MATERAL COMPLEMENTAR

Prévia do material em texto

AULA DE APOIO I: ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Luiz Felix
População e amostra
 População  conjunto de todos os itens (pessoas, coisas, 
objetos) que interessam ao estudo de um fenômeno coletivo 
segundo alguma característica. 
 Amostra  qualquer subconjunto não vazio de uma população. 
Dados brutos e rol
 Dados brutos  uma sequência de valores numéricos 
não organizados, obtidos diretamente da observação de 
um fenômeno coletivo. 
 Exemplo: Idade dos meus professores: 49, 63, 34, 27.
 Rol  uma sequência ordenada de dados brutos.
 Exemplo: Idade dos meus professores: 
27, 34, 49, 63 ou 63, 49, 34, 27. 
Tipos de variáveis
Variáveis
Qualitativas
Nominais
Ordinais
Quantitativas
Discretas
Contínuas
Variáveis qualitativas
 Apresentam característica 
ou atributo. 
 Nominais – sem ordem. 
 Exemplo: cor dos cabelos, 
estado civil.
 Ordinais – com ordem. 
 Exemplo: classe social, 
escolaridade
Fonte: https://www.vix.com/pt/ciencia/538673/cor-do-olho-nao-
depende-so-da-genetica-garante-oftalmo-entenda
Fonte: https://www.wwf.org.br/?uNewsID=29522
Variáveis quantitativas
 São expressas por números.
 Discretas – Contagem – Inteiros. 
 Exemplo: quantidade de 
cadeiras ou de mesas.
 Contínuas – Medição – Fracionário. 
 Exemplo: peso, altura.
Fonte: 
http://alphaparkhotel.com.br/conteudo/eventos/497
Fonte: http://conexaon.com.br/2015/02/o-complicado-
confronto-de-atletas-com-a-balanca/
Medidas de tendência central
 Média aritmética.
 Mediana.
 Moda.
Média aritmética
 É um dos valores mais representativos de um conjunto 
de dados. 
x = ∑ xi
n
 xi cada variável da amostra
 n é o número de dados da amostra
Média aritmética – Exemplos
 Calcule a média aritmética do conjunto de dados: 
a) xi = 3, 5, 8, 12, 7, 25
x = ∑ xi = 3 + 5 + 8 + 12 + 7 + 25 = 60 = 10
n 6 6
b) xi = 1, 1, 3, 5
x = ∑ xi = 1 + 1 + 3 + 5 = 10 = 2,5
n 4 4
Média aritmética – Exemplos
 Uma pesquisa foi realizada com 50 jovens entre 20 e 23 anos 
sobre o uso do celular. A tabela mostra a idade e a frequência 
de cada valor. Determine a idade média dos jovens que 
responderam à pesquisa. 
Idade Número de 
jovens
20 15
21 20
22 9
23 6
Média aritmética – Exemplos
x = ∑ Xi . fi = 1056 = 21,12
n 50 
Idade Número de jovens Xi . fi
20 15 300
21 20 420
22 9 198
23 6 138
∑ 50 1056
Média aritmética ponderada
 A cada valor xi deverá ser atribuído um peso pi
xp = ∑ xi . pi
∑ pi
 xi cada variável da amostra
 pi cada peso da amostra
Média aritmética ponderada – Exemplo
 Abaixo estão representadas as notas de um aluno e os 
respectivos pesos. Calcule a média do aluno levando-se 
em conta os pesos das avaliações. 
xp = ∑ xi . pi = 7.2 + 3.5 + 6.1 + 5.2 = 45 = 4,5
∑ pi 2 + 5 + 1 + 2 10
NOTA PESO
7,0 2
3,0 5
6,0 1
5,0 2
Mediana
 Valor central que divide ao meio uma série ordenada 
de dados.
 Se o número de elementos do rol for ímpar, a mediana será 
o valor do meio. 
 Se o número de elementos do rol for par, a mediana será 
a média dos 2 valores centrais.
