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Lucas Lopes Queiroga
Fenômenos de Transporte
Sumário
03
CAPÍTULO 1 – O que é a estática dos Fluidos? .................................................................05
Introdução ...................................................................................................................05
1.1 Propriedade dos fluidos e conceitos iniciais .................................................................05
1.1.1 O que é um fluido? .........................................................................................05
1.1.2 Características do fluido ...................................................................................06
1.1.3 Propriedades do fluido .....................................................................................07
1.2 Estática dos fluidos ...................................................................................................09
1.2.1 Pressão em um ponto.......................................................................................09
1.2.2 Pressão hidrostática .........................................................................................11
1.2.3 Manômetro .....................................................................................................13
1.2.4 Dispositivos de medição de pressão...................................................................15
1.2.5 Gases ............................................................................................................16
1.3 Distribuição da pressão de um fluido ..........................................................................17
1.3.1 Forças hidrostáticas sobre superfícies planas submersas .......................................17
1.3.2 Forças hidrostáticas sobre superfícies curvas submersas .......................................19
1.3.3 Princípio de Pascal ...........................................................................................20
1.4 Princípio de Arquimedes ............................................................................................21
1.4.1 O empuxo ......................................................................................................21
1.4.2 Princípio de Arquimedes ...................................................................................22
1.4.3 Estabilidade de corpos imersos .........................................................................23
Síntese ..........................................................................................................................24
Referências Bibliográficas ................................................................................................25
05
Capítulo 1 
Introdução 
Você sabe que é possível erguer um carro com pouco esforço físico? Ou que podemos calcular a 
pressão sentida quando se está em grandes profundidades no oceano? E ainda que se pode de-
terminar a força de empuxo em um objeto submerso em um fluido? Neste capítulo vamos estudar 
sobre a estática dos fluidos e conhecer conceitos básicos, princípios da hidrostática e como esse 
conhecimento se aplica às questões práticas em nosso cotidiano.
O primeiro passo é conhecer a mecânica, a ciência que estuda os corpos estacionários (neste 
caso chama-se estática) ou em movimento sob a influência de forças (dinâmica). Logo, a me-
cânica dos fluidos trata a respeito do comportamento desses fluidos em repouso (a estática dos 
fluidos) e em movimento (a dinâmica dos fluidos), e ainda da relação entre fluidos e sólidos.
Saiba que o estudo da mecânica dos fluidos é extremamente importante em áreas de projetos 
em engenharia de canais, diques e represas; em projetos de tubulações, bombas, compressores, 
dutos usados nos sistemas de água e condicionamento de ar de casas e edifícios; em aerodinâ-
micas de aeronaves e automóveis e ainda no desenvolvimento de medidores de vazão e pressão. 
E existem diversas outras aplicabilidades deste conhecimento.
Ao final deste capítulo você terá construído uma boa base teórica sobre comportamento do fluido 
em repouso e conhecerá os diversos conceitos que são utilizados no cotidiano de um engenheiro 
hidráulico. Vamos, então, começar nosso estudo?
1.1 Propriedade dos fluidos e conceitos iniciais
Você sabe distinguir um fluido de um sólido? Sabe quais são suas propriedades? Aprenderemos 
agora os conceitos básicos comumente utilizados na análise da estática dos fluidos. Primeiro é 
necessário fazermos a distinção entre o fluido e o sólido. Você aprenderá que no líquido as mo-
léculas movem-se umas em relação às outras, entretanto o volume permanece relativamente o 
mesmo devido às fortes forças de coesão entre as moléculas. Já o gás expande-se até encontrar 
os limites do recipiente e preenche todo o espaço disponível, pelo fato de as moléculas dos gases 
estarem bastante espaçadas, e as forças coesivas entre elas serem muito pequenas.
Você conhecerá os conceitos de pressão, massa específica, peso específico, peso específico re-
lativo e viscosidade. Por fim, a tabela 1 irá trazer uma comparação entre alguns fluidos e você 
perceberá o porquê de o óleo lubrificante, por exemplo, flutuar na água e o mercúrio ficar no 
fundo. Para começar, aprenderemos quais são as características de um fluido.
