Concreto Armado - Aulas 3 e 4

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Concreto Armado 
Pós-graduação Em Engenharia Estrutural 
 
Prof. MSc. Leonardo Alexandre 
Objetivos do Curso 
• Apresentar ao pós-graduando o comportamento dos 
elementos estruturais em concreto armado e suas 
particularidades, abordando os fundamentos teóricos e 
utilizando ferramentas computacionais para o 
dimensionamento e detalhamento de estruturas de 
concreto armado. 
• Fazer com que o pós-graduando tenha conhecimento 
para analisar, dimensionar e detalhar lajes, vigas, 
pilares e blocos de fundações considerando os aspectos 
recomendados na NBR 6118:2014. Realizar análise 
estrutural considerando a formação de rótulas de 
concreto e detalhar regiões especiais utilizando a teoria 
de bielas e tirantes. 
Ementa 
• Propriedades do concreto, aço e concreto armado; 
• Comportamento das estruturas de concreto 
armado; 
• Dimensionamento e detalhamento de lajes; 
• Dimensionamento e detalhamento de vigas; 
• Dimensionamento e detalhamento de pilares; 
• Dimensionamento e detalhamento de blocos de 
fundação. 
Calendário 
• 19/01/2019 
• 19/01/2019 
• 26/01/2019 
• 26/01/2019 
• 09/02/2019 
• 09/02/2019 
 
Avaliação: Aplicações fornecidas ao final das aulas. 
 
Data limite para entrega das avaliações: 26/05/2018. 
Bibliografia Sugerida 
• ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118 (2014). 
Projeto de estruturas de concreto – Procedimento; 
• ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação. Ed.: 
IBRACON, 2015; 
• CARVALHO, R. C.;FIGUEIREDO FILHO, J.R. Cálculo e Detalhamento de 
Estruturas Usuais de Concreto Armado: Segundo a NBR 6118:104, 4 
e.d.,São Carlos, EdUFSCar, 2014; 
• CARVALHO, R. C.; PINHEIRO, L. M. Cálculo e Detalhamento de 
Estruturas Usuais de Concreto Armado: Vol. 2, 2 e.d.,São Carlos, 
EdUFSCar, 2013; 
• PFEIL, W. Concreto Armado, 3v. Rio de Janeiro, LTC, 1989. 
Projeto Estrutural 
Roteiro Simplificado 
Idealização do Sistema Estrutural 
Determinação das Ações Atuantes no Sistema 
a) classificação das ações; 
b) valores representativos das ações; e 
c) combinação de Ações. 
Análise Estrutural 
a) cálculo das Reações de Apoio; 
b) cálculo dos Deslocamentos; e 
c) cálculo dos Esforços internos. 
Dimensionamento e Verificação dos Elementos Estruturais 
Detalhamento dos Elementos Estruturais 
Análise Estrutural 
Solicitações de Primeira Ordem 
São as solicitações determinadas admitindo-se que as 
deformações do sistema sejam pequenas, em relação às 
dimensões da estrutura, de modo que os cálculos estáticos 
são feitos considerando apenas a geometria original do 
sistema. 
São utilizadas para estudar o comportamento das estruturas 
em serviço e a sua segurança à ruptura. 
Análise Estrutural 
Solicitações de Segunda Ordem 
São as solicitações adicionais, provocadas pela deformação 
da estrutura, e tem grande importância no 
dimensionamento de peças com índice de esbeltez (l/i) 
elevado. 
São utilizadas, em geral, apenas para verificar a segurança à 
ruptura das peças. 
Análise Estrutural 
Leis de Deformação do Material 
Nas estruturas em geral (hiperestáticas), os processos de 
cálculo podem ser divididos em dois grandes grupos: 
a) processos elásticos - os materiais admitem-se 
trabalhando em regime elástico, isto é, com diagrama σ x 
ε linear (lei de Hooke); 
b) processo inelásticos – são processos mais complexos, que 
levam em conta os diagramas σ x ε não lineares. 
 
