Fundamentos de Mecânica da fratura

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FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
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 1 
SUMÁRIO 
SUMÁRIO..................................................................................................................................1 
Capítulo - I..................................................................................................................................4 
1. 1 – Objetivos do Capítulo......................................................................................................4 
1. 2 - Introdução ........................................................................................................................5 
1. 3 - Comportamento Mecânico dos Materiais Sólidos até a Ruptura .....................................7 
1.3.2 – Determinação do Módulo Elástico e da Flexibilidade de um Material ...................9 
1.3.3 - A Energia Elástica Armazenada em um Sólido .....................................................10 
1.3.4 - Comportamento Elástico ........................................................................................11 
1.3.5 - Comportamento Plástico ........................................................................................11 
1.3.6 - Tensão de fluência ou escoamento.........................................................................12 
1.3.7 - Tensão de ruptura ...................................................................................................13 
1. 4 – Propriedades Mecânicas dos Materiais..........................................................................14 
1.4.1 - Tensão ...................................................................................................................14 
1.4.2 - Deformação ............................................................................................................15 
1.4.3 - Módulo de Elasticidade de Young (E) ...................................................................16 
1.4.4 - Maleabilidade e Ductilidade...................................................................................17 
1.4.5 - Diagramas Tensão-Deformação.............................................................................18 
1.4.6 - Limite de Resistência à Tração ..............................................................................19 
1.4.7 - Dureza ...................................................................................................................20 
1.4.8 - Tenacidade .............................................................................................................22 
1.4.9 - Fluência ..................................................................................................................23 
1.4.10 - Resistência à Fluência ..........................................................................................25 
1.4.11 - Fadiga ...................................................................................................................26 
Capítulo - II ..............................................................................................................................29 
2. 1 - Introdução ......................................................................................................................29 
2. 2 - Análise do Estado das Tensões ......................................................................................30 
2.2.1 – Tração e Vetores de Acoplamento das Tensões ....................................................32 
2.2.2 – Componentes das Tensões.....................................................................................33 
2.2.3 – Tensão em um Ponto .............................................................................................35 
2.2.4 – Tensões sobre um Plano Normal ...........................................................................38 
2.2.5 – Representação Dyádica das Tensões .....................................................................40 
2. 3 - Equações de Equilíbrio...................................................................................................41 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
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 2 
2.3.1 – Princípios Físicos e Matemáticos ..........................................................................41 
2.3.2 – Momento Linear ....................................................................................................43 
2.3.2 – Momento Angular..................................................................................................44 
2. 4 - Tensões Principais..........................................................................................................47 
2. 5 – Análise do Movimento de uma Deformação Elástica dos Corpos u .....................49 
2.5.1 - Definição do vetor deslocamento u ......................................................................49 
2.5.2 - Análise das Deformações .......................................................................................51 
2.5.3 – A Definição Tensor das Deformações...................................................................54 
2.5.4 - A Definição do Tensor Gradiente de Deformação.................................................55 
2.5.5 – Equações de Compatibilidade ...............................................................................56 
Capítulo - III .............................................................................................................................57 
3. 1 - Objetivos do Capítulo ....................................................................................................57 
3. 2 - Introdução ......................................................................................................................58 
3. 3 – Introdução a Elasticidade Linear .............................................................................59 
3. 4 - Fundamentos da Teoria da Elasticidade Linear .......................................................60 
3.4.1 – Densidade de Energia de Deformação...................................................................60 
3.4.2 – Materiais Elásticos Lineares ..................................................................................61 
3. 5 - Teoria Elastodinâmica Linear ........................................................................................64 
3.4.2 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido Elástico-
Linear ...................................................................................................................64 
3.4.3 – A Lei de Hooke Generalizada para Sólidos Elásticos Lineares ............................66 
3.4.4 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido Elástico-
Linear ...................................................................................................................69 
3.4.5 - A Visão do Contínuo para a Lei de Hooke ............................................................70 
3.4.6 – - Densidade de Energia de Deformação na Elasticidade.......................................73 
3.4.7 - Equações de compatibilidade .................................................................................74 
3.4.8 – Equação Constitutiva dos Materiais Elásticos Lineares ........................................74 
3.4.9 -– Complementaridade da Densidade da Energia de Deformação ...........................75 
3.4.10 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Deformação Elástica .........77 
3.4.11 - Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Vetorial das Taxas de Deformações 
nos Fluidos ...................................................................................................................77 
3.4.12– Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Massa Fluida .....................79 
3.4.13 – A Equação de Movimento Elastodinâmico Linear..............................................80 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
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 3 
3.4.14 – Problemas de Valor de Contorno ........................................................................83 
3. 6 – ...................................................................................................................84 
3.7 – O Campo de Tensão Elástico Linear ..............................................................................85 
3.6.1 – Equações Básicas da Elasticidade para o Corpo Homogêneo e Isotrópico...........85 
3.6.2 – Equilíbrio de um corpo elástico sob uma força de corpo ......................................90 
3.8 – Problemas Planos da Teoria da Elasticidade ..................................................................91 
3.7.1 – Problemas Bidimensionais na Elasticidade ...........................................................91 
3.7.2 - Equações de Equilíbrio e Compatibilidade para os Problemas Planos ..................92 
3.7.3 – Estado Plano de Tensão ou Deformação ...............................................................93 
3.7.4 – Função de Tensão de Airy para Problemas Bi-Dimensionais ...............................95 
3.7.5 - Problema de Deformação Plana: ..........................................................................100 
3.7.6 - Problema de Tensão Plana ...................................................................................107 
3.7.7 - Funções de Airy em Coordenadas Cartesianas ....................................................108 
3.7.8 - Equação Bi-harmônica .........................................................................................111 
3.7.9 - Condições de Contorno ........................................................................................112 
3.7.10 - Funções de Airy Coordenadas Polares...............................................................112 
3.7.11 - O Laplaciano e a Equação Bi-Harmônica em termos das Variáveis Complexas115 
3.7.12 - Equação de Laplace em termos de Variáveis Complexas..................................117 
3.7.13 - Representação de Funções Bi-Harmônicas de Airy-Westergard por Funções 
Analíticas de uma Variável Complexa ............................................................................119 
3.7.14 - As Funções de Airy-Westergard em termos de uma Variável Complexa..........121 
3.7.15 - Funções de Airy-Westergard para a Equação Bi-harmônica da MEL...............123 
3.7.16 – Forma Complexa da Função Harmônica de Tensão..........................................125 
3.7.17 – Funções de Tensão em termos de Funções Harmônicas Complexas ................127 
3.7.18 – Deslocamento Correspondente a uma dada Função de Tensão.........................129 
3.7.19 - Equações de Kosolov .........................................................................................132 
3. 9 - Referências Bibliográficas .....................................................................................135 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
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 4 
Capítulo - I 
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
RESUMO 
 
 
 
 
 
 
 
1. 1 – Objetivos do Capítulo 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
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1. 2 – Introdução as propriedades dos materiais 
 Vamos agora estudar as propriedades dos materiais sob o ponto de vista básico do 
princípio de Causa e Efeito ou Estímulo e Resposta dado pelos sistemas físicos em estudo. 
Pode-se dizer que a física que estuda as propriedades fenomenológicas dos materiais está 
baseada neste princípio junto com as relações da álgebra e geometria dos corpos em estudo. 
 