1.1.1 O que é um fluido?
No estudo da física temos que uma substância existe em três estados: sólido, líquido e gasoso 
(ÇENGEL, 2015). Chamaremos de fluido uma substância no estado líquido ou gasoso. A dife-
rença básica entre um sólido e um fluido é que o sólido é capaz de resistir a uma tensão de ci-
salhamento (ou tangencial), e o fluido não. O fluido deforma-se continuamente sob a influência 
da tensão de cisalhamento. Compreenda, assim, que líquidos e gases são as formas ou fases em 
que os fluidos podem se apresentar. É possível verificar a diferença entre o comportamento do 
sólido e do fluido facilmente. Em termos técnicos, a distinção fundamental entre os dois estados 
está na reação de cada um deles à aplicação de uma tensão de cisalhamento. Um sólido pode 
resistir a uma tensão de cisalhamento por uma deflexão estática, já o fluido não pode.
O que é a estática dos Fluidos?
06 Laureate- International Universities
Fenômenos de Transporte
Tempo
(a) Sólido ou �uido (b) Sólido ou �uido
F
(c) Somente �uido
F
(d) Somente �uido
F
Figura 1 – Diferença de comportamento de um sólido e de um fluido sob a força de cisalhamento. 
Fonte: FOX e McDONALD, 2014, p. 20. 
Percebe-se na Figura 1 (a) que colocando o sólido ou o fluido entre dois planos (figura 1.1a) e 
depois aplicando uma força de cisalhamento F, cada elemento sofrerá uma deformação inicial 
(figura 1.1b). O que acontece é que um sólido atingirá o repouso caso a força não seja suficien-
temente grande para levá-lo além do seu limite elástico. E o fluido? Continuará se deformando 
(figura 1.1c, figura 1.1d) enquanto a força for aplicada. Aprenderemos que a razão dessa defor-
mação depende da viscosidade μ do fluido.
Como vimos, qualquer tensão de cisalhamento aplicada em um fluido, não importando o quão 
pequena seja, resultará em movimento daquele fluido. Reforçando esta ideia: o fluido deforma 
continuamente enquanto a tensão de cisalhamento estiver sendo aplicada. Logo, em um fluido 
em repouso considera-se a tensão de cisalhamento igual a zero, caracterizado por um estado 
chamado de condição de estado hidrostático de tensão.
 Assim, tivemos uma distinção clara entre sólidos e fluidos. Você observará que a maioria dos 
exercícios de mecânica dos fluidos que estudaremos trata de casos bem definidos, ou seja, de 
líquidos comuns como água, mercúrio, óleo e gasolina, e os gases mais comuns como ar, hélio, 
hidrogênio e vapor. No entanto, há vários outros casos especiais que não serão abordados neste 
tópico, como os de algumas substâncias aparentemente “sólidas” como o asfalto e o chumbo,que resistem à tensão de cisalhamento em curto espaço de tempo, mas se deformam lentamente 
e apresentam um comportamento característico do fluido por longos períodos. Existem, ainda, 
outras substâncias que resistem a pequenas tensões de cisalhamento, mas não resistem a gran-
des tensões e começam a escoar como fluidos.
Tão importante quanto saber quais são as propriedades dos fluidos é saber como 
preservá-los na natureza. O livro “Sustentabilidade do uso da água nos trópicos e sub-
trópicos” trata do uso racional da água enfocando os aspectos técnicos e econômicos 
relacionados. Isso é importante porque a água será o principal fluido estudado neste 
capítulo e é fundamental para a engenharia e a vida na Terra.
VOCÊ QUER LER?
Depois de aprender o que são os fluidos, você entenderá melhor suas principais características, 
quando líquidos ou em forma de gás.
1.1.2 Características do fluido
No estudo sobre mecânica você deve lembrar-se da área da estática que estuda a tensão, que é 
definida como uma força por unidade de área. Para encontrar o valor da tensão basta dividirmos 
a força pela área sobre a qual ela atua. O componente normal da força na superfície tem o nome 
de tensão normal, e o componente paralelo à superfície é chamado de tensão de cisalhamento. 
