III e IV estão corretas.
	 c)
	As opções I, II e III estão corretas.
	 d)
	As opções I, III e IV estão corretas.
	3.
	O tetraedro regular é um sólido platônico representante do elemento fogo, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais). É então constituído por 4 vértices, 4 faces e 6 arestas. Para definirmos um tetraedro qualquer por vetores, devemos representá-lo por três vetores, os quais representam suas arestas principais, sendo as outras três representações congruentes às citadas. Dado que um tetraedro estádefinido pelos vetores u = (8, -4, 0), v = (-1, 3, -2) e w = (2, -3, 1), sobre o volume do tetraedro, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) 1.
(    ) 2.
(    ) 3.
(    ) 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - F - V - F.
	 b)
	V - F - F - F.
	 c)
	F - V - F - F.
	 d)
	F - F - F - V.
	4.
	Ás vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam eles próprios espaços vetoriais "menores". Tais conjuntos serão chamados subespaços vetoriais de V. A partir disso, leia atentamente a questão e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção I está correta.
	 b)
	Somente a opção III está correta.
	 c)
	Somente a opção IV está correta.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	5.
	A figura anexa apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine, vetores, todos com origem no vértice A, e com extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A).
	
	 a)
	AB.
	 b)
	AD.
	 c)
	AC.
	 d)
	AE.
	6.
	Quando falamos sobre a posição relativa de dois vetores e analisamos o ângulo formado entre eles, há duas operações vetoriais que possibilitam determinar exatamente o ângulo formado ou simplesmente fazer uma analogia com relação a estes ângulos e determinar uma denominação apropriada àquela posição. Pensando nisso, determine qual alternativa apresenta a classificação relativa ao ângulo formado pelos vetores u = (-2, 4, -1) e v = (4, 3, -3). Analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores são perpendiculares.
II- Os vetores formam um ângulo agudo.
III- Os vetores formam um ângulo obtuso.
IV- Os vetores são complementares.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a sentença II está correta.
	 b)
	Somente a sentença I está correta.
	 c)
	Somente a sentença III está correta.
	 d)
	Somente a sentença IV está correta.
	7.
	Dentre os conceitos mais importantes dos espaços vetoriais está o de Base do Espaço. A base de um espaço é um subespaço de vetores LI (Linearmente Independentes) que geram o espaço vetorial. A respeito deste conceito, dado o espaço vetorial V = {(x, y, z) de R³, tal que x = 0}, analise quais subespaços de R³ abaixo podem ser bases. Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) [(0,2,2) ; (0,4,1)].
(    ) [(0,2,2) ; (0,4,4)].
(    ) [(1,0,1) ; (-1,1,0)].
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - V - F.
	 b)
	V - F - F.
	 c)
	V - F - V.
	 d)
	F - F - V.
	8.
	A normalização de um vetor é a simples transformação dele em um vetor unitário caso não seja. Este é um dos processos utilizados para delimitar vetores que são ortonormais (como nos estudos no Processo de GRAM-SCHMIDT), ou seja, além de serem ortogonais entre si, possuem comprimento igual a 1. Determine qual dos itens a seguir apresenta a normalização do vetor v = (4, 1, -8) e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção II está correta.
	 b)
	Somente a opção I está correta.
	 c)
	Somente a opção III está correta.
	 d)
	Somente a opção IV está correta.
	9.
	Para quaisquer dois pontos no espaço, os ângulos formados entre eles resultam (caso somados) em 360°. Uma forma de observar este fato é a questão que indica que dois vetores não paralelos, definem um plano no espaço, e assim sendo, podemos enxergá-los neste plano em que eles residem. A partir daí, define-se o ângulo entre dois vetores, como sendo o "menor" ângulo que dois vetores podem formar, e é elementar que este valor esteja variando de 0 a 180°. No exemplo a seguir, é possível perceber dois vetores cujo "menor" ângulo formado entre eles é agudo, ou seja, menor do que o ângulo reto. Então, imagine agora um vetor v, que forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados (X e Y) positivos em R². Calcule suas coordenadas, sabendo que a norma de v é igual a 4.
	