CAUSA OU ESTÍMULO  EFEITO OU RESPOSTA 
+ 
ALGEBRA E GEOMETRIA 
__________________________________________________ 
FÍSICA FENOMENOLÓGICA OU ESTUDO DAS PROPRIEDADES DOS 
MATERIAIS 
 
 As propriedades dos materiais são classificadas basicamente em propriedades 
mecânicas, térmicas, elétricas, magnéticas e ópticas, podendo haver propriedades que 
envolvam duas ou mais áreas tais como: propriedades termoelétricas, eletro-ópticas, etc. tais 
propriedades geralmente estão relacionadas a efeitos conjugados. Vejamos a tabela abaixo: 
 
Tabela - I. 1. 
CAUSA X EFEITO = PROPRIEDADES 
 
Força Mecânica Deformação ou trinca Mecânica Mecânica 
Força Elétrica Corrente ou transporte de cargas 
elétricas 
 Elétrica 
Força Magnética Orientação de cargas magnéticas Magnética 
Pulso de Luz Absorção, luminescência, 
transparência 
 Óptica 
Calor ou Pulso 
Térmico 
 Transporte de calor ou variação 
de temperatura 
 Térmica 
 
 Vamos inicialmente estudar as propriedades mecânicas dos materiais. 
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 O estudo experimental das propriedades mecânicas dos materiais sólidos é feito 
utilizando-se basicamente o chamado princípio de “causa” e “efeito“ ou “estímulo” e 
“resposta”. Este princípio se baseia no fato de que as propriedades dos materiais podem ser 
inferidas da função de transferência que associa a causa ao seu efeito. 
 A causa utilizada no estudo das propriedades mecânicas é a aplicação de uma 
força externa F sobre o corpo de prova, conforme mostra a figura abaixo: 
 
Figura - 1. 1 . Força F aplicada sobre um corpo de prova de massa, M, e volume, V. 
 A condição de equilíbrio do ensaio é dada pela resistência mecânica do corpo á 
força aplicada, isto é diz-se que há equilíbrio de forças quando: 
intextF R
 
 (1. 1) 
 A partir do momento em que o corpo começa a se deformar isso é porque a força 
externa extF

 começa a ultrapassar o limite de resistência do material e este se dirige para a 
ruptura do mesmo. Antes da ruptura, porém nos temos dois tipos principais de comportamento 
com respeito a deformação do material : o comportamento elástico, e o comportamento 
plástico. 
 
 
 
 
 
 
 
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 7 
1. 3 - Comportamento Mecânico dos Materiais Sólidos até a 
Ruptura 
 O comportamento mecânico para os materiais sólidos, no que diz respeito a 
deformação, é dividido em frágeis e ducteis (Figura - 1. 2). Os frágeis, são aqueles que se 
rompem logo após o fim do seu limite elástico, não apresentando quase nenhuma deformação 
plástica (processo reversível). 
 
Figura - 1. 2. Comportamento típico da tensão x deformação dos materiais frágéis e dúcteis. 
 A lei de Hooke diz que, de acordo com a Figura - 1. 2 e a Figura - 1. 3, um 
material, dentro do seu limite elástico linear, atuado por uma força, F, ou tensão, , 
apresentará uma deformação dada por: 
 E , (1. 2) 
onde  = F/A é a tensão aplicada e A é a área da secção transversal do corpo sob ação da força 
F. E é o módulo elástico do material. O alongamento percentual ou deformação é dada por:  
= l/l, conforme mostra a Figura - 1. 3. 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
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 8 
 
Figura - 1. 3. Distensão máxima das ligações químicas de um material antes de se romper, 
mostrando o tamanho crítico mínimo, lo, a partir do qual a ruptura acontece, segundo omodelo de Griffith para 
um monocristal. Figura adaptada a partir da original contida em MARDER [1996]. 
 A partir da relação (1. 2), percebe-se que um material frágil ideal apresenta 
módulo elástico constante até a ruptura, enquanto que o dúctil não. Isto significa que, a 
separação entre os planos cristalinos do material frágil ideal se dá continuamente, sem que 
ocorra quase nenhum acúmulo de defeitos na forma de discordâncias (Figura - 1. 3). 
 Os dúcteis, por outro lado, são aqueles que após o limite elástico apresentam 
deformações plásticas por meio de discordâncias na rede cristalina, acumulando defeitos e se 
rompendo após o encruamento (processo irreversível, Figura - 1. 2). De acordo com a teoria 
do encruamento (hardening) a relação entre a tensão, , e a deformação, , é dada por: 
m
ref
ref 










 , (1. 3) 
onde: 
ref é a tensão inical e ref é a deformação inicial e m, é um expoente fracionário. 
 Observe que a relação (1. 3), mostra o termo em potência, que pode ser 
relacionada a uma auto-similaridade com a escala da deformação, ref, que afeta o aspecto 
microestrutural da superfície de fratura. Será mostrado, no modelamento fractal da superfície 
de fratura no Capítulo – IV, que este fato está relacionado com a rugosidade desta superfície, 
devido a auto-similaridade fractal onde o expoente de encruamento, m, estará relacionado 
com a dimensão fractal, D, da mesma. Porque o material encrua antes de abrir uma trinca 
rugosa. 
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 A partir da relação (1. 3), percebe-se que no caso do material dúctil, tanto a tensão 
de fratura, f, como o módulo elástico, E, passa a depender da presença, ou não, deste 
acúmulo de defeitos microscópicos. 
1.3.2 – Determinação do Módulo Elástico e da Flexibilidade de um Material 
 Existem diferentes métodos experimentais para se determinar o módulo elástico 
ou a flexibilidade de um material. A Figura - 1. 4 apresenta uma montagem experimental que 
pode ser usada para determinar o módulo elástico por meio da equação (1. 4) [DOS SANTOS 
1999] abaixo. 






u
X
ew
SE 3
3
4
, (1. 4) 
onde 
S é a separação dos cilindros de apoio, w é a largura do corpo de prova, e é a sua espessura, X 
é a carga aplicada e u é a sua deflexão do ponto de aplicação da força na direção vertical. 
 
Figura - 1. 4. Montagem experimental do ensaio de flexão a três pontos com entalhe plano. 
 Até o limite de ruptura, o valor do módulo elástico do material pode ser calculado 
pela equação (1. 4), conforme mostra na Figura - 1. 2. Caso ocorra um crescimento de trinca 
acima deste limite máximo de carga tolerável pelo material, o valor da equação (1. 4) passa a 
representar a flexibilidade do material ao invés do seu módulo elástico. 
 Para materiais frágeis, ou até mesmo dúcteis, a relação (1. 2) é muito útil, porque 
ela constitui a base da mecânica da fratura elástica linear, conforme será visto a seguir. 
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1.3.3 - A Energia Elástica Armazenada em um Sólido 
 Considere um corpo tracionado continuamente até o limite da sua ruptura, 
conforme mostra a Figura - 1. 3. A energia de deformação total armazenada em um material 
até este limite é dado pela área debaixo da curva mostrada na Figura - 1. 2, isto é, pela integral 
da curva,  x E, ou seja: 



o
du )()( . (1. 5) 
 Embora existam diferentes comportamentos mecânicos, conforme mostra a Figura 
- 1. 2, é interessante, a princípio, entender o mais simples deles, que corresponde a um 
material frágil que segue a “lei elástica de Hooke”. Para este material frágil, pode-se supor 
que o corpo responde a solicitação externa de acordo com a equação (1. 2). Portanto, 
substituindo a expressão (1. 2) em (1. 5) tem-se que a energia de deformação elástica total 
armazenada em um material frágil, até o limite de sua ruptura, calculada pela lei de Hooke, é 
dado por: 
 

0
2
2
)( EdEu
o
  , (1. 6) 
reescrevendo (1. 6) em termos de (1. 2) tem-se: 
E
u
2
)(
2
  . (1. 7) 
 Considerando o corpo totalmente distendido até o limite máximo de sua 
resistência mecânica, tem-se que a tensão máxima de alongamento corresponde a tensão de 
fratura do material, f. Logo, para o caso da fratura elástica linear (material frágil ideal), de 
acordo com a lei de Hooke dado em (1. 2), tem-se: 
maxf E  , (1. 8) 
onde, f, é o módulo de ruptura ou a tensão de fratura do material, E é o seu módulo elástico, 
máx é o alongamento máxima do corpo em relação ao seu comprimento inicial. De acordo 
com a Figura - 1. 2, para os materiais frágeis, a integral é obtida susbtituindo-se (1. 8) em (1. 
7) obtendo-se a energia de deformação elástica total por unidade de volume que pode ser 
armazenada no corpo antes que ele se rompa, fornecendo 
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E
u ff 2
2
 . (1. 9) 
 Para um corpo de volume, Vc, tem-se que: 
dV
dUu  , (1. 10) 
Logo, substituindo-se (1. 9) em (1. 10) tem-se: 
c
f
f VE
U
2
2
 . (1. 11) 
 Esta é a quantidade máxima de energia por unidade de volume que um corpo pode 
armazenar, desde que se considere que este é formado por um material idealmente frágil, 
como uma cerâmica, por exemplo. 
1.3.4 - Comportamento Elástico 
 É aquele em que a deformação é reversível, ou seja, as ligações químicas dos 
átomos do material não sofreram recombinação, e a força externa aplicada não ultrapassou o 
limite energético do poço de potencial destas ligações (cessando a causa cessa o efeito). Ex. 
mola. 
1.3.5 - Comportamento Plástico 
 É aquele em que a deformação é irreversível, ou seja, as ligações químicas dos 
átomos do material se moveram sofrendo algum tipo de recombinação com outros átomos da 
vizinhança, isto é, os planos cristalinos se deslocaram uns em relação aos outros e a força 
externa aplicada removeu os átomos para fora do poço de potencial, ou seja, para fóra da 
posição de equilíbrio (cessando a causa o efeito permanece). Ex. manteiga, pixe, metais. 
 