Em um fluido estático, a tensão normal é chamada de pressão e a tensão de cisalhamento é nula. 
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No caso do líquido, as moléculas se movem umas em relação às outras, entretanto o volume per-
manece relativamente o mesmo devido às fortes forças de coesão entre as moléculas. Observe 
que, assim, o líquido sempre toma a forma do recipiente no qual está contido. Caso esteja em 
um recipiente sujeito ao campo gravitacional, forma-se, então, uma superfície livre.
Por outro lado, o gás expande-se até encontrar os limites do recipiente e preenche todo o espaço 
nele disponível. Por que isto acontece? Pelo fato de as moléculas dos gases estarem bastante 
espaçadas, e, como sabemos, as forças coesivas entre elas são muito pequenas. Assim, os gases 
não são capazes de formar uma superfície livre. Em se tratando de extremos das forças intermo-
leculares, elas são mais intensas nos sólidos, por estarem mais agrupadas umas às outras. Já nos 
gases elas estão separadas por distâncias relativamente grandes.
Segundo o autor White (2011), o líquido e o gás requerem paredes de apoio para eliminar a tensão 
de cisalhamento. As paredes de um recipiente, por exemplo, exercem uma tensão de compressão 
contrária à força de pressão do fluido e reduzem o círculo de Mohr a um ponto com cisalhamento 
zero, ou seja, à condição hidrostática. Perceba que é diferente dos sólidos, em que não se reduz 
a um ponto e há tensão de cisalhamento diferente de zero. Caso as paredes sejam removidas, a 
tensão de cisalhamento se desenvolve no líquido e resulta em um derramamento do fluido. Se o 
recipiente for inclinado, então novamente se desenvolve a tensão de cisalhamento, formam-se on-
das, e a superfície livre busca uma situação de equilíbrio horizontal, derramando sobre a borda do 
recipiente se necessário. Já o gás fica sem restrições, expande-se para fora do recipiente, fluindo até 
ocupar todo o espaço disponível. O nosso próximo assunto, a seguir, serão as prioridades do fluido.
1.1.3 Propriedades do fluido
Você sabe que o líquido tem diversas aplicabilidades na natureza, certo? Pois seu estudo passa 
por conceitos básicos como pressão, densidade e peso específicos que visam definir suas pro-
priedades. A pressão de um fluido, por exemplo, nada mais é do que a força que este fluido faz 
em um recipiente. No caso dos gases é possível verificar a pressão por meio de um aparelho 
chamado manômetro, que determina a pressão no recipiente. Assim temos que: 
FP
A
=
Sendo, P a pressão do líquido, F a força atuante, e A a área de atuação da força. 
Já a massa específica representa a relação entre a massa de uma determinada substância e o 
volume por ela ocupado e pode ser determinada pela equação a seguir:
m
V
ρ =
Temos, então, que ρ é a massa específica, m representa a massa do fluido e V o volume ocupado 
pelo fluido. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é quantificada em Kg e o volume 
em m³, assim, a unidade de massa específica é Kg/m³.
Já o peso específico é a relação entre o peso de um fluido e o volume por ele ocupado. Sabemos 
que o cálculo do peso é feito pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de Newton). Assim, 
o peso específico é dado por:
m.g
V
γ =
08 Laureate- International Universities
Fenômenos de Transporte
Onde, γ é o peso específico e g a aceleração da gravidade.
A partir da análise das equações é possível verificar que existe uma relação entre a massa espe-
cífica e o seu peso específico, representado por:
.gγ = ρ
A unidade padrão do SI para o peso do fluido é N/m³, ou seja, newtons (unidade de força) 
por metro cúbico.
O peso específico relativo representa a relação entre o peso específico de um determinado fluido 
e o peso específico da água. Em condição padrão da atmosfera a água possui um peso especí-
fico de 10000N/m³. Assim, temos que:
2
r
H O2H O2
γ
γ =rγ =r γ
Onde, γr é o peso específico relativo, e γH2O é o peso específico da água. Como temos uma 
relação entre dois pesos específicos, o resultado é um número adimensional.
A tabela 1 traz valores de alguns líquidos quanto a massa específica, peso específico e peso 
específico relativo.
