Apostila de Fundamentos de Mecânica

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FÍSICA I 
Prof.: Altamiro Quevedo Sch~rvenski 
Curso: Engenharia Civil 
2013 
SUMÁRIO 
l-UNIDADE 1- INTRODUÇAO A FÍSICA. .. , ................................................................................... l 
1.1-Introdução ......................................................................................................................................... l 
1.2-Grandezas ..................................................... ; ................................................................................... l 
1.3- Padrão .............................................................. : ................................................................................ l 
1.3.1- Comprimento ........................................................................................................................ 2 
1.3.2- Tempo ......................................................•.............................................................................. 2 
1.3.3- Massa ...................................................................................................................................... 2 
1.4-Dimensão ....................................................................................... : .................................................. 2 
1.5- Unidade ........................................................................................................................................... .4 
1.5.1- Sistema de Unidades ...................................... : ..................................................................... 4 
1.5.1.1- Sistema Internacional de Unidades SI ou MKS Giorgi ...................................... 4 
1.5.1.2- Sistema MKS Técnico ou MK*S ............................................................................. 6 
1.5.1.3- Sistema de Unidades CGS ...................................................................................... 7 
1.5.2- Algumas Conversões de Unidades mais Utilizadas ........................................................ 8 
1.6- Notação Científica ....................................................... : ................................................................. 9 
1.7- Algarismos Significativos .............................................................................................................. 9 
1.7.1- Operações com Algarismos Significativos ..................................................................... ll 
1.7.1.1- Arredondamento de Números ........................................................................... ll 
1.7.1.2- Adição e Subtração ............................................................................................... ll 
1.7.1.3- Multiplicação e Divisão ................................. : ..................................................... 12 
1.8- Ordem de Grandeza ................................................................... : ................................................. 12 
1. 9- Grandezas Fisicas Escalares e V etoriais .................................................................................... 13 
1.9.1- Grandezas Fisicas Escalares ............................................................................................. 13 
1.9.2- Grandezas Fisicas Vetoriais .............................................................................................. 14 
1.9.2.1-Vetor ........................................................................................................................ 14 
1.9.2.2- Vetor Oposto ......................................................................................................... 16 
1.9.3- Operações com Vetores ..................................................................................................... 16 
1. 9.3.1- Adição de Vetores ................................................................................................. 16 
1.9.3.2- Subtração de Vetores ............................................................................................ 24 
1.9.3.3- Componentes de um Vetor ................................................................................. 26 
1.9.3.3.1- Soma Vetorial Através das Componentes de Vetores ..................... 27 
1.9.3.4-Vetor Unitário ou Versor ..................................................................................... 31 
1.9.3.4.1- Soma de Vetores Unitários ou Versores ........................................... 32 
1.9.3.5--Produto de um Escalar por um Vetor ............................................................... 34 
1.9.3.6- Produto Escalar ................................................................................................... 35 
1.9.3.7- Produto Vetorial ................................................................................................. 37 
2- UNIDADE 2 -ESTUDO DOS MOVIMENTOS .........................................................................•.. 40 
2.1- Introdução .................................................................................................................................... .40 
2.2- Ponto Material ou Particula ....................................................................................... ; ............... 40 
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2.3- Corpo Extenso ............................................................................................................................... 41 
2.4- Referencial ou Sistema de Referência ........................................................................................ 41 
2.5- Posição ............................................................................................................................................ 41 
2.6- Movimento ..................................................................................................................................... 42 
2.7- Repouso .......................................................................................................................................... 42 
2.8- Trajet6ria ..................................................... , .................................................................................. 42 
2.9- Movimento Unidimensional [Movimento Retilineol····························:·································43 
2.9.1- Vetor Posição ........................................................ : .............................................................. 43 
2.9.2- Vetor Deslocamento ........................................................................................................... 44 
2.9.3- VetorVelocidade ............................................................................................................... .46 
2.9.3.1- Vetor Velocidade Média ou Velocidade Mêdia ...................... : ........................ 46 
2.9.3.2 -Velocidade Escalar Mêdia .................................................................................. .48 
2.9.3.3-Velocidade Instantânea ou Velocidade .............................................................. 49 
2.9.4- Aceleração .•......................................................................................................................... 53 
2.9.4.1- Aceleração Mêdia .................. : ............................................................................. .53 
2.9.4.2- Aceleração Instantânea ....................................................................................... .56 
2.9.5- Movimento Retilineo Uniforme [M.R.U.] ..................................................................... .58 
2.9.6- Movimento Retilineo Uniformemente Variado [M.R.U.V] ......................................... 60 
2.9.6.1- Movimento em Queda Livre ............................................................. : ................ 63 
2.10- Movimento em Duas e Três Dimensões ..................................................................................70 
2.10.1- Vetor Posição .............................................................................................. :: .................. 70 
2.10.2- Vetor deslocamento ....................................................................................................... 70 
2.10.3- Vetor Velocidade Média ou Velocidade Mêdia ............................... ; ........................ 72 
2.10.4- Vetor Velocidade Jnstantânea ...................................................................................... 73 
2.10.5- Vetor aceleração ............................................................................................................. 73 
2.10.5.1- Vetor Aceleração Média ................................................................................ 74 
2.10.5.2- Vetor Aceleração Jnstantânea ....................................................................... 74 
2.10.6- Lançamento de Projêteis ............................................................................................... 78 
3- UNIDADE 3- FORÇA E MOVIMENT0 ..................................................................................... 82 
3.1- Introdução ...................................................................................................................................... 82 
3.2- Conceito de Força ......................................................................................................................... 82 · 
3.3- Conceito de Massa ........................................................................................................................ 83 
3.4- Inêrcia ............................................................................................................................................. 83 
3.5- Leis de Newton ............................................................................................................................. 83 
3.5.1- Primeira Lei de Newton -(Lei da lnêrcia) ....................................................................... 83 
3.5.2- Segunda Lei de Newton- (Lei Fundamental da Dinâmica) ......................................... 84 
3.5.3- Terceira Lei de Newton (Lei da Ação e Reação) ............................................................ 86 
3.6- Algumas Forças Especiais ........................................................................................................... 90 
3.6.1- Força Gravitacional ..........................................•................................................................. 90 
3.6.1.1- Variação da Aceleração da Gravidade ............................................................... 90 
3.6.2-Força de Reação Normal ................................................................................................. .-... 91 
3.6.3- Força de Tração ou Tensão ................................................................................................ 92 
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3.6.4- Força de Atrito .................................................................................................................... 93 
3.6.4.1- Força de Atrito estático ......................................................................................... 93 
3.6.4.2- Força de Atrito cinético ......................................................................................... 94 
3.6.4.3- Força de Resistência do ar .................................................................................... 97 
3.6.5- Força Elástica ....................................................................................................................... 99 
3.6.6- Força de Empuxo .................................................................................................... , ......... 102 
3.7- Dispositivos ou máquinas utilizados para transportar corpos(carga) ............................... 105 
3.7.1- Plano inclinado ................................................................................................................. 105 
3.7.2-Máquina de Atwood ........................................................................................................ 106 
3.7.3-Sistema de polias ou talha exponencial ........................................................................ 107 
3.8- Aplicações das Leis de Newton ................................................................................................ 108 
4- UNIDADE 4-TRABALHO E ENERGIA .................................................................................. 117 
4.1-Introdução ..................................................................................................................................... 117 
4.2-Traballio realizado por uma força ............................................................................................. 117 
4.2.1-Traballio realizado por uma força constante .................................................................. 117 
4.2.2-Traballio realizado por uma força variável.. .................................................................. 120 
4.2.2.1-Traballio realizado por uma mola ........................................................................ 123 
4.3-Potência ................................................ : ........................................................................................ 124 
4.4-Energia Cinética ........................................................................................................................... 125 
4.5-Energia Potencial ......................................................................................................................... 127 
4.5.1-Energia potencial gravitacional ........................................................................................ 128 
4.5.2-Energia potencial elástica .................................•................................................................ 129 
5- UNIDADE 5 -CONSERVAÇÃO DA ENERGIA .............. : ...................................................... 131 
5.1-Introdução ............................................................................... ~ .................................................... 131 
5.2-Forças conservativas e forças dissipativas ............................•.................................................. 131 
5.3-Energia mecânica de um sistema .............................................................................................. 131 
6- UNIDADE 6 -COUSÕES ............................................................................................................ 134 
6.1-Introdução ............................................... , ...................................................... : ............................. 134 
6.2-Impulso·e Momento linear ......................................................................................................... 134 
6.3-Conservação do Momento linear ou da Quantidade de movimento .................................. 137 
6.4-Colisões ......................................................................................................................................... 139 
6.4.1-Colisões diretas ou central ................................................................................................. 139 
6.4.2-Colisões Obliquas ............................................................................................................... 139 
6.4.3-Colisões Elásticas ................................................................................................................ 140 
6.4.4-Colisões Inelásticas ............................................................................................................. 141 
LISTA DE EXERCÍOOS 1.. ............................................................................................................... 142 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 ..................................................................................................................148 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 ................................................................................................................. 156 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 
UNIDADE I- INTRODUÇÃO Á FÍSICA 
1.1-INTRODUCÃO 
Em qualquer ramo do conhecimento humano há necessidade de se quantificar os elementos 
estudados e o ato de medir faz parte do nosso cotidiano. Em Fisica, a quantificação é feita 
usando números, eXplicitando-se claramente qual foi o padrão usado para a obtenção desses 
números. Até o final do século XVIII era muito grande a quantidade de padrões existentes, pois 
em cada região eles eram escolhidos de modo arbitrário e independente. 
Em 1792, com o grande aumento dos intercâmbios económicos e culturais, as diversas 
sociedades padronizam as unidades de medida visando facilitar o comércio e a comunidade 
cientifica. Surge, então, o Sistema Métrico Decimal, produto da Revolução Francesa (O Brasil 
oficializou sua adesão a esse sistema em 1862). Posteriormente, em 1960, na u• Conferência 
Geral de Pesos e Medidas em Paris, o Sistema Métrico Decimal foi reformulado, dando origem 
ao Sistema Internacional de Unidades.(SD. Atualmente, no Brasil e na maioria dos países, é 
adotado o Sistema Internacional de Unidades. 