Mediana – Exemplos
 Determinar a mediana
xi = 5, 1, 7, 2, 9
Solução correta
Rol xi: 1, 2, 5, 7, 9
Mediana = 5
Erro comum: não fazer o rol
xi: 5, 1, 7, 2, 9
Mediana = 7
Mediana – Exemplos
 Determinar a mediana
xi = 5, 1, 7, 8
Solução correta
Rol xi: 1, 5, 7, 8
Mediana = 5 + 7 = 12 = 6
2 2
Erro comum: não fazer o rol
xi = 5, 1, 7, 8
Mediana = 1 + 7 = 8 = 4
2 2
Mediana – Exemplos
 Determinar a mediana xi = 9, 12, 2, 14, 6
Rol xi: 2, 6, 9, 12, 14
Regra: quantidade ímpar de elementos (n=5)
n + 1 = 5 + 1 = 6 = 3
2 2 2
Este 3 indica que a mediana está na 3ª posição.
Rol xi: 2, 6, 9, 12, 14
Mediana = 9
Mediana – Exemplos
 Determinar a mediana xi = 7, 4, 5, 9, 1, 10
Rol xi: 1, 4, 5, 7, 9, 10
Regra: quantidade par de elementos (n=6)
n = 6 = 3
2 2 
Este 3 indica que devo pegar o valor da posição 3 e o valor que 
está na próxima posição, que é a 4ª posição.
Rol xi: 1, 4, 5, 7, 9, 10
Somar e dividir por 2  5 + 7 = 12 = 6
2 2
Mediana = 6
Mediana – Exemplos
 Uma pesquisa foi realizada com 50 jovens entre 20 e 23 anos 
sobre o uso do celular. A tabela mostra a idade e a frequência 
de cada valor. Determine a idade mediana dos jovens que 
responderam à pesquisa. 
Idade Número de jovens
20 15
21 20
22 9
23 6
Mediana – Exemplos
1º Passo: Criar a coluna Frequência Acumulada
Idade Número de jovens Frequência Acumulada
20 15 15
21 20 35
22 9 44
23 6 50
∑ 50 __
Mediana – Exemplos
 2º Passo: Dividir o tamanho da amostra, que neste caso é par, 
por 2: 50/2 = 25
 Verificar os valores da posição 25 e 26, somar os dois valores 
e dividir por 2.
Idade mediana = 21
Idade Número 
de jovens
Freq. 
Ac.
Meu rascunho
20 15 15 1ª a 15ª pos.
21 20 35 16ª a 35ª pos.
22 9 44 36ª a 44ª pos.
23 6 50 45ª a 50ª pos.
∑ 50 __
Moda – Exemplos
 É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. 
Determinar a moda
a)xi = 2, 8, 1, 5, 4, 5, 1, 5
moda = 5 
b) Determinar a moda
xi = 5, 4, 3, 3, 5, 4
não existe moda  amodal
Moda – Exemplos
 A nota dos alunos de uma turma estão apresentadas a seguir. 
Determine a moda. 
Moda = 6
Erro comum: informar a quantidade como moda.
Moda = 13
Nota Quantidade de alunos
3 2
5 8
6 13
7,5 7
Medidas de dispersão
 Indicam o quanto os dados estão dispersos em torno 
da região central. 
 Quanto maiores as medidas de dispersão, mais heterogêneos 
são os dados e, ao contrário, quanto menores essas medidas, 
mais homogêneo o conjunto.
Medidas de dispersão
 Considere os seguintes conjuntos de valores das variáveis 
X, Y e Z:
X: 70, 70, 70, 70, 70
Y: 68, 69, 70, 71, 72
Z: 5, 15, 50, 120, 160
 Os 3 conjuntos apresentam a mesma média aritmética: 70. 
Notamos que o conjunto X é mais homogêneo que os 
conjuntos Y e Z. 
Amplitude total
 A amplitude total ou intervalo de um determinado conjunto de 
dados é obtida pela diferença entre o maior e o menor valor 
neste conjunto de números.
 Amplitude Total = Valor Máximo – Valor Mínimo
 Sendo xi: 8, 7, 9, 13, 10, 20 
 Amplitude Total = 20 – 7 = 13
Desvio médio
 A dispersão dos dados em relação à média de uma sequência 
pode ser avaliada através dos desvios de cada elemento da 
sequência em relação à média da sequência. 
DMédio = ∑ | xi  x |
n
onde n é o número de observações
Exemplo de | x | 
| 3 | = 3
|  3 | = 3
Desvio médio – Exemplo
 Para o conjunto de dados xi = 2, 8, 4, 6 calcule o desvio médio.
Solução: DMédio = ∑ | xi  x |
n
x = 2 + 8 + 4 + 6 = 20 = 5
4 4 
DM = | 2  5 | + | 8  5 | + | 4  5 | + | 6  5 | 
4
DM = | 3| + | 3 | + | 1| + | 1 | = 3 + 3 + 1 + 1
4 4
DM = 8 = 2
4
Variância e desvio padrão (população e amostra)
 População
Variância: σ2 = ∑ (xi – μ)
2
n
Desvio padrão: σ = σ2 
 Amostra
Variância: S2 = ∑ (xi – x)
2
n – 1
Desvio padrão: S = S2
Fonte: https://www.pinterest.pt/pin/473792823288274024/
Variância e desvio padrão (população) – Exemplo
 Para a população xi = 4, 5, 8, 5, calcule a variância 
e o desvio padrão. 
Solução: σ2 = ∑ (xi  μ)
2 e σ = σ2 
n
μ = 4 + 5 + 8 + 5 = 22= 5,5
4 4 
σ2 = (4 5,5)2 + (5 5,5)2 + (8  5,5)2 + (55,5)2
4
σ2 = (1,5)2 + (0,5)2 + (2,5)2 + (0,5)2 = 2,25
4 
Desvio padrão: σ = σ2 = 2,25 = 1,5
Variância e desvio padrão (amostra) – Exemplo
 Para a amostra xi= 4, 5, 8, 5, calcule a variância 
e o desvio padrão. 
Solução: S2 = ∑ (xi  x)
2 e S = S2 
n – 1
x = 4 + 5 + 8 + 5 = 22 = 5,5
4 4 
S2 = (4 5,5)2 + (5 5,5)2 + (8  5,5)2 + (55,5)2
4 – 1 
S2 = (1,5)2 + (0,5)2 + (2,5)2 + (0,5)2 = 9 = 3
3 3 
Desvio padrão: S = S2 = 3 = 1,73
Coeficiente de variação
 O coeficiente de variação serve para indicar se o desvio padrão 
é grande ou pequeno em relação à média aritmética da série 
que está sendo estudada.
 Como o coeficiente de variação analisa a dispersão em termos 
relativos, ele será dado em %. Quanto menor for o valor do 
coeficiente de variação, mais homogêneos serão os dados, 
ou seja, menor será a dispersão em torno da média.
O cálculo do coeficiente de variação é feito através da fórmula:
Onde s = desvio padrão
x = média aritmética
Coeficiente de variação
 Comparando as idades e os pesos de algumas pessoas de um 
condomínio, observamos que a média de idade é de 35,7 anos 
com um desvio padrão de 0,75 e a média de peso é de 60Kg 
com um desvio padrão de 0,9. Qual das duas séries, idade ou 
peso, é mais homogênea?
Cv Idade = 0,75 = 0,02  Cv = 2%
37,5
Cv Peso = 0,9 = 0,015  Cv = 1,5%
60
A série de peso é mais homogênea.
ATÉ A PRÓXIMA!
AULA DE APOIO II: ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Luiz Felix
Distribuição de frequências 
 A observação das notas de 50 alunos em uma prova mostrou 
os valores abaixo.
 Determine: a quantidade de classes.
 O limite inferior e o superior da classe 3.
 A amplitude da classe 3. 
Notas Qtde.
2 |-- 4 5
4 |-- 6 10
6 |-- 8 20
8 |-- 10 15
∑ 50
Distribuição de frequências 
 Quantidade de classes: 4.
 O limite inferior da classe 3 é 6 e o limite superior é 8.