	 a)
	(4,0,0).
	 b)
	(2,2,2).
	 c)
	(2,0,0).
	 d)
	(1,2,1).
	10.
	Uma das utilidades do produto vetorial de vetores resulta em um outro vetor cuja norma resulta na área de um paralelogramo de lados congruentes à norma dos vetores utilizados na operação. Supondo que estes vetores pertencem a um mesmo ponto e que eles possuem v = (1, -3, 2) e u = (-2, -1, 3), determine aproximadamente a área do paralelogramo delimitado por estes vetores e assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	7.
	 b)
	12,12
	 c)
	49
	 d)
	15,15
Parte inferior do formulário
	Acadêmico:
	Diego Strutz da Rocha (711056)
	Disciplina:
	Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
	Avaliação:
	Avaliação Final (Discursiva) - Individual FLEX ( Cod.:424230) ( peso.:4,00)
	Prova:
	7682669
	Nota da Prova:
	2,00
	Anexos:
	Formulário - Álgebra Linear e Vetorial
Parte superior do formulário
	1.
	As propriedades dos determinantes são bastante importantes, pois como já é de conhecimento, elas podem fazer com que vários cálculos, antes bastante complicados e longos, se tornem mais simples e acessíveis. Desta forma, dado os determinantes a seguir, dê as respostas dos outros (de forma direta), justificando a seguir o motivo, ou a propriedade dos determinantes utilizada.
	
	Resposta Esperada:
O acadêmico deve realizar, lembrando que podem existir outras formas de justificativa.
	2.
	De acordo com o teorema da diagonalização, um operador linear é diagonalizável, se e somente se a matriz da transformação linear (n x n) possui n autovetores linearmente independentes. Baseado nisto, verifique se o operador a seguir é diagonalizável:
	