Um dos propósitos da Fisica e também da engenharia, é projetar e executar experimentos que 
permitam a realização dos mais arrojados projetos que contemplem as necessidades da 
sociedade. Para isso, iniciaremos nosso curso abordando conceitos fundamentais necessários 
para o desenvolvimento da disciplina de Fisica que embasa um curso de engenharia. 
1.2-GRANDEZAS 
Na construção da Fisica são utilizadas as grandezas físicas que usamos para expressar suas leis. 
Embora existam dezenas de grandezas físicas, são estabelecidos padrões e definidas unidades 
para um número minimo de grandezas denominadas fundamentais ou primárias. Por exemplo, 
a velocidade é a relação entre primárias, o .comprimento e o tempo. A partir das grandezas 
fundamentais ou primárias são definidas unidades para todas as demais grandezas físicas 
denominadas w-andezas derivadas ou secundárias. Dentre essas grandezas estão o 
comprimento, a massa, o tempo, a força, a velocidade, a massa especifica, a resistividade, a 
temperatura, a intensidade luminosa, a intensidade do campo magnético e outras mais. Muitas 
dessas palavras são utilizadas em nosso cotidiano, porém, em se tratando de ciência física, 
devemos definir os termos com os quais associamos grandezas físicas de modo claro e preciso, 
sem, entretanto, confundi-los com outros significados usados cotidianamente. 
1.3-PADRÃO 
Padrão é um modelo oficial de pesos e medidas. Aquilo que serve de base ou norma para a 
avaliação de qualidade ou quantidade. Assim, medir .uma grandeza é atribuir-lhe um valor 
numérico e uma unidade. Os padrões são definidos para o comprimento, tempo e massa. 
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1.3.1-COMPRIMENTO 
Um metro é o comprimento (distância) percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de 
tempo de J6:99.792.4SS de segundo. 
Figura 1- Metro-padrão. Barra feita em liga de platina e irídio. 
1.3.2-llEMPO 
Um segundo é 9.192.631.770 períodos de uma certa vibração do átomo de revolução Cs133 , ou 
seja, é o tempo necessário para que haja 9.192.631.770 oscilações da luz (de um determinado 
comprimento de onda) emitida por um átomo de césio-133. 
1.3.3-MASSA 
Um quilograma (quilograma-padrão) é a massa de um cilindro de platina-irídio conservado no 
Bureau Internacional de Pesos e Medidas, próximos de Paris, conforme mostra a figura 2. 
1.4-DIMENSÃO 
Figura 2- Quilograma- padrão internacional de massa. Cilindro 
de platina-irídio com 3,9 cm de altura e 3,9 cm de diâmetro. 
É a extensão suscetível (pode ser mensurável) de uma medida, ou seja, é a propriedade física 
que a quantidade descreve. Em mecânica, são três as grandezas fundamentais que são 
acompanhadas por uma dimensão conforme mostra a Tabela 1. 
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Grandezas Fundamentais Dimensão 
Comprimento L 
Tempo T 
Massa M 
Tabela 1- Grandezas fundamentais com suas respectivas dimensões. 
A partir das grandezas fundamentais para o comprimento; tempo e massa, acompanhadas de 
suas respectivas dimensões, obtêm-se as seguintes grandezas derivadas conforme mostra a 
Tabela2. 
Grandezas Derivadas Equação Dimensão 
Superfície (Área) A=lxl=l' L' 
Volume '<I= lxlxl = 13 IJ 
Densidade p="'lv M ~MD' 
IJ 
Velocidade v=~t L ~Lr-' 
T 
Aceleração a=Ll1ru .!:..._~ LT-2 
T' 
Velocidade angular lli=Ll%t T-' 
Aceleração angular a=Ll%1 
T-' 
Força F=m.a ML ~MLr-' 
T' 
Pressão p=% MD'r-' 
Momento de uma forç M=F.d ML'T-' 
Trabalho, Energia -r=F.d MJ3r-' 
Potência P='ft ML'r-' 
. 
Momento de Inércia 1= Lm;r/ M/3 
Tabela 2- Grandezas derivadas com suas respectivas dimensões. 
As grandezas derivadas estão relacionadas às fundamentais através de leis mecânicas, 
geométricas, etc. Tais leis mantêm uma relação física que deve sempre ser verificada quanto à 
sua coerência, isto é, as dimensões que aparecem no membro esquerdo de uma equação devem 
ser as mesmas que aparecem no membro direito da equação. Essa coerência pode ocorrer por 
meio das parcelas de uma soma, divisão ou produto de termos que constituam um determinado 
membro. 
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EXEMPLO 1- Verifique se a equação que representa a energia cinética de urna partícula está 
correta. 
1 2 K=-mv ~ 
2 
EXEMPLO 2- Verifique se a equação que representa a função horária da posição de urna 
partícula está correta. 
a) x=x,+v0t 
1.5-UNIDADE 
Urna unidade é a escala com que se mede uma dimensão, ou ainda, é uma quantidade 
estabelecida por convenção, a qual serve para comparar grandezas da mesma espécie. Por 
exemplo, para as seguintes grandezas fisicas: 
~ Comprimento- metro [m], pé [ft] e milha[mi]. 
~ Tempo- hora [h], minuto (min) e segundo [s]. 
~ Massa - quilograma [kg] , libra-massa Pbm] e slug. 
1.5.1-SISTEMA DE UNIDADES 
Um sistema de unidades compreende os padrões, um método de formação de múltiplos e 
submúltiplos e definições de grandezas derivadas, tais como força, energia, etc ... 
Para facilitar o trabalho de quem manipula medidas cujos valores são muito grandes ou muito 
pequenos, são utilizados prefixos. Quando um prefixo é acompanhado de uma unidade de 
medida, é possível expressar grandezas fisica8 escalar e vetoriais que serão abordadas nessa 
unidade .. 
Quanto à grafia das unidades, os símbolos das unidades são expressos em caracteres romanos, 
geralmente em minúsculo, no entanto, se os · símbolos derivam de nomes próprios, são 
utilizados caracteres romanos maiúsculos (para a primeira letra). Esses símbolos não são 
seguidos de ponto e não mudam no plural. 
1.5.1.1- SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI OU MKS GIORGI 
Em 1960, durante a n• Conferência de Pesos e Medidas, realizada nem Paris, o Sistema Métrico 
Decimal foi reformulado e deu origem ao Sistema Internacional de Unidades (S.I.). Este novo 
sistema é composto por sete grandezas fundamentais ou primárias conforme Tabela 3. Das 
Prof. Alfumiro Ouevedo Scherveuski 4 
grandezas fundamentais são derivadas grandezas muito importantes conforme Tabela 4. Nas 
tabelas 3 e 4 encontra-se o nome da grandeza, a unidade de medida e o simbolo para a unidade. 
Para que o Sistema Internacional de Unidades seja utilizado completamente, encontramos na 
Tabela 5 alguns dos prefixos mais utilizados quando apresentamos o resultado de uma medida 
realizada. 
Grandezas Fundamentais ou Primárias no S.l. 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente Elétrica ampere A 
Temperatura Termodinâm kelvin K 
Quantidade de Matéria mol mol 
Intensidade Luminosa candeia cd 
Tabela 3. Grandezas Fundamentais ou Primáriasno S.I. 
Algumas Grandezas Derivadas ou Secundárias no S.l. 
Grandeza Unidade Símbolo 
Área metro quadrado m' 
Volume metro cúbico m' 
Densidade quilograma por metro cúbi k% 
m' 
Velocidade metro por segundo mls 
Aceleração metro por segundo ao quadr mls2 
Força newton N 
Pressão Pascal Pa 
Trabalho, Energia, Joule J 
Quantidade de calor 
Potência watt w 
Carga Elétrica coulomb c 
Diferença de Potencial volt v 
Resistência Elétrica ohm ,Q 
Tabela 4. Grandezas Derivadas ou Secundárias no S.I. 
Prof. Altamiro Ouevedo Sçheryenski s 
PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL [S.I. 
Prefixos 
mais 
utilizados 
. 
Fator 
1024 
1021 
to•• 
lO" 
1012 
lO' 
to• 
103 
102 
101 
10 I 
w-2 
10 3 
10-6 
10-9 
to-•2 
w-" 
to-•• 
10-2• 
w-24 
Prefixo 
yotta 
zetta 
ex a 
peta 
tera 
giga 
mega 
quilo 
hecto 
deca 
deci 
centi 
mili 
micro 
nano 
pico 
femto 
atto 
zepto 
yocto 
Símbolo 
y 
z 
E 
p 
T 
G 
M 
k 
h 
da 
d 
c 
m 
f.l 
n 
p 
f 
a 
z 
y 
Tabela 5- Prefixos do Sistema Internacional [S.I.]. 
1.5.1.2- SISTEMA MKS TÉCNICO OU MK*S 
No Sistema MKS Técnico as grandezas fundamentais são dadas conforme a Tabela 6. 
Grandezas Fundamentais ou Primárias no MK*S. 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Tempo . segundo s 
Força quilograma-força kgf 
Tabela 6. Grandezas Fundamentais ou Primárias no MK*S. 
Uma conversão muito utilizada para força é lltkgf [MK*S]= 9,8 N[SIJII· 
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Na Tabela 7 encontram-se algumas das grandezas derivadas. para o Sistema Técnico. 
Algumas Grandezas Derivadas no MKS Técnico 
Grandeza Unidade Sim bolo 
Área metro quadrado m2 
Volume metro cúbico m' 
Massa Unidade técnica de massa UTM 
Peso Especifico quilograma-força por metro cúbico k% 
m' 
Velocidade metro por segundo mls 
Aceleração metro por segundo ao quadrado mls2 
Velocidade Angular radianos por segundo radJs 
Aceleração Angular rádianos por segundo ao quadrado r~ s2 
Pressão quilograma-força por metro quadra k% m2 
Momento de uma força quilograma-força vezes metro kgf.m 
Energia ou Trabalho quilograma-força vezes metro = · kgf.m=kgm 
quilogrametro 
Potência quilogrametro por segundo kg% 
. 
