Cálculos Financeiros e Estatísticos

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Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia 37
Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia 59
	
Antônio Carlos Garcia
CÁLCULOS FINANCEIROS E ESTATÍSTICO
Componente curricular: matemática 
2º EDIÇÃO-S. Paulo, 2018
	Editor: Antônio Carlos Garcia
	Revisão: Tais Andrade
Edição do Autor
Batatais-S.P.
2018
	Índice
	Conteúdo:
	Regras de sinais
	Operações Financeiras
	Razão e Proporção
	Regra de Sociedade
	Juros Simples
	Desconto Comercial (ou simples)
	Desconto Racional
	Logaritmos- Introdução ao J. Compostos
	Propriedades operatórias de logaritmos
	Juros Compostos
	Desconto Composto
	Empréstimos
	Reciprocidade Bancária
	Taxa efetiva de descontos
	Método Hamburguês
	Contas cheque especial
	Saldo médio e outros parâmetros
	Série de pagamentos
	Títulos governamentais e Análises de investimentos
Matemática básica
1-Regras de sinais
Para que possamos entender como ela funciona, temos que ter bem assimilado como funcionam as quatro operações básicas desta disciplina:
- Adição;
- Subtração;
- Multiplicação;
- Divisão.
Você sabe como essas operações são feitas? E quando devemos utilizá-las na solução de um problema?
Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez é bom em matemática. É engano! Fazer contas rapidamente é uma habilidade que se adquire com a prática. Muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais são as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em matemática, o mais importante é o raciocínio.
Devemos ainda lembrar que números negativos também podem ser somados.
Por exemplo, a soma de - 15 com - 5 dá - 20. Para escrever essa operação, fazemos assim:
- 15 + (- 5) = - 20
Uma forma de entendermos melhor é considerar - 15 e - 5 como duas dívidas; se tenho duas dívidas, então, devemos somar e o resultado total será uma dívida de 20, portanto -20.
Observe que colocamos - 5 entre parênteses para evitar que os sinais de + e de - fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever a mesma operação. Veja:
- 15 - 5 = - 20
- A subtração
Podemos pensar na operação de subtração quando queremos tirar uma quantidade de outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo.
Exemplo 2
Uma secretária recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de correspondência. Até a hora do almoço, ela já tinha feito 52. Quantos ela ainda tem de fazer?
Temos aqui um exemplo claro de operação de subtração. A operação que devemos fazer é:
90 - 51 = 39
Assim, depois do almoço, a secretária deverá preparar ainda 39 envelopes.
Observe agora que, em uma subtração, quando o segundo número é maior que o primeiro, o resultado é negativo. Veja:
9 - 6 = 3
6 - 9 = - 3
Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos os números inteiros como pontos de uma reta.
Na operação 9 + 5 = 14, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a direita e chegamos ao número 14.
Na operação 9 - 5 = 4, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a esquerda e chegamos ao número 4.
Na operação 5 + 9 = 14, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a direita e chegamos ao número 14.
Na operação 5 - 9 = - 4, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a esquerda e chegamos ao número - 4.
Para resumir, as regras são as seguintes:
- Escrever 5 ou + 5 é a mesma coisa;
- Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem juntos, então:
Regras: Exemplos:
(+) e (+) = (+) 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8
(+) e (- ) = (+) 5 + (- 3 ) = 5 - 3 = 2
(- ) e (+) = (- ) -5 - (+ 3) = 5 - 3 = 2
(- ) e (- ) = (+) 5 - (- 3 ) = 5 + 3 = 8
Veja, a seguir, como devemos proceder numa situação em que há soma e subtração de diversos números.
Exemplo 3 João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento:
Qual será o saldo de João após essas operações?
Vamos representar os depósitos por números positivos e as retiradas por números negativos. Devemos, então, fazer a seguinte conta:
53 - 25 + 65 - 30 - 18
O resultado dessa operação será a quantia que João ainda tem no banco. A melhor forma de fazer esse cálculo é somar os números positivos (os depósitos), somar os números negativos (as retiradas) e depois subtrair o segundo resultado do primeiro. Assim:
53 - 25 + 65 - 30 - 18 =
(53 + 65) - (25 + 30 + 18) = 118 - 73 = 45
Portanto, João ainda tem R$ 45,00 em sua conta bancária.
- A multiplicação
A multiplicação nada mais é que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo:
7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5. 7 = 35
O número 7 apareceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. Da mesma forma:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 . 5 = 35
Agora, o número 5 apareceu 7 vezes. Então, 5 vezes 7 dá 35. Você já sabe que, em uma multiplicação, cada número chama-se fator.
Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplicação.
1)  Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado. Por isso:
5 . 7 = 7 . 5
2)  Quando temos várias multiplicações seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro. Por exemplo:
2 . 3 . 5 = (2 . 3) . 5 = 6 . 5 = 30
2 . 3 . 5 = 2 . (3 . 5) = 2 . 15= 30
2 . 3 . 5 = (2 . 5) . 3 = 10 . 3= 30
3)  Quando um número multiplica uma soma, ele multiplica cada parcela dessa soma. Por exemplo:
2.(3 + 4 + 5) = (2.12) = 24 Ou, ainda:
2.(3 + 4 + 5) = (2 . 3) + (2 . 4) + (2 . 5) = 6 + 8 + 10 = 24
Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicações com números negativos. As regras são as seguintes:
(+) . (- ) = (- ) → sinais diferentes o produto dá negativo
(- ) . (+) = (- ) → sinais diferentes o produto dá negativo
(- ) . (- ) = (+) → sinais iguais o produto dá positivo
(+) . (+) = (+) → sinais iguais o produto dá positivo
Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras.
- Para calcular 4. (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a - 3.
Daí:
4 . (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (-3)= -12
4 . (- 3) = - 3 - 3 - 3 – 3=-12
4 . (- 3) = - 12
Para entender que o produto de dois números negativos é positivo, vamos lembrar que o produto de qualquer número por zero dá zero. Portanto:
(- 3) . 0 = 0
Vamos, então, escrever essa igualdade assim: (- 3) . (- 2 + 2) = 0
É a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplicação, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja: 
Ora, sabemos que (- 3). 2 dá - 6. Logo, devemos ter (- 3) . (- 2) = 6 para que a soma seja zero.
- A divisão
Podemos pensar na divisão quando queremos dividir um total de partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um número cabe no outro.
Exemplo 4
Desejamos colocar 80 lápis em 5 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo número de lápis. Quantos lápis devemos pôr em cada caixa?
A resposta é fácil. Basta dividir 80 por 5.
80/5 = 16
Logo, cada caixa deve conter 16 lápis.
No exemplo que acabamos de ver, a divisão foi exata, ou seja, conseguimos colocar a mesma quantidade de lápis em cada caixa sem que sobrasse nenhum.
O que aconteceria, entretanto, se tivéssemos 82 lápis para pôr nas 5 caixas? A resposta é fácil. Cada caixa continuaria com 16 lápis, mas sobrariam 2.
Veja a operação:
Na operação acima, 82 é o dividendo, 5 é o divisor, 16 é o quociente e 2 é o resto. Esses quatro números se relacionam da seguinte forma:
Atenção! O resto é sempre positivo e menor que o divisor.
Ao fazer uma divisão, estaremos sempre encontrando dois novos números: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa operação em um problema.
Exemplo 5
Certo elevador pode transportar no máximo 6 pessoas. Se existem 46 pessoas na fila, quantas viagenso elevador deverá fazer para transportar todas essas pessoas?
Devemos dividir 46 por 6. Observe a operação:
O quociente igual a 7 indica que o elevador fará 7 viagens com lotação completa. 
Mas o resto igual a 4 indica que sobrarão ainda 4 pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador deverá fazer uma viagem a mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto, o elevador fará 8 viagens para transportar todas as pessoas.
Exercícios 
1-Efetue as operações indicadas:
a) 37 + 43 =
b) 55 - 18 =
c) 18 - 55 =
d) 12 + (- 7) =
e) 12 - (- 7) =
 f) - 9 - 6 =
g) - 9 + (- 6) =
h) - 9 - (- 6 ) =
i) 13 .7 =
j) (- 8). 9 =
l) (7 - 3).4 =
m) (3 - 8) . (- 4) =
Operações com decimais e frações
2 . Frações.
2.1 . Operações com números fracionários.
2.1.1 . Adição e subtração
Portanto, uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos
o numerador e o denominador pelo mesmo número.
Para somar ou subtrair frações que tenham o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores.
Exemplos:
Com denominadores diferentes, devemos transformar as frações dadas em outras, que sejam iguais às que temos, mas com denominadores iguais.
Utilizamos como novo denominador para cada fração o mínimo múltiplo comum (mmc) e obtemos o numerador de cada fração multiplicando o numerador anterior pelo quociente do mínimo pelo denominador da mesma fração.
Exemplos:
Cálculo de expressões numéricas.
Resolver as expressões numéricas:
2.2 . Números decimais.
2.2.1 . Transformações de frações em decimais.
Para transformarmos uma fração em um número decimal, basta dividir o numerador pelo denominador.
1-
2- Calcule : 0,333...+ + 2/3
3.REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Podemos resolver problemas que envolvem proporcionalidade entre duas grandezas com uma regra prática que chamamos regra de três simples.
1o exemplo: Em 3 minutos, uma torneira despeja 4l de água num tanque. Se o tanque ficou cheio em 5 horas, qual a capacidade desse tanque? (resolva o problema) Tempo Capacidade 
 (lembre-se 5h = 5. 60 = 300 min)
Aumentando o tempo, aumenta a quantidade (capacidade) de água; portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.
2o Exemplo: Duas pessoas gastariam 6 dias na instalação de uma arquibancada para a realização de um show. Quantas pessoas seriam necessárias para instalar a mesma arquibancada em 4 dias? (Resolva o problema - lembre-se: diminuindo o número de dias, tem que aumentar o número de pessoas. É diretamente ou inversamente proporcional?)
 
Problemas: 1. Um pintor utilizou 18 litros de tintas para pintar um muro 60 m2. Quantos litros de tinta serão necessários para pintar 450 m2 da mesma forma com que foi pintado o muro?
2. Márcia leu um livro em 4 dias, lendo 15 páginas por dia. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em quantos dias ela teria lido o mesmo livro? 
3 . Um quintal pode ser ladrilhado com 500 ladrilhos de 225 cm2 de área cada um. Quantas lajotas de 900 cm2 cada uma são necessárias para recobrir o mesmo quintal? 
4. Um galpão pode ser construído em 48 dias por 7 pedreiros que trabalham num certo ritmo. Como ele deve ser construído em 2 semanas, no mesmo ritmo de trabalho, quantos pedreiros deverão ser contratados?
4.1-REGRA DE TRÊS COMPOSTA
1º Exemplo: Trabalhando durante 12 dias, l0 operários produzem 800 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 14 operários, trabalhando durante 18 dias?
Número de Operários nº de dias nº de peças 
 10 12 800
 14 18 x
As grandezas número de operário e número de peças são diretamente proporcionais. Aumentando a grandeza A, a grandeza C também aumenta. 
 As grandezas número de dias e número de peças são diretamente proporcionais. Aumentando uma grandeza, a outra também aumenta.
 
 (:6) 2 10 
10.12 = 800 20 = 800 == > 
14.18 X 42 X 
 3 21
10 X = 21. 800 X = 21 . 800 ( X = 1680
 1 0
 
2º Exemplo: Um motociclista percorre 200 km em 2 dias se rodar durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse motociclista percorrerá 500 km se rodar 5 horas por dias?
	N.º de Km 
	n.º de h/ dia
	n.º de dias
	200
	4
	2
	500
A
	5
B
	X
C
Vamos relacionar as grandezas B e C e as grandezas A e C.
As grandezas B e C são inversamente proporcionais, verifique porquê.
 ........................................................E as grandezas A e C? 
Resolva o problema:
	
	
	
	
	
	
	