	Resposta Esperada:
O acadêmico deve proceder da seguinte maneira. Lembrando que ele pode optar por mais de um método de resolução da questão, existem vários.
	Acadêmico:
	Diego Strutz da Rocha (711056)
	Disciplina:
	Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
	Avaliação:
	Avaliação Final (Objetiva) - Individual FLEX ( Cod.:424231) ( peso.:3,00)
	Prova:
	7683490
	Nota da Prova:
	-
	Anexos:
	Formulário - Álgebra Linear e Vetorial
Gabarito da Prova:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada
Parte superior do formulário
	1.
	Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. Sobre a representação algébrica de uma transformação, analise as seguintes opções e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção II está correta.
	 b)
	Somente a opção III está correta.
	 c)
	Somente a opção I está correta.
	 d)
	Somente a opção IV está correta.
	2.
	Quando falamos sobre a posição relativa de dois vetores e analisamos o ângulo formado entre eles, há duas operações vetoriais que possibilitam determinar exatamente o ângulo formado ou simplesmente fazer uma analogia com relação a estes ângulos e determinar uma denominação apropriada àquela posição. Pensando nisso, determine qual alternativa apresenta a classificação relativa ao ângulo formado pelos vetores u = (-2, 4, -1) e v = (4, 3, -3). Analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores são perpendiculares.
II- Os vetores formam um ângulo agudo.
III- Os vetores formam um ângulo obtuso.
IV- Os vetores são complementares.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a sentença I está correta.
	 b)
	Somente a sentença III está correta.
	 c)
	Somente a sentença IV está correta.
	 d)
	Somente a sentença II está correta.
	3.
	Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. Porém, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representadospor coordenadas, determinar a posição destas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores, quais das opções a seguir apresentam somente os itens que são ortogonais:
I - u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2)
II - u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1)
III - u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3)
IV - u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4)
V - u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3)
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções I e IV estão corretas.
	 b)
	As opções III e V estão corretas.
	 c)
	As opções I, III e IV estão corretas.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	4.
	Transformações Lineares têm relação com vetores, uma vez que um vetor pode ser um autovetor de tal transformação. Sendo assim, analise a situação a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção IV está correta.
	 b)
	Somente a opção I está correta.
	 c)
	Somente a opção III está correta.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	5.
	Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes, independente de todas as suas equações lineares, são iguais a zero. Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível, pois podemos obter como resultado o termo (0, 0, 0), chamamos de solução nula ou trivial. O sistema dado pela multiplicação matricial a seguir é homogêneo, sendo assim, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a sentença II está correta.
	 b)
	Somente a sentença III está correta.
	 c)
	Somente a sentença IV está correta.
	 d)
	Somente a sentença I está correta.
	6.
	Além dos conceitos teóricos e processuais vistos a respeito da Álgebra Linear e Vetorial, temos que saber que Transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas, como: rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações no plano ou no espaço. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) T(x,y) = (2x,2y) é uma transformação de expansão.
(    ) T(x,y) = (x/2,y/2) é uma transformação de expansão.
(    ) T(x,y) = (-x,y) é uma transformação de reflexão sobre X.
(    ) T(x,y) = (x,-y) é uma transformação de reflexão sobre X.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - V - F.
	 b)
	F - F - F - V.
	 c)
	V - F - F - V.
	 d)
	F - V - V - F.
	7.
	Uma vez que um vetor é representado por uma matriz, isso também significa que ele pode ser multiplicado por uma matriz. Essa multiplicação permite-nos transformar um vetor que está num sistema de coordenadas qualquer em um vetor em outro sistema. Esse processo pode ser chamado de Transformação Linear. Visto isto, assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção III está correta.
	 b)
	Somente a opção IV está correta.
	 c)
	Somente a opção II está correta.
	 d)
	Somente a opção I está correta.
	8.
	As matrizes possuem disposição em linhas e colunas e, por este fato, podem ser facilmente comparadas. Sabemos, desta forma, que duas matrizes são iguais se os termos que se encontram indexados na mesma linha e coluna das matrizes a serem comparadas são iguais. Baseado nisto, dadas as matrizes:
	
	 a)
	As afirmações I e II estão corretas.
	 b)
	Somente a afirmação III está correta.
	 c)
	Somente a afirmação I está correta.
	 d)
	Somente a afirmação II está correta.
	9.
	A normalização de um vetor é a simples transformação dele em um vetor unitário caso não seja. Este é um dos processos utilizados para delimitar vetores que são ortonormais (como nos estudos no Processo de GRAM-SCHMIDT), ou seja, além de serem ortogonais entre si, possuem comprimento igual a 1. Determine qual dos itens a seguir apresenta a normalização do vetor v = (6, 2, -3) e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção II está correta.
	 b)
	Somente a opção I está correta.
	 c)
	Somente a opção IV está correta.
	 d)
	Somente a opção III está correta.
	10.
	Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Este tipo especial de matriz possui um número real associado. A este número real damos o nome de determinante da matriz. Baseado nisto, sabendo que o determinante de uma matriz é igual a 2, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor do novo determinante, obtido pela troca de posição de linhas entre si:
	 a)
	1/2
	 b)
	2
	 c)
	-2
	 d)
	4
	11.
	(ENADE, 2008) Considere o sistema de equações a seguir.
	
	 a)
	As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
	 b)
	As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
	 c)
	A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
	 d)
	A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
	12.
	(ENADE, 2011) Considere o sistema de equações lineares Ax = b, com m equações e n incógnitas. Supondo que a solução do sistema homogêneo correspondente seja única, avalie as afirmações a seguir:
I- As colunas da matriz A são linearmente dependentes.
II- O sistema de equações lineares Ax = b tem infinitas soluções.
III- Se m > n, então a matriz A tem m - n linhas que são combinações lineares de n linhas.
IV- A quantidade de equações do sistema Ax = b é maior ou igual à quantidade de incógnitas.
São corretas apenas as afirmações:
	 a)
	I, II e IV.
	 b)
	II e III.
	 c)
	III e IV.
	 d)
	I e II.
	