Tabela 7. Grandezas derivadas ou secundárias no MK*S. 
1.5.1.3- SISTEMA DE UNIDADES CGS 
Grandezas Fundamentais no CGS 
Grandeza Unidade Sim bolo 
Comprimento centímetro cm 
Massa grama g 
Tempo segundo s 
Tabela 8. Grandezas Fundamentais ou Prf'inárias no CGS. 
A partir das grandezas fundamentais são derivadas várias grandezas secundárias conforme 
mostra a Tabela 9. 
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Algumas Grandezas Derivadas no CGS 
Grandeza Unidade Simbolo 
Área centímetro quadrado cm2 
Volume centímetro cúbico cm' 
Densidade grama por centímetro cúbico 
Yc'm' 
Velocidade centímetro por segundo cm/s 
Aceleração centímetro por segundo ao quadr cmls2 
Velocidade Angular radiano por segundo rad/s 
Aceleração Angular radiano por segundo ao quadrado rruy; 
s2 
Força grama vezes centímetro por segund dyn 
quadrado = dina 
Pressão dina por centímetro quadrado dy% 
cm
2 
Trabalho, Eriergia, dina vezes centímetro erg 
Quantidade de calor 
Potência erg por segundo erYs 
-. Tabela 9. Grandezas Denvadas ou Secundartas no CGS. 
1.5.2-ALGUMAS CONVERSÕES DE UNIDADES MAIS UTILIZADAS 
Para converter grandezas fundamentais e derivadas de um sistema para outro, usa-se o 
comprimento para gerar as demais conversões, exceto conversões para as escalas termométricas. 
Por exemplo: 
)> · Comprlmento. 
)> Área. 
/ 
> Velocidade. 
I ft =O, 3048m 
lm=3,28ft 
I in =O, 0254m = 2, 54cm 
!mi= 1610m= 1,61km 
I ft2 =O, 0929m2 
lin2 = 6,45.10-4m2 = 6,45cm2 
!km !OOOm 
-=-- --7 
h 3600s 
11: = 3,2s8ft e !km 
h 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 8 
» Tempo. 
1h = 60 min = 60( 60s) = 3600s 
1d = 24(3600s) = 86400s 
1ano ~365(86400s) = 3,15.107 s 
1.6- NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
Quando efetuamos medidas de algumas grandezas fisicas podemos obter valores muito grandes 
ou muito pequenos. Para manipularmos esses números, os quais têm uma grande quantidade 
de zeros, a comunidade cientifica utiliza a notação cientifica que faz uso das potências de 10 
com expoente inteiro. 
Em notação cientifica, um número deverá ter apenas um algarismo não-nulo (1 ao 9) antes da 
virgula. 
EXEMPLO 2- Expresse os seguintes números em notação cientifica: 
a) 980 = 9,8.102 (A virgula é deslocada para a esquerda) 
b) 180 ÓOO 000 = 1,8.10' (A virgula é deslocada para a esquerda) 
c) 0,000 000 23 = 2,3.10-' (A virgula é deslocada para a direita) 
d) 87,9= 8, 79.10+1 (A virgula é deslocada para a esquerda) 
1.7- ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
Um algarismo significativo é qualquer algarismo, inclusive o zero, desde que o mesmo não seja 
usado para indicar a localização de um ponto decimal do número. Os algarismos significativos 
de uma medida são todos os algarismos lidos com certeza mais o primeiro algarismo duvidoso. 
Tomemos como exemplos: 
5, 77789 ~ O algarismo duvidoso é o 9; 
34,79234320 ~ O algarismo duvidoso é o O; 
100,000 ~ O algarismo duvidoso é o último zero 
Devemos tomar cuidado ao realizarmos uma mudança de unidades para não escrevermos zeros 
que não são significativos. Por exemplo, se desejamos escrever em gramas a medida de uma 
massa de 8,6 kg. Esse valor em gramas passa a ser escrito como 8600 g. Em 8,6 kg, o valor da 
medida possui dois algarismos significativos sendo 6 o algarismo duvidoso, mas em 8600 g, o 6 
dá a idéia de ser um algarismo correto. Assim, para evitar esse tipo de equívoco escrevemos o 
valor da medida em notação de potência de 10. Dessa forma, a mudança de unidade é realizada 
e o valor é reescrito como 8,6.103 g, o que evidencia o algarismo 6 como duvidoso. 
Um algarismo significativo é qualquer algarismo, inclusive o zero, desde que o mesmo não seja 
usado para indicar a localização de um ponto decimal do número. · 
A precisão de um número é determinada pelo número de dígitos usados para representar esse 
número. Por exemplo, a barra mostrada na figura 3 tem o comprimento compreendido entre 2 e 
3 cm. Nesse caso, qual o algarismo que viria depois do 2? Embora a régua tenha a menor divisão 
de escala em 1 cm, é razoável fazer. uma subdivisão mental do intervalo compreendido entre 2 e 
Prof. Altamiro Quevedo Schecyenski 9 
\) 
3 cm para avaliar o algarismo procurado, e para algumas pessoas pode ser 7 e para outras 8. 
Assim, podemos representar o resultado como 2,7 cm ou 2,8 cm. Para esses resultados, o 
algarismo 2 da medida foi lido com certeza, porém o 7 e o 8 não. Para que o resultado fosse 
avaliado com uma maior exatidão, seria necessário subdividir a escala em centésimos da menor 
divisão do que aquela já utilizada, embora na maioria das escalas, a avaliação é realizada até 
décimos da menor divisão da escala. 
1 3 .s 
Figura 3- Régua graduada em cm para a medição de uma barra. 
Para identificarmos o número de algarismos significativos de uma medida devemos observar a 
posição dos zeros que aparecem na representação de uma medida. 
~ Zero à esquerda. : Zero à esquerda do primeiro algarismo diferente de zero não 
constituem algarismos significativos. Por exemplo, a medida L = 6, 85cm 
transformada para quilómetros é L= O, 0000685/an. Inicialmente a medida tinha 3 
algarismos significativos, porém em km, a medida apresenta zeros à esquerda do 
algarismo 6. Os zeros à esquerda do algarismo 6 servem apenas para posicionar a 
virgula e, portanto, a medida continua tendo 3 algarismos significativos. 
~ Zero à direita. O algarismo zero só será significativo se estiver à direita de um 
algarismo significativo. Por exemplo, a medição da massa de um fragmento de 
concreto foi de 0,0401g. Esse valor apresenta 3 algarismos significativos, poisos 
zeros à esquerda do algarismo 4 não são significativos. 
~ Zeros entre algarismos de 1 a 9. Os zeros situados entre os algarismos de 1 a 9 são 
sempre significativos. Por exemplo, a medida do comprimento do trecho ·de uma 
rodovia foi de 3205,3 m. Para esse valor, todos os algarismos são significativos. 
EXEMPLO 3- Determine quantos algarismos há em cada uma das medidas abaixo: 
a) 702cm: 
b) 36,00 kg: 
c) 0,00815 m: 
d) 0,05080 L: 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 10 
1.7.1- OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
Ao resolvermos exercícios em Quúnica, Física e engenharias, realizamos operações 
envolvendo medidas e os resultados devem ser expressos com algarismos significativos 
somente. Para tal, devemos, inicialmente aplicar a regras (ou critérios) de arredondamento, e, 
obedecer algumas regras que serão abordadas a seguir. 
1.7.1.1- ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS 
Quando trabalhamos com medidas cujos valores são expressos com diferentes números de 
algarismos significativos, o resultado deve ser padronizado para que seja expresso com apenas 
um algarismo duvidoso. 
Para abandonarmos os algarismos que estão em excesso na medida, é necessário verificar se o 
último algarismo a sr mantido deverá ser acrescido de uma unidade ou não. 
~ Se o primeiro algarismo a ser abandonado é igual ou superior a 5. Nesse caso, o 
último algarismo mantido será acrescido de uma unidade. Por exemplo, 83,55, passa a 
ser escrito como 83,6. 
~ Se o primeiro algarismo a ser abandonado é inferior a 5. Nesse caso, o último 
algarismo mantido permanecerá inalterado. Por exemplo, 83,23, passa a ser escrito 
como83,2. 
1.7.1.2- ADIÇÃO E SUBTRACÃO 
Quando somamos números devemos, inicialmente, observar qual das parcelas possui o menor 
número de casas decimnis. levando em consideração os algarismos significativos, o resultado 
deve manter a precisão do operando de menor precisão. Por exemplo, desejamos adicionar as 
seguintes parcelas: [2807,5 + 0,0648 + 83,645 + 525,35) = ? 
Inicialmente vamos ajustar as parcelas para que fiquem com apenas ui:na casa decimal. Assim, 
os valores das parcelas acima ficam [2807,5 + 0,1 + 83,6 + 525,4 ) = 3416,6. Portanto o último 
algarismo significativo do resultado deve estar na casa dos décimos. 
Para a subtração, adota-se o mesmo critério empregado na adição. 
EXEMPLO 4- Realize as seguintes operações: 
a) 16,8 cm + 1,432 cm + 0,679 cm+ 15,689 cm = 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 11 
b) 3,2 km + 5,28 km+ 0,5678 km + 978,654 km = 
c) 326,489 kg- 69,34 kg- 0,0378 kg- 5,3978 kg= 
d) 0,769 g - 324,598 g -12,37 g = 
1.7.1.3- MULTIPLICACÃO E DIVISÃO 
Em uma multiplicação, levando em consideração os algarismos significativos, o resultado deve 
ter o mesmo número de algarismos significativos do menor fator envolvido na operação. Por 
exemplo, 3,67 x 2,3 = 8,441. Como o fator que possui o menor número de algarismos 
significativos é 2,3, devemos manter, então, no produto, dois algarismos. Portanto, o produto 
deve ser expresso como 8,4. 
