Metalurgia Mecânica - Dieter, G E - 2a Ed - 1981

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Metalurgia Mecânica
George E. Dieter
Professor of Engineering
Carnegie - Mellon University
Antonio Sergio de Sousa e Silva, M.Sc.
Luiz Henrique de Almeida, M.Sc.
Paulo Emílio Valadão de Miranda, M.Sc.
Professores do Programa de Engenharia Metalúrgica
e de Materiais da Coordenação dos Programas
de Pós-Graduação em Engenharia e da Escola
de Engenharia da Universidade Federal
do Rio de Janeiro
(COPPE/UFRJ-EE/UFRJ).
GUANABARA
DOIS
Prefácio à segunda edição
No"s doze anos que se sucederam à primeira edição de Mechanical Metallurgy
foram publicados pelo menos 25 livros-texto versando sobre os principais tópicos
abordados neste liyro. Ao menos dez livros relacionados com a mecânica dos proces-
sos de conformação entraram no prelo durante este período, por exemplo. Nenhum
deles, entretanto, cobriu todo o espectro da metalurgia mecânica, desde a compreen-
são da descrição contínua da tensão e da deformação através de mecanismos cristali-
nos e de falha de escoamento e fratura até considerações sobre os principais testes de
propriedades mecânicas e os processos básicos de conformação mecânica.
Neste período, desde a primeira edição, têm surgido processos importantes no
que se refere à interpretação do comportamento mecânico dos sólidos. Excelentes
verificações experimentais conduziram à comprovação de grande parte da teoria das
discordâncias para a deformação plástica, o que proporciona um entendimento melhor
dos mecanismos de endurecimento dos materiais cristalinos. Desenvolvimentos em
áreas como a fratomecânica alcançaram elevados níveis de sofisticação técnica,
revelando-se de grande utilidade para aplicações práticas na engenharia. Uma realiza-
ção importante durante este período foi o "movimento da ciência dos materiais", no
qual sólidos cristalinos, metais, cêrâmicos e polímeros são considerados como um
grupo cujas propriedades são controladas por defeitos estruturais básicos, comuns a
todas as classes de sólidos cristalinos.
Nesta revisão mantiveram-se os objetivos que motivaram a primeira edição deste
livro, preparado de forma a atender alunos já no início dos cursos de pós-graduação.
Foram feitas muitas modificações no sentido de atualizar, introduzir tópicos novos
sobre áreas importantes que surgiram e elucidar algumas seções que se mostraram
mais difíceis ao entendimento dos estudantes. Em algumas seções os assuntos de nível
mais elevado foram impressos em tipo menor, dirigidos especialmente aos estudantes
de pós-graduação. Os problemas foram muito revisados e expandidos, tendo sido pre-
parado um manual de soluções. Foram adicionados dois capítulos novos: um abran-
gendo propriedades mecânicas dos polímeros e outro sobre usinagem dos metais. Os
capítulos sobre métodos estatísticos e tensões residuais foram eliminados. Na reali-
dade, mais da metade do livro foi completamente reescrita.
Préfácio à primeira edição
A metalurgia mecânica é a área do conhecimento que lida com o comportamento e
a resposta dos metais às forças aplicadas. Como não é uma área definida precisa-
mente, poderá ter significados diferentes para pessoas diferentes. Alguns podem
entendê-Ia como as propriedades mecânicas dos metais ou testes mecânicos, outros
podem considerá-Ia como o campo restrito ao trabalho plástico e conformação dos
metais, enquanto outros podem ainda relacioná-Ia de acordo com seus interesses aos
aspectos mais teóricos do campo, como a física dos metais e a metalurgia física. Outro
grupo pode ainda considerar a metalurgia mecânica ligada à matemática e à mecânica
aplicadas. Ao escrever este livro tentou-se cobrir de alguma forma esta grande diversi-
dade de interesses. O objetivo foi o de incluir todo o escopo da metalurgia mecânica
em um volume abrangente.
O livro foi dividido em quatro partes. A Parte Um, Fundamentos de Mecânica,
apresenta o tratamento matemático necessário à compreensão de muitos dos capítulos
que se sucedem. Os conceitos de tensão e de deformação combinados foram revistos e
expandidos à terceira dimensão. Foram também forneci das considerações detalhadas
sobre a teoria do escoamento e sobre os conceitos de plasticidade. Não se pretendeu,
porém, desenvolver os tópicos da Parte Um de forma completa, o que é necessário
para a resolução de problemas originais. Em vez disto, o objetivo foi o de familiarizar
pessoas de formação metalúrgica com a linguagem matemática encontrada em algumas
áreas da metalurgia mecânica. A Parte Dois, Fundamentos de Metalurgia, lida com os
aspectos estruturais da deformação plástica e da fratura. Dá-se ênfase à atomística do
escoamento e à fratura e à forma pela qual a estrutura metalúrgica afeta esses proces-
sos. O conceito de discordância é introduzido no início da Parte Dois e utilizado sem-
pre a partir daí para fornecer explicações qualitativas para fenômenos tais como o
encruamento, o ponto limite de escoamento, o endurecimento por fase dispersa e a
fratura. Um tratamento mais matemático das propriedades das discordâncias é dado
em um capítulo separado. Os tópicos abordados na Parte Dois referem-se mais à meta-
lurgia física. Entretanto, a maioria deles é discutida em maior detalhe e com uma
ênfase diferente do que quando são apresentados pela primeira vez em um curso nor-
mal de graduação sobre essa disciplina física. Alguns tópicos que são mais sobre meta-
lurgia física do que mecânica são incluídos com o intuito de fornecer uma continuidade
e a base necessária para leitores que não estudaram a metalurgia física moderna.
A Parte Três, Aplicações em Ensaios de Materiais, aborda os aspectos de enge-
nharia das técnicas comuns de testes da falha mecânica dos metais. Alguns capítulos '
são dirigidos aos ensaios de tração, torção, dureza, fadiga, fluência e impacto. Outros
são compostos por assuntos importantes, tais como tensões residuais e análise estatís-
tica dos dados de propriedades mecânicas. Na Parte Três dá-se ênfase à interpretação
dos testes e ao efeito de variáveis metalúrgicas no comportamento mecânico, em vez
dos procedimentos para conduzir os testes. Admite-se que o desenvolvimento destes
testes será visto em um curso de laboratório concomitante ou em separado. A Parte
Quatro, Conformação Plástica dos Metais, aborda os processos mecânicos comuns
para a produção de formas metálicas úteis. Dá-se pouca ênfase aos aspectos descriti-
vos desta matéria, uma vez que isto pode ser melhor visto através de visitas a instala-
ções industriais e palestras ilustradas. Por outro lado, a atenção principal é dirigida aos
fatores mecânicos e metalúrgicos que controlam cada processo, tal como forjamento,
laminação, extrusão, estampagem e conformação de chapas metálicas finas.
Este livro é escrito para o estudante de pós-graduação em engenharia metalúrgica
ou mecânica, assim como para engenheiros envolvidos com problemas práticos na
indústria. Embora a maioria das universidades tenha adotado cursos de metalurgia
mecânica ou propriedades mecânicas, há uma diversidade muito grande na matéria
tratada e na formação básica dos alunos que fazem esses cursos. Assim, atualmente
não se pode definir algo como um livro-texto padrão em metalurgia mecânica. Espera-
se que a amplitude e o escopo deste livro forneçam material suficiente para estes requi-
sitos tão diversos. Espera-se, ainda, que a existência de um tratamento detalhado do
campo de metalurgia mecânica estimule o desenvolvimento de cursos que venham a
cobrir toda a matéria.
Como este livro é dirigido a alunos de pós-graduação e a engenheiros práticos das
indústrias, espera-se que ele se torne parte de sua biblioteca profissional. Embora não
se tenha objetivado fazer deste livro um manual, pensou-se em fornecer de forma
abundante referências para a literatura em metalurgia mecânica. Assim, foram incluídas
mais referências do que o normal em um livro-texto comum, todas apresentadas com o
objetivo de ressaltar derivações ou análises além do escopo do livro, para fornecer
informações adicionais a pontos detalhados ou em controvérsia, e para enfatizar tra-
balhos que mereçam ser mais estudados.Além disto, ao fim de cada capítulo
encontra-se uma bibliografia de referências gerais. No fim do volume incluiu-se uma
coleção de problemas, principalmente para o uso do leitor que está envolvido com a
indústria e que deseja verificar sua compreensão da matéria.
O trabalho envolvido na confecção deste livro foi mais o de examinar e classificar
fatos e informações da literatura e dos diversos excelentes livros-textos em aspectos
específicos da matéria. Para cobrir a amplitude do material encontrado neste livro
necessitar-se-ia de partes de mais de 15 livros-texto padrões e um sem-número de
artigos de revisão e contribuições individuais. Foi feito um esforço consciencioso para
dar crédito às fontes originais. O autor se desculpa pelas omissões que ocasionalmente
possam ter ocorrido e agradece aos diversos autores e editores que consentiram na
reprodução de ilustrações, todos mencionados nas respectivas legendas.
Finalmente, o autor gostaria de agradecer aos diversos amigos que o orientaram
na confecção deste trabalho. Em especial ao Professor A. W. Grosvenor, do Drexel
Institute of Technology, ao Dr. G. T. Horne, do Carnegie Institute of Technology,
aos Drs. T. C. Chilton, J. H. Faupel, W. L. Phillips, W. I. Pallock e J. T. Ranson, da
Companhia du Pont, e ao Dr. A. S. Nemy, da Thompson-Ramo-Wooldridge Corpo
Índice
. Parte I Fundamentos de Mecânica
1 Introdução, 2
2 Relações entre Tensão e Deformação para o Comportamento Elástico, 14
3 Princípios da Teoria da Plasticidade, 62
Parte n Fundamentos de Metalurgia
4 Deformação Plástica de Monocristais, 92
5 Teoria das Discordâncias, 130
6 Mecanismos de Endurecimento, 166
7 Fratura, 213
8 Comportamento Mecânico de Materiais Poliméricos, 251
Parte lU Aplicações em Ensaios de Materiais
9 Testes de Tração, 282
10 Testes de Torção, 322
11 Teste de Dureza, 332
12 Fadiga dos Metais, 344
13 Fluência, 385
14 Fratura Frágil e Ensaio de Impacto, 419
Parte IV Conformação Plástica dos Metais
15 Fundamentos de Conformação, 452
16 Forjamento, 497
17 Laminação dos Metais, 518
18 Extrusão, 544
19 Trefilação de Vergalhões, Arames e Tubos, 561
20 Conformação de Chapas Metálicas Finas, 573\
21 Usinagem de Metais, 598 .
Apêndices A O sistema Internacional de Unidades, 623
B Problemas, 626
Índice Alfabético, 646
Lista de símbolos
e =
exp =
F=
G=
Cf}=
H=
h =
(h,k,l)=
I =
J =
K=
Kf=
Kt =
K1c
k
L
I, m, n
ln =
log =
MB=
Mr=
m=
N=
M=
M' =
p=
A=
a =
ao =
B=
b =
b=c=
cu =
c =
D=
E=
Área, amplitude
Distância linear; comprimento de trinca
Espaçamento interatômico
Constante; espessura do corpo de prova
Largura ou amplitude
Vetor de Burgers de uma discordância
Constante geral; calor específico
Coeficientes elásticos
Comprimento da trinca de Griffith
Diâmetro de grão
Módulo de elasticidade para carregamento axial (módu]o de Young)
Deformação linear convencional ou de engenharia
Base dos logaritmos neperianos (= 2,718)
Força por unidade de comprimento em uma linha de discordância
Módulo de elasticidade em cizalhamento (módulo de rigidez)
Força de extensão da trinca
Energia de ativação
Distância, geralmente na direção da espessura
Índices de Miller de um plano cristalográfico
Momento de inércia
1nvariante da tensão desvio; momento de inércia polar
Coeficiente de resistência
Fator de entalhe de fadiga
Fator de concentração de tensôes teórico
Tenacidade à fratura
Tensão limite de escoamento em cizalhamento puro
Comprimento
Co-senos diretores da normal a um plano
Logaritmo neperiano
Logaritmo na base 10
Momento f1etor
Momento torsor, torque
Sensibilidade à taxa de deformação
Número de ciclos de tensão ou vibração
Coeficiente de encruamento
Constante geral em termo exponencial
Carga ou força externa
Sij =
s =
T=
Tm =
I =
Ir =
u=
uo =
U, V, lV =
[uvw] =
v=
a=
a, f3, O, ep =
f=
y=
.:l=
0=
p =
(J"=
(J"o =
(J"~ =
(J"=
(J"l, (J"2, (J"3 =
cr' =
(T" =
Energia de ativação
Pressão
Redução em área; fator de constrição plástica; índice de sensibilidade ao
entalhe em fadiga
Raio de curvatura; razão de tensão em fadiga; constante dos gases
Distância radial
Tensão total em um plano antes do rebatimento em componentes normal
e cizalhante
Compliância elástica
Tensão de engenharia
Temperatura
Ponto de fusão
Tempo; espessura
Tempo de ruptura
Energia de deformação elástica
Energia de deformação elástica por unidade de volume
Componentes de deslocamento nas direções x, y e z
Índices de Miller para uma direção cristalográfica
Volume
Velocidade
Trabalho
Parâmetro de Zener-Halloman
Coeficiente linear de expansão térmica; ângulo de fase
Ângulos em geral
Tensão de linha de uma discordância
Deformação cizalhante
Deformação volumétrica ou dilatação cúbica; variação finita
Deformação em elongação; deflecção; decremento logarítmico; delta de
Kromeckes
Símbolo geral para deformação; deformação natural ou verdadeira
Deformação verdadeira significante ou efetiva
Taxa de deformação verdadeira
Taxa mínima de fluência
Eficiência; coeficiente de viscosidade
Parâmetro de tempo-temperatura de Dorn
Módulo volumétrico de elasticidade
Constante de Lamé; espaço entre partículas
Parâmetro de tensão de Lode; coeficiente de atrito
Coeficiente de Poisson; parâmetro de deformação de Lode
Densidade
Tensão normal; tensão verdadeira
Tensão limite de escoamento ou resistência ao escoamento
Tensão limite de escoamento em deformação plana
Tensão verdadeira significante ou efetiva
Tensões principais
Tensão desvio
Componente hidrostático da tensão
Tensão alternada ou variável
Tensão principal média; tensão média
Faixa de tensões .
Tensão de resistência à tração
Tensão de trabalho
Tensão cizalhante; tempo de relaxação
Função de tensão de Airy
Capacidade de amortecimento específica
r =
S =
v
w=
z=
E =
€ =
E =
€s =
71 =
0=
K=
'11.=
JL=
v=
(J"a =
(J'm =
(J"r =
ali =
(J"w =
T=
1>=
t/J=
Parte I
Fundamentos de Mecânica
Introdução
A metalurgia mecânica é a área da metalurgia que trata principalmente da resposta dos
metais a forças ou cargas, que podem se manifestar durante a utilização do metal como
um componente ou parte de uma estrutura ou equipamento. Nestas condições, há
necessidade de se conhecer os valores limites que podem ser suportados sem que
ocorra um colapso. O objetivo pode ser também o de converter um lingote fundido em
uma forma utilizável, tal como uma chapa plana, para o que devem ser determinadas
as condições de temperatura e variação de cargas que minimizem as forças necessárias
à realização do trabalho.
A metalurgia mecânica nâo é uma matéria que pode ser estudada isoladamente.
Na realidade, é uma combinação de diversas disciplinas e diferentes abordagens ao
problema da interpretação da resposta dos metais a forças. É, de outra forma, a inicia-
tiva utilizada em resistência e plasticidade, onde um metal é considerado como um
material homogêneo, cujo comportamento mecânico pode ser descrito de maneira pre-
cisa com base apenas em poucas constantes características de cada metal. Esta abor-
dagem é a base para o projeto racional de componentes estruturais e peças de máqui-
nas. Na Parte I deste livro, a resistência dos materiais, a elasticidade e a plasticidade
são tratadas sob um ponto de vista mais generalizado do que o usualmente apresentado
em um primeiro curso de resistência dos materiais. O assunto dos três primeiros capítu-
los pode ser considerado como o fundamento matemático do qual depende todo o resto
do livro. Os estudantes de engenharia que já tiveram um curso avançado em resistên-
cia dos materiais ou projetos de máquinas poderão possivelmente transpor com facili-
dade estes capítulos. No entanto, para a maioria dos engenheiros metalúrgicos e enge-
nheiros atuantes na indústria, é interessante despender o tempo necessário para se
familiarizar com a matemática apresentada na Parte I.
Quando a estrutura do metal se torna uma variável importante e não pode mais ser
considerada um meio homogêneo, as teorias da resistência dos materiais, elasticidade e
plasticidade perdem consideravelmente seu poder. O comportamento dos metais a
altas temperaturas, onde a estrutura metalúrgicapode variar continuamente com o
tempo, ou a transição dúctil-frágil que ocorre nos aços-carbono exemplificam tal fato.
A principal incumbência do metalurgista mecânico consiste em determinar a relação
entre o comportamento mecânico e a estrutura dos metais, sendo esta última revelada
essencialmente por técnicas de microscopia e raios X. Geralmente as propriedades
mecânicas podem ser melhoradas ou ao menos controladas quando o comportamento
mecânico é interpretado em termos da estrutura metalúrgica. A Parte 2 deste livro
apresenta os fundamentos metalúrgicos do comportamento mecânico dos metais. Já
que a metalurgia mecânica é parte do espectro mais amplo que compreende a metalur-
gia física, os estudantes de metalurgia. já tendo cursado esta matéria anteriormente,
deverão ter um conhecimento bem sedimentado de alguns dos assuntos desenvolvidos
na Parte 2. Entretanto. estes tópicos mostram-se bem mais detalhadamente do que
num curso básico de metalurgia física. Os estudantes de outras áreas, que não cursa-
ram esta cadeira, são auxiliados por tópicos adicionais que se referem mais à metalur-
gia física do que à mecânica, introduzidos com o intuito de proporcionar também uma
melhor continuidade.
Os três últimos capítulos da Parte 2 abrangem principalmente os conceitos atomís-
ticos do escoamento e da fratura dos metais. O trabalho conjunto de físicos do estado
sólido e metalurgistas resulta em vários desenvolvimentos nesta área. que tem apre-
sentado enorme progresso. Um fato de grande importância prática para a verifica-
ção da teoria e de uma análise direcionada foi a introdução do microscópio eletrônico
de transmissão. É feita uma apresentação do conteúdo básico da teoria das discordân-
cias. o que é indispensável ao entendimento do comportamento mecânico dos sólidos
cristalinos.
Os dados referentes à resistência dos metais e medidas para o controle rotineiro
das propriedades mecânicas são obtidos de um número relativamente pequeno de tes-
tes mecânicos radronizados. A Parte 3 desta obra considera cada um dos ensaios
mecânicos mais comuns. cujo enfoque não é dirigido às técnicas exrerimentais como é
usual. mas à consideração do que estes testes fornecem sobre o desempenho de metais
em serviço e como variáveis metalLlrgicas afetam seus resultados. Grande parte do
material apresentado nas Partes I e 2 é utilizada na Parte 3. Admite-se neste ponto que
o leitor já possua um curso convencional sobre ensaios ,de materiais ou esteja parale-
lamente assistindo a aulas de laboratório. onde roderá familiarizar-se com as técnicas
de realização de testes.
A Parte 4 trata dos fatores metalúrgico.s e mecânicos envolvidos na conformação
de metais em formas utilizáveis. Pretendia-se inicialmente apresentar as análises ma-
temáticas dos principais processos de conformação dos metais; entretanto, em certos
casos, isto não foi possível devido à necessidade de um tratamento muito detalhado ou
por estarem estas análises fora dos objetivos reais deste livro. Não se procurou incluir
a extensa tecnologia especializada associada com cada processo de conformação em
particular, como laminadio ou extrusão, embora tenhamos nos esforçado no sentido
de fornecer uma impressão geral sobre os equipamentos mecânicos necessários e fami-
liarizar o leitor com o vocabulário especializado desta área. Uma ênfase maior foi dada
na apresentação de ilustrações razoavelmente simplificadas das forças envolvidas em
cada processo e como os fatores geométricos e metalúrgicos afetam as cargas de traba-
lho e o sucesso dos processos de conformação.
A resistência dos materiais é parte da ciência que lida com a relação entre as forças
internas, a deformação e as cargas externas. O primeiro passo para o método de aná-
lise mais comum utilizado em resistência dos materiais consiste em se admitir que o
elemento está em equilíbrio. As equações do equilíbrio estático são aplicadas às forças
que atuam em alguma parte do corpo para que se obtenha uma relação entre as forças
externas atuando no elemento e as forças internas que resistem à ação das externas. É
necessário transformar as forças internas resistentes em externas, uma vez que as
equações de equilíbrio devem ser expi-essas em termos de forças atuando externa-
mente ao corpo. Isto pode ser conseguido passando-se um plano através do corpo.
pelo ponto de interesse. A parte do corpo situada em um dos lados do plano secante é
removida e substituída pelas forças que ela exercia sobre a região seccionada da outra
parte do corpo. Já que as forças atuando no "corpo livre" o mantêm em equilíbrio,
podem-se aplicar ao problema as equações de equilíbrio.