	Acadêmico:
	Diego Strutz da Rocha (711056)
	Disciplina:
	Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
	Avaliação:
	Avaliação I - Redação Individual ( Cod.:411396) ( peso.:1,50)
	Prova:
	6585038
	Nota da Prova:
	6,00
	Anexos:
	Formulário - Álgebra Linear e Vetorial
Parte superior do formulário
	1.
	As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à álgebra linear, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Possuem também aplicações mais aprofundadas na teoria das transformações lineares e atuam na representação das matrizes de mudança de base. Baseado nisto, a partir da matriz indicada a seguir, calcule o que se pede:
	
	Resposta Esperada:
O acadêmico deve proceder da seguinte maneira:
	
	Acadêmico:
	Diego Strutz da Rocha (711056)
	Disciplina:
	Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
	Avaliação:
	Avaliação II - Individual e sem Consulta ( Cod.:411397) ( peso.:1,50)
	Prova:
	6585053
	Nota da Prova:
	7,00
	Anexos:
	Formulário - Álgebra Linear e Vetorial
Gabarito da Prova:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada
Parte superior do formulário
	1.
	Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LI:
	 a)
	{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}
	 b)
	{(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}
	 c)
	{(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}
	 d)
	{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
	2.
	A ortogonalidade entre dois vetores pode ser calculada. Trata-se de verificar se o ângulo formado entre dois vetores é 90º. Para isto, podemos nos apoiar nos conceitos de produto interno usual para auxiliar no processo. Com base nisso, para qual(is) valor(es) de k os vetores (2,1,3) e (1,7,k) são ortogonais? Classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Para k = -3.
(    ) Para nenhum valor de k.
(    ) Para qualquer valor de k.
(    ) Para k = 3 e k = -3.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - F -F.
	 b)
	V - F - F - F.
	 c)
	F - F - F - V.
	 d)
	F - F - V - F.
	3.
	No estudo dos Espaços Vetoriais, podemos realizar a análise de sua dimensão. Podemos relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações deste conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
(    ) A dimensão do espaço formado pelos polinômio de grau 3 é igual a 3.
(    ) A dimensão do R² é igual a 2.
(    ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - F - V - V.
	 b)
	F - V - F - V.
	 c)
	V - F - F - F.
	 d)
	V - F - V - V.
	4.
	A criação do Plano Cartesiano, por René Descartes, possibilitou o avanço de várias áreas da matemática. Uma delas foi trabalhar conceitos algébricos de maneira geométrica. Com isto, a Álgebra Vetorial transcendeu o campo abstrato para o campo prático. Numa visão concreta, qual das figuras a seguir é a representação do vetor v = (-1,2) no plano cartesiano?
	