	
Exercícios
Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 L de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 L de combustível? 
Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 L de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.
Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?
Meia dúzia de digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas?
Quinze operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia?
TESTES-REGRA DE TRÊS
1) Para esvaziar um compartimento com 700m³ de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500m³ de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos, quantas horas seriam necessárias para esvaziá-lo? 
a) 3 horas
b) 4 horas
c) 3,5 horas
d) 2 horas
e) 1 hora
2) Duas costureiras, trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 costureiras trabalharem por 5 dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para produzirem 25 vestidos? 
a) 5 horas por dia
b) 3 horas por dia
c) 4 horas por dia
d) 8 horas por dia
e)3,5 horas por dia
3) Seis galinhas botam 30 ovos em 5 dias. Vinte galinhas botarão quantos ovos em 10 dias? 
a) 150 ovos
b) 200 ovos
c) 300 ovos
d) 400 ovos
e) 350 ovos
4) Uma família com 2 duas pessoas consome 12m³ de água a cada 30 dias. Se mais uma pessoa com os mesmos hábitos de consumo se juntar a ela, quantos metros cúbicos de água eles consumirão em uma semana?
a) 4m3 de água
b) 3 m3 de água
c) 3 m3 de água
d) 4,2m3 de água
e) 4,5m3 de água
5) Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas?
a) 3 horas
b) 4 horas
c) 3,5horas
d) 2 horas
e) e) 1 hora
6) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
a) 8.   
b) 15.  
c) 10,5.  
d) 13,5.
e)14.
5.1-Conversão de moedas
CÂMBIO ( cotação do dia 21/0-6/2013)
Podemos efetuar conversão através de uma regra de três simples. Cotação 14/02/18: 1 USD = R$3,42
	R$
	R$5
	R$10
	R$50
	R$100
	USD
	17,1 $
	34,20 $
	171 $
	342 $
No site do banco central, existe planilha de conversão para moedas de diversos países:
http://www4.bcb.gov.br/pec/conversao/conversao.asp
Exercícios1-Converter em dólar(USD), usando a cotação do dia 14/02/18:
a) R$ 7,00 b) R$ 12,00 c)20,00
2- Converter em real
a)20,52 $ b)34,20$ c) 205,2 $ d) 342 $
6.Operações Financeiras
6.1- CONCEITO
São operações realizadas pelas empresas com o objetivo de gerar recursos financeiros (dinheiro).
5.2.Modalidades
São diversas as modalidades das operações financeiras, destacando-se:
Aplicações Financeiras
Empréstimos Bancários
Operações com Duplicatas
Factoring
6.2- OPERAÇÕES FINANCEIRAS
6.2.1- Aplicações de Liquidez Imediata
Essas aplicações correspondem, geralmente, a compras de títulos do governo, como, por exemplo, letras e bônus.
Tais títulos têm liquidez imediata porque a empresa pode resgatar o valor aplicado mais os rendimentos no dia em que desejar.
Os rendimentos correspondem à inflação ocorrida no período em que o dinheiro permaneceu aplicado, sendo, geralmente, baseada na variação dos títulos do governo.
6.2.3- Aplicações com Rendimentos Prefixados
Neste tipo de aplicação, a empresa fica sabendo, no dia da aplicação, o valor dos seus rendimentos, que correspondem à correção monetária prefixada mais juros.
6.2.4-Aplicações com Rendimentos Pós-Fixados
Neste tipo de aplicação, a empresa somente fica sabendo quanto ganhou com a operação no dia de seu resgate.
6.3.1 -EMPRÉSTIMOS BANCÁRIOS
6.3.2-Empréstimos com Correção Monetária Prefixada
Neste tipo de empréstimo, a empresa sabe, no dia da transação, qual o montante dos encargos referentes à correção monetária incidente sobre a operação.
6.3.4-Empréstimos com Correção Monetária Pós-Fixada
Neste tipo de empréstimo, a empresa somente sabe qual o montante dos encargos referentes à correção monetária incidente sobre a operação no dia do vencimento.
6.3.5-OPERAÇÕES COM DUPLICATAS
6.3.6-Cobrança Simples de Duplicatas
Consiste na remessa de títulos aos bancos, os quais prestam serviços à empresa, cobrando-os dos respectivos devedores.
Neste tipo de operação, a empresa transfere a posse dos títulos aos bancos; porém, a propriedade continua sendo da empresa.
Para remeter os títulos ao banco, a empresa os relaciona através de um borderô, ao qual anexa os respectivos títulos.
6.3.7-Desconto de Duplicatas
Consiste na transferência dos títulos ao banco, mediante endosso. A empresa transfere ao banco o direito de recebimento dos títulos.
O valor do desconto é determinado em função do número de dias que faltam para que os títulos sejam liquidados.
Neste tipo de operação, a empresa endossante é responsável, coobrigada pela liquidação dos títulos descontados. Assim sendo, a responsabilidade da empresa somente desaparece quando do pagamento do título pelo devedor.
A operação é semelhante à cobrança simples, no que diz respeito à remessa dos títulos.
Neste tipo de operação, a empresa transfere a posse e a propriedade dos títulos ao banco.
A empresa endossante desconta títulos e recebe do banco o valor nominal (constante dos títulos), suportando os juros correspondentes ao prazo que falta decorrer para o vencimento dos títulos negociados.
6.3.8-Caução de Duplicatas
Operação de empréstimo que a empresa efetua junto a um banco, na qual o banco exige que a beneficiada entregue- lhe títulos em garantia.
O valor dos títulos caucionados é sempre superior ao valor liberado. O banco poderá exigir a emissão de uma nota promissória no valor total do empréstimo.
É lavrado um contrato entre a empresa e o banco, onde ficam estabelecidos, pelo menos:
1. o valor do numerário que a empresa terá direito por um determinado período de tempo;
2. o valor de títulos que a empresa oferecerá ao banco, em cobrança caucionada, que, ao mesmo tempo em que representa a garantia da dívida assumida, é o termômetro para liberação do total do empréstimo;
3. o percentual que poderá sacar, o qual fica entre 70% a 80% dos títulos caucionados;
4. os encargos da empresa em relação ao contrato e aos títulos caucionados.
Neste tipo de operação, a empresa transfere a posse e a propriedade dos títulos ao banco.
6.3.9-O que é Factoring
6.3.9.1. Conceito
Factoring é uma atividade comercial, mista e atípica, que soma prestação de serviços à compra de ativos financeiros.
A operação de Factoring é um mecanismo de fomento mercantil que possibilita à empresa fomentada vender seus créditos, gerados por suas vendas à prazo, a uma empresa de Factoring. O resultado disso é o recebimento imediato desses créditos futuros, o que aumenta seu poder de negociação, por exemplo, nas compras à vista de matéria-prima, pois a empresa não se descapitaliza.
A Factoring também presta serviços à empresa - cliente, em outras áreas administrativas, deixando o empresário com mais tempo e recursos para produzir e vender.
Exercícios
1-Explique a diferença entre aplicações com rendimentos pós e prefixados.
2- Cite três tipos de empréstimos bancários.
3-Cite os tipos de operações com duplicatas.
4-Na operação caução de duplicatas qual o valor em porcentagem que a empresa pode receber dos títulos caucionados.
7-RAZÃO E PROPORÇÃO
 2 ESTÁ PARA 3. O QUE SIGNIFICA ISTO? 
Dos 50 alunos do 2o grau de uma escola, 30 são meninas e 20 são meninos. Qual a relação entre o número de meninos e de meninas? 
n o. de meninos = 20 = 2 
n o de meninas 30 3 
A expressão 2 para 3 é chamada de razão entre 2 e 3 e é indicada por 2/3 ou 2 : 3.
Se a e b são dois números reais e b=0, a razão entre os números reais a e b é o quociente de a por b: 
a/b ou a : b (a está para b) 
As razões 
O produto de razões inversas é igual a 1. 
7.1.-VELOCIDADE MÉDIA :
 
Velocidade média de um móvel é a razão entre o espaço percorrido e tempo gasto para percorrê-lo. Exemplo: A velocidade média de um carro que percorre a 300km em 5 hora é dado por: 
7.2-DENSIDADE DEMOGRÁFICA: Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região.
 
 A cidade de Ribeirão Preto (SP) tem uma área aproximada de 1058 Km2. Com 504.923 habitantes, segundo o Censo Demográfico do IBGE de 2000, a população dessa importante cidade, neste ano, seria:
7.3- ESCALA: Escala é a razão entre a medida de um comprimento no desenho e a medida correspondente ao comprimento real. Exemplo: Se a planta de uma casa está desenhada na escala de 1: 100 ( um por cento), significa que cada 1 cm no desenho corresponde a 100 cm na dimensão real.
7.3.1-PROPORCIONALIDADE (PROPORÇÃO). O que é uma foto 3X4? 
Observe as figuras abaixo:
Significa que a foto tem o formato de um retângulo com 3cm de base e 4 cm de altura. Do mesmo modo, uma foto 6 x 8 tem 6 cm de base e 8cm de altura. Qual é a razão entre a base e altura da foto menor? E entre a base e a altura da foto maior? 
base da foto menor = ¾ = 0,75 
altura da foto menor
 
6/8 = 0,75
 Logo, podemos afirmar que 3/4 = 6/8, ou seja, três está para 4 assim como 6 está para 8. A igualdade entre as razões ¾ e 6/8 forma uma proporção. 
Na proporção 3: 4 =6: 8 são chamados extremos e 4 e 6 são chamados de meios: 
EXERCÍCIOS
1-Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
27 km e 3 litros de álcool
40g e 5 cm3
24 Kg e 80 Kg
20 cm e 4 dm
20 dias e 2 meses + 15 dias
Verifique se são ou não verdadeiras as seguintes proporções:
a) 6 = 24 b) ⅔ = 12/15 
 28 7
c) 4/15 = 72/270 d) ¾ = 15/16 
 
7.3.2- ELEMENTOS
Na proporção , temos
 Antecedentes: os termos a e c.
 Consequentes: os termos b e d.
 Os termos a, b, c e d são chamados 1º, 2º, 3º e 4º termos.
Ostermos a e d são os extremos e os termos b e c meios. 
 
 
EXERCÍCIOS
Nas proporções abaixo, calcule o que se pede:
a +b = 3, a = 1 e c +d = 6. Calcule c
a - b = 1, a = 4 e c - d = 2. Calcule c
a +c = 12 , c = 1 e b +d = 9. Calcule d
EXERCÍCIOS - PROPORÇÃO 
Determinação do termo desconhecido de uma proporção
        Exemplos: 
2-Determine o valor de x na proporção: 
            
            Solução:
            5 . x  =   8 . 15        (aplicando a propriedade fundamental)
            5 . x  =   120        x = 120/5 ==>     x   =  24
            Logo, o valor de x é 24.
3-Determine o valor de x na proporção: 
            
            Solução:
            5 . (x-3)  =   4 . (2x+1)        (aplicando a propriedade fundamental)
            5x - 15 =  8x + 4
            5x - 8x =  4 + 15
            -3x =  19
            3x =  -19
            Logo, o valor de x é .
4-Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. 
          Solução:
                         (aplicando a propriedade fundamental)
                       x = 56
            Logo, o valor de x é 56.
 
8.REGRA DE SOCIEDADE
8.1-DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
Exemplo: Divida o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.
 ++ = e 180/10 = 18
 =18 x = 18.2x= 36
 = 18 y = 18.3 y= 54
 = 18 z= 18.5 z = 90
 180 
8.2-DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA
Exemplo 1: Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente e proporcionais a 2, 3, 4 e a 3,5,7.
SOLUÇÃO:
Temos: 2.3=6, 3.5=15 e 4.7= 28
 x= 6 x = 6.8 = 48 
392 y= 15 ⇒ k = 392/49 = 8 y= 15.8=120 +
 z= 28 z= 28.8= 224
 49 392
8.2.1- DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo 1: Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3.5 e 6.
x = y = z e x + y + z = 210
1/3 1/5 1/6 
mmc( 3,5,6) = 30
Vamos utilizar os números 10, 6 e 5
 x → 10
210 y → 6 +
 z → 5
 21 
Como:
K = 210 = 10
 21 
x = 10x10 = 100
y = 6x10 = 60
z =5x10 = 50 
 210
Exemplo 2: Dividir o número 180 em partes diretamente aos números 2, 3 e 4.
x = y = z e x + y + z = 180
2 3 4 x + y + z 180 = 20
2 +3 + 4 9
x = 20 = > x = 40
2 1
y = 20 = > y = 60 +
3 1
z = 20 = > y = 80
4 1 180 
EXERCÍCIOS
Divida em partes diretamente proporcionais os números seguintes:
o número 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5.
o número 180 em partes proporcionais a 2, 5 e 11
o número 2990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11
EXERCÍCIO 
1- Divida o número 184 em partes proporcionais a ½ , 2/3 e ¾ .
8.3- DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo 1: Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6.
x = y = z e x + y + z = 210
1/3 1/5 1/6 
mmc( 3,5,6) = 30
vamos utilizar os números 10, 6 e 5
 x → 10
210 y → 6 +
 z → 5
 21 
Como:
K = 210 = 10
 21 
x = 10x10 = 100
y = 6x10 = 60 +
z =5x10 = 50 
 210
 EXERCÍCIOS
Dividir o número 260 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4;
Dividir o número 870 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 9;
Dividir o número 2190 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcional a 2, 3, e 5 e a 6, 7 e 8;
Dividir o número 175 em partes diretamente proporcionais a 5/4 , 3 e 4 e ao mesmo tempo inversamente proporcional a ¾ , 6 e 2;
Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e 12;
Divida o número 3.751 em partes diretamente proporcionais aos números 7/4, 5/8 e 3/2; 
Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0,4; 1,2 e 3,4.
8.3.1-REGRA DE SOCIEDADE
A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão em partes proporcional. Tem por objeto a divisão dos lucros ou prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um sócio ou ainda entrada de um novo sócio.
Há quatro modos a considerar:
1º) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo. A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou prejuízo pelo número deles.
Exemplo: Quatro sócios obtiveram um lucro de R$111.300,00. Sabendo que seus capitais são iguais, vamos determinar a parte de cada um nos lucros:
111. 300,00 = 27.825,00
 4
2º) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo.
Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios.
Exemplo:
Por ocasião do balanço anual de uma firma formada por 3 sócios, verificou-se um prejuízo de R$ 27.000. Vamos determinar a parte correspondente a cada sócio. Sabendo que seus capitais são de R$ 540.000,
R$ 450.000 e R$ 360.000. (540+450+360 = 1350)
k = 27 = 0,02 
 1350 
 x => 540 x 0,02 = 10,8 x 1.000 = 10.800
 y => 450 x 0,02 = 9,0 x 1.000 = 9.000
 z => 3600 x 0,02 = 7,2 x 1.000 = 7.200
 27. 000
O prejuízo de cada sócio será R$ 10.800, R$ 9.000 e R$ 7.200
3º) Os capitais iguais e são empregados durante tempos desiguais.
Teoricamente, o lucro ou prejuízo correspondente a cada sócio seria determinado dividindo-se o lucro ou o prejuízo da sociedade em partes diretamente proporcionais aos tempos.
Porém, na prática, este caso não ocorre, porque, em uma sociedade, os sócios não podem permanecer por tempo desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é admitido, procede-se uma reforma do contrato social, após o Balanço, calculando-se o Ativo e o Passivo.
4º) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais.
Teoricamente, as partes do lucro ou do prejuízo seriam diretamente proporcionais aos produtos dos capitais pelos respectivos tempos. Também neste caso, vale a observação feita para o caso anterior. * 
Exemplo 1: Marcos, Pedro e José compram um imóvel por R$ 60.000. Marcos entra com R$30.000. Pedro com R$ 20.000. José com R$ 10.000. Depois de algum tempo, o imóvel é vendido por R$ 90.000. Que parte cabe a cada um deles?
90.000, = 1,5 
60.000,
Marcos : R$30.000 x 1,5 = 45.000, 
Pedro : R$ 20.000 x 1,5 = 30.000,
José : R$ 10.000 x 1,5 = 15.000,
Total: .......90,000,
EXERCÍCIOS
1-Uma firma formada por 3 sócios empregou, respectivamente, os capitais de R$ 9.000, R$ 11.000 e R$ 13.000, obtiveram um lucro de R$ 6.600. Qual será a parte de cada um? 
2-Uma firma formada por três sócios empregou, respectivamente, os capitais de R$ 18.000, R$ 22.500 e R$27.000, obtiveram um lucro de R$ 27.000. Qual será a parte de cada um? 
3- Três sócios realizaram um capital de 240.000. Sabendo que, ao fim de um certo período de tempo, tiveram de lucro, respectivamente, R$ 2.400, R$22.000 e R$18.000, qual era o capital de cada um?
4-Luis, Paulo e Geraldo compram um imóvel por R$ 120.000. Marcos entra com R$60.000. Pedro com R$ 40.000. José com R$ 20.000. Depois de algum tempo, o imóvel é vendido por R$ 180.000. Que parte cabe a cada um deles?
5- Uma empresa formada por três sócios empregou, respectivamente, os capitais de R$ 36.000, R$ 45.000 e R$54.000, obtiveram um lucro de R$ 54.000. Qual seráa parte de cada um? 
Exemplo 2: Dividir o número 180 em partes diretamente aos números 2, 3 e 4.
x = y = z e x + y + z = 180
2 3 4 
x + y + z 180 = 20
2 +3 + 4 9
x = 20 = > x = 40
2 1
y = 20 = > y = 60 +
3 1
z = 20 = > y = 80
4 1 180 
EXERCÍCIOS
1-Divida em partes diretamente proporcionais os números seguintes:
o número 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5.
o número 180 em partes proporcionais a 2, 5 e 11
o número 2990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11
EXERCÍCIO 
2-Divida o número 184 em partes proporcionais a ½ , 2/3 e ¾ .
Testes
1-Uma firma formada por três sócios empregou, respectivamente, os capitais de R$ 36.000, R$ 45.000 e R$54.000, obtiveram um lucro de R$ 54.000. Qual será respectivamente a parte de cada um? 
R$14.400,00 ; R$18.000,00 ; R$ 21.600,00
R$15.400,00 ; R$17.500,00 ; R$21.100,00
R$14.400,00 ; R$16.500,00 ; R$19.100,00
R$13.400,00 ; R$17.500,00 ; R$23.100,00
R$13.000,00 ; R$17.000,00 ; R$24.000,00
2-Luis, Paulo e Geraldo compram um imóvel por 
R$ 120.000. Marcos entra com R$60.000. Pedro com R$ 40.000. José com R$ 20.000. Depois de algum tempo, o imóvel é vendido por R$ 180.000. Que parte cabe a cada um deles?
a)	R$75.000,00 ; R$60.000,00 ; R$45.000,00
b)	R$85.000,00 ; R$60.000,00 ; R$35.000,00
c)	R$85.000,00 ; R$65.000,00 ; R$30.000,00
d)	R$80.000,00 ; R$70.000,00 ; R$30.000,00
e)	R$90.000,00 ; R$60.000,00 ; R$30.000,00
3- Uma empresa formada por três sócios empregou, respectivamente, os capitais de R$ 72.000, R$ 90.000 e R$108.000, obtiveram um lucro de R$ 108.000. Qual será a parte de cada um? 
R$28.000,00 ; R$38.800,00 ; R$30.000,00
R$28.000,00 ; R$38.800,00 ; R$30.000,00
R$25.800,00 ; R$38.000,00 ; R$43.000,00
R$28.800,00 ; R$36.000,00 ; R$43.000,00
R$90.000,00 ; R$60.000,00 ; R$30.000,00
4-Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5, o resultado será respectivamente:
a)26,64 e 90. b) 36,54 e 90. c) 36,64 e 80
d) 41,59 e 80. e) 56,54 e 70
4.2- DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo 1: Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6.
x = y = z e x + y + z = 210
1/3 1/5 1/6 
mmc( 3,5,6) = 30
Vamos utilizar os números 10, 6 e 5
 x → 10
210 y → 6 +
 z → 5
 21 
Como:
K = 210 = 10
 21 
x = 10x10 = 100
y = 6x10 = 60 +
z =5x10 = 50 
 210
 EXERCÍCIOS
Dividir o número 260 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4;
Dividir o número 870 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 9;
Dividir o número 2190 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcional a 2, 3, e 5 e a 6, 7 e 8;
Dividir o número 175 em partes diretamente proporcionais a 5/4 , 3 e 4 e ao mesmo tempo inversamente proporcional a ¾ , 6 e 2;
Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e 12;
Divida o número 3.751 em partes diretamente proporcionais aos números 7/4, 5/8 e 3/2; 
Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0,4; 1,2 e 3,4.
9.PORCENTAGEM
A expressão por cento é familiar a você. Você a vê, praticamente, todos os dias, nos jornais e na televisão; além disso, você já sabe alguma coisa sobre o que ela representa pelos estudos que já realizou 
nas séries anteriores. A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer por um cento. 
Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como “grande liquidação de inverno em uma loja: 40 por cento de desconto em todos os artigos”, significa que você terá um desconto de 40 reais para cada 100 reais em todos os artigos. 
Isso nos leva a escrever 
Exemplos: Escrever ¼ na forma %. Idem para 3/8. 
Exercícios
Exprima sob a forma de taxa percentual as razões: a) 2/25 b) 19/40 c) ¾ 
Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600?
Em um colégio, 26% dos alunos são meninas. Quantos alunos possuem o colégio se elas são em número de 182?
Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000 e vendido com um lucro de R$ 400. Qual a percentagem de lucro?
Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24 foi vendida com 25% de abatimento. De quanto foi o abatimento?
9-Regimes de Capitalização
A matemática financeira trata da comparação de valores monetários ao longo do tempo. 
Através de seu estudo, podemos analisar e comparar alternativas de investimento e financiamento, como: 
Qual o valor de R$100.000,00 daqui a um ano? 
Como comparar valores no tempo (R$523.000,00 hoje contra R$532.400,00 daqui a um mês ou com R$597.600,00 daqui a um ano)? Quais as alternativas para tomar dinheiro emprestado, considerando os custos embutidos que você deverá arcar para saldar as suas dívidas futuras? 
 