EXEMPLO 5. Realize as seguintes operações: 
a) 16,8 cm x 1,432 cm x 0,679 cm x 15,689 cm = 
b) 69,34m = 
2,5s 
c) 0,635m = 
245s2 
1.8-0RDEM DE GRANDEZA 
Ao trabalharmos com grandezas físicas, muitas vezes não há interesse em conhecermos, com 
precisão, o valor da grandeza. Nesses casos, é suficiente conhecermos a potência de 10 com 
expoente inteiro que mais se aproxima de seu valor. Essa potência de 10 é denominada de 
ordem de grandeza do número que .representa uma determinada medida. Considere que N é o 
valor exato ou aproximado da medida. 
Para obtermos a ordem de grandeza de um número, inicialmente, devemos escrevê-lo em 
notação científica. 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 12 
Para avaliarmos se a ordem de grandeza de um número é 10" ou 10"+1, devemos comparar o 
valor do número N com 5,5, que é a média aritmética entre 1 e 10. Desta forma, o valor de N é 
avaliado da seguinte forma: 
» INI ~ 5,5 ~ A ordem de grandeza de N é 10". 
» INI > 5,5 ~ A ordem de grandeza de N é to•••. 
EXEMPLO 6- Determine a ordem de grandeza dos seguintes números: 
a) 3,5.lo' ~N=3,5~INI~5,5logoa0.G.é to' 
b) 6,7.106 ~N=6,7~INI>5,5logoaO.G.é to' 
EXEMPLO 7- Determine a ordem de grandeza dos seguintes números: 
a) 920.103 = 
b)0,0092= 
c) 0,835.10-2 = 
d) 83,5.10-4 = 
1.9- GRANDEZAS fÍSICAS ESCALARES E VETORIAIS 
Em nosso cotidiano estamos acostumados a informações referentes à grandezas fisicas como 
temperatura, tempo, distância, velocidade, massa, etc. Tais grandezas são divididas em dois 
grupos: grandezas fisicas escalares e vetoriais. Iremos, na seqUência, detalhar cada um desses 
grupos. 
1.9.1- GRANDEZAS fÍSICAS ESCALARES 
As grandezas fisicas escalares ficam perfeitamente definidas apenas com o valor numérico 
acompanhado de sua unidade de medida. Por exemplo, supomos que uma informação dada 
através da televisão, em que o repórter diz: Em Florianópolis são 15h30min e a temperatura é de 
38° C. Essas informações são suficientes e não deixam dúvidas. 
Alguns exemplos de grandezas fisicas escalares: 
m = 8 kg (uma massa igual a 8 quilogramas); 
T = 48 OC (uma temperatura igual a quarenta e oito graus Celsius); 
A= 35m2 (uma área igual a trinta e cinco metros quadrados); 
V= 64m3 (um volume igual a sessenta e quatro metros cúbicos); 
t = 34 s (um tempo igual a trinta e quatro segundos). 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 13 
1.9.2- GRANDEZAS FÍSICAS VETORIAIS 
Ao contrário das grandezas físicas escalares, as grandezas vetoriais necessitam além de um 
valor numérico (valor absoluto) e uma unidade, necessitam também, de uma direção e um 
sentido para que fiquem perfeitamente determinadas. Vamos abordar o conceito de vetor e suas 
caracteristicas e também as operações que envolvem grandezas físicas vetoriais. 
Alguns exemplos de grandezas físicas vetoriais: 
1.9.2.1-VETOR 
v=30mls 
a=23mls2 
T=850N.m 
F=IOOON 
Um vetor é um símbolo matemático representado graficamente por um segmento de reta 
orientado. Vetor é um termo oriundo do latim vector que significa condutor. Não tem 
significado físico. Possui três características: o módulo, a direção e o sentido, conforme mostra a 
-> 
figura 4. Para representarmos um vetor, usamos as notações a ou a que significam "vetor a". 
Qualquer letra pode representar uma grandeza física vetorial desde que apresente o segmento 
de reta orientado sobre a letra ou como em alguns livros, usa-se a notação da letra em negrito. 
-> 
Origem a Extremidade 
-> 
Figura 4- Representação gráfica de um vetor a • 
:» Módulo. O modulo (intensidade, magnitude, valor) de um vetor é numero real e positivo 
acompanhado de uma unidade de medida. Para representarmos o módulo de um vetor, 
podemos usar qualquer tipo de letra, maiúscula ou minúscula, para a notação. Por 
exemplo a= 30.u, A= 30.u, ~~~ = 30.u ou IA.I = 30.u. Na representação gráfica, o módulo de 
um vetor é dado pelo tamanho do segmento de reta orientado medido desde sua origem 
até sua extremidade. 
-> 
Origem a Extremidade 
... 
Figura 5- Representação gráfica de um vetor a • 
Prof. Altamiro Ouevedo Schçrvenski 14 
);> Direção. A direção de um vetor é dada pelo ângulo formado por este em relação a um 
_, 
semi-eixo coordenado escolhido. Por exemplo, na figura 6, a direção do vetor a pode ser 
indicada como 60° em relação ao semi-eixo positivo de y ou 40° em relação ao semi-eixo 
positivo de x. 
Devemos prestar muita atenção para a direção de 'um vetor que admite dois sentidos. 
y 
_, 
~~=5~ a 
--l'I~!:...,;L:JL..-= 4.:.;:_0° ____ X 
_, 
Figura 6- Sistema de eixos coordenados com um vetor a com as 
direções no primeiro quadrante em relação aos eixos x e y. 
);> Sentido. O sentido de um vetor é dado sempre· a partir de sua origem para sua 
extremidade. Só é possível expressar o sentido do vetor,em palavras (da esquerda para a 
direita- Fig. 7(a); da direita para a esquerda- Fig. 7(b); de baixo para cima - Fig. 7(c) ou 
de cima para baixo- Fig. 7(d)), quando a direção do mesmo for coincidente com qualquer 
um dos semi~eixos coordenados. Quando o vetor formar um ângulo diferente de 0°, 90°, 
180°, 270° ou 360° o sentido do mesmo deverá ser dado através da representação gráfica 
identificando com "letras" sua origem e extremidade, e só assim o sentido poderá ser 
dado de" A para B", conforme mostra a Fig. 7(e). 
y y y 
_, _, _, 
a a a 
o X o X o X 
7(a) 7(b) 7(c) 
y y 
_, 
_, 
o a X 
a 8 
A ~~· 
o X 
7(d) 7(e) 
_, 
Figura 7- Vetor a apresentado com vários sentidos. 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 15 
1.9.2.2 -VETOR OPOSTO 
.... 
O vetor oposto de um dado vetor a , por exemplo, é definido como sendo um vetor que tem o 
mesmo módulo, mesma direção, porém sentido contrário, ou seja, é defasado de 180° em 
.... .... 
relação ao vetor a . O vetor oposto é representado por -a, conforme mostra a figura 8. 
a 
.... 
-a 
.... ... 
Figura 8- Representação gráfica de um vetor a e seu oposto -a . 
1.9.3- OPERACÕES COM VETORES 
As operações com grandezas fisicas vetoriais regras especiais, diferentemente das grandezas 
fisicas escalares, cujas regras são estabelecidas com base nas regras aplicadas aos números reais. 
1.9.3.1- ADIÇÃO DE VETORES 
Na adição vetorial, a determinação do vetor soma ou vetor resultante de dois ou mais vetores, 
embora obedeça a regra aplicada aos números reais, pode ser tratada a partir de casos 
particulares na qual essa regra se si:inplifica. Em seguida veremos que a soma vetorial 
.... .... 
dependerá do ângulo formado entre os vetores. Sejam dois vetores a e b , formando entre si 
um ângulo 8, em que 0° :5 (J :5180°, conforme mostra a figura 9. A indicação vetorial do vetor 
soma ou vetor resultante é indicado conforme as equações (1.1) ou (1.2). 
a 
.... .... .... 
c=a+b 
........... 
R=a+b 
.... .... 
Figura 9- Representação gráfica dos vetores a e b . 
Prof. Altamiro Ouevedo Scherveuski 
(1.1) 
(1.2) 
16 
Para somarmos esses dois vetores, podemos usar a rew-a do paralelow-amo, que consiste em 
unir os vetores através de suas origens. Para isso, devemos transportá-los mantendo inalteradas 
suas características, ou seja, seu módulo, sua direção e sentido. A seguir projetamos 
(transportamos) cada um dos vetores para a extremidade do outro e por fim, traçamos o vetor 
soma ou resultante a partir da origem dos mesmos até as extremidades das projeções, conforme 
mostra a figura 10. 
a 
-> 
Figura 10- Representação gráfica do vetor resultante R usando a regra do paralelogramo. 
O vetor soma ou resultante pode ser obtido geometricamente por outro método ou regra 
denominado rew-a do polígono, que consiste em transportar um vetor colocando sua origem na 
extremidade do outro e por fim, o vetor resultante é traçado desde a origem do primeiro até a 
extremidade do segundo. Esse método geométrico pode ser aplicado à soma de vários vetores, 
sempre unindo a origem de um vetor à extremidade do outro e assim, sucessivamente. Vamos 
-> -> 
considerar os mesmos vetores, a e b conforme· mostram as figuras ll(a) e ll(b). O vetor 
resultante terá as mesmas caracteristicas do vetor resultante mostrado na figura 10. 
-> 
a 
(a) 
-> 
-> 
a 
(b) 
Figura 11- Representação gráfica do vetor resultante R usando a regra do 
polígono fechado (ou triângulo). 
Para obtermos o módulo do vetor soma ou resultante utilizamos a lei do co-seno dada pela 
equação(1.3). 
(1.3) 
Prof. Altarniro Ouevedo Schervenski 17 
Quando traballiamos com três vetores usamos, freqüentemente, a lei do seno, dada pela 
equação(1.4), a qual estabelece uma relação entre os módulos e ângulos dos vetores em 
operação, conforme mostra a figura 12. 
A B c 
--=--=--
sena senb senc 
B 
A 
Figura 12- Representação gráfica de um triângulo formado por três vetores 
que formam ângulos a, b e c entre eles em que se aplica a lei dos senos. 
(1.4) 
A lei dos senos permite que se obtenha a direção do vetor resultante quando conhecemos os 
módulos e ângulos dos vetores que formam um triângulo conforme mostra a figura 12. 