	 a)
	Figura 2.
	 b)
	Figura 4.
	 c)
	Figura 3.
	 d)
	Figura 1.
	5.
	Em um espaço vetorial V, um vetor muitas vezes pode ser escrito como combinação linear de outros vetores do mesmo espaço vetorial V. A isso damos o nome de Combinação Linear (CL). Sejam os vetores v = (-1, 2) e w = (-2, 4), analise a opção que representa vetores que são combinações lineares de v e w:
I- u = (-3, 6).
II- u = (-2, 4).
III- u = (1, -2).
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções I e II estão corretas.
	 b)
	Somente a opção I está correta.
	 c)
	As opções II e III estão corretas.
	 d)
	As opções I e III estão corretas.
	6.
	Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD:
	 a)
	{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
	 b)
	{(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}
	 c)
	{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}
	 d)
	{(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}
	7.
	A operação entre vetores chamada de Produto Interno Usual aplica-se, muitas vezes, à necessidade de observar se dois vetores são ortogonais ou não. A partir daí, encontramos aplicações na engenharia e na computação em geral. Com base nisso, considere os vetores a seguir, calcule seu Produto Interno Usual e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	-19.
	 b)
	19.
	 c)
	4.
	 d)
	-4.
	8.
	Os vetores têm aplicação em várias áreas do conhecimento, tanto técnico quanto científico, como física, engenharia e economia, por exemplo. No entanto, são necessárias definições de operações e propriedades para dar respaldo a essas aplicações. Algumas das definições e propriedades tratam-se da soma de vetores e da multiplicação por escalar. Então, resolva 2u + 7v, considerando u = (-3, 2, 1, -1) e v = (-4, 8, -3, 2), e assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	A soma é: (-34, 60, -19, 12).
	 b)
	A soma é: (-34, 53, -19, 14).
	 c)
	A soma é: (-7, 9, -2, 2).
	 d)
	A soma é: (-6, 4, 2, 0).
	9.
	Dentre os conceitos mais importantes dos espaços vetoriais está o de Base do Espaço. A base de um espaço é um subespaço de vetores LI (Linearmente Independentes) que geram o espaço vetorial. A respeito deste conceito, dado o espaço vetorial V = {(x, y, z) de R³, tal que x = 0}, analise quais subespaços de R³ abaixo podem ser bases. Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) [(0,2,2) ; (0,4,1)].
(    ) [(0,2,2) ; (0,4,4)].
(    ) [(1,0,1) ; (-1,1,0)].
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - V - F.
	 b)
	V - F - V.
	 c)
	V - F - F.
	 d)
	F - F - V.
	10.
	Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. Porém, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a posição destas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores, quais das opções a seguir apresentam somente os itens que são ortogonais:
I - u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2)
II - u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1)
III - u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3)
IV - u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4)
V - u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3)
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções I, III e IV estão corretas.
	 b)
	As opções III e V estão corretas.
	 c)
	As opções I e IV estão corretas.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	
	Acadêmico:
	Diego Strutz da Rocha (711056)
	Disciplina:
	Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
	Avaliação:
	Avaliação Final (Discursiva) - Individual e sem Consulta ( Cod.:411399) ( peso.:4,00)
	Prova:
	6585067
	Nota da Prova:
	3,00
Parte superior do formulário
	1.
	Leia atentamente a questão a seguir e responda justificando todos os cálculos utilizados.
	
	Resposta Esperada:
Conforme a figura:
	2.
	Uma matriz pode ser classificada de acordo com algumas características, como número de linhas, colunas e valores dos elementos que são iguais a 0 ou a 1. Neste contexto, construa e classifique as matrizes A e B demonstrando os cálculos ou raciocínio empregados na resolução.
	
	Resposta Esperada:
Conforme imagem.
	Acadêmico:
	Diego Strutz da Rocha (711056)
	Disciplina:
	Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
	Avaliação:
	Avaliação Final (Objetiva) - Individual e sem Consulta ( Cod.:411398) ( peso.:3,00)
	Prova:
	6585086
	Nota da Prova:
	4,00
Gabarito da Prova:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada
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	1.
	O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, entre outras. Um dos processos iniciais é o de construção de matrizes. Visto isto, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção II está correta.
	 b)
	Somente a opção IV está correta.
	 c)
	Somente a opção III está correta.
	 d)
	Somente a opção I está correta.
	2.
	Quando falamos sobre a posição relativa de dois vetores e analisamos o ângulo formado entre eles, há duas operações vetoriais que possibilitam determinar exatamente o ângulo formado ou simplesmente fazer uma analogia com relação a estes ângulos e determinar uma denominação apropriada àquela posição. Pensando nisso, sobre a classificação relativa ao ângulo formado pelos vetores u = (1, -4, 1) e v = (-3, -1, -1), analise as seguintes sentenças:
I- Os vetores são perpendiculares.
II- Os vetores formam um ângulo agudo.
III- Os vetores formam um ângulo obtuso.
IV- Os vetores são complementares.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a sentença IV está correta.
	 b)
	Somente a sentença I está correta.
	 c)
	Somente a sentença III está correta.
	 d)
	Somente a sentença II está correta.
	3.
	O escalonamento de uma matriz consiste em transformar uma matriz quadrada numa matriz identidade de mesma ordem, utilizando-se de operações elementares sobre linha de matriz. Torna-se, também, uma ferramenta importante de cálculo de Sistemas Lineares. Então, sobre o escalonamento de uma matriz, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção I está correta.
	 b)
	Somente a opção II está correta.
	 c)
	Somente a opção III está correta.
	 d)
	Somente a opçãoIV está correta.
	4.
	A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros dos coeficientes em relação ao determinante da matriz que representa os coeficientes das equações e, através desses parâmetros, classificar os sistemas quanto às suas soluções. Desta forma, com relação à solução do sistema linear, podemos afirmar que:
	