O objetivo deste capítulo é apresentar os conceitos básicos necessários para o bom entendimento das principais fórmulas da matemática financeira, seus elementos e seus 
respectivos cálculos. Ao final, você terá visto: 
 
a definição de juro e de taxas de juro; 
os regimes de capitalização; 
a diferença das taxas de juro nominais, efetivas e reais; 
uma visão geral da análise dos diferentes fluxos de caixa, do valor presente líquido; 
(VPL) e da taxa interna de retorno (TIR);
SPREADS.
9.1- Juro e taxas de juro 
O juro representa o custo do dinheiro tomado emprestado ou, analogamente, a remuneração pelo sacrifício de adiar uma decisão de gasto/consumo e aplicar o capital (C0) por certo número de períodos (n). 
Definições 
Capital: valor aplicado por meio de alguma operação financeira. Também conhecido como principal, valor atual, valor presente ou valor aplicado. 
Em geral, o capital costuma ser denotado por C0. 
Número de períodos: tempo, prazo ou período em determinada unidade de tempo (dias, meses, anos etc.) em que o capital é aplicado. 
Em geral, o número de períodos costuma ser simbolizado por n. 
Suponha que você resolva vender o seu apartamento pelo valor de R$100.000,00 e receba uma proposta de compra por R$98.000,00 a vista quando da emissão do boleto de compra-venda ou R$80.000,00 nesse ato e mais R$20.000,00 na escrituração, que será realizada 30 dias depois. Qual será o melhor negócio para você: receber R$98.000,00 hoje ou as duas parcelas sugeridas pelo comprador? Para resolver a questão, precisamos entender o que são juros. 
9.2-Qual a diferença entre juro e taxa de juro? 
Juro (J): valor expresso em dinheiro (em reais, por exemplo) referente a determinado capital e para determinado período. Pode também ser definido como a remuneração do capital, ou seja, o valor pago pelos devedores aos emprestadores em troca do uso do dinheiro. Ao fazer uma aplicação financeira, o montante final (Cn) resgatado após n períodos deve ser igual ao capital inicial (C0) aplicado mais os juros (J) ganhos na operação. Logo, podemos escrever: 
Montante final = Capital inicial + J 
ou: Cn = C0 + J 
Portanto: J = Cn - C0 
Taxa de juro (i): é a porcentagem aplicada ao capital inicial que resulta no montante de juros (J). Conceitualmente, a taxa de juro é o custo de oportunidade do capital, isto é, a taxa paga/recebida para que um capital seja aplicado e resgatado no futuro e não gasto no presente. A taxa de juro pode ser calculada da seguinte forma: 
A taxa de juro é sempre expressa em porcentagem; para tal, basta multiplicar o resultado por 100%.
Exemplos de cálculos de juros, taxas de juro e do capital 
a) Comprei um título por R$98.039,22 que vai pagar R$100.000,00 em um mês. Qual a taxa mensal da aplicação e o montante de juros recebido? 
Solução: pelos dados do problema: 
C0 = R$98.039,22 
Cn = R$100.000,00 
n = 1 mês 
i = ? 
J = ?
Para obter a taxa em porcentagem, basta multiplicá-lapor 100: 0,0199 x 100% = 1,99% ao mês. 
J = 100.000,00 – 98.039,22 = 1.960,78 
SPREAD
Spread refere-se à diferença entre o preço de compra (procura) e venda (oferta) de uma ação, título ou transação monetária. Analogamente, quando o banco empresta dinheiro a alguém, cobra uma taxa pelo empréstimo - uma taxa que será certamente superior à taxa de captação. A diferença entre as duas taxas é o chamado spread bancário. Segundo a definição do Banco Central do Brasil, spread é a diferença entre a taxa de empréstimo e a média ponderada das taxas de captação de CDBs (certificados de depósito bancário)
9.3-Capitalização simples- JUROS SIMPLES 
9.3.1-JUROS SIMPLES –Conceito
Como você já sabe, ninguém empresta dinheiro gratuitamente. Cobra-se uma espécie de “aluguel” pelo empréstimo. Empregando corretamente o dinheiro, o devedor pode ter lucro e pagar o empréstimo e o “aluguel”.
Na linguagem das finanças, são usados os seguintes termos:
Capital C: o dinheiro emprestado;
Juro j: o “aluguel”
Montante M: a soma do capital com o juro.
A razão i = j/C, que é a taxa de crescimento do capital, é sempre referida ao período da operação e é chamada de taxa de juro. Em geral, exprimimos esta taxa em porcentagem.
J= C.i.n
Fórmula
Montante: M= C+J == > M = C+C.i.n
M =C (1+i.n)
Exemplo resolvido
1. Que capital deve ser aplicada durante 6 meses, á taxa de 3% ao mês, para obtermos R$ 441 de juro?
Fórmula: j= C.i.n
C=?
J= 441
I= 3%= 3/100 = 0,03
441 = C. 0,03.6
441 = C.0,018
441/0,018 = C ( C= R$ 24500,00
Observação: O segredo de cálculos de juros e descontos (próximo assunto) é, ao substituir na fórmula, procurar deixar os valores de tempo (n) e os valores de i (taxa) no mesmo período, ou seja, tempo(n) em meses e taxa(i) também deverá estar em meses; se for ao ano ou em dias, os dois valores também deverão estar no mesmo período.
JUROS SIMPLES – EXERCÍCIOS
Obs.: Nos valores em Reais, adotaremos sem os décimos relativos aos centavos.
1. Que quantia deve ser aplicada durante 9 meses, á taxa de 0,5% ao mês, para obtermos R$ 441 de juro?
2 Qual o valor do principal que, aplicado durante um ano e seis meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$ 19.008?
3. A que taxa foi empregado o capital de R$ 24.000, que, no prazo de dois anos, rendeu R$ 8.400 de juro? 
4- Uma aplicação de R$ 16.000, pelo prazo de seis meses, obteve um rendimento de R$ 1.680. Qual a taxa anual correspondente? 
5- A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 99.000 para que, em três meses e dez dias, renda um juro de R$ 33.000? 
6. Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896.
Resolva:
7. Calcule o montante de uma dívida de R$ 350,00, contraída a juros simples por 5 meses, à taxa de 3% a.m.
9.3.2-Juro Comercial e Juro exato.
No cálculo do Juro Simples (1ano = 360 dias), nos dá o que denominamos Juro simples comercial. Entretanto, podemos obter o juro fazendo uso do número exato de dias do ano (365 dias ou 366 dias se for ano bissexto). Neste caso, o resultado é denominado juro simples exato.
9.3.3-Determinação do número exato de dias entre duas datas.
Podemos obter o número exato entre duas datas de 3 maneiras diferentes:
1º) Pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que apenas um dos dias extremos deve ser incluído.
2º) Considerando o número exato de cada mês , lembrando que janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro têm 31 dias; abril, junho, setembro e novembro, têm 30 dias e fevereiro tem 28 dias (29 nos anos bissextos). Podemos, por exemplo, determinar o número de dias de 18 de março e 28 de maio do mesmo ano da seguinte forma:
18 de março a 18 de abril: 31 dias
18 de abril a 18 de maio: 30 dias 
18 de maio a 28 de maio (28-18=10) => 10 dias 
 Total.............................71 dias
3º) Faça o mesmo exemplo usando a Tabela para contagem de dias: Localize a maior data, no caso 28 de maio na tabela corresponde à 148 – 77(menor data 18 de março) = 71 dias. A tabela está no site para download:
9.3.4-COMPARATIVO ENTRE REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA 
Entende-se por regime de capitalização o processo de formação dos juros e a maneira pela qual estes são incorporados ao capital. Formalmente, tem-se dois regimes básicos de capitalização: o contínuo e o descontínuo. Relativo ao regime de capitalização descontínuo, conforme os juros periodicamente formados rendam também juros, ou não, distingui-se os denominados regimes de capitalização descontínua a juros compostos e a juros simples, doravante denominados capitalização composta e capitalização simples.
9.4-Capitalização Simples
9.4.1- Conceito
    No regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na modalidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade de desconto bancário, a base de cálculo é sempre o valor nominal do título (FV). O regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total. O regime de capitalização simples é muito utilizado em países com baixo índice de inflação e custo real do dinheiro baixo; no entanto, em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado, a exemplo do Brasil, a utilização de capitalização simples só é recomendada para aplicações de curto prazo. A capitalização simples, porém, representa o início do estudo da matemática financeira, pois todos os estudos de matemática financeira são oriundos de capitalização simples. (KUHNEN, 2008).
9.4.2- Juros Simples diário
    No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. (PUCCINI, 2004).
9.5.1-Fórmulas
Valor do juro simples - J
VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO
1
Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia 20
    Na fórmula M = P . (1 + i)n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).
    Então, essa fórmula pode ser escrita como 
    FV = PV (1 + i) n 
    Isolando PV na fórmula, temos:
    PV = FV / (1+i)n
    Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.
    Com esta mesma fórmula, podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.
    Exemplo:
    Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?
    Solução:
         FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36
Portanto, generalizando, podemos escrever a definição do cálculo do valor futuro (montante) a juros compostos como sendo:
FV = PV .(1+ i) n
Exemplo: Suponha a aplicação da quantia de R$ 1.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros de 10% ao mês.
Solução: De acordo com o acima exposto, temos:
Primeiro período de capitalização:
Exemplo resolvido
1-Um empréstimo de R$ 7500 foi realizado em 06/09 e pago em 05/12 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago?
Resolução: 45%: 365(dias) = 0,12%= 0,00123
J=C.i.n
C=7500 e na tabela n= 339-249 = 90 dias
J= 7500.(0,00123).90= 830,25
Exercícios
1-Um empréstimo de R$ 1.000 foi realizado em 20/06 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago?
2-Durante quanto tempo em anos, devemos aplicar R$ 5.184, à taxa de 3% ao mês, para obtermos R$ 2.376 de juro?3-Um capital de R$ 10.500 rendeu R$ 1.225 de juros. Sabendo que a taxa de juro contratada foi de 42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/2004, qual a data do vencimento? 
4-Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% ao ano, para render um juro de R$ 4.600?
5- A que taxa mensal foi aplicado um capital de R$ 8.000 que, durante seis meses e vinte dias, rendeu R$ 1.320 de juro?
6- Durante quanto tempo foram aplicados R$ 19.680 que, à taxa de 36,5% ao ano, renderam R$ 9.368 de juro? 
EXERCÍCIO DE REVISÃO
1-A quantia de R$3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos. Sendo que montante M= c+j. 
2-Calcule o montante ao final de dez anos de um capital $10000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s).
3-Quais os juros produzidos pelo capital $12000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre durante 5 anos? (Dica 1 ano = 6 bimestres).
4-Certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado? Dica use a fórmula M = C(1+i.n), resposta em meses. 
Testes- Assinalem apenas uma alternativa que deverá ser a correta
1 .(UF - PA) André devia, em seu cartão de crédito, R$1000,00. Como não conseguiu pagar, em dois meses essa dívida aumento para R$1440,00. Nesse caso, qual foi a taxa de juros simples cobrada mensalmente pelo cartão de crédito? 
7,2%
14,4%
20%
20%
22%
44%
2.Um comerciante comprou uma mercadoria por R$1350,00. Por quanto ele deve vendê-la para obter lucro de 18%? 
R$1458,00
R$ $1494,00
R$1593,00
R$1603,80 
R$1728,00
3.Qual das taxas abaixo indica corretamente a taxa anual equivalente, no regime de juros compostos, à taxa mensal de 4%? 25% a.a.
32% a.a.
48% a.a.
54% a.a.
60% a.a.
4. Em qual das alternativas abaixo temos taxas proporcionais? 
12% a.a e 8% a.s.
0,42% a.m. e 1,26% a.a.
2,5% a.b. e 7,5% a.t.
36% a.a. e 6% a.b.
1% a.q. e 2% a.a.
10- CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
O regime de capitalização composta é definido como sendo aquele no qual os
juros formados ao final do período de capitalização a que se refere a taxa de juros são
incorporados ao capital e passam a render juntamente com o capital no próximo período
de capitalização.
Sejam: PV (valor presente ou capital Valor Presente [PV = present value]); i - taxa de juros (futuro ou montante).
n → número de períodos de capitalização; FV - valor
Primeiro período de capitalização Valor Futuro (FV = future value).
10.1-Distinção entre capitalização composta e capitalização simples
Comparação juros simples e composto
No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Por isso, é utilizada a expressão juros sobre juros, ou capitalizados, por um período (capitalizados: mensalmente, bimestralmente,
anualmente etc.). Nesse caso, o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse valor. A fórmula de juros composto pode ser escrita da seguinte maneira:
M = montante (capital +juros)
C = capital inicial 
i = taxa de juros 
n = tempo 
M= C(1+i)n
11.OPERAÇÕES DE DESCONTO SIMPLES
11.1-INTRODUÇÃO 
Desconto simples comercial ou simplesmente desconto por fora é o desconto aplicado sobre o valor nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições financeiras e no comércio em geral. O desconto comercial é uma convenção secularmente aceita e amplamente utilizada nas operações comerciais e bancárias de curto prazo, merecendo, por isso, toda atenção especial, pois, por essa convenção, altera-se o conceito básico e verdadeiro da formação e da acumulação de juro, implicando, consequentemente, na determinação de taxas efetivas (custo financeiro efetivo). O cálculo desse desconto é semelhante ao cálculo do juro simples.
11.1.2-TÍTULO DE CRÉDITO
Denominam-se títulos de crédito os papéis representativos de uma obrigação e emitidos de conformidade com a legislação específica de cada tipo ou espécie.
11.1.3-Classificação
Títulos ao portador, que são aqueles que não expressam o nome da pessoa beneficiada. Tem como característica a facilidade de circulação, pois se processa com a simples tradição. 
Títulos nominativos, que são os que possuem o nome do beneficiário. Portanto, tem por característica o endosso em preto. 
Títulos à ordem, que são emitidos em favor de pessoa determinada, transferindo–se pelo endosso. 
Os tipos de títulos de créditos utilizados nos Brasil são: letra de câmbio, nota promissória, duplicata e debêntures.
Nota promissória é um título cambiário em que seu criador assume a obrigação direta e principal de pagar a soma constante no título. A nota promissória nada mais é do que uma promessa de pagamento.
É um título muito usado entre pessoas físicas e uma instituição financeira.
A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para a qual vendeu mercadoria a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro. A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado: porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por instituições financeiras.
12-DESCONTO
Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:
Que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro futuramente pelo intervalo de tempo que falta para o vencimento;
Que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último tenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que fixada no título de crédito. Este benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.
Além disso:
Dia de vencimento é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) de aplicações;
Valor nominal é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento);
Valor atual é o valor pago (ou recebido) antes do vencimento;
Tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o do seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro;
Assim, desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
12.1-DESCONTO COMERCIAL
12.1.2-DEFINIÇÃO
Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora, o equivalente ao juro simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada.
12.1.3-VALOR DO DESCONTO COMERCIAL
Chamamos de:
d o valor do desconto comercial
N o valor Nominal do título
A o valor atual comercial ou valor descontado comercial)
n o tempo
i a taxa de desconto
d = N x i x n
Como A = N – d e d = N x i x n
A= N - (N x i x n)
A= N (1- i x n)
Como adiantamos, o cálculo do desconto comercial é semelhante ao juros simples. Podemos comparar as duas fórmulas
j = C x i x n
d = N x i x n
Onde o Desconto corresponde ao juro e o capital ao valor nominal.
Exercícios
1 – Um título de R$ 4.000 vai ser descontado à taxa de 4,2% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
O valor do desconto comercial;
O valor atual comercial.
2 – Uma duplicata de R$ 5.900 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 5.072. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 3,5% ao mês.
3 – Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 2.000, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial?
4–Um título, no valor nominal de R$ 10.400, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual é o valor comercial descontado?
5-Um títulode R$ 4.836 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 30% ao ano, calcule o tempo aproximado de antecipação do resgate:
A) 2 meses B) 5 meses C) 4 meses 
D) 3 meses E) 6meses
6– Um título de R$ 4.800 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate.
Exercícios de fixação
1– Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 1.000, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 15% ao ano. Qual o desconto comercial?
2– Um título, no valor nominal de R$ 4.200, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 21,9% ao ano, qual é o valor comercial descontado?
3- Um título de R$ 2.418 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 2238. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 15% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate:
4- A quantia de R$2000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos. Sendo que montante M= c+j.
A) R$ 12.000,00 B) R$ 8.000,00 C) R$ 12.000,00 
D) R$ 18.500,00 E) R$ 15.000,00
13-Desconto Racional
13.1-DEFINIÇÃO
Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada.
dr = o valor do desconto racional
Ar = o valor atual ou valor descontado racional
Temos pela definição: 
dr = Ar x i x n
A r = N – d r
Podemos utilizar: 
Exemplo1: Um título de R$ 12.000 vai ser descontado à taxa de 1,05% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
o valor do desconto racional;
o valor atual racional.
Temos: N = 12.000 n = 45 dias e i = 1,05% : 30 =0,035 
 a.d.= 0,035/100 = 0,00035 a.d.
Como 
 
b) como A r = N – d r, temos: 
A r = 12000 – 186,06 = 11813,94
2) Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 50.000, disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês.
3) Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 60.000, disponível dentro de 60 dias, à taxa de 4% ao mês.
4) Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racional a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
5). Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 120.000, disponível dentro de 60 dias, à taxa de 2% ao mês.
6). Considere um título cujo valor nominal seja R$5.000,00. Calcule o desconto racional a ser concedido para um resgate do título três meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 10% a.m.
7). Seja um título de valor Nominal R$ 4000, vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes do vencimento. A taxa de 42% a.a., pede-se calcular o desconto racional e o valor Atual racional.
EXERCÍCIOS
1.Um título de R$ 6.000 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial do de R$ 189, calcule a taxa de juro efetiva.
Uma duplicata de R$ 23.000 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$ 21.068. Determina a taxa de desconto e a taxa efetiva.
2. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000 à taxa de 2,5% ao mês durante 2 anos.
3.Uma pessoa aplicou R$90.000, no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu um montante de R$180.000. Qual foi a taxa anual?
4. Um capital foi aplicado à taxa de 45% a.a. Em 12/02/2008, foi efetuado o resgate no valor de R$107.800. Qual o valor do capital inicial?
5.Um investidor aplicou R$200.000 no dia 06/01/2008 à taxa de 27% ao ano. Em que data esse capital elevar-se-á a R$219.500?
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1-Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$3.200, pelo prazo de 18meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 
2-Calcule o juro simples do capital de R$ 36000 colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 2008 a 28 de maio do mesmo ano.
3-Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500 a ser resgatado por 2.700 no final de 2 anos?
4-A que taxa o capital de R$ 24.000 rende 1.080 em 6 meses?
6-Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830. Qual foi esse capital?
14-LOGARITMOS- INTRODUÇÃO AO JUROS COMPOSTOS
Introdução - Considere o seguinte problema:
1º) A que expoente x se deve elevar o número 3 para se obter 81?
4x = 64 ( 4x = 4 3 ( x = 3
Esse valor 3 encontrado para x denomina-se logaritmo de 64 na base 4 se representa por log 4 64 = 3
14.1-Definição de logaritmo: Apresentaremos uma definição aprimorada, da seguinte forma: “Sejam a e b dois números reais e positivos, com b (1, chama-se log. de a na base b ao número c tal que bc = a”
log b a = c ( bc = a
A finalidade das condições apresentadas 
 (a > 0 e 0< b (1) é garantir a existência e unicidade de log b a
Exercícios
1-Determine, pela definição, o logaritmo de:
a)log2 b) log2 0,5 c) log 3 x = 4 
2-Para que valor de x se tem log4 x = 3?
3-Determine, pela definição, o logaritmo de:
a) Log 4 b) Log 5 0,2
 
c) Log2 d) Log16 32
e) log49 f) log4 2 
g) log2 h) log 5 0,000064 
4- Determine, pela definição, o logaritmo de:
a) log 8 b) log 416
 
c) log 5625 d) log 0,5 0,125
e)log 2 f) log 9 3 
g) log 343 h) log 0,2 0,0000128 
 
14.2-PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LOGARITMO
P1) logaritmo de um produto
log b (a . c) = log b a + log b c
Demonstração:
Sejam log b (a . c) = x ; log b a = y e log b c =
(como: log b (a . c) = x ( bx = a . c )
log b (a . c) = x ( bx = a.c _ eq. I
log b a = y ( by = a _ eq. II
log b c = z ( bz = c 
bx = a . c substituindo I , II em III
bx = by . bz , propriedade de potenciação
bx = b y + z como as bases são iguais os expoentes são =s
portanto: x = y + z
 log b (a . c) = log b a + log b c
Exercícios:
1-Dados log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, calcule:
a)log10 6 b) log10 12 ( faça log10 12 = log10 2 .6)
c) log10 9 d) log10 4 
P2) logaritmo de um quociente
log b (a/c) = log b a - log b c (Obs. : a/c = a : c)
demonstração: 
sejam log b (a / c) = x ; log b a = y e log b c = z
(como : log b (a / c) = x ( bx = a / c )
log b (a / c) = x ( bx = a / c - I
log b a = y ( by = a ( II
log b c = z ( bz = c , substituindo eq. I na eq. II
bx = a / c
bx = by / bz , propriedade de potenciação
bx = by - z como as bases são iguais os expoentes são iguais.
portanto: x = y - z
 log b (a . c) = log b a - log b c
Exemplo: 
log 10 5 = log 10 (10 : 2) = log 10 10 - log10 2 = 1- log 10 2
P3) logaritmo de uma potência
log b aα = (α . log b a)
Demonstração:
log b aα = x bx = aα ( Eq.1)
log b a = y ( by = a ( Eq. 2 ) 
subst. Eq. 1 na Eq. 2 , temos: bx = (by) α
Comparando os expoentes x = ( . y)
 log b a = ( . log b a)
Exemplo: log 10 16 = log 10 24 = 4. log 10 2
EXERCÍCIOS
1-Se log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,48 , o valor de 
log l8 é: 
( A) 1, 14
( B) 1, 26
( C) 1, 34 
( D) 1, 58
( E) 1, 96 
2-Dados log 2 = 0, 301 e log 3 = 0,477, calculem o valor de:
log 0,018
log 14,4 
 