Quando os vetores são ortogonais, conforme mostra a figura 13, direção do vetor resultante 
pode ser obtida através da tangente do ângulo, através da equação(1.5). 
-> 
b 
-> 
a 
Figura 13- Representação gráfica da adição vetorial de dois vetores 
ortogonais, utilizando a regra do paralelogramo. 
() cat.oposto () sen() () . 1 ( sen8). tg -Hg =--~ =tg --
cat.adjacente cos () cos () 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 
(1.5) 
18 
As relações trigonométricas cosO, senO e tgO são válidas somente quando o ângulo O for 
medido em relação ao semi-eixo x positivo. Se o ângulo O for medido em relação a outro eixo, é 
necessário trocar as funções trigonométricas dadas pela equação(1.5). 
~ ~ ~ 
Consideremos dois vetores, F, e F 2 . As características do vetor resultante, F R, podem ser 
obtidas através dos métodos geométrico e analítico. O módulo e a direção do vetor resultante 
podem ser obtidos utilizando instrumentos como ~ e transferidor. respectivamente. 
Analiticamente, podemos obter as características do vetor resultante através das leis do co-seno, 
~ ~ 
equação(1.3), e seno, equação(1.4), cujos ângulos formado entre os vetores F, eF2 encontram-se 
em valores intermediários dos quadrantes, 0° e 90°, 90° e 180°, 180° e 270°,270° e 360°. 
~ ~ 
Como exemplo, vamos considerar os vetores F, eF2, que formam entre si diferentes ângulos. 
~ ~ . 
F, eF2 representam forças que agem sobre um determinado corpo, cujos módulos são 
IF,I=100.N ejF2l=SO.N. Iniciaremos nosso exemplo considerando que as forças aplicadas ao 
corpo são paralelas. Na seqüência, iremos aumentando o ângulo entre elas e poderemos 
verificar que ao passo que aumentamos o valor do ângulo entre elas, o módulo do vetor força 
resultante diminui. 
A ~ ~ ~ Angulo de 0° entre os vetores F, eF2. Na figura 14 (a) os vetores são paralelos, e o 
módulo do vetor resultante será máximo, conforme mostra a figura 14(b) . 
~ ... ... 
FI F, F2 
.... 
F2 · 
~ ~ ~ ~ 
Figura 14- (a) Vetores F, eF2. (b) Soma vetorial dos vetores F, eF2 a 
representação gráfica do vetor resultante. 
- O módulo do vetor força resultante é obtido através da lei dos co-senos, considerando 
que cos 0° = 1, tem-se: 
jF.j = ~ \100\2 +\50\2 +2[100].[50]cos0 
jF.j = .J(10000)+(2500)+(10000) = 150.N 
Prof. Altanúro Ouevedo Schervenskj 19 
Qualquer vetor pode ser representado num sistema de eixos coordenados. A representação dos 
... ... 
vetores F, e F2 é mostrada na figura 15(a) e o vetor resultante, na figura 15(b). 
y y 
.... ... 
F2 F. 
o X o X 
(a) (b) 
... ... 
Figura 15- (a) Vetores F, e F2. (b) Representação gráfica do vetor resultante 
- A direção do vetor força resultante pode ser considerada como 0° ou horizontal. O 
sentido do vetor força resultante é "da esquerda para a direita" ou simplesmente "para a 
direita", conforme mostram as figuras 14(b) e 15(b). 
A ... ... ~ Angulo de 45° entre os vetores F 1 e F 2. 
(a) (b) (c) 
... ... 
Figura 16- (a) Vetores F, eF2. (b) Soma vetorial com a representação dada pela regra 
do paralelogramo. (c) Soma vetorial com a representação dada pela regra do polígono 
(ou triângulo). 
Unindo-os pela origem, podemos da mesma forma que fizemos com os vetores paralelos, 
representá-los num sistema de eixos coordenados, conforme figura 17(a). O vetor força 
resultante é obtido utilizando a regra do paralelogramo, conforme mostra a figura 17(b). 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 20 
y y 
45° 
X o 
(a) (b) 
~ -> 
Figura 17- (a) Vetares F1 eFz. (b) Representação do vetor forçaresultante dada pela 
regra do paralelogramo. 
- O módulo do vetor força resultante é obtido através dà lei dos co-senos, considerando 
que cos 45° =O, 71, tem-se: 
li. I=~ itoOI2 + ISOI2 + 2[100].[50]cos45° 
li. I= ~(10000)+(2500)+(10000)(0, 71) = 140.N 
-Para determinar a direção do vetor força resultante, aplica-se a lei dos senos, equação(1.4). 
140 
senl35° 
50 
~sena 
sena 
50senl35° ~ a= 14, 63• 
140 
-> -> 
-A direção do vetor força.resultante obtida pelos vetores F, eF2 que formam entre si um 
ângulo de 45° é aproximadamente 14,63°, conforme mostra a figura 17(b). 
- O sentido do vetor força resultante é dado geometricamente pelo vetor, conforme 
figura 17(b), não sendo mais possível expressar em pàlavras. 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski. 21 
I 
A ~ ~ 
)> Angulo de 90° entre os vetores F, e F 2. [Teorema de Pitágoras] 
(a) (b) (c) 
~ ~ 
Figura 18- (a) Vetores F, e F2 ortogonais entre si. (b) Representação do vetor força 
resultante dada pela regra do paralelogramo. (c) Representação do vetor força 
resultante dada pela regra do polígono (ou triângulo). 
- O módulo do vetor força resultante é obtido através da lei dos co-senos, considerando que 
cos90° =O, tem-se: 
IF.I = ~ llOOI2 +15012 
IF.I = ~(10000)+(2500) = 111,80.N 
- A direção do vetor força resultante, pode ser obtida através da tangente do ângulo, 
equação(1.5), ou através da lei dos senos, equação(1.4). v amos obter a di.reção do vetor força 
resultante pelos dois métodos e verificarmos que os mesmos são equivalentes para esse fim. 
Lei dos senos: 111,80 
sen90° 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 
~ -t sena= 50sen90o -ta= 26, 57o 
sena 111,80 
22 
Tangente do ângulo: 
B- cat.oposto 8 _ senB 8 __ 1(senB) 8 _ -1( 50N )- 26 57o tg - -Hg ---~ -tg -- ~ -tg -- = , 
cat.adjacente cos B cos B lOON 
- O sentido do vetor força resultante é dado geometricamente pelo vetor, não sendo mais 
possível expressar em palavras. 
' ~ ~ ~ Angulo de 180° entre os vetores F 1 e F 2 • Quando osvetores são antiparalelos, o módulo 
do vetor resultante será mínimo. 
(a) (b) (c) 
... -') -+ -+ 
Figura 19- (a) Vetores F 1 e F 2 • (b) Soma vetorial dos vetores F 1 e F 2 com o vetor 
., ~ 
resultante obtido pela lei dos co-senos vetor. (c) Soma vetorial dos vetores F1 e F2 com 
o vetot resultante obtido pela união da origem de um com a extremidade do outro. 
~ ~ 
A representação dos vetores F1 eF2, antiparalelos, é mostrada na figura 20(a). O vetor 
resultante tem as características mostradas na figura 20(b). 
y y 
_, 
F2 
o X o X 
(a) (b) 
~ ~ 
Figura 20- (a) Vetores F1 e F2 anti'paralelos. (b) Representação gráfica do vetor 
., 
resultante F • . 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 23 
- O módulo do vetor força resultante é obtido através da lei dos co-senos, considerando que 
cos 180° = -1, tem-se: 
IF.I=~ 110012 +I50I2 +2(100)(50)(-1) 
li. I= .,/(10000)+(2500)-(10000) = 50.N 
- A direção do vetor força resultante pode ser considerada como 0° ou horizont8I e o sentido 
é "da esquerda para a direita" ou simplesmente "para a direita", conforme mostra a 
figura 20(b). 
1.9.3.2- SUBTRACÃO DE VETORES 
Na subtração vetorial, a determinação do vetor resultante de dois ou mais vetores segue os · 
mesmos prindpios adotados para a adição vetorial. A subtração vetorial também dependerá do 
-->· __, 
ângulo formado entre os vetores. Sejam dois vetores a e b , formando entre si um ângulo 8, 
conforme mostra a figura 21. A indicação vetorial para o vetor resultante é dada pelas equações 
. (1.6) ou (1.7). 
__, 
a 
__, __, __, 
c=a-b 
__, __, __, 
R=a-b 
(1.6) 
(1.7) 
__, __, 
Figura 21- Representação gráfica dos vetores a e b . 
Na subtração vetorial são aplicadas as mesmas regras utilizadas na adição. A regra do 
paralelo1Yamo e a regra do polígono (ou tríân~lo). Para obtermos a diferença entre vetores, 
devemos realizar uma rotação de 180° no vetor que desejamos subtrair. Para os vetores, 
__, __, -+ 
mostrados na figura 22(a), tem-se c =a- b . Nesse caso, estamos aplicando, geometricamente, a 
__, __, -+ 
regra do paralelogramo, na qual usamos o vetor oposto, -b. A diferença entre os vetores a e b 
pode ser obtida também aplicando a regra do poügono, conforme mostra a figura 22(b). 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 24 
_, 
a 
~ 
~ 
(a) 
~ 
~ 
~ 
~ 
~ 
_, 
(b) 
Figura 22- Representação gráfica da subtração vetorial. (a) Aplicando a regra 
do paralelogramo. (b) Aplicando a regra do polígono. 
-+ ~- ~ -+ -+ 
Consideremos como exemplo de subtração vetorial, F• = F, - F2 , os mesmos vetores F, e F 2, 
aplicados ria adição vetorial, cujos módulos são IF•I=100.N e IF2I=SO.N. A figura 23 mostra 
geometricamente o módulo, a direção e o sentido do vetor força resultante. Para quantificarmos 
essas características vamos aplicar as leis dos co-senos, equação(1.3), e dos senos, equação(1.4), 
considerando que o ângulo entre eles, inicialmente, ~ 35°. 