	 a)
	Não admite solução.
	 b)
	Admite apenas uma solução.
	 c)
	Admite infinitas soluções.
	 d)
	Admite somente duas soluções.
	5.
	Uma vez que um vetor é representado por uma matriz, isso também significa que ele pode ser multiplicado por uma matriz. Essa multiplicação permite-nos transformar um vetor que está num sistema de coordenadas qualquer em um vetor em outro sistema. Esse processo pode ser chamado de Transformação Linear. Visto isto, assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção I está correta.
	 b)
	Somente a opção III está correta.
	 c)
	Somente a opção IV está correta.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	6.
	Na Engenharia Civil, infelizmente, ainda é corrente o desenvolvimento de projetos de pontes rodoviárias sem se proceder a uma análise, mesmo que preliminar, acerca do comportamento dinâmico da estrutura. Efeitos dinâmicos associados às irregularidades da pista, à oscilação dos veículos ao abordar a estrutura, à variação de velocidade dos veículos, entre outros, geralmente não são considerados na análise. Para tal análise dinâmica, é imprescindível a aplicação dos conceitos de autovalores e autovetores estudados nos cursos básicos de engenharia (LIPSCHUTZ, 1977). Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 3X3, sabendo que tal matriz permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação Linear:
FONTE: LIPSCHUTZ, S., Álgebra Linear, McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1977.
	
	 a)
	A matriz possui apenas um autovalor igual a ?1.
	 b)
	A matriz possui autovalores que são iguais a 1, 2 e 3.
	 c)
	A matriz possui apenas um autovalor igual a 1.
	 d)
	Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.
	7.
	A ortogonalidade entre dois vetores pode ser calculada. Trata-se de verificar se o ângulo formado entre dois vetores é 90º. Para isto, podemos nos apoiar nos conceitos de produto interno usual para auxiliar no processo. Com base nisso, analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	As opções I, II e IV estão corretas.
	 b)
	As opções II, III e IV estão corretas.
	 c)
	As opções I, II e III estão corretas.
	 d)
	As opções I, III e IV estão corretas.
	8.
	A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Com base nos pontos A(1, -2) e B(-2, -6), determine o vetor formado pelo segmento AB e a sua norma respectivamente. Analise as seguintes opções e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção I está correta.
	 b)
	Somente a opção IV está correta.
	 c)
	Somente a opção II está correta.
	 d)
	Somente a opção III está correta.
	9.
	Numa Transformação Linear, podemos ter duas leituras: a forma equacional e a forma matricial. Neste segundo caso, temos uma forma mais prática de identificar a característica dos vetores envolvidos e da Transformação Linear como um todo. Observe a seguir a representação matricial de uma Transformação Linear e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção IV está correta.
	 b)
	Somente a opção II está correta.
	 c)
	Somente a opção I está correta.
	 d)
	Somente a opção III está correta.
	10.
	A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação Linear. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2:
	