 
e) log 62
f) log 3/2
g) log 8
h) log 12
14.3- LOGARITMOS DECIMAIS
Vamos observar e analisar algumas particularidades do sistema de logaritmos na base 10. Iniciaremos com os seguintesexemplos:
EXEMPLOS:
Sabendo que log 1842 = 3,26528.
Vamos calcular log 184,2; temos:
log 184,2 = log10 =
3,26528- 1 e, portanto log 184,1 = 2, 26528
b) Calculemos agora log 18,42; temos:
log 184,2 = log10 =
= 3,26528- 2 = 1, 26528 e, portanto log 18,42 = 1, 26528.
c) Calculemos agora log 1,842 = log10 = 3, 26528 - 3 = 0,26 528
Observe que os logaritmos 1842; 184,2; 18,42 e 1,842 (que diferem entre si quanto a posição da vírgula) têm mesma parte decimal.
Continuaremos, então, com os nossos exemplos:
*d) log 0, 1842; temos :
log 0,1842=log = log 1842- log 10.000 =3, 26528- 4 = - 0,54653; portanto, log 0,2841= _ 0, 73472
e) log 0,01842= log log 1841 - log 100.000 =
3, 26528 - 5 = - 1, 73472 e, portanto, log 0,01841 = - 1, 73472 
Log a = C + m ; 0 < m < 1
parte inteira parte decimal
C- é a característica (parte inteira)
m - é a mantissa (parte decimal)- mantissa do latim significa “excesso”, quebra, excedente. 
Note que nos exemplos a, b e c, a parte decimal do logaritmo vinha se mantendo, o que deixou de acontecer quanto passamos para os exemplos d e exemplo e.
log 2841 = 3, 45 347 = 3 + 0, 26528
log 284,1 = 2, 45 347 = 2 + 0, 26528
log 28,41 = 1, 45 347 = 1 + 0, 26528
log 2,841 = 0, 45 347 = 0 + 0, 26528. Com a finalidade de conservar a parte decimal que vinha aparecendo, vamos escrever:
log 0, 1842 = -0,73472(+1-1) = -1 + 0,26528 =-0, 73472 
log 0,01842 = -1,73472(+2-2) = -2 + 0,26528 =-1, 73472 
Obs.: Todos possuem a mesma parte decimal (mantissa).
Exemplos:
Qual a característica c de log 573.218, 62?
105 < 573.218, 62 < 10 6 ( 5 < log 573218, 62 < 6 
6 algarismos C = 5
(10 6 = 1000.000)
(105 = 100.000)
Qual a característica c de log327?	
102 < 327 < 10 3 ( 2 < log 327 < 3 ( C=2
3 algarismos
c) Qual a característica c de log 8,521?
100 < 8, 521 < 10 1 ( 0 < log 8,521< 1 ( C=0
1 algarismo
Qual a característica c de log 0,751?
10-1 < 0, 751 < 10 0 ( -1 < log 8,521< 0 (C= -1
1 zero que precede o 1º algarismo significativo 
e) Qual a característica c de log 0,01?
log 0,01 = x ( log 1/100 = x ( log10 10-2 = x 
10x = 10-2 ( x = -2 ( log 0,001 = -2
f) log 0,00001 = -5 ( pois 10-5 = 0,00001)
Regra prática : 
Para algarismos maiores que 1: 
“A característica do logaritmo decimal de um número maior que um é encontrado contando os algarismos da parte inteira do número e subtraindo uma unidade (exemplos a e b).”
Para algarismos menores que 1:
“A característica do logaritmo decimal de um número menor que um é encontrado contando a quantidade de zeros antes do algarismo significativo e dando um sinal negativo (exemplos d, e, f).”
Exercícios
1-Encontre a característica (c) e a mantissa (m) dos seguintes logaritmos:
a)        log 327
b)        log 8,52
c)         log 0,752
d)        log 0,0752
e)        log 0,00752
f)         log 52,7
g)        log 0,532
h)        log 0,0532
15- Juros Compostos
Um capital de R$ 100 aplicado durante 5 meses rende um montante de quando aplicado em:
Comparação juros simples e composto
No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Por isso, é utilizada a expressão juros sobre juros, ou capitalizados, por um período (capitalizados: mensalmente, bimestralmente,
anualmente etc.). Nesse caso, o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse valor. A fórmula de juros composto pode ser escrita da seguinte maneira:
M = montante (capital +juros)
C = capital inicial 
i = taxa de juros 
n = tempo 
M= C(1+i)n
Exemplo1: Um mutuário comprou uma casa por R$ 200.000,00 financiado por um banco com taxa de juros de 15% ao ano, financiado em 10 anos. Logo no primeiro mês, ele perde o emprego e não consegue pagar nenhuma prestação. Qual será o valor do montante (tudo que ele deve) ao final de 10 anos?
M = montante
C = capital inicial = 200.000,00
i = taxa de juros = 12% ao ano
t = tempo = 10 anos
M= C(1+i)n
M = 200000,
M = 200.000,00.
M=621.169,64
Resposta: Ao final de 10 anos, o montante (principal mais juros) será de R$ 621.169,64, ou seja, ele deve mais de 3 casas.
2-Uma pessoa emprega uma quantia de R$ 1.000,00 a juros compostos de 12% ao ano. Se esta pessoa resolver retirar seu dinheiro passados dois anos e 197 dias, quanto deverá receber?
M = Montante M = C ( 1 + i ) n 
C = Capital e n = tempo
i = taxa 
M = C. ( 1,12) n 
M = C. ( 1,12) n 
+(
Log M = 3+0,406066+0,04922
Log M = 3,45286
Como log M = 3,45286, então, olhando na tabela da direita para esquerda, 125480 é a mantissa mais próxima que corresponde à 1335. Como a característica é igual a 3, o número deverá ter 4 algarismos → 1335 , concluímos 
M = R $ 1335,00.
3-Faça a mesma aplicação para um capital de R$ 10000,00 durante 2,5 anos.
, pois log 1,12 =0 ,04922
log M= log 10.000 +(2,5)0,04922 = 4+ 0,1231
indica que M (logaritmando) possui 4+1 algarismos ou 5 algarismos.
Como a característica 0,1231 não aparece na tábua, vamos determinar o Logaritmando por interpolação linear.
 (menor)
Diferença= 0,1206 ..................132
 . Diferença = 1
0,0033 0,1239.....................133
 número dado
Como: 0,1206(menor) _ 0,1231(não aparece na tábua) = 0,0025
Temos:
0, 0033 --------- 1
0,0025----------- x ( 0,0033.x = 0,0025
X= 0,0025
 0,0033
X= 0,757575 ≡ 0,7576 ou seja o número procurado é 132+0,7576 = 132,7576
O logaritmando M = 1 3 2 7 5,76
 5 algarismos na parte inteira.
EXERCÍCIOS
1- Carla aplicou R$ 800,00 num investimento que rende 2% a.m. a juros compostos. Calcule: 
► O montante, ao final de: a) 3 meses; b)6 meses; c) 12 meses
2-Um capital inicial de R$ 120.000,00 é colocado a juros compostos à taxa de 8% ao ano capitalizado anualmente. Determine o montante(M) para n= 12 anos. 
Um capital inicial de R$ 60.000,00 é colocado a juros compostos de 12% ao ano, capitalizado anualmente. Determine: o montante (M) para n= 10 anos.
3-Calcule o tempo necessário para duplicar um capital de R$ 10.000,00, colocado a juros compostos de 6% ao ano, capitalizados anualmente.
4- Um capital inicial de R$ 30.000,00 é colocado a juros compostos de 8% ao ano, capitalizado anualmente. Determine o montante (M) para n= 9 anos.
5- Calcule o tempo necessário para duplicar um capital de R$ 15.000,00, colocado a juros compostos de 12% ao ano, capitalizados anualmente.
6-Um capital de R$ 10.000,00 é colocado a juros compostos à taxa de 3% ao mês. Pergunta-se:
a) Qual o montante daqui a 10 meses?
b) Em quanto tempo dobrará o montante? 
7-Qual o capital que aplicado a juros compostos à taxa de 3% ao dia produz em 5 dias um Montante de R$ 231,85?
8- Um capital C é empregado à taxa de 10% ao ano, com juros capitalizados ao final de cada ano, após t 
anos produzirá um montante M dado por M = Cx (1,1)t. Após quantos anos o capital terá sido dobrado, ou seja, M = 2C? 
Dados log 2 = 0,3010 e log 11 = 1,0414.
9- Você está com o saldo negativo no seu cheque especial de R$ 1.000,00. O banco cobra 10% ao mês de juros. Depois de quanto tempo você vai dever para o banco aproximadamente o dobro que deve agora?
10-(UFV-MG-2007) Gastão resolveu fazer uma aplicação junto ao banco onde possui conta. O gerente os informou que estão possíveis as seguintes opções de investimentos a juros compostos:
I. taxa de rendimento de 20% ao ano, para aplicação mínima de R$500,00;
II. taxa de rendimento de 30% ao ano, para aplicações maior ou igual a R$4500,00.
Sabendo que Gastãovai iniciar seu investimento com R$ 3125,00, o tempo MÍNIMO, em anos, necessário para que alcance o valor de R$58500,00 é: (Considere log 1,3=0,1)
a)15
b)11
c)13
d)09
Teremos que considerar 2 períodos para taxa (I) de 20% e taxa II de 30% (n1 e n2)
Como se trata de juros compostos a fórmula é: 
M = C (1+i)n
M1 = 4500,00 i1 = 20% = 0,20 e C (inicial) = 3125
1ºperíodo 
M1 = C (1+i)n1
4500 = 3125 .(1,2) n1 ( x log)
Log 4500 = log 3125.(1,2)n1 ( Obs. log .(1,2)n1 1.(log12/10) = n1(log22 +log3-log10)(
2log2+log3-1 = 0,602+0,477-1 (log1,2= 0,079)
4.500 fatorando = 22+32+53) e log 4500= 2.log2+2.log3+3.log5=
log 4500= 2(0,301) +2.(0,477)+3.(0,699)
Como fatorando, temos 3125= 35( log3125= 5.log3( 5.(0,699) = 3,495
3,653 = 3,495 + n1(0,0791)
3,653-3,495 = n1 (0,079)
0,158/0,079 = n1 ( n1 = 2 anos
2º período
M2 (montante) = 5850 C = 4500,00 e i 2= 30% = 0,30
58500 = 4500(1+0,20) n (x log)
Log 58500 = log4500. (1,30)n2
Log 58500 = log 4500+ log 1,30n2
Log 58500 = log 4500+ n (log 1,30) como log4500 = 3,65 e log 5850 = 3,7671
3,7671 = 3,65 + n (0,1)
(4,7671 – 3,65) / 0,1 = n ( n = 1,1171/0,1 = 11 ( n2 = 11
Tempo total n = n1 + n2 =11+2= 13 anos. Resposta: Alternativa C)
FATORAÇÃO 4500 = 22.32.53 . É claro que devemos saber que o log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 sempre pedimos aos alunos que memorizem este dois e por propriedade de log dá para achar log 5 = 0,699. A fatoração de 58500 = 22.32.53.13. No caso, a característica de 13 é 0,1 a mesma de log 1,3 que é dado. Lembrando que usando propriedade: log 4500 = log22.32.53= 2.log2+2.log3 + 3.log5= 2(0,301)+ 2(0,477) + 3(0,699) = 0,602+ 0,954 +2,097 = 3,653
4500 2
2250 2
1125 3
 375 3
 125 5
 25 5
 5 5
 1 
 
O mesmo procedimento para log 58550 = log22.32.53.13. No caso, log 5= log 10/2 = log10 10 – log10 2 = 1 – 0, 301 = 0,699.
11-Um aplicador colocou R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que possui uma taxa de juros de remuneração de 0,5% ao mês. Se ele não fizer nenhum depósito nem retirada por 12 meses, qual será o montante final?
TESTE DE MATEMÁTICA FINACEIRA- 
1-Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48 , o valor de log l8 é : 
A) 1, 14 B) 1, 26 C) 1, 34 
D) 1, 58 E) 1, 96 
2– Uma duplicata de R$ 6.900 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072. O tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês será de:
A) 3 meses B) 5 meses C) 4 meses D) 2 meses E) 7 meses
3- Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 2.000, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. O desconto comercial será de:
A) R$ 200,00 B) R$ 100,00 C) R$ 342,00 D) R$ 255,00 E) R$ 500,00
4-Um título de R$ 4.836 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 30% ao ano, calcule o tempo aproximado de antecipação do resgate
A) 2 meses B) 5 meses C) 4 meses D) 3 meses E) 6meses.
5- A quantia de R$3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos. Sendo que montante M= c+j.
A) R$ 20.000,00 B) R$ 25.000,00 C) R$ 12.000,00 D) R$ 25.500,00 E) R$ 35.000,00
M = montante
C = capital inicial = R$ 1000,00
i = taxa de juros = 0,5% ao mês
t = tempo = 12 meses
Ele ganhou a estratosférica quantia de R$ 61,68 para emprestar R$ 1.000,00 para o bando, digo, para o banco, por 1 ano.
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1-Um aplicador colocou R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que possui uma taxa de juros de remuneração de 0,5% ao mês. Sabendo que a aplicação e juros sobre juros. Se ele não fizer nenhum depósito nem retirada por 12 meses, qual será o montante final? Dado ( 1,005)12 =1,06168.
 a) R$ 1.091,00 b) R$ 1.061,68 
c) R$ 2.061,68 d) R$ 3.061,68 
Você está com o saldo negativo no seu cheque especial de R$ 1.000,00. O banco cobra 10% ao mês de juros. Depois de quanto tempo você vai dever para o banco aproximadamente o dobro que deve agora?
5 meses b) 4 meses c) 8 meses d) 7 meses 
3-Um capital C é empregado à taxa de 10% ao ano, com juros capitalizados ao final de cada ano, após n anos produzirão um montante M dado por M = Cx (1,1)n. Após quantos anos o capital terá sido dobrado, ou seja, M = 2C? 
Dados log 2 = 0, 3010 e log 11 = 1, 0414.
4- Um título de R$ 4.836 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 30% ao ano, calcule o tempo aproximado de antecipação do resgate
A) 3 meses B) 5 meses C) 4 meses D) 2 meses 
5-A quantia de R$3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos. Sendo que montante M= c+j.
A) R$ 20.000,00 B) R$ 25.000,00 C) R$ 12.000,00 D) R$ 25.500,00 
16.Desconto Composto
16.1- Introdução
O Conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes do seu vencimento.
Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a aplicação do desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo.
Ficaremos restritos ao estudo do desconto composto racional.
16.2- CÁLCULO DO VALOR ATUAL
Valor atual, em regime de juro composto, de um capital N disponível no fim de n períodos, à taxa i relativa a esse período, é o capital A que, colocado a juros compostos à taxa i, produz no fim de n períodos o montante N.
Assim, em virtude dessa definição, temos: 
A (1 + i)n = N
Logo:
Daí: A = N (1+ i)– n
EXEMPLO
Determinar o valor atual de um título de R$ 800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto 
( composto) de 2% ao mês:
Resolução : 
Temos:
N = 800
n= 4 me
 i= 2% a. m. = 0,02 a. m.
Logo : 
A = 800(1+ 0,02) -4 = 800 x 0,92385 A = 739,08
Isto é, o valor atual do título é de: R$ 739. 
EXERCÍCIOS
1-Calcule o valor atual de um título de valor nominal R$ 2.120, com vencimento para dois anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizados semestralmente. (obs. : n = 2 a+ 6 me = ( 4+1) sem = 5 semestre). 
2-Qual o desconto composto que um título de R$ 15.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? 
3-Um título de valor nominal de R$ 15.000, foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi do desconto concedido?
5-Desejamos resgatar 1 título cujo valor nominal é de R$ 7000 faltando ainda 3 meses para seu vencimento. Calcule o valor atual, sabendo que a taxa de desconto de 3,5% ao mês.
6- Calcule o valor de um título de R$ 40.000 resgatado a 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de 24% ao ano.
    Na fórmula M = P . (1 + i)n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value). 
    Então, essa fórmula pode ser escrita como 
    FV = PV (1 + i) n 
    Isolando PV na fórmula, temos:
    PV = FV / (1+i)n
    Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.
    Com esta mesma fórmula, podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.
    Exemplo:
    Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?
    Solução:
         FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36
1
Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia36
Portanto, generalizando, podemos escrever a definição do cálculo do valor futuro
(montante) a juros compostos como sendo:
FV ( PV .(1 ( i) n
Exemplo: Suponha a aplicação da quantia de R$ 1.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros de 10% ao mês.
Solução: De acordo com o acima exposto, temos:
Primeiro período de capitalização:
xemplo resolvido
1-Um empréstimo de R$ 7500 foi realizado em 06/09 e pago em 05/12 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago?
Resolução: 45%: 365(dias) = 0,12%= 0,00123
J=C.i.n
C=7500 e na tabela n= 339-249 = 90 dias
J= 7500.(0,00123).90= 830,25
Exercícios
1-Um empréstimo de R$ 1.000 foi realizado em 20/06 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago?
2-Durante quanto tempo em anos, devemos aplicar R$ 5.184, à taxa de 3% ao mês, para obtermos R$ 2.376 de juro?
3-Um capital de R$ 10.500 rendeu R$ 1.225 de juros. Sabendo que a taxa de juro contratada foi de 42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/2004, qual a data do vencimento? 
4-Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% ao ano, para render um juro de R$ 4.600?
5- A que taxa mensal foi aplicado um capital de R$ 8.000 que, durante seis meses e vinte dias, rendeu R$ 1.320 de juro?
6- Durante quanto tempo foram aplicados R$ 19.680 que, à taxa de 36,5% ao ano, renderam R$ 9.368 de juro? 
EXERCÍCIO DE REVISÃO
1-A quantia de R$3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos. Sendo que montante M= c+j. 
2-Calcule o montante ao final de dez anos de um capital $10000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s).
3-Quais os juros produzidos pelo capital $12000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre durante 5 anos? (Dica 1 ano = 6 bimestres).
4-Certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado? Dica use a fórmula M = C(1+i.n), resposta em meses. 
Testes- Assinalem apenas uma alternativa que deverá ser a correta
1 .(UF - PA) André devia, em seu cartão de crédito, R$1000,00. Como não conseguiu pagar, em dois meses essa dívida aumento para R$1440,00. Nesse caso, qual foi a taxa de juros simples cobrada mensalmente pelo cartão de crédito? 
7,2%
14,4%
20%
20%
22%
44%
2.Um comerciante comprou uma mercadoria por R$1350,00. Por quanto ele deve vendê-la para obter lucro de 18%? 
R$1458,00
R$ $1494,00
R$1593,00
R$1603,80 
R$1728,00
3.Qual das taxas abaixo indica corretamente a taxa anual equivalente, no regime de juros compostos, à taxa mensal de 4%? 25% a.a.
32% a.a.
48% a.a.
54% a.a.
60% a.a.
4. Em qual das alternativas abaixo temos taxas proporcionais? 
12% a.a e 8% a.s.
0,42% a.m. e 1,26% a.a.
2,5% a.b. e 7,5% a.t.
36% a.a. e 6% a.b.
1% a.q. e 2% a.a.
EXERCÍCIOS DE REVISÃO- Testes
1-Um aplicador colocou R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que possui uma taxa de juros de remuneração de 0,5% ao mês. Sabendo que a aplicação e juros sobre juros. Se ele não fizer nenhum depósito nem retirada por 12 meses, qual será o montante final? Dado (1,005)12 =1,06168.
 a) R$ 1.091,00 b) R$ 1.061,68 
c) R$ 2.061,68 d) R$ 3.061,68 
2- Você está com o saldo negativo no seu cheque especial de R$ 1.000,00. O banco cobra 10% ao mês de juros. Depois de quanto tempo você vai dever para o banco aproximadamente o dobro que deve agora?
5 meses b) 4 meses c) 8 meses d) 7 meses 
3- Um capital C é empregado à taxa de 10% ao ano, com juros capitalizados ao final de cada ano, após n anos produzirão um montante M dado por M = Cx (1,1)n. Após quantos anos o capital terá sido dobrado, ou seja, M = 2C? 
Dados log 2 = 0, 3010 e log 11 = 1, 0414.
4- Um título de R$ 4.836 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 30% ao ano, calcule o tempo aproximado de antecipação do resgate:
A) 3 meses B) 5 meses C) 4 meses D) 2 meses 
5-A quantia de R$3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos. Sendo que montante M= c+j.
A) R$ 20.000,00 B) R$ 25.000,00 C) R$ 12.000,00 D) R$ 25.500,00 
EXERCÍCIOS
1-Calcule o valor atual de um título de valor nominal R$ 2.120, com vencimento para dois anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizados semestralmente. (obs: n = 2 a+ 6 me = ( 4+1) sem = 5 semestre ) 
2-Qual o desconto composto que um título de R$ 15.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? 
3-Um título de valor nominal de R$ 15.000, foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi do desconto concedido?
4-Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de R$ 7000, faltando ainda 3 meses para seu vencimento. Calcule o valor atual, sabendo que a taxa de desconto de 3,5% ao mês.
5- Calcule o valor de um título de R$ 40.000, resgatado a 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de 2% a.m.
6-Calcule o valor atual de um título de valor nominal R$ 21200, com vencimento para dois anos e 6 meses, à taxa de 18% ao semestre, capitalizados semestralmente. (obs. : n = 2 a+ 6 me = ( 4+1) sem = 5 semestre). 
7-Qual o desconto composto que um título de R$ 30.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 5% ao mês? 
8-Um título de valor nominal de R$ 15.000, foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi do desconto concedido?
9-Desejamos resgatar um título cujo valor nominal é de R$ 3.500 faltando ainda 3 meses para seu vencimento. Calcule o valor atual, sabendo que a taxa de desconto de 7% ao mês.
10- Calcule o valor de um título de R$ 20.000 resgatado a 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de 48% ao ano, cuja taxa é de 24% ao ano. 
Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. 
 