As forças internas resistentes são geralmente expressas pela tensôo I atuante sobre
uma certa área, de maneira que a força interna é a integral da tensão vezes a área
diferencial sobre a qual ela atua. Para que se possa calcular esta integral deve·se co-
nhecer a distribuição da tensão sobre a área do plano secante. A distribuição de tensão
é obtida observando-se e medindo-se a distribuição de deformação no elemento, visto
que a tensão não pode ser fisicamente medida. Entretanto, já que para pequenas de-
formações a tensão é proporcional às deformações envolvidas na maioria dos traba-
lhos, a determinação da distribuição de deformação fornece a distribuição de tensão.
Substitui-se, então. a expressão para tensão nas equações de equilíbrio e resolve-se
para tensão em termos das cargas e dimensões do elemento.
As hipóteses importantes em resistência dos materiais são que o corpo que está
sendo analisado é contínuo, homogêneo e isotrópico. Um corpo contínuo é aquele que
não possui cavidades ou espaços vazios de qualquer espécie. Um corpo é homogêneo
se possui propriedades idênticas em todos os pontos. É considerado isotrópico com
relação a alguma propriedade se esta não varia com a direção ou a orientação. Uma
propriedade que varia com a orientação com relação a algum sistema de eixos é deno-
minada onisotrópica.
Enquanto materiais comuns na engenharia como aço, ferro fundido e alumínio
satisfazem aparentemente estas condições se observados macroscopicamente, não
apresentam qualquer homogeneidade ou características isotrópicas quando vistos atra-
vés de um microscópio. A maioria dos metais comuns na engenharia é constituída
de mais de uma fase com propriedades mecânicas variadas, apresentando-se heterogê-
neos numa microescala. Além disso, mesmo um metal monofásico possuirá geralmente
segregações químicas e, por conseguinte, as propriedades não serão idênticas a cada
ponto. Os metais são constituídos de um agregado de grãos cristalinos, possuindo pro-
priedades variadas em direções cristalográficas diferentes. A razão pela qual as equa-
ções da resistência dos materiais descrevem o comportamento de metais reais é que
geralmente os grãos cristalinos são de tamanho tão reduzido que em uma amostra. com
um certo volume macroscópico, o material é estatisticamente homogêneo e isotrópico.
As propriedades mecânicas podem, entretanto, tornar-se anisotrópicas em uma ma-
croescala no caso de metais severamente deformados numa certa direção, como na
laminação ou no forjamento. Os materiais compostos reforçados com fibras e os mo-
nocristais constituem outros exemplos de propriedades anisotrópicas. Uma desconti-
nuidade (estrutural) pode ser encontrada em peças fundidas porosas ou naquelas pro-
duzidas por metalurgia do pó e, em nível atômico. em defeitos tais como vazios e
discordâncias.
A experiência mostra que todos os materiais sólidos podem ser deformados quando
submetidos a uma carga externa e que. além disto. até um certo limite de cargas. o
sólido recuperará suas dimensões originais quando a carga for retirada. Esta recupera-
ção das dimensões originais de um corpo deformado quando se retira a carga aplicada
é denominada comportalllento I'lástico. Ao valor limite a partir do qual o material não
se comporta mais elasticamente denomina-se limite elástico. Se excedido o limite elás-
tico, o corpo apresentará uma deformação permanente após a retirada dacarga apli-
cada. Define-se, então, como dl'forllwçâo plástica aquela presente em um corpo que
está permanentemente deformado .
.Para a maioria dos materiais a deformação é proporcional à carga. se esta não
IPara as nossas finalidades. [<'lIsâ" é definida como força por unidade de área. A deformação é definida como a
variação de comprimento por unidade de comprimento. Definições mais completas serão dadas posteriormente.
excede o limite elástico. Esta relação, conhecida como Lei de Hooke, é mais fre-
qüentemente expressa em termos da tensúo proporcional à deformaçâo e define uma
dependência linear entre a carga e a deformação. Isto, no entanto, não implica que
todos os materiais que se comportam elasticamente devem, necessariamente, possuir
uma relação linear entre a tensão e a deformação. A borracha é um exemplo de um
material que apesar de satisfazer as condições de um corpo elástico não apresenta
comportamento linear entre a tensão e a deformação.
As deformações elásticas são bastante pequenas e requerem instrumentos alta-
mente sensíveis para medi-Ias. A utilização de instrumentos u1tra-sensíveis tem reve-
lado serem os limites elásticos dos metais bem menores que os valores geralmente
medidos em ensaios de materiais na engenharia. À proporção que os equipamentos de
medida se tornam mais sensíveis, o limite elástico apresenta-se mais reduzido, de ma-
neira que para a maioria dos metais existe apenas um pequeno intervalo de cargas
onde a Lei de Hooke é rigorosamente válida. Isto, porém, é um aspecto de importância
mais acadêmica. e a lei de Hooke continua caracterizando uma relação de grande
validade para projetos de engenharia.
Para a discussão da tensão e deformação considera-se inicialmente uma barra cilín-
drica e uniforme que é submetida a uma carga de tração axial (Fig. 1.1) e que duas
marcas são colocadas na superfície da barra antes de deformada, sendo Lo o compri-
mento inicial entre estas marcas. Uma carga P é aplicada a uma das extremidades da
barra cujo comprimento inicial sofre um pequeno aumento e o diâmetro um decrés-
cimo. A distância entre marcas iniciais cresce de uma quantidade Ô, denominada elon-
gação. A razão da variação de comprimento com o comprimento inicial define a de-
formaçâo lincar média, c.
Assim,
8 ó-L L - Lo
e=-=-=-- (1.1)
Lo Lo Lo
A deformação é uma quantidade adimensional já que tanto Ô quanto Lo são expressas
em unidades de comprimento.
A Fig. J.2 mostra o diagrama de corpo livre para a barra cilíndrica apresentada na
Fig. I. J. A carga externa. P. é equilibrada pela força interna resistente, f (J dA, onde (J
é a tensão normal ao plano secante e A a área da seção reta da barra. A equação de
equilíbrio é
P = f (j dA ( 1.2)
Fig. 1.1 Barra cilíndrica sujeita a carga
axial.
Fig. 1.2 Diagrama de corpo livre para a
Fig. I.\.
P = (J f dA = (JA
P
(J=-
A
Geralmente, a lensào nào se distribui uniformemente sobre a área A. e a Eq. (1.3)
representa uma {i'I1SclO média. Para que a tensào fosse rigorosamente uniforme. todo
elemento longitudinal da barra teria que apresentar a mesma deformaçào e o limite de
proporcional idade entre a tensào e a deformação deveria ser idêntico para cada ele-
mento em particular. A possibilidade de se possuir uma uniformidade de tensão total
em um corpo de dimensões macroscópicas é eliminada tanto pela anisotropia inerente
entre grãos em um metal policristalino quanto pela presença de mais de uma fase. se o
material é analisado em escala microscópica. Se a barra não for reta ou se a carga não
for aplicada em seu centro geométrico. as deformações não serào as mesmas para
alguns elementos longitudinais e. conseqüentemente, a tensão não será uniforme. Uma
variação brusca da área da seção reta do material determina um concentrado de ten-
sões (ver Seção 2.16), o que implica na obtenção de uma distribuição de tensões não
uniforme.
Nos projetos de engenharia a carga é geralmente medidq em libras e a área em
polegadas quadradas, logo, a tensão é expressa em libras por polegada quadrada (psi)+.
Como é comum para os engenheiros lidarem com cargas na casa dos milhares, por
simplificação, trabalha-se com unidades de 1.000 Ib, denominadas kips. Assim. a tensão
pode também ser expressa em unidades de kips por polegada quadrada (ksi). (I ksi =
1.000 psi). Em trabalhos científicos a tensão é freqüentemente expressa em quilogra-
mas por milímetro quadrado ou em dinas por centímetro quadrado (1 kg/mm2 = 9.81 x
107 dyn/cm2).
Entretanto, no Sistema Internacional de Unidades (S I), que é uma versão mo-
derna do sistema métrico, a unidade oficial de tensão é o newton por metro quadrado,
N/m2, que tem sido denominado pascal (Pa). Porém, a tensão em newtons por metro
quaurauo representa valores mu ito pequenos (1 N/ m" = 0.000145 psi); assi m, a
tensão é mais comumente exrressa em meganewtolls por melro quadrado.
I MN/m2 = lati N/m2 = 145 rsi.1
A lei de Hooke pode ser considerada válida abaixo do limite elástico, onde a
tensão média é proporcional à deformação média,
(J- = E = constante (1.4)
e
Os dados fundamentais à análise das propriedades mecãnicas de um metal dúctil são
obtidos de um ensaio de tração, realizado com um corpo de prova com geometria
adequada, ao qual aplica-se uma carga axial crescente até que o material se rompa. A
carga e a elongação são registradas a cada pequeno intervalo de tempo durante o teste
e podem ser expressas em termos de tensão e deformação médias, de acordo com as
+N. do T. Estas unidades são utilizadas apenas nos países de língua inglesa; entretanto, atualmente estão
convergindo para O sistema métrico internacionaL Em outras partes do livro será utilizada a terminologia lbl
pol' em vez de psi.
equações da seção anterior. (Maiores detalhes sobre o ensaio de tração são dados no
Capo 9.)
Os dados obtidos deste ensaio são geralmente apresentados em uma curva
tensào-deformação. A Fig. 1.3 mostra uma curva tensão-deformação típica para mate-
riais tais como alumínio e cobre. A porção linear inicial da curva, OA, é a região
elástica na qual a lei de Hooke é obedecida. O ponto A é o limite elástico, que é
definido como a tensão máxima que o material pode suportar sem que apresente de-
formação permanente após a retirada da carga. A determinação do limite elástico não é
um simples trabalho de rotina, sendo, na realidade, bastante laboriosa e dependendo
grande mente do grau de sensibilidade do aparelho de medida. Sendo assim, ele é fre-
qüentemente substituído pelo limite de proporcionalidade, ponto A', que é a tensão
para a qual a curva tensão-deformação se desvia da linearidade. O módulo de elastici-
dade é o coeficiente angular à curva tensão-deformação nesta região.
Em engenharia, o limite que descreve o comportamento elástico utilizável é o
/imite de I'S('O{//l1l'nto convencional, ponto B, definido como a tensão que produz uma
pequena quantidade de deformação permanente, geralmente igual a 0,002. Na Fig. 1,]
esta deformação permanente é oe. Quando o limite elástico é excedido, inicia-se a
deformação plástica. À medida que esta aumenta o metal se torna mais resistente,
(encruameuto) e a tensão necessária à eiongação do corpo de prova cresce com o
aumento de deformação, Eventualmente a carga atinge um valor máximo, sendo o
/imite de resistência à truçâo igual à carga máxima dividida pela área inicial do corpo
de prova. Para um metal dúctil, o diâmetro do corpo de prova começa a decrescer
rapidamente ao se ultrapassar a carga máxima; assim, a carga necessária para conti-
nuar a deformação diminui até que o material se rompa. Como a tensão média se
baseia na área inicial do corpo de prova, esta também decresce a partir da carga má-
xima até a fratura.
Os materiais submetidos a uma carga podem ser classificados quanto ao seu compor-
tamento mecânico em dúcteis ou frágeis, dependendo da sua habilidade de suportar ou
nào uma deformação plástica. A Fig. 1.3 é uma ilustração da curva tensão-deformação
de uni material dúctil. Um material completamente frágil se romperia próximo ao li-
mite elástico (Fig. l.4a),ao passo que um llaterial frágil, como o ferro fundido branco,
suportaria alguma deformação plástica (Fig. 1.4&). Uma ductilidade adequada é um
fator de importância em engenharia, pois permite ao material redistribuir tensões loca-
lizadas. Se as tensões localizadas em entalhes ou outros concentradores de tensão
acidentais não precisam ser considerados, pode-se projetar em termos de situações
estáticas com base em tensões médias. Entretanto, as tensões localizadas em materiais
frágeis continuam a aumentar se não existe um escoamento localizado, até que e
desenvolvam trincas em um ou mais pontos de concentração de tensão. que se propa-
Deformação
(a)
Deformação
(b)
Fig. 1.4 (a) Curva tensão-deformação para ma-
terial totalmente frágil (comportamento ideal); (b)
curva tensão-deformação para um metal com pe-
quena ductilidade.
gam rapidamente por toda a seção. Em um material frágil, mesmo não havendo con-
centradores de tensão, ainda assim a fratura ocorrerá inesperadamente, visto que a
tensão de escoamento e o limite de resistência à tração são praticamente idênticos.
É importante ressaltar que a fragilidade não é uma propriedade absoluta de um
metal. O tungstênio. por exemplo, é frágil à temperatura ambiente, porém se comporta
de maneira dúctil a temperaturas elevadas. Um metal frágil em tração pode apresentar-
se dúctil em compressão hidrostática. Além disto. um metal que seja dúctil em tração à
temperatura ambiente poderá tornar-se frágil na eventualidade de possuir entalhes ou
elementos fragilizantes tal como o hidrogênio ou Ser ensaiado a baixa temperatura ou a
altas taxas de carregamento.
Existem três maneiras genéricas segundo as quais um componente estrutural, ou ele-
mento de uma máquina. pode deixar de cumprir as funções para as quais foi projetado:
I. Deformação elástica excessiva
2. Escoamento ou deformação plástica excessiva
3. Fratura
Para que se faça um bom projeto é importante ter-se conhecimento dos tipos mais
comuns de falhas possíveis de ocorrer, porque é sempre necessário relacionar as car-
gas e dimensões do componente com alguns parâme~ros de significância para o mate-
rial, que limita a capacidade do componente de suportar uma carga. A cada tipo de
falha associam-se parâmetros específicos de expressiva importância.
Em geral. dois tipos de deformação elástica excessiva podem ocorrer:
I. detlexão demasiada sob condições de equilíbrio estável, como no caso de uma
viga sendo gradualmente carregada;
2. detlexão ouflalllbagelll repentinas. sob condições de equilíbrio estável.
A deformação elástica excessiva de uma peça em um equipamento pode significar
uma falha como se esta peça fosse completamente fraturada. Como exemplo. pode-se
citar o rápido desgaste de mancais causado por eixos muito tlexíveis ou a intefierência
ou mesmo dano causado às peças pela excessiva detlexão de partes acopladas em
contato íntimo entre si. O tipo de falha que ocorre como uma tlambagem repentina
pode se manifestar em uma coluna delgada quando o carregamento axial excede a
carga crítica de Euler ou quando a pressão externa atuando em uma cápsula de pare- .
des finas ultrapassa um valor crítico. As falhas devido à deformação elástica excessiva
são controladas nào pela resistência do material. mas pelo seu método de elasticidade.
Geralmente. pouco controle metalúrgico pode ser exercido sobre este parâmetro. A
maneira mais efetiva de se aumentar a rigidez de um componente é variando-se as
dimensões da sua seção reta.
O escoamento ou deformação plástica de um metal ocorre quando seu limite elás-
tico é ultrapassado. O escoamento causa uma mudança de forma permanente. fazendo
com que o elemento não funcione mais adequadamente. O escoamento de um metal
dúctil sob condições de carregamento estático à temperatura ambiente raramente pro-
voca fratura. porque à medida que o metal se deforma ele encrua. e uma tensão cada
vez maior é necessária para produzir posterior deformação. Para condições de carre-
gamento uniaxial, a falha devido à deformação plástica excessiva pode ser controlada
pelo -limite de escoamento convencional do metal. Este continua a ser o parâmetro
importante em condições mais complexas de carregamento; entretanto, deve-se utilizar
um critério de início de escoamento adequado (Seção 3.4). Os metais nâo mais apre-
sentam encruamento a temperaturas significantemente maiores que a temperatura am-
biente. Em lugar disto, podem-se deformar continuamente à tensão constante, apre-
sentando escoamento dependente do tempo conhecido como fluência. Sob condições
de fluência, o critério de início de escoamento torna-se razoavelmente complicado pelo
fato da tensâo não ser proporcional à deformação e também porque as propriedades
mecânicas do material podem variar apreciavelmente quando em serviço. Este fenô-
meno complexo será tratado com maior detalhe no Capo 13.
A formação de uma trinca que pode ocasionar o rompimento completo da conti-
nuidade do componente caracteriza a fratura. Uma peça feita com um metal dúctil,
quando submetida a um carregamento estático, raramente se romperá por fratura como
um corpo de prova, pois primeiramente falhará por deformação plástica excessiva.
Entretanto, os metais falham por fratura de três maneiras: (I) fratura frágil repentina;
(2) fadiga ou fratura progressiva; (3) fratura retardada. Na seção anterior mostrou-se
que um material frágil sob carregamento estático rompe-se sem grande evidência ex-
terna de escoamento. Uma fratura frágil repentina pode também ocorrer em metais
dúcteis sob certas condições específicas. O aço-carbono estrutural é o exemplo mais
comum de um material que apresenta uma transição dúctil-frágil. A mudança do com-
portamento característico de fratura dúctil para o de fratura frágil é favorecida pelo
decréscimo de temperatura, aumento da taxa de carregamento e pela presença de um
estado complexo de tensões causado por um entalhe. Este problema é considerado no
Capo 14.
A maioria das fraturas em componentes de máquinas é devida à fadiga . A fratura
por fadiga ocorre em partes submetidas a tensôes alternadas ou flutuantes. O compo-
nente é levado à fratura quando uma trinca diminuta pontualmente localizada, geral-
mente em um entalhe ou concentrador de tensões, gradualmente se propaga pela seção
reta do material. A falha por fadiga ocorre sem nenhum sinal visível de escoamento em
tensões médias ou nominais bem abaixo da resistência à tração do metal. Esta falha é
causada por uma tensão crítica localizada de muito difícil avaliação. Desta forma, os
projetos que levam em conta a falha por fadiga baseiam-se principalmente em relaçôes
empíricas que utilizam tensões nominais. A fadiga dos metais é discutida em maior
detalhe no Capo 12.
Um tipo comum de fratura retardada é a falha de mptura soh tensâo, que ocorre
quando um metal é submetido a um carregamento estático a uma temperatura elevada
por um período de tempo longo. Dependendo da tensão e da temperatura pode não
haver escoamento antes da fratura. Um tipo similar de fratura retardada, na qual não
existe uma advertência pelo escoamento antes da fratura, ocorre à temperatura am-
biente quando um aço é carregado estaticamente em presença de hidrogênio.
Todos os materiais utilizados em engenharia apresentam uma certa variabilidade
nas propriedades mecânicas que podem ser influenciadas pelos diversos tipos de tra- "
tamentos técnicos ou processos de fabricação. Além disto, em geral existem incertezas
quanto à magnitude das cargas aplicadas e necessitam-se usualmente de certas apro-
ximações para o cálculo das tensões em todos os componentes, exceto os mais sim-
ples. Deve-se levar em conta a possibilidade de surgimento de cargas acidentais de alta
magnitude. Assim, para que se tenha uma margem de segurança e se evitem falhas
devido a causas imprevistas, é necessário que as tensões permitidas sejam menores do
que aquelas que levarão a falhas. Denomina-se geralmente tensâo de trabalho, (Til"' o
valor da tensão para um determinado material utilizado sob certas condições conside-
radas desegurança. Para carregamentos estáticos. a tensão de trabalho de um metal
dúctil é geralmente baseada na tensão de escoamento, (To, e para metais frágeis na
resistência máxima à tração. (Til' Os valores das tensões de trabalho são estabelecidos
por agências locais e federais e por organizações técnicas tais como a Sociedade Ame-
ricana de Engenheiros Mecânicos (ASME). A tensão de trabalho pode ser considerada
como a razão ntre a tensão de escoamento ou limite de resistência à tração e um
númerodenominadofálor dI' sl'gllrallÇ"a.
0"0
O" =-
W No
onde a". = tensão de trabalho. kg/mm2
ao = tensão de escoamento, kg/mm2
a" = limite de resistência à tração, kg/mm2
No = fator de segurança baseado na tensão de escoamento
Nu = fator de segurança baseado no limite de resistência à tração
o valor conferido ao fator de segurança depende de uma estimativa de todos os
fatores discutidos acima. Uma consideração especial deve ser dada às conseqüências
resultantes de uma falha. Para as falhas que podem originar perigos de vida, utilizam-
se fatores de segurança maiores. O tipo de equipamento também influencia a determi-
nação do fator de segurança. Em equipamentos militares, onde pouco peso é geral-
mente almejado, o fator de segurança pode ser menor que em equipamentos comer-
ciais, e em qualquer caso dependerá do tipo de carregamento a que será submetido.
Para um carregamento estático. como em um edifício, o fator de segurança seria
menor do que numa máquina que está submetida a vibrações e tensões flutuantes.
