Segunda Lista de Exercício

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Universidade Federal do Cariri - UFCA
Centro de Cieˆncias e Tecnologia - CCT
Curso de Engenharia de Materiais
Disciplina de Ca´lculo Fundamental II
Prof. Francisco Pereira Chaves
Segunda Lista de Exerc´ıcios
1. Encontre a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas dadas e fac¸a uma figura mostrando a
regia˜o.
(a) y = x2 − 2x+ 3; eixo x; x = −2; x = 1
(b) y =
√
x+ 1; eixo x; eixo y; x = 8
(c) x2 + y + 4 = 0; y = −8.
(d) y3 = 4x; x = 0; y = −2
(e) xy2 = y2 − 1; x = 1; y = 1; y = 4
(f) y = |x− 1|+ 3; y = 0; x = −2; x = 4
(g) y = senx; y = −senx; x = −pi
2
; x =
pi
2
2. Encontre a a´rea do triaˆngulo tendo ve´rtices (−1, 1), (2,−1) e (4, 3).
3. Encontre o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado quando a regia˜o limitada pela curva
y = x3, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2 e´ rotacionada em torno do eixo x.
4. Encontre o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado quando a regia˜o limitada pela curva
y = x2 + 1, pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = 3 e´ rotacionada em torno do eixo x.
5. Encontre o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o, em torno da reta indicada,
da regia˜o limitada pela curva y =
√
x, pelo eixo x e pela reta x = 4.
(a) A reta x = 4.
(b) O eixo y.
(c) A reta y = 2.
6. Encontre, por meio de corte, o volume do tetraedro com treˆs faces mutuamente perpen-
diculares e treˆs arestas mutuamente perpendiculares de comprimentos 4, 6 e 10 cm.
7. A regia˜o limitada pela curva y = secx, pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta
pi
4
gira em
torno do eixo x. Encontre o volume do so´lido gerado.
8. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada por um arco da
curva do seno em torno do eixo x.
1
9. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno da reta x = 4, da regia˜o
limitada pela para´bola y2 = 4x e pela reta y = x.
10. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y, da regia˜o limitada
pela reta que passa pelos pontos (1, 3) e (3, 7) e pelas retas y = 3, y = 7 e x = 0.
11. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno da reta y = −3, da regia˜o
limitada pelas para´bolas y = x2 e y = 1 + x− x2.
12. Um tanque de o´leo na forma de uma esfera tem um diaˆmetro de 18 m. Quanto o´leo o
tanque conte´m se a profundidade do o´leo e´ de 7 m?
13. Um so´lido de revoluc¸a˜o e´ formada pela rotac¸a˜o, em torno do eixo x, da regia˜o limitada
pela curva y =
√
2x+ 4, pelo eixo x, pelo eixo y, e pela reta x = c (c > 0). Para que
valor de c o volume sera´ de 12pi unidades cu´bicas?
14. A base de um so´lido e´ a regia˜o encerrada por um c´ırculo com 7 cm de raio. Encontre o
volume do so´lido se todas as sec¸o˜es planas perpendiculares a um diaˆmetro fixo da base
forem triaˆngulos equila´teros.
15. A base de um so´lido e´ a regia˜o encerrada por um c´ırculo com um raio de 4 cm. Encontre
o volume do so´lido se cada sec¸a˜o plana for perpendicular a um diaˆmetro fixo da base e´
um triaˆngulo iso´sceles de altura igual a` distaˆncia da sec¸a˜o plana do centro do c´ırculo. O
lado do triaˆngulo situado na base do so´lido na˜o e´ um dos lados de igual comprimento.
16. A regia˜o limitada pelo eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = x2 e´ girada em torno do
eixo y. Encontre o volume do so´lido gerado.
17. A regia˜o limitada pelo eixo y, pela reta y = 1 e pela curva y2 = x e´ girada em torno da
reta y = 2. Encontre o volume do so´lido gerado.
18. A regia˜o limitada pelas curvas y = x2 e y2 = x e´ girada em torno da reta x = −2.
Encontre o volume do so´lido gerado.
19. A regia˜o limitada pelas curvas x = y2 − 2 e x = 6− y2 e´ girada em torno da reta y = 2.
Encontre o volume do so´lido gerado.
20. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y, da regia˜o limitada
pelo gra´fico de y = 3x− x3,
21. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelo gra´fico de
y = 4x− 1
8
x4, pelo eixo y e pela reta y = 6, em torno do eixo y.
22. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas y = x3
e x = y3 em torno do eixo x.
2
23. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pela curva y = senx2,
pelo eixo x e pelas retas x =
√
pi
2
e x =
√
x em torno do eixo y.
24. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o no primeiro quadrante limi-
tada pela curva y = cosx2 e pelos eixos coordenados, em torno do eixo y.
25. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o fora da curva y = x2 e entre
as retas y = 2x− 1 e y = x+ 2 em torno do eixo y.