 
VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO
    Na fórmula M = P . (1 + i)n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value). 
    Então, essa fórmula pode ser escrita como 
    FV = PV (1 + i) n 
    Isolando PV na fórmula, temos:
    PV = FV / (1+i)n
    Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.
    Com esta mesma fórmula, podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.
    Exemplo:
    Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?
    Solução:
         FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36
17.Significado de Reciprocidade
O que é Reciprocidade:
Reciprocidade é um substantivo feminino que significa mutualidade, representando a característica do que é recíproco.
A reciprocidade é uma particularidade de enorme valor na sociedade, porque de acordo com a psicologia social as relações mútuas contribuem para a conservação de normas sociais. O conceito de reciprocidade está presente em várias culturas e religiões e é apresentada como uma norma imprescindível para uma convivência saudável. A reciprocidade é essencial não só para os seres humanos, mas também para animais irracionais, como babuínos, por exemplo.
Reciprocidade bancária
A reciprocidade bancária consiste na concessão e liberação de crédito e empréstimos a clientes que atribuam à instituição bancária preferência em serviços como depósitos, cobranças, ordens de pagamento, câmbio, etc. Consiste em um estímulo (isenção de tarifas bancárias)por parte do banco a um cliente que tenha um saldo expressivo na conta corrente ou que utilize de forma intensa alguns serviços do banco.
Em geral, valores que devem permanecer em conta corrente
• Saldo médio
– Manutenção, geralmente pelo prazo da operação, de determinado percentual do crédito concedido em conta corrente no banco.
– Constitui-se, na prática, no pagamento antecipado de uma parcela do principal da dívida, elevando o custo efetivo do empréstimo.
(Fonte: Assaf Neto (2009), Matemática Financeira e Suas Aplicações, Cap. 6
Profa. Patricia Maria Bortolon)
Reciprocidade Bancária – Saldo Médio
 
Outra forma de raciocinar o custo efetivo é considerar o custo de oportunidade do dinheiro parado na conta corrente. Considerando este custo de oportunidade igual à taxa de juros cobrada pelo banco (i = 3,59%) teríamos:
–Custo de oportunidade: $1.900 x 3,59% = 68,21
–Encargos financeiros: 570,00 + 23,37 = 593,37
•O custo efetivo calculado dessa forma dará os mesmos 3,59%.
Ao final de 30 dias, os $19.000 em duplicatas são resgatados e creditados ao banco. Neste momento os $1.900 mantidos em conta corrente são liberados ao cliente. Ou seja, o banco recebe $17.100 ($19.000 - $1.900). 
•O custo efetivo da operação, incluindo a perda dos recursos retidos pelo banco na forma de reciprocidade, atinge.
Exercícios
1- Sobre o significado da palavra reciprocidade podemos dizer que é:
a) é um substantivo feminino significa parcial isolado.
b) é um substantivo feminino que significa mutualidade.
c) é um substantivo feminino que significa neutralidade.
d) é um substantivo feminino significa isolado.
e) feminino significa isolado e neutro.
2- A reciprocidade bancária consiste em:
a) neutralidade na hora de conceder um empréstimo.
b) liberação de crédito e empréstimos a clientes sem cobrar nada em troca.
c) liberação de crédito e empréstimos a clientes que mutuamente atribuam à instituição bancária preferência em serviços como depósitos, cobranças, etc.
d) liberação de crédito e empréstimos a clientes que sejam amigos do gerente do banco.
e) liberação de crédito e empréstimos a grandes empresas.
3-Em geral, na reciprocidade bancária, assinale a alternativa que indica, a exigências aos clientes:
Saldo médio, manutenção, geralmente pelo prazo da operação, de determinado percentual do crédito concedido em conta corrente no banco, compra de ações. Constitui-se, na prática, no pagamento antecipado de uma parcela do principal da dívida, elevando o custo efetivo do empréstimo
O banco não faz nenhuma exigência ao cliente tomador do empréstimo.
Todas as alternativas estão corretas.
No caso de empréstimos não se exige reciprocidade do banco.
Não se faz nenhuma exigência para liberação de crédito e empréstimos a grandes empresas.
4- Defina com suas palavras o que entende por reciprocidade bancária.
18.Método Hamburguês
O Método Hamburguês introduz uma simplificação nos cálculos de juros simples, quando há diversos valores de principal, aplicados por diversos prazos, à uma mesma taxa de juros.
Suponha que um aplicador tenha efetuado a movimentação mostrada no quadro a seguir, remunerada a juros simples de 12% ao ano. Considere o ano civil contendo 365 dias.
 
Observe que a última coluna mostra o valor dos juros simples para os períodos em que cada valor de principal permaneceu aplicado. O primeiro depósito de $100.000 permaneceu inalterado por 11 dias. Logo, produziu juros de $361,64.
J = $ 361,54
E, assim, sucessivamente. Os juros totais entre 15/01/2002 e 05/03/2002 seriam de $1.203,29.
Pelo método hamburguês, basta multiplicar a soma do produto dos dias pelos saldos, pela taxa de juros diária de 0,0329% ao dia, obtendo-se o mesmo total:
J = $ 3.660.000 . 0,000329 = 1.203,29
No exemplo k = 4, sendo para t = 1:
VP = $ 100.000
n1 = 11 dias
VP x n1 = $1.100.000
Juros sobre o primeiro depósito
J1 = $ 1.100.0000 x 0,000328767 = $ 361,64
Exercícios 
1-Preencha a tabela a seguir usando o método Hamburguês para os seguintes lançamentos, taxa i = 12% a.a.:
10/01/2015- Depósito de R$ 10.000,00 
21/01/2015- Saque de R$ -3.000,00
15/02/2015- Saque de R$ - 1500,00
28/02/2015- Depósito de R$ 9.500,00
10/03/2015- Saque de R$ -8.500,00
2- Preencha a tabela a seguir usando o método Hamburguês para os seguintes lançamentos, taxa i = 12% a.a.
10/01/2015- Depósito de R$ 15.000,00 
21/01/2015- Saque de R$ -6.000,00
15/02/2015- Saque de R$ - 3.500,00
28/02/2015- Depósito de R$ 10.500,00
10/03/2015- Saque de R$ -9.500,00
3- Preencha a tabela a seguir usando o método Hamburguês para os seguintes lançamentos, taxa i = 12% a.a.
10/01/2015- Depósito de R$ 18.000,00 
21/01/2015- Saque de R$ -16.000,00
15/02/2015- Saque de R$ - 4.500,00
28/02/2015- Depósito de R$ 12.500,00
10/03/2015- Saque de R$ -8.500,00
4-Preencha a tabela a seguir usando o método Hamburguês para os seguintes lançamentos, taxa 
i = 12% a.a.
10/01/2015- Depósito de R$ 15.000,00 
21/02/2015- Depósito de R$ 12.500,00
10/03/2015- Saque de R$ -8.500,00
Cálculo da Taxa Efetiva numa Operação de Desconto
Quando dizemos taxa efetiva, estamos nos referindo à taxa de juros de uma operação de desconto. A taxa efetiva de juros é calculada com base no valor que será creditado ao cliente (PV), enquanto a taxa de desconto é encontrada a partir do valor do título no seu vencimento (FV); portanto, numa operação de desconto, a taxa de desconto é sempre menor que a taxa efetiva de juros, considerando um mesmo prazo.
Simbologia adotada:
i = Taxa Efetiva de Juros;
D = Valor do Desconto (já sabemos calcular);
PV = Valor que será creditado ao cliente.
i = D / PV x 100
Seu cliente deseja saber qual é a taxa efetiva mensal de juros que ele pagou numa operação de desconto. O valor do título de R$ 17.000,00, prazo de vencimento do título de 45 dias com a taxa de desconto de 3% a.m. Que taxa efetiva pagou por esta operação. (d=Nxixn ).
1º Passo: Encontrar o valor do Desconto e o quanto será creditado ao cliente:
Substituindo na fórmula do Desconto e Valor Presente:
D = 17.000,00 . 0,03 / 30 . 45
D = 765,00
PV = 17.000,00 – 765,00=16.235,00
PV = 16.235,00
2º Passo: Encontrar a taxa efetiva de juros do período:
Substituindo na fórmula:
i = D / PV x 100
i = 765,00 / 16.235,00x 100
i = 4,71% a.m
EXERCÍCIOS 
1-Calcule a taxa efetiva mensal de desconto cujo título é de R$30.000, prazo de vencimento 40 dias com taxa de desconto de 1,5% a.m.
2-O valor do título de R$ 34.000,00, prazo de vencimento do título de 45 dias com a taxa de desconto de 2% a.m. Que taxa efetiva pagou por esta operação?
3- Um título de valor nominal de R$ 50.000,00 foi descontado em um banco 100 dias antes do vencimento, com taxa de desconto de 1,5% a.m. Qual o valor descontado e a taxa de juros efetiva desta operação?
19.Conta Cheque especial
OS JUROS DO CHEQUE ESPECIAL
Cheque especial é um contrato firmado entre o banco e o correntista, onde uma determinada quantia em dinheiro é disponibilizada na conta corrente para que seja utilizada e devolvida com acréscimos e outros encargos financeiros. Uma pessoa que possui conta corrente em banco e se enquadra nos moldes financeiros do cheque especial pode fazer uso do produto, desde que liberado.
O cheque especial funciona da seguinte forma, atrelado ao seu saldo fica um valor extra, por exemplo, vamos supor que o saldo da conta corrente de Ana é de R$ 2.000,00 e o limite do cheque especial é de R$ 900,00, portanto o saldo disponível de Ana é de R$ 2.900,00. É preciso ter cuidado ao movimentar uma conta corrente com disponibilidade de cheque especial, pois algumas entidades bancárias fornecem nos extratos o saldo da conta corrente somado com o valor do cheque especial, constituindo um único saldo.
Diferente dos empréstimos que são cobrados através de parcelas, o valor do cheque especial é cobrado em parcela única na data de vencimento (valor utilizado mais acréscimos). Por ser um dinheiro disponibilizado automaticamente e sem burocracia,as pessoas utilizam em razão da facilidade, mas é bom estar atento às taxas efetivas de juros, alguns bancos abusam na cobrança, chegando a trabalhar com taxas de 9% ao mês (dados Banco Central, junho 2009) mais acréscimos.
Para se ter uma ideia da cobrança abusiva, basta realizar a comparação da taxa de juros do cheque especial com a taxa de correção da poupança. Vimos que o cheque especial pode cobrar em torno de 9% pelo empréstimo, enquanto paga aos usuários da poupança juros em torno de 0,6% (dados Banco Central, junho de 2009). Essa diferença entre o preço de compra (poupança) e o preço de venda (cheque especial) é chamada de spread.
Caso você use R$ 100,00 reais do limite de sua conta em uma instituição financeira que cobra juros de 9% no cheque especial, pagará no fechamento do mês o valor mínimo de R$ 109,00, lembrando que a cobrança é proporcional aos dias corridos da data de início da utilização. Já no caso da caderneta de popança, os mesmos R$ 100, recebendo uma correção de 0,6%, resultarão em R$ 100,60.
Os especialistas em economia alertam que o cheque especial é o dinheiro mais caro do mercado financeiro, e orienta as pessoas a usarem somente em situações de extrema urgência. Por isso fique atento ao usar seu cheque especial, procure saber a taxa de juros e os encargos que incidirão sobre o valor utilizado.
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Os Juros do Cheque Especial "; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-juros-cheque-especial.htm>. Acesso em 23 de novembro de 2016.
Outros parâmetros médios do mercado financeiro
18.Equivalência em regime de Juros compostos
Dois ou mais capitais em regime de j. compostos, são equivalentes, em certa época , quando seus valores atuais são iguais.
Exemplo: Um título de R $ 7.000, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro com vencimento para três meses. Sabendo que a taxa de j. compostos é de 3% a.m. Qual é o valo nominal deste título?
N= 7.000 150 A= A’ ==> =
i =i’ = 3% = 0,03 = ==> 
n’ = 5 me 
n=3 me 1,1593N= 7.000x1,0927==>N = 6.597,86
 Resposta: O valor nominal do novo título será de R$ 6.597,86
Exercícios 
Um comerciante, devedor de 1 título de R$ 40.000, para 3 anos, deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa é de 40% a.a., calcule o valor desses pagamentos. (pag. 131 -Mat. Com e financeira fácil). 
Duas notas promissórias, uma de R$ 4.000, vencível em 120 dias, e a outra de R$ 9.000, vencível em 180 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, dentro de 90 dias. Qual o valor desse resgate, no regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês?
Duas notas promissórias, uma de R$ 8.000, vencível em 150 dias, e a outra de R$ 18.000, vencível em 210 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, dentro de 60 dias. dias. Qual o valor desse resgate, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês?
Dois títulos, um de R$ 2.000, vencível em 120 dias, e outro de R$ 6.000, vencível em 180 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, dentro de 90 dias. Qual o valor desse resgate, no regime de juro composto, à taxa de 6% ao mês?
20.Série s de Pagamentos
Classificação das Anuidades
As anuidades, também chamadas rendas certas, há vários tipos de anuidades.
Elas diferem entre si quanto ao início do primeiro pagamento ou recebimento, à periodicidade, à duração e aos valores das séries. 
Quanto ao início do primeiro pagamento ou recebimento as anuidades podem ser:
• postecipadas - os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro período;
• antecipadas - os fluxos começam no início do primeiro período; 
• diferidas - há prazo de carência antes do início do fluxo de pagamentos ou recebimentos.
No nosso dia-a-dia há vários exemplos de anuidades postecipadas e antecipadas. Quando compramos um bem financiado “sem entrada” ocorre uma série postecipada. Mas se compra é “com entrada”, então se tem uma série antecipada. Os diagramas de fluxo de caixa a seguir representam graficamente as duas possibilidades.
ANTECIPADO
“SEM ENTRADA”
Os empreendedores, muitas vezes, irão se deparar com anuidades diferidas. São os casos dos financiamentos de agentes de desenvolvimento, como o BNDES e a FINEP, por exemplo. 
Muitos projetos exigem tempo de maturação, isto é, leva algum tempo para surgirem os retornos. Durante esse período o agente financeiro oferece um prazo de carência, possibilitando que o pagamento do principal só comece após o projeto apresentar os primeiros retornos: é o caso dos pagamentos do tipo diferido.
O exemplo a seguir ilustra uma série de pagamentos deste tipo:
Quanto à periodicidade, as anuidades podem ser:
• periódicas – quando os intervalos de tempo entre os pagamentos ou os recebimentos são constantes (mensal, anual, diário etc);
• aperiódicas – se os fluxos de caixa não obedecem a um intervalo de tempo pré-determinado.
Quanto à duração, encontramos anuidades:
• finitas – quando o prazo total do fluxo de pagamentos ou recebimentos é previamente conhecido;
• perpétuas – se o prazo for indeterminado (ou infinito). Tal tipo é utilizado no cálculo de formação de fundos de pensão e na avaliação do preço das ações das empresas.
Quanto aos valores, teremos anuidades:
• constantes – se os pagamentos ou recebimentos são iguais em todos os períodos;
• variáveis – quando os pagamentos ou recebimentos mudam de valor nos diferentes períodos. Quando compramos um imóvel financiado, normalmente são solicitadas parcelas intermediárias, fazendo com que o fluxo de pagamentos seja variável.
Formação de capital
Até aqui, representamos o pagamento de dívidas, porém, o cálculo de anuidades também é útil na determinação de montantes futuros. Digamos que desejo saber quanto devo depositar periodicamente em uma aplicação de forma a obter ao final de um algum tempo um determinado valor.
Esse problema pode ser representado genericamente através do seguinte diagrama de fluxo de caixa:
Atividade de pesquisa
Multimídia
Pesquisar nos sites do BNDES e da FINEP os tipos de financiamento disponíveis, e os classifique segundo as anuidades estudadas.
Sites BNDES: http://www.bndes.gov.br/
 FINEP: www.finep.gov.br/
Calculando anuidades com uso de ferramentas do computador
Apresentamos, a seguir, alguns exercícios resolvidos através de planilhas eletrônicas, utilizando as funções PGTO, VP, VF, TAXA e NPER.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Considerando as informações do anúncio abaixo, determine a taxa que a loja está praticando.
TV ABX 29´´ 3x DE R$ 266,60 sem entrada 
Preço total R$ 799,80 ou 10% de desconto à vista
RESOLUÇÃO
O valor total de $799,80, se for pago à vista, recebe o desconto de 10%, ou seja, é reduzido em $79,98. Assim, o preço à vista é igual a 719,82. Podemos, então, representar o diagrama de fluxo de caixa desta transação da seguinte forma:
719,82
 1 2 3 meses 
 0 266,60 266,60 266,60
Utilizando a função TAXA de uma planilha eletrônica do Excel, selecione (categoria) “ financeira” fornecemos os três dados disponíveis: 3 parcelas; pagamento mensal de 266,60(não esqueça de digitar -266,60; valor financiado igual a $719,82.
A planilha retornará a taxa mensal igual a 0,054588886 (x100) ou seja, igual 5,45%
Exercícios
Faça os procedimentos igual ao exercício anterior
1-Determine o valor do automóvel anunciado abaixo:
XYZ 4X4 (completo)
Entrada de $ 20.000,00
+ 60 parcelas fixas de $ 1.000,00
0,5% a.m. a menor taxa do mercado
2- A partir do anúncio de uma imobiliária, expresso a seguir, determine o valor das parcelas fixas.
Sua casa própria por apenas $ 200.000,00 ou entrada de $ 20.000,00 + 120 parcelas fixas(taxas de 0,5% a.m.)
21.INFLAÇÃO
Devemos abordar alguns conceitos relacionados com a inflação, tendo em vista a enorme importância deste fenômeno sobre as operações financeiras realizadas no Brasil. Em contextos inflacionários, deve-se ficar atento para a denominada ilusão monetária, ou rendimento aparente. Nesta situação deve-se determinar a taxa real de juros e o custo ou rendimento real de um financiamento ou aplicação.
21.1 - INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA
A INFLAÇÃO  consiste nos aumentospersistentes e generalizados dos preços dos bens e serviços disponíveis à sociedade. O contrário, a diminuição, chama-se DEFLAÇÃO.
A inflação obriga uma quantidade cada vez maior de moeda no pagamento de um bem ou serviço. Sem que tenha havido uma produção maior de riqueza, esse aumento da quantidade de moeda gera perda do poder aquisitivo da própria moeda.
Muitos fenômenos podem causar a inflação. Citam-se, entre eles, taxas altas de juros, escassez, desequilíbrio da balança de pagamentos, emissão de moeda para cobrir déficit público, aumento de preços ou salários sem melhora de qualidade ou de produção, etc.O processo inflacionário, quando instalado, dificilmente é controlado. Funciona como um círculo vicioso, obrigando a reajustes periódicos de preços e salários, com o seu conseqüente agravamento.
A CORREÇÃO MONETÁRIA tem o objetivo de minimizar ( ou até neutralizar) as distorções causadas pela inflação na economia. Com ela os valores monetários (preços dos bens de serviços, salários, empréstimos, financiamentos, aplicações financeiras, impostos, etc.) são reajustadoscom base na inflação no período anterior, medida por um índice de preços, que procura medir a mudança que ocorre nos níveis de preços de um período para outro. No Brasil o cálculo deste índice é feito por uma entidade credenciada F.G.V. - RJ (Fundação Getúlio Vargas - Rio de Janeiro), cujos valores nacionais e regionais são publicados na revista Conjuntura Econômica, e pelo I.B.G.E. - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Outras instituições também têm elaborado estes cálculos do índices de preços: a FIPE e oDIEESE em São Paulo, a FUNDARJ em Recife, o IPEAD-UFMG em Belo Horizonte
Para comparações específicas e obtenção de taxas reais de crescimento em determinados setores, devem ser utilizados índices de preços particulares de cada setor, por exemplo, construção civil, produtos agropecuários, etc.
O índice mais geral disponível é o Índice Geral de Preço - disponibilidade interna da FGV( IGP-di). É o mais indicado e mede a inflação do país.
 