A tensão é definida como força por unidade de área. Na Seção 1.4, considerou-se que
a tensão era uniformemente distribuída sobre a área da seção reta do componente,
entretanto, em geral isto não ocorre. A Fig. 1.5a representa um corpo em equilíbrio
sob a ação das forças externas P" P 2 •... , P". Existem dois tipos de forças externas
que podem atuar sobre um corpo: forças superficiais e forças de corpo. As forças
distribuídas sobre a supelfície do corpo. tais como a força hidrostática ou a pressão
exercida por um corpo sobre o outro, são denominadas fiJrças slIpl'rficiais. As forças
distribuídas sobre o volume de um corpo, tais como forças gravitacional, magnética ou
de inércia (para um corpo em movimento). são denominadasforÇ"as dI' corpo. Os dois
tipos mais comuns de forças de corpo encontradas na engenharia são as forças centrí-
Fig. 1.5 (a) Corpo em equilíbrio sob a ação das forças externas PI' .... P5: (b) forças atuantes na
parte 2.
Fig. 1.6 Rebatimento da força total em suas
componentes.
fugas, devido a altas velocidades de rotação. e forças devido a gradientes de tempera-
tura no material (tensão térmica).
Na realidade. a força não se distribui uniformemente sobre qualquer seção reta do
corpo ilustrado na Fig. 1.5a. Para se obter a tensão atuante em um ponto O do plano
11111I. a parte I do corpo é removida e substituída pelo sistema de forças externas atuan-
tes sobre 111/11. permanecendo cada ponto da parte 2 do corpo na mesma posição que
ocupava antes da retirada da parte I. Esta situação é apresentada na Fig. 1.5b, onde
podemos supor que uma força t::,p atua sobre uma área LiA em torno do ponto O. O
valor limite da razão t::,p / LiA. à medida que a área LiA tende continuamente para zero, é
a tensão no ponto O do plano 11111I da parte 2 do corpo.
. I1P
ltm - = a (1.6)
âA~O I1A
A tensão estará na direção da força resultante P. formando, em geral. um certo ângulo
de inclinação com a área LiA. A mesma tensão atuante no ponto O do plano 11I11I seria
obtida se o corpo livre fosse construído através da remoção da parte 2 do corpo sólido.
Entretanto. esta tensão seria diferente para qualquer outro plano passando pelo ponto
O, como. por exemplo. o plano 1111.
É inconveniente utilizar uma tensão que seja inclinada a um ângulo arbitrário em
relação à área sobre a qual ela atua. A tensão total pode ser resolvida em duas compo-
nentes, uma tel1sâo l10rmal (0'), perpendicular à área LiA. e uma tel1sâo cisalhante (7),
localizada no plano mll1 da área. A Fig. 1.6 ilustra o rebatimento da força P que forma
um ângulo e com a normal z ao plano da área A. A linha tracejada que faz um ângulo 4>
com o eixo." é a interseção do plano que contém a normal e P com o plano A. A
tensão normal é dada por
P
a = - cos 8 ( 1.7)
A
P
r = -sen8 (1.8)
A
Esta tensão cisalhante pode ainda ser resolvida em componentes paralelas às direções
x e." do plano.
P
r = A sen e sen 4>
P
T = - sen ecos 4J
A
Desta forma, um plano pode ter. em geral, uma tensão normal e duas tensões cisalhan-
tes atuando sobre ele.
Na Seção 1.4, a deformação linear média foi definida como a razão entre a variação de
comprimento de uma certa dimensão e o seu comprimento inicial.
fJ t:..L L - Lo
e=-=-=---
Lo Lo Lo
onde e = deformação linear média
8 = elongação
Por analogia com a definição de tensão em um ponto. a deformação em um ponto é a
razão entre a elongação e o comprimento inicial, à medida que este último tende a
zero.
Em vez de se referir a variação de comprimento pelo comprimento original
costuma-se mais freqüentemente definir a deformação como a variação da dimensão
linear dividida pelo valor instantâneo desta dimensão.
A equação acima define a deJimllaçâo /lall/m/ ou I'erdadeim. A deformação verda-
deira, que é útil na abordagem de problemas sobre plasticidade e conformação dos
metais, será discutida mais detalhadamente no Capo 3. Para o momento deve-se ressal-
tar que as pequenas deformações. para as quais as equações de elasticidade são váli-
das, as duas definições de deformação fornecem valores idênticos.
A deformação elástica de um corpo ocasiona não apenas uma variação de com-
primento de um elemento linear do corpo, mas pode também resultar numa mudança
do ângulo inicial entre duas linhas. A variação angular em um ângulo reto é conhecida
como deformaçâo cisa/ha/lle. A Fig. 1.7 ilustra a deformação produzida por um cisa-
Ihamento puro de uma das faces de um cubo. Com a aplicação da tensão cisalhante o
ângulo em A, que era originalmente de 90°, decresce de uma pequena quantidade e. A
deformação cisalhante y é igual ao deslocamento a dividido pela distância h entre os
planos. A razão a/h é também a tangente do ângulo através do qual o elemento sofreu
rotação. A tangente do ângulo e o próprio ângulo (em radianos) são iguais. para os
f
fBk-,
I
f
I I
I I
pequenos ângulos geralmente envolvidos. Assim, as deformações cisalhantes são ge-
ralmente expressas como ângulos de rotação.
a
')I = - = tan (J = (J
h
Crandall, S. H., and N. C. Dahl (eds.): "An Introduction to the Mechanics of Solids,"
McGraw-Hill Book Company, New York, 1959.
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Relações entre Tensão e Deformação
para o Comportamento Elástico
o intuito deste capítulo é apresentar as relações matemáticas que definem a tensão e a
deformação em um ponto e as relações entre a tensão e a deformação em um sólido
que obedece à Lei de Hooke. Embora parte dos assuntos tratados neste capítulo seja
uma revisão das informações abordadas em resistência dos materiais, a matéria se
estende além deste ponto, considerando a tensão e a deformação em três dimensões e
uma introdução à teoria da elasticidade. A matéria incluída neste capítulo é importante
para a compreensãQ da maioria dos aspectos fenomenológicos da metalurgia mecânica,
merecendo especial atenção dos leitores não familiarizados com a disciplina. Devido
às limitações de espaço não foi possível desenvolver ". matéria até o ponto em que se
pudessem resolver problemas mais amplamente.Este material, entretanto, propor-
ciona uma base para melhor compreensão da literatura matemática da metalurgia me-
cânica.
Ressalta-se o fato de que as equações que descrevem o estado de tensões ou
deformações em um corpo são aplicáveis a qualquer material contínuo, seja um sólido
elástico ou plástico, seja um fluido viscoso. Na realidade esta parte da ciência é deno-
minada mecânica do contínuo. As equações que relacionam tensão e deformação
denominam-se equações constitutivas porque dependem do comportamento do mate-
rial. Neste capítulo só consideraremos as equações constitutivas para um sólido elás-
tico.
Como foi descrito na Seção 1.8, em geral é mais conveniente resolver as tensões
atuantes em um ponto em componentes normais e cisalhantes. Freqüentemente as
componentes das tensões cisalhantes formam ângulos arbitrários com os eixos coorde-
nados, sendo conveniente, então, rebatê-Ias novamente em duas outras componentes.
O caso geral é mostrado na Fig. 2.1. As tensões atuando perpendicularmente às faces
do cubo elementar são identificadas pelo subíndice, que identifica também a direção na
qual a tensão atua. Isto é, (Jx é a tensão normal que atua na direção x. Por convenção,
tensões normais de tração são aquelas cujos valores são maiores que zero, sendo com-
pressivas as que possuem valores menores que zero. 1I0das as tensões normais da Fig.
2.1 são trativas.
Fig. 2.1 Tensões atuantes em um cubo
ay unitário elementar.
Para descrever as tensões cisalhantes são necessários dois subíndices. O primeiro
indica o plano e o segundo a direção na qual a tensão atua. Como um plano é mais
facilmente definido pela sua normal, o primeiro subíndice se refere a esta normal. Por
exemplo, T yz é a tensão cisalhante no plano perpendicular ao eixo y, na direção do eixo
Z, e TyX é a tensão cisalhante no plano perpendicular ao eixo y, na direção do eixo x.
Uma tensão cisalhante é positiva se é dirigida para o sentido positivo na face
positiva de um cubo unitário. (E também positiva se aponta para o sentido negativo na
face negativa de um cubo unitário.) Todas as tensões cisalhantes na Fig. 2.2a são
positivas independentemente do tipo de tensões normais presentes. Uma tensão cisa-
lhante é negativa se é dirigida para o sentido negativo de uma face positiva de um cubo
unitário, e vice-versa. As tensões cisalhantes mostradas na Fig. 2.2b são todas negati-
vas.
A notação para tensões acima apresentada é a utilizada por Timoshenko' e a
maioria dos autores americanos no campo da elasticidade. Entretanto várias outras
notações têm sido utilizadas, algumas das quais estão relacionadas abaixo.
Xx
~
(Jx (J 11 XX Pxx
(Jy (J22 Yy yy Pyy
(Jz (J33 Zz zz pzz
'xy (J 12 Xy xy Pxy
'yz (J23 Yz yz Pyz
'zx (J 31 Zx fi pzx
+y +y
Fig. 2.2 Convenção de sinais para a
tensão cisalhante. (a) Positiva; (b)
negativa;
Pode ser visto, pela Fig. 2.1, que devem ser definidas nove quantidades para que
se estabeleça o estado de tensões em um ponto. Elas são U'x, U'v, U'z, TXY' Txz, Tvx, TyZ'
Tzx e TZ11' Entretanto, podem-se fazer algumas simplificações. Se admitirmos que as
áreas das faces do cubo unitário são pequenas o bastante para que a variação de ten-
sões seja desprezada, pode-se então mostrar que, tomando-se a soma dos momentos
das forças em relação ao eixo z, TX)) = Tvx.
Assim, o estado de tensões em um ponto é completamente descrito por seis compo-
nentes: três tensões normais e três tensões cisalhantes, U'x, U'v' U'z, Txv, Txz, Tyz'
Muitos problemas podem ser simplificados ao se considerar um estado de tensões
bidimensional. Isto é feito freqüentemente na prática quando uma das dimensões do
corpo é pequena em relação às demais. Por exemplo, ao se carregar uma chapa fina,
no plano da chapa não existirá tensão atuando na direção perpendicular à superfície da.
chapa. O sistema de tensões será constituído por duas tensões normais U'x e U'v e uma
tensão cisalhante Txv' Denomina-se tensão plana à condição de se possuir tensões
nulas em uma das direções principais do material.