	 a)
	Os autovalores associados são 1 e -1.
	 b)
	Os autovalores associados são 5 e 3.
	 c)
	Os autovalores associados são 0 e 2.
	 d)
	Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.
	11.
	(ENADE, 2014) Para realizar seu trabalho cotidiano, um engenheiro civil precisa modelar matematicamente algumas tarefas. Em determinado projeto, uma situação problema, depois de modelada, recaiu em um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, para o qual a matriz dos coeficientes foi denominada M.
Após a modelagem, o engenheiro descobriu que o posto da matriz ampliada do sistema (Pa) era igual ao posto da matriz dos coeficientes (Pc) e que ambos, (pa) e (Pc), têm valor equivalente ao número de incógnitas do sistema, ou seja, Pa = Pc = n.
Admitindo que o modelo construído pelo engenheiro está matematicamente correto, avalie as afirmações que se seguem.
I- A matriz M é singular.
II- O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução.
III- É impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema conforme modelado.
IV- O valor de Pc é calculado obtendo-se a maior ordem possível das submatrizes quadradas de M que tenham determinantes não nulos.
É correto apenas o que se afirma em:
	 a)
	II e IV.
	 b)
	II.
	 c)
	I.
	 d)
	I e III.
	12.
	(ENADE, 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e a quantidade de água a
ser retirada, o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s.
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água.
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que:
	
	 a)
	A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
	 b)
	Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
	 c)
	O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0.
	 d)
	O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
	Acadêmico:
	Diego Strutz da Rocha (711056)
	Disciplina:
	Geometria Analítica (MAT20)
	Avaliação:
	Avaliação I - Individual FLEX ( Cod.:424248) ( peso.:1,50)
	Prova Objetiva:
	7981873
Parte superior do formulário
	1.
	A Geometria Analítica, pelo fato de estudar graficamente conceitos algébricos, permite-nos realizar análises que anteriormente não poderiam ser confirmadas na prática. Em vários casos, para verificar a correção de alguns cálculos, construir graficamente a situação é bastante importante. Neste sentido, sobre qual deve ser o valor de x para que os pontos A(-5,1), B(x, 3) e C(-3,-1) sejam vértices de um triângulo, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) x não pode ser -7.
(    ) x não pode ser 7.
(    ) x deve ser -7.
(    ) x deve ser 7.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - F - F - V.
	 b)
	F - V - F - F.
	 c)
	F - F - V - F.
	 d)
	V - F - F - F.
	2.
	Além das aplicações do coeficiente angular na Geometria Analítica, existem aplicações importantes na Matemática Aplicada para análise de crescimento e decrescimento de funções. Por exemplo: numa função receita modelada para analisar as vendas de uma empresa, o coeficiente angular pode aferir qual a tendência para os próximos períodos. A partir disto, para determinar o coeficiente angular, é necessário obedecermos aalguns critérios. Sendo assim, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Se o coeficiente angular de uma reta é positivo, a sua inclinação será um ângulo agudo.
(    ) Uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular.
(    ) Se o coeficiente angular de uma reta é nulo, ela é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - V - F.
	 b)
	V - F - V.
	 c)
	F - V - F.
	 d)
	F - F - V.
	3.
	Uma função linear é um tipo especial de função afim, em que a reta que a caracteriza passa pela origem dos eixos coordenados. Na Geometria Analítica, esta equação de reta possui uma característica peculiar dentro do estudo da reta. A respeito da função linear, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Obrigatoriamente y = x.
(    ) São da forma ax + by + c = 0, com c diferente de zero.
(    ) É da forma y = ax, sendo a uma constante.
(    ) Tem a forma y = 0.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - F - V.
	 b)
	V - F - F - V.
	 c)
	V - V - F - V.
	 d)
	F - F - V - F.
	4.
	O plano cartesiano foi criado por René Descartes. Esse plano é considerado muito importante no ramo da Matemática, pois permite representar o comportamento de funções. Seus eixos são classificados como eixo das ordenadas e eixo das abscissas. As representações de pares ordenados indicam pontos no plano que servem de base para outras representações. Sendo assim, analise os gráficos que representam as posições A(-3,0); B(7,6); D(0,-3); E(-8,-4):
	