 A amplitude da classe 3 é dada por 
Limite superior – Limite inferior = 8 – 6 = 2
Limite Limite
inferior superior
Notas Qtde.
2 |-- 4 5
4 |-- 6 10
6 |-- 8 20
8 |-- 10 15
∑ 50
Distribuição de frequências 
 A observação das notas de 50 alunos em uma prova mostrou 
os valores abaixo.
 Determine: o Ponto Médio de cada classe; 
a Frequência Relativa; a Frequência Acumulada; 
a Frequência Relativa Acumulada. 
Notas Qtde.
2 |-- 4 5
4 |-- 6 10
6 |-- 8 20
8 |-- 10 15
∑ 50
Distribuição de frequências – Variável contínua
 xi = Ponto médio: (Li + Ls) / 2
 fr% = Frequência relativa
 FA = Frequência acumulada
 FrA% = Frequência relativa acumulada
Notas
Qtde. 
(fi)
xi fr% FA FrA%
2 |-- 4 5 3 10 5 10
4 |-- 6 10 5 20 15 30
6 |-- 8 20 7 40 35 70
8 |-- 10 15 9 30 50 100
∑ 50 100 --- ---
Distribuição de frequências – Variável contínua
 Alunos com nota >= 4 e menor 6: 10
 Alunos com nota menor que 6: 15
 % Alunos com nota >= 4 e menor que 6: 20%
 % Alunos com nota < que 6: 30%
Notas Qtde. xi fr% FA FrA%
2 |-- 4 5 3 10 5 10
4 |-- 6 10 5 20 15 30
6 |-- 8 20 7 40 35 70
8 |-- 10 15 9 30 50 100
∑ 50 100 --- ---
Distribuição de frequências – Média
 Cálculo da Média
x = ∑ Xi . fi
n
Onde:
 x média aritmética da distribuição de frequência
 Xi ponto médio de cada classe (Li + Ls)
2
 fi frequência absoluta simples
 n número de observações
Distribuição de frequências – Média – Exemplo
Calcule a média da seguinte distribuição de frequências:
Saldo (R$) Correntistas
400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
700 |--- 800 3
800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
Distribuição de frequências – Média – Exemplo
x = ∑ Xi . fi = 22900 = 572,50
n 40 
Saldo (R$) fi Xi Xi . fi
400 |--- 500 12 450 5400
500 |--- 600 15 550 8250
600 |--- 700 8 650 5200
700 |--- 800 3 750 2250
800 |--- 900 1 850 850
900 |--- 1000 1 950 950
∑ 40 --- 22900
Distribuição de frequências – Mediana
 Cálculo da Mediana
Fonte: Livro-texto.
Fonte: Livro-texto.
Distribuição de frequências – Mediana – Exemplo
Calcule a mediana da seguinte distribuição de frequências:
Saldo (R$) Correntistas
400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
700 |--- 800 3
800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
Distribuição de frequências – Mediana – Exemplo
n = 40 = 20
2 2 
A classe da mediana
será a 2ª classe
md = 500 + (20 – 12).100 = 500 + 800 = 553,33 
15 15
Saldo (R$) fi Fi
400 |--- 500 12 12
500 |--- 600 15 27
600 |--- 700 8 35
700 |--- 800 3 38
800 |--- 900 1 39
900 |--- 1000 1 40
∑ 40 ---
Fonte: Livro-texto.
Distribuição de frequências – Moda
 Cálculo da Moda
Fonte: Livro-texto.
Fonte: Livro-texto.
Distribuição de frequências – Moda – Exemplo
Calcule a moda da seguinte distribuição de frequências:
Saldo (R$) Correntistas
400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
700 |--- 800 3
800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
Distribuição de frequências – Moda – Exemplo
A classe modal será a 2ª classe, 
pois apresenta a maior frequência.
mod = 500 + (15 – 12).100 = 500 + 300 = 530 
(15–12)+(15-8) 10
Saldo (R$) fi
400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
700 |--- 800 3
800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
∑ 40
Fonte: Livro-texto.