 
 
 
 
 
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 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1. 5. Diagrama de tensão x deformação para deformação elástica 
 
1.3.6 - Tensão de fluência ou escoamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.7 - Tensão de ruptura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. 4 – Propriedades Mecânicas dos Materiais 
 Os materiais estruturais usados na prática da engenharia, em sua maioria, devem 
ter resistência. A resistência é uma medida das forças externas aplicadas ao material, as quais 
são necessárias para vencer as forças internas de atração entre as partículas elementares do 
mesmo. Resumidamente, a resistência se deve à soma das forças de atração entre os elétrons 
carregados negativamente e os prótons carregados positivamente, no interior do material. 
 Os materiais, de acordocom suas aplicações, devem ser capazes de resistir à ação 
de forças consideráveis, sofrendo apenas distorções bastante pequenas. Contudo, propriedades 
muito diversas podem ser desejadas. Assim é que o material deve ser capaz de sofrer 
deformação permanente, a expensas de quantidades de energia tão pequenas quanto possível. 
Ou seja, o material deve ser maleável e dúctil. No caso dos processos de conformação, os 
metais perdem sua maleabilidade, tornando-se duros e resistentes. Diz-se que, neste caso, o 
material fica encruado. Assim sendo, o engenheiro projeta seu processo de conformação para 
utilizar a maleabilidade ou ductilidade do material e ao mesmo tempo faz com que o metal, 
após o processo, possua resistência suficiente para a aplicação a que se destina. Outras 
propriedades mecânicas são a elasticidade, dureza e tenacidade, bem como a fluência e a 
fadiga, dentre outras. Em cada caso concreto, estas propriedades estão associadas ao 
comportamento do material diante da aplicação de um sistema de forças externas. 
Geralmente, o engenheiro está interessado na "densidade de força" necessária para provocar 
uma determinada quantidade definida de deformação, temporária ou permanente. 
 Vamos agora definir os conceitos mais importantes relacionados as propriedades 
mecânicas dos materiais. 
1.4.1 - Tensão 
 A tensão é uma medida da "densidade de força" e é definida como forca por 
unidade de área. A tensão é expressa em Newtons por metro quadrado (N/m². Porém, em 
termos de ciência dos materiais, talvez seja mais conveniente expressá-la em Newtons por 
milímetro quadrado (N/mm²). Além disso, esta unidade fornece um valor de tensão que é mais 
fácil de visualizar, considerando, por exemplo, que a forca necessária para romper uma barra 
de aço de um metro quadrado de seção transversal, é muito elevada para poder ser visualizada 
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em termos de valores finitos. Então, a tensão é calculada dividindo a forca pela área na qual 
ela está agindo. 
1.4.2 - Deformação 
 A deformação se refere à alteração (de forma) proporcional produzida em um 
material sob influência de tensão. Ela é uma relação numérica, medida como o número de 
milímetros de alteração para cada milímetro do comprimento original. 
 A deformação pode ser elástica ou plástica. A deformação elástica é reversível 
e desaparece quando a tensão é removida. Quando a deformação é de natureza elástica, os 
átomos são deslocados de suas posições iniciais pela aplicação de tensão. Porém, quando esta 
tensão é removida, os átomos retornam às posições iniciais que tinham em relação aos seus 
vizinhos. A deformação elástica é aproximadamente proporcional à tensão aplicada (Fig. 1) e, 
para fins práticos, podemos dizer que o material obedece à lei de Hooke (  = E. ). Esta lei 
estabelece que, para um corpo elástico, a deformação é diretamente proporcional à tensão 
aplicada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1. 6. Diagrama de tensão x deformação para deformação elástica 
 A deformação plástica se dá quando o material é tensionado acima do seu 
limite de elasticidade. Com a deformação plástica, os átomos se movimentam dentro da 
estrutura do material, adquirindo novas posições permanentes com respeito a seus vizinhos. 
Quando a tensão é removida, apenas a deformação elástica desaparece e toda a deformação 
plástica permanece (Fig. 2) 
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Figura - 1. 7. Diagrama de tensão x deformação para deformação plástica 
1.4.3 - Módulo de Elasticidade de Young (E) 
 O módulo de elasticidade de Young é a relação entre a tensão aplicada e a 
deformação elástica que ela produz. Em outras palavras, é a tensão necessária para produzir 
uma quantidade unitária de deformação elástica. O módulo de Young está vinculado à rigidez 
do material e o seu valor é bastante importante para o engenheiro de construções. O módulo 
de elasticidade é expresso em termos de tensão de tração ou de tensão de compressão e suas 
unidades são as mesmas para esses dois tipos de tensão. Assim sendo: 
E = tensão / deformação = N/mm² / mm/mm = N/mm², (1. 12) 
 Em virtude do elevado valor numérico de E, ele normalmente é expresso em 
GN/m ou MN/mm. 
 A sofisticada tecnologia das últimas décadas do século XX, freqüentemente 
envolve considerações sobre a massa de material necessária para fornecer determinada 
resistência e rigidez a uma estrutura. Isto é particularmente importante na indústria 
aeroespacial e em outras indústrias de transporte, ou, de fato, em qualquer situação em que se 
gaste energia devido à força da gravidade. Desta maneira, o módulo de elasticidade é 
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geralmente expresso como módulo de elasticidade específico, no qual E está relacionado à 
densidade relativa do material: 
Módulo de elasticidade específico = E / densidade relativa, (1. 13) 
 
1.4.4 - Maleabilidade e Ductilidade 
 A maleabilidade refere-se à capacidade do material se deformar sem fraturar, 
quando submetido à compressão, enquanto que a ductilidade se refere à capacidade do 
material se deformar sem fraturar, quando submetido a esforços de tração. Todos os materiais 
dúcteis são maleáveis, mas nem todos os materiais maleáveis são necessariamente dúcteis. 
Isto porque um material macio pode ter pouca resistência e romper facilmente quando 
submetido à tração. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1. 8. Componentes do teste de tração. A figura mostra um corpo de prova rosqueado. 
Porém, em muitos equipamentos, o corpo de prova é plano, e é seguro por grampos de fricção. 
 A ductilidade é geralmente expressa em práticos, pela porcentagem de 
alongamento do comprimento padrão de um corpo de prova padronizado, que é submetido à 
tração até a ruptura. A figura 4 mostra que, para tornar os resultados comparáveis, é 
necessário haver uma relação padronizada entre o comprimento padrão do corpo de prova e a 
área da seção transversal do mesmo. Já que a maior parte da deformação plástica se dá no 
"pescoço" (entre Z e Y), é claro que a percentagem de alongamento quando se considera ZY 
como comprimento padrão, não será a mesma quando se considera XY como comprimento 
padrão. Conseqüentemente, os corpos de prova para tração devem ser geometricamente 
similares, sendo conhecidos como corpos de prova proporcionais. 
 