	 a)
	Somente a opção I está correta.
	 b)
	As representações gráficas não estão corretas.
	 c)
	As opções I e II estão corretas.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	5.
	Os estudos em Geometria Analítica demonstram que uma reta possui representação geométrica no plano cartesiano e pode ser representada por uma equação. A partir daí podemos descobrir várias propriedades e características deste lugar geométrico. Sendo assim, analise as sentenças a seguir a respeito da equação x + 3y - 15 = 0:
I- O ponto (0,-5) pertence à reta.
II- O coeficiente angular da reta é -1/3.
III- A reta intercepta o eixo OY acima da origem.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções I e III estão corretas.
	 b)
	As opções II e III estão corretas.
	 c)
	Somente a opção I está correta.
	 d)
	As opções I e II estão corretas.
	6.
	Dada a equação de uma reta, é possível aferir quais são suas interseções com os eixos coordenados através da substituição de valores específicos em suas variáveis. Obviamente, dependendo do coeficiente angular da reta dada, ela poderá ter uma ou duas intersecções com os eixos do plano que a contém. Sendo assim, dada a equação da reta x + 2y - 5 = 0, e considerando se eles são intersecções com os eixos X ou Y, analise os pontos a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) (0, 5/2).
(    ) (5, 0).
(    ) (0, 1).
(    ) (2, 1).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - V - F.
	 b)
	F - F - V - V.
	 c)
	V - F - V - F.
	 d)
	V - V - F - F.
	7.
	A bissetriz é determinada por uma reta que intercepta a origem. Determine os possíveis valores de k, sabendo que o ponto P(4; 3k - 2) pertence ao quarto quadrante:
	 a)
	Os possíveis valores de k > 3/2.
	 b)
	Os possíveis valores de k < 4.
	 c)
	Os possíveis valores de k < 3/2.
	 d)
	Os possíveis valores de k < 2/3.
	8.
	O plano cartesiano pode representar duas retas no plano de acordo com as seguintes posições: concorrentes ou paralelas. Essas posições são determinadas de acordo com a lei de formação de cada função do 1º grau, visto que essas funções possuem como representação geométrica uma reta. Em seguida, podemos analisar que os coeficientes angulares das retas determinam o posicionamento decorrente delas. Com relação às retas 2x - y - 4 = 0 e x + y - 2 = 0, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Interceptam-se em um ponto, mas não são perpendiculares.
(    ) São paralelas.
(    ) São perpendiculares.
(    ) São coincidentes.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - F - F.
	 b)
	V - F - F - F.
	 c)
	F - F - F - V.
	 d)
	F - F - V - F.
	9.
	O ponto médio é a relação que divide um segmento exatamente ao meio. Sabendo que o segmento AB tem como uma de suas extremidades o ponto A(-5, 7) e como ponto médio M(-2, 3), calcule as coordenadas do ponto B:
	 a)
	As coordenadas do ponto B(-1, 1).
	 b)
	As coordenadas do ponto B(-1, -1).
	 c)
	As coordenadas do ponto B(1, 1).
	 d)
	As coordenadas do ponto B(1, -1).
	10.
	Podemos calcular a área de triângulos em matemática através de diversas formas: por meio da Geometria Plana, da Trigonometria e da Geometria Analítica. Neste último caso, em particular, para o cálculo da área de um triângulo, é necessário que saibamos as coordenadas de seus três vértices para que o triângulo possa ser representado em um plano cartesiano. Sendo assim, considere um triângulo no sistema cartesiano cujos vértices são: (2, -4), (-3, 2) e (-1, -1). Quanto à área desse triângulo, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Área = 3 u.a.
(    ) Área = 2 u.a.
(    ) Área = 1,5 u.a.
(    ) Área = 1 u.a.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - F - F - V.
	 b)
	V - F - F - F.
	 c)
	F - V - F - F.
	 d)
	F - F - V - F.
Atenção: Confira as respostas! Depois de concluir a avaliação não será possível fazê-la novamente.
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