Líquido Massa Específica (kg/m³)
Peso Específico 
(N/m³)
Peso Específico 
Relativo
Água 1.000 10.000 1
Água do mar 1.025 10.250 1,025
Gasolina 720 7.200 0,720
Mercúrio 13.600 136.000 13,6
Etanol 789 7.890 0,789
Acetona 791 7.910 0,791
Óleo lubrificante 880 8.800 0,880
Tabela 1 – Comparativo da massa específica, peso específico e peso específico relativo de alguns fluidos.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em WHITE, 2011.
Saiba que outra propriedade importante nos fluidos é a viscosidade, que trata da resistência 
do fluido à deformação. Isso se dá principalmente devido às forças de coesão intermolecular. 
Consequentemente, essa propriedade só é evidenciada com o escoamento do fluido. Têm menor 
fluidez os fluidos de alta viscosidade e maior fluidez os de menor viscosidade.
Segundo Issac Newton, em um escoamento unidimensional, a tensão de cisalhamento τ é pro-
porcional ao gradiente de velocidade dV
dy
, sendo o coeficiente de proporcionalidade à viscosi-
dade dinâmica do fluido μ . 
dV.
dy
τ = µ
Todos os fluidos que seguem esta lei são chamados de fluidos newtonianos.
09
Um fluido não-newtoniano é um fluido cuja tensão de cisalhamento não é diretamente 
proporcional à taxa de deformação. Sendo assim, os fluidos não-newtonianos podem não 
ter sua viscosidade bem definida. Um exemplo simples e não tóxico de um fluido não-
-newtoniano pode ser feito facilmente adicionando-se amido de milho a uma xícara de 
água. Você deverá adicionar o amido em pequenas porções e misturar devagar. Quando 
a concentração de amido estiver próxima da crítica (quase a consistência de um creme 
de leite), a também chamada propriedade “dilatante” se torna aparente (WHITE, 2011).
VOCÊ SABIA?
Depois de aprender a calcular massa e peso dos fluidos, a estática e a pressão sobre um ponto 
do fluido serão nossos próximos assuntos.
1.2 Estática dos fluidos
Você sabe como determinar a pressão de um fluido em um ponto? E sabe como calcular a pres-
são em objetos submersos? No geral, a estática dos fluidos é chamada de hidrostática quan-
do o fluido é o líquido e de aerostática quando gás. Os princípios da estática dos fluidos são 
importantes para determinar as forças envolvidas em sistemas hidráulicos. Perceba que, assim, 
podemos projetar com maior segurança e qualidade. 
O conceito de pressão gerada no interior de um fluido estático é um fenômeno importante e com 
muitas aplicações.Saiba que com ela podemos calcular forças sobre objetos submersos, desen-
volver instrumentos para medir pressões e deduzir propriedades da atmosfera e dos oceanos.
1.2.1 Pressão em um ponto
Como vimos anteriormente, pressão é força de compressão por unidade de área e pode ser re-
presentada por um vetor. Lembre-se de que a pressão tem intensidade, mas não possui direção 
definida e, portanto, é uma quantidade escalar. Os engenheiros especificam as pressões como 
absoluta ou relativa em relação à atmosfera ambiente local.
 O segundo caso, de pressão relativa, ocorre porque muitos dos instrumentos de medida de pres-
são são do tipo diferencial, como veremos mais à frente, e medem a diferença entre a pressão do 
fluido e a atmosfera local e não um valor absoluto. Saiba, portanto, que a pressão medida pode 
ser mais alta ou mais baixa do que a pressão atmosférica local. Se tivermos uma pressão medida 
com valor acima da pressão atmosférica, ela é chamada de pressão manométrica. Já no caso de 
a pressão medida ser menor do que a pressão atmosférica a chamamos de pressão vacuométrica.
 Segundo White (2011), um fluido em repouso não pode suportar tensão de cisalhamento, logo ele 
se molda ao recipiente no qual está contido. Por outro lado, a tensão normal em qualquer plano 
atuante de um fluido é chamada de pressão do fluido. A Figura 2 mostra uma cunha de fluido es-
tático de tamanho ∆x por ∆z por ∆s profundidade b normal ao papel. Sabemos que não há forças 
de cisalhamento, mas temos que as pressões px, pz e pn podem ser diferentes em cada face.
