Conceitos de Matemática Financeira

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A Matemática Financeira é um ramo da matemática que analisa algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Faz usos de alguma ferramentas para melhorar o desempenho e agilizar processos, atuando assim, na simplificação de operações financeiras a um Fluxo de Caixa. Alguns de seus elementos básicos são: capital, juros, taxas e montante.
O conhecimento de algumas siglas é importante para o entendimento deste conteúdo.
C = capital ou P = principal – significam o mesmo
J = juros
n = número de períodos
t = tempo ou período
i = taxa de juros
M = montante
s = montante de capitalização composta
Conceitos Principais em Matemática Financeira
Para a realização dessas situações, é necessário entender os conceitos básicos e termos principais utilizados dentro de matemática financeira:
Capital
É chamado também de valor atual, presente ou aplicado. É o valor representado por uma determinada quantia de dinheiro, títulos ou bens, disponível numa certa data para aplicação numa operação financeira. Também entende-se por capital qualquer valor expresso em moeda. É representado pela letra C, de capital ou P, de principal.
Juros
Valor cobrado pelo credor pelo empréstimo do capital em um período de tempo específico, valor do atraso de uma prestação ou o lucro de uma aplicação financeira. Pode ser dividido em Juros Simples e Juros Compostos. É representado pela letra J. A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por juros simples obtêm um montante inferior ao que financia por juros compostos.
Regime de Juros Simples e Juros Compostos
Capitalização: adicionar os juros ao capital.
Regime de Juros Simples (Juros Simples): acontece quando os juros são calculados por um período juntamente com o capital inicial aplicado. Assim, apenas o capital inicial é o que rende juros. Geralmente é utilizado para aplicações de curto período, descontos simples e duplicatas. A fórmula utilizada para calcular juros simples é:
J = C x i x n
Regime de Capitalização Composta (Juro Composto): acontece quando o juro de cada período é adicionado ao capital inicial, para dar origem ao novo valor de capital do próximo período. Geralmente, esse regime é utilizado na maioria das operações financeiras, como empréstimos, financiamentos, correção de poupança, etc. A fórmula utilizada para o cálculo dos juros compostos é:
M = C (1 + i)t
Taxa de Juros
É a taxa cobrada por um credor, definida de acordo com o valor do empréstimo. É apresentada em porcentagem de acordo com o valor inicial, o tempo, a taxa de inflação e o risco de crédito. Indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado e pode ser especificada, variando de caso para caso.
Taxas de Juros aplicadas:
a.a. - ao ano;
a.m. - ao mês;
a.d. - ao dia;
a.b. - ao bimestre;
a.t. - ao trimestre;
a.q. - ao quadrimestre;
Montante
O juro, adicionado ao capital, em determinado período de tempo, é chamado de montante em uma operação financeira. A fórmula utilizada para o cálculo é:
M = C + J
Desconto
O desconto é a redução sob um valor ou título de crédito quando o pagamento é antecipado. Conceitos utilizados em desconto:
Valor Nominal (valor de face): valor no título a ser pago no vencimento.
Valor Atual: valor a ser efetuado ou recebido antes do vencimento, geralmente, já é vem com o desconto.
Dia do Vencimento: data definida para o pagamento do titulo.
Tempo ou Prazo: diferença em dias entre a data do vencimento e a data da negociação.
O desconto é definido pela diferença existente entre o valor nominal (S) para um valor na data do vencimento e o valor atual (C) na data em que é realizado o pagamento e permite saber qual o desconto a ser dado no título em questão. É representada pela fórmula:
D = S – C
Eles são divididos em simples ou compostos derivados dos dois regimes de capitalização existentes. O Desconto Simples é dividido em:
Desconto Comercial ou Bancário (Por fora): desconto do valor futuro (valor nominal) com base no valor presente.
Desconto Racional (Por dentro): o desconto é oferecido na diferença existente entre o valor futuro (valor nominal) e o valor atual (valor líquido). Geralmente, é calculado em juros simples.
Já os Descontos Compostos, são calculados juntamente com a taxa de juros compostos, considerados os períodos determinados.
Juros Simples
Regime de Juros Simples
O regime de juros simples não é muito utilizado pelo atual sistema financeiro nacional, mas ele se relaciona à cobrança em financiamentos, compras a prazo, impostos atrasados, aplicações bancárias, etc. Nesse regime, a taxa de juros é somada ao capital inicial durante o período da aplicação. O cálculo para juros simples é dado pela fórmula:
J = PV x i x n
J = Juro
PV = Capital inicial, principal ou valor presente
i = taxa de juros
n = número de períodos em que foi aplicado o capital
No cálculo do juro simples, também chamado de juro comercial, o juro sob o capital aplicado é diretamente proporcional ao capital e o tempo de aplicação. Através da taxa de juros, irá variar ao longo do período. Assim, utiliza-se o ano comercial, sendo 360 dias no ano e 30 dias no mês. Ex.:
Saiba Calcular Juros Simples
1) Qual o valor dos juros aplicados a um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros simples de 6% ao mês?