 
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Figura - 1. 9. 
1.4.5 - Diagramas Tensão-Deformação 
 Quando os valores da tensão e da deformação correspondente, obtidos num 
teste de tração, são colocados num gráfico, verifica-se que cada tipo de material é 
representado por uma curva característica. Os materiais de ductilidade desprezível, como os 
aços de alta dureza, ferro fundido e concreto, apresentam uma deformação até a fratura, de 
valor nulo ou muito pequeno (Fig. 5 (i)). Ou seja, eles não apresentam limite de escoamento, 
só ocorrendo a deformação elástica. Por outro lado, um material dúctil apresenta um limite de 
elasticidade (ou limite de proporcionalidade) além do qual já ocorre deformação plástica. O 
limite de escoamento é a tensão máxima que um material pode suportar, antes que se inicie o 
escoamento plástico. Nos materiais ferrosos macios (ferro maleável e aços de baixo carbono) 
e emalguns materiais plásticos, o início do escoamento plástico é caracterizado por um limite 
de escoamento bastante definido (Fig. 5 (iii)). Nessas condições, é fácil calcular a tensão de 
escoamento. Nos outros materiais, incluindo praticamente todos os metais e ligas dúcteis, bem 
como a maioria dos materiais plásticos, o limite de elasticidade não é bem definido (Fig. 5 
(iv)). Sob muitos aspectos, nos projetos de engenharia, o limite de escoamento de um material 
é de maior importância que o limite de resistência (tensão máxima suportada pelo material, 
durante o escoamento plástico). Por isto, derivou-se um valor de tensão para substituir o 
limite de escoamento, naqueles materiais que não apresentam este limite bem definido. 
 Esta tensão é conhecida como tensão de prova e é definida como a tensão 
necessária para produzir uma deformação plástica (ou seja, uma deformação permanente) de 
0,1% ou 0,5% para alguns materiais, no comprimento padrão de corpo de prova. Esta tensão é 
obtida da maneira indicada nas Figs. 5 (ii) e (iv). 
 Os materiais que passam por alguns tratamentos como o encruamento ou, no 
caso de algumas ligas, por um tratamento térmico apropriado, elas são geralmente mais 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 19 
resistentes e menos dúcteis do que os mesmos materiais que estão nas condições normais de 
dureza. Isto é indicado na curva tensão/deformação da Fig. 5 (ii). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1. 10. Diagramas tensão/deformação representativos de vários tipos de material. (i) 
Material não dúctil (frágil). (ii) Material semidúctil. (iii) e (iv) Materiais dúcteis. 
T = limite de resistência à tração; 
B = Tensão de ruptura; 
Y = Limite de escoamento; 
P = Tensão de prova 
1.4.6 - Limite de Resistência à Tração 
 O limite de resistência à tração do material é calculado através da relação entre 
a força máxima aplicada durante o teste e a área inicial da seção transversal do corpo de 
prova. As unidades envolvidas são as de tensão. Geralmente as mais convenientes são MN/m² 
ou N/mm² que, evidentemente, são iguais numericamente. É importante notar que ao longo de 
todo o ensaio de tração, a tensão é calculada com base na área inicial da seção transversal. Isto 
é, não se leva em consideração a diminuição de área da seção transversal junto ao "pescoço", 
nos estágios finais da deformação plástica. Por esta razão, os chamados diagramas 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 20 
"tensão/deformação" na realidade são diagramas força/alongamento modificados. O diagrama 
tensão/deformação verdadeiro, para ser reconstruído, necessita que se leve em consideração a 
diminuição da seção transversal, medindo-se o diâmetro mínimo no pescoço para cada medida 
da força aplicada (Fig. 6). Geralmente é impraticável a medida da tensão verdadeira por este 
método. Na prática, usa-se mais freqüentemente o valor da tensão de engenharia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1. 11. Tensão de engenharia = Força / Área inicial da tensão transversal. 
 É conveniente lembrar que a ordenada usualmente denominada, na maioria dos 
diagramas publicados, como "tensão", quase sempre se refere a esta "tensão de engenharia" 
em lugar da tensão verdadeira. A redução da seção transversal nos materiais dúteis, durante o 
escoamento plástico, leva à aparente anomalia de que a tensão de ruptura seja menor do que o 
limite de resistência à tração. Porém, a Fig. 6 mostra que, de fato, a tensão verdadeira de 
ruptura é maior que o limite de resistência à tração. 
1.4.7 - Dureza 
 Em linhas gerais, a dureza é definida como a capacidade do material resistir à 
abrasão superficial. A dureza relativa dos minerais é constatada através da escala de Moh 
(Tabela 1). esta escala consiste de uma lista de materiais agrupados de tal maneira que 
qualquer mineral da lista pode riscar os que se localizam abaixo dele. Então o diamante, que é 
a substância mais dura que se conhece, encabeça a lista com o índice de dureza igual a 10. A 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 21 
dureza superficial de qualquer substância pode ser vinculada à Escala de Mohr, determinando-
se quais as substâncias padrão desta escala que riscam a referida substância. 
 
Tabela - I. 2. Escala de Mohr 
Mineral Índice de dureza 
Diamante 10 
Corindo 9 
Topázio 8 
Quartzo 7 
Feldspato 6 
Apatita 5 
Fluorita 4 
Calcita 3 
Gesso 2 
Talco 1 
 
 Obviamente, a Escala de Moh é inadequada, quando se trata de uma 
determinação rigorosa de dureza de materiais semelhantes às ligas metálicas. Para essas 
substâncias, foram desenvolvidos vários tipos de teste de dureza. Os instrumentos 
semelhantes ao Esclerômetro de Turner (que media a riscabilidade) foram logo abandonados e 
substituídos por equipamentos que medem a resistência das camadas superficiais do material 
à penetração de uma bilha de alguma forma geométrica. Desta forma, a dureza não é mais 
definida em termos de resistência à abrasão. No ensaio de Brinell a bilha é uma esfera de aço 
enquanto que no ensaio da Pirâmide de Diamante a bilha usada é uma pirâmide de diamante. 
O teste de Rockwell emprega um cone de diamante ou uma esfera de aço. Em todos estes 
testes, o índice de dureza (H) é obtido do valor: 
Força aplicada / Área superficial da massa produzida, (1. 14) 
 As unidades são as mesmas da tensão. Porém, essas unidades nunca são 
empregadas quando se escreve o valor da dureza, pois em qualquer escala de dureza as 
condições de teste são padronizadas. 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 22 
 
 
 
Figura - 1. 12. Componentes da maioria das máquinas de dureza. A bilha pode ser uma esfera de 
aço como indicado na figura, ou então uma pirâmide de diamante ou um cone de diamante 
 Para a maioria das ligas metálicas, o limite de resistência à tração é 
aproximadamente proporcional à dureza, apesar de não existir nenhuma conexão fundamental 
entre essas duas propriedades, a não ser no que diz respeito à rigidez geral do material. 
1.4.8 - Tenacidade 
 A tenacidade é medida em termos da energia necessária para fraturar um corpo 
de prova padrão. Sendo assim, a tenacidade não deve ser confundida com o limite de 
resistência à tração, o qual é medido em termos da tensão necessária para fraturar um corpo de 
prova padrão. A área sob a curva tensão/deformação está diretamente relacionada à energia 
necessária para fraturar o material, pois a energia é o produto da força média pela distância na 
qual ele atua.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1. 13. Diagramas tensão/deformação para (i) uma liga tratada para aumentar a resistência, 
(ii) a mesma liga na condição dúctil ou de pouca dureza. A energia, indicada pela área sob a curva, necessária 
para fraturar o corpo de prova, é maior no caso do material menos resistente e mais dúctil. 
 De fato, alguns materiais que em seu estado normal de ductilidade e pouca 
dureza, são extremamente tenazes, perdem sua tenacidade quando são submetidos a 
determinados processos de endurecimento e encruamento. Estas relações estão indicadas pela 
área sob cada curva de tensão/deformação, pelo fato de que empregam carga de choque. Uma 
parte da energia cinética de um pêndulo oscilante, é gasta na fratura de um corpo de prova 
padrão, convenientemente entalhado. Em ambos os métodosde determinação da tenacidade 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 23 
ao impacto, que são os métodos Izod e Charpy, a unidade utilizada é o Joule. Esses ensaios 
dão uma indicação prática do comportamento do material sob condições de carga de choque. 
Em muitas circunstâncias, a tenacidade é mais importante como critério de avaliação do 
material, do que a resistência à tração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1. 14. Componentes das máquinas de ensaio de impacto. A energia necessária para 
fraturar a atmosfera é medida na escala, em joules. 
1.4.9 - Fluência 
 A fluência pode ser definida como sendo uma deformação contínua, com a 
passagem do tempo, em materiais sujeitos a uma tensão constante. Esta deformação é plástica 
e ocorre mesmo que a tensão atuante esteja abaixo do limite de escoamento do material. A 
temperaturas abaixo de 0,4 T (onde T é a temperatura absoluta de fusão do material (escala 
Kelvin)) a taxa de fluência á altamente importante. Por esta razão a fluência é muito pequena 
mas a temperaturas maiores que esta, a fluência é altamente importante. Por esta razão a 
fluência é comumente vista como sendo um fenômeno de elevadas temperaturas, associado a 
plantas de vapor e tecnologia de turbinas de gás. 
 No entanto, para alguns dos metais e ligas mais macios e com baixo ponto de 
fusão, a fluência ocorrerá de forma significativa a temperaturas ambientes. Antigos telhados 
de chumbo fluindo ao longo dos séculos, devido ao seu próprio peso, adquiram uma diferença 
de espessura mensurável entre a cumeeira, mais fina, e os beirais, mais grossos. 
 Quando um material metálico é tensionado de forma adequada, origina-se de 
imediato uma deformação elástica (Fig. 10), que é seguida por uma deformação plástica que 
ocorre em três estágios: 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 24 
 
(i) Fluência primária, ou transiente, OP, iniciando-se com uma velocidade rápida que diminui 
com o tempo, à medida que o encruamento prossegue. 
 