A Fig. 2.3 mostra uma placa fina cuja espessura é normal ao plano do papel. Para
que conheçamos o estado de tensões no ponto O da placa, devemos ser capazes de
descrever as componentes de tensão em O para qualquer orientação dos eixos coorde-
nados passando através daquele ponto. Para tal, considera-se um plano oblíquo,
normal ao plano do papel, cuja normal faz um ângulo e com o eixo do x. Seja x ' a dire-
ção normal a este plano e y' uma direção pertencente ao plano oblíquo. Admite-se que
o plano mostrado na Fig. 2.3 está a uma distância infinitesimal de O e que o elemento é
tão pequeno que se desprezam as variações de tensões ao longo dos lados do cle-
mento. As tensões atuantes no plano oblíquo são a tensão normal U' e a tensão cisa-
lhante T. OS co-senos diretores entre x' e x e x' e y são, respectivamente, I em. Pela
geometria da Fig. 2.3, I = cos e em = sen e. Se A é a área do plano oblíquo, as áreas
dos lados do elemento perpendiculares a x e y são AI e Am.
Sejam Sx e Slj as componente nas direções x e y da tensão total atuando na face
inclinada. Tomando-se o somatório das forças nas direções x e y, obtêm-se:
S"A = O"xA1 + 'xyArn
SyA = O"yArn + 'xyAI
Sx = O"xcos () + 'xy sen ()
Sy = O"ysen() + 'xy cos ()
O"x' = Sx cos () + Sy sen ()
O"x' = O"Xcos2 () + O"ysen2() + 2,xy sen () cos () (2.2)
'x'Y' = Sy cos () - Sxsen ()
'x'Y' = 'xiCOS2 () -sen2 () + (O"y - O"Jsen () cos () (2.3)
A tensão (J!J' pode ser encontrada substituindo-se O + 71'/2por O na Eq. (2.2), uma vez
que (J!J' é ortogonal a (J x'.
O"y' = O"Xcos2 (() + n/2) +O"y sen2 (() + n/2) + 2,xy sen (() + n/2) cos (() + n/2)
mas, sen (() + n/2) = cos () ecos (() + n/2) = -sen ()
As Eqs. (2.2) a (2.4) são as transformadas das equações de tensão que fornecem as
tensões no sistema coordenado x'y' se são conhecidas as tensões no sistema coorde-
nado xy e o ângulo O.
Para auxiliar nos cálculos é conveniente expressar as equações de (2.2) a (2.4) em
termos do ângulo duplo 20. Isto pode ser feito através das seguintes identidades:
cos 2 () = c_o_s_2_{)_+_1
2
2 () 1 - cos 2{)sen = ------
2
2 sen () cos () = sen 2{)
cos2 () - sen 2 () = cos 2{)
a,,+ay a,,-ay
a . = --- - --- cos 28 - 't" sen 28 (2.6)
y 2 2 "y
ay-a"
't"".y. = --2- sen 28 + 't""y cos 28 (2.7)
É importante notar-se que Ux' + uy• = Ux + Uy• Assim, a soma das tensões normais
em dois planos perpendiculares é uma quantidade invariante, isto é, ela é independente
da orientação ou do ângulo (J.
As Eqs. (2.2) e (2.3) e suas equivalentes, Eqs. (2.5) e (2.7), descrevem as tensões
normal e cisalhante em qualquer plano através de um ponto em um corpo sujeito a um
estado plano de tensões. A Fig. 2.4 apresenta a variação das tensões normal e cisa-
Ihante com (J para o estado plano de tensões biaxial mostrado no topo da figura. Os
seguintes fatos importantes podem ser notados nesta figura:
I. Os valores máximo e mínimo da tensão normal no plano oblíquo através do
ponto O ocorrem quando a tensão cisalhante é nula.
2. Os valores máximo e mínimo para ambas as tensões normal e cisalhante ocor-
rem para ângulos defasados de 90°.
3. A tensão cisalhante máxima ocorre em um ângulo a meio caminho entre as
tensões normais máxima e mínima.
4. A variação das tensões normal e cisalhante ocorre na forma de uma onda
senoidal, com período (J = 180°. Estas relações são válidas para qualquer estado
de tensões.
"12.000
10.000
o 8.000.e-
fl
,: 6.000
"c.,
.t::
Oi 4.000'""ü o" ..,
~ ~ 2.000I-
Oi
Eo
c: Oo
'~
oc:" ,.,
I- ::l
"o.
E
o
()
-6.000
- 8.000
t u, = 2.000 Ib/pol'
TP----!-
C7j 1~t u,.: ~6000 Ib/poL'
I~ U";ru- 2.000----r-- Ib/poL'
tO)-
Hio
: 0, graus I :
r-45°----+-45°--j
I_ 90° ·1
Para qualquer estado de tensões é sempre possível definir um novo sistema coor-
denado cujos eixos são perpendiculares aos planos nos quais as tensões normais má-
ximas atuam e não existem tensões cisalhantes atuando. Estes planos são denomina-
dos planos principais, e suas tensões normais tensões principais. Para a tensão plana
bidimensional existirãoduas tensões principais, (T, e (T2, que ocorrem em ângulos defa-
sados de 90° (Fig. 2.4). Para o caso mais geral de uma tensão tridimensional, existirão
três tensões principais, (T" (T2 e (T3. Por convenção, (T, é algebricamente a maior das
tensões principais, enquanto que (T3 é o valor algebricamente menor. As direções das
tensões principais são os eixos principais I, 2 e 3. Embora geralmente os eixos princi-
pais 1, 2 e 3 não coincidam com os eixos cartesianos, para diversas situações encon-
tradas na prática esta coincidência pode existir, devido à simetria de carga e deforma-
ção. A especificação das tensões principais e suas direções proporciona uma maneira
conveniente de se descrever o estado de tensões em um ponto.
Uma vez que, por definição, um plano principal não contém tensão cisalhante,
suas relações angulares com respeito aos eixos coordenados xy podem ser determina-
das encontrando-se os valores de 8 através da Eq. (2.3), fazendo-se TX'y' = O.
TxicoS2 8 -sen2 8) + (<Jy - o-x)sen 8 cos 8 = O
Txy sen 8 cos 8 ·!(sen 28) 1----- = --- = - tan 28
<Jx - <Jy cos 2 8 - sen 2 8 cos 28 2
tan28=~~
o-x-<Jy
Já que tan 28 = tan (71"+ 28), a Eq. (2.8) tem duas raízes; 8, e 82 = 8, + 1171"/2.Estas
raízes definem dois planos mutuamente perpendiculares onde não ocorre cisalha-
mento.
A Eq. (2.5) fornecerá as tensões principais quando os valores de cos 28 e sen 28
(da Eq. (2.8)) forem nela substituídos. Estes valores de cos 28 e sen 20 são obtidos da
Eq. (2.8) através das relações de Pitágoras:
Substituindo-se estes valores na Eq. (2.5), obtém-se a expressão para as tensões prin-
cipais máxima e mínima, para um estado de tensões bidimensional (biaxial).
A direção dos planos principais é encontrada determinando-se o valor de 8 na Eq.
(2.8). Deve-se tomar um cuidado especial para estabelecer se 28 está entre Oe 7T/2,7Te
37T/2,etc. A Fig. 2.5 mostra uma maneira simples de se estabelecer a direção da maior
tensão principal, 0"1' Esta tensão deverá localizar-se entre a tensão normal algebrica-
mente maior e a diagonal de cisalhamento. Para perceber este fato intuitivamente con-
sidere que, se não existissem tensões cisalhantes, então, O"x = 0"1' Se somente atuas-
sem as tensões cisalhantes, uma tensão normal (a tensão principal) existiria ao longo
da diagonal de cisalhamento. Se ambas as tensões, normal e cisalhante, atuam no
elemento, então 0"1 se localiza entre as influências destes dois efeitos.
Para encontrar a tensão cisalhante máxima, retomamos à Eq. (2.7),
diferenciando-a em relação à 8 e igualando a zero.
Comparando com o ângulo para o qual ocorrem os planos principais, Eq. (2.8), ta1128n
= 27xj(O"x - O"y), verificamos que a tan 28. é o recíproco da tan 28n com sinal nega-
tivo. Isto significa que 28. e 28" são ortogonais e que 8. e 8n estâo separados no espaço
por 45°. A magnitude da tensão cisalhante máxima é encontrada substituindo-se a Eq.
(2.10) na Eq. (2.7).
Um método gráfico muito útil para representar o estado de tensões em um ponto, num
plano oblíquo através do ponto, foi proposto por O. Mohr. As transformadas das
equações de tensão, Eq. (2.5) e Eq. (2.7), podem sei" rearranjadas, fornecendo
(Jx + (Jy (Jx-(Jy
(Jx' - --2- = --2- cos 28+ 'xysen 28
(Jy-(Jx
'y'x' = --2- sen 28+ 'xy cos 28
Podemos resolver para O"x' em termos de 7X'y' elevando-se cada uma destas equações
ao quadrado e somando-as,
(
(Jx + (Jy) 2 2 ((J x - (Jy) 2 2
(Jx' - --2- + 'x'y' = --2- + 'xy
A Eq. (2.12) é a equação de um círculo da forma (x - h)2 + y2 = r2. Assim, o círculo
de Mohr é um círculo com coordenadas O"x', 7X'y' com raio igual a 7111ax e o centro
deslocado para a direita da origem de (O"x + O"y)/2.
Para se trabalhar com o círculo de Mohr, existem apenas algumas poucas regras
básicas que devem ser lembradas. Um ângulo 8 no elemento físico é representado por
28 no círculo de Mohr. O mesmo senso de rotação (a favor ou contra a dos ponteiros
do relógio) deve ser usado em cada caso. Uma outra convenção para expressar a
tensão cisalhante é utilizada ao se desenhar e interpretar o círculo de Mohr. Esta
convenção diz que uma tensão cisalhante que causa uma rotação no sentido horário
CTy
t
-- TyX= TXY~jDr~CTx
~t
Fig. 2.6 (a) Círculo de Mohr para um estado de tensões bidimensional; (b) círculo de Mohr
utilizando pólo das normais.
em relação a qualquer ponto no elemento físico é representada acima do eixo horizon-
tal do círculo de Mohr. Um ponto no círculo de Mohr fornece a direção e magnitude
das tensões normal e cisalhante em qualquer plano do elemento físico.
A Fig. 2.60 ilustra o desenho e a utilização do círculo de Mohr para o estado de
tensões específico mostrado acima, à esquerda. As tensões normais são representadas
ao longo do eixo dos x e as tensões cisalhantes ao longo do eixo dos y. As tensões
contidas nos planos normais aos eixos x e y são representadas como pontos A e B. A
interseção da linha AB com o eixo dos U' determina o centro do círculo. Nos pontos D
e E a tensão cisalhante é nula, assim, estes pontos representam os valores das tensões
principais. O ângulo entre U'x e U'l no círculo de Mohr é 28. Já que este ângulo é
medido no sentido contrário ao da rotação dos ponteiros do relógio, no elemento físico
U', atua segundo uma direção que faz com o eixo dos x um ângulo 8 também no sentido
anti-horário (ver esquema superior à direita). As tensões em qualquer outro plano cuja
normal faça um ângulo 8 com o eixo dos x poderiam ser encontradas através do círculo
de Mohr da mesma maneira.