Dados encontrados:
PV= R$ 200
i = 6 %a.m.
n = 6 meses
J = ?
Conversão da taxa de juros:
6% → 6/100 → 0,06
Resolução:
J = PV x i x n → J = R$ 200 x 0,06 x 6 → J = R$ 72,00
Explicação do Problema em Juros Simples
1º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
2º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
3º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
4º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
5º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
6º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
Na soma dos juros durante seis meses temos R$ 72,00 de juros. Com esse exemplo, verifica-se que no cálculo de juros simples, os juros são iguais, pois ele sempre será acrescentado ao capital inicial.
Importante 
Os períodos sempre devem estar na mesma unidade de tempo da taxa de juros:
Taxa de Juros = 6% ao mês (a.m.)
Número de Períodos= 6 meses
Caso contrário, é preciso ajustar os elementos. Veja:
Taxa de Juros = 0,06% ao semestre (a.s.)
Número de Períodos = 3 anos → 6 semestres
Cálculo de Juros Simples em Períodos Não Inteiros
Existem situações em que o prazo da aplicação é um número não inteiro, sendo preciso utilizar frações de períodos para que não hajam erros no valor final. Supondo que o período de aplicação é 5 anos e 9 meses, é sugerido as seguintes soluções para transformá-lo de acordo com a taxa de juros:
1) transformar o período para semestres ou meses: 69 meses ou 11,5 semestres.
2) transformar o período e a taxa para a mesma unidade de tempo:
n = 5 anos e 9 meses → 69 meses
i = 20% a.s → 20/6 → 3,3 % ao mês
Juro Exato
O juro exato é utilizado quando o período de tempo da aplicação está expressa em dias ou quando é considerado o ano civil (365 dias ou 366 dias para ano bissexto) para a realização do cálculo. A fórmula a ser utilizada será:
J = Pv i n / 365
Saiba Calcular Juro Exato
1) Qual é o juro exato de um capital de R$ 20.000 aplicado por 40 dias à taxa de 30% ao ano?
Dados encontrados:
PV= R$ 20.000
i = 30 %a.a.
n = 40 dias
J = ?
Conversão da taxa de juros:
30% → 30/100 → 0,3
Resolução:
J = Pv i n / 365 → J = R$ 20.000 x 0,3 x 40 / 365 → J = R$ 240.000 / 365 → J = R$ 657,53
Juros Compostos
Regime de Capitalização Composta
Esse regime é utilizado amplamente pelo sistema financeiro, no dia a dia e em diversos cálculos econômicos. Os juros são gerados em cada período e acrescentados ao capital principal para o cálculo dos juros no período posterior.
Nesse regime, diz-se queos juros são capitalizados, pois a cada período o juro é adicionado ao capital inicial. Assim, não existe capitalização no regime de juros simples, pois apenas o capital inicial rende juros.
Para o cálculo do juro composto é utilizado a seguinte fórmula:
M= C (1+i)ᵑ
Saiba Calcular Juros Compostos
1) Qual será o montante de um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros composta de 6% ao mês?
Dados encontrados:
PV= R$ 200
i = 6 %a.m.
N = 6 meses
M= ?
Conversão da taxa de juros:
6% → 6/100 → 0,06
Resolução:
M = C (1+i)n → M = R$ 200 (1+ 0,06)⁶ → M = R$ 200 (1,06)⁶ → M = R$ 200 x 1,41 → M= R$283,70
A diferença entre o capital inicial e o montante é o Juro Composto. Veja:
J = C – M → J = R$ 200 – 283,70 → J = R$ 83,70
“Juro é remuneração do capital empregado”
Segundo essa definição, se aplico ou empresto capital a outrem, existe um valor adicional a ser cobrado pela utilização desse dinheiro. Por exemplo, ao aplicar um capital, em um período de tempo específico, ao final dessa aplicação o capital terá adquirido outro valor, chamado de montante. O montante é o capital aplicado mais os juros que foram acumulados durante o período da aplicação.
O juro, também chamado de remuneração, rendimento ou juros ganhos é dado pela diferença entre o montante (M) e o capital (C). A fórmula utilizada para o cálculo do juros é:
J = C x i
Importante:
No mercado financeiro, a taxa de juros sempre é dada na forma percentual, mas para a realização dos cálculos é preciso transformar a taxa em fracionária. Veja o quadro:
 
Outro fato que deve ser considerado no cálculo dos juros é o tempo da aplicação. Se os meses forem de 30 dias, os juros sãocomerciais, referente aos anos comerciais (360 dias). Se for considerado o ano civil (365 dias), os juros serão chamados deexatos.
Saiba como calcular juros:
1) Calcule os juros de uma aplicação de R$5.000 durante um ano à uma taxa simples de 25% a.a.
Dados encontrados:
C = R$ 5.000
i = 25%a.a.
J = ?
Conversão da taxa de juros:
25% → 25/100 → 0,25
Resolução:
J = C x i → J = R$ 5.000 x 0,25 → J = R$ 1.250,00
 
2) Descubra o montante do capital aplicado de R$ 2.600 durante um ano à taxa simples de 55% a.a.