_, 
F2 
Figura 23- Representação gráfica de uma subtração vetorial aplicando a regra 
do paralelogramo. 
_, _, 
-O ângulo entre o vetor F, e F2 (vetor oposto) é r=180° +35° =215°. Considerando que 
o cos 215° = -ü,82 , o módulo do vetor força resultante é dado por: 
IF.I = ~ ltüOI2 + I50I2 + 2(100)(50)( -o, 82) 
IF.I = ~(10000) +(2500)- (8200) = 65,51.N 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 25 
-Para determinar a direção do vetor força resultante; aplica-se a lei dos senos, Eq.(1.4). 
65,57 
sen35° 
50 
sena 
~sena 
conforme mostra a figura 24. 
50sen35° ~ a= 25,94° em relação ao semi-eixo x positivo 
65,57 
_, 
Ft 
, 
, 
_, 
Figura 24- Representação gráfica do vetor resultante, F R, aplicando a regra 
do paralelogramo. 
_, 
De acordo com a figura 24, a direção do vetor F R pode ser indicada como a= 25,94° em relação 
ao semi-eixo x positivo, ou ainda a= 64,06° em relação ao semi-eixo y negativ~. 
- O sentido do vetor força resultante está indicado, geometricamente na figura 24. Como a 
direção não está coincidindo com nenhum dos semi-eixos coordenados, não é mais possível 
expressar o sentido do vetor em palavras. 
1.9.3.3- COMPONENTES DE UM VEI'OR 
A componente de um vetor é a projeção desse vetor sobre um determinado eixo. Por exemplo, 
_, 
na figura 21, o vetor a tem duas componentes. A projeção sobre o eixo x é a componente ax e a 
projeção sobre o eixo y é a componente está sobre o a;.. No triângulo retângulo formado pelas 
_, 
componentes ax e ay, a hipotenusa representa o módulo do vetor a . 
y 
X 
_, 
Figura 21- Vetor a com suas componentes retangulares sobre os eixos x e 
y. 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 26 
--> 
As componentes do vetor a são obtidas mediante as relações trigonométricas para um triângulo 
retângulo o qual tem a hipotenusa formando um ângulo 8 com a horizontal, conforme mostra a 
figura 21. Da figura 21 obtemos as componentes ax e ay a partir das relações trigonométricas 
. cat.adjacente cat.oposto . . básicas cos 8 = . . e sen8 . . Considerando que o cateto adJacente ao ângulo 
hzpotenusa hipotenusa 
8 representa a componente ax e a hipotenusa, o módulo do vetor 1;1, tem-se então a 
componente ax dada pela equação(1.8). 
(1.8) 
Da mesma forma que foi obtida a componente ax, considerando, agora, que o cateto oposto ao 
ângulo 8 é representado pela componente ay. Dessa forma, a componente ay é dada pela 
equação(1.9). 
ay =l;lsen8 (1.9) 
A partir das componentes retangulares de um vetor é possível determinar o módulo e o ângulo 
8 formado com o eixo x do sistema de eixos coordenados, através das equações(1.10) e (1.11), 
respectivamente. 
(1.10) 
(1.11) 
1.9.3.3.1- SOMA VETORIAL ATRAVÉS DAS COMPONENTES DE VETORES 
Uma maneira simples de realizarmos uma soma vetorial éatravés das componentes vetoriais, 
mas, para isso, é necessário que os vetores estejam representados num sistema de eixos 
coordenados. Nesse texto, vamos nos restringir a representação vetorial apenas nos eixos x e y. 
Por isso, as próximas seções terão um tratamento unicamente bidimensional. 
Para obtermos o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante devemos realizar as seguintes 
etapas: 
1. Calcular, individualmente, as componentes retangulares em x e y de cada vetor; 
2. Obter o vetor resultante em cada uma das direções, x e y; 
3. Calcular o módulo do vetor resultante; 
4. Calcular a direção do vetor resultante através da tangente do ângulo; 
5. Utilizar um sistema de eixos coordenados xy para representar as componentes 
retangulares do vetor resultante e, finalmente, traçar o vetor resultante. 
Prof. Altamiro Ouevedo Scheryenski 27 
EXEMPLO 8- Um avião decola com velocidade de 200,00 m/s e forma com a horizontal um 
ângulo de 35°, conforme mostra a figura abaixo. Considere cos35° = 0,819, sen35° = 0,574 e 
determine: 
y 
o X 
a) As componentes retangulares ou cartesianas v x e Vy. 
Vx = 200,00cos35° ~ Vx = 200,00(0,819) Vx =163,80.m/ s 
Vy = 200,00sen35° -.7 Vy = 200,00(0,574) Vy = 114,80.m/ s 
b) Verifique, a partir dos valores das componentes obtidas em (a), se os valores estão corretos. 
c) Verifique, a partir dos valores das componentes obtidas em (a), se a direção (ângulo) do 
vetor está correta. 
1 8 114,80 ~e=t _,(114,80)~ 8 = 35• g 163,80 g 163,80 
EXEMPLO 9-Para os vetores P., e F2 cujos módulos sãoiF,I =100.N e IF21=50.N, determine: 
{ Adotepara os cálculos (cos55° =0,57);(sen55° =0,82); (cos35° =0,82);(sen35° =0,57) ou 
(cos215° =-ü,82);(sen215° =-ü,57)1 
y 
o X 
--> 
F2 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervçpski 28 
_, _, 
a) As componentes retangulares ou cartesianas dos vetores F, e F 2. 
F;x = 100cos0° ~ F;x. = lOO,OO.N 
F;, = 100sen0° ~ F;, =O 
_, 
As componentes de F 2 ser obtidas considerando os ângulos indicados pela figura ou ainda 
através da soma de ângulos, 8=180°+35°=215°, que resultará em componentes com iguais 
valores conforme cálculo demonstrado abaixo. Adotando o ângulo de 215°, o sinal. das 
componentes já estará presente nos resultados. 
. ou 
F2X=50cos35° ~F2x=4l.N F2,=50cos55° ~F2,=28,50.N 
F2, = 50sen55° ~ F2X = 4l.N 
F2x =50cos215° ~ F2 x =-41,00.N 
F2, = 50sen215° ~ F2, = -28,50.N 
F2, =50sen35° ~F2, =28,50.N 
b) Omódulodovetorresultante IF•I· 
e 
FRX .= [100,00-41,00] ~ FRX = 59,00.N F., =[-28,50] ~ F., =-28,50.N 
IF:I = ~(59,00)2 +( -28,50)2 ~ IF:I= 65,52.N 
_, 
c) A direção e o sentido do vetor resultante, F • representando-o num sistema de eixos 
coordenados xy. 
t 8= -28,50 ~8=t _,(-28,50)~8=-25 78" 
g 59,00 g 59,00 , 
y 
o X 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 29 
-> -> -> 
EXEMPLO 10- Para os vetores a, b e c, cujos módulos são a= 20.m, b = 30.m e c= lS.m, 
determine: 
Const ere: ; "d (cos30° = 0,87) (cos35° = 0,82) (cos50° = 0,64) 
. sen30° = O, 50 sen35° = O, 57 sen50° = O, 77 
y 
-> 
b 
30° 
X 
-> 
c 
-> -> -> 
a) As componentes retangulares ou cartesianas dos vetores a , b e c . 
b) O módulo do vetor resultante. 
c) A direção e o sentido do vetor resultante, representando-o num sistema de eixos coordenados 
xy. 
y 
o X 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 30 
1.9.3.4- VETO R UNITÁRIO OU VERSO R 
Uma grandeza vetorial pode ser representada através de vetores unitários. Um vetor unitário é 
também denominado versar. Tem módulo unitário(= 1), sem dimensão ou unidade, cuja função 
é especificar uma direção. 
Um vetor unitário ou versor é obtido, matematicamente, do vetor correspondente através da 
equação(1.12). 
-> 
(1.12) 
A representação de um vetor, em notação de vetor unitário, tem como objetivo facilitar a 
descrição de uma direção no espaço. Abordaremos a notação de vetor unitário 
tridimensionalmente, embora, em nosso curso, nos restringiremos ao tratamento bidimensional. 
As componentes de um vetor, escrito em notação de vetores unitários, são representadas pelas 
letras i, i e k, que indicam as direções x, y e z, respectivamente, conforme mostra a figura 22. 
-> A 
Podemos representar um vetor unitário, além da notação em negrito da seguinte forma: i ou i , 
-+ " ... " -+ -+ -+ -) j ou j e k ou k . Podemos expressar um vetor tridimensional como a = ax i+ ay j+ az k , onde 
-+ -+ -+ -+ 
ax i , ay j e az k são as componentes vetoriais de a , e ax , ay e 11z suas componentes escalares. 
y 
-> 
j v -> 
i 
-> 
k o X 
z 
Figura 22- Vetores unitários i, i e k num sistema de coordenadas 
retangulares. 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 31 
.... .... .... 
Consideremos o vetor bidimensional F = ( Fx) i+ ( F,) j , localizado no plano xy, conforme 
.... 
mostra a figura 23. O produto das componentes, ( Ax ) pelo vetor unitário i , e (A.) pelo vetor 
.... 
unitário j, representa a componente paralela aos eixos x e y, respectivamente. 
y 
.... 
Figura 23- Componentes vetoriais do vetor F num sistema de 
coordenadas retangulares. 
1.9.3.4.1· SOMA DE VETORES UNITÁRIOS OU VERSORES 
Na seção 1.9.3, abordamos as operações envolvendo vetores. Tais operações podem ser 
realizadas através dos métodos geométricos (gráficos) ou analíticos. Podemos utilizar os 
mesmos métodos para obtermos operações de adição e subtração de vetores os quais estão 
representados em notação de vetores unitários. No exemplo 9, vamos operar analiticamente 
através de suas componentes retangulares para obtermos o módulo, a direção e o sentido do 
.... .... .... 
vetor força resultante, F• = F; + F2 • 
.... .... .... 
EXEMPLO 11- Consideremos como exemplo, os vetores p; = ( 6N) i+ ( 3N) j e 
.. .... .... 
F2 = ( -2N) i+ ( 4N) j, os quais representam forças que agem sobre um determinado corpo . 