Inflação Brasileira no período de 1830 a 2000.
2 - Como representar valores em contextos inflacionários
            O processo inflacionário obriga a quem faz cálculo financeiro ou toma decisões de investimento ou financiamento a prestar especial atenção ao significado econômico dos lucros e contas nominais apresentados pelas empresas, ao impacto da inflação na avaliação dos investimentos e como o processo decisório é afetado.
            Como resultado da inflação, o significado das medidas contábeis e econômicas de rentabilidade, lucros e custos diverge, e esta divergência é maior à medida que a inflação se acelera. No Brasil, diversos mecanismos foram desenvolvidos para atenuar o impacto da inflação nas peças contábeis das empresas (correção monetária do Balanço Patrimonial, correção integral, etc.) Mas, são mecanismos imperfeitos que aliviam, mas não curam o mal. Enquanto a inflação estiver presente na economia, o tomador de decisões deve saber lidar com ela. Deve-se compreender o significado dos valores nominais, taxas de juros aparentes e reais, custo efetivo aparente e real dos financiamentos, rentabilidade efetiva e real das aplicações, taxas de crescimento nominal e real, atualização monetária e cambial, etc. Nesta seção, auxiliando-nos de exemplos didáticos, iremos introduzir os conceitos e técnicas usados em contextos inflacionários.
EXEMPLO 8
            O salário nominal de um operário recebido no último dia de cada mês, nos últimos 3 meses, foi o seguinte:
            outubro  -    R$ 120,00
            novembro - R$ 138,00
            dezembro -  R$ 165,60
            Calcular a taxa de crescimento real do salário considerando-se que o índice de preços escolhido teve as seguintes variações:
            novembro - 19%
            dezembro -  20%
Solução
      Para deflacionar(colocar os salários em moeda de outubro), usa-se um “deflator” que assume o valor 1,0000 em outubro. Em novembro, seu valor será 1,000 x 1,19 = 1,1900 e, em dezembro, 1,1900 x 1,22 = 1,4518.
	Final do Mês
	Salarios em valores nominais (1)
	Variação do Índice (2)
	Deflator - base de outubro
(3)
	Salário Deflacionado(preços de OUT)
(1)/(3)
	Taxa de Crescimento real (% a.m.)
	Taxa de crescimento aparente (% a.m.
	OUT
	120,00
	-
	1,0000
	120,00
	-
	-
	NOV
	138,00
	19%
	1,1900
	115,96
	-3,36%
	15%[1]
	DEZ
	165,60
	20%
	1,4518
	114,06
	-1,64%
	20%
      Com os salários dos 3 meses em moeda do mês de outubro (moeda constante de outubro), pode-se agora, calcular o crescimento real no mês de novembro:
1 + Cr =     Cr = -0,0336 = -3,36%
Crescimento real no mês de Dezembro:
Cr = 
Pode-se concluir que em novembro houve perda de 3,36% em termos reais em relação ao mês de outubro e, em dezembro, houve uma perda real de 1,64% em relação ao mês anterior. No período considerado, a perda real foi de 4,95% (taxa real negativa) na capacidade geral de compra do salário:
      1 + Cr =    Cr = 0,9505 - 1 = -4,95%
      Por outro lado, o crescimento nominal ou aparente mostra taxas de 15% e 20% para os meses de novembro e dezembro. Isto ilustra a importância de trabalhar com valores deflacionados, pois, apenas desta forma, pode-se saber se houve um crescimento acima ou abaixo da inflação.
3 - Taxa de juros aparente e Taxa de juros real
            A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes. Aqui, usaremos a expressão “taxa aparente” para diferenciá-la da taxa nominal (taxa com mais de uma capitalização por período referencial). As taxas reais diferenciam-se das taxas aparentes pela depuração desta dos efeitos da alta geral de preços. As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:
            (1 + i) = (1 + ir) (1 + I)
onde:
i = taxa aparente          ir = taxa real                 I = taxa de inflação
            A taxa real é o rendimento ou custo de uma operação (segundo seja de aplicação ou captação) calculado após serem expurgados os efeitos inflacionários.
EXEMPLO 9
            Uma aplicação de $100,00 teve um rendimento de $35,00. Se a inflação do período for de 30%, calcular a rentabilidade aparente e real da operação.
Solução
P = 100,00        I = 30%     Rendimento = 35%        ir = ?      i = ?
Rentabilidade aparente:
i = Rendimento aparente/Aplicação = $35,00/$100,00 = 35%
Rentabilidade Real:
(1 + i) = (1 + ir)(1 + I)  ir =  =  = 3,85% 
ou detalhadamente
ir = Rendimento real/Aplicação atualizada =
(Montante - Aplicação atualizada)/ Aplicação atualizada =
[(P + rendimento) - P(1 + I)]/P(1 + I) = 3,85%
EXEMPLO 10
            Um investimento de $180,00 rende juros e atualização monetária pela inflação do período. Se o rendimento aparente total foi de $45,00 e os juros recebidos foram $20,00, qual a taxa de rentabilidade aparente, qual a taxa de rentabilidade real e qual a taxa de inflação do período?
VER MAIS EXERCÍCIOS NO SAMANEZ  pgs 134 a 151
Ver Apostila da Letícia ESALQ
3 - Construção de um indexador e sua utilização
            Vamos tomar como exemplo o cálculo do valor do BTN, criado em fevereiro de 1989 e extinto em fevereiro de 1991. Esse indexador foi construído com base na variação mensal dos preços ao consumidor, calculado pelo IBGE. Para os cinco primeiros meses, de fevereiro até junho, essas variações foram, respectivamente, de 3,60%,6,09%, 7,31%, 9,94%, 24,83%. Seu valor inicial, na data de 01/02/89, foi fixado em NCz$ 1,00 (um cruzado novo). Para a obtenção do valor do mês seguinte, adicionou-se a variação de 3,60% do me de fevereiro, obtendo-se NCz$ 1,0360; o valor do BTN de abril foi obtido adicionando-se 6,09% ao valor do mês anterior e assim sucessivamente. Com esse procedimento, obtém-se os seguintes valores para os cinco primeiros meses de nosso exemplo, válidos para o primeiro dia de cada mês:
	O quadro mostra que o valor do BTN se constituía, na verdade, num índice de preços, como também se constituíam, no passado, a ORTN, a OTN e o fator acumulado da TR; atualmente, temos como exemplos a UFIR, a UPF (Unidade Padrão de Financiamento) e as Unidades Fiscais dos estados e municípios.
	Mês
	Variação mensal(%)
	BTN
	Fevereiro/89
	3,60
	1,0000
	Março
	6,09
	1,0360
	Abril
	7,31
	1,0991
	Maio
	9,94
	1,1794
	Junho
	24,83
	1,2966
            A utilização de um índice de preços, isto é, de um indexador, é uma prática generalizada no Brasil. A partir de seus valores, obtém-se facilmente a variação dos preços ocorrida entre duas datas quaisquer, ou o valor atualizado de um empréstimo, de uma aplicação financeira ou de um bem ou serviço. Para a obtenção da variação, basta dividir o índice referente à data atual pelo índice correspondente à data anterior (a partir da qual se pretende determinar a variação), e subtrair 1. Assim, no caso de nosso exemplo, a variação de 1º de março a 1º de junho é calculada como segue:
            variação =  -1 =  0,2515444 ou 25,15444%
            Essa variação corresponde às variações acumuladas dos meses de março, abril e maio.
            Para se corrigir monetariamente um valor, ou seja, incorporar ao preço inicial a variação correspondente à inflação do período, basta dividir esse valor pelo índice correspondente à data do início do período (a partir da qual se pretende corrigir) e multiplicar pelo índice referente à data do fim do período. No caso do exemplo anterior, um valor inicial de $ 100.000,00 seria corrigido como segue:
            Valor Corrigido = 
            A partir deste exemplo, podemos apresentar uma fórmula genérica para atualização monetária de valores e que será utilizada ao posteriormente. Para tento, vamos chamar de principal o preço inicial de uma mercadoria ou serviço, ou o valor inicial de um empréstimo ou seja de uma aplicação financeira, e de indexador qualquer índice utilizado com a finalidade de corrigir monetariamente um valor. A fórmula é a seguinte:
            Pc = 
em que Pc é o principal corrigido, P o principal inicial, I0 o indexador correspondente à data inicial (data do contrato) e Iv o indexador da data do vencimento, pagamento ou resgate.
            Nos casos em que somente a variação do indexador é conhecida, a atualização se fará como segue:
            Pc = P x (1 + V1) x (1 + V2) x (1 + V3) x ..........x (1 + Vn)
em que V representa a variação (diária, mensal ou anual) do indexador e os índices 1, 2, 3, 4, 5, .....,n, o número de ordem do período unitário (dia, mês ou ano)
1.1  – NOÇÕES BÁSICAS
	