(ii) Fluência secundária, ou de regime permanente, PS, na qual a velocidade de deformação é 
completamente uniforme e passa por seu menor valor. 
 
(iii) Fluência terciária, SX, na qual a velocidade de deformação aumenta rapidamente, até que 
a fratura ocorra em X. Este estágio coincide com o empescoçamento da peça. 
 A fluência em materiais poliméricos abaixo da temperatura de transição vítrea 
segue, de forma grosseira, a mesma configuração dos metais. A relação que existe entre 
tensão, temperatura e a resultante taxa de fluência está mostrada na figura 11. A baixas 
tensões e/ou baixas temperaturas pode ocorrer alguma fluência primária, mas essa cai a um 
valor desprezível no estágio secundário e presume-se que é devido ao encruamento do 
material. Com o aumento das tensões e/ou temperaturas (curvas B e C) a taxa de fluência 
secundária também aumenta levando à fluência secundária também aumenta levando à 
fluência terciária e inevitavelmente à fratura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1. 15. Curva típica de fluência mostrando os três estágios de fluência durante um ensaio à 
alta temperatura e durante longo tempo. 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1. 16. Variação das velocidades de fluência com a tensão e com a temperatura. Na curva 
A o estágio final de fluência torna-se desprezível, provavelmente devido ao encruamento. Na curva C a 
velocidade de fluência secundária é mais elevada que na curva B, devido à utilização de uma tensão mais 
elevada e/ou elevada temperatura. 
1.4.10 - Resistência à Fluência 
 A ampliação do conhecimento do mecanismo de fluência (que sugere dois 
tipos separados de deformação plástica, (i) devido ao movimento normal de discordância e 
que ocorre dentro de materiais cristalinos e (ii) aquele que é de característica viscosa e está 
associado com as regiões não cristalinas do contorno de grão) possibilitou aos cientistas de 
materiais o desenvolvimento de materiais resistentes à fluência com maior confiança do que 
era possível há poucas décadas atrás. Como a fluência depende do movimento de 
discordância, é obvio que qualquer evento que reduza o movimento destas discordâncias, e 
também limite a formação de novas, se oporá efetivamente a fluência. Geralmente, os metais 
com estruturas cristalinas compactas (CFC ou HC) são os mais apropriados e suas resistências 
à fluência podem ser levadas por um ou mais dos seguintes métodos: 
(i) A adição de um elemento de liga que formará uma solução sólida com o metal base. Isto só 
será realmente efetivo se os átomos solutos tiverem baixa mobilidade. Se, por outro lado, eles 
se difundem livremente com a ativação térmica eles também permitirão que as discordâncias 
se movimentem, e, desse modo, a recuperação- e portanto, posteriormente a fluência - pode 
ocorrer. 
(ii) A adição de um elemento de liga que crie o endurecimento por dispersão. Precipitados 
coerentes e pequenos precipitados não coerentes são geralmente produzidos por tratamento de 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 26 
precipitação, sendo essencial que à temperatura de serviço tais partículas permaneçam 
finamente dispersas e não coalesçam. Os precipitados finamente dispersos formam barreiras 
dispersivas ao movimento de discordâncias. 
(iii) Tratamento de liga para garantir grãos grandes quando for possível, já que isto reduz a 
superfície total de contornos de grão por unidade de volume do material, e, desse modo, 
reduzindo a formação de vazios, o que auxilia bastante o movimento de discordâncias. 
1.4.11 - Fadiga 
 Os engenheiros estão cientes já há longo tempo que cargas "vivas" e tensões 
alternadas de pequenas amplitudes podem causar a falha num elemento que, entretanto, pode 
suportar uma considerável carga "morta". Sob a ação de cargas não constantes o material pode 
tornar-se fatigado. Então, enquanto a fluência é um fenômeno associado com a extensão do 
componente sob uma força constante agindo durante um longo tempo e geralmente a altas 
temperatura, a fadiga refere-se à falha de um material sob ação de tensões flutuantes e 
repetidas. 
 A falha por fadiga ocorrerá, é evidente, se a tensão máxima está acima do 
limite de fadiga. Apesar desta, estar ainda bem abaixo da tensão normal de escorregamento 
estático para o material, sabe-se que a deformação plástica por deslizamento ocorre durante o 
contínuo ciclo de tensão. Tais bandas de deslizamento, como aparecem nas superfícies, são 
tanto de intrusão como de extrusão (Fig. 12). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1. 17. O deslizamento localizado que dá origem a extrusões e intrusões que podem iniciar 
as trincas de fadiga. 
 Embora tal intrusão seja geralmente muito pequena, aproximadamente da 
ordem de 1 m, pode, é claro, agir como um concentrador de tensões e iniciar uma trinca por 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 27 
fadiga. Considera-se que uma fratura por fadiga se desenvolve três estágios - nucleação, 
crescimento da trinca e fratura inicial (Fig. 13). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - 1. 18. Os estágios de falha de fadiga. Uma fratura por fadiga é geralmente fácil de 
identificar, já que a região de crescimento da trincasurge polida devido ao esfregamento das superfícies de 
fratura, uma contra a outra, a medida que a tensão se alterna. A fratura final é cristalina. 
 A superfície de fratura, resultante, tem uma aparência característica, sendo uma 
falha por fadiga, conseqüentemente fácil de ser identificada. Como a trinca se propaga 
lentamente a partir da fonte, as superfícies fraturadas atritam-se entre si devido à natureza 
pulsante da tensão e, desse modo, as superfícies tornam-se polidas. Freqüentemente marcas na 
forma de concha estão presentes, mostrando a direção de espalhamento da trinca de fadiga. 
Finalmente a peça não é mais capaz de suportar seu carregamento e a fratura final ocorre. Esta 
superfície recém-fraturada é tipicamente cristalina na aparência. 
 
Questionário 
 
1 - Onde se dá a diferença entre a deformação elástica e a plástica. 
 
2 - Por que é necessário definir o módulo de elasticidade específico a = E/d. 
 
3 - Exemplo de maleáveis não dúcteis. 
 
4 - Por que alguns materiais não apresentam definidos os limites de elasticidade. 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 28 
 
5 - Porque é necessário definir a tensão de estético 
(estruturas) perda da ). 
 
- Exemplo giz x quadro negro. 
 
6 - Por que se define a tenacidade (energia) x área. (lig. primária). 
 
7 - Em automóveis por que se usa alta tenacidade. Qual você escolheria para do 
automóvel : tensão de fluência e de escoamento. 
 
8 - Porque ciclos é mais eficiente que deformação, acúmulo de defeitos. 
 
9 - Por que se em nucleação, crescimento e da tensão. 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 29 
Capítulo - II 
ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
RESUMO 
 
 
 
 
 
 
 
2. 1 - Introdução 
 Uma abordagem a solução de problemas em mecânica dos sólidos é estabelecer 
relações primeiro entre cargas aplicadas e tensões internas e, subseqüentemente, considerar as 
deformações. Uma outra abordagem é examinar as deformações inicialmente, e então 
proceder às tensões e as cargas aplicadas. Desprezando-se da eventual solução o caminho 
selecionado, é necessário derivar as relações dos componentes individualmente. Neste 
capítulo, a primeira série de equações as quais descrevem o equilíbrio entre forças externas e 
tensões internas são derivadas. 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 30 
2. 2 – Introdução a Mecânica do Contínuo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 31 
2. 3 – Vetores e Tensores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 32 
2. 4 - Análise do Estado das Tensões 
2.2.1 – Tração e Vetores de Acoplamento das Tensões 
 Um corpo deformável sujeito a um carregamento externo é mostrado na Figura - 
2. 1. Podem existir cargas aplicadas sobre o exterior, propriamente chamada de forças 
superficiais, e cargas distribuídas dentro do interior do corpo, conhecidas como forças 
internas. Um exemplo da última é o efeito da gravidade, a qual produz o peso-específico do 
corpo. 
 Focando a atenção sobre um elemento com uma área nA

 sobre ou dentro do 
corpo e orientada conforme especificada por um vetor normal nˆ , nós acumulamos a força 
resultante nF

 e o momento nM

. Ambas são grandezas vetoriais e não são, em geral, 
paralelas a n. Logo buscamos a intensidade das resultantes sobre a área nA

 na seguinte 
forma. 
 
