Distribuição Uniforme
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Distribuição Uniforme


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Distribuição Uniforme



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A distribuição uniforme possui umas das ?FDP mais simples, porém, possui inúmeras aplicações.

A distribuição uniforme é a distribuição contínua com a expressão mais simples, ao mesmo tempo ela é uma das mais importantes e é constantemente utilizada na aplicação da teoria de probabilidade. A distribuição uniforme possui uma característica muito importante: ela consegue descrever fenômenos onde a probabilidade de acontecer algo de mesmo comprimento é constante.


Definição

Considere uma variável aleatória ?X, ela irá possuir uma distribuição uniforme no intervalo ?a,b se, e somente se, sua Função Densidade de Probabilidade (?FDP) for descrita por:


?f(x)={dfrac1ba,se axb;0,caso contŕario


A seguir é ilustrado um gráfico com a Função Densidade de Probabilidade (?FDP) da distribuição uniforme para diferentes valores de ?a e ?b:



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A seguir é ilustrado a ?FDP da distribuição uniforme para diferentes valores de ?a e ?b.


Função Geradora de Momentos

Considere ?X uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme, sua função geradora de momentos pode ser encontrada realizando a seguinte operação:


?MX(t)=𝔼etX=abdfracetxbadx=dfracetxt(ba)|ab=dfracetbetat(ba)



Valor Esperado

Existem duas maneiras de se calcular o primeiro momento estatístico (valor esperado) de uma distribuição, a forma direta, considerando uma variável aleatória ?X com distribuição uniforme é dada por:


?𝔼(X)=abxdfrac1badx=dfraca+b2


A segunda maneira de se encontrar é utilizando a função geradora de momentos, o primeiro passo é calcular a primeira derivada desta função:


?MX(t)=dfraceat(at1)+ebt(1bt)t2(ab)


O primeiro momento então é encontrado avaliando a função acima em ?t=0:


?𝔼(X)=MX(0)=limt0dfraceat(at1)+ebt(1bt)t2(ab)


Esse limite parece indefinido ao primeiro olhar, no entanto ao aplicar a regra de L'Hospital (dado que, neste limite, tanto o numerador quanto o numerador tendem a zero), podemos resolve-lo:


?MX(0)=limt0dfract(eata2ebtb2)2t(ab)=dfrac(ab)(a+b)2(ab)=dfraca+b2


Portanto, o valor esperado é dado por:


?𝔼(X)=dfraca+b2



Variância

A variância também pode ser calculada a partir da função geradora de momentos, no entanto, dessa vez iremos precisa calcular a sua segunda derivada:


?MX(t)=dfraceat(a2t22at+2)ebt(b2t22bt+2)t3(ab)


Avaliando a função acima em ?t=0 iremos encontrar ?𝔼(X2):


?𝔼(X2)=MX(0)=limt0dfraceat(a2t22at+2)ebt(b2t22bt+2)t3(ab)


Novamente temos uma indefinição onde tanto o numerador quanto o numerador tendem a zero, portanto, aplicando novamente a regra de L'Hospital, encontramos que


?MX(0)=limt0dfract2(a3eatb3ebt)3(ab)=dfraca3b33(ab)=dfrac(ab)(a2+ab+b2)3(ab)


Desta maneira, a variância ?Var(X) da variável aleatória ?X com distribuição uniforme é dada por:


?Var(X)=𝔼(X2)𝔼2(X)=MX(0)(MX(0))2=dfrac(a2+ab+b2)3(dfrac(a+b)2)2=dfracb22ab+a212


Portanto:


?Var(X)=𝔼(X2)𝔼2(X)=dfrac(ba)212



Exemplo

A seguir, para fixar o conceito, um exemplo numérico da distribuição uniforme é ilustrado:

  • O surgimento de panes em qualquer ponto de uma rede de distribuição de energia de ?7 km foi modelada por uma Distribuição Uniforme considerando o seguinte intervalo ?0,7.

  • Qual é a probabilidade de que uma pane aconteça nos primeiros ?800 metros da rede?

  • Qual a probabilidade de que ocorra nos 3 km centrais da rede?

Resposta:

  • A ?FDP da Distribuição Uniforme é dada por ?f(x)=17 para ?0x7 e 0, caso contrário.

    • Desta maneira, a probabilidade de ocorrer pane nos primeiros ?800 metros é dada por:


?(X0,8)=00,8f(x)dx=dfrac0,807=0,1142=11,42%


    • A probabilidade de ocorrer pane nos 3 km centrais da rede é dada por:


?(2X5)=25f(x)dx=(X5)(X2)=5/72/70,4285.=42,85%