	
		INFLAÇÃO – É o processo de crescimento generalizado e contínuo de todos os preços e salários de uma economia
 
            Dentre os principais problemas que a inflação ocasiona a uma economia estão o crescimento diferenciado dos preços. O qual beneficia uns e prejudica outros, e o aumento dos custos de transação determinado pelas distorções que o processo inflacionário ocasiona ao sistema de preços.
            Mede-se a inflação através de indicadores ou índices que tentam refletir o aumento de preços de um setor em particular ou de um segmento de consumidores. Efetivamente, existem diversos índices que são calculados para o atendimento a várias finalidades.
            Os índices de preços ao “consumidor” tentam medir a inflação média de um conjunto de produtos e serviços que se pressupõe sejam os adquiridos por um consumidor com determinadas características de renda. O “índice 2” da Fundação Getúlio Vargas é um dos índices desenvolvidos com a finalidade de medir a inflação de um modo geral, sendo calculado pela média ponderada de índices de preços “ao consumidor”, preços “ao atacado” e preços da “construção civil”.
            Para uma melhor visualização do processo de obtenção de índices, será ilustrada, a seguir (Tabela 1.1), a obtenção de um índice de preços para um consumidor hipotético cuja família consome em média 10 kg de arroz, 5 kg de feijão, 5 latas de óleo de soja, 5 kg de carne bovina, 3 litros de leite e 60 passagens de ônibus por mês. Esse conjunto de produtos e serviços (muito maior no caso de índices reais) é denominado “cesta de mercado”, sendo obtido de estudos estatísticos que visam estimar o consumo de produtos em nível domiciliar.
	 
	 
	Mês 0
	 
	Mês 1
	Produto
	Quantidade
	Preço
	Sub-Total
	Preço
	Sub-Total
	Arroz
	10 kg
	4,00
	40,00
	4,30
	43,00
	Feijão
	5 kg
	7,00
	35,00
	7,80
	39,00
	Óleo
	5 latas
	3,00
	15,00
	3,30
	16,50
	Carne
	5 kg
	2,50
	12,50
	3,20
	16,00
	Leite
	3 litros
	0,70
	2,10
	0,85
	2,55
	Passagens
	60
	0,50
	30,00
	0,65
	39,00
	Total
	 
	 
	134,60
	 
	156,05
	Índice
	 
	 
	100,00
	 
	115,94
	
	
	
	
	
	
	
            Para determinação mensal do valor do índice são levantados os preços dos vários produtos e serviços que compõem a “cesta”, sendo calculado, a seguir, o orçamento necessário para aquisição dos produtos relacionados. A taxa de inflação mensal é obtida pelo cálculo da taxa de crescimento do orçamento de um m~es com relação ao orçamento do mês anterior. Esse processo de obtenção de indicadores resulta no chamado “índice de Laspeyres”, o qual é comumente utilizado. Existem, contudo, outros processos importantes de obtenção de indicadores que não serão discutidos no presente texto, devendo o leitor, em caso de interesse, se reportar à bibliografia recomendada para maiores esclarecimentos.
            Objetivamente, o exemplo da Tabela 1.1 mostra que no mês 1 os consumidores necessitavam de R$ 134,60 para adquirir sua “cesta de mercado”, enquanto no mês 2 foram necessários R$ 156,05.
            Na última linha da tabela é introduzida a maneira usual de apresentação de um índice,que no caso considera “base” 100 para o mês 0. A idéia associada à base é simples: define-se o número 100 para um determinado mês “base” e acha-se o valor dos índices para os outros meses por regra de três. Neste caso, pode-se perceber que o crescimento dos preços entre duas medidas foi de 15,94%, que representa uma estimativa da inflação para o consumidor considerado, com base nesta “cesta de mercado”.
            Se, por exemplo, a variação do índice calculado para correção dos salários dessa pessoa tiver sido de 10%, em lugar dos 15,94% que reflete o aumento de sua “cesta”, isso significaria que ao final do mês 1 essa pessoa estaria comprando menos do conjunto de produtos refletidos em sua cesta. Dessa situação podemos concluir que:
	
	
		A variação dos preços que é relevante para uma pessoa ou empresa em particular não é, necessariamente, a mesma refletida pelos índices calculados por instituições como FIPE, FGV e outras.
 
            Isso significa que a seleção do índice mais apropriado para medir a “inflação” relevante para uma pessoa ou empresa é em si um problema complicado pois não necessariamente os índices disponíveis refletem a variação de preços relevante para cada caso em particular.
            A definição formal para taxa de crescimento da inflação entre dois períodos é apresentada a seguir:
	
	
		A taxa de crescimento da inflação entre dois períodos para uma dada cesta de produtos é medida por:
onde qi representa a quantidade do produto i na cesta, pi0 representa o preço do produto i no período “base” (mês 0 no exemplo que apresentamos) e pi1 representa o preço do produto i no período “base”. A taxa de crescimento naforma porcentual é simplesmente obtida multiplicando-se I por 100.
 
            O procedimento embutido na expressão que acabamos de apresentar para computo da taxa de crescimento da inflação entre dois períodos é chamado de método de Laspeyres, que é o mais comum. É importante, contudo, que o leitor saiba que existem métodos alternativos que utilizam uma cesta de mercado “variável” em lugar da cesta “fixa” usada por Laspeyres.
            No exemplo que apresentamos na Tabela 1.1 teríamos:
            Para obtenção da taxa na forma percentual simplesmente multiplicamos por 100 o valor que acabamos de obter. Nessa situação, teríamos então que o índice do exemplo apresentado cresceu 15,94% do mês 0 para o mês 1.
            Na grande maioria dos índices calculados por instituições como Fundação Getúlio Vargas ou FIPE – Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas, toma-se como “base” um determinado mês de um ano em particular e atribui-se valor 100 ao índice desse mês. Os índices dos outros meses são obtidos por regra de três a partir dos orçamentos em dinheiro necessários para a aquisição da “cesta de produtos” utilizada para cálculo do índice.
	
	
		   A taxa de crescimento da inflação entre dois períodos i e j (onde i<j) é determinada por:
            Se no período 0, o valor do índice for 1100 e no período final (um ano depois por exemplo) ele for 1500, teríamos que a taxa de crescimento da inflação medida por esse índice teria sido de
ou 36,36% na forma percentual, durante esses períodos.
            Freqüentemente é necessário que se proceda a “mudança de base” dos índices de inflação levantados pelas instituições que fazem esse trabalho. Isso significa que o mês utilizado como base 100 para o computo do índice é alterado para um outro mês, em função da alteração da moeda ou em razão de se reduzir o número de dígitos para facilitar o manuseio do índice. Esse procedimento não altera o computo da taxa de crescimento desde que os valores utilizados dos índices sejam provenientes de uma série cujo mês “base” seja o mesmo. A utilização de valores do índice de séries com mês base diferente é uma fonte comum de erro no computo da taxa de crescimento da inflação entre dois períodos.
            Apresentamos na Tabela 1.2, valores de índices de inflação comumente utilizados no Brasil. Esses índices são calculados mensalmente através de procedimentos similares aos descritos previamente nesta seção e consideram, cada um deles, uma “cesta” de produtos e serviços diferente. À título de ilustração a taxa de inflação estimada para o mês de julho de 1995 seria dada por 2,24% pelo IGP-FGV, por 3,72% pelo IPC-FIPE e por 4,29% pelo índice calculado pelo DIEESE. Essa dispersão entre as estimativas computadas por procedimentos estatísticos e cestas diferentes ilustram as dificuldades em se estabelecer um índice único de inflação para toda a economia.
	Período
	IGP-FGV
	IPC-FIPE
	DIEESE
	1990 – média
	0,00226
	0,00250
	0,00183
	1991-média
	0,01160
	0,01126
	0,01020
	1992 – média
	0,12700
	0,13400
	0,11100
	1993 – média
	2,79880
	2,70820
	2,39340
	1994 – jan
	12,7827
	12,1912
	11,2143
	1994 – fev
	18,2040
	16,8470
	15,7111
	1994 – mar
	26,3640
	23,9126
	22,8602
	1994 – abr
	37,5574
	34,9650
	33,8929
	1994 – mai
	52,9375
	50,7342
	49,2740
	1994 – jun
	77,5942
	76,4818
	74,2616
	1994 – jul
	96,9678
	100,0000
	97,2198
	1994 – ago
	100,0000
	101,9500
	100,0000
	1994 – set
	101,5490
	102,7860
	100,9593
	1994 – out
	104,1430
	106,0443
	104,5379
	1994 – nov
	106,7200
	109,2469
	107,6853
	1994 – dez
	107,3250
	110,6124
	110,2329
	1995 – jan
	108,7850
	111,4973
	113,8313
	1995 – fev
	110,0390
	112,9691
	117,1989
	1995 – mar
	112,0350
	115,1381
	122,9299
	1995 – abr
	114,6140
	118,1777
	128,6627
	1995 – mai
	115,0710
	120,5058
	133,2688
	1995 – jun
	118,0900
	123,7113
	140,1321
	1995 – jul
	120,7330
	128,3133
	146,1438
[1] Na HP-12C, obtém-se: 12000 ENTER            13800  %            aparecerá no visor 15,00
21.Títulos Govenamentais : o que são e como funcionam
Os títulos públicos são ativos de renda fixa emitidos pelo Tesouro Nacional para financiar a dívida pública nacional. Eles possuem diversas características que o investidor brasileiro adora, como a grande previsibilidade de retorno, liquidez diária, baixo custo, baixíssimo risco de crédito, e a solidez de uma instituição enorme por trás.
Ainda assim, num país com 200 milhões de habitantes, dentre os quais 140 milhões possuem contas bancárias ativas, o número de investidores no Tesouro Direto é modesto (eram pouco mais de 973 mil cadastrados em setembro de 2016, dos quais cerca de 347 mil eram investidores ativos). É uma pena, pois os títulos públicos podem proporcionar boa rentabilidade com excelente segurança, mas poucas pessoas entendem como eles funcionam.
O que são títulos públicos
Os títulos públicos são ativos de renda fixa, ou seja, seu rendimento pode ser dimensionado no momento do investimento. Alguns desses títulos possuem baixíssima volatilidade, enquanto outros podem apresentar oscilações de preço ao longo do tempo. Isso porque a rentabilidade pode ser dimensionada de várias de formas diferentes, de acordo com o tipo de título, como veremos mais adiante neste artigo.
Os títulos públicos federais são emitidos pelo Tesouro Nacional, que representa a disponibilidade financeira do governo federal brasileiro. Ao comprar um título público, você empresta dinheiro para o governo brasileiro em troca do direito de receber no futuro uma remuneração por este empréstimo, ou seja, você receberá o que emprestou mais os juros sobre esse empréstimo.
O principal caminho para investir em títulos públicos é o Tesouro Direto, o programa do Tesouro Nacional desenvolvido em parceria com a BM&F Bovespa para venda de títulos públicos federais para pessoas físicas, por meio da internet. Em setembro de 2016, os investimentos em papéis do governo federal somavam R$ 36,6 bilhões.
Leia mais em: https://verios.com.br/blog/titulos-publicos-o-que-sao-e-como-funcionam/
22.PU (Preço Unitário) 
O PU é um termo utilizado no mercado financeiro para identificar o preço de negociação da debênture calculado em determinada data. Representa o valor presente dos fluxos futuros de pagamento de um título de crédito.
No mercado de debêntures utilizam-se alguns conceitos relacionados ao PU:
	PU Par
	Preço unitário representado pelo valor nominal corrigido pelo indexador até a data de cálculo, descontado de eventuais amortizações já incorridas pela debênture e incluídos os juros acruados desde a última data de pagamento de juros.
	PU de curva
	Preço unitário do ativo, em determinada data, composto de seu valor nominal atualizado, acrescido de juros e/ou prêmios, se houver. Poderá ser diário, mensal na data de aniversário, quando se tratar de ativos remunerados por índices de preço, com critério de cálculo antigo ou em datas especiais, quando ativos que não possam ter seus valores calculados, em razão de suas características não se enquadrarem nas regras de cálculo do sistema.
	PU de eventos
	Preço unitário de determinado evento do ativo, calculado pelo sistema ou informado pelo emissor, que poderá ser efetivamente pago, incorporado, no caso de juros ou prêmio, ou não ser pago. Essa consulta exibe o histórico dos eventos, em ordem decrescente por data do evento, ou seja, da data mais atual para a mais antiga, desde o último evento imediatamente anterior à data de implantação.
As principais centrais de negociação de debêntures, como Andima e Bovespa FIX, mantêm calculadoras especiais para cálculo de PU.
23.Análise de investimentos em regime de juros compostos
Veja em : http://slideplayer.com.br/slide/5640618/
www.profgarcia.xpg.com.br/EnsinoMedio.htm - TABELA DE CONTAGEM DE DIAS
BIBLIOGRAFIA:1- Coleção Cid Guelli - Osvaldo Dolce - Gelson Iezzi; 2) Coleção colegial:Rui Madsen Barbosa; 3) Coleção Colegial - Oswaldo Sangiorgi e Outros;4) Coleção Shawn - Seymour Lipschutz ; 5) Iniciação Às Estruturas Algébricas ; 6) Matemática “Temas e Metas" - Volume I – 
Antônio Santos Machado; 7)Matemática Aplicada Volume 1- Editora Moderna - autores : Trotta , Imenes e Jakubovic - 2º grau ;8) Proposta Curricular Para o Ensino de Matemática 2.º grau - Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas - CENP - São Paulo;9) Tópicos de Matemática Financeira –Editora Agbook -Autor Antonio Carlos Garcia - ano 2010
Relação de livros publicados pelo Prof. Antônio C. Garcia 
TÍTULOS
1.	Tópicos de matemática financeira: matemática financeira
2.	Tópicos de estatística básica: estatística
3.	Cálculo financeiro: matemática aplicada à administração
4.	Como estudar matemática: estudar matemática: guia prático
5.	Jaguaretê
6.	Geometria espacial: nova abordagem
7.	Funções periódicas
8.	Sequências, PA.PG - Funções exponencial e logarítmica
9.	Matrizes determinante combinatória e números complexos: matrizes e números complexos
10.Livro de crônicas 1
11.Funções Reais
12.Geometria Analítica: resolvendo problemas
13.Fundamentos da matemática Financeira
14.Cálculos Financeiros e Estatísticos
15. Cálculos Estatísticos
Todos os livros podem ser adquiridos pelos sites: 
https://agbook.com.br/authors/34296 ou
https://clubedeautores.com.br/authors/34296
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