Figura - 2. 1. Corpo deformável sob carregamento externo. 
0
lim ; ( ) ( )
n
n n
V
n n
F dFf vetor a
V dV 

 

 
 
0
lim ; ( ) ( )
n
n n
n A
n n
F dFT tensor b
A dA 

 

 
  , (2. 1) 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 33 
0
lim ; ( ) ( )
n
n n
n A
n n
M dMC tensor c
A dA 

 

 
, 
Onde nT é conhecido como vetor das tensões ou tração, e Cn é chamado de vetor do 
acoplamento das tensões. 
 A teoria da elasticidade elementar procede da superposição de que Cn = 0, 
enquanto a tração nT representa a intensidade das tensões em um ponto para uma orientação 
particular de elemento de área especificada por nˆ . Uma descrição completa no ponto requer 
que o estado das tensões seja conhecido para todas as direções, tal que nT ele mesmo é 
necessário, mas não suficiente, para esta proposta. 
2.2.2 – Componentes das Tensões 
 Nós agora estudamos um paralelepípedo retangular infinitesimal no ponto em 
questão e construímos uma série de coordenadas cartesianas ix paralelas ao lado, conforme 
mostrado na Figura – 2.2 correspondente a cada eixo coordenado existe um vetor unitário iˆe . 
Mostrado na figura são as trações iT

 que atuam sobre cada face i, com o subscrito escolhido 
correspondente a face normal êi. Novamente enfatiza-se que, em geral, iT

 não é paralelo a iˆe , 
o qual é perpendicular a face do paralelepípedo. 
 
Figura - 2. 2. Tensor das tensões normais e cisalhantes em um corpo. 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 34 
ij , onde i é a direção do vetor normal o elemento de área e j é a direção da componente do 
vetor tensão. 
 Cada tração pode ser escrita em termos das componentes cartesianas na forma: 
1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆi if f e f e f e f e   

, (2. 2) 
Na notação de somatória de Einstein (convenção de soma), ou 
 


1
1 2 3 2
1 13 1
3
1 3
i i
ê
f f f f ê f ê
ê 

 
   
 
 

 (2. 3) 
Mas 
jiji êT 

 (2. 4) 
a qual expandindo explicitamente em três equações fornece: 
jjêêêêT 13132121111  

 (2. 5) 
 
jjêêêêT 23232221212  

 (2. 6) 
 
jjêêêêT 33332321313  

 (2. 7) 
ou ainda 
 
 
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 33 1 3 3
ij j
ê T
T ê T ê
ê T
  
   
  
 
   
        
        




 (2. 8) 
ou 
    j ij jT ê ê   (2. 9) 
 Os coeficientes 11, 12, ...., 33, são conhecidos como componentes das tensões 
ou simplesmente como tensões, enquanto que toda a matriz forma o tensor das tensões quando 
a regra de transformação apropriada é verificada. O subscrito e a convenção dos sinais para as 
componentes das tensões ij são como segue: 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 35 
 1) O primeiro subscrito i refere-se à normal iˆe , a qual denota a face sobre a qual 
iT

 atua. 
 2) O segundo subscrito j corresponde à direção ˆ je na qual a tensão atua. 
 3) As tão chamadas componentes normais ii são positivas se elas produzem 
tensões, e negativas se elas produzem compressões. As componentes de cisalhamento ij (i  
j) são positivas se direcionadas na direção positiva xj enquanto atuam sobre a facecom a 
unidade normal ˆ je , ou se direcionadas na direção negativa xj enquanto atuam sobre a face 
com unidade normal ˆ je . 
 Enquanto é algumas vezes vital distinguir entre tensão e compressão a diferença 
entre cisalhamento positivo e negativo é igualmente arbitrário. 
2.2.3 – Tensão em um Ponto 
 Nós agora estamos em posição de proceder o principal objetivo desta secção, e 
então estabelecer condições suficientes para descrever completamente o estado tensões em um 
ponto. Nós mostraremos que isto pode ser realizado por especificação das trações iT

 sobre 
cada um dos três planos iˆe as quais pela equação (2. 5) a (2. 7), é equivalente a especificar as 
nove componentes das tensões ij . Então, se a tração nT

 atua sobre qualquer elemento 
arbitrário da superfície, definida por um nˆ apropriado, pode ser avaliada, a proposição é 
provada e o tensor das tensões ij , referido a qualquer sistema cartesiano conveniente, 
completamente especifica o estado das tensões no ponto. 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 36 
 
Figura - 2. 3. Forças agindo sobre um tetraedro elementar em um ponto P. 
 O tetraedro diferencial na Figura - 2. 3 mostra a tração nT

 atuando sobre o plano 
identificado por nˆ , ao longo com trações sobre as faces indicadas por êi e a força interna f

 
por unidade de volume. A força sobre a face inclinada é n nT dA

 enquanto a força sobre cada 
uma das outras faces é i iT dA

, 1,2,3i  , desde que elas têm normais unitárias nas direções 
negativas êi. 
 As áreas dos planos estão relacionadas por (2. 8), onde 
ˆ ˆ ˆcos( , ) .i n i n idA dA n e dA n ê  (2. 10) 
tal que 
ˆ ˆ.
i i
n
i i
dA dAdA
n e n
  (2. 11) 
onde 
),ˆcos(ˆ.ˆ iii ênenn  (2. 12) 
é a componente de nˆ na direção iˆe e também a direção cosseno. 
 A força de equilíbrio para o tetraedro da: 
0)
3
1(332211  nnn hdAfdATdATdATdAT

 (2. 13) 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 37 
Onde h é a altura do tetraedro. Usando as equações (2. 10) a (2. 12), a equação (2. 13) torna-
se: 
( ) 0
3n n i i n
hT dA T n f dA  
 
 (2. 14) 
Logo, resolvendo nT

 em componentes cartesianas i iT ê e tomando o limite quando h  0 a 
condição de equilíbrio é satisfeita se: 
iiii nTêT

 (2. 15) 
O próximo passo é escrever iT em termos das componentes das tensões usando a equação (2. 
4). Contudo, é conveniente primeiro mudar o índice mudo sobre o r.h.s da equação (2. 15) de 
i para j, então: 
ijjijjii ênnTnT 

 (2. 16) 
O qual permite que os coeficientes de êi nas equações (2. 15) e (2. 16) sejam equacionadas 
fornecendo: 
jjii nT  (2. 17) 
Reciprocamente, se as componentes iT são conhecidas, a magnitude de nT

 pode ser avaliada 
como: 
2/1)( iinn TTTT 

 (2. 18) 
desde que nT representa uma componente da tração que atua sobre um plano arbitrário como 
definido por nˆ , o conhecimento das componentes da tensão referidas as coordenadas 
cartesianas é realmente suficiente para especificar completamente o estado das tensões no 
ponto. Na equação (2. 17), iT e jn são ambas componentes dos vetores (tensor de ordem 1) 
tal que a ji são as componentes de um tensor   de ordem 2. Portanto, se as componentes 
das tensões são conhecidas em um sistema de coordenadas, dito o sistema xi, elas podem ser 
avaliadas por outro sistema de coordenadas, dito o sistema xi’, pela lei de transformação para 
os tensores de segunda ordem. 
kljlikij  ' (2. 19) 
Onde cada direção cosseno é: 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 38 
),'cos( jiij xx (2. 20) 
conforme introduzido anteriormente ( ) representa o cosseno do ângulo entre os eixos xi’, e xi. 
 Desde que a regra de transformação executa um papel importante na teoria da 
elasticidade, vale a pena reafirmar que ij  ji, isto é, a direção dos cossenos não são 
simétricos. 
2.2.4 – Tensões sobre um Plano Normal 
 É algumas vezes útil resolver nT

 em componentes que são normais e tangenciais 
ao elemento diferencial de superfície dAn, conforme mostrado na Figura - 2. 4. 
 
Figura - 2. 4. Elemento diferencial de superfície 
 A componente normal é calculada por: 
nTN nnn ˆ.

 (2. 21) 
 
nêT ii ˆ..

 (2. 22) 
 
ii nT . (2. 23) 
ou da equação (2. 17): 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 39 
ijijnn nn  (2. 24) 
a componente tangencial é: 
sTs nns ˆ

 (2. 25) 
 
sêT ii ˆ..