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Fenômenos de Transporte
Z (para cima)
PX
O
PZ
Largura b normal ao papel
x
Peso do elemento:
dW = pg( bΔx Δz)12Δz
Δx
Δs
PN
θ
θ
Figura 2 – Diferença de comportamento de um sólido e um fluido sob a força de cisalhamento. 
Fonte: White, 2011, p. 76.
Com pressão constante em cada face, a resultante das forças será igual a zero (sem aceleração) 
nas direções x e z.
∑Fx = 0 = px.b.∆z – pn.b.∆s.senθ ...................................................... (1.1)
∑Fz = 0 = pZ.b.∆x – pn.b.∆s.cosθ – 1/2ρ.g.b.∆x.∆z 
 pela geometria
∆s.senθ = ∆z ∆s.cosθ = ∆x ...................................................................................(1.2)
 Substituindo a equação (2) em (1) e rearranjando, temos que
px = pn pz = pn + 1/2.ρ.g.∆z .......................................................................(1.3)
Podemos concluir a partir destas relações que não há variação da pressão na direção horizontal 
e que existe uma variação de pressão na direção proporcional à massa específica, à gravidade 
e à variação da profundidade. 
No limite, a cunha de fluido tende a um “ponto”, ∆z = 0 e as equações se tornam
px = pn = pz = p
Assim, concluímos que a pressão p em um fluido em repouso é uma propriedade do ponto e não 
depende da orientação.
Entenda que a pressão causa uma força líquida em um elemento de fluido quando ela varia no 
espaço. Esta variação é chamada de gradiente de pressão e é a responsável por equilibrar a 
força exercida pela gravidade ou aceleração do fluido ou algum outro efeito no fluido. O gra-
diente de pressão representa uma resultante de forças de superfície que atua sobre os lados do 
elemento. No caso do fluido em movimento além da gravidade um fluido terá forças de superfície 
em virtude das tensões viscosas. 
11
1.2.2 Pressão hidrostática
Você já sabe que no caso de um fluido em repouso ou a uma velocidade constante a aceleração é 
igual a zero. Temos que a pressão exercida pelo fluido estático uniforme continuamente distribuído 
varia somente com a distância vertical e é independente da forma do recipiente (WHITE, 2011). Em 
todos os pontos em um dado plano horizontal no fluido a pressão é a mesma. Ela tem seu modulo 
aumentado à medida que aumenta a profundidade. Para entender melhor, observe a Figura 3.
Profundidade 1
Profundidade 2
Superfície livre
Pressão atmosférica
Água
a
A
b
B
c
C
d
D
Mercúrio
Figura 3 – Distribuição da pressão hidrostática em recipiente de superfície livre
Fonte: White, 2011, p. 80.
Observe que a Figura 3 mostra um recipiente com superfície livre, ou seja, que está sujeita à gra-
vidade atmosférica. Os pontos a, b, c e d estão a profundidades iguais e conectados pelo mesmo 
fluido no recipiente, a água. Temos que todos esses pontos têm a mesma pressão. Agora, no caso 
dos pontos A, B e C temos a mesma pressão, mas de modulo maior que a, b, c e d, pois estão em 
maior profundidade. Já o ponto D está sob influência de outro líquido, que no caso é o mercúrio e, 
logo, possui pressão diferente aos demais pontos A, B e C que estão no mesmo plano horizontal. 
