ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - aula 05

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
UNIDADE 3 – Introdução a teoria das probabilidades 
 
• Experimentos probabilísticos; 
• Conceitos de probabilidade; 
• Teoremas do cálculo de probabilidade; 
• Probabilidade condicional e independência estocástica; 
• Teorema da Probabilidade Total; e 
• Teorema de Bayes. 
 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Um pouco de Análise Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem 
 
 
 
Exemplos: 
1) Uma pessoa deseja viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. 
Sabendo-se que há 4 roteiros diferentes para chegar a são Paulo, partindo de 
Recife e 3 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, 
de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto 
Alegre ? 
2) Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas 
as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se 
pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir 
a bandeira? 
 
 
 
Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal 
maneira que o número de possibilidades da 1º etapa é m e o número de 
possibilidades da 2º etapa é n, então o número total de possibilidades de o 
evento ocorrer é dado por mn . 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Permutações 
De quantos modos podemos ordenar em fila n objetos distintos? 
 
 
 
 
Exemplos 
1) Quantos números de 3 algarismos ( sem repeti-los ) podemos formar com os 
algarismos 2,4 e 7 ? 
2) Quantos anagramas tem a palavra ANEL ? 
3) Quantos anagramas tem a palavra BANANA ? 
 
 
 
 
A escolha do objeto que ocupará o primeiro lugar pode ser feita de n modos; a 
escolha do objeto que ocupará o segundo lugar pode ser feita de n-1 modos; a 
escolha do objeto que ocupará o terceiro lugar pode ser feita de n-2 modos, 
etc...; a escolha do objeto que ocupará o último lugar pode ser feita de 1 modo. 
Portanto a resposta ´é n(n-1)(n-2)(n-3) ... 1 = n! 
De modo geral, o número de 
permutações de n objetos, dos 
quais 𝛼 são iguais a A, 𝛽 são 
iguais a B, 𝛾 são iguais a C, 
etc... , será 
𝑛!
𝛼! 𝛽! 𝛾! …
 
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Combinações simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) Calcule o valor de 𝐶6,3 ∙ 𝐶5,2 ∙ 𝐶4,3 
b) O conselho desportivo de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos. 
Candidata-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse 
conselho pode ser eleito ? 
 
Combinações simples de n elementos tomados p a p (p≤ 𝑛 ) são os 
subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n 
elementos dados. 
 
Indica-se por 𝐶𝑛,𝑝 , 
𝑛
𝑝 o número total de combinações de n elementos dados 
p a p e calcula-se por: 
𝐶𝑛,𝑝 =
𝑛!
𝑝! 𝑛 − 𝑝 !
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Introdução ao estudo das probabilidades. 
 
Eventos ou experimentos aleatórios. 
 
Exemplos 
• lançamento de um dado, 
• números sorteados na mega sena, 
• numero de peças defeituosas produzidas por uma máquina. 
 
 
Modelo probabilístico. 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Termos usados no Modelo probabilístico 
 
 
 
• Experimento aleatório. 
 
• Espaço amostral Ω. 
 
• Evento. 
 
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Tipos de Eventos 
 
• Evento simples ou elementar. 
 
• Evento certo. 
 
• Evento impossível. 
 
• Evento complementar. 
 
• Evento mutuamente exclusivos. 
 
 
 
 
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Exemplo 
Em um cesto ha 6 bolas, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Desse cesto são 
retiradas sucessivamente, 3 bolas. Calcule o número de elementos dos seguintes 
eventos: 
 
• A: as três bolas tem a mesma cor 
• B: duas das bolas são brancas 
• C: as três bolas são vermelhas 
• D: o numero de bolas brancas é igual ao número de bolas vermelhas. 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Probabilidade 
 
Definição: 
Uma probabilidade e uma função que associa a cada evento A um número P(A), 
de forma que: 
 
i) 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 
ii) P(Ω) = 1 
 
iii) Se A e B são mutuamente excludentes, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 
 
 
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Propriedades 
 
• P(𝐴 ) = 1 - P(A). 
 
• P(∅) = 0. 
 
• A Ϲ B → P(A) ≤ P(B). 
 
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). 
 
 
 
 
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Modelos 
 
 
• Modelo equiprobabilístico 
 
 
• Modelo não equiprobabilístico 
 
 
 
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Modelo equiprovável 
 
P(A) = 
numero de resultados favoráveis 
numero de resultados possíveis 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Exemplo: 
 
 
Considere os números de três algarismos distintos que podem ser formados 
permutando-se os algarismos 3, 4 e 2. Imagine que uma dessas permutações 
foi escolhida ao acaso e considere os eventos: 
• A: o número sorteado e múltiplo de 3 
• B: o número sorteado e múltiplo de 5 
• C: o número sorteado e múltiplo de 4 
Qual a probabilidade de cada um desses eventos? 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Exemplo: 
 
Uma urna contem 10 bolas idênticas(com exceção da cor) sendo 6 bolas 
brancas e 4 bolas pretas. Retiram-se sucessivamente, sem reposição da bola 
retirada, duas bolas da urna. Qual a probabilidade da primeira bola ser branca 
e a segunda ser preta? 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Exemplo: 
 
Considere um conjunto de 20 peças em que 5 estão com defeito. Escolhendo 
aleatoriamente 4 peças desse conjunto, determine a probabilidade de: 
 
A: duas estarem defeituosas. 
 
B: nenhuma peça estar defeituosas. 
 
C: pelo menos uma estar com defeito. 
 
Lembrete: Probabilidade do evento complementar 
• P(𝐴 ) + P(A) = 1 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Exemplo: 
 
1- Escolhendo-se aleatoriamente um natural no conjunto 1; 2; ... ; 100 de 
naturais sucessivos, seja p a probabilidade deste natural ser divisível por 2 ou 
por 3. Indique 100p. 
 
Lembrete: Probabilidade da união de eventos 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
 
2- Uma urna contem 4 bolas amarelas, 2 bolas brancas, e 3 bolas vermelhas. 
Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou 
branca? 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
Exemplo: 
 
• Determine a probabilidade de que na turma de Estatística e Probabilidade, 
ao menos duas tenham a mesma data de aniversário. 
 
• (UFPR 2008 - adaptado) Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao 
peso e pressão arterial, conforme mostrado no quadro a seguir: 
 
 
 
 
Com base nesses dados, verifica-se que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse 
grupo, tem pressão alta, qual a probabilidade de ela ter também peso normal?