Escada com Degraus em Balanço

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Sumário
1.	INTRODUÇÃO	10
2.	PLANTA DO PROJETO	11
3.	CONSIDERAÇÕES INICIAIS	12
3.1	APRESENTAÇÃO DO PROJETO	12
3.2	REFERÊNCIAS NORMATIVAS	12
3.3	PROGRAMAS COMPUTACIONAIS UTILIZADOS	12
3.4	BIBLIOGRAFIA DE REFERÊNCIA UTILIZADA	13
3.5	CARACTERÍSTICAS DO CONCRETO ARMADO	13
3.6	CARACTERÍSTICAS DO AÇO UTILIZADO	16
4.	CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO	16
4.1	DIMENSÕES MÍNIMAS PARA VIGAS	16
5.	DIMENSIONAMENTO	16
6.	DIMENSIONAMENTO DOS DEGRAUS	17
6.1	QUANTIDADE DE DEGRAUS	17
6.2	ESFORÇOS DE CÁLCULO	17
6.3.	CÁLCULO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS	20
6.3.1.	Domínios de Deformações	20
6.3.2.	Classificação dos Domínios	21
6.3.3.	Determinação da Posição da Linha Neutra	22
6.3.4.	Armadura de Flexão	24
6.3.5.	Armadura Mínima e Máxima	24
6.3.6.	Definição das Armaduras	25
6.3.7.	Armadura de Pele	25
6.3.8.	Armadura inferior longitudinal	25
6.4.	DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS TRANSVERSAIS	25
6.4.1.	Verificação de Compressão na Bielas	25
6.4.2.	Cálculo da Armadura Transversal (Estribo)	26
6.4.3.	Cálculo da Armadura Mínima (Estribo)	27
6.4.4.	Definição das Armaduras	27
6.5.	DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS	28
6.5.1.	Armadura Longitudinal	28
6.5.2.	Armadura Transversal	29
6.5.2.1.	Diâmetro do estribo	29
6.5.2.2.	Espaçamento Máximo medido ao longo do eixo da viga	30
6.5.2.3.	Máximo espaçamento transversal entre os ramos verticais dos estribos	30
6.5.3.	Comprimento de Ancoragem	31
7.	DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS	33
7.1	ESFORÇOS DE CÁLCULO	33
7.1.1	Cargas dos degraus	33
7.1.1.2.	Peso próprio	34
7.1.1.3.	Peso proveniente das paredes sobre a viga	34
7.1.1.4.	Esforço torçor	35
7.1.1.5.	Carregamento sobre a viga	35
7.2.	DIMENSIONAMENTO A FLEXÃO	36
7.2.1.	Determinação da linha neutra da posição da linha neutra	36
7.2.2.	Determinação da Linha Neutra	36
7.2.3.	Armadura de Flexão	37
7.2.4.	Armadura Mínima e Máxima	37
7.2.5.	Dimensionamento das Armaduras Transversais	38
7.2.5.1.	Verificação de Compressão na Bielas	38
7.2.5.2.	Cálculo da Armadura Transversal (Estribo)	38
7.2.5.3.	Cálculo da Armadura Mínima (Estribo)	39
7.3.	DIMENSIONAMENTO A TORÇÃO	40
7.3.1.	Calculo das armaduras	41
7.3.1.1.	Transversal	41
7.3.1.2.	Longitudinal	41
7.4.	SUPERPOSIÇÃO DAS ARMADURAS	42
7.4.1.	Armadura transversal	42
7.4.2.	Definição da armadura transversal	42
7.4.3.	Armadura longitudinal	43
7.4.4.	Definição da armadura longitudinal	43
7.5.	VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES DEVIDO TORÇÃO	44
7.6.	DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS	45
7.6.1.	Armadura Longitudinal	45
7.6.2.	Armadura Transversal	46
7.6.2.1.	Espaçamento Máximo medido ao longo do eixo da viga	46
7.6.2.2.	Máximo espaçamento transversal entre os ramos verticais dos estribos	46
7.6.3.	Comprimento de Ancoragem	47
7.7.	ESCALONAMENTO	47
7.7.1.	Armadura longitudinal	47
7.7.2.	Armadura transversal (estribo)	47
1. 
2. INTRODUÇÃO
Proprietário: Marinaldo Júnior.
Obra: Construção de escada em balanço com degraus isolados.
Local: João Pessoa/PB, localizada na entrada do município.
O presente projeto diz respeito a análise e o dimensionamento de duas escadas em concreto armado e suas vigas de sustentação, localizada na entrada do município de João Pessoa, Paraíba. Neste memorial de cálculo serão apresentados todos os cálculos necessários à determinação das solicitações e as verificações dos estados limites, bem como dimensionamento da estrutura citada. Apresentados em sequência lógica e com um desenvolvimento tal que facilmente possam ser entendidos, interpretados e verificados.
3. PLANTA DO PROJETO
4. CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
4.1 APRESENTAÇÃO DO PROJETO
A ECP engenharia ficou a cargo do dimensionamento e execução de duas escadas em balanço com degraus isolados bem como suas vigas de sustentação. A estrutura se localiza em uma residência familiar, tendo como função interligar o 9º e o 10º andar dos dois duplex, referentes ao apartamento Raio de Sol.
Nosso cliente solicitou tal escada devido as suas características estéticas, que proporcionam leveza ao ambiente. Foi decidido que a estrutura terá mudança de direção com a utilização de um patamar, visando utilizar melhor o espaço disponível para sua execução bem como diminuir o vão da escada.
 Esse tipo de estrutura não causa muita interferência ao ambiente e quanto ao acabamento pode-se optar por diversos revestimentos, desde pisos cerâmicos até mármores e de madeira. 
4.2 REFERÊNCIAS NORMATIVAS
As normas utilizadas para os elementos deste memorial foram as seguintes: 
· ABNT NBR - 6118/2014 - Projeto e execução de obras de concreto armado;
· NBR 10520:2002 - Apresentação de citações em documentos;
· NBR 6023: 2002 – Referências;
· NBR 6024: 2003 - Numeração progressiva de seções;
· NBR 6027: 2003 – Sumário;
· NBR 6024: 2003 – Resumo;
· ABNT NBR - 7480/2007 - Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado – Especificação.
4.3 PROGRAMAS COMPUTACIONAIS UTILIZADOS
Os softwares utilizados para modelagem, análise estrutural, detalhamentos, dimensionamentos e resumo dos dados obtidos:
· AutoCad 2016
· Microsoft Excel 2016
4.4 BIBLIOGRAFIA DE REFERÊNCIA UTILIZADA
Para o desenvolvimento dos modelos para analise estrutural dos elementos, também métodos desenvolvidos para o dimensionamento dos elementos. As referências utilizadas são as seguintes:
· Calculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado – Roberto Carvalho e Jasson Filho;
· Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado Volume 2 – Roberto Carvalho e Libânio Pinheiro;
· Curso de Concreto Armado Volume 2 e 4 – José Milton;
4.5 CARACTERÍSTICAS DO CONCRETO ARMADO
Segundo a NBR 6118/2014, quando o peso específico real do concreto armado não for conhecido deve-se adotar para o mesmo o valor de 25,0 kN/m³. Para efeito da análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica do concreto armado pode ser admitido como sendo igual a . 
A resistência à compressão do concreto foi estabelecida levando em conta a classe de agressividade ambiental a que estará sujeita a estrutura, conforme a NBR 6118/2014.
Utilizando a tabela 6.1 - Classe de agressividade ambiental (CAA), seguindo as características do local da obra, uma estrutura em local urbano, sem industrias que possam causar poluição a estrutura, assim a classificação adotada para o projeto foi de Classe II de agressividade moderada e classificação Urbana, possuindo índice de deterioração pequeno conforme visto na figura 1.
Figura 1 - Tabela 6.1 da NBR 6118/2014.
Fonte: adaptado da NBR 6118/2014.
Assim definida a classe de agressividade ambiental a que estará sujeita a estrutura, na figura 2, tabela 7.1 correspondentes a qualidade do concreto a ser utilizado, verifica-se qual a resistência mínima a compressão do concreto deve ser possuir, para a classe de agressividade II, o concreto armado deve ser maior ou igual a 25 MPa (Classe C25) para a estrutura que será de concreto armado. A relação água/cimento em massa deve ser menor ou igual a 0,60 para a confecção do concreto.
Figura 2 – Tabela de qualidade do concreto.
Fonte: adaptado da NBR 6118/2014.
Como em estruturas de grande porte os elementos sofrem grandes esforços é necessário à utilização de concretos mais resistentes que ajudaram a diminuir dimensões de elementos. Assim foi adotada a classe de concreto com , tal medida foi feita visando construir dregraus e vigas mais esbeltas.
Com parâmetro a classe de agressividade ambiental já definido deve-se verificar os cobrimentos mínimos a serem adotados para cada tipo de elemento. Os valores mínimos especificados por norma devem atender o apresentado na figura 3, tabela 7.2 classes de agressividade e o cobrimento nominal para proteção do concreto conforme sua utilização.
Figura 3 – Cobrimento nominal dos elementos.
Fonte: adaptado da NBR 6118/2014.
Conforme apresentado na tabela os cobrimentos mínimos para a classe de agressividade II devem ser: 
· Elementos de Viga/pilar devem ser de 3,0 cm.
A dimensão máxima característica do agregado graúdo (dmáx) utilizado no concreto não pode superar em 20 % a espessura nominal do cobrimento, ou seja:
4.6 CARACTERÍSTICAS DO AÇO UTILIZADO
Nos projetos de estruturas em concreto armadodevem ser utilizados os fios ou barras de aço classificados pela NBR 7480/2007 de acordo com o valor característico de resistência ao escoamento nas categorias: CA–25 e CA–50 para barras de aço e CA–60 para fios de aço. Os diâmetros e seções transversais adotados devem ser os estabelecidos nominais de acordo com a norma citada. Foi empregado neste projeto o aço pertencente a seguinte categoria:
Aço CA–50, que possui resistência característica ao escoamento da ordem de 500 MPa em barras providas de saliências ou mossas.
A massa especifica do aço é de 7,850 kg/m3, segundo a NBR 6118/2014. A mesma norma fornece o valor de 210 GPa para modulo de elasticidade do aço, e 10-5º/C-1 para o coeficiente de dilatação térmica para intervalos de temperatura entre –20ºC e 150ºC.
5. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO
5.1 DIMENSÕES MÍNIMAS PARA VIGAS
Os degraus das escadas foram dimensionados como vigas assim cabe também a eles o referente na norma NBR 6118/2014, que conforme o item 13.2.2 cita, a seção transversal das vigas não pode apresentar largura menor que 12 cm e a das vigas-parede, menor que 15 cm. Estes limites podem ser reduzidos, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as condições estabelecidas na norma.
6. DIMENSIONAMENTO 
Os degraus serão dimensionados como vigas, alguns pontos que dizem respeito à ancoragem na viga lateral, aos esforços solicitantes e o detalhamento das armaduras serão diferentes das vigas usuais, assim nestes pontos serão citadas tais mudanças.
Desta forma pela definição da NBR 6118/14 (item 14.4.1.1), vigas “são elementos lineares em que a flexão é preponderante”. As vigas são classificadas como barras e são normalmente retas e horizontais, destinadas a receber ações das lajes, de outras vigas, de paredes de alvenaria, e eventualmente de pilares, etc. Os degraus estarão sujeitos as cargas permanentes provenientes do peso próprio, revestimento, as cargas do parapeito e a carga acidental. Enquanto as vigas estarão sob influencia das cargas provenientes dos degraus, as quais resultarão em esforços de torção, o peso da parede sobre ela e a carga acidental.
A função das vigas é basicamente vencer vãos e transmitir as ações nelas atuantes para os apoios, geralmente os pilares. Será considerado nas vigas o modelo de simplesmente apoiado para modelo de cálculo e desta forma adotado um cálculo detalhado para cada viga, enquanto para os degraus será utilizado um modelo de engaste na viga lateral.
7. DIMENSIONAMENTO DOS DEGRAUS
7.1 QUANTIDADE DE DEGRAUS
Segundo o projeto arquitetônico, o apartamento possui um pé esquerdo de 3,6 m, assim foi adotado um espelho de 18cm. Para que desta forma fosse calculada a quantidade de degraus, pela formula.
Encontrando uma quantidade de 20 degraus para cada escada, sendo divididos em 19 degraus e 1 patamar para cada uma, lembrando que deve ser dimensionada duas escadas assim esses valores devem ser multiplicados por 2 no final. O piso dos degraus foi adotado de 28 cm com largura de 1,20m. Para o patamar foi dimensionado um piso de 1,20 m e largura de 1,20 m.
7.2 ESFORÇOS DE CÁLCULO
Inicialmente serão encontrados os esforços que atuam nos degraus, para que sejam definidas todas as armaduras necessárias, o calculo efetuado é o mesmo para os patamares. O primeiro passo consiste em identificar as cargas sobre os degraus. Entre elas incluem-se: 
· Peso próprio por metro quadrado:
Onde:
 Altura do degrau;
 Peso específico do concreto armado.
· Carga acidental: segundo a NBR: 6120, os degraus devem ser calculados com uma carga concentrada de 2,5 KN, disposta na posição mais desfavorável, no nosso caso no extremo do degrau.
· Cargas do parapeito, por metro:
O parapeito utilizado é de vidro, com altura de 1,3 m, espessura de 16mm e peso especifico de 26 KN/m³, ainda segundo a norma para o calculo deve ser considerado uma carga de 2KN/m no seu topo e uma carga de 0,8 KN/m horizontal também no topo, essa carga será utilizada para o momento fletor no degrau, assim temos:
Onde:
 Peso próprio do parapeito;
 Peso específico do parapeito;
 Altura do parapeito;
 Espessura do parapeito.
Onde:
 Carga do parapeito por metro;
 Carga acidental.
Por fim é encontrada a carga pontual do parapeito.
Onde:
 Carga do parapeito por metro;
 Carga pontual do parapeito sobre o degrau;
 largura do degrau (piso).
· Revestimento por metro quadrado:
Foi adotado um revestimento de mármore com 2 cm de espessura e peso próprio de 28 KN/m³, desta forma foi calculado o seguinte.
Onde:
 Carga do revestimento por metro quadrado;
 Peso específico do revestimento;
 Espessura do revestimento (piso).
	Com base nesses dados foi calculada a carga permanente por metro quadrado, que será utilizada no calculo da viga, bem como a carga permanente linear.
 Carga Permanente total por metro quadrado.
 Carga Permanente por metro sobre o degrau. 
	Diante todos os cálculos, sabendo que o modelo de cálculo do degrau é através do engaste do mesmo na viga lateral e supondo valores para as dimensões da viga lateral, temos o momento e esforço cortante final característicos.
Onde:
 Momento característico para o degrau;
 Esforço cortante característico para o degrau;
 Comprimento de dimensionamento do degrau, dado pela soma do comprimento do degrau com metade da largura da viga.
A metodologia de cálculo será a mesma para os patamares. Assim tanto os cálculos efetuados anteriormente quantos os que estão por vir serão os mesmos para o patamar. Os esforços encontrados foram majorados pelos coeficientes:
Onde:
 Altura do degrau em “cm”.
Se , não é preciso usar o valor de .
Como a altura do degrau é menor que 19 utilizaremos a seguinte fórmula:
Em seguida o momento fletor e esforço cortante foram majorados da seguinte forma:
6.3. CÁLCULO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS
6.3.1. Domínios de Deformações
Os domínios são representações das deformações que ocorrem na seção transversal dos elementos estruturais. As deformações são de alongamento e de encurtamento, oriundas de tensões de tração e compressão, respectivamente. Segundo a NBR 6118/14 (item 17.2.2), o estado limite último (ELU) de elementos lineares sujeitos a solicitações normais é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura abaixo.
Figura 4 - Diagrama possíveis dos domínios de deformações.
6.3.2. Classificação dos Domínios
· Domínio 1 
O domínio 1 ocorre quando a força normal de tração não é aplicada no centro de gravidade da seção transversal, isto é, existe uma excentricidade da força normal em relação ao centro de gravidade. Neste domínio, ocorre a tração não uniforme, e a seção ainda está inteiramente tracionada.
· Domínio 2 
 	No domínio 2 ocorrem os casos de solicitação de flexão simples, tração excêntrica com grande excentricidade e compressão excêntrica com grande excentricidade. A seção transversal tem parte tracionada e parte comprimida. O domínio 2 é caracterizado pela deformação de alongamento fixada em 10 ‰ na armadura tracionada.
· Domínio 3 
Os casos de solicitação são os mesmos do domínio 2, ou seja, flexão simples, tração excêntrica com grande excentricidade e compressão excêntrica com grande excentricidade. A seção transversal tem parte tracionada e parte comprimida. O domínio 3 é caracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixada em 3,5 ‰ no concreto da borda comprimida.
· Domínio 4 
 	Os casos de solicitação do domínio 4 são a flexão simples e a flexão composta (flexo-compressão ou compressão excêntrica com grande excentricidade). A seção transversal tem parte tracionada e parte comprimida. O domínio 4 é caracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixada em 3,5 ‰ no concreto da borda comprimida.
· Domínio 4a 
No domínio 4a a solicitação é de flexão composta (flexo-compressão). A seção transversal tem uma pequena parte tracionada e a maior parte comprimida. O domínio 4a também é caracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixadaem 3,5 ‰ no concreto da borda comprimida.
· Domínio 5 
No domínio 5 ocorre a compressão não uniforme ou flexo-compressão com pequena excentricidade (flexão composta). A linha neutra não corta a seção transversal, que está completamente comprimida, embora com deformações diferentes. As duas armaduras também estão comprimidas.
A posição da linha neutra pode variar, desde o valor x2limaté x3lim (x2lim ≤x ≤x3lim), que delimita os domínios 3 e 4. A deformação de encurtamento na armadura comprimida é menor, mas próxima a 3,5 ‰, por estar próxima à borda comprimida, onde a deformação é 3,5 ‰. 
Na situação última a ruptura do concreto comprimido ocorre simultaneamente com o escoamento da armadura tracionada.
6.3.3. Determinação da Posição da Linha Neutra
É necessário que seja calculado para todos os momentos fletores que atuam na viga, é necessário que sejam dimensionados para os domínios 2 e 3, então:
Onde:
 Altura útil do degrau, dada pela diminuição da altura do degrau pelo d’
	Para degrau foi adotada uma altura de 13 cm e um d’ de 4cm, os mesmos dados forma supostos para o patamar, logo:
· Determinação da Linha Neutra:
Onde:
 Largura do degrau;
 É a posição da linha neutra;
 É a altura do degrau;
 É resistência de cálculo do concreto à compressão.
	Substituindo os seguintes valores na equação acima, teremos:
Resolvendo a equação de segundo grau, têm-se dois valores:
Ondo o valor utilizado é aquele dito como menor, por fim obtemos:
Com o valor da profundidade da linha neutra, deve-se verificar em qual domínio ela esta localizada, lembrando que ela deve estar entre os domínios 2 ou 3, que são os domínios de dimensionamento. Para se analisar tal fato deve-se fazer:
Se isso acontecer a linha neutra esta no domínio 2 se não ela esta no domínio 3, logo o nosso degrau está no domínio 3. Ainda com os dados sobre a linha neutra se verifica a necessidade de utilizar armadura dupla, utilizando uma metodologia do CEB/90, que afirma um limite máximo para o de 0,45 para concretos de menores ou iguais a 35 Mpa e de 0,35 para concretos de maiores de 35 Mpa. Se o valor de , o qual é igual à divisão da profundidade limite da linha neutra pela altura útil da viga, for maior que essas limitações citadas à viga necessita de armadura dupla, senão utiliza-se armadura simples. 
6.3.4. Armadura de Flexão
Deve-se encontrar a área de aço necessária, pela formula:
	
Onde:
 Momento fletor de calculo;
 Resistencia de dimensionamento do aço ao escoamento;
 É a altura do degrau;
 Profundidade da linha neutra;
 Momento de Cálculo final majorado.
6.3.5. Armadura Mínima e Máxima
Ainda sobre a área de aço calculada, tem de se verificar a área mínima e máxima, o que se faz com as formulas:
Onde:
 Altura do degrau;
 Largura do degrau;
 Multiplicação da altura pela largura do degrau.
6.3.6. Definição das Armaduras
Com o valor encontrado para a área de aço necessária, deve-se selecionar uma área de aço maior ou igual a encontrada e que esteja entre as áreas mínima e máxima calculadas, utilizando as tabelas de dimensionamento, aqui vamos utilizar a tabela A3.2-VOL 2 do livro José Milton de Araújo (2010). Encontrando assim a quantidade de barras bem como a sua bitola, tendo assim para cada degrau.
6.3.7. Armadura de Pele
Neste caso não foi considerado, pois a altura dos degraus é menor que 60 (h<60). 
6.3.8. Armadura inferior longitudinal
Essa armadura é utilizada na parte inferior do degrau, foram adotadas 2 barras de diâmetro igual ao do estribo.
6.4. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS TRANSVERSAIS
6.4.1. Verificação de Compressão na Bielas
Para tal verificação deve-se fazer:
Com:
Onde:
 Maior esforço cortante do vão;
 Resistência de calculo à compressão do concreto;
 Resistência característica à compressão do concreto;
 Altura útil do degrau;
 Base do degrau;
Se acontecer: , o dimensionamento pode continuar, logo em nosso acaso obtivemos sucesso.
6.4.2. Cálculo da Armadura Transversal (Estribo)
Primeiro faz-se:	
	Onde:
	Em posse destes valores, faz-se o seguinte: 
Com o valor de , calcula-se a área de aço necessária em resposta esforço cortante de cálculo.
Onde:
 Resistencia de dimensionamento do aço ao escoamento.
 Altura útil do degrau;
6.4.3. Cálculo da Armadura Mínima (Estribo)
A área dimensionada no calculo anterior possui uma limitação, ela deve ser maior que uma área mínima, a qual se encontra da seguinte forma.
 
6.4.4. Definição das Armaduras
Com o valor encontrado para a área de aço necessária, deve-se selecionar uma área de aço maior ou igual a encontrada e que esteja acima da área mínima calculada, utilizando as tabelas de dimensionamento, aqui vamos utilizar a tabela A3.3-VOL 2 do livro José Milton de Araújo (2010). Adotando desta forma uma certa bitola com determinado espaçamento, tendo assim para cada degrau.
6.5. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
6.5.1. Armadura Longitudinal
Espaçamento Livre Entre Faces Das Barras:
A disposição das barras entre os ramos verticais do estribo deve proporcionar uma distância livre entre as barras suficiente para a passagem do concreto, a fim de evitar o surgimento de nichos de concretagem, chamados na prática de “bicheira”. O espaçamento livre horizontal e vertical mínimo entre as barras é dado por:
Foi adotado o mínimo de 2 cm para a vertical e 2,28 para a horizontal .
Onde:
 - Espaçamento livre horizontal mínimo entre as faces de duas barras da mesma camada;
 - Espaçamento livre vertical mínimo entre as faces de duas barras de camadas adjacentes;
 - Dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto;
- Diâmetro da barra, do feixe ou da luva.
Figura 5 – Espaçamentos livres mínimos entre as faces das barras de aço longitudinais
Valor de d’ para seção: 
Foi adotado um valor igual a:
A distância , medida entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a fibra mais tracionada da seção transversal, depende da configuração da seção, no nosso caso como as armaduras possuem apenas uma camada o valor d’ é dado pela soma do cobrimento, do diâmetro do estribo e metade do diâmetro da armadura. Se esse valor estiver entre o intervalo de ± 2 da altura útil inicial utilizada, então o dimensionamento é aceito, essa detalhe é uma definição construtiva utilizada a cargo do projetista, logo:
6.5.2. Armadura Transversal
6.5.2.1. Diâmetro do estribo
5mm
5mm
Onde:
 – Diâmetro do estribo – Base do degrau
6.5.2.2. Espaçamento Máximo medido ao longo do eixo da viga
Nesse caso deve-se verificar: 
Se isso acontecer, temos um espaçamento máximo de iguala a:
Se não ocorrer, temos:
	Sabendo que esses valores devem ser menores que 30 cm.
6.5.2.3. Máximo espaçamento transversal entre os ramos verticais dos estribos
	Outro ponto a se verificar é:
Se isso acontecer, temos um espaçamento máximo de iguala a:
	Se não ocorrer temos:
	E nesse caso esses valores devem ser menores que 80 cm.
6.5.3. Comprimento de Ancoragem 
A ancoragem da armadura se dá na viga lateral e devido à própria configuração da armadura, que executa uma volta ao redor da viga.
6.6. ESCALONAMENTO
6.6.1. Armadura principal (longitudinal superior) e armadura secundária ( longitudinal inferior)
A armadura principal foi determinada como 3 12,5, ela deve realizar uma volta em torno da viga, e a armadura inferior foi escolhida como 2 6,3 assim:
Figura 6 – Armadura principal e secundária
Fonte: Arquivo pessoal, 2017.
	Assim temos:
	Lembrando que todos os cálculos são realizados para um único degrau, restando ainda 19 degraus em cada escada. 
6.6.2. Armadura transversal ( estribo)
Essa armadura é constituída de 6,3 c.19, o seu comprimento e quantidade são dados pelas seguintes formulas.
Figura 7 – Armadura Transversal
Fonte: Arquivo pessoal, 2017.
	O comprimento total do estribo ainda deve ser acrescentado de uma parcela, referente a dobra (), a qual foi retirada da tabela A3.7-VOL 2 do livro José Milton de Araújo (2010).
	Vale salientar que essa quantidade calculadadeve ser verificada se encaixa no comprimento disponível, assim teremos:
8. DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS
No presente trabalho duas vigas foram dimensionadas, o procedimento de cálculo é o mesmo para ambas e bastante parecido com o dimensionamento dos degraus, a diferença é que as vigas estão sujeitas a cargas de torção. Na viga 1 estão engastados os primeiros 12 degraus e o patamar, os 7 degraus restantes estão sendo apoiados na viga 2, a qual também suporta os 7 degraus da escada do apartamento vizinho.
8.1 ESFORÇOS DE CÁLCULO
Inicialmente serão encontrados os esforços que atuam nas vigas, para que sejam definidas todas as armaduras necessárias. Assim temos:
8.1.1 Cargas dos degraus
O esforço transmitido dos degraus para a viga é referente ao momento e esforço cortante no ponto de engaste. Com o momento será calculado o esforço torçor e com a cortante será montado o modelo de cálculo, para o dimensionamento a flexão.
Para se definir essas características deve ser refeito o modelo de cálculo no degrau, considerando sobre ele a carga permanente “”, calculada anteriormente e uma carga acidental de 2,5KM/m.
Dessa forma se encontra um momento e um esforço cortante no engaste, pela fórmula.
7.1.1.2. Peso próprio
Onde:
 Altura da viga;
 Base da viga;
 Peso específico do concreto armado.
7.1.1.3. Peso proveniente das paredes sobre a viga
Para realização desse calculo, foi necessária a altura da parede sobre a viga, dada no projeto arquitetônico. Como a viga da escada possui trechos inclinados a altura da parede, nesses trechos foi considerada como uma media das alturas inicial e final.
	Foi adotado um peso específico de 13KN/m³ e uma espessura de 15 cm.
7.1.1.4. Esforço torçor
Para o cálculo do esforço torçor é utilizado o valor de “”. Como a primeira viga possui partes sem o engaste de degraus, se poderia entender que o esforço torçor não atua nesses locais, mas tal afirmativa esta incorreta. Desta forma foi considerado o momento torçor sobre toda a extensão da viga, o mesmo acontece para a segunda viga. Assim temos:
Onde:
 Comprimento horizontal total da viga;
 Momento torçor característico; 
 Momento torçor de cálculo.
7.1.1.5. Carregamento sobre a viga
O carregamento da viga se da pelo somatório do esforço cortante, calculado anteriormente, que é a carga linear transmitida dos degraus para a viga, junto com o peso próprio e a carga da parede. Vale salientar que nem toda a viga esta engastada pelos degraus, assim nestes pontos só haverá carga proveniente do peso próprio e da carga da parede.
Outro ponto a se ressaltar é quanto à segunda viga, ela atuará de sustentação para os degraus dos dois apartamentos, assim os esforços resultantes dos degraus: e devem ser multiplicados por 2.
Com o carregamento sobre a viga, utilizando-se o programa ftoll, foi executado o modelo de cálculo apoiando a viga nos pilares e por fim encontrando o momento e o esforço cortante de cálculo. Os esforços encontrados foram majorados com 1,4 para os devidos cálculos posteriores. Vale lembrar também que existem duas “viga 1” pois deve ser dimensionada a escada do apartamento vizinho, a qual é a mesma, assim suas armaduras devem ser multiplicadas por 2 no final. Enquanto na viga 2 um ponto importante, como já foi citado ela sustenta os sete últimos degraus das escadas dos dois apartamentos.
7.2. DIMENSIONAMENTO A FLEXÃO
Inicialmente é feito o dimensionamento a flexão, para se conseguir a área de aço longitudinal e transversal.
7.2.1. Determinação da linha neutra da posição da linha neutra
Primeiro determina-se a altura da linha neutra, é necessário que sejam dimensionados para os domínios 2 e 3, então:
Onde:
 Altura útil viga, dada pela diminuição d altura do degrau pelo d’
	Para as vigas foram adotadas larguras de 15 cm, alturas de 35 cm e um d’ de 4cm.
7.2.2. Determinação da Linha Neutra
Onde:
 Base viga;
 É a posição da linha neutra;
 É a altura da viga;
 É resistência de cálculo do concreto à compressão.
Resolvendo a equação de segundo grau, tem-se dois valores:
Ondo o valor utilizado é aquele dito como menor que foi de:
Com o valor da profundidade da linha neutra, deve-se verificar em qual domínio ela esta localizada, lembrando que ela deve estar entre os domínios 2 ou 3, que são os domínios de dimensionamento. Para se analisar tal fato deve-se fazer:
Se isso acontecer a linha neutra está no domínio 2 se não ela está no domínio 3, como mostrado nosso dimensionamento é no domínio 3. Ainda com os dados sobre a linha neutra se verifica a necessidade de utilizar armadura dupla, utilizando uma metodologia do CEB/90, que afirma um limite máximo para o de 0,45 para concretos de menores ou iguais a 35 Mpa e de 0,35 para concretos de maiores de 35 Mpa. Se o valor de , o qual é igual à divisão da profundidade limite da linha neutra pela altura útil da viga, for maior que essas limitações citadas à viga necessita de armadura dupla, senão utiliza-se armadura simples.
7.2.3. Armadura de Flexão
Deve-se encontrar a área de aço necessária, pela formula:
	
Onde:
 Momento fletor de calculo;
 Resistencia de dimensionamento do aço ao escoamento;
 É a altura da viga;
 Profundidade da linha neutra.
7.2.4. Armadura Mínima e Máxima
Ainda sobre a área de aço calculada, tem de se verificar a área mínima e máxima, o que se faz com as formulas:
Onde:
 Altura da viga;
 Base da viga; 
 Multiplicação da altura pela largura da viga.
7.2.5. Dimensionamento das Armaduras Transversais
7.2.5.1. Verificação de Compressão na Bielas
Para tal verificação deve-se fazer:
Com:
Onde:
 Maior esforço cortante do vão. 
 Resistência de calculo à compressão do concreto;
 Resistência característica à compressão do concreto.
Se acontecer: , o dimensionamento pode continuar, como foi observado a verificação está dentro da norma estabelecida.
7.2.5.2. Cálculo da Armadura Transversal (Estribo)
Primeiro faz-se:	
	Onde:
	
Em posse destes valores, faz-se o seguinte: 
Com o valor de , calcula-se a área de aço necessária em resposta esforço corante de calculo.
Onde:
 Resistencia de dimensionamento do aço ao escoamento.
7.2.5.3. Cálculo da Armadura Mínima (Estribo)
A área dimensionada no calculo anterior possui uma limitação, ela deve ser maior que uma área mínima, a qual se encontra da seguinte forma.
7.3. DIMENSIONAMENTO A TORÇÃO
No dimensionamento a torção, primeiro deve-se calcular, .
Onde:
 Bitola do estribo determinado na flexão;
 Bitola da armadura longitudinal na flexão.
Em seguida verifica-se:
Desta forma se:
Verifica-se caso 1, assim temos:
Caso aconteça:
Verifica-se caso 2, assim temos:
Onde:
 Área efetiva;
 Altura efetiva;
 Perímetro efetivo.
7.3.1. Calculo das armaduras
7.3.1.1. Transversal 
Onde:
 Esforço torçor de calculo.
A armadura mínima é dada pela formula:
7.3.1.2. Longitudinal
A armadura mínima é dada pela formula:
7.4. SUPERPOSIÇÃO DAS ARMADURAS
7.4.1. Armadura transversal
No dimensionamento a torção só pode se contar com um dos ramos do estribo por vez, desta forma faz-se:
Foi divido por dois, pois o esforço foi muito alto, transformando assim em um estribo de 4 ramos.
Onde:
 Área de aço encontrado no dimensionamento ao cisalhamento, que no nosso caso foi igual a zero;
 Área de aço encontrada no dimensionamento ao esforço torçor.
Para a armadura mínima transversal, temos a formula:
7.4.2. Definição da armadura transversal
Com o valor encontrado para a área de aço necessária, deve-se selecionar uma área de aço maior ou igual a encontrada e que esteja acima da área mínima calculada, utilizando as tabelas de dimensionamento, aqui vamos utilizar a tabela A3.3-VOL 2 do livro José Milton de Araújo (2010). Adotando desta forma uma certa bitola com determinado espaçamento, tendo assim para a viga 1.
7.4.3. Armadura longitudinal
A armadura longitudinal deve ser distribuída pelo perímetro da viga assim teremos.
Armadura longitudinal superior:
Armadura longitudinal inferior:
Armadura longitudinal lateral:
Obs.: caso ocorra “caso1”, faz-se =.
7.4.4. Definição da armadura longitudinal
Para cada uma das armaduras encontradas com o valor definido para cada área de aço necessária, deve-se selecionar uma área de aço maior ou igual a encontrada e que esteja acima da área mínima calculada, utilizando as tabelas de dimensionamento, aqui vamos utilizar a tabela A3.2-VOL 2 do livro José Milton de Araújo (2010). Adotando desta forma uma certa quantidade de barras com determinada bitola, para cada uma das armaduras da viga ,1 tendo.
7.5. VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES DEVIDO TORÇÃO
Deve-se verificar:
e
Onde:
 Esforço torçor de calculo;
 Esforço torçor máximo;
 Esforço cortante de calculo;
 Esforço cortante máximo.
Dados:
	E por fim verifica-se:
Logo, concluímos que os esforços solicitantes estão abaixo do limite.
7.6. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
7.6.1. Armadura Longitudinal
Espaçamento Livre Entre Faces Das Barras:
A disposição das barras entre os ramos verticais do estribo deve proporcionar uma distância livre entre as barras suficiente para a passagem do concreto, a fim de evitar o surgimento de nichos de concretagem, chamados na prática de “bicheira”. O espaçamento livre horizontal e vertical mínimo entre as barras é dado por:
Onde:
 Espaçamento livre horizontal mínimo entre as faces de duas barras da mesma camada;
 Espaçamento livre vertical mínimo entre as faces de duas barras de camadas adjacentes;
 Dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto;
 Diâmetro da barra, do feixe ou da luva.
Figura 8 – Espaçamentos livres mínimos entre as faces das barras de aço longitudinais
7.6.2. Armadura Transversal
Diâmetro do estribo:
Onde:
 – Diâmetro do estribo;
 – Base da viga.
7.6.2.1. Espaçamento Máximo medido ao longo do eixo da viga
Nesse caso deve-se verificar: 
Se isso acontecer, temos um espaçamento máximo de iguala a:
Se não ocorrer, temos:
	Sabendo que esses valores devem ser menores que 30 cm.
7.6.2.2. Máximo espaçamento transversal entre os ramos verticais dos estribos
	Outro ponto a se verificar é
Se isso acontecer, temos um espaçamento máximo de iguala a:
	Se não ocorrer temos:
	E nesse caso esses valores devem ser menores que 80 cm.
7.6.3. Comprimento de Ancoragem 
Nesse tópico as armaduras: inferiores, superiores e laterais irão ser ancoradas no pilar utilizando todo o espaço disponível.
7.7. ESCALONAMENTO
7.7.1. Armadura longitudinal
Como já citado anteriormente as armaduras longitudinais da viga estarão dispostas ao redor do seu perímetro, respeitando o espaçamento mínimo vertical e horizontal bem como o comprimento total disposto para a sua adequação e o cobrimento de projeto adotado.
Desta forma algumas armaduras foram dispostas em duas camadas, os comprimentos das barras foram obtidos através do AutoCad. Os ganchos () para ancoragem nos pilares das armaduras inferiores e superiores foram escolhidos com auxilio da tabela A3.5-VOL 2 do livro José Milton de Araújo (2010). 
7.7.2. Armadura transversal (estribo)
Essa armadura é disposta por todas as vigas, não necessitando passar pelas seções dos pilares. O comprimento disponível para sua distribuição foi determinado no AutoCad. Quanto ao seu comprimento unitário fez-se o seguinte.
Onde:
	 – Comprimento unitário do estribo da viga;
 – Parcela referente à dobra, a qual foi retirada da tabela A3.7-VOL 2 do livro José Milton de Araújo (2010).
Quanto a sua quantidade foi utilizada a seguinte formula.
Onde:
 – Quantidade de estribos total para a viga;
 – Comprimento total disponível para a distribuição do estribo;
 – Espaçamento do estribo dimensionado para a viga.
Vale salientar que essa quantidade calculada deve ser verificada se encaixa no comprimento disponível. Desta forma temos.
	Com isso vemos que a quantidade de estribos está acima da necessária. Assim por tentativa e erro se encontra um valor final adotado, para a quantidade de estribos de.
ANEXO A
TABELAS UTILIZADAS NO CÁLCULO DAS VIGAS E DOS DEGRAUS 
– ANEXO A
ANEXO B
MODELOS DE CALCULO, MOMENTOS E ESFORÇOS CORTANTES – ANEXO B 
Viga 1
Carregamento sobre a viga.
Diagrama do momento fletor.
Diagrama do esforço cortante.
Viga 2
Carregamento sobre a viga.
Diagrama do momento fletor.
Diagrama do esforço cortante.
DADOS DE TODAS AS ESTRUTURAS DO PROJETO
	Largura (bd) 
	28
	cm
	Degrau
	Altura (hd)
	13
	cm
	
	Comprimento
	1,2
	m
	
	Md
	-9,560
	KN.m
	As Md
	2,820
	cm²
	3 φ12,5
	3,69
	cm²
	Vsd
	8,320
	KN
	As Vsd
	3,244
	cm²/m
	 φ6,3 C.19
	3,28
	cm²/m
	Largura (bd) 
	120
	cm
	Patamar
	Altura (hd)
	13
	cm
	
	Comprimento
	1,2
	m
	
	Md
	-21,9112
	KN.m
	As Md
	6,00
	cm²
	5 φ12,5
	6,15
	cm²
	Vsd
	20,70843
	KN
	As Vsd
	13,90305
	cm²/m
	 φ12,5 C.17
	14,44
	cm²/m
	Largura (bv) 
	15
	cm
	Viga 1 
	Altura (hv)
	35
	cm
	
	Esforços de cálculo
	Md
	54,74
	KN.m
	
	Vsd
	94,08
	KN
	
	Tsd
	18,31
	KN.m
	Armaduras
	As MAs,sup
	0,834
	cm²
	2 φ8
	1,00
	cm²
	
	As MAs,inf
	5,440
	cm²
	3 φ16
	6,03
	cm²
	
	As MAs,lat
	4,018
	cm²
	4 φ12,5
	4,92
	cm²
	
	As Vsw,tot
	15,921
	cm²/m
	 φ12,5C.13
	18,88
	cm²/m
	Largura (bv) 
	15
	cm
	Viga 2
	Altura (hv)
	35
	cm
	
	Esforços de cálculo
	Md
	45,78
	KN.m
	
	Vsd
	50,54
	KN
	
	Tsd
	29,15
	KN.m
	Armaduras
	As MAs,sup
	1,242
	cm²
	2 φ10
	1,58
	cm²
	
	As MAs,inf
	5,001
	cm²
	3 φ16
	6,03
	cm²
	
	As MAs,lat
	4,789
	cm²
	4 φ12,5
	4,92
	cm²
	
	As Vsw,tot
	17,738
	cm²/m
	 φ12,5C.13
	18,88
	cm²/m
ANEXO C
DETALHAMENTO DAS ESTRUTURAS – ANEXO C