Os líquidos são praticamente incompressíveis, assim podemos desprezar as variações de den-
sidade hidrostática. Em termos de cálculo em hidrostática temos que a diferença de pressão de 
dois pontos em um mesmo fluido é igual à diferença de profundidade desses pontos vezes o peso 
específico. Veja como as equações 1.4 e 1.5 a seguir representam isso: 
2 1 2 1- - (z )2 1 2 1- - (z )2 1 2 12 1 2 1p p z2 1 2 1- - (z )p p z- - (z )2 1 2 1- - (z )2 1 2 1p p z2 1 2 1- - (z )2 1 2 1- - (z )= −- - (z )p p z- - (z )= −- - (z )p p z2 1 2 1p p z2 1 2 1- - (z )p p z- - (z )2 1 2 1- - (z )2 1 2 1p p z2 1 2 1- - (z )2 1 2 1- - (z )= −- - (z )p p z- - (z )= −- - (z )- - (z )γ- - (z )2 1 2 1γ2 1 2 12 1 2 1p p z2 1 2 1γ2 1 2 1p p z2 1 2 1- - (z )p p z- - (z )γ- - (z )p p z- - (z )2 1 2 1- - (z )2 1 2 1p p z2 1 2 1- - (z )2 1 2 1γ2 1 2 1- - (z )2 1 2 1p p z2 1 2 1- - (z )2 1 2 1- - (z )= −- - (z )p p z- - (z )= −- - (z )γ- - (z )= −- - (z )p p z- - (z )= −- - (z ) ..........................................................................................................(1.4)
Ou 
2 1
1 2z -z -2 1z -2 11 2z -1 2z -− =z -
p p2 1p p2 1z -p pz -2 1z -2 1p p2 1z -2 1z -zz -1 2z -1 2z1 2z -1 2z -− =z -zz -− =z -γ γγ γ
 ...........................................................................................................(1.5)
A grandeza pγ é um comprimento chamado de carga de pressão do fluido.
12 Laureate- International Universities
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z
+b
0
– h
P ≈ Pa – bY ar
Superfície livre: Z = 0,p = pa
P ≈ Pa – aY água
Água
Ar
g
Figura 4 – Distribuição da pressão hidrostática em oceanos e na atmosfera.
Fonte: White, 2011, p. 81.
A Figura 4 mostra o que comumente é utilizado para verificação da pressão em um ponto in-
dependente do recipiente. O sistema de coordenadas usualmente tem sua origem na superfície 
livre, em que p é igual à pressão atmosférica da superfície pATM. Dessa forma, a equação (5) para 
este caso torna-se, para p, a qualquer profundidade z:
ap p z= −p p z= −ap p za γp p zγp p z ..............................................................................................................(1.6)
Em que γ é o peso específico médio do líquido.
Assim, percebemos que em um mesmo líquido com superfície livre, quanto maior for a profun-
didade de um ponto no líquido, maior será a pressão neste ponto. A equação (1.6) nada mais é 
que a Lei de Stevin, nome dado em homenagem ao físico e matemático belga Simon Stevin. A Lei 
de Stevin estabelece que “a pressão absoluta em um ponto do líquido homogêneo e incompressí-
vel é igual à pressão atmosférica mais a pressão efetiva, e não depende da forma do recipiente.”
VOCÊ QUER VER?
O filme “U-571 – A batalha do Atlântico”, do ano 2000, escrito e dirigido por Jonathan 
Mostow, retrata a história de um submarino alemão que passa por problemas no Atlânti-
co norte. Logo no início da Segunda Guerra Mundial, os navios aliados eram afundados 
diariamente por submarinos U alemães. A bordo do submarino S-33, o tenente Andrew 
Tyler (Matthew McConaughey) e seu superior, o comandanteMike Dahlgren (Bill Paxton), 
recebem ordens para se aproximar de forma camuflada de um destes submarinos no 
intuito de conseguir uma máquina de escrever que permitirá decifrar os códigos alemães 
utilizados na guerra. O que acontece é que por decisão do capitão eles resolvem descer 
o submarino a 200 metros de profundidade, onde a pressão é muito grande e danifica 
o casco do submarino. Ao assisti-lo, tente relacionar o conceito de pressão aprendido 
até aqui e perceba seus efeitos em objetos a grandes profundidades.
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1.2.3 Manômetro
Após sabermos que a variação da profundidade em um líquido é igual à variação da pressão, 
vamos entender como aplicar este conceito para encontrar diferenças de pressão entre dois 
pontos. Para isso foi criado o dispositivo chamado manômetro. Ele é capaz de medir de peque-
nas a moderadas diferenças de pressão. O manômetro consiste em um tubo em U, de vidro ou 
plástico, contendo um ou mais fluidos como mercúrio, água ou óleo. Segundo WHITE (2011), a 
substância mais utilizada é o mercúrio, que, para pressões mais elevadas, mantém o manômetro 
em um nível razoável pelo fato de ser um fluido mais denso. 