26. Calcule o comprimento do segmento da reta y = 3x do ponto (1, 3) ao ponto (2, 6).
27. Calcule o comprimento do segmento da reta 4x+9y = 36 entre os interceptos x e y.
28. Calcule o comprimento do segmento da reta 5x− 2y = 10 entre os interceptos x e y.
29. Encontre o comprimento do arco da curva x2 = (2y + 3)3 do ponto (1,−1) ao ponto
(7
√
7, 2).
30. Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x4 + 2x−2 do ponto onde x = 1 ao ponto
onde x = 2.
31. Encontre o comprimento do arco da curva y =
2
3
(x−5)3/2 do ponto onde x = 6 ao ponto
onde x = 8.
32. Encontre o comprimento do arco da curva 6xy = y4 + 3 do ponto onde y = 1 ao ponto
onde y = 2.
33. Encontre o comprimento da curva 9y2 = x2(2x + 3) no segundo quadrante, do ponto
onde x = −1 ao ponto onde x = 0.
34. Calcule a integral indefinida.
(a)
∫
sen4 x cosx dx
(b)
∫
cos3 4x sen 4x dx
(c)
∫
sen3 x dx
(d)
∫
sen4 x dx
(e)
∫
cos5 x dx
(f)
∫
sen3 x cos3 x dx
(g)
∫
sen2 x cos3 x dx
(h)
∫
cos6 x dx
(i)
∫
sen5 x cos2 x dx
(j)
∫
sen2 2x cos4 2x dx
(k)
∫ √
cosx sen3 x dx
(l)
∫
cos3 3x
3
√
sen 3x
dx
(m)
∫
cos 4x cos 3x dx
(n)
∫
sen 3x cos 5x dx
(o)
∫
(sen 3x− sen 2x)2 dx
(p)
∫
senx sen 3x sen 5x dx
3
35. Calcule a integral indefinida.
(a)
∫
cotg3 x dx
(b)
∫
tg4 x dx
(c)
∫
sec4 x dx
(d)
∫
cosec 4x dx
(e)
∫
tg6 x sec4 x dx
(f)
∫
tg5 x sec3 x dx
(g)
∫
cotg2 3x cosec 43x dx
(h)
∫
(sec 5x+ cosec5x)2 dx
(i)
∫
(tg 2x+ cotg 2x)2 dx
(j)
∫
1
1 + cos x
dx
(k)
∫
2 senx− 1
cos2 x
dx
(l)
∫
tg5 3x dx
(m)
∫
tg4 x
sec5 x
dx
(n)
∫
cosec4 x
cotg2 x
dx
(o)
∫
sec3 x
tg4 x
dx
(p)
∫
sec4 x√
tg x
dx
36. Use substituic¸a˜o trigonome´trica para calcular a integral indefinida.
(a)
∫
1
x2
√
4− x2 dx
(b)
∫ √
4− x2
x2
dx
(c)
∫
1
x
√
x2 + 4
dx
(d)
∫
x2√
x2 + 6
dx
(e)
∫
1
x
√
25− x2 dx
(f)
∫ √
1− x2 dx
(g)
∫
1√
x2 − 9 dx
(h)
∫
1
x2
√
x2 − 7 dx
(i)
∫
x2
(x2 + 4)2
dx
(j)
∫
1
(4 + x2)3/2
dx
(k)
∫
1
(4x2 − 9)3/2 dx
(l)
∫
1
x4
√
16 + x2
dx
(m)
∫
2
x
√
x4 + 25
dx
(n)
∫
x3
(25− x2)2 dx
(o)
∫
1√
4x+ x2
dx
(p)
∫
1√
4x− x2 dx
(q)
∫
1
(5− 4x− x2)3/2 dx
(r)
∫
1
x
√
x4 − 4 dx
4
37. Use frac¸o˜es parciais para calcular a integral indefinida.
(a)
∫
dx
x2 − 4
(b)
∫
5x− 2
x2 − 4 dx
(c)
∫
6x2 − 2x− 1
4x3 − x dx
(d)
∫
dx
x3 + 3x2
(e)
∫
x2 + 4x− 1
x3 − x dx
(f)
∫
3x2 − x+ 1
x3 − x2 dx
(g)
∫
2x4 − 2x+ 1
2x5 − x4 dx
(h)
∫
dx
16x4 − 8x2 + 1
(i)
∫
dx
2x3 + x
(j)
∫
(x2 + x+ 1) dx
(2x+ 1)(x2 + 1)
(k)
∫
3x2 + 13x+ 4
x3 + 4x
dx
(l)
∫
dx
9x4 + x2
(m)
∫
(x+ 3) dx
4x4 + 4x3 + x2
(n)
∫
e5x dx
(e2x + 1)2
(o)
∫
18 dx
(4x2 + 9)2
(p)
∫
(sec2 x+ 1) sec2 x dx
1 + tg 3x
5