Análise Estrutural 
Análise Estrutural 
Métodos de Análise Estrutural 
Para a situação de projeto, a análise estrutural pode ser 
efetuada por um dos métodos listados abaixo, que se 
diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais 
constituintes da estrutura, não perdendo de vista em cada 
caso as limitações correspondentes. 
1) Análise linear; 
2) Análise linear com redistribuição; 
3) Análise plástica; 
4) Análise não linear; e 
5) Análise através de modelos físicos. 
Métodos de Análise Estrutural 
Análise Linear 
Admite-se comportamento elástico-linear do material. 
Na análise global, as características geométricas podem ser 
determinadas pela seção bruta de concreto dos elementos 
estruturais. Em análises locais para cálculo dos deslocamentos, na 
eventualidade da fissuração, esta deve ser considerada. 
Os valores para o módulo de elasticidade e o coeficiente de 
Poisson devem ser adotados de acordo com o apresentado nos 
itens 8.2.8 e 8.2.9 da NBR 6118:2014, devendo, em princípio, ser 
considerado o módulo de elasticidade secante Ecs. 
. 
Métodos de Análise Estrutural 
Análise Linear 
Os resultados de uma análise linear são usualmente 
empregados para a verificação de estados limites de serviço. 
Os esforços solicitantes decorrentes de uma análise linear 
podem servir de base para o dimensionamento dos 
elementos estruturais no estado-limite último, mesmo que 
esse dimensionamento admita a plastificação dos materiais, 
desde que se garanta uma dutilidade mínima às peças. 
Métodos de Análise Estrutural 
Análise Linear com Redistribuição 
Na análise linear com redistribuição, os efeitos das ações, 
determinados em uma análise linear são redistribuídos na 
estrutura para as combinações de carregamento do ELU. 
Nesse caso, as condições de equilíbrio e de dutilidade devem 
ser obrigatoriamente satisfeitas. 
Todos os esforços internos devem ser calculados, de modo a 
garantir o equilíbrio de cada um dos elementos estruturais e 
da estrutura como um todo. Os efeitos de redistribuição 
devem ser considerados em todos os aspectos do projeto 
estrutural, inclusive as condições de ancoragem, corte de 
armaduras e as forças a ancorar. 
Métodos de Análise Estrutural 
Análise Linear com Redistribuição 
Cuidados especiais devem ser tomados com relação aos 
carregamentos de grande variabilidade. 
As verificações de combinações de carregamento de ELS ou 
de fadiga podem ser baseadas na análise linear sem 
redistribuição. De uma maneira geral é desejável que não 
haja redistribuição de esforços nas verificações em serviço. 
Análise Linear com Redistribuição 
Restrições para a Redistribuição 
As redistribuições de momentos fletores e de torção em 
pilares, elementos com preponderância de compressão e 
consolos só podem ser adotados quando forem decorrentes 
de redistribuição de momentos de vigas que a eles se liguem. 
Quando forem utilizados procedimentos aproximados, 
apenas uma pequena redistribuição é permitida em 
estruturas de nós móveis. 
As redistribuições implícitas em uma análise de segunda 
ordem devem ser realizadas de acordo com a Seção 15 da 
NBR 6118:2014. 
Análise Linear com Redistribuição 
Limites para Redistribuição 
Quando for efetuado uma redistribuição, reduzindo-se o 
momento fletor de M para δM, em uma determinada seção 
transversal, a profundidade da linha neutra nessa seção βx, 
para um momento reduzido δM, deve ser limitada por: 
βx ≤ (δ - 0,44)/1,25, para concretos com fck ≤ 50 MPa; 
βx ≤ (δ - 0,56)/1,25, para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 
Mpa; 
δ ≥ 0,90, para estruturas de nós móveis; 
δ ≥ 0,75, para qualquer outro caso. 
Análise Linear com Redistribuição 
Limites para Redistribuição 
Pode ser adotada redistribuição fora dos limites 
estabelecidos nesta Norma, desde que a estrutura seja 
calculada mediante o emprego de análise não linear ou de 
análise plástica, com verificação explícita da capacidade de 
rotação das rótulas plásticas. 
Exemplo - Análise Linear com 
Redistribuição 
Ex.1 - A laje contínua de dois vãos de 3,75 m, armada em 
uma direção, tem seus momentos fletores obtidos por meio 
de uma análise elástica linear, sem redistribuição de 
solicitações. Dados h/d/d’ = 11/8,5/2,5 cm, fck = 20 MPa, Aço 
CA-50, as cargasde cálculo gd = 1,4.3,88 = 5,43 kN/m² e qd = 
1,4.1,50 = 2,1 kN/m², pede-se dimensionar a armadura da 
seção do apoio central. 
Exemplo - Análise Linear com 
Redistribuição 
Momento de dimensionamento 
 
 
Armadura negativa 
 
Exemplo - Análise Linear com 
Redistribuição 
Armadura positiva 
 
 
Ex.2 – A mesma laje do Ex. 1, mas agora dimensionada a 
partir da análise elástica seguida de redistribuição de 20% 
das solicitação. 
Exemplo - Análise Linear com 
Redistribuição 
Momento de dimensionamento 
 
 
Armadura Negativa 
 
 
 
 
Exemplo - Análise Linear com 
Redistribuição 
Armadura positiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos Estruturais 
Introdução 
Os elementos estruturais podem ser classificados, 
considerando-se a sua configuração geométrica e a mecânica 
de sua resistência. Podem ser distinguidos os seguintes tipos: 
a) elementos lineares; 
b) elementos planos (bidimensionais); 
c) elementos espaciais (tridimensionais); 
d) elementos maciços; 
Elementos Estruturais 
Elementos Lineares 
São peças alongadas, nas quais uma das dimensões (comprimento) 
é relativamente grande em relação às demais (dimensões 
transversais), sendo estas de mesma ordem de grandeza entre si. 
Podem ser classificados em função das solicitações predominantes, 
como: 
a) tração axial (tirantes); 
b) compressão axial (escoras); 
c) flexão, com ou sem cisalhamento (viga); 
d) flexo-tração (colunas tracionadas, tirantes excêntricos); 
e) flexo-compressão (colunas, arcos, escoras excêntricas); e 
f) torção (vigas). 
 
Elementos Estruturais 
Elementos Planos 
São aqueles em que a espessura é pequena em relação às 
duas outras dimensões. Podem ser classificados em função 
das solicitações predominantes, como: 
a) solicitações de flexão, provocadas por esforços no plano 
normal ao elemento (lajes ou placas); 
b) solicitações axiais, provocadas por esforços no plano do 
elemento. 
 
Lajes - Introdução 
As lajes estão sujeitas a cargas transversais. Desta forma o 
dimensionamento é realizado, predominantemente, à flexão 
e ao cisalhamento. 
Os apoios são constituídos pelas vigas do piso ou paredes. 
Entretanto, o cálculo das lajes é feito, de maneira 
simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas com 
apoios indeslocáveis. 
Recebem a maior parte das ações aplicadas num edificação. 
Nos edifícios usuais, o consumo de concreto nas lajes maciças 
corresponde a aproximadamente 50% do total. 
 
 
 
Tipos de Lajes 
 
 
 
 
Lajes 
Classificação quanto à Direção 
A Classificação mais usual das lajes é aquela referente à 
direção ou direções da armadura principal, havendo dois 
casos possíveis: 
Lajes armadas em uma direção; 
 
 
 
 
Laje isolada armada em uma direção Laje contínua armada em uma direção 
 
 
Lajes 
Classificação quanto à Direção 
Lajes armadas em uma direção; 
 
 
 Laje muito alongada Laje 
 
Lajes armadas em duas direções ou cruz. 
 
Laje armada em duas direções ou em cruz 
 
 
Lajes - Vinculação 
Os tipos de vínculos mais usuais para as bordas das lajes 
são: 
a) Borda livre – Caracteriza-se pela ausência de apoio, 
apresentando deslocamentos verticais; 
b) Borda simplesmente apoiada – Caracteriza-se pela ausência 
de deslocamentos verticais, mas permite a rotação nos 
apoios; e 
c) Borda engastada – Caracteriza-se pela ausência de 
deslocamentos verticais e rotações nos apoios. 
 
 
 
Lajes - Vinculação 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lajes - Vinculação 
Casos Particulares 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lajes - Vinculação 
Casos Particulares 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lajes - Esforços 
Lajes armadas em uma direção 
Calculam-se os momentos fletores como para uma viga de 
largura unitária, segundo a direção do menor vão. 
 
 
 
 
 
 
Lajes – Reações de apoio 
Lajes armadas em duas direções 
45º entre dois apoios do mesmo tipo; 
60º a partir do apoio considerado engastado, se o outro 
for simplesmente apoiado; 
90º a partir do apoio quando a borda vizinha for livre. 
 
 
 
 
 
Lajes - Esforços 
Lajes armadas em duas direções 
a) Teoria de Placas; 
b) Tabelas; 
c) Método das Linhas de Ruptura ou das Charneiras 
Plásticas; 
d) Métodos Numéricos (Analogia de Grelhas, 
Diferenças Finitas, Elementos Finitos, Elementos 
de Contorno). 
 
 
Lajes - Esforços 
Teoria de Placas 
Os esforços solicitantes podem ser relacionados com a 
flecha w do elemento, por meio de expressões 
diferenciais derivadas da Lei de Hooke generalizada e de 
relações geométricas admitidas para a seção deformada. 
 
 
 
 
 
 
Lajes - Esforços 
Tabelas de Czerny 
Os. 
 
 
 
 
 
 
Lajes - Esforços 
Tabela - Compatibilização de Momentos Fletores 
 
 
 
 
 
 
Lajes - Esforços 
Método das Linhas de Ruptura 
Também conhecido como método das charneiras plásticas 
ou método de Johansen, apresenta um método de cálculo 
baseado no comportamento plástico do material, que 
permite avaliar a carga de ruína das lajes de ruína. 
 
 
 
 
 
 
Lajes - Esforços 
Métodos Numéricos 
 Analogia de Grelhas 
 
 
Elementos Finitos 
 
 
Lajes - Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 
 
 
 
 
Lajes - Verificação 
Cisalhamento 
Em lajes, normalmente não há necessidade do emprego da 
armadura transversal, pois as forças cortantes são 
resistidas pelo concreto. A verificação é feita utilizando a 
equação abaixo: 
 
 
 
 
 
Lajes - Verificação 
Cisalhamento 
onde: 
 
 
 
 
 
 
 
Lajes - Detalhamento 
Armadura Máxima 
As + A’s = 4% Ac Texto .... 
Armadura Mínima 
Texto .... 
 
 
 
 
 
Lajes - Detalhamento 
Armadura Mínima 
Texto .... 
 
 
 
 
 
Lajes - Detalhamento 
Armadura Mínima 
Texto .... 
 
 
 
 
 
Lajes - Detalhamento 
Diâmetro Máximo 
1/8 da espessura da laje 
Espaçamento 
 
 
 
 
 
 
Lajes - Detalhamento 
Armadura Positiva 
Nas lajes maciças armadas em uma ou em duas direções, 
em que seja dispensada armadura transversal e quando 
não houver avaliação explícita dos acréscimos das 
armaduras decorrentes da presença dos momentos 
volventes nas lajes, toda a armadura positiva deve ser 
levada até os apoios, não se permitindo escalonamento 
desta armadura. A armadura deve ser prolongada no 
mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio. 
 
 
 
Lajes - Detalhamento 
Armadura Negativa 
As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios 
internos da laje são entendida de modo a “cobrir” o 
diagrama de momento fletor negativo; uma extensão de 
lx/4 para cada lado do apoio é, normalmente, suficiente 
para essa finalidade quando as lajes adjacentes têm vãos 
não muito diferentes entre si, pode-se adotar o maior 
deste vãos para a definição do comprimento da barra. 
 
 
 
Lajes - Detalhamento 
Armadura de Distribuição 
A armadura secundária de flexão deve ser igual ou 
superior a 20 % da armadura principal, mantendo-se 
ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm. 
A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos 
critérios de emenda da armadura principal. 
 
 
 
 
Lajes - Detalhamento 
Armadura de Borda 
Nas bordas da laje, junto àsvigas de apoio, costuma-se 
posicionar uma armadura (As,borda) com extensão de lx/5, 
visando atenuar uma eventual fissuração proveniente do 
engastamento parcial da laje nestas vigas. Pode-se 
considerar suficiente, a As,borda correspondente à armadura 
mínima (pmín), usualmente não menor do que 1,5 cm²/m e 
restringindo o espaçamento entre barras a 2h. 
 
 
Lajes - Detalhamento 
Bordas Livres e Aberturas 
 
 
 
 
 
As armaduras livres e 
as faces das lajes 
maciças junto as 
aberturas devem ser 
adequadamente 
protegidas por 
armaduras 
transversais 
longitudinais. 
Exemplo – Laje armada em uma 
direção 
Realizar o dimensionamento e detalhamento para a laje 
indicada na figura abaixo, considerando classe de agressividade 
I, concreto C20, aço CA50, carga permanente g = 3,5 kN/m² 
(peso próprio e revestimento) e carga acidental q = 2,0 kN/m². 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Laje armada em uma 
direção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Laje armada em uma 
direção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Laje armada em uma 
direção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Laje armada em uma 
direção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Laje armada em uma 
direção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Laje armada em uma 
direção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Laje armada em uma 
direção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Laje armada em duas 
direção 
Determinar os esforços na laje abaixo para o mesmo carregamento 
aplicado na laje anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Laje armada em duas 
direção 
 
 
 
Exemplo – Laje armada em duas 
direção 
 
 
 
Elementos Lineares 
Hipóteses Básicas 
Estruturas ou parte de estruturas que possam ser assimiladas 
a elementos lineares (vigas, pilares, tirantes, arcos, pórticos, 
grelhas, treliças) podem ser analisadas admitindo-se as 
seguintes hipóteses: 
a) manutenção da seção plana após a deformação; 
b) representação dos elementos por seus eixos 
longitudinais; 
c) comprimento limitado pelos centros de apoios ou pelo 
cruzamento com o eixa de outra elemento estrutural. 
Vigas T 
Largura Colaborante 
Vigas T 
Largura Colaborante 
Estima-se a distância “a” em função do comprimento L do 
tramo considerado e das condições de contorno. 
 
 
 
 
 
O cálculo da distância “a” pode feito mediante a verificação 
da distância entre os pontos de momento fletor nulo no 
diagrama de momento fletor da estrutura. 
 
 
Vigas T 
Flexão Simples 
Verificação do comportamento (Retangular ou T verdadeiro) 
 
βxf = hf / (0,8d) 
 
Supondo a seção retangular (bf), calcula-se βx 
 
βx ≤ βxf - Calcular como seção retangular com largura bf 
 
βx > βxf – Calcular como seção T verdadeira 
 
 
 
Vigas T 
Flexão Simples 
 
 
 
 
Vigas 
Calculo dos Esforços 
 
 
Vigas 
Cálculo dos Esforços 
É possível considerar as vigas de edifícios como contínuas, 
sem ligações rígidas com os demais elementos. Entretanto, 
faz-se necessário comparar com o caso de engastamento dos 
apoios internos. 
• Momentos positivos para dimensionamento das 
armaduras dos vãos: 
• Vão 1: Maior valor entre M1 e M1e 
• Vão 2: Maior valor entre M2 e M2e 
• Apoio: Momento negativo é X 
• Se bo > 0,25∙l, deve-se considerar o maior momento 
negativo, em valor absoluto, entre X e Xe 
 
 
Vigas 
Cálculo dos Esforços 
 
Vigas 
Cálculo dos Esforços 
O Momento negativo nos apoios de extremidade pode ser 
calculado utilizando-se a expressão abaixo: 
 
 
 
 
 
 
O modelo de viga contínua pode ser melhorado, 
considerando-se a solidariedade dos pilares com a viga, 
mediante a introdução da rigidez à flexão dos pilares 
extremos e intermediários. 
 
Vigas 
Mísulas e variação brusca de seções 
Na ocorrência de mísula ou variação brusca de seção 
transversal, só deve ser considerada como parte efetiva da 
seção aquela indicada na figura abaixo. 
Vigas 
Arredondamento do diagrama de M 
O diagrama de momentos fletores pode ser arredondado 
sobre os apoios e pontos de aplicação de forças consideradas 
concentradas e em nós de pórtico. 
Cisalhamento em Vigas 
Evolução da Fissuração 
Cisalhamento em Vigas 
Mecanismo de Resistência na Ruptura 
 
 
 
 
 
 
Biela de compressão transmite forças de compressão 
Armadura longitudinal inferior transmite forças de tração 
Armadura longitudinal superior e concreto comprimido 
transmitem forças de compressão 
Armadura transversal (estribos) transmite força de tração 
Cisalhamento em Vigas 
Analogia de Treliça 
 
 
 
 
 
 
Banzo superior = cordão de concreto comprimido 
Banzo inferior = armadura longitudinal de tração 
Diagonais comprimidas = bielas de concreto entre as fissuras 
Diagonais tracionadas = armadura transversal (cisalhamento) 
Cisalhamento em Vigas 
Cálculo de Esforços na Treliça de Mörsch 
 
 
 
 
 
 
Cisalhamento em Vigas 
Simbologia 
• VSd é a força cortante solicitante de cálculo (γf . VSk); 
• VRd1 é a força cortante resistente de cálculo, relativa a elementos sem 
armadura para força cortante; 
• VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína da biela; 
• VRd3 é a força cortante resistente de cálculo, relativa a ruína por tração 
diagonal; 
• VC á a parcela de força cortante absorvida por mecanismos 
complementares ao de treliça; 
• VSW é a parcela de força absorvida pela armadura transversal; 
• ASW é a área de todos os ramos da armadura transversal; 
• s é o espaçamento da armadura transversal; 
• fywd é a tensão na armadura transversal; 
• α é o ângulo de inclinação da armadura transversal. 
Cisalhamento em Vigas - Modelos 
Modelo I 
 Bielas com inclinação θ = 
45° 
 VC constante, independente 
de VSd 
 
 
 
Modelo II 
 Bielas com inclinação θ 
entre 30° e 45° 
 VC diminui com o aumento 
de VSd 
Etapas de cálculo a serem consideras: 
 
• Verificação do esmagamento da biela (VSd ≤ VRd2); 
• Cálculo da armadura transversal (VSd ≤ VC + VSW = VRd3); 
• Cálculo da força de tração em cada seção do banzo 
tracionado. 
 
 
Cisalhamento em Vigas 
Modelo de Cálculo 1: 
• Cálculo de VSd 
• para cargas distribuídas, VSd = VSd,d/2 , igual à força 
cortante na seção distante d/2 da face do apoio 
• a parcela da força cortante devida a uma carga 
concentrada aplicada à distância a < 2d do eixo teórico 
do apoio pode ser reduzida multiplicando-a por a / (2d) 
• Verificação do esmagamento das bielas (VSd ≤ VRd2) 
• VRd2 = 0,27 αV2 fcd bw d 
• αV2 = (1 – fck /250), fck em MPa ou αV2 = (1 – fck/25), fck 
em kN/cm² 
Cisalhamento em Vigas 
Modelo de Cálculo 1: 
• Cálculo da armadura transversal (VSd ≤ VC+VSW = VRd3) 
• VC = 0,09 fck
2/3 bw d 
• VSW = (ASW / s) 0,9 d fywd (sen α + cos α ) 
• Cálculo da força de tração no banzo tracionado 
— FSd,cor = [ MSd / z + |VSd|(cotg θ + cotg α) / 2] ≤ MSd,máx / z 
• Armadura transversal mínima 
— ρSW = ASW / (bW ∙ s ∙ sen α ) ≥ 0,2 ∙ fctm / fywk 
• Força cortante relativa à taxa mínima 
— VSd,mín = ρSW,mín ∙ 0,9 ∙ bW ∙ d ∙ fywd + VC 
Cisalhamento em Vigas 
Deslocamento do Diagrama de Esforços 
Para determinar o ponto de início de ancoragem das barras 
longitudinais, desloca-se o diagrama de esforços de um 
comprimento al. 
 
 
 
 
Cisalhamentoem Vigas 
Deslocamento do Diagrama de Esforços 
Tal deslocamento, faz-se necessário devido a idealização do 
modelo de treliça. Neste modelo, há um acréscimo de 
esforços na armadura longitudinal de tração, que é 
considerado pelo deslocamento do diagrama de esforços. O 
mesmo resultado pode ser obtido empregando a força de 
tração, em cada seção, dada pela expressão abaixo. 
 
 
 
 
Trecho de Ancoragem 
 
 
 
 
Ancoragem nos Apoios 
A armadura longitudinal de tração junto aos apoios deve ser 
calculada para satisfazer a mais severa das seguintes 
condições: 
a) no caso de ocorrência de momentos positivos, a 
armadura obtida através do dimensionamento da 
seção; 
b) em apoios extremos, para garantir ancoragem da 
diagonal de compressão, armadura capaz de resistir a 
uma força de tração Rs dada por: 
 
 
 
 
Ancoragem nos Apoios 
c) em apoios extremos e intermediários, por 
prolongamento de uma parte da armadura de tração 
do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento 
positivo do tramo (Mvão), de modo que: 
• As,apoio ≥ 1/3 (As,vão) se Mapoio for nulo ou negativo e │Mapoio│ 
≤ 0,5 Mvão; 
• As,apoio ≥ 1/4 (As,vão) se Mapoio negativo e │Mapoio│ > 0,5 Mvão. 
 
 
 
 
 
Ancoragem nos Apoios 
Apoios Extremos 
Nos apoios extremos, as barras devem ser ancoradas a partir 
da face do apoio, com o seguinte comprimento mínimo: 
 
 
Ancoragem nos Apoios 
Apoios Intermediários 
Caso o ponto de início de ancoragem esteja na face do apoio 
ou além dela, o trecho de ancoragem é medido a partir da 
face. Caso contrário, as barras prolongadas até o apoio 
devem, no mínimo, ultrapassar 10ϕ da face do apoio e 
atender ao comprimento de ancoragem. 
 
 
Ancoragem das Armaduras 
Condições gerias 
Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de 
forma que as forças a que estejam submetidas sejam 
integramente transmitidas ao concreto, seja por meio de 
aderência ou de dispositivos mecânicos ou por combinação 
de ambos. 
 
 
 
 
Ancoragem das Armaduras 
Ancoragem por aderência 
Acontece quando os esforços são ancorados por meio de um 
comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido 
ou não de gancho. 
Com exceção das regiões situadas sobre apoios, as 
ancoragens por aderência devem ser confinadas por 
armaduras transversais ou pelo próprio concreto, 
considerando-se este caso quando o cobrimento da barra 
ancorada for maior ou igual a 3ф e a distância entre barras 
ancoradas for maior ou igual a 3ф. 
 
 
 
Ancoragem das Armaduras 
Ancoragem de Barras Tracionadas 
As barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de um 
comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura em 
suas extremidade, de acordo com as as seguinte condições: 
a) obrigatoriamente com gancho para barras lisas; 
b) Sem gancho nas que tenham alternância de solicitação, 
de tração e compressão; 
c) Com ou sem gancho nos demais casos, não sendo 
recomendado o gancho para barras de ф ≥ 32 mm ou 
para feixe de barras. 
 
 
 
Comprimento de Ancoragem 
Ancoragem de Barras Comprimidas 
O comprimento de ancoragem em barras comprimidas é 
calculado igual ao caso tracionado. Entretanto, a ancoragem 
deve ser feita em trecho reto, pois a presença do gancho gera 
concentrações de tensões que pode provocar o 
fendilhamento do concreto ou a flambagem das barras. 
Como exceção tem-se a ancoragem de pilares nas sapatas e 
nos blocos de fundação. 
 
 
 
Ancoragem das Armaduras 
Comprimento básico de ancoragem 
Fazendo o equilíbrio entre a força de ancoragem e a força 
limite aplicada na barra de aço correspondente a tensão de 
escoamento de cálculo do aço (fyd), tem-se: 
 
 
Comprimento de Ancoragem 
Comprimento Necessário 
Quando a área efetiva da armadura é maior que a área calculada, a 
tensão nas barras diminui possibilitando a redução do 
comprimento de ancoragem. 
 
 
 
 
• α = 1,0 para barras sem ganho; 
• α = 0,7 para barras tracionadas com ganho, com cobrimento no plano 
normal ao do gancho ≥ 3ф; 
• α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas; 
• α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas e gancho com 
cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3ф. 
 
 
 
Ancoragem das Armaduras 
Barras Longitudinais com Ganchos 
Os ganchos das extremidades das barras da armadura 
longitudinal de tração podem ser semicirculares, em ângulo 
de 45º ou em ângulo reto. As extremidades devem ter o 
comprimento mínimo indicado na figura e no caso de barras 
lisas os ganchos devem ser semicirculares. 
 
 
 
Ancoragem das Armaduras 
Barras Longitudinais com Ganchos 
Segundo a NBR 6118:2014, o diâmetro mínimo de 
dobramentos dos ganchos das armaduras longitudinais 
tracionadas deve ser maior ou igual ao indicado na tabela 
abaixo. 
Ancoragem das Armaduras 
Barras Transversais soldadas 
Podem ser utilizadas várias barras transversais soldadas para 
a ancoragem de barras , dede que: 
a) seja o diâmetro da barra soldada фt ≥ 0,60 ф; 
b) a distância da barras transversal ao ponto de início da 
ancoragem seja ≥ 5 ф; 
c) a resistência ao cisalhamento da solda supere a força 
mínima de 30% da resistência da barra ancorada 
(0,3Asfyd). 
Ancoragem das Armaduras 
Ancoragem dos Estribos 
A ancoragem dos estribos devem ser necessariamente 
garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais 
soldadas. Os ganchos podem ser: 
a) semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta 
reta de comprimento igual a 5 фt, porém não inferior a 5 
cm; 
b) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior 
ou igual a 10 фt, porém não inferior a 7 cm, não devendo 
ser utilizado para barras de fios lisos. 
Ancoragem das Armaduras 
Ancoragem dos Estribos 
Segundo a NBR 6118:2014, o diâmetro interno de curvatura 
dos estribos deve ser no mínimo igual ao valor dado na 
tabela abaixo. 
 
Emendas das Barras da Armadura 
As emendas podem ser feitas por traspasse, solda, com luva 
rosqueada ou com outros dispositivos. A emenda por 
traspasse é a mais barata, pois utiliza a própria aderência 
entre o aço e o concreto e sua execução é simples. 
Nas emendas por traspasse, a transferência de força entre as 
barras é por meio de bielas comprimidas inclinadas. A 
distância entre as barras emendadas não deve superar 4ϕ. 
Em barras com ϕ ≥ 32 mm e tirantes não é permitido utilizar 
emendas por traspasse. 
 
 
 
Emendas por Traspasse 
O comprimento de traspasse das barras tracionadas é dado 
por: 
 
 
 
 
 
Considera-se na mesma seção, as emendas que se 
superpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam 
afastadas menos que 20% do comprimento de traspasse. 
 
 
 
Emendas por Traspasse 
O comprimento de traspasse das barras comprimidas é dado 
por: 
 
 
 
 
Detalhamento 
Armadura Transversal 
• Diâmetro mínimo e diâmetro máximo 
• 5 mm ≤ φt ≤bW/10 
• Espaçamento longitudinal mínimo e máximo 
• O Smín deve ser suficiente para a passagem do vibrador 
• VSd ≤ 0,67 VRd2 Smáx = 0,6 d ≤ 300 mm 
• VSd > 0,67 VRd2 Smáx = 0,3 d ≤ 200 mm 
• Número de ramos dos estribos 
• VSd ≤ 0,20 VRd2 St, máx = d ≤ 800 mm 
• VSd > 0,20 VRd2 St,máx = 0,6 d ≤ 350 mm 
• Ancoragem 
• Fechados na face tracionada 
• Podem ser abertos na face comprimida 
 
Detalhamento 
Armadura Longitudinal 
 
• Armadura Mínima 
• As > As,mín = ρmin ∙ Ac 
 
• Armadura Máxima 
• As + A’s ≤ 4% ∙ Ac 
 
• Largura Mínima 
• 15 cm para vigas em contato com o solo 
• 12 cm para s demais vigas 
 
Detalhamento 
Armadura Longitudinal 
Espaçamento entre barras 
 
Detalhamento 
Armadura em Várias CamadasSe yo ≤ 0,10∙h, então é permitido considerar toda a armadura 
concentrada no centroide. Caso contrário não é permitido. 
 
Detalhamento 
Armadura de pele 
• Se h > 60 cm, então Asp = 
0,10%∙bw∙h em cada face 
lateral da viga. 
• O espaçamento tem que 
ser menor que d/3 e 20 
cm 
 
Armadura Construtiva 
Exemplo – Vigas Contínuas 
Referência Bibliografica 
• ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118 (2014). 
Projeto de estruturas de concreto – Procedimento; 
• ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação. Ed.: 
IBRACON, 2015; 
• PFEIL, W. Concreto Armado, 3v. Rio de Janeiro, LTC, 1989.