Salto pelo
�uido
ZA,PA
Z1,P1
A
P1
P2
Aberto, P2
Z2,P2 ≈ Pa
p = p1 cm z = z1 no �uido 2
Figura 5 – Manômetro aberto simples mede a pressão em A.
Fonte: White, 2011, p. 86.
A Figura 5 mostra a aplicação simples de um manômetro para medir a pressão em A. Ele consiste 
em um tubo aberto em uma extremidade sujeita a pressão atmosférica, ATMp . A câmara do flui-
do com densidade 1ρ está separada da atmosfera por outro fluido de densidade 2ρ , mais den-
so, porque assim teremos o 2z pequeno, e o tubo aberto pode ser pequeno. É importante que em 
um manômetro não haja bolhas no fluido, pois isso pode prejudicar a precisão dos resultados.
Observe então que primeiro aplicamos a fórmula da hidrostática (4) em A, descendo até 1z . Tra-
çando uma linha horizontal de 1p até o lado direito do tubo onde temos a pressão p , podemos 
afirmar que a pressão nesses dois pontos é a mesma, logo, 1p p=p p= . Continuamos do ponto de 
pressão p até a superfície do fluido de pressão 2p . Sabemos que a pressão 2p é igual à pressão 
atmosférica ATMp , logo, chegamos à seguinte expressão:
(z ) (z )(z ) (z )+ − − − =+ − − − =(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )A A ATMA A ATM1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 21 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2p z z p+ − − − =p z z p+ − − − =(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )p z z p(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )p z z p(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )p z z p+ − − − =p z z p+ − − − =A A ATMp z z pA A ATM1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 21 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )A A ATM(z ) (z )p z z p(z ) (z )A A ATM(z ) (z )1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 21 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =A A ATM+ − − − =p z z p+ − − − =A A ATM+ − − − =(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )A A ATM(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )p z z p(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )A A ATM(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )A A ATM(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )p z z p(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )A A ATM(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 21 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATMp z z pA A ATM+ − − − =A A ATM+ − − − =p z z p+ − − − =A A ATM+ − − − =+ − − − =γ γ+ − − − =(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )γ γ(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )A A ATMγ γA A ATM1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2γ γ1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2+ − − − =p z z p+ − − − =γ γ+ − − − =p z z p+ − − − =(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )p z z p(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )γ γ(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )p z z p(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )A A ATMp z z pA A ATMγ γA A ATMp z z pA A ATM1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2γ γ1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 21 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2γ γ1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =A A ATM+ − − − =p z z p+ − − − =A A ATM+ − − − =γ γ+ − − − =A A ATM+ − − − =p z z p+ − − − =A A ATM+ − − − =1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2γ γ1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )A A ATM(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )p z z p(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )A A ATM(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )γ γ(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )A A ATM(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )p z z p(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )A A ATM(z ) (z )+ − − − =(z ) (z )1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2γ γ1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2p z z p1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2A A ATM1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2+ − − − =1 1 2 1 2(z ) (z )1 1 2 1 2 ..........................................................................(1.7)
Portanto, conhecendo os valores da densidade dos fluidos, da pressão atmosférica e das alturas 
manométricas é possível determinar a pressão no ponto A do tubo. Você já sabe onde podemos 
aplicar este conhecimento? O cálculo pode nos levar a uma gama enorme de aplicações práti-
cas para a determinação de pressões em dutos, encanamentos e canais. E podemos até mesmo 
utilizar este conceito na área da saúde, como determinação de pressão sanguínea, por exemplo. 
Mas observe haver casos em que temos mais de um fluido em um mesmo recipiente e, então, 
precisamos encontrar a variação total da pressão. Vamos supor a existência de três líquidos com 
densidades distintas entre si em uma mistura heterogênea, como mostra a figura 1.6. A variação 
de pressão em cada fluido deve ser calculada separadamente.
14 Laureate- International Universities
Fenômenos de Transporte
Z1
Z2
Z3
Z
C
B
A
p1
p2
p3
p4
Figura 6 – Mistura de três líquidos com densidades distintas no mesmo recipiente.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Para encontrar a variação da pressão total, ou seja, da superfície até o fundo do recipiente, basta 
somarmos as sucessivas variações 2 1 3 2 4 3, ep p p p p p2 1 3 2 4 3p p p p p p2 1 3 2 4 3, ep p p p p p, e2 1 3 2 4 3, e2 1 3 2 4 3p p p p p p2 1 3 2 4 3, e2 1 3 2 4 3− − −p p p p p p− − −, e− − −, ep p p p p p, e− − −, e . Assim temos que:
( ) ( ) ( )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3)2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3) (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3( )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3) (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3( )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3)
4 1 2 1 3 2 4 3
+ 
......................................................(1.8)
     (     ( )     ) (     ( )     ) (     ( )     )− − + − = − − − − − −)− − + − = − − − − − −) (− − + − = − − − − − −( )− − + − = − − − − − −) (− − + − = − − − − − −( )− − + − = − − − − − −)+ − − + − = − − − − − −+      (     ( )    ) (     ( )     ) (     ( )     )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(               (     (     (     ( )     )     )     ) (     (     (     ( )     )     )     ) (     (     (     ( )     )     )     )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     − − + − = − − − − − −               − − + − = − − − − − −     (     (− − + − = − − − − − −(     (     (     (− − + − = − − − − − −(     ( )     )− − + − = − − − − − −)     )     )     )− − + − = − − − − − −)     ) (     (− − + − = − − − − − −(     (     (     (− − + − = − − − − − −(     ( )     )− − + − = − − − − − −)     )     )     )− − + − = − − − − − −)     ) (     (− − + − = − − − − − −(     (     (     (− − + − = − − − − − −(     (
     (     ( )     ) (     ( )     ) (     ( )     )     (     ( )     ) (     ( )     ) (     ( )     )4 1 2 1 3 2 4 3     4 1 2 1 3 2 4 3(4 1 2 1 3 2 4 3(     (4 1 2 1 3 2 4 3(               (     (     (     ( )     )     )     ) (     (     (     ( )     )     )     ) (     (     (     ( )     )     )     )4 1 2 1 3 2 4 3     4 1 2 1 3 2 4 3     4 1 2 1 3 2 4 3     4 1 2 1 3 2 4 3
     A B C     (     (A B C(     ( )     )A B C)     ) (     (A B C(     ( )     )A B C)     )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3A B C2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(A B C(2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3( )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3)     )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3)A B C)2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3)     )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3) (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(A B C(2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3( )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3)     )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3)A B C)2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3)     )2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3)
     A B C     (     (A B C(     ( )     )A B C)     ) (     (A B C(     ( )     )A B C)     )4 1 2 1 3 2 4 3     4 1 2 1 3 2 4 3A B C4 1 2 1 3 2 4 3     4 1 2 1 3 2 4 3(4 1 2 1 3 2 4 3(     (4 1 2 1 3 2 4 3(A B C(4 1 2 1 3 2 4 3(     (4 1 2 1 3 2 4 3( )4 1 2 1 3 2 4 3)     )4 1 2 1 3 2 4 3)A B C)4 1 2 1 3 2 4 3)     )4 1 2 1 3 2 4 3) (4 1 2 1 3 2 4 3(     (4 1 2 1 3 2 4 3(A B C(4 1 2 1 3 2 4 3(     (4 1 2 1 3 2 4 3( )4 1 2 1 3 2 4 3)     )4 1 2 1 3 2 4 3)A B C)4 1 2 1 3 2 4 3)     )4 1 2 1 3 2 4 3)
2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3p p p p p p z z z z z z2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(p p p p p p z z z z z z(2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(               p p p p p p z z z z z z               2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3p p p p p p z z z z z z2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3     2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(p p p p p p z z z z z z(2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     (2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 4 3(     − − + − = − − − − − −               − 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