Noções de Probabilidade e Exercícios Resolvidos

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Noções de Probabilidade I 
1 – Introdução 
Chama-se experimento aleatório aquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence 
necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral. 
Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento. 
Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar. 
 
Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 
5, 6}. 
 
Exemplos de eventos no espaço amostral U: 
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6} 
B: sair um número primo e par: B = {2} 
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5} 
 
Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova. 
Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos 
elementares possuem a mesma chance de ocorrerem. 
Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as 
chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço 
equiprovável. 
Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são 
aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem 
obtidos. 
Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno 
aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, 
denominada Probabilidade. 
Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, 
teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será 
muito mais freqüente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos 
afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o 
evento "sair bola branca". 
2 – Conceito elementar de Probabilidade 
Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento ou 
seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será 
calculada pela fórmula 
 
p(A) = n(A) / n(U) 
 
onde: 
n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U. 
 
Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver os seguintes exercícios 
introdutórios: 
1.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: 
a) sair o número 3: 
Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade 
procurada será igual a p(A) = 1/6. 
b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a 
probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2. 
c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a 
probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3. 
d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. 
Portanto,p(A) = 2/6 = 1/3. 
e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, 
p(A) = 2/6 = 1/3. 
1.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: 
a) sair a soma 8 
Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), 
onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. 
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, 
ou 6, o mesmo ocorrendo com j. 
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o 
evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual 
a p(A) = 5/36. 
b) sair a soma 12 
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será 
igual a p(A) = 1/36. 
1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se 
uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: 
a) sair bola azul 
p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30% 
b) sair bola vermelha 
p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50% 
c) sair bola amarela 
p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20% 
 
Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como 
porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de 
ocorrências para um número elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento 
acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos 
casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos sairá bola 
amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribuição do 
número de ocorrências se aproximará dos percentuais indicados. 
3 – Propriedades 
P1: A probabilidade do evento impossível é nula. 
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos: 
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0 
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma 
bola verde (evento impossível, neste caso) é nula. 
P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade. 
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1 
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar 
uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1. 
P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real 
[0, 1]. 
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima. 
P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a 
unidade. 
Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U. 
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U). 
Dividindo ambos os membros por n(U), vem: 
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se: 
p(A) + p(A') = 1 
 
Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos 
problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a 
probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar 
a probabilidade do evento. 
P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever: 
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
Observe que se A  B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o 
conjunto vazio), então 
p(A U B) = p(A) + p(B). 
Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que 
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 
Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição de 
probabilidade, concluímos rapidamente a veracidade da fórmula acima. 
Exemplo: 
 
https://www.paulomarques.com.br/arq1-1.htm
Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são 
assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 
não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja 
assinante de ambos os jornais? 
SOLUÇÃO: 
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço 
amostral. Teremos: 
n(U) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais. 
n(U) = n(J) + N(P) – N(J Ç P) + 800 
n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800 
n(U) = 8600 
Portanto, a probabilidade procurada será igual a: 
p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43. 
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%. 
 
A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da 
comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de 
aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser). 
4 – Probabilidade condicional 
Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, 
sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade 
vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-
se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número 
de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é 
denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de 
ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional. 
 
Teremos então: 
 
p(A/B) = n(A B)/ n(B) 
 
onde A B = interseção dos conjuntos A e 
 
Esta fórmula é importante, mas pode ser melhorada. Vejamos: 
Ora, a expressão acima, pode ser escritasem nenhum prejuízo da elegância, nem do 
rigor, como: 
p(A/B) = [n(A  B)/n(U)] . [n(U)/n(B)] 
p(A/B) = p(A B) . 1/p(B) 
Vem, então: P(A/B) = p(A  B)/p(B), de onde concluímos finalmente: 
 
p(A  B) = p(A/B).p(B) 
Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas. 
Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos 
eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B. 
Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, 
então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula 
acima fica: 
 
p(A B) = p(A) . p(B) 
Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos 
independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados. 
Exemplo: 
 
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. 
Calcule as probabilidades de: 
a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha 
(V) e depois uma bola branca (B). 
Solução: 
p(V  B) = p(V) . p(B/V) 
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7). 
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo: 
p(B/V) = 2/6 = 1/3 
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que: 
P(V  B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8% 
b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e 
depois uma bola branca. 
Solução: 
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, 
a probabilidade buscada poderá ser calculada como: 
P(V  B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41% 
Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um 
entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir. 
Noções de Probabilidade II 
Vimos na aula anterior, que num espaço amostral U, finito e equiprovável, a 
probabilidade de ocorrência de um evento A é dada por: 
 
onde n(A) = n.º de elementos de A e n(U) = n.º de elementos de U. 
Sabe-se que p(A) é um número real que pode assumir valores de 0 a 1, sendo p(A) = 0, 
a probabilidade de um evento impossível (conjunto vazio) e p(A) = 1, a probabilidade 
de um evento certo (conjunto universo). 
Já sabemos também que definido um evento A, podemos considerar o seu evento 
complementar A’ = {x  U; x A}. 
Além disto, vimos que p(A’) = 1 – p(A). 
 
Vejamos um exemplo de aplicação imediata das fórmulas acima: 
 
Ao sortear ao acaso um dos números naturais menores que 100, qual a probabilidade do 
número sorteado ser menor do que 30? 
 