.... .... .. 
V amos determinar a força resultante, F. = F; + F2 , através da combinação das componentes em 
cada direção (eixo). 
~ ~ ~ ~ ~ 
F• ={(6N) i+(3N)j}+{(-2N) i+(4N)j} 
.. .... .... 
F• ={(6N)+(-2N)l i+{(3N)+(4N)} j 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 32 
_, _, _, 
F. ={4N) i+{7N) j [Vetorforça resultante em notação de vetares unitários] 
_, 
O módulo do vetor força resultante F• , é obtido através da soma das componentes do vetor 
força resultante: 
_, 
A direção e o sentido do vetor força resultante, F• , são indicados na figura 24. 
( 7N) _ (7N) tg8= 4N -t8=tg I 4N -t8=60,26° 
Podemos indicar a direção em função dos eixos coordenados x ou y. Em relação ao semi-eixo x 
positivo, a direção é (J = 60,26°. Em relação ao semi-eixo y positivo, a direção é p = 29,74°. 
y 
_, 
0 {4N) i x 
_, 
Figura 24- Componentes vetoriais do vetor F• num sistema de 
coordenadas retangulares. 
-+ -+ -+ -+ -+ -+ 
EXEMPLO 12- Considere os vetores A= ( 2, 00) i+ ( 3, 00) j , B = ( 5, 00) i- ( 4, 00) j , contidos no 
_, _, _, 
plano xy, e determine o módulo, a direção e o sentido do vetor diferença, C= A- B, 
representando-o num sistema de eixos coordenados. 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 33 
1.9.3.5- PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETO R 
O produto de um escalar (número real) por um vetor, equação(1.13), resulta em outro vetor com 
alteração somente no módulo, ou no sentido do vetor, ou ainda em ambos. \ 
_, _, 
a=n.v 
_, _, 
~· Módulo: n = 3 -+ a =[3] v. 
v 
_, _, 
a =[3] v 
_, 
~ Direção: A mesma do vetor v se n *O. 
_, 
~ Sentido: O mesmo de v se n>O: n=3 
v 
.. 
Contrário a v se n <O : 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 
-> 
v 
_, _, 
a =[3] v 
n=-3 
-> .. 
a =[-3]v· 
(1.13) 
34 
-> -> 
EXEMPLO 13- Considere os vetores F; e F2 , cujos módulos são F; = 2N e F2 =lN, e obtenha o 
-> -> -> 
vetor força resultante considerando F• = 2 F; +3 F2 • Então temos que o módulo do vetor força 
resultante é IF.I=~(4)2 +(3)2 =5 N. ---+ -> Fz -> Fz 
-> -> 
F; F; 
1.9.3.6- PRODUTO ESCALAR 
O produto escalar é bastante utilizado na descrição de grandezas físicas tais como o trabalho 
mecânico, energia potencial gravitacional, potencial eléi:rico, fluxo elétrico, fluxo magnético, 
entre outras, as quais serão abordadas ao longo das disciplinas de Fisica. 
O produto entre vetores não pode seguir exatamente as mesmas regras da álgebra dos escalares. 
Para que os produtos sejam realizados, é necessário estabelecer novas regras de multiplicação. 
-> -> 
Uma dessas regras é o produto escalar entre dois vetores a e b, definido pela equação(1.14). Na 
equação(1.14), a notação ;.-; é lida como "; escalar b ", e os termos 1;1 e lbl representam os 
-> -> 
módulos dos vetores a e b que formam um ângulo 8 entre eles. O produto escalar entre dois 
vetores resulta num escalar. 
(1.14) 
-> -> 
, O produto escalar entre os vetores a e b é dado pelo produto do módulo de um dos vetores 
pela componente escalar do outro em relação ao primeiro, conforme equação(1.15). 
-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ 
a•b=(ax i+a, j+azk).(bx i+b, j+bzk) (1.15) 
-> -> 
Na figura 25, os vetores a e b fazem um ângulo 8 entre eles e cada vetor, tem uma 
componente na direção do outro vetor. 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 35 
.... .... 
Componente de b na direção de a é b cos B 
' 
' 
' 
.... 
' 
' 
' 
' 
b 
'- Componente de ; na direção de b é a cos B 
-> -> 
Figura 25- Dois vetores a e b com suas componentes projetadas na 
direção do outro vetor. 
O produto escalar entre as componentes de vetores as quais estão nas direções x, y e z, tem 
como resultado: 
.... -> 
i. i = 1 
.... -> j• j = 1 Componentes paralelas [ cos0° = 1] 
.... -> 
k•k =1 
-> .... 
-i·i =-1 
-> -> 
- j· j =-1 Componentes antiparalelas [ cos 180° =...: 1] 
-> -> 
-k·k =-1 
........ 
i•j =0 
........ 
jok=O Componentes ortogonais (Perpendiculares) [ cos90°] 
........ 
i•k =0 
-+ -+ --) -+ --) --) 
EXEMPLO 14- Determine o ângulo formado entre os vetores a =3,0 i-4,0 j e b =-2,0 i+3,0k. 
-Calculando o primeiro termo em;.-;= l;l·lblcosB: 
Prof. Altamiro Ouevedo Scheryenski 36 
~-+ ~ -+ ~ -+ 
a•b =(3,0 i-4,0j).(-2,0 i+3,0k) 
~~ ~ -+ ~ -+ ~ -+ -+ -+ 
a•b = 1 (3,0i)(- 2,0 i) J + 1 (3,0 i )(+3,0k) J +I (-4,0 j)( -2,0 i) J + {( -4,0 j)(3,0k) J 
~~ 
a•b = (-6,0) 
- Obter os módulos dos vetores para calcular o ângulo. 
(-6,0)=(~(3,0)2 +(-4,0}') (~(-2,0)2 +(3,0)2 ) cose 
(-6,0) = (5,0)(3,61)cos8 
cos8= (-6,0) -t8=109,4° 
(18,05) 
-+ -+ ~ -+ 
EXEMPLO 15- Determine o ângulo formado entre os vetores F = (-3,0N) i+(4,0N) j+(6,0N)k 
-+ -+ -+ -+ -+ 
e d=(-2,0m)i+(4,0m)k. Os conceitos físicos dos vetores F (Força), d(Deslocamento) e o 
produto entre eles (=Trabalho de umaforça) serão abordados nas próximas unidades. 
1.9.3.7- PRODUTO VETORIAL 
O produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor. É aplicado em muitas situações 
que envolvem grandezas físicas vetoriais. Dentre elas o momento de uma força, momento 
angular e força magnética sobre uma carga elétrica em movimento num campo magnético. A 
aplicação do produto vetorial envolvendo essas grandezas físicas ocorrerá nas disciplinas de 
Mecânica e Física III as quais integram um curso de engenharia. Em nosso curso de Fisica I, 
vamos aplicar apenas as operações de adição, subtração e produto escalar. 
-+ -+ --+ -+ -+ 
Define-se como produto vetorial entre dois vetores a e b e a notação axb é lida como" a 
~ ~ 
vetorial b ". O resultado desse produto vetorial é o vetor c, conforme equação(1.16). 
~ ~ __, 
c=axb (1.16) 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 37 
O módulo do vetor ; é dado pela equação(1. 17), onde ~~~ elbl são os módulos dos vetores ~ e 
-> -+ 
b , respectivamente, e 8, o menor ângulo entre eles. A orientação do vetor c é perpendicular ao 
-> -> 
plano definido por a e b, é dada pela regra da mão direita, coruorme mostram as figuras 26(a) 
e 26(b). 
Na figura 26(a), aplicando a regra da mão direita, o dedo polegar indica o sentido do vetor 
-> -> -> 
resultante, c , e os demais dedos irão rebater o vetor a sobre o vetor b , o que resultará num 
-> -> 
vetor c positivo. Aplicando a mesma regra da mão direita e fazendo o vetor b rebater sobre o 
-> -> 
vetor a , o resultado será o vetor c com sinal negativo. 
(1.17) 
O produto vetorial tem várias propriedades, porém, abordaremos nesse texto, apenas a 
propriedade não-comutativa. A aplicação dessa propriedade indica que a ordem dos vetores 
-+ -+ -+ -+ -+ -+ 
influencia no resultado. Em ax b , o vetor resultado c será positivo, c = ax b , coruorme mostra 
-+ -+ -+ -+ -+ -+ 
a figura 26(a). Se o produto realizado for bxa, o vetor resultado c será negativo, -c= bxa, 
coiÚorme figura 26(b). 
-> -> -> 
c=axb 
(a) 
-> -+ -> 
-c=bxa 
(b) 
-> -> 
Figura 26- Produto vetorial entre os vetores a e b .(a) com suas componentes 
projetadas na direção do outro vetor. 
-> -> 
Para obtermos o produto vetorial entre quaisquer dois vetores cartesianos, por exemplo, a e b , 
podemos escrever através do determinante de uma matriz, dado pela equação(1.17). O 
determinante de uma matriz 3x3 pode ser facilmente calculado pela Regra de Sarrus, que 
consiste em repetir as duas primeiras colunas à direita do determinante e multiplicar os 
elementos do determinante coiÚorme mostra o exemplo 9. 
(1.17) 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 38 
I 
EXEMPLO 16- Determine o momento exercido por uma força em relação ao pontO de aplicação 
O, considerando que os vetores força e posição são dados, respectivamente, por 
-+ -+ -+ -+ -+ -+ 
F={(200N)i-(346,4N)j er={(0,4m)i-(0,2m)j). Observe que a equação que governa essa 
.... .... .... 
grandeza física vetorial é dada por M = rx F . Assim, distribuindo os termos adequadamente 
conforme a ordem vetorial indicada pela equação do momento e aplicando a regra de Sarrus 
tem-se: 
[ 
.... 
i 
.... .... 
rXF= 0,4 
200 
.... 
j 
-ü,2 
-346,4 
.... ] [ .... k i O -'> ;xF= 0,4 
o 200 
.... .... 
j k 
-ü,2 o 
-346,4 o 
.... 
i 
0,4 
200 
.... l . j -ü,2 
-346,4 
-+ -+ -+ -+ -+ -+ { (-ü,2x0) i + (Ox200) j + (-346.4x0,4)k}- { (Ox0,4) j + (-346,4x0) i + (-ü,2x200)k }= 
-+ -+ -+ -+ -+ {(-346.4x0,4)k+(0,2x200)k} -'> rxF= (-98,56 N.m)k 
Observe que o resultado obtido pelo cálculo do determinante do exemplo 9 é um vetor cuja 
.... 
direção está em k . Esse resultado já era esperado, visto que o produto das componentes não-
-+ .... 
nulas da força com a posição estão nas direções i e j . 
Os resultados possíveis de um produto vetorial entre as componentes de vetores as quais 
estão nas direções x, y e z são: 
.... .... 
ix i =0 
.... .... 
jxj=O Componentes paralelas [ sen0° =O] 
.... .... 
kxk=O 
.... .... .... .... .... .... 
iXj=k jx i =-k 
.... .... .... 
jxk =i 
.... .... .... 
ou kx j =-i Componentes ortogonais resultam em outro vetor. 
.... .... .... .... .... .... 
kxi = j ixk=-j 
Prof. Altamiro Ouevedo Schervenski 39 
UNIDADE 2- ESTUDO DOS MOVIMENTOS 
2.1-INTRODUCÃO 
Em nossa linguagem cotidiana, a idéia de movimento tem significado muito amplo e geralmente 
ligado à nossas vidas. No entanto, em Física, a palavra movimento, assim como todas as 
palavras, adquire um significado mais preciso e restrito. A palavra "movimento" é sempre um 
conceito relativo que só tem sentido quando falarmos em' movimento de um corpo em relação a 
outro corpo. 
De maneira geral, por exemplo, a rapidez com que um carro se move deve ser aumentada ou 
diminuída, isto é, a velocidade está variando de forma acelerada ou retardada. Consideremos, 
também, outro exemplo em que uma pessoa caminhando estará acelerandoo seu ritmo de 
caminhada se passar a correr. Temos ainda, como exemplo, um automóvel em alta velocidade, 
quando o motorista frear, o mesmo estará sujeito a um retardo em sua velocidade. Outros 
termos como lento ou rápido (veloz) servem para descrever o movimento que se encontra um 
determinado corpo, sempre em situações relativas a alguma referência. 
Vamos iniciar nosso estudo sobre movimentos conceituando os termos mencionados nos 
exemplos acima através de sua descrição com rigor cientifico, mas nem por isso, eles deixarão 
de ser termos conhecidos por nós em nosso cotidiano. 
Nessa unidade, estudaremos os movimentos sem fazer relação com suas causas, ou seja, não 
abordaremos as causas que fizeram com que um corpo inicie ou interrompa seu movimento. 
Essa abordagem despida de causas que· motivaram um determinado movimento é estudada 
pela Cinemática. 
Na unidade 4 continuaremos a estudar os movimentos, mas procurando responder perguntas 
tais como: O que provoca um movimento? Há necessidade de algo para manter um movimento? 
Quais são as causas das variações que ocorrem num movimento? 
Na próxima seção, abordaremos, com rigor fisico, os termos necessários para que possamos 
estudar os movimentos a que os corpos estão sujeitos. 
2.2- PONTO MATERIAL OU PARTÍCULA 
Ao estudarmos o movimento, é comum tratar um corpo como se fosse uma particula. Um corpo 
é considerado como uma particula quando suas dimensões são muito pequenas em comparação 
com as demais dimensões envolvidas no fenômeno. Observe que nos exemplos a seguir, as 
situações nos quais se encontram os corpos deixa claro o motivo pelo qual adota-se o conceito 
de ponto material ou particula. 
~ Um navio no meio de um oceano. O tamanho do navio é muito pequeno comparado ao 
tamanho do oceano. 
~ Um automóvel com 3,5 m de comprimento, trafega numa avenida com 8 km de 
comprimento. O tamanho do automóvel é insignificante comparado ao comprimento da 
avenida. 
Em cinemática, um corpo é tratado como um ponto material ou partícula, o que simpJifica 
bastante a análise dos movimentos Por esse motivo, sempre que nos referirmos ao movimento 
de um objeto qualquer, estaremos tratando-o como se fosse~ particula. 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 40 
'' 
' 
2.3- CORPO EXTENSO 
Um corpo é denominado de corpo extenso quando suas dimensões não podem ser desprezadaS 
em relação às demais dimensões envolvidas no fenômeno. Vamos considerar o navio e o carro 
usados para exemplificar o conceito de partícula. Na situação de corpo extenso, observe os 
exemplos abaixo. 
~ Um navio atracado num porto. O tamanho do navio é menor que o tamanho do porto, 
porém poucas vezes menor. 
~ Um automóvel estacionado em uma quadra da avenida. O comprimento do automóvel, 
embora menor que o comprimento de uma quadra, não pode ser desprezado. 
2.4- REFERENCIAL OU SISTEMA DE REFER~NCIA 
Um referencial ou sistema de referência é o sistema de coordenadas·rígido em relação ao qual se 
podem especificar as coordenadas do ponto material ou partícula. Assim, para determinarmos a 
localização de uma partícula é necessário que se tenha um corpo ou um sistema fisico para que 
seja possível analisar o movimento de uma partícula. Veja a situação abaixo. 
~ Você está viajando de ônibus e num determinado lugar da estrada o mesmo chega num 
restaurante. Ao lado tem outro ônibus. Quando você olha o ônibus ao lado que está 
andando para frente, você tem a sensação que o seu ônibus está andando para trás. Essa 
sensação ocorre porque o referencial adotado foi o outro ônibus. 
2.5-POSICÃO 
Para localizarmos uma partícula em relação a um referencial, determinamos, inicialmente, um 
ponto de referência, geralmente escolhido como a origem (ou ponto zero) de um sistema. Num 
sistema de referência unidimensional, por exemplo, escolhemos o eixo dos x. Podemos, de 
forma similar, escolher um eixo y ou ainda, se tratarmos de um sistema de referência 
bidimensional, escolhemos os eixos x e y. 
Se o sistema escolhido for unidimensional, então, podemos considerar o eixo x. A posição da 
partícula pode estar situada em qualquer uma das regiões positivas ou negativas desse eixo, ou 
ainda, estar na origem das posições. Na figura 2.1, tem-se o eixo x graduado em unidades de 
comprimento, o qual se prolonga indefinidamente para as duas regiões com sentidos opostos. 
----~~~--~--+-~---+--~--+--4---+--+-----x 
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 
Figura 2.1- Sistema de referência graduado em unidades de 
comprimento que se prolonga indefinidamente em ambos os sentidos. 
Prof. Altamiro Quevedo Schervenski 41 
2.6- MOVIMENTO 
O movimento é um fenômeno pelo qual uma partícula troca de posição no decorrer do tempo 
em relação a um referenciaL O movimento é um conceito relativo. Observe os exemplos abaixo: 
~ Um ônibus trafega numa avenida e se aproxima de um ponto de ônibus. Em relação as 
pessoas que aguardam o ônibus, o ônibus está em movimento. Nessa situação, o ponto 
de ônibus e as pessoas são o referencial. 
~ Uma pessoa caminha pela calçada. Se considerarmos um poste como referencial, a 
posição da pessoa está variando no decorrer do tempo em relação ao poste. 
27-REPOUSO 
O repouso é o fenômeno pelo qual uma partícula não troca de posição no decorrer do tempo em 
relação a um referencial, ou seja, a partícula mantém a mesma posição ao longo do tempo em 
relação a um referencial. Assim como o movimento, o repouso também é um conceito relativo. 
Consideraremos os seguintes exemplos: 
~ Num ônibus em movimento, o motorista e o cobrador, em seus respectivos lugares, 
estão em repouso um em relação ao outro, pois embora o ônibus esteja em movimento, a 
distância entre o motorista e o cobrador não varia no decorrer do tempo, considerando 
como referencial qualquer um dos dois. 
~ Uma pessoa caminha pela calçada. Podemos dizer que ~uas roupas estão em repouso 
em relação à pessoa, pois a distância que as separa não varia no decorrer do tempo, 
embora consideremos como referencial tanto a pessoa quanto suas roupas. 
2.8- TRAJETÓRIA 
A trajetória de uma partícula é definida como sendo o conjunto de todas as posições 
ocupadas pela partícula durante o movimento no decorrer do tempo em relação a um 
referencial. Uma trajetória pode ser retilinea (vertical; horizontal ou inclinada) ou curvilinea. 
Nos exemplos a seguir, o tipo de trajetória e diferenciada pelo referencial adotado. 
~ Uma pessoa, em terra, observa um avião que voa horizontalmente e, num determinado 
momento, abandona uma caixa. Nessa situação, a trajetória observada pela pessoa é 
curvilinea, conforme mostra a figura 2.2. O referencial adotado para essa situação está na 
terra. 
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Figura 2.2- Observador em terra vê uma caixa caindo descrevendo uma trajetória 
curvilínea. 
Prof. Altamiro Ouevedo Scbervenski 42 
~ Agora, vamos considerar que a pessoa que está em terra observando a caixa cair, esteja 
no avião mostrado na figura 2.2. Desprezando a resistência do ar, tanto o avião quanto a 
caixa estarão se movimentando horizontalmente simultaneamente. Assim, para a pessoa 
que olha para baixo, verá a caixa caindo verticalmente, descrevendo, então, uma 
trajetória retilínea. Nesse caso, o referencial adotado está no avião. 
2.9- MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL !MOVIMENTO RETILÍNEOJ 
Para estudarmos o movimento é necessário conhecer alguns conceitos fisicos. Alguns desses 
conceitos fundamentais foram abordados nas seções iniciais dessa unidade. Nas próximas 
seções, vamos definir os conceitos de vetor posição, vetor deslocamento, vetor velocidade e 
vetor aceleração. Após definirmos tais conceitos, faremos um estudo detalhado dos movimentos 
retilíneos que se caracterizam por apresentarem trajetória retilínea. Os movimentos retilíneos 
classificam-se em movimento retilíneo