DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES DE ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO

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Prof. Narbal A. Marcellino Página 1 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Disciplina: ECV 5228/5648 ESTRUTURAS DE CONCRETO 
 
Curso de Engenharia Sanitária 
Curso de Engenharia de Produção Civil 
Curso de Arquitetura e Urbanismo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES 
DE ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Narbal Marcellino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Florianópolis (SC), setembro de 2015 
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DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES DE ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO 
 
O dimensionamento de elementos de concreto armado sujeitos à flexão simples, ou 
seja, onde não há força normal atuando na seção, necessita do conhecimento dos 
domínios de deformação o que implica em saber a posição da linha neutra. Para isso 
são usados os seguintes dados: 
 
Materiais 
 
Resistência característica do concreto: fck 
Resistência característica do aço: fyk 
 
Coeficientes 
Coeficiente de majoração das ações: f = 1,4 (em situação normal) 
Coeficiente de minoração das resistências 
Do concreto: c 
Do aço: s 
Valores de cálculo: 
Concreto: fcd = fck/c 
Aço: fyd = fyk/s 
 
Geometria 
 
Largura da seção retangular: bw 
Altura da seção: h 
Altura da face mais tracionada ao centro de gravidade da armadura: d” 
Altura útil: d = h – d” 
Altura da parte comprimida da seção: x (altura da linha neutra) 
Área total da armadura tracionada: As 
 
Deformações 
 
Deformação do concreto: c (valor máximo: cu = 3,5/1000 = 3,5%o ) 
Deformação do aço: s (valor máximo: su = 10/1000 = 10%o ) 
Deformação correspondente ao escoamento do aço: yk 
Valor de cálculo da deformação do aço: yd = fyd/Es 
Módulo de elasticidade do aço: Es 
Módulo de elasticidade do aço: Es = 210 GPa = 210.000 MPa = 21.000 kN/cm
2 
 
 
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Relações entre as deformações: 
 
Figura 1 – Relação entre a posição relativa da Linha Neutra e as deformações 
 
Limites dos domínios pelas deformações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Limites dos domínios de deformação para a flexão 
h 
a) seção transversal 
c 
d 
x 
s 
sc
c
d
x




 
As 
bw 
d” 
b) diagrama de 
deformações 
c) relação entre a posição 
relativa da Linha Neutra 
x/d e as deformações  
c 
scc
dx
 

 
d 
x 
s = 10%o 
As 
bw 
d” 
a) seção transversal b) diagrama deformações 
259,0
105,3
5,323 


d
x
 
yd 
c=3,5%o 
A 
B 
D4 
D3 
D2 x23 
x34 
ydd
x


5,3
5,334
 
alongamentos encurtamentos 
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Módulo de elasticidade do aço: Es = 210 GPa = 210.000 MPa = 21.000 kN/cm
2 
 
Limites da deformação no aço 
 
AÇO CA-25  fyk = 250 MPa  fyd = fyk/s com s = 1,15 
Deformação: yd = fyd/Es = 250/1,15.210000 = 1,19 %o 
Valor limite da LN: x34/d = 3,5/(3,5+yd) = 0,746 
 
AÇO CA-50  fyk = 500 MPa  fyd = fyk/s com s = 1,15 
Deformação: yd = fyd/Es = 500/1,15.210000 = 2,07 %o 
Valor limite da LN: x34/d = 3,5/(3,5+yd) = 0,628 
 
AÇO CA-60  fyk = 600 MPa  fyd = fyk/s com s = 1,15 
Deformação: yd = fyd/Es = 600/1,15.210000 = 2,857 %o 
Valor limite da LN: x34/d = 3,5/(3,5+yd) = 0,551 
 
Tensão máxima no concreto: cd = 0,85.fcd 
 
Tensão máxima na armadura: sd = fyd 
 
Resultante no concreto: Rcc = cd.bw.0,8.x 
 
Resultante no CG da armadura : Rst = sd.As 
 
Condição de equilíbrio à translação: Rcc = Rst 
 
Condição de equilíbrio à rotação: Mud = Rcc.z = Rst.z 
 
Substituindo os valores 
 
Mud = cd.bw.0,8.x.(d - 0,4.x) 
 
Mud + cd.bw.0,8.x.d - cd.bw.0,8.0,4.x
2 = 0 
 
0,4.x2 - d.x + Mud/cd.bw.0,8 = 0 
 







wcd
ud
b
M
ddx
.
.2
.25,1 2

 
ou 
x = 1,25.d.[1-(1-(Mud/0,425.fcd.bw.d
2)1/2] =









2...425,0
11..25,1
dbf
M
d
wcd
ud
 
Para haver solução é necessária a condição: ()1/2  0 
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Caso contrário, significa que o valor de bw, d ou fck é insuficiente. 
 
Outra maneira de escrever a solução é adotar 
 
 
 
 
 
Assim 
 
 
 
E o braço de alavanca resulta 
 
 
 
 
 
 
Para obter x 
 
 
 
 
Obtido o valor de x pode-se avaliar qual é o domínio de deformação correspondente 
ao ELU: 
 
Se x  0,259.d a seção está no domínio 2 de deformação. 
 
Se 0,259.d < x < 0,628.d a seção está no domínio 3 de deformação (para o aço CA-50). 
 
Nos domínios 2 e 3 diz-se que a seção é subarmada e sd = fyd. 
 
E quando x > 0,628.d a seção está no domínio 4 de deformação do ELU. Neste caso a 
seção é superarmada e a tensão na armadura é menor que a tensão de escoamento do 
aço: sd < fyd 
 
Usando y = 0,8.x a equação geral pode ser escrita 
 
Mud = cd.bw.y.(d - 0,5.y) 
 
E o valor de y é obtido pela expressão 
wcd
d
bf
M
ddy
..85,0
.22 
 
Os limites dos domínios quando se usa y =0,8.x 
 
Se y  0,207.d a seção está no domínio 2 de deformação. 
 
Se 0,207.d < y < 0,5.d a seção está no domínio 3 de deformação. 
 
E quando y/d > 0,5 o domínio é o 4. 
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A Tabela 1 mostra valores de deformações, tensões e posições da LN para o aço CA-50. 
 
Tabela 1 – Valores para o AÇO CA-50 
 Deformações Tensões Posição relativa da LN 
Domínio Concreto Aço Concreto Aço x/d y/d 
2 c < 3,5 s = 10 %o c<0,85.fcd s = fyd x/d < 0,259 x/d < 0,207 
3 c = 3,5 %o yd < s< 10 %o c=0,85.fcd s = fyd 0,259x/d 0,628 0,207x/d 0,50 
4 c = 3,5 %o s < yd c=0,85.fcd s < fyd x/d > 0,628 x/d > 0,50 
 
 
Exigência de ductilidade segundo a NBR 6118/2014 
 
Ductilidade é a propriedade dos materiais de apresentarem grandes deformações 
antes da ruptura. Isso, no caso do concreto armado, confere ainda a propriedade de 
distribuir os esforços entre as seções mais solicitadas. Estudos mostram que seções 
com posição relativa x/d da linha neutra menores possuem maior ductilidade e são 
assim mais indicadas. 
 
Para garantir as condições de ductilidade é preciso usar relações x/d menores que os 
limites mostrados. O item 14.6.4.3 Limites para redistribuição de momentos e 
condições de dutilidade exige a adoção dos limites: 
 
a) x/d  0,45, para concretos com fck  50 MPa; 
b) x/d = 0,35, para concretos com 50 MPa fck  90 MPa. 
 
Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se o momento fletor de M para 
M, em uma determinada seção transversal, a profundidade da linha neutra nessa 
seção x/d, para o momento reduzido M, deve ser limitada por: 
 
a) x/d  ( - 0,44)/1,25, para concretos com fck  50 MPa; 
b) x/d = ( - 0,56)/1,25, para concretos com 50 MPa fck  90 MPa. 
 
O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites: 
 
a) 0,90, para estruturas de nós móveis; 
b) 0,75, para qualquer outro caso. 
 
A Norma NB-1 define no item 15.4.2 Estruturas de nós fixos e estruturas de nós moveis 
 
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As estruturas são consideradas para efeito de cálculo como de nós fixos quando os 
deslocamentos horizontais dos nós são pequenos, e, por decorrência,os efeitos globais de 2ª 
ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas 
estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem. 
 
As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são 
pequenos... 
 
Escolha da melhor altura 
 
Assim, o dimensionamento pode iniciar pela escolha da altura que resulte em um valor 
que corresponda as proximidades do limite entre os limites 2 e 3, que é onde os dois 
materiais seriam bem aproveitados, ou pela menor altura possível que respeita os 
limites impostos pela Norma, neste caso tem-se um consumo maior de armadura mas 
com um consumo menor do volume de concreto. 
 
Assim, quando possível, pode-se impor um dos valores para a altura útil d baseado em 
um dos valores limites da linha neutra x, ou seja: 
 
Limites dos Domínios 2 e 3 
 
Para os casos de seções no limite entre os domínios 2 e 3 x23 = 0,259.d 
 
Mud = 0,85.fcd.bw.0,8.x.(d – 0,4.x) 
Mud = 0,85.fcd.bw.0,8.(0,259.d).{d – 0,4.(0,259.d)} 
 
dmáx = (Mud/0,16.fcd.bw)
1/2 
 
Para o caso de seções com fck  50 MPa e x = 0,45.d 
 
Mud = 0,85.fcd.bw.0,8.x.(d – 0,4.x) 
Mud = 0,85.fcd.bw.0,8.(0,45.d).[d – 0,4.(0,45.d)] 
 
dmín = (Mud/0,25.fcd.bw)
1/2 
 
Escolhido um valor para a altura útil e obtido o valor da linha neutra x, que é a altura 
da parte comprimida da seção, pode-se obter os valores correspondentes a armadura 
e obter os valores máximos das deformações na armadura e no concreto. 
 
No caso do domínio 2: s = 10%o e c = (0,01.x/d)/(1-x/d) 
 
No caso do domínio 3: s = 0,0035.(d-x)/x e c = 3,5%o. 
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A armadura fica definida pela igualdade das resultantes Rst = Rcc 
 
As.fyd = 0,85.fcd.bw.0,8.x 
 
As = 0,68.fcd.bw.x / fyd 
 
Ou, em função do Momento Fletor último de cálculo 
 
Mud = As.fyd.z 
 
As = Mud / fyd.z 
 
As = Mud / fyd.(d - 0,4.x) 
 
 
Armadura mínima 
 
A Norma prescreve valores mínimo e máximo para a área de armadura, de modo que 
obtida a armadura tem-se que comparar com os esses valores. A armadura mínima 
visa assegurar a seção uma quantidade suficiente de armadura para que não ocorra a 
ruptura frágil. Inicialmente um valor mínimo é estabelecido e depois é apresentada a 
Tabela de valores mínimos que pode alternativamente dispensar a consideração do 
momento mínimo. 
 
O valor mínimo da área da armadura é o correspondente ao obtido com o Momento 
mínimo Mdmín dado pela expressão: 
Mdmín = 0,6.W0.fctk,sup 
 
onde: 
 
W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais 
tracionada; 
 
fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração (ver 8.2.5). 
 
Ou seja: fctk,sup = 1,3.fctm = 1,3.0,3.fck
2/3 = 0,39.fck
2/3 
 
Alternativamente, a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem respeitadas as 
taxas mínimas de armadura da tabela 1 (17.3. na Norma NBR 6118). 
 
 
 
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Tabela 17.3 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas 
 
 
 
Forma da seção 
 
Valores de min* 
% 
fck 20 25 30 35 40 45 50 
 
mín 
 
 
Retangular 
 
0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 
1)Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, c = 1,4 e s = 1,15. Caso 
esses fatores sejam diferentes, min deve ser recalculado com base no valor de mín dado. 
Nota: Aqui foram excluídas as seções tipo T e circular (em relação a Norma vigente até junho de 2014). 
 
Em elementos estruturais superdimensionados pode ser utilizada armadura menor que a 
mínima, com valor obtido a partir de um momento fletor igual ao dobro de Md. Neste caso, a 
determinação dos esforços solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as 
combinações possíveis de carregamento, assim como os efeitos de temperatura, deformações 
diferidas e recalques de apoio. 
 
Assim a área de armadura é a que resultar no maior valor entre As calculado e Asmín, e 
se As > Asmín usa-se As. Caso contrário As correspondente a Mdmín ou Asmín. 
 
Opções de escolha da bitola 
 
Obtido o valor da área da armadura tem-se a opção pela escolha da bitola da barra a 
ser usada. 
 
Os diâmetros possíveis (comercialmente disponíveis) são mostrados nas tabelas 2 e 3 
 
Tabela 2 – Bitolas disponíveis do CA-50 e área unitária da seção. 
AÇO CA - 50 
 [mm] 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 32 40 
as [cm
2] 0,315 0,50 0,80 1,25 2,0 3,15 3,80 5,0 8,04 12,60 
 
Tabela 3 – Bitolas disponíveis do CA-60 e área unitária da seção. 
AÇO CA - 60 
 [mm] 4,2 4,6 5 6 7 8 9,5 
as [cm
2] 0,14 0,166 0,20 0,28 0,38 0,50 0,71 
 
A quantidade de barras n resulta da razão n = As/as arredondando para cima, 
evidentemente. 
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Para vigas usuais de estruturas de edificações a indicação é adotar, entre as opções, o 
valor mais próximo possível do valor obtido pelo cálculo e um número de barras entre 
3 e 8 para facilitar a execução, não sendo aconselhável usar apenas as duas barras 
mínimas. Sendo melhor a aquela opção que resulta na menor área, pois essa equivale 
ao menor consumo de aço. 
 
No dimensionamento das lajes maciças a opção inicia pelas bitolas de CA – 60 
podendo-se usar o CA – 50 quando o espaçamento entre os fios resultar menor que 8 
cm. Para as barras longitudinais das vigas é usado o aço CA-50. 
 
Definida a escolha da bitola e da quantidade das barras faz-se o detalhamento da 
seção transversal de acordo com as prescrições da Norma. 
Para as vigas usuais o detalhamento da armadura tem inicio pela definição do número 
de barras que pode ser alojada na primeira camada aqui denominada nc. A Figura 7 
ilustra que o espaço disponível para o alojamento é 
 
bdisp = bw – 2.(c + t) 
 
eh = espaçamento horizontal entre as barras cujo valor mínimo admitido é 1,2.Dmáx, 2 
cm ou . Onde Dmáx é o diâmetro máximo do agregado graúdo usado no concreto. 
Normalmente usa-se brita 1 com Dmáx = 19 mm ou brita 2 com Dmáx = 25 mm. Portanto 
eh = 2,28 cm para brita 1. 
A desigualdade que fornece o valor máximo do número de barras de uma camada nc: 
nc = ( bw,disp+eh ) / ( + eh) 
 
Definida a quantidade total de barras n, são dispostas n1 barras na primeira camada e 
o restante nas camadas superiores, respeitando-se o número máximo de barras por 
camada n1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 - Elementos para o alojamento da armadura longitudinal de flexão 
c c 
c 
 
bw,disp 
eh 
e
v 
 
 
t 
t 
t 
  
eh 
c = cobrimento da armadura 
 
ev = espaçamento vertical entre as barras; 
 
 = bitola da armadura longitudinal de flexão; 
 
t = bitola do estribo; 
 
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O preenchimento das camadas deve resultar na menor distância d” de modo a ter-se o 
maior braço de alavanca z. 
 
Sendo n o número de barras e nc o número de barras que cabem em uma camada 
pode-se adotar o seguinte procedimento: 
 
Para a primeira camada: Se n  nc adota-se n1 = nc caso contrário n1 = n 
Para a segunda camada: Se n  2.nc adota-se n2 = n - nc caso contrário n2 = nc 
Para a terceira camada: Se n  3.nc adota-se n3 = n - 2.nc caso contrário n3 = nc 
Para a quarta camada: Se n  4.nc adota-se n4 = n - 3.nc caso contrário n4 = nc 
 
Raramente são usadas mais que três camadas de barras. Se resultar nesse caso deve-
se avaliar a mudança de bitola ou mesmo o uso de feixe de barras. 
 
CobrimentoO valor do cobrimento c é definido pela classe de agressividade ambiental de acordo 
com a Tabela7.2 da Norma. As prescrições a serem observadas são as seguintes: 
 
7.4.7 Para o cobrimento deve ser observado o prescrito em 7.4.7.1 a 7.4.7.7. 
 
7.4.7.1 Para atender aos requisitos estabelecidos nesta Norma, o cobrimento mínimo da 
armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado e 
que se constitui num critério de aceitação. 
 
7.4.7.2 Para garantir o cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o 
cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução 
(c). Assim as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos 
nominais, estabelecidos na tabela 7.2, para c = 10 mm. 
 
7.4.7.3 Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm. 
 
7.4.7.4 Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da 
variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor c = 5 mm, mas a 
exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Permite-se, 
então, a redução dos cobrimentos nominais prescritos na tabela 7.2 em 5 mm. 
 
7.4.7.5 Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura 
externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra 
deve sempre ser: 
a) cnom barra 
b) cnom feixe = n = n 
c) cnom 0,5 bainha 
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7.4.7.6 A dimensão máxima característica do agregado graúdo, utilizado no concreto não pode 
superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja: 
 
dmax 1,2 cnom 
 
Tabela 7.2 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e 
 cobrimento nominal para c = 10 mm 
 
 
Tipo de estrutura 
 
Componente ou 
elemento 
Classe de agressividade ambiental (tabela 6.1) 
 I II III IV3) 
Cobrimento nominal 
mm 
 
Concreto armado 
Laje2) 20 25 35 45 
Viga/Pilar 25 30 40 50 
Elem. ...com o solo 30 40 50 
Concreto protendido1) Todos 30 35 45 55 
 
Segundo o item 17.2.4.1 da NBR 6118/2014 há limite para a consideração de uma 
única força resultante da armadura. 
 
“Os esforços nas armaduras podem ser considerados como concentrados no 
centro de gravidade correspondente, se a distância deste centro ao ponto da 
seção de armadura mais afastada da linha neutra medida normalmente a esta 
for menor que 10% de h.” 
Assim é preciso verificar se a distância chamada de ys , na Figura 8, cumpre a condição: 
 
ys < 0,1.h onde ys = d2 – (c+t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 - Seções transversais típicas 
 
ys 
CG d” CG 
Rst 
Rcc 
ys 
c+t 
Rst3 
Rcc 
Rst2 
Rst1 
d” 
c+t 
CG 
CG 
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Se a condição não for atendida é necessário considerar que cada camada de armadura 
tem deformações diferentes e consequentemente a tensão de cada camada também 
pode ser diferente. A resultante, nesse caso, é a resultante das forças e não a 
resultante obtida com a consideração de tensão uniforme nas barras da armadura. 
 
Terminada a fase de detalhamento tem-se a possibilidade de obter a efetiva linha 
neutra resultante da efetiva armadura adotada, e assim, o momento resistente 
correspondente. 
 
Usando as expressões das forças Rcc = Rst pode-se escrever: 
0,68 bw x fcd = As sd = As fyd 
e, portanto 
x = (As,efe fyd) / (0,68 bw fcd) = xefe 
que é a altura efetiva da linha neutra no ELU xefe e permitirá verificar a validade da 
hipótese inicialmente admitida. 
 
Fazendo xefe/defe tem-se a altura relativa da linha neutra resultante (efetiva). 
 
Caso positivo, é só determinar o momento resistente final: 
 
MRd = 0,68 fcd bw x (d - 0,4 x) 
 
Se o momento resistente resultar igual ou maior que o momento solicitante estão 
satisfeitas as condições de segurança e economia. 
 
MRd  Msd 
 
Caso contrário, deve-se avaliar uma nova opção de escolha da bitola e o 
correspondente arranjo da armadura. Se ainda assim não é obtido um momento 
resistente adequado a seção de concreto deve ser alterada, preferencialmente por 
outra de maior altura, e quando necessário por nova largura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Planilha Excel 
 
O uso de uma planilha de cálculo proporciona a possibilidade de testar as diferentes 
opções de escolha da altura, largura, bitola da armadura de modo a atender a todas as 
condições descritas. Segue a descrição de uma sugestão para o caso de flexão usando 
armadura simples. 
 
DIMENSIONAMENTO PARA SEÇÃO RETANGULAR DE CA SUJEITA À FLEXÃO SIMPLES 
 
1. Definição da Classe de agressividade ambiental; 
De acordo com a tabela 6.1 da NBR6118/2014 é definida a Classe de Agressividade 
Ambiental de acordo com o local da obra . 
 
2. Escolha da resistência à compressão do concreto; 
A tabela 7.1 da NBR6118/2014 define o valor mínimo da resistência à compressão do 
concreto fck. 
 
3. Cobrimento 
A tabela 7.2 da NBR6118/2014 define o valor mínimo do cobrimento c para lajes ou 
vigas. 
 
4. Categoria do aço 
No Brasil tem-se duas categorias de aço para concreto armado, CA-50 para vigas e CA-
50 ou CA-60 para as lajes. (50 ou 60 kN/cm2). 
 
5. Momento aplicado Mk 
Obtido da análise do elemento fletido é o momento máximo a ser considerado. 
 
6. Momento de cálculo 
Md =f. Mk (valor majorado por f =1,4 (Normal da Tabela 11.1 da NBR6118/2014). 
 
7. Largura da peça 
Largura bw em geral definida no projeto. 
 
8. Cálculo da altura máxima no Domínio 3; 
dmáx = raiz(Md/(0,16.fcd.bw), onde fcd = fck/c com c = 1,4 (Normal) 
 
9. Cálculo da altura mínima no Domínio 3; 
 dmín = raiz(Md/(0,25.fcd.bw), onde fcd = fck/c com c = 1,4 (Normal) 
 
10. Escolha da altura útil adotada 
 d = 
 
11. Cálculo da altura da linha neutra 
x= 1,25.d(1-raiz(1-Md/(0,425*fcd.bw.d
2)] 
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12. Cálculo da altura relativa da linha neutra 
x/d = (definição do Domínio de deformação e atendimento ao limite x/d  0,45) 
 
13. Cálculo da armadura 
As = Md/fyd.z (onde z = d -0,4.x) 
 
14. Escolha da bitola 
Para as vigas as bitolas usuais  são de 8, 10, 12,5, e 16 mm, a escolha deve resultar 
em 3 a 9 barras e no máximo 3 camadas de barras. 
Para as lajes as bitolas usuais são 4,6, 5,0 ou 6,0 de CA-60 (preferencialmente) ou 6,3, 
8, 10 de aço CA-50. 
 
15. Cálculo da quantidade de barras 
n = As/as onde as =
2/4 é a área unitária da barra, podendo ser usada a área nominal 
fornecida na tabela do fabricante: 
 
 Tabela de área unitária por categoria do aço 
Aço CA - 50 Aço CA - 50 
 
[mm] 
as 
[cm2] 
 
[mm] 
as 
[cm2] 
8 0,50 4,6 0,165 
10 0,80 5 0,20 
12,5 1,25 6 0,28 
16 2,00 7 0,385 
 
16. Determinação da quantidade de barras por camada 
nc = (bdisp + eh)/(+eh) onde bdisp = bw -2.(c + t) com t = bitola do estribo. 
 
17. Arranjo das barras em cada camada 
 
18. Para a primeira camada: Se n  nc adota-se n1 = nc caso contrário n1 = n 
19. Para a segunda camada: Se n  2.nc adota-se n2 = n - nc caso contrário n2 = nc 
20. Para a terceira camada: Se n  3.nc adota-se n3 = n - 2.nc caso contrário n3 = nc 
21. Para a quarta camada: Se n  4.nc adota-se n4 = n - 3.nc caso contrário n4 = nc 
 
22. Altura de cada camada 
y1 = c + t +L/2 onde  L é a bitola da barra em cm. 
y2 = y1 + ev+  L sendo ev = 2 cm 
y3 = y2 + ev +  L 
 
23. Cálculo da altura do CG das barras da armadura 
d” = (n1.y1+n2.y2+n3.y3)/n 
 
24. Altura mínima necessária 
hnec = d + d” 
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25. Definição da altura 
h = (Como, em geral, a altura hnec não resulta em valor inteiro adota-se um valor 
inteiro para h). 
 
26. Cálculo da armadura efetiva 
As,efe = n.as (pois o As calculado é quase sempre diferente). 
 
27. Determinação da altura efetiva 
defe = h - d” 
 
28. Cálculo da altura efetiva da linha neutra 
xefe = As,efe.fyd/(0,68.fcd.bw) 
 
29. Determinação da altura relativa da linha neutra 
xefe/defe = 
 
30. Determinação dos momentos resistentes usando x = xefe 
Pelo concreto: Md = 0,68.fcd.bw.x.(d-0,4.x) e pelo aço adotado Md = As,efe.fyd.(d-0,4.x) 
 
31. Cálculo das deformações no concreto e no aço 
Se Domínio 2 (x/d<0,259) c = 10.x/(d-x) e se D 3 (0,259x/d0,45) s = 3,5.(d-x)/x 
 
32. Desenho do diagrama de deformações no ELU 
Valores de x: c, 0 e s, valores de y: d,d-x e 0 
 
 
Figura 9 – Planilha Excel para armadura simples 
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ARMADURA DUPLA 
 
A armadura dupla usa, além da armadura tracionada, uma segunda armadura 
comprimida para complementar a parte de concreto comprimida da seção transversal. 
A opção pelo uso da armadura dupla pode ter duas razões, evitar a superarmação 
quando há limitação de aumento da altura ou largura da viga ou quando se necessita 
limitar a altura da linha neutra para garantir a devida ductilidade. 
 
Para o equacionamento da armadura dupla usa-se os seguintes elementos: 
 
Tensão máxima no concreto: cd = 0,85.fcd 
 
Tensão máxima na armadura tracionada: sd = fyd 
 
Tensão máxima na armadura comprimida: ’sd = fyd 
 
Resultante no concreto: Rcc = cd.bw.0,8.x = 0,85.fcd.bw.0,8.x = 0,68.fcd.bw.x 
 
Resultante no CG da armadura comprimida: Rsc = ’sd.As 
 
Resultante no CG da armadura tracionada: Rst = Rst1 + Rst2 
 
 
 
 
‘ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Elementos para o dimensionamento no ELU para armadura dupla 
 
Condição de equilíbrio à translação: Rcc + Rsc= Rst1 + Rst2 
 
Condição de equilíbrio à rotação: Mud = Rcc.z + Rsc.z’ = Rst.z + Rsc.(0,4.x - d’) 
d 
st1 
x 
s 
c c 
y = 0,8 x 
Rst=Rst1+Rst2 
Rcc 
0,4 x 
z = d-0,4 x 
As 
bw 
d” 
a) seção transversal b) diagrama de deformações c) diagrama de tensões d) resultantes 
d’ Rsc
c 
z’ = d – d’ 
st2 
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Como z’ = (d - d’) e Rcc = Rst1 e Rsc = Rst2 
 
O momento último de cálculo pode ser: 
 
Mud = Md1 + Md2 = Rst1.z + Rst2.z’ = Rst1.(d - 0,4.x) + Rst2.(d - d’) 
 
Md1 usa xlim = 0,45.d do critério de ductilidade e pode ser expresso por 
 
Md1 = Rcc.z = Rst1.z 
 
Onde 
z lim = (d – 0,4.xlim) 
z lim = (d-0,4.0,45.d) = 0,82.d (para concretos fck 50 MPa) 
xlim = 0,45.d para concreto de resistência característica à compressão menor que 50 MPa 
 
 
Md1 = 0,85.fcd.bw.0,8.xlim.(d - 0,4.xlim) 
Md1 = 0,85.fcd.bw.0,8.0,45.d.(d - 0,4.0,45.d) 
Md1 = 0,85.fcd.bw.0,36.d.(d - 0,18.d) 
Md1 = 0,306.fcd.bw.d.(0,82.d) 
Md1 = 0,2509.fcd.bw.d
2 
 
E a parcela correspondente de armadura 
 
Ast1 = Md1/fyd.(d - 0,4.xlim) 
 
A parcela excedente é a que corresponde à armadura comprimida 
 
Md2 = Md – Md1 
 
A parcela de armadura comprimida é obtida pela expressão: 
 
As2 = Md2/’sd.(d - d’) 
 
Para avaliar a tensão na armadura comprimida usa-se a compatibilidade de 
deformações dada pela expressão: 
 
sc = 3,5%o.(xlim - d’)/xlim 
 
Se sc  yd  sd = fyd e As2 = A’s neste caso. sd = Es.sc em caso contrário. 
 
E área de armadura comprimida resulta em: 
 
As’= As2 = Md2/(fyd.(d - d’)) 
 
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Seção T 
 
14.6.2.2 Largura colaborante de vigas de seção T 
 
Quando a estrutura for modelada sem a consideração automática da ação conjunta de lajes e 
vigas, esse efeito pode ser considerado mediante a adoção de uma largura colaborante da laje 
associada à viga, compondo uma seção transversal T. 
 
A consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços 
internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de uma forma mais realista. 
 
A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da 
distância "a" entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje 
colaborante. 
 
A distância "a" pode ser estimada, em função do comprimento  do tramo considerado, como 
se apresenta a seguir: 
 
- viga simplesmente apoiada..........................................................a = 1,00 
 
- tramo com momento em uma só extremidade.............................a = 0,75  
 
- tramo com momentos nas duas extremidades.............................a = 0,60  
 
- tramo em balanço..........................................................................a = 2,00  
 
Alternativamente o cômputo da distância "a" pode ser feito ou verificado mediante exame dos 
diagramas de momentos fletores na estrutura. 
 
Figura 11 - (Figura 14.2) - Largura de mesa colaborante 
 
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Seção T calculada como seção retangular 
 
Condição: 0,8.x  hf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Elementos para o dimensionamento no ELU seção T “falsa” para armadura simples 
 
O dimensionamento de seções T calculadas como seção retangular pode começar pela 
definição da altura útil que deve estar entre a altura mínima que atende a condição: 
 
x = 0,45.d para concreto de resistência característica à compressão menor que 50 MPa 
e a altura correspondente ao limite entre os domínios 2 e 3: 
 
No primeiro caso, onde xlim = 0,45.d: 
 
Md = 0,85.fcd.bf.0,8.xlim.(d - 0,4.xlim) 
 
Md = 0,2509.fcd.bf.d
2 
 
dmín = (Mud/0,251.fcd.bf)
1/2 
 
No segundo, com x23 = 0,259.d 
 
dmáx = (Mud/0,16.fcd.bf)
1/2 
 
Definida a altura útil determina-se a altura da linha neutra correspondente. 
 
Usando y = 0,8.x a equação geral pode ser escrita 
 
Mud = cd.bf.y.(d - 0,5.y) 
d 
s 
x 
s 
c c 
y = 0,8 x 
Rst 
Rcc 0,4 x 
z = d-0,4 x 
As 
bw 
d” 
a) seção transversal b) diagrama de deformações c) tensões d) resultantes 
h 
bf 
hf 
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E o valor de y é obtido pela expressão 
fcd
d
bf
M
ddy
..85,0
.22 
 
Os limites dos domínios quando se usa y 
 
Se y  0,207.d a seção está no domínio 2 de deformação. 
 
Se 0,207.d < x < 0,5.d a seção está no domínio 3 de deformação. 
 
E quando y/d > 0,5 o Domínio é o 4. E não é possível aceitar a altura correspondente. 
 
Outra avaliação possível é o momento máximo para essa solução dado pela expressão: 
 
Md,máx = 0,25.fcd.bf.d
2 
 
Confirmada a condição 0,8.x  hf a seção pode ser calculada como uma seção retangular 
de largura bw = bf. 
 
Assim a armadura necessária é dada por 
 
As = Md/z.fyd = Md/fyd.(d-0,5.y) 
 
Escolhida a bitola tem-se o detalhamento com a definição da distância d”. 
 
A altura efetiva defe = h – d” 
 
yefe = 0,8.As,efe.fyd/0,85.fcd.bf 
 
E, o momento resistente pode ser obtido pelas expressões: 
 
MRud = As,efe.fyd.(d efe - 0,5.y efe) ou 
 
MRud = 0,85.fcd.bf.y.(d efe - 0,5.y efe) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Condição hf < 0,8.x (Linha neutra na alma)Figura 13 – Elementos para o dimensionamento no ELU seção T para armadura simples. 
O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retângulos (1 e 
2). As resultantes de tensão sobre as partes 1 e 2 valem: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Divisão em abas e alma 
Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf 
2 
1 1 
LN 
d 
s 
x 
s 
c c 
y = 0,8 x 
Rst 
Rcc 
0,4 x 
z = d-0,4 x 
As 
bw 
d” 
a) seção transversal b) diagrama deformações c) diagrama tensões d) Resultantes 
h 
bf 
hf 
Rcf hf/2 
1 1 
= + 
Asw Asf 
2 
zw = d-0,4.x 
0,4.x 
0,5.hf 
zf = d-0,5.hf 
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Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x) = 0,68 bw x fcd 
A equação de equilíbrio de momento fornece: 
 Mu = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd (d - hf / 2) + Mcwd 
ou Mcwd = Md – Mcfd 
Este momento deve ser resistido pela parte 2 que é uma seção retangular bw 
por d. Portanto a altura da linha neutra é: 
Usando y = 0,8.x a equação geral pode ser escrita 
 
Mcwd = cd.bw.y.(d - 0,5.y) 
 
E o valor de y é obtido pela expressão: 
wcd
cwd
bf
M
ddy
..85,0
.22 
 
 
Os limites dos domínios quando se usa y 
 
Se y  0,207.d a seção está no domínio 2 de deformação. 
 
Se 0,207.d < x < 0,5.d a seção está no domínio 3 de deformação. 
 
E quando y/d > 0,5 o domínio é o 4. 
 
O limite imposto pela Norma é x/d = 0,45 ou y/d = 0,36. 
 
Portanto o Momento máximo a ser atribuído a parcela correspondente à alma é 
 
Mcwd,máx = 0,25.fcd.bw.d
2 
 
O momento fletor devido a área 1 necessita da armadura 
 
Asf = Mcfd/(fyd.(d-0,5.hf)) 
 
E o momento devido à área 2 da armadura 
 
 Asw = Mcwd /(fyd.(d-0,4.x)) 
 
A armadura total necessária é 
 
As = Asf + Asw 
 
 
 
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Armaduras de costura 
 
 A viga calculada desse modo, tanto no caso retangular como T, exige 
armaduras de costura que garantam a transferência de cisalhamento, tanto entre a 
alma e as abas (negativos da laje), como entre a alma e a mesa (estribos). Como 
mostra a Figura 40. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 40 - Armaduras de costura para a viga T 
 
As ≥ 1,5 cm
2/m