matemática financeira

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Disciplina: Matemática financeira
Definição de Juros Simples
Os juros simples são uma taxa fixa que incide sobre o valor inicial do contrato durante o tempo combinado.
Pode-se definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo. Hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples.
No sistema de capitalização simples, os juros são calculados com base no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:
J = C * i * t
J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)
M = C + J
M = montante final
C = capital
J = juros
Exercícios
1- Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2% durante 10 meses?
Capital: 1200
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)
t = 10 meses
J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 10
J = 240
M = C + j
M = 1200 + 240
M = 1440
O montante produzido é de R$ 1.440,00.
2- Determine o valor do capital que, aplicado durante 14 meses a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.
J = C * i * t
2688 = C * 0,06 * 14
2688 = C * 0,84
C = 2688 / 0,84
C = 3200
O valor do capital é de R$ 3.200,00.
Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma taxa mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples?
M = C * [1 + (i *t)]
2C = C * [1 + (0,02 * t)]
2C = C * 1 + 0,02t
2C/C = 1 + 0,02t
2 = 1 + 0,02t
2 – 1 = 0,02t
1 = 0,02t
t = 1 / 0,02
t = 50
O tempo para que o capital aplicado a uma taxa mensal de 2% dobre é de 50 meses.
Juros compostos
Os juros compostos são recorrentes nas relações comerciais, nas compras parceladas a longo prazo, nos investimentos, nos empréstimos e até mesmo no simples atraso do pagamento de contas. O juros pode ser um aliado ou um vilão. É importante dominar os fatores que influenciam o seu cálculo, que são o capital, a taxa de juros, o tempo e o montante.
Ao comparar o juros composto com o juros simples, precisamos entender que o primeiro é calculado sempre sobre o valor do exercício anterior, já o segundo é calculado sempre em cima do valor inicial. O juros composto terá maior crescimento com o passar do tempo, em comparação com o juros simples.
O cálculo do juros composto é dado por esta fórmula:
M = C (1 + i)t
Cada uma dessas letras é um importante conceito da matemática financeira:
Capital (C): é o primeiro valor investido. Conhecemos como capital o valor inