Conceitos Básicos de Probabilidade

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PROBABILIDADE
Professora Ma. Juliana Vicente 
Conceitos Básicos de Probabilidade e Contagem
Os fenômenos estatísticos tem natureza 
aleatória ou probabilística. Por esse motivo, o 
cálculo das probabilidades se faz necessário para 
o estudo da Estatística Inferencial ou Indutiva.
Probabilidade é uma medida de 
possibilidade de ocorrência de determinado 
evento e ela pode assumir um valor entre 0 e 1.
Probabilidade
A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar)
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
A teoria das probabilidades tenta quantificar a noção de provável.
Será que o ônibus vai demorar?
Será que essa chuva vai passar?
Probabilidade
A primeira ideia que nos
vem à cabeça, sobre a
probabilidade é a sua utilização
em jogos, mas podemos utilizá-la
em muitas outras áreas.
Probabilidade
Exemplo na área comercial:
Um site de comércio eletrônico utiliza a probabilidade para prever a
possibilidade de fraude por parte de um possível comprador.
Probabilidade
Pierre Simon Marquis de Laplace
Beaumont-en-Auge, 23 de março de 1749
Paris, 5 de março de 1827
Foi um matemático, astrônomo
e físico francês considerado o pai
da Teoria das Probabilidades.
Mécanique Céleste: o estudo geométrico
da mecânica clássica usada por Isaac
Newton para um estudo baseado em cálculo,
conhecido como mecânica física.
Ele também formulou a equação de Laplace.
A transformada de Laplace que aparece em
todos os ramos da física matemática
Probabilidade-História
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_cl%C3%A1ssica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Laplace
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica
TEORIA DAS PROBABILIDADES
Os teoremas de base das probabilidades podem ser demonstrados a 
partir dos axiomas das probabilidades e da teoria de conjuntos.
Calcula a chance de um evento ocorrer
Probabilidade
Experimento Aleatório 
É aquele que pode ser repetidos de forma indefinida. Só poderemos 
definir um resultado quando o experimento for realizado. 
Experimentos cujos resultados podem apresentar variações, mesmo
quando realizados em condições praticamente iguais.
Ex.: Lançamento de um dado
Observação do sexo de recém-nascidos
Lançamento de uma moeda
Jogar duas moedas
Probabilidade
Conceitos Básicos de Probabilidade e Contagem
Espaço Amostral (S) ou (U):
Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório.
Ex.: S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
S2 = { M, F }
S3 = { C , K } onde, C = cara K= coroa
S4 = { CC, CK, KC, KK }
Probabilidade
Conceitos Básicos de Probabilidade e Contagem
Exemplo: Espaço Amostral no Lançamento de 3 Moedas
Probabilidade
Conceitos Básicos de Probabilidade e Contagem
Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostral, geralmente
denotado por letras maiúsculas, ou seja, é uma coleção de um ou
mais resultados de um experimento
Ao lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência
deste fato de evento.
Ex.: lançamento de um dado
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Evento A = sair face par (evento composto)
Evento B = sair 1 (evento simples)
Jogar um moeda duas vezes. (experimento) ;
Resultados: (CC, KK, CK,KC) – (espaço amostral)
Evento: no mínimo uma cara=(CC, CK, KC)
Probabilidade
Conceitos Básicos de Probabilidade e Contagem
Ex.:
E : Lançar um dado
S = {1,2,3,4,5,6}
Evento A: sair um número par A={2,4,6}
Evento B: sair um número divisível por 3 B={1,3,6}
Probabilidade
• Evento Simples: é aquele formado por um único elemento do espaço 
amostral.
• Evento Composto: é formado por dois ou mais elementos.
• Evento Complementar ҧ𝐴: o evento complementar de um evento A é o 
conjunto formado pelos elementos de S que não pertençam a A .
Ex.: 
E: Jogar dados
S={1,2,3,4,5,6}
Evento A : sair um número par A={2,4,6}
Evento Complementar ҧ𝐴 = {1,3,5}
Probabilidade
Conceitos Básicos de Probabilidade e Contagem
CÁLCULO DA PROBABILIDADE (Definição Clássica)
Suponha que uma experiência aleatória tem apenas um número finito de
resultados possíveis.
Seja A um evento associado a essa experiência aleatória. Então a
probabilidade do evento A é dada por:
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
Onde,
P(A) : probabilidade do evento A;
n(A): número de elementos do evento A;
n(S): número de elementos do Espaço Amostral.
Probabilidade
Conceitos Básicos de Probabilidade e Contagem
P(A)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
Exemplo
Qual é a probabilidade de cair CARA no lançamento de uma moeda?
P(A)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
P(A)= 1/2 ou seja 50%
Probabilidade
Ex.: E: Jogar dados
• S={1,2,3,4,5,6}
• Evento A : sair um número par A={2,4,6} 
n(S)=6
n(A)=3 𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
=
3
6
=
1
2
Exercícios:
1-Qual a probabilidade de se retirar ao acaso uma “Rainha”, de um baralho 
com 52 cartas? 
2-Jogando duas moedas ao acaso, qual a probabilidade de se obter duas 
coroas. 
3- Se forem lançados dois dados. 
Qual a probabilidade que se obter um par qualquer.
Qual a probabilidade se sair os pares 1e1, 2e2, 3e3, 4e4, 5e5 ou 6e6.
Probabilidade
Exemplo
Qual é a probabilidade de sair o número 6 no lançamento de um dado?
𝑃 𝑩 =
𝑛(𝑩)
𝑛(𝑆)
P(B)= 1/6 ou seja 16,6667%
Exemplo
Qual é a probabilidade de cair um número PAR no lançamento de um dado?
𝑃 𝑪 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
P(C)= 3/6 ou seja 50%
Probabilidade
Exemplo
Lançando-se dois dados simultaneamente, qual é a chance da soma dos 
resultados ser igual a sete?
𝑃 𝑫 =
𝑛(𝑫)
𝑛(𝑆)
n(S)=6x6=36
n(E)=6 {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}
P(D)= 6/36 ou seja 16,6667%
Probabilidade
Axiomas da Probabilidade
1) 0 ≤ 𝑃 ≤ 1
2) Se 𝐴 = ∅ → 𝑛 𝐴 = 0 𝑃 𝐴 = 0
3) Se 𝐴 = 𝑆 → 𝑛 𝐴 = 𝑛 𝑆 𝑃 𝐴 = 1
4) 𝑃 𝐴 + 𝑃( ҧ𝐴) =1
Ex.: E: Jogar dados
S={1,2,3,4,5,6}
Evento A : sair um número par A={2,4,6} 𝑃(𝐴) = 1/2
Evento Complementar ҧ𝐴 = {1,3,5} P ҧ𝐴 = 1/2
𝑃 𝐴 + 𝑃( ҧ𝐴) =1
Probabilidade
Exercícios:
1)No lançamento de uma Moeda viciada, a probabilidade de sair cara possui três vezes mais 
chances de sair do que coroa. Calcule a Probabilidade de sair cara.
2)Lançando simultaneamente dois dados não viciados, qual a probabilidade da soma ser um 
número múltiplo de 5?
3)Um lote é formado por 14 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é 
escolhida ao acaso. Qual a probabilidade dela não apresentar nenhum tipo de defeito?
4)Considere o seguinte experimento aleatório: dois lançamentos de um dado honesto e a 
observação dos números voltados para cima. Qual é a probabilidade de a soma dos números 
ser maior que 9?
5)Em uma gaveta são colocados três pares de meia na cor azul, dois pares na cor branca e 2 
pares na cor preta. Qual a probabilidade de retirar dessa gaveta uma meia azul, sendo retirada 
de forma aleatória?
6)No cadastro de uma concessionária de automóveis estão registrados 70 clientes, distribuídos 
da seguinte maneira: 44 são homens; 10 são mulheres e residentes no interior; 19 são homens 
e residentes na capital. Um nome é escolhido ao acaso, qual a probabilidade desse nome ser:
a) Mulher;
b) Homem residente no interior.
7) Uma fábrica produz um determinado artigo. Da linha de produção são retirados três artigos e, 
cada um é classificado como bom (B) ou defeituoso (D). Determine o espaço amostral desse 
experimento.
Probabilidade
Exercícios:
1) 75%
2) 7/36
3) 70%
4) 16,7%
5) 3/7
6)
a) P(mulher) = 26/70 = 13/35
b) P(homem residente no interior) = 25/70 = 5/14
7) Ω={BBB, BBD, BDB, DBB, DDB, DBD, BDD, DDD}
Probabilidade
Regra da Soma.
Usamos a regra da soma quando queremos determinar a 
probabilidade de ocorrer um evento ou outro (ou ambos). Assim 
a probabilidade de ocorre um evento A ou B, será:
𝑃 𝐴 𝑜𝑢 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵
Probabilidade
Sãoeventos exclusivos, aqueles cuja a ocorrência de um evento 
impede a ocorrência do outro. Ou seja, os dois eventos não podem ocorrer 
ao mesmo tempo.
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵
Ex.: No lançamento de um dado, qual a probabilidade de ocorrer o número 
3 ou par?
𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 𝑛 𝑆 = 6
𝐴 = 3 → 𝑛 𝐴 = 1
𝐵 = 2, 4, 6 → 𝑛 𝐵 = 3
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 =
1
6
+
3
6
=
4
6
=
2
3
Probabilidade
São eventos não-exclusivos, aqueles que podem ocorrer ao 
mesmo tempo no evento.
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Ex.: Uma carta retirada ao acaso de um baralho, qual a probabilidade 
dela ser de “copas” ou ser um “2”?
𝑆 → 𝑛 𝑆 = 52
𝐴 = 𝑐𝑜𝑝𝑎𝑠 → 𝑛 𝐴 = 13
𝐵 = 2 → 𝑛 𝐵 = 4
𝐴 ∩ 𝐵 = 2 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑝𝑎𝑠 → 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 1
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
=
13
52
+
4
52
−
1
52
=
16
52
=
4
13
Probabilidade
Exemplo
Uma urna tem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Qual é a probabilidade de
obter um número par ou menor que 5?
𝑆 → 𝑛 𝑆 = 20
𝐴 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 → 𝑛 𝐴 = 𝟏𝟎
𝐵 = 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟓 → 𝑛 𝐵 = 4
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝𝑎𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 5 → 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝟐
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
P( 𝐴 ∪ 𝐵 )= 10/20 + 4/20 – 2/20 ou seja 60%
Probabilidade
Exercícios
1)Entre 55 pessoas, 40 falam Português e 30 falam Alemão. Escolhe-se uma pessoa 
aleatoriamente. A probabilidade dessa pessoa falar só Português é aproximadamente?
2)Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral S. Se P(A) = 30%, P(B) = 
50% e a probabilidade de A e B ocorrer de forma simultânea é 10%. A probabilidade 
de A U B ( A união B ) é igual a?
3)Em uma pesquisa realizada numa turma de 30 alunos, constatou-se que:
• 15 alunos conhecem a cidade de Salvador;
• 12 alunos conhecem a cidade de Recife;
• 9 alunos conhecem ambas as cidades.
Escolhendo ao acaso um aluno dessa turma, a probabilidade de que ele conheça a 
cidade de Salvador ou a cidade de Recife é
4) Em uma urna há 8 bolas pretas, 12 bolas brancas e 10 bolas amarelas. Qual a 
Probabilidade de retirar uma bola sem reposição, e esta, ser amarela ou branca?
Exercícios
1) 45%
2) 70%
3) 3/5
4) 22/30
Probabilidade Condicional
Refere-se à probabilidade de um evento ocorrer com base em um 
evento anterior. Evidentemente, esses dois eventos precisam ser conjuntos 
não vazios pertencentes a um espaço amostral finito.
A probabilidade de ocorrer um evento A, dado que B já tenha 
ocorrido, chamamos de probabilidade condicional.
𝑃 𝐴|𝐵 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐵)
Ex.: Suponha o lançamento de dois dados. Sejam os eventos:
• A={o valor obtido em cada lançamento é menor ou igual a 2 }
• B={a soma obtida nos dois lançamentos é 4}
Qual a probabilidade do evento B acontecer, tendo ocorrido A
• 𝐴 = 1,1 , 1,2 , 2,2 , 2,1
• 𝐵 = { 1,3 , 2,2 , (3,1)}
Probabilidade
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/uniao-dois-eventos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm
𝐴 = 1,1 , 1,2 , 2,2 , 2,1
𝐵 = { 1,3 , 2,2 , (3,1)}
𝐵 ∩ 𝐴 = 1
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑛(𝐵 ∩ 𝐴)
𝑛(𝐴)
=
1
4
Ex.: Alunos de Mestrado. Qual a probabilidade de 
escolhermos uma aluna, dado que seja da Estatística.
Mestrado Masculino (Ma) Feminino (Fe) TOTAL
Mat. Pura (M) 70 40 110
Mat. Aplicada (A) 15 15 30
Estatística (E) 10 20 30
Eng. Elétrica(EE) 20 10 30
115 85 200
Probabilidade
Evento A = Aluna do sexo feminino.
Evento B= Aluno da Estatística
Mestrado Masculino (Ma) Feminino (Fe) TOTAL
Mat. Pura (M) 70 40 110
Mat. Aplicada (A) 15 15 30
Estatística (E) 10 20 30
Eng. Elétrica(EE) 20 10 30
115 85 200
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐵)
=
20
30
=
2
3
Probabilidade
Exemplo
Sorteamos uma carta de um baralho de 52 cartas, sem reposição. 
Sabendo que A={dama} e B={copas}, qual a probabilidade de sair uma 
“dama”, tendo ocorrido uma carta de “copas”?
𝑃 𝐴/𝐵 =
4
51
= 0,078
Probabilidade
Exemplo 
Foi sorteado um número de 1 a 10. Qual a probabilidade de sortearmos o 
número 7, dado que o número sorteado seja ímpar?
𝐴 = 7 → 𝑛 𝐴 = 1
𝐵 = 1, 3, 5, 7, 9 → 𝑛 𝐵 = 5
𝐴 ∩ 𝐵 = 1 → 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 1
𝑃 𝐴/𝐵 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐵)
=
1
5
Probabilidade
Exercício
1) De um baralho de 52 cartas, determine a probabilidade 
de ser retirada uma carta de ouro, dado que a carta 
retirada é um rei. 1/4
2) Calcule a probabilidade de obter soma 8 no lançamento 
de dois dados em que o resultado do lançamento foi 
dois números ímpares. 2/9
3) Um lote contém 10 peças, sendo 7 boas ( B) e 3 
defeituosas ( D). 
a)Calcular a probabilidade de extrairmos uma peça defeituosa 
na segunda retirada, sabendo que na primeira ocorreu uma peça 
com defeito. 2/9
b)Calcular a probabilidade de extrairmos uma peça defeituosa 
na segunda retirada, sabendo que na primeira ocorreu uma peça 
boa. 3/9
Exercício
1) 1/4
2) 2/9
3) a)2/9
b)3/9
• Regra do Produto
Usamos a regra do produto qual queremos determinar a 
probabilidade de um evento ocorrer de forma conjunta A e B. 
Assim podemos escrever que:
𝑃 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
São eventos dependentes, aqueles que ocorrem 
simultaneamente.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃( ൗ𝐵 𝐴)
Probabilidade
Exemplo
Vamos retirar sem reposição duas peças de um lote de 10, sendo que 4 
peças estão boas. Qual a probabilidade de ambas as peças retiradas 
estarem com defeito.
𝐴 = 1º 𝑝𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 → 𝑛 𝐴 = 6
𝐵 = 2º 𝑝𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 → 𝑛 𝐵 = 5
𝑆 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 → 𝑛 𝑆 = 10
𝑛 𝐵 ∩ 𝐴 = 5
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 ൗ𝐵 𝐴 =
6
10
∗
5
9
=
1
3
= 33,33%
Probabilidade
São eventos independentes, aqueles que a ocorrência 
de um não depende da ocorrência do outro.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃(𝐵)
Ex.:Vamos retirar com reposição duas cartas de um 
baralho. Qual a probabilidade que ambas sejam de 
“ouros”?
𝐴 = 1º 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑟𝑜𝑠 → 𝑛 𝐴 = 13
𝐵 = 2º 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑟𝑜𝑠 → 𝑛 𝐵 = 13
𝑆 = 52 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵 =
13
52
∗
13
52
=
1
16
Probabilidade
Exemplo
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. 
Calcule as probabilidades de:
a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma 
bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
B = 1º bola branca → n B = 2
V = 2ºbola vermelha → n B = 5
S = total de bolas → n S = 7
𝑃 𝑉 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝑉 ∗ 𝑃 Τ𝐵 𝑉 =
5
7
∗
2
6
=
10
42
=
5
21
b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma 
bola vermelha e depois uma bola branca.
𝑃 𝑉 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝑉 ∗ 𝑃 𝐵 =
5
7
∗
2
7
=
10
49
Probabilidade
Exemplo
Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, qual é a chance de 
aparecer coroa na moeda e um número menor que 4 no dado?
Coroa na moeda E x >4 no dado
P 𝐴 ∩ 𝐵 = ½ x 3/6 ou seja 25%
Probabilidade
Exemplo
Uma urna tem 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas são sacadas
dessa urna sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de
ambas serem brancas?
𝑃 𝑭 =
𝑛(𝑭)
𝑛(𝑆)
1 branca E outra branca (Multiplicação)
P(F)= 4/9 x 3/8 ou seja 16,6667%
Probabilidade
Exercícios
1) Lançando simultaneamente dois dados não viciados, qual a probabilidade da 
soma ser um número múltiplo de 5? Resp: 7/36
2) A probabilidade de um aluno acertar uma questão é de 80% e de acertar uma 
segunda é de 70%. Qual a probabilidade de ele errar as duas questões. 6%
3) De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do 
primeiro baralho e uma carta de segundo. Qual a probabilidade de a carta do 
primeiro baralho ser uma dama e a do segundo ser o 7 de copas? 1/676
4) Dois jogadores de basquete (Marco e João) praticam arremessos na cesta. A 
probabilidade de Marco acertar a cesta é de 2/4 e a probabilidade de João 
acertar a cesta é 3/4 . Admitindo que os dois eventos são independentes, qual 
a probabilidade de ambos acertarem a cesta? 38%
5)A probabilidade de um determinado aluno acertar cada uma das duas últimas 
questões de uma determinada prova é 70%.
• Acertar ou errar cada uma das questões são eventos independentes• A probabilidade desse aluno errar as duas referidas questões; menos que 10%
6) Uma urna contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas azuis. Retirando-se ao acaso 
duas bolas, uma após a outra, sem reposição, calcule a probabilidade de ocorrer 
duas bolas azuis 6/20
Exercícios
1) 7/36
2) 6%
3) 1/676
4) 38%
5) menos que 10%
6) 6/20