Ora, neste caso, o nosso espaço amostral é: U = {0,1,2,3, ... , 99}. 
O evento A é igual a: A ={0,1,2,3, ... , 29}. 
O evento complementar de A é igual a: A’= {30,31,32, ... , 99}. 
Temos que: n(U) = 100, n(A) = 30 e n(A’) = 70. 
Portanto: 
p(A) = 30/100 = 0,30 = 30% 
p(A’) = 70/100 = 0,70 = 70% 
 
Vemos que p(A) + p(A’) = 0,30 + 0,70 = 1, o que confirma que a probabilidade de um 
evento somada à probabilidade do seu evento complementar, é igual à unidade. 
Vimos também na aula anterior que, sendo A e B dois eventos do espaço amostral U, 
podemos escrever: 
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) 
 
Vejamos um exemplo de aplicação da fórmula supra: 
 
No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter um número ímpar ou 
mais de 4 pontos na face de cima. 
 
Ora, neste caso, teremos: 
Espaço amostral: U = {1,2,3,4,5,6}  n(U) = 6 
Evento A: A = {1,3,5}  n(A) = 3 
Evento B: B = {5,6}  n(B) = 2 
Evento interseção: A  B = {5}  n(A  B) = 1 
Então, vem: p(A  B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%. 
 
NOTA: Se A  B =  , então dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos, e, 
neste caso, 
p(A  B) = p(A) + p(B), já que p() = 0 [evento impossível]. 
 
Vejamos um exemplo ilustrativo do caso acima: 
 
Suponha que no lançamento de um dado, deseja-se saber qual a probabilidade de se 
obter um número par ou um número menor do que 2. 
 
Temos os seguintes eventos: 
A = {2,4,6}  n(A) = 3 
B = {1} n(B) = 1 
A  B =   n(A  B) = 0 
Portanto, p(A  B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67% 
Vimos também na aula anterior, que a probabilidade de ocorrência simultânea de dois 
eventos A e B é dada por: 
p(A  B) = p(A) . p(B/A) OU p(A  B) = p(B) . p(A/B) 
onde: 
p(A/B) = probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que ocorreu o evento B. 
p(B/A) = probabilidade de ocorrer B, sabendo-se que ocorreu o evento A. 
 
Se a ocorrência do evento B não modifica a chance de ocorrer o evento A, diremos que 
os eventos A e B são INDEPENDENTES e, neste caso, teremos que p(B/A) = p(B), e a 
fórmula resume-se a: 
p(A B) = p(A).p(B) 
 
O exemplo ilustrativo a seguir, ajudará a entender a afirmação supra: 
 
Qual a probabilidade de em dois lançamentos de um dado, se obter número par no 
primeiro e número ímpar no segundo? 
 
Ora, os eventos são obviamente independentes, pois a ocorrência de um não afeta o 
outro. 
Logo, teremos: 
p(A  B) = p(A).p(B) = 3/6 . 3/6 = 1/2.1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%. 
Vejamos agora, um exemplo de eventos dependentes: 
 
Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui 
uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, 
e retira-se uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da 
segunda caixa seja verde? 
Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais sejam: 
Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta. 
 
Ora, teremos: (observe atentamente a simbologia utilizada, comparando com o que foi 
dito anteriormente). 
 
1ª possibilidade: a bola transferida é verde : 
 
Probabilidade de que a bola transferida seja verde = p(V) = 4/6 = 2/3 
(4 bolas verdes em 6). 
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que a bola 
transferida é de cor VERDE, será igual a: 
P(V/V’) = 4/5 (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 
1 bola preta, portanto, 4 bolas verdes em 5). 
Pela regra da probabilidade condicional, vem: 
P(V  V’) = p(V) . p(V/V’) = 2/3 . 4/5 = 8/15 
2ª possibilidade: a bola transferida é preta : 
 
Probabilidade de que a bola transferida seja preta = p(P) = 2/6 = 1/3 
(2 bolas pretas e 4 verdes, num total de 6). 
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola transferida é 
de cor PRETA, será igual a: 
P(V/P) = 3/5 (observe que a segunda caixa possui agora, 1 bola preta + 3 bolas verdes + 
1 bola preta transferida = 5 bolas). 
Daí, vem: 
p(V  P) = p(P) . p(V/P) = 1/3 . 3/5 = 1/5. 
Finalmente vem: 
P[(V  V’)  (V  P)] = p(V  V’) + p(V  P) = 8/15 + 1/5 = 8/15 + 3/15 = 11/15, 
que é a resposta do problema. 
Mas 11/15 = 0,7333 = 73,33% 
Portanto, a probabilidade de que saia uma bola verde é de 73,33%. 
 
Uma interpretação válida para o problema acima é que se o experimento descrito for 
repetido 100 vezes, em aproximadamente 73 vezes será obtido bola verde. Se o 
experimento for repetido 1000 vezes, em aproximadamente 733 vezes será obtido bola 
verde; e se o experimento for repetido um milhão de vezes? 
Resposta: obteremos bola verde em aproximadamente 7333 vezes. Perceberam? 
Agora, resolva este: 
Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas 
vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira 
caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que 
a probabilidade de que a bola retirada seja da cor vermelha é: 
a) 18/75 
b) 19/45 
c) 19/48 
d) 18/45 
e) 19/75 
Resposta: C 
 
Nota: 19/48 = 39,58%, ou seja, em 10.000 experimentos, seriam obtidos 
aproximadamente 3958 bolas brancas. Em 100 experimentos? Claro que teríamos 
aproximadamente 39 bolas brancas. 
Noções de Probabilidade III 
Vamos resolver mais algumas questões sobre o assunto. 
1 – Uma urnapossui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas 
azuis devem ser colocadas nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao 
acaso, a probabilidade dela ser azul seja igual a 2/3? 
SOLUÇÃO: 
 
Seja x o número de bolas azuis a serem colocadas na urna. O espaço amostral 
possuirá, neste caso, 3 + 5 + x = x + 8 bolas. 
Pela definição de probabilidade vista nas aulas anteriores, a probabilidade de 
que uma bola retirada ao acaso seja da cor azul será dada por: x/(x+8). Mas, o 
problema diz que a probabilidade deve ser igual a 2/3. 
Logo, vem: x/(x+8) = 2/3; daí, vem, resolvendo a equação do 1º grau: 
3x = 2(x+8) , donde 3x = 2x + 16 e, finalmente vem que x = 16. 
 
Resposta: 16 bolas azuis. 
2 – Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas 
e x bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada 
e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma 
bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolas sejam 
da mesma cor vale 1/2? 
SOLUÇÃO: 
 
O espaço amostral do experimento possui n(U) = 1 + 4 + x = x + 5 bolas. 
Vamos considerar as três situações distintas possíveis: 
A. as bolas retiradas são ambas da cor preta. 
Como existe reposição da bola retirada, os eventos são independentes. Logo, a 
probabilidade que saia uma bola preta (P) e em seguida outra bola preta (P’) 
será dada por: 
p(P  P’) = p(P).p(P’) =[1/(x+5)].[1/(x+5)] = 1/(x+5)2 
B. as bolas retiradas são ambas da cor branca. 
Usando o mesmo raciocínio anterior e considerando-se que os eventos são 
independentes (pois ocorre a reposição da bola retirada), teremos: 
P(B  B’) = p(B) . p(B’) = [4/(x+5)].[4/(x+5)] = 16/(x+5)2 
C. as bolas retiradas são ambas da cor azul. 
Analogamente, vem: 
p(A  A’) = p(A) . p(A’) = [x/(x+5)].[x/(x+5)] = x2/(x+5)2 
Estes três eventos são INDEPENDENTES – pois com a reposição da bola 
retirada – a ocorrência de um deles, não modifica as chances de ocorrência do 
outro. Logo, a probabilidade da união desses três eventos, será igual a soma 
das probabilidades individuais. Daí, pelos dados do problema, vem que: 
[1/(x+5)2] + [16/(x+5)2] + [x2/(x+5)2 ]= 1/2 
Vamos resolver esta equação do 2º grau: 
(1+16+x2)/(x+5)2 = 1 /2 
2(17+x2) = 1. (x+5)2 
34 + 2x2 = x2 + 10x + 25 
x2 – 10x + 9 = 0, de onde concluímos x=1 ou x=9. 
 
Resposta: x=1 ou x=9. 
Nota: as questões 1 e 2 acima, compareceram no vestibular da FUVEST – 
1995 – segunda fase, subdivididas em dois ítens (a) e (b) da questão de 
número 08. 
3 – Uma máquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. 
Escolhendo-se ao acaso dois parafusos dessa amostra, qual a probabilidade de 
que os dois sejam perfeitos? 
Solução: 
 
Existem problemas de Probabilidades nos quais a contagem do número de 
elementos do espaço amostral U não pode ser feita diretamente. Teremos que 
recorrer à Análise Combinatória, para facilitar a solução. 
Para determinar o número de elementos do nosso espaço amostral U, teremos 
que calcular quantos grupamentos de 2 parafusos poderemos obter com os 60 
parafusos da amostra. Trata-se de um típico problema de Combinações 
simples, já visto em Análise Combinatória. Teremos então: 
n(U) = C60,2 = 60!/(58!.2!) = 60.59.58!/58!.1.2 = 30.59 
Considerando-se o evento E: os dois parafusos retirados são perfeitos, vem 
que: 
60 parafusos – 5 defeituosos = 55 parafusos perfeitos. 
Teremos então que o número de possibilidades desse evento será dado por: 
n(E) = C55,2 = 55!/53!.2! = 55.54.53!/53!.1.2 = 55.27 
Logo, a probabilidade de ocorrência do evento E será igual a: 
p(E) = n(E)/n(U) = 55.27/30.59 = 1485/1770 = 0,838983 = 83,8983% 
Resposta: aproximadamente 84%. 
A interpretação deste resultado é que se o experimento for repetido 100 vezes, 
obteremos aproximadamente em 84 vezes, dois parafusos perfeitos. 
Agora resolva as seguintes questões: 
Q1) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. 
Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade 
de que os 3 parafusos sejam defeituosos. 
Resposta: 0,00051 = 0,051% 
Q2) Em relação à questão anterior, determine a probabilidade de numa 
retirada de 3 parafusos ao acaso, sairem pelo menos dois parafusos 
defeituosos. 
Resposta: 0,02347 = 2,347% 
https://www.paulomarques.com.br/arq3-1.htm
Observação: pelo menos 2 defeituosos = 2 defeituosos ou 3 defeituosos. 
Lembre-se que o número de maneiras de numa retirada de 3 parafusos, sairem 
2 defeituosos e 1 não defeituoso será dado por: 
C5,2.C45,1 = 450. Daí, a probabilidade de sairem 2 parafusos defeituosos será 
igual a 450/C50,3 = 0,02296. 
Já sabemos do exercício anterior que a probabilidade de sairem 3 parafusos 
defeituosos é igual a 0,00051. 
Portanto, a probabilidade procurada será igual à soma: 0,02296 + 0,00051 = 
0,02347 = 2,347%. 
Q3) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. 
Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeira 
serem pretas e a terceira vermelha? 
Resposta: 5/34 ou aproximadamente 14,7% 
Q4) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são 
retiradas duas bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeira bola retirada 
é de cor preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja 
vermelha? 
Resposta: 5/8 ou 62,5% 
Distribuição binomial de probabilidades 
Considere um certo experimento aleatório que é repetido n vezes nas mesmas 
condições. Seja U o espaço amostral desse experimento e A um evento desse 
espaço amostral. 
Seja A’ o evento complementar do evento A. 
Já sabemos que: 
1) p(A) = n(A) / n(U) [fórmula fundamental das probabilidades] 
2) p(A) + p(A’) = 1  p(A’) = 1 – p(A) 
Para simplificar o desenvolvimento que faremos a seguir, vamos introduzir a 
seguinte notação: 
Probabilidade de ocorrer o evento A = p(A) = p 
Probabilidade de ocorrer o evento complementar A’ = p(A’) = q 
Podemos escrever: p + q = 1  q = 1 – p 
Não é difícil demonstrar que: 
Se o experimento for repetido n vezes nas mesmas condições, então, a 
probabilidade do evento A ocorrer exatamente k vezes será dada pela fórmula: 
 
Onde: 
P(n,k) = probabilidade de ocorrer exatamente k vezes o evento A 
após n repetições. 
 
Exemplo: 
 
Lança-se um dado 8 vezes. Qual a probabilidade de sair exatamente 5 
números iguais a 3? 
 
Solução: 
 
Sejam os eventos: 
Evento A: sair o número 3 
Evento complementar de A = A’: não sair o número 3 
Teremos: 
p(A) = 1/6 = p 
p(A’) = 1 – 1/6 = 5/6 
Portanto, a probabilidade procurada será dada por: 
 
Resposta: a probabilidade de sair o número 3 exatamente 5 vezes no 
lançamento de um dado 8 vezes, é aproximadamente igual a 0,15 ou 15%. 
Agora resolva este: 
 
Uma moeda é lançada dez vezes consecutivas. Calcule a probabilidade de 
sair exatamente duas caras. 
Resposta: aproximadamente 4,39% (ou 45/1024). 
Exercícios Resolvidos - Probabilidades 
1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis 
de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento 
sair coroa. 
Solução: 
Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair 
cara é igual a 3k. 
A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1. 
Logo, k + 3k = 1  k = 1/4. 
Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%. 
2 – Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais 
prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num 
lançamento sair coroa. 
Resposta: 5/6 = 83,33% 
3 – Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm 
as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de 
vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer. 
Solução: 
Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. 
Pelos dados do enunciado, temos: 
p(A) = p(B) = 2.p(C). 
Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2. 
Temos: p(A)+ p(B) + p(C) = 1. 
Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou 
C vencer é igual a 1. (evento certo). 
Assim, substituindo, vem: 
k + k + k/2 = 1  k = 2/5. 
Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5. 
A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja 
2/5 + 1/5 = 3/5. 
 
4 – Uma moeda é viciada, de maneira que as CARAS são três vezes mais 
prováveis de aparecer do que as COROAS. Calcule as probabilidades de num 
lançamento sair COROA. 
Resposta: 1/4. 
5 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais 
chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine 
a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo. 
Solução: 
Pelo enunciado, podemos escrever: 
p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5). 
Seja p(2) = k. Poderemos escrever: 
p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades 
dos eventos elementares é igual a 1. 
Então, substituindo, vem: 
k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1  k = 2/9. 
Assim, temos: 
p(2) = p(4) = p(6) = 2/9 
p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9. 
O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, 
p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9. 
6 – Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de num 
único lançamento sair um número ímpar. 
Resposta: 1/3 
7 – Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões 
numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um 
número primo. 
Solução: 
Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 
43 e 47, portanto, 15 números primos. 
Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 
possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10. 
8 - Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de numa 
única retirada, sair um cartão com um número divisível por 5. 
Resposta: 1/5. 
9 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são 
escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis? 
Solução: 
Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem 
C3,2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, 
a probabilidade procurada será igual a: 
P = C3,2 / C10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 = 3/45 = 1/15. 
Comentários sobre o cálculo de Cn,p. 
Como já sabemos da Análise Combinatória , 
 
Esta é a forma tradicional de se calcular Cn,p. 
Na prática, entretanto, podemos recorrer ao seguinte expediente: Cn,p possui 
sempre p fatores no numerador a partir de n, decrescendo uma unidade a cada 
fator e p fatores no denominador a partir de p, decrescendo uma unidade a 
cada fator. 
Exemplos: 
C10,4 = (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210. 
C8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56. 
C16,3 = (16.15.14)/(3.2.1) = 560. 
C12,4 = (12.11.10.9)/(4.3.2.1) = 495. 
C10,5 = (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252. 
10 – Considere o mesmo enunciado da questão anterior e calcule a 
probabilidade de na escolha de duas alunas, nenhuma ter olhos azuis. 
Resposta: 7/15. 
Dica: como nenhuma das alunas deve ter olhos azuis, restam 10 – 3 = 7 
alunas. Portanto, ... 
Mais três exercícios de probabilidades 
1 - Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9. Sorteiam-se, com 
reposição, duas bolas. A probabilidade de que o número da segunda 
bola seja maior do que o da primeira é: 
a) 8/9 
b) 5/9 
c) 7/9 
d) 4/9 
e) 1/3 
https://www.paulomarques.com.br/arq3-1.htm
 
Solução: 
 
Suponha que em duas retiradas com reposição obtenhamos a 
primeira bola com número a e a segunda bola com 
número b. O problema quer saber a probabilidade da segunda bola 
possuir número maior do que a primeira, 
ou seja, b > a . 
 
Observe que no sorteio de duas bolas, obteremos pares ordenados da 
forma (a, b) onde a é o número da primeira bola sorteada e b o 
número da segunda. 
 
Vamos utilizar um raciocínio bem simples para a solução deste 
exercício. 
Inicialmente, vamos construir a tabela de dupla entrada a seguir, 
(onde a primeira coluna indica a primeira bola sorteada e a primeira 
linha indica a segunda bola sorteada). Isto ajuda a visualizar todos os 
pares ordenados da forma (a,b) possíveis. 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
1 
 
x x x x x x x x 
2 
 
x x x x x x x 
3 
 
x x x x x x 
4 
 
x x x x x 
5 
 
x x x x 
6 
 
x x x 
7 
 
x x 
8 
 
x 
9 
 
Verificamos que são 9.9 = 81 pares ordenados do tipo (a, b) e 36 deles (marcados em 
vermelho na tabela acima) satisfazem a b > a . 
Verifique que 36 = 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 (soma dos 8 primeiros termos de 
uma PA decrescente de primeiro termo 8 e último termo 1). 
Observe que nenhum par do tipo (9, b) satisfaz ao enunciado pois neste caso, se a 
primeira bola sorteada for a 9, a segunda não poderá ter número maior, já que só 
existem bolas numeradas de 1 a 9. 
Temos então, 36 possibilidades favoráveis ao evento “o número da segunda bola 
sorteada é maior do que o número da primeira bola” em 81 resultados possíveis, o que 
indica que a probabilidade procurada é igual a 36/81, que simplificada fica 4/9, o que 
nos leva à alternativa D. 
2 - Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 99. Sorteiam-se, com reposição, duas 
bolas. 
A probabilidade de que o número da segunda bola seja maior do que o da primeira é: 
a) 49/99 
https://www.paulomarques.com.br/arq2-1.htm
https://www.paulomarques.com.br/arq3-3.htm
b) 39/99 
c) 69/99 
d) 59/99 
e) 27/99 
Solução: 
 
Raciocinando analogamente ao exercício anterior, veremos facilmente que existirão 
98 + 97 + 96 + ... + 1 possibilidades favoráveis, de um total de 99.99. Logo, 
a probabilidade procurada será igual ao quociente (98 + 97 + 96 + ... + 1) / 99.99 
A soma dos termos do numerador da fração acima, pode ser obtida facilmente 
observando que trata-se de uma PA de 98 termos, primeiro termo 98 e último termo 1 . 
Usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA: Sn = [(a1 + an).n] / 2, 
fica: 
98 + 97 + 96 + ... + 1 = [(98 + 1).98] / 2 = 99.49. 
A probabilidade procurada será igual então a 99.49 / 99.99 = 49/99 , o que nos leva à 
alternativa A . 
 
3 - Uma urna contém bolas numeradas de 1 a n. Sorteiam-se, com reposição, duas bolas. 
A probabilidade de que o número da segunda bola seja maior do que o da primeira é: 
a) n/2 
b) (n – 1)/2n 
c) (n – 1)/3n 
d) (n+1)/n 
e) n/(n+1) 
Solução: 
Trata-se de uma generalização dos problemas anteriores. Vamos novamente recorrer à 
tabela de dupla entrada para ajudar na visualização e entendimento da questão. 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 ... ... n-1 n 
1 
 
X X X X X X X X X X X 
2 
 
X X X X X X X X X X 
3 
 
X X X X X X X X X 
4 
 
X X X X X X X X 
5 
 
X X X X X X X 
6 
 
X X X X X X 
7 
 
X X X X X 
8 
 
X X X X 
... 
 
X X X 
... 
 
X X 
n-1 
 
X 
n 
 
https://www.paulomarques.com.br/arq3-3.htm
https://www.paulomarques.com.br/arq2-1.htm
A primeira coluna indica a primeira bola sorteada e a primeira linha indica a segunda 
bola sorteada). Isto ajuda a visualizar todos os pares ordenados da forma (a,b) possíveis. 
 
Verificamos que o número de casos favoráveis ao evento “o número da segunda bola 
sorteada é maior do que o número da primeira bola” indicados na tabela acima por X, é 
igual à soma dos (n – 1) termos : (n –1) + (n – 2) + (n – 3) + ... + 1. 
Reconhecemos imediatamente tratar-se da soma dos termos de uma PA de primeiro 
termo (n – 1), número de termos (n – 1) e último termo igual a 1. Aplicando a conhecida 
fórmula da soma dos termos de uma PA, vem: 
(n –1) + (n – 2) + (n – 3) + ... + 1 = [(n – 1) + 1](n – 1) / 2 = n.(n – 1) / 2 
 
Ora, o total de possibilidades possíveis (total de pares ordenados) é obviamente igual a 
n2 . 
Logo, a probabilidade procurada será igual ao quociente: 
p = [n.(n – 1)/2]/ n2 = (n – 1) / 2n, o que nos leva tranqüilamente à alternativa B. 
 
Uma observação importante relativa a este problema é que, sendo a probabilidade 
p = (n – 1) / 2n, podemos escrevê-la na forma: 
p = n/2n – 1/2n = 1/2 - 1/2n, sendo n o número de bolas na urna. 
Para valores muito grandes de n, o valor 1/(2n) vai se aproximar de zero (já que n está 
no denominador) e p, no limite, será igual a 1/2. Portanto, quanto maior o número de 
bolas contidas na urna, maior a probabilidade, a qual entretanto, nunca será maior ou 
igual a 1 /2 = 0,50 = 50%. 
Noções elementares de Estatística: medidas de tendência central e de dispersão 
1 – Introdução 
 
No Novo Dicionário Brasileiro – Ed. Melhoramentos – 7ª edição – 1971 lê-
se para o verbete estatística - 1. conjunto de processos que tem por objeto a 
observação, classificação formal e análise dos fenômenos coletivos ou de 
massa, bem como a indução das leis a que tais fenômenos globalmente 
obedeçam. 2. apresentação numérica, em tabelas ou gráficos, dos resultados 
da observação de fenômenos de massa. Claro que o termo massa , refere-se 
à população e não ao conceito físico. 
 
Os dados estatísticos devem ser apresentados na forma de tabelas, de modo 
a facilitar a sua interpretação. Imaginemos por exemplo o conjunto de 
valores a seguir, coletados numa sala de aula com 32 alunos, referente às 
idades dos alunos em anos: 
 
17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 
19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 
20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 
21, 21, 21, 21, 22, 22, 23, 23. 
 
Nota: dados expressos desta forma são ditos dados não agrupados. 
 
Poderemos representar estes dados de uma forma mais organizada, 
conforme tabela a seguir, onde a coluna frequência representa o número de 
ocorrências de cada idade: 
Idade (a) Freqüência 
17 3 
18 5 
19 5 
20 7 
21 8 
22 2 
23 2 
Total 32 
Observem que a apresentação dos dados na forma de tabela facilita e muito a 
interpretação. 
Considere agora a relação dos pesos (em kg) de 30 alunos de uma sala, indicada a 
seguir: 
75 – 68 – 75 – 59 – 68 – 80 – 84 – 68 – 80 – 68 
68 – 75 – 75 – 80 – 80 – 75 – 80 – 68 – 84 – 75 
68 – 59 – 68 – 80 – 80 – 68 – 80 – 75 – 68 – 80 
 
Observem que estes dados não agrupados, podem até causar confusão para sua 
interpretação. E vejam que são somente 30 alunos; imaginem se fossem 
3000? Vejam os mesmos dados agrupados conforme tabela abaixo: 
Peso (kg) Freqüência (f) 
59 2 
68 10 
75 7 
80 9 
84 2 
Total 30 
É evidente que a representação na forma de tabela é muito mais conveniente para 
qualquer análise que se deseje fazer em relação aos dados. O uso de tabelas (dados 
agrupados) é muito difundido em Estatística. 
Os mesmos dados acima, poderiam ser agrupados com os pesos em classes de 10 
em 10 kg, da seguinte forma: 
Peso (em kg) Freqüência 
50 |---- 60 2 
60 |---- 70 10 
 70 |---- 80 7 
80 |---- 90 11 
Total 30 
Notas: 
a) claro que poderíamos dividir os pesos de 5 em 5kg, 6 em 6kg, etc. Estes intervalos 
são denominados classes. 
b) o símbolo |--- significa que o extremo 50 pertence ao intervalo e o extremo 60 não 
pertence ao intervalo. Por exemplo, se quiséssemos indicar que o valor 60 pertence ao 
intervalo, escreveríamos: 50|---|60. (Os pontos tracejados devem ser escritos de forma 
contínua; não encontrei símbolo para isto no teclado). 
Na Estatística, a representação dos dados através de tabelas é bastante comum. 
Estes dados tabulados são conhecidos como distribuições de frequência. 
 
2 – Apresentaremos a seguir, definições e comentários cobrados no ensino médio, 
ou seja: Média Aritmética, Moda, Mediana, Variância e Desvio Padrão. Os cálculos 
estatísticos envolvendo as distribuições de freqüência serão vistos em cursos 
regulares de Estatística, na Universidade. O que será mostrado aqui será 
apenas uma introdução bastante elementar, tal qual os conceitos são cobrados ao 
nível do ensino médio. 
A) Medidas de tendência central 
 
Média Aritmética Simples - MAS: Dados n valores x1, x2, x3, ... , xn , chama-
se média aritmética destes n valores, ao valor 
Ma = (x1 + x2 + x3 + ... + xn) / n 
 
Exemplo: qual a média aritmética de 5, 7, 6 e 8? 
M = (5 + 7 + 6 + 8) / 4 = 6,5. 
 
Média Aritmética Ponderada - MAP: Às vezes, é importante atribuir-se pesos 
diferenciados a cada valor, para o cálculo da média e, neste caso, a média recebe o 
nome de média ponderada. 
Assim, dados n valores x1, x2, x3, ... , xn aos quais são atribuídos os pesos k1, k2, k3, ... 
, kn respectivamente, a média ponderada destes n valores será dada por: 
 
Mp = (x1.k1 + x2.k2 + x3.k3 + ... xn.kn) / (k1 + k2 + k3 + ... + kn) 
 
Exemplo 1: Se os valores 10, 8 e 6 possuem pesos 4, 3 e 2 respectivamente, a média 
ponderada destes valores será igual a: 
Mp = (10.4 + 8.3 + 6.2) / (4 + 3 + 2) = 76 / 9 = 8,44. 
Exemplo 2: Qual a média aritmética da distribuição de pesos de 30 alunos de uma 
escola conforme mostrada na tabela a seguir? 
Peso (kg) Freqüência (f) 
59 2 
68 10 
75 7 
80 9 
84 2 
Total 30 
Solução: a média aritmética neste caso será dada pelo quociente: 
 
Mp = (59.2 + 68.10 + 75.7 + 80.9 + 84.2) / (2 + 10 + 7 + 9 + 2) 
Mp = (108 + 680 + 525 + 720 + 168) / 30 
Mp = 2201/30 = 73,36 
 
Nota: Fazendo k1 = k2 = k3 = ... = kn = 1 na fórmula acima, obteremos: 
Mp = (x1.1 + x2.1 + x3.1 + ... + xn.1) / (1 + 1 + 1 + ... + 1 ) 
Ora, no denominador temos o peso 1 somado n vezes e, portanto, igual a n. 
Assim, teremos: 
Mp = (x1 + x2 + x3 + ... + xn) / n, que é a fórmula da média aritmética. Portanto, 
a média aritmética simples é um caso particular da média aritmética ponderada, 
onde os pesos dos valores x1, x2, ... xn, são unitários, ou seja, igual à unidade. 
 
Moda - Dados n valores x1, x2, x3, ... , xn , chama-se moda destes n valores, ao valor 
que mais se repete, ou seja, que possui maior freqüência. . 
Exemplo: qual a moda do seguinte conjunto de valores: 
10, 10, 10, 10, 10, 20, 
20, 35, 35, 35, 78, 78, 
78, 78, 78, 78, 78, 78, 
78, 90, 90, 90, 92, 94 ? 
Resposta: M0 = 78, porque é o mais repetido, ou seja, 78 é o valor de maior 
freqüência. 
 
Observe que estes dados poderiam ser tabulados da seguinte forma: 
Valor Freqüência 
10 5 
20 2 
35 3 
78 9 
90 2 
onde na coluna freqüência estão indicados os números de repetições de cada valor. 
Nota: um conjunto de valores pode ter mais de uma moda ou até não ter nenhuma. 
No caso do conjunto possuir apenas uma moda ele é dito unimodal. 
Mediana – Dados n valores x1, x2, x3, ... , xn , ordenados de forma crescente ou 
decrescente, chama-se mediana destes n valores, ao valor que ocupa a posição 
central. 
Exemplo: a mediana do seguinte conjunto de valores: 
12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 é igual a 20, pois 20 é o valor central. 
Se o número de elementos do conjunto de valores for par, a mediana será igual à 
média aritmética dos dois termos centrais. 
Exemplo: a mediana do conjunto de valores 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 
será igual a Me = (20 + 22) / 2 = 42/2 = 21. 
 
B) Medidas de dispersão 
 
Desvio médio – Seja o conjunto de valores x1, x2, x3, ... , xn e seja Ma a média 
aritmética desses valores. Sendo Di o desvio médio do valor xi, define-se: 
Di = xi – Ma 
 
Exemplo: Seja o conjunto de valores 10, 10, 12, 12, 12, 14, 16, 18 , 20, 20. 
A média aritmética desses 10 valores será igual a: 
Ma = (10+10+12+12+12+14+16+18+20+20) / 10 = 144 / 10 = 14,4 
Por exemplo, o desvio médio do valor 10 , será igual a 10 – 14,4 = -4,4. 
O desvio médio do valor 14 será igual a 14 – 14,4 = -0,4 
O desvio médio do valor 18 será igual a 18 – 14,4 = +3,6 e assim sucessivamente. 
 
Variância - Seja o conjunto de valores x1, x2, x3, ... , xn e seja Ma a média aritmética 
desses valores. Sendo Di o desvio médio do valor xi, define-se a variância deste 
conjunto como sendo a média aritmética da soma dos quadrados dos desvios 
médios. 
 
Como o conjunto x1, x2, x3, ... , xn possui n elementos, a variância v será calculada 
pela fórmula a seguir, decorrenteda definição acima: 
 
 
 
A fórmula acima pode parecer um pouquinho estranha. Caso necessário, visite o 
arquivo sobre somatórios. 
Vamos dar um exemplo para desmistificá-la: 
Seja o conjunto de valores: 10, 12, 14, 16, 18, 20 
A média aritmética destes valores será: Ma = (10+12+14+16+18+20)/ 6 = 90/6 
= 15 
Os desvios médios serão: 
D1 = 10 – 15 = -5 
D2 = 12 – 15 = -3 
D3 = 14 – 15 = -1 
D4 = 16 – 15 = 1 
D5 = 18 – 15 = 3 
D6 = 20 – 15 = 5 
Então a variância V será igual a: 
https://www.paulomarques.com.br/arq10-2004.htm
V = [(-5)2 + (-3)2 + (-1)2 + 12 + 32 +52] / 6 = 70 / 6 = 11,67 
 
Desvio padrão – chama-se desvio padrão  de um conjunto de valores, à raiz 
quadrada da variância, ou seja,  = v. Assim, por exemplo, o desvio padrão do 
conjunto de valores dado no exemplo acima será igual à raiz quadrada de 11,67 , 
ou seja, 
11,67 = 3,42. 
A fórmula para o cálculo do desvio padrão de um conjunto de valores x1 , x2, x3, ... , 
xn de média aritmética Ma será dada por: 
 
 
Notas: 
a)  : símbolo para representar o desvio padrão; letra grega sigma minúscula 
b)  : símbolo para representar somatório ; letra grega sigma maiúscula. 
c) se ocorrer x1 = x2 = x3 = ... = xn , os desvios médios xi – Ma serão nulos e, neste 
caso, o desvio padrão será nulo. Aliás, esta é a única forma do desvio padrão ser 
nulo. 
 
Exemplo: calcule o desvio padrão da distribuição de freqüência a seguir: 
Produto Preço unitário (R$) 
A 10,00 
B 12,00 
C 14,00 
D 16,00 
Inicialmente, calculamos a média aritmética dos dados: 
Ma = (10 + 12 + 14 + 16) / 4 = 13, ou seja, a média aritmética dos preços é igual a 
R$13,00 
Em seguida calculamos os desvios médios e os seus quadrados: 
10 – 13 = -3 ? quadrado = (-3)2 = 9 
12 – 13 = -1 ? quadrado = (-1)2 = 1 
14 – 13 = +1 ? quadrado = (+1)2 = 1 
16 – 13 = + 3 ? quadrado = (+3)2 = 9 
Calculamos a variância: 
v = (9 + 1 + 1 + 9) / 4 = 5 
O desvio padrão será igual então à raiz quadrada da variância ou seja: 
 = 5 = 2,23 . 
Nota: a unidade do desvio padrão é a mesma da média. Portanto,  = R$2,23. 
 
Nota: quanto maior o desvio padrão, maior o grau de dispersão dos dados de um 
determinado conjunto de valores ou seja, quanto mais assimétricos os dados, 
maior o desvio padrão. Somente a título de exemplo ilustrativo, considere os casos 
simples abaixo: 
a) valores 4 e 6: média aritmética = (4+6)/2 = 5 e desvio padrão = 1. 
b) valores 4 e 10: média aritmética = (4+12)/2 = 8 e desvio padrão = 4. 
Observe que os dados 4 e 6 são mais “homogêneos” que os dados 4 e 12 (maior 
assimetria no segundo caso) e o desvio padrão do segundo conjunto de valores é 
bem maior que o do primeiro. 
Coeficiente de variação – se um dado conjunto de valores possui média 
aritmética Ma e desvio padrão  define-se o coeficiente de variação Cv como segue: 
 
 
Por exemplo, no caso anterior a média aritmética dos valores é igual a 15 e o 
desvio padrão é igual a 3,42. O coeficiente de variação será igual a (3,42/15).100 = 
22,8%. 
 
Nota: o uso do coeficiente de variação permite a comparação dos graus de 
dispersão de duas ou mais distribuições de freqüência . 
 
Exemplo: Considere que numa sala de aula se tenha calculado a média aritmética 
das alturas (em centímetros) e dos pesos dos alunos (em quilogramas) e os seus 
respectivos desvios padrões, e se tenha obtido os seguintes resultados: 
Alturas: Ma = 175 cm e  = 10 cm 
Pesos: Ma = 60 kg e  = 6 kg. 
Qual dos dois conjuntos de dados apresenta maior dispersão em relação à média? 
 
Isto poderá ser respondido através do cálculo do coeficiente de variação para 
ambos os casos. Vejamos: 
Alturas: Cv = (10/175).100 = 5,71% 
Pesos: Cv = (6/60).100 = 10% 
 
Como 10% > 5,71%, concluímos que a distribuição dos pesos apresenta maior 
dispersão do que a distribuição das alturas. Poderemos dizer então, que a 
distribuição das alturas é mais "homogênea" do ponto de vista estatístico, do que a 
distribuição dos pesos na amostra de alunos dada como exemplo. 
 
✓ CIÊNCIAS CONTÁBEIS - 2022