Um método' bastante simples de se determinar as tensões em qualquer plano
através do círculo de Mohr consiste na determinação do ponto denominado pólo das
'D. C. Drucker, lnlruduclion 10 Mcchanics of Dcfonnablc Solids, pp. 226-228, McGraw-Hill Book Company,
New York, 1967.
normais. As tensões nos planos x e y e no maior plano principal estão mostradas
novamente na Fig. 2.6b. O pólo é determinado pela linha que passa pelo ponto A,
paralela ao eixo dos x, e pela linha que passa por B, paralela ao eixo dos y do elemento
físico. Observe que agora uma linha paralela a (TI está inclinada de um ângulo () em
relação ao eixo dos x, em vez de 2(). Isto se deve ao fato de que a rotação angular em
torno do pólo é a metade da rotação angular em torno do centro do círculo. Assim, a
rotação angular em torno do pólo das normais é exatamente a mesma do elemento fí-
sico. Por exemplo. se quisermos conhecer as tensões que atuam num plano cuja nor-
mal é de 30° com (TI no sentido contrário ao da rotaçâo dos ponteiros do relógio,
devemos simplesmente desenhar uma linha a partir do pólo de normais e obter as
tensões normal e cisalhante atuando naqu~le plano.
O estado de tensões tridimensional consiste em três tensões principais desiguais
atuando em um ponto. Este é um estado triaxial de tensões. 8'e duas das três tensões
principais são iguais, o estado de tensões é denominado cilíndrico, enquanto que se
todas as três tensões principais são iguais, o estado de tensões é dito ser hidrostático
ou esférico.
A determinação das tensões principais para um estado de tensões tridimensional
em termos das tensões atuando em um sistema de coordenadas cartesiano arbitrário é
uma extensão do método descrito na Seção 2.3 para o caso de duas dimensões. A Fig.
2.7 representa um corpo livre elementar, similar àquele mostrado na Fig. 2. I, com um
plano diagonal JKL de área A. Considera-se que o plano JKL é um plano principal que
corta o cubo unitário. A tensão principal que atua normal ao plano JKL é (T. Sejam I,
m e n os co-senos diretores de (T, isto é, os co-senos dos ângulos entre (T e os eixos x, y
e z. Já que o corpo livre da Fig. 2.7 deve estar em equilíbrio, as forças que atuam em
cada uma de suas faces devem-se equilibrar. As componentes de (T ao longo de cada
um dos eixos são Sx, Sy e Sz.
Sx = aI
I
Area KOL = AI
Sy = am
I
Area JOK= Am
-'xvi + ((J - (Jv)m - 'zvn = O
- 'xz I - 'vz m + ((J - (Jz)n = O
(2.13b)
(2.13c)
As Eqs. (2.13) são três equações lineares homogêneas em termos de 1,111 e n. A
única solução não-trivialpode ser obtida igualando-se a zero o determinante dos coefi-
cientes de I, 111 e 11, uma vez que I, 111 e n não podem ser todos zero.
(J-(Jx -'vx -tzx
-'xv (J-(Jv -'zv =0
-Txz -'vz (J - (Jz
(J3 - ((Jx + (Jv + (Jz)(J2 + ((Jx(Jv + (Jv(Jz + (Jx(Jz - 'x/ - 'v/ - 'x/)(J
-(Jx(Jv(Jz + 2,xv'vz'xz - (Jx'v/ - (Jv'x/ - (Jz'x/) = O
As três raízes da Eq. (2.14) são as três tensões principais aI, a2 e a3' Para determinar
a direção, com relação aos eixos originais x, y e z, na qual as tensões principais atuam
é necessário substituir a" a2 e a3, uma de cada vez, nas três equações da Eq. (2.13).
As equações resultantes devem ser resolvidas simultaneamente para I, 111 e n, com a
ajuda da relação auxiliar 12 + 1112 + n2= I.
Verifique que existem três combinações de componentes de tensão na Eq. (2.14)
que constituem os coeficientes da equação cúbica. Já que os valores destes coeficien-
tes determinam as tensões principais, eles obviamente não variam com mudanças nos
eixos coordenados. Assim, eles são coeficientes invariantes.
(Jx + (Jv + (Jz = /1
(Jx(Jv + (Jv(Jz + (Jx(Jz - 'x/ - 'x/ - 'v/ = /2
2 2 2 2 /(Jx(Jv(Jz+ 'xv'vz'xz-(Jx'vz -(Jv'xz -(Jz'xv = 3
o primeiro invariante de tensão, I" foi visto anteriormente para o estado bidimensio-
nal de tensões. Fica, assim, proposta a relação bastante útil de· que a soma das tensões
normais para qualquer orientação no sistema coordenado é igual à soma das tensões
normais para qualquer outra orientação. Por exemplo,
Na discussão acima nós desenvolvemos uma equação para a tensãol num plano
oblíquo especial, um plano principal no qual não existe tensão cisalhante. Desenvol-
vamos agora as equações para as tensões normal e cisalhante em qualquer plano oblí-
quo cuja normal tem co-senos diretores I, m e n com os eixos x, y e z. Poderemos
utilizar a Fig. 2.7 uma vez mais se compreendermos que para esta situação geral a
tensão total no plano S não será coaxial com a tensão normal, e que S2 = (J"2 + r. A
tensão total pode, mais uma vez, ser desmembrada nas componentes Sx, S y e S z, de
maneira que
Fazendo-se o somatório das forças nas direções x, y e z, chegamos às expressões para
as componentes ortogonais da tensão total:
Sx = (Jxl + 'yxm + 'zxn
Sy = 'xyl + (Jym + 'zyn
Sz = 'xzl + 'yzm + (Jzn
(2.170)
(2.17b)
(2.17c)
Para encontrar a tensão normal (J" no plano oblíquo, é necessário determinar as
componentes de Sx, S y e S z na direção da normal ao plano oblíquo.
Assim,
ou, após substituição das Eqs. (2.17) e simplificando com TXY = TyI, etc.,
(J = (Jx12 + (Jym2 + (Jzn2 + 2'xylm + 2'yzmn + 2'zxnl
A magnitude da tensão cisalhante no plano oblíquo é dada por r = S2 - (J"2. Para se
obter a magnitude e direção das duas componentes da tensão cisalhante no plano oblí-
quo é necessário rebater as componentes de tensão Sx, Sy e Sz nas direções y' e z'
contidas no plano oblíquo!. Este desenvolvimento não será realizado aqui porque as
equações pertinentes podem ser mais facilmente derivadas pelos métodos apresenta-
dos na Seção 2.6.
Já que o escoamento plástico envolve tensões cisalhantes, é importante identificar
os planos nos quais as tensões cisa/hantes máximas ou principais ocorrem. Na nossa
discussão do estado de tensões bidimensional vimos que Tmax ocorria num plano a
meio caminho entre os dois planos principais. Assim, é mais fácil definir os planos
principais de cisalhamento em termos dos três eixos principais 1, 2 e 3. A partir de r
= S2 - u2, pode-se mostrar que
onde I, m e 11 são os co-senos diretores entre a normal ao plano oblíquo e os eixos
principais.
As tensões cisalhantes principais ocorrem para as seguintes combinações de co-
senos diretores que dividem ao meio o ângulo entre dois dos três eixos principais:
I m n ,
O +JI +JI (J2 - (J3- 2 - 2 'I= 2
+JI O +JI (JI - (J3 (2.20)'2 =---- 2 - 2 2
+JI +JI <.O (JI - (J2- 2 - 2 '3 = 2
D a ordo com o que foi convencionado, <TI é algebricamente a maior tensão principal
normal. <T3 é algebricamente a menor tensão principal normal e T2 possui o maior valor
d tensão cisalhante. sendo denominada tellsão eisa/hallre máxima. TIIUl.]'.
:\ tensão cisalhante máxima é importante nas teorias de início de escoamento e nas
operações de conformação metálica. A Fig. 2.8 mostra os planos das tensões cisalhan-
tes principais para um cubo cujas faces são os planos principais. Observe que para
ada par de tensões principais existem dois planos de tensão cisalhante principal que
e localizam na bissetriz do ângulo formado entre as direções das tensões principais.
(TI - (T2
T3 = -2--
Vários aspectos da análise da tensão, tais como as equações para transformação das
componentes de tensão de um conjunto de eixos coordenados para outro sistema de
coordenadas ou a existência de tensões principais, tornam-se mais simple( quando se
reconhece o fato de que a tensão é um tensor de segunda ordem. Diversas técnicas
para a manipulação dos tensores de segunda ordem não requerem um conhecimento
profundo de cálculo tensorial. Assim, torna-se vantajoso aprender alguma coisa sobre
propriedades dos tensores.
Começaremos considerando a transformação de um vetor (um tensor de primeira
ordem) de um sistema de coordenadas para outro. Considere o vetar S = S/, + 52i2 +
53i3, estando os vetores unitários i" i2, i3 nas direções Xj, X2 e X3' (De acordo com a
convenção e por conveniência, ao se trabalhar com quantidades tensoriais os eixos
coordenados serão designados x I, X2, etc., sendo x, equivalente a x, X2 a.y, etc.) S 10 S2
e 53 são componentes de 5 em relação aos eixos Xl, X2 eX3' Desejamos agora encontrar
as componentes de S com relação aos eixosx'"x'2,x'3, Fig. 2.9. A componenteS'1 é
obtida rebatendo-se S" S 2 e S 3 ao longo da nova direção x' I'
onde a'l é o co-seno diretor entre X'I e XI> a'2 é o co-seno diretor entre x'J e X2, etc.
Analogamente,
S~ = a21S1 + a22 S2 + a23 S3
S3 = a31S] + a32 S2 + a33 S3
(2.22b)
(2.22c )
Podemos notar que o primeiro subíndice para cada co-seno diretor em cada uma das
Eqs. (2.22) é o mesmo; assim, estas equações podem ser escritas como
3
s; =; L aljSj
j= 1
3
S~= L a2jSj
j=l
3
S~= L a3jSj
j=l
3
S; = LaijS/i = 1,2,3) = aj1Sl + aj2S2 + ai3S3
j= 1
A Eq. (2.23) pode ser escrita de maneira ainda mais compacta, utilizando-se a notação
de subíndices de Einstein,
(2.24)
•
A notação de subíndices é uma maneira muito útil de expressar os sistemas de eqoa-
ções de uma forma mais compacta, sendo geralmente utilizada na mecânica do contí-
nuo. A repetição de um subíndice em um mesmo termo, como na Eq. (2.24) (neste
caso o subíndicej). representa um somafório em relação àquele subíndice. Exceto com
indicação contrária, o somatório do outro índice é de I a 3.