Dados encontrados:
C = R$ 2.600
i = 55%a.a.
J = ?
Conversão da taxa de juros:
55% → 55/100 → 0,55
Resolução:
J = C x i → J = R$ 2.600 x 0,55 → J = R$ 1.430,00 M = C + J → M = R$ 2.600 + R$ 1.430 → M = R$ 4.030,00
Os juros são divididos em simples e compostos, de acordo com o cálculo a ser feito. Saiba mais sobre isso, lendo o artigo Juros Simples e Compostos.
O que é Sistema de Amortização?
Primeiramente, é importante compreender que a amortização significa o processo de encerramento de uma dívida por meio de pagamentos periódicos realizados com base em planejamento. Cada prestação é correspondente ao total do reembolso do capital, aos juros do saldo devedor, ou de ambos os casos.
O que é Sistema de Amortização Constante (SAC)?
Quando a extinção de um empréstimo estiver associada a prestações com inclusão de juros, quitando partes iguais do valor total da dívida, estamos falando do Sistema de Amortização Constante (SAC). Para este caso, o reembolso equivale a valores de amortização iguais ao saldo devedor. Como os juros diminuem a cada prestação, no SAC o valor delas é decrescente. O valor da amortização é calculado da seguinte forma: divide-se o valor principal pelo número de parcelas, ou seja, os períodos de pagamento.
Diferença entre o SAC e o SAF
SAF (Sistema de Amortização Francês), ou Tabela Price, é um método utilizado no pagamento de empréstimos com a seguinte e principal característica: apresentar prestações (ou parcelas) iguais. A diferença entre SAF e SAC consiste de que este tem prestações constantes e decrescentes. O SAF é bastante utilizado nos financiamentos bancários. Entretanto, o SAC é preferência como se trata de financiamentos habitacionais. O Sistema de Amortização Constante substituiu o SAF pelo seguinte motivo: não fazer cobrança de juros sobre jutros.
Características do Sistema de Amortização Constante
As principais características de definem o SAC, são:
Utilização de parcelas decrescentes;
Amortização constante;
Uso de juros decrescentes;
E o saldo devedor também é decrescente.
As fórmulas utilizadas por esse sistema são:
Fórmula do cálculo da amortização: A= C/t
Cálculo da Prestação: P= A + J
Calcular Juros: J1 = SD0 x i
Representações:
P: Valor da prestação
C: Valor do Capital (Entrada, aplicação inicial)
J: Juros
t: Prazo
i: Taxa de Juros
SD0: Saldo Devedor do período Anterior
Análise de Investimento
Semelhante ao Sistema de Amortização Francês, o SAF, a análise de investimento só se diferencia pelo fato de que as prestações não são constantes. Um dos conceitos importantes relacionados a esse assunto e que são muito importantes de serem estudados são: Taxa Interna de Retorno (TIR), Taxa Mínima de Atratividade (TMA) e Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual Líquido (VAL).
Taxa Interna de Retorno (TIR)
O TIR é definido como uma taxa de desconto sobre um futuro investimento, em que o Valor Presente do fluxo de caixa se iguala ao próprio investimento. O seu cálculo se dá por meio de um processo de tentativa e erro. O TIR também é utilizado como taxa de desconto quando os valores presentes do líquido do custo e dos retornos se igualam a zero. Outra característica é que é possível existir mais de uma taxa interna de retorno para determinado conjunto de fluxos de caixa. O investimento neste caso torna-se aceitável quando a taxa excede o retorno exigido, a chamada taxa de atratividade.
Taxa Mínima de Atratividade (TMA)
A TMA é um valor mínimo que o investidor está proposto a ganhar ao fazer um investimento, em se tratando de taxa de juros. Também representa o máximo que alguém se propõe a pagar ao fazer um financiamento.
Valor Presente Líquido (VPL)
O VPL também pode ser denominado como valor atual líquido (VAL), ou método do valor atual, e por meio de uma fórmula matemática, possui a propriedade de determinar o valor presente de desconto dos pagamentos futuros, com uma taxa de juros apropriada. O VPL só não determina o cuso do investimento inicial. Esse método é capaz, basicamente, de estipular o calculo de quanto os futuros pagamentos estaria valendo atualmente, somados a um custo inicial.
Taxa de Juros
A taxa de juros é representada pela letra "i" e tem uma unidade de tempo correspondente para cada resultado. Ela é um índice que determina o valor de um capital com base num período. Por exemplo, se em determinado período queremos saber a taxa de juros de uma cálculo financeiro devemos utilizar a fórmula:
ap = ao período de tempo ou
em percentual.
 
Geralmente, a taxa de juros é acompanhado por uma expressão que significa a periodicidade da taxa:
a.d. = ao dia
a.t. = ao trimestre
a.s. = ao semestre
a.m. = ao mês
a.q. = ao quadrimestre
a.a. = ao ano
Por exemplo, um capital de $ 2.000,00 rende juros de $ 30,00 em dois meses. Qual a taxa correspondente?
i = J/C → 30/2000,00 → 0,015 a.b. (ao bimestre) – forma unitária