 (2. 26) 
 
ii sT . (2. 27) 
 
ijjins sn  (2. 28) 
onde 
sês ii ˆ. (2. 29) 
Isto freqüentemente conveniente calcular ns usando o teorema de Pitágoras como 
2/12 )( nniins TT   (2. 30) 
conduzindo a resolução a um passo a mais, as componentes cartesianas de N

 e s podem ser 
avaliadas: 
knnkknn ênêN .ˆ.)(  

 (2. 31) 
 
knnn (2. 32) 
 
kijji nnn (2. 33) 
onde k = 1, 2, 3. 
a partir da equação (2. 24) para ns, a simples adição dá 
.3,2,1)()(  kT knnnknn  (2. 34) 
onde Tk são as componentes cartesianas de T conforme dado pela equação (2. 17). 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 40 
2.2.5 – Representação Dyádica das Tensões 
 Conceitualmente, pode ser útil ver o tensor das tensões como uma grandeza tipo 
vetorial tendo uma magnitude e direções associadas, especificadas por vetores unitários. O 
dyádico, atribuído ao matemático J. Willard Gibbs, é uma tal representação. Nós escrevemos 
o tensor das tensões ou dyádico das tensões como: 
  jiij êê ..  (2. 35) 
 
333323321331
322322221221
311321121111
......
......
......
êêêêêê
êêêêêê
êêêêêê






 (2. 36) 
Onde os duplos vetores justapostos são chamados dyádicos. As trações correspondentes são 
avaliadas por uma operação análoga ao produto escalar ou a operação de produto na 
aritmética vetorial: 
  jijii êêT ..  

 (2. 37) 
A operação ponto (.) de êi sobre [] seleciona componentes com o segundo vetor diado igual 
a êi desde que êi.êj = ij. A equação (2. 37) é idêntica a equação (2. 4). Similarmente, as 
componentes normais e tangenciais da tração Tn sobre um plano definido pela normal n são: 
  nnnn ˆ.ˆ.  (2. 38) 
 
nTn ˆ.

 (2. 39) 
 
jiij nn .. (2. 40) 
e 
  snns ˆ.ˆ.  (2. 41) 
 
sTn ˆ.

 (2. 42) 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 41 
jiij sn .. (2. 43) 
como previamente achado nas equações (2. 24) e (2. 25), respectivamente. 
2. 5 - Equações de Equilíbrio 
 A partir de agora vamos estudar as equações de equilíbrio ara os sólidos as quais 
são decorrentes da Mecânica Newtoniana. 
2.3.1 – Princípios Físicos e Matemáticos 
 O estado das tensões em um ponto em qualquer direção tem sido mostrado ser 
completamente determinado pelas componentes do tensor cartesiano das tensões ij. 
Naturalmente, as tensões variam dentro do corpo. As equações que governam a distribuição 
das tensões são conhecidas como as equações de equilíbrio e são derivadas a partir da 
aplicação dos princípios fundamentais da física do momento angular e do momento linear à 
região mostradacomo na Figura - 2. 5 com a área superficial A e o volume V. 
 
Figura - 2. 5. Corpo em equilíbrio. 
 O princípio do momento linear é: 
  
VV A
dVudATdVf



. (2. 44) 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 42 
no qual  é a densidade de massa; u é o vetor deslocamento, e o símbolo (..) significa a 
derivada em relação ao tempo duas vezes. 
 As equações precedentes podem ser escritas na forma de componentes 
reconhecendo-se que: 
. ( )i if f ê a

 (2. 45) 
e 
iiêTT 

 (2. 46) 
logo 
ijji ên .. (2. 47) 
a partir da equação (2. 30). Considerando o vetor posição r . Onde 
.j jr x ê
 (2. 48) 
Mas 
int int
V
F f dV 

 (2. 49) 
E a resultante das forças é dada por: 
intext
V
F F rdV  
   (2. 50) 
e 
ij
ext
jV
F dV
x




 (2. 51) 
Logo substituindo (2. 49) e (2. 51) em (2. 52) temos: 
int
ij
jV V
f dV rdV
x


 
    
 
  (2. 52) 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 43 
2.3.2 – Momento Linear 
 Para problemas estáticos, o r.h.s. das equações (2. 44) são zero. Substituindo-se as 
equações (2. 53),(2. 46) e (2. 45) em (2. 44) nós temos que as equações estáticas do momento 
linear são: 
 
AV
dAnTdVf 0ˆ].[.

 (2. 53) 
ou equivalentemente 
 
A
ijjii
V
i dAêndVêf 0.  (2. 54) 
 
0. 





  i
A
jji
V
i êdAndVf  (2. 55) 
 
 
A
jji
V
i dAndVf 0.  (2. 56) 
 Supondo que as componentes ij das tensões são funções contínuas de classe C1 e 
possuem derivadas contínuas, pode-se usar o teorema da divergência para transformar a 
integral de superfície em uma integral de volume. Portanto, 
 
AV
dAnTdVT ˆ].[]).[( (2. 57) 
Logo substituindo (2. 57) em (2. 53) tem-se: 
 
VV
dVTdVf 0]).[(

 (2. 58) 
 
0]).[(  dVTf
V
 (2. 59) 
 
0)( 


 dVxfV j
ji
i

 (2. 60) 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 44 
Como todo elemento de V em equilíbrio, a região de integração é arbitrária, valendo para 
qualquer volume V, a equação (2. 60) é satisfeita se o integrado desaparece. Portanto, 
 
0



j
ji
i x
f

 (2. 61) 
Esta é a condição de equilíbrio para o momento linear, a qual representa as três equações de 
equilíbrio em termos das nove componentes desconhecidas da tensão ij. 
2.3.2 – Momento Angular 
 O princípio do momento angular é: 
dVurdATrdVfr
VAV
)()()( 

  (2. 62) 
No qual r é o vetor posição como mostrado na Figura - 2. 5. 
 O equilíbrio dos momentos demanda que: 
0ˆ])[()(   dAnTrdVfr
AV
 (2. 63) 
onde 
332211 êxêxêxr 
 (2. 64) 
a forma escalar de (2. 63) é: 
0  dAnxdVfx llkj
A
ijk
V
kjijk  (2. 65) 
onde 
0 , ,
1 , , 1,2,3
1 , , 1,3,2
ijk
se quaisquer dois i j k são iguais
se i j k é uma permutação cíclica de
se i j k é uma permutação de



 

 (2. 66) 
Usando o teorema da divergência temos: 
0)( 


 dAnxdVxx llkjA
ijk
V
lkjijk
l
 (2. 67) 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 45 
0)( 





 dVfxdVxxx
x
kj
V
ijk
l
lk
V
jlk
l
j
ijk 

 (2. 68) 
 
0])([ 





 dVx
x
f
x
x
V l
j
lkk
l
lk
jijk 

 (2. 69) 
usando (2. 66) em (2. 69) temos: 








 ljse
ljse
dVdV
x
x
jljl
V
lkijk
V l
j
lkijk 0
1
;0  (2. 70) 
 
0
[ ( ) ] 0lkijk j k lk jl
lV
x f dV
x

  


  
 
 (2. 71) 
usando a expressão (2. 61) temos: 
0  dVdV
V
jkijk
V
jllkijk  (2. 72) 
Como a relação é válida para qualquer volume temos: 
 
0jkijk (2. 73) 
a equação (2. 73) pode ser avaliada para i = 1,2,3, onde 
02312332132   (2. 74) 
 
01321331231   (2. 75) 
 
01231221321   (2. 76) 
Logo 
2332   (2. 77) 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 46 
1331   (2. 78) 
 
1221   (2. 79) 
ou ainda de forma geral 
jiij   (2. 80) 
a qual é uma condição da simetria do tensor das tensões e que, além disso, implica que ij tem 
seis componentes independentes, em vez de nove componentes. A equação (2. 80) é muito 
importante em todo o campo da mecânica dos sólidos. 
 Nós podemos reescrever a equação (2. 17) como: 
jiji nT  (2. 81) 
e a equação (2. 61) como: 
0



j
ij
i x
f

 (2. 82) 
A qual é agora uma série de três equações e seis incógnitas. Desde que elas são usadas 
repetidamente, esta é útil escrever as últimas equações na forma explícita: 
1311 12
1
1 2 3
0 ( )f a
x x x
   
   
  
 (2. 83) 
 
2321 22
2
1 2 3
0 ( )f b
x x x
   
   
  
 (2. 84) 
 