Distribuição de frequências – Desvio médio
 Cálculo do desvio médio
Dmédio = ∑ |Xi – x|. fi 
n
Onde:
 Dmédio desvio médio
 Xi ponto médio de cada classe
 x média da distribuição de frequência
 xi ponto médio de cada classe
 fi frequência absoluta simples
 n total de observações
Distribuição de frequências – Desvio médio – Exemplo
Calcule o desvio médio da seguinte distribuição de frequências:
Saldo (R$) Correntistas
400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
700 |--- 800 3
800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
Distribuição de frequências – Desvio médio – Exemplo
Sendo x = 572,50
Dmédio = ∑ |Xi – x|. fi = 3615 = 90,37
n 40
Saldo (R$) fi Xi |Xi – x| |Xi – x|.fi
400 |--- 500 12 450 122,50 1470
500 |--- 600 15 550 22,50 337,50
600 |--- 700 8 650 77,50 620
700 |--- 800 3 750 177,50 532,50
800 |--- 900 1 850 277,50 277,50
900 |--- 1000 1 950 377,50 377,50
∑ 40 --- --- 3615
Distribuição de frequências – Variância e desvio padrão 
(população e amostra)
População
Variância: σ2 = ∑ (Xi – µ)
2. fi
n
Desvio padrão: σ = σ2 
Amostra
Variância: S2 = ∑ (Xi – x)
2. fi
n – 1
Desvio padrão: S = S2
Distribuição de frequências – Variância e desvio 
padrão – Exemplo
Calcule a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição 
de frequências (população):
Saldo (R$) Correntistas
400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
700 |--- 800 3
800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
Distribuição de frequências – Variância e desvio 
padrão – Exemplo
Sendo µ = 572,50
σ2 = ∑ (Xi – µ)
2. fi = 549750 = 13743,75
n 40
σ = σ2 = 13743,75 = 117,23
Saldo (R$) fi Xi (Xi – µ)
2 (Xi – µ)
2.fi
400 |--- 500 12 450 15006,25 180075
500 |--- 600 15 550 506,25 7593,75
600 |--- 700 8 650 6006,25 48050
700 |--- 800 3 750 31506,25 94518,75
800 |--- 900 1 850 77006,25 77006,25
900 |--- 1000 1 950 142506,25 142506,25
∑ 40 --- --- 549750
Origem da teoria das probabilidades
 A origem da teoria das probabilidades encontra-se nos jogosde azar desde o século XVII. Surgiu da necessidade de um 
método racional para calcular os riscos dos jogadores em 
jogos de cartas, dados etc.
 Posteriormente passou a auxiliar governos, empresas e 
organizações em seus processos de decisões, ajudando 
a desenvolver estratégias.
Probabilidade
Eventos – Teoria de conjuntos
 Espaço amostral (S) é o conjunto de todos os possíveis 
resultados de um experimento.
 Evento é todo subconjunto de S. 
1 2
3 4
5 6
S
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3} (números menores que 4)
B = {1, 3, 5} (números ímpares)
C = Ø (números múltiplos de 7)
D = S (números maiores que 0)
Fonte: Autoria própria.
Probabilidade
Eventos – Teoria de conjuntos
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3}
B = {1, 3, 5}
C = Ø
D = S
 P(A) = 0,5
 P(B) = 0,5
 P(C) = 0
 P(D) = 1
 P(S) = 1
#
P
#
eventos favoráveis
eventos possíveis

0  P(evento qualquer )  1
1 2
3 4
5 6
S
Fonte: Autoria própria.
Probabilidade – Exemplos
Em um café estão 20 pessoas. Sabendo que 8 são mulheres, 
indique a probabilidade de, ao escolher uma das pessoas 
ao acaso, ser um homem.
Homens presentes no café = 20 – 8 = 12
Probabilidade P(H) = 12 = 3 = 0,60 = 60%
20 5
Probabilidade – Exemplos
A B
Exemplo:
Qual a probabilidade do 
objeto selecionado ser 
quadrado ou ser vermelho?
P(QuadradoVermelho) = 8
9
P(QuadradoVermelho) = P(Quadrado) +
P(Vermelho) -
P(Quadrado∩Vermelho)