No exemplo acima i é um subíndice livre e, na forma expandida, diste uma equa-
ção para cada valor de i. O índice repetido é denominado subíndice de operação, e sua
única finalidade é indicar o somatório. As mesmas três equações seriam obtidas se
uma outra letra fosse utilizada como subíndice de operação, por exemplo, S'j = airS,.
significaria a mesma coisa que a Eq. (2.24).
Nós vimos, na Seção 2.5, que a determinação completa do estado de tensões num
ponto em um sólido requer a especificação de nove componentes de tensão nas faces
ortogonais do elemento no ponto. Uma quantidade vetorial requer apenas a especifica-
ção de três componentes. Obviamente, a tensão é mais complicada que um vetor. As
quantidades físicas que se modificam com os eixos coordenados da maneira indicada
na Eq. (2.18) são denominadas te/1S0res de segunda ordem. A tensão, deformação e
várias outras quantidades físicas são tensores de segunda ordem. Uma quantidade es-
calar, que não se modifica com a transformação dos eixos, requer somente um único
número para a sua especificação. Escalares são tensores de ordem zero. As quantida-
des vetoriais requerem três componentes para a sua especificação, sendo assim tenso-
res de primeira ordem. O número de componentes necessárias para especificar uma
quantidade é de 3", onde n é a ordem do tensor'. A constante elástica que relaciona a
tensãocom a deformação num sólido elástico é um tensor de quarta ordem com 81
componentes no caso mais geral.
O produto de dois vetores A e B com componentes (A" A2, A3) e (BI> B2, B3),
respectivamente. resulta num tensor de segunda ordem. Ti}. As componentes deste
tensor podem ser apresentadas numa matriz 3 x 3.
Tu
Tij = T21
T31
TI2 TI3
T22 T23
T32 T33
Transformando-se os eixos, as componentes dos vetores se tornam (A' I, A' 2, A' 3) e
(B' I, B' 2, B' 3)' Nós desejamos encontrar a relação entre as nove componentes de Tu e
as nove componentes de Tu após a mudança de eixos.
A;B~ = (aij AJ(akIB[)
Ti~ = aij akl Tj[
Como a tensão é um tensor de segunda ordem, as componentes do tensor-tensão
podem ser escritas como
()II ()12 () 13 ()x 'xy 'xz
()ij = () 21 ()22 () 23 'yx ()y 'yz
() 31 ()32 () 33 'zx 'zy ()z
A transformação do tensor-tensão au do sistema de eixos x I, X2, X3 para os eixos x' I,
-,'2, X'3 é dada por
onde i e j são subíndices de operação e k e I são subíndices livres. Para expandir a
equação tensorial fazemos primeiramente o somatório paraj = I, 2, 3:
IUma relação mais precisa é N = k". onde N é o número de componenles necessárias para a descrição de um
tensor da n-ésima ordem num espaço de dimensâo k. Para um espaço bidimensional, somenle quatro compo-
nentes sâonecessárias para descrever um tensor de segunda ordem.
(Jkl = aklal1(JU + ak1a12 (J12 + akla13 (J13
+ ak2al1(J21 + ak2aI2(J22 + ak2a13(J23
+ ak3al1(J31 + ak3aZ2(J32 + ak3aZ3(J33
Existirá uma equação similar à (2.27) para cada valor de k e I. Assim, para encontrar a
equação da tensão normal na direção X'I, seja k = 1 e 1 = 1
(Ju = auau(Ju + aUa12 (J12 + aUa13 (J13
+ a12 au (J21 + a12 a12 (J22 + a12 a13 (J23
+ a13al1(J31 + a13a12(J32 + a13aI3(J33
Pode-se verificar que, escrevendo-se esta equação com a simbologia utilizada na Seção
2.5, ela se recluzirá à Eq. (2.18).
Analogamente, se desejarmos determinar a tensão cisalhante no plano x', na dire-
ção z', isto é, Tx,z', seja k = 1 e 1 = 3
(J13 = aUa31(Jll + aUa32 (J12 + aUa33 (J13
+ a12a31(J21 + a12a32(J22 + a12a33(J23
+a13a31(J31 + aI3a32(J32 + a13a33(J33
Talvez valha a pena enfatizar novamente que não importa que letras são utiliza-
das como subíndices na notação tensorial. Assim, a transformada de um tensor de
segunda ordem poderia muito bem ser escrita como T'sl = asr/ltqTpq, onde Tp!, são as
componentes nos eixos originais e T' si são as componentes referidas aos novos eixos.
A lei de transformação para um tensor de terceira ordem é escrita como
A matéria apresentada até agora nesta seção é, na realidade, pouco mais do que
notação tensorial. Ainda assim, já ganhamos um poderoso método resumido para es-
crever as equações da mecânica do contínuo, que são freqüentemente difíceis de serem
manejadas. (O estudante notará que isto facilitará bastante o problema de memorizar
equações.) Aprendemos também uma técnica útil para transformar uma quantidade
tensorial de um conjunto de eixos para outro. Existem apenas alguns fatos adicionais
sobre tensores que precisamos considerar. O estudante interessado em se aprofundar
um pouco mais neste tópico pode consultar algumas obras de aplicações orientadas em
tensores cartesianos1•
Uma quantidade útil na teoria tensorial é o delta de Kronecker, ai}. O delta de
Kronecker é um tensor isotrópico unitário de segunda ordem, ou seja, tem componen-
tes idênticas em qualquer sistema de coordenadas.
I O
6ij = O I
O O
~ = {I
I O
i=j
i#j
A multiplicação de um tensor ou produtos de tensores por Ou causa 'uma redução de
dois na ordem do tensor. Isto se denomina contraçiío do tensor. A regra é apresentada
aqui sem prova, porém, são fornecidos exemplos para que possamos fazer uso disto
em discussões posteriores. Consideremos o produto de dois tensores de segunda or-
dem, Apq BulC' Esta multiplicação produziria um tensor de quarta ordem, nove equa-
ções cada, com nove termos. Se multiplicarmos o produto por a,,,1"O este se reduzirá a
um tensor de segunda ordem.
A "regra" consiste em substituir ll' por q e eliminar aq1c' O processo de contração pode
ser repetido diversas vezes. Assim, na primeira contração, Apq BVlc aqlC apv se reduz a
Ap" Bvq apv e então a Apq Bpq, que é um tensor de ordem zero (um escalar).
Se aplicarmos a contração ao vetor de tensão de segunda ordem
obteremos o primeiro invariante do tensor (um escalar).
Os invariantes do tensor de tensão podem ser prontamente determinados a partir
da matriz de suas componentes. Uma vez que (T12 = (T21, etc., o tensor áe tensão é um
rensor simérrico.
() 11
(}ij = (}12
()13
(}12 (}13
(}22 (}23
(}23 (}33
O primeiro invariante é o traço da matriz, isto é, a soma dos termos da diagonal
principal:
O segundo invariante é a soma dos secundários principais. O secundário de um ele-
mento de uma matriz é o determinante de ordem imediatamente mais baixa que per-
manece quando se suprimem a linha e a coluna do elemento em questão. Assim, to-
mando cada um dos termos principais (diagonal principal) em ordem e suprimindo
aquela linha e coluna, temos:
Finalmente, o terceiro invariante é o determinante da matriz inteira dos componentes
do tensor-tensão.
Como um exemplo das vantagens da contração e conceitos fornecidos pela nota-
ção tensorial derivaremos novamente as equações para a tensão principal, que foram
desenvolvidas na Seção 2.5. O leitor deve notar a facilidade com que se pode perder o
significado físico na manipulação matemática. Um teorema básico da teoria tensorial
afirma que existe uma certa orientação dos eixos coordenados tal que as componentes
de um tensor simétrico de segunda ordem serão todas nulas para i 4=.i. Isto equivale a
dizer que os conceitos de tensão principal e eixos principais são inerentes à caracterís-
tica tensorial da tensão.
As três equações de somatório de forças, Eqs. (2.17), podem ser escritas na forma
onde o subíndice n é usado para denotar que estamos lidando com os ângulos à normal
de um plano oblíquo. Se fazemos com que o plano oblíquo seja um plano principal e a
Entretanto, uma vez que a tensão principal está na direção da normal ao plano oblí-
quo, alli = api, assim,
Já que ap1 = I, ap2 = /11, e Oji = O quando} f- i, a expansão da Eq. (2.32) fornecerá as
três Eqs. (2.13). Para que a Eq. (2.32) tenha uma solução não trivial em ap;, o determi-
nante dos coeficientes deve desaparecer, o que resulta em
(Jx - (Jp 'xy 'xz
I (Jij - (Jp6jil = 'yx (Jy-(Jp 'yz =0
'zx 'zy (Jz-(Jp
que leva à equação cúbica (2.14). Os coeficientes desta equação em notação tensorial
são
/1 = (Jii
/2 = t(CTikCTki - CTii(Jkk)
/3 = i(2(JijCTjkCTki - 3(JijCTjiCTkk + CTiiCTjjCTkk)
O fato de aparecerem nestas equações apenas subíndices de operação indica a natu-
reza escalar dos invariantes do tensor-tensão.
A discussão sobre a representação de um estado de tensão bidimensional através do
círculo de Mohr apresentada na Seção 2.4 pode ser estendida a três dimensões. A Fig.
2.10 mostra como um estado triaxial de tensões, definido pelas três tensões principais,
pode ser representado pelos círculos de Mohr. Pode ser mostrado! que todas as condi-
ções de tensão possíveis no corpo encontram-se na área sombreada entre os círculos
na Fig. 2.10.
Embora O único significado físico do círculo de Mohr seja o fato de fornecer uma
representação geométrica das equações que expressam a transformação das compo-
nentes de tensão em diferentes conjuntos de eixos, ele representa uma maneira muito
conveniente de visualizar o estado de tensão. A Fig. 2.11 apresenta diversos estados
de tensão comuns, representados através do círculo de Mohr. Verifique que, com a
aplicação de uma tensão de tração (T2, fazendo ângulo reto com uma tensão (TI já
existente (Fig. 2.llc), ocorre um decréscimo na tensão cisalhante principal em dois
IA. Nadai, Theory of FlolV alld Fracture of Solids, 2" ed., pp. 96-98, McGraw-Hill Book Company, New
York, 1950.
dos três conjuntos de planos nos quais atua uma tensão cisalhante principal. Se tivés-
semos utilizado um círculo de Mohr bidimensional, não ficaria claro