31 32 33
3
1 2 3
0 ( )f c
x x x
    
   
  
 (2. 85) 
a qual representa um sistema que é ainda estaticamente indeterminado. 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 47 
2. 6 - Tensões Principais 
 Em todo ponto em um corpo existe um plano, chamado de plano principal, tal que 
o vetor tensão se estende ao longo da normal n a este plano. Isto é, 
jijii nnT   (2. 86) 
onde  é a tensão normal que atua sobre este plano. A implicação é que não existe 
cisalhamento agindo sobre o plano principal. A direção de n é referida à direção principal. A 
introdução da equação (2. 86) na equação (2. 17) fornece: 
0)(  jijji n (2. 87) 
A qual é uma série de três equações homogêneas para a direção dos cossenos ni que definem a 
direção principal. Desde que nini = 1, então para evitar a solução trivial (0, 0, 0) devemos ter: 
0det  jijji n (2. 88) 
a qual em uma forma matricial é: 
0
333231
232221
131211

















 (2. 89) 
Esta é uma equação cúbica em  que pode ser escrita como: 
032
2
1
3  III  (2. 90) 
Onde I1, I2, I3 são grandezas escalares que são independentes do sistema de coordenadas na 
qual as componentes das tensões são expressos. Elas são chamadas invariantes das tensões 
como: 
iiI 1 (2. 91) 
 
)(
2
1
2 ijijjjiiI   (2. 92) 
 
krjqippqrijkI 6
1
3  (2. 93) 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 48 
Em uma forma extendida temos: 
3322111  I (2. 94) 
 
2
31
2
23
2
121133332222112 )(  I (2. 95) 
 











333231
232221
131211
3



I (2. 96) 
 Devido à simetria do tensor das tensões existem três raízes reais (1, 2, 3), 
referente as tensões principais da equação (2. 89). Associado a cada tensão principal existe 
uma direção principal satisfazendo a equação (2. 87) e nini =1. As três direções principais e os 
planos associados são mutuamente ortogonais. Pode ser mostrado que as tensões principaiscorrespondem ao valor máximo, intermediário e mínimo das tensões normais em um ponto 
(circulo de Mohr). Contudo, a máxima tensão de cisalhamento neste ponto é igual a metade da 
diferença entre as tensões principais máxima e mínima que atua sobre o plano, fazendo um 
ângulo de 45o graus com a direção das tensões. Um conhecimento das tensões principais é 
importante porque elas formam a base da teoria das falhas dos materiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 49 
2. 7 – Análise do Movimento de uma Deformação Elástica dos 
Corpos u 
 
2.5.1 - Definição do vetor deslocamento u 
 A série fundamental das equações de campo que governam o movimento de um 
corpo elástico isotrópico e homogêneo consiste da relação do deslocamento da deformação 
para pequenas deformações. Portanto, considere o deslocamento u conforme mostrado na 
 Figura - 2. 6. 
 
 Figura - 2. 6. Vetor deslocamento u provocado por uma deformação elástica. 
 O deslocamento do corpo é dado por: 
x X u 
  (2. 97) 
sendo 
    udrurdru   . (2. 98) 
logo 
   rurdruud   . (2. 99) 
e a diferencial de x 
dx dX du 
  (2. 100) 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 50 
ou seja 
rd
rd
udud 

 . (2. 101) 
e a velocidade é: 
dx dX duv
dt dt dt
  
  (2. 102) 
E a aceleração é então: 
2 2 2
2 2 2
d x d X d ua
dt dt dt
  
  (2. 103) 
E o estiramento é dado por: 
dx u
dX
  F I
  (2. 104) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 51 
2.5.2 - Análise das Deformações 
 Considere um corpo flexível como uma gelatina, sofrendo “pequenas 
deformações”, conforme mostra a Figura - 2. 7. 
)',','(''),,( 321321 xxxrrexxxrr

 (2. 105) 
 
333222111 )'()'()'(' êxxêxxêxxrru 
 (2. 106) 
 
Figura - 2. 7. Deformação tridimensional em um corpo flexível. 
onde 
traçãodeounormaissdeformaçõe
l
l
x
u
l
l
x
u
l
l
x
u








3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1 ;; (2. 107) 
 
tocisalhamendeoustangenciaidefor
l
l
x
u
l
l
x
u
l
l
x
u
l
l
x
u
l
l
x
u
l
l
x
u
.
;;
;;
2
3
2
3
3
2
3
2
1
3
1
3
3
1
3
1
1
2
1
2
2
1
2
1


















 
(2. 108) 
Chamando de: 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 52 
j
i
ij l
l
 , (2. 109) 
podemos escrever: 
jiji xu  . (2. 110) 
Para uma deformação qualquer temos: 
 
j
i
ij x
u


 , (2. 111) 
Para o caso de i  j temos duas situações: 
 
Figura - 2. 8. Casos de a) deformação e b) rotação do ponto de vista de deslocamento vetorial. 
Para o caso de formação pura temos: 
2112
1
2
2
1
 



l
l
l
l
 , (2. 112) 
e 
12 12 21 12
12 21 122
   
  
  
 
 , (2. 113) 
logo 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 53 
2
)( 1221
12



 , (2. 114) 
e para o caso de rotação pura temos: 
2112
1
2
2
1
 



l
l
l
l
 , (2. 115) 
e 
12 12 21 12
21 120
2
   
 
  


 , (2. 116) 
logo 
0
2
)( 1221
12 



 , (2. 117) 
 Para que uma rotação pura não seja incluida no cálculo das deformações, 
conforme é mostrado no exemplo da Figura - 2. 8 acima, devemos construir um tensor de 
deformações simétrico onde ij = ji, logo de uma forma geral devos ter: 
)(
2
1
j
i
i
j
ij x
u
x
u





 , (2. 118) 
Observe que esta construção também inclui as deformações normais, sendo portanto uma 
definição absolutamente geral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
___________________________________________________________________________ 
 54 
2.5.3 – A Definição Tensor das Deformações 
 Somando-se as contribuições de cada deformação para encontrar a deformação 
resultante em uma dada direção temos: 
3132121111 xxxu   , (2. 119) 
 
3232221212 xxxu   , (2. 120) 
 
3332321313 xxxu   , (2. 121) 
Escrevendo sob a forma de matriz nós temos que o tensor das deformações é dado por: 































3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
x
x
x
u
u
u



, (2. 122) 
 Escolhendo a origem onde o vetor u = (u1, u2, u3) é nulo, o tensor ij dá a relaçào 
entre dois vetores; o vetor coordenada r = (x1, x2, x3) e o vetor deslocamento u = (u1, u2, u3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
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 55 
 2.5.4 - A Definição do Tensor Gradiente de Deformação 
 Definindo a deformação E e a torção W , como sendo: 
  uu 
2
1E ou  jiij uu ,,2
1 
E (2. 123) 
e 
  uu 
2
1W ou  jiij uu ,,2
1 
W (2. 124) 
onde 
WE u (2. 125) 
 O u  é definido como: 
i
u u u uu
x x y z
   
    
   
    (2. 126) 
 Observe que se o tensor das deformações é simétrico o tensor das torções é nulo, 
ou seja, se 
 uu  (2. 127) 
logo 
0W (2. 128) 
 Sendo a deformação definida como: 
 12
T
ij u u   
  (2. 129) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
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 56 
2.5.5 – Equações de Compatibilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA 
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 57 
Capítulo - III 
TEORIA DO CAMPO ELASTOSTÁTICO CLÁSSICO 
RESUMO 
 Neste capítulo é apresentado o desenvolvimento da solução da equação do campo 
elástico linear por meio da definição de problemas planos (deformação plana e tensão plana) 
inserindo-se as equações de compatibilidade com a finalidade de se obter a equação 
biharmônica. A solução geral da equação biharmônica é desenvolvida utilizando-se variáveis 
complexas e as condições de Cauchy-Riemmann. Em seguida um desenvolvimento 
matemático é feito para se obter as equações de Kosolov. Esta equações tornam-se facilmente 
aplicável ao problema da fratura elástica linear na obtenção do campo de tensão/deformação 
ao redor de uma trinca. 
3. 1 - Objetivos do Capítulo 
i) Apresentado o desenvolvimento da solução da equação do campo elástico linear por meio 
da definição de problemas planos (deformação plana e tensão plana) 
ii) Inserir as equações de compatibilidade com a finalidade de se obter a equação biharmônica 
iii) Apresentar e desenvolver a solução geral da equação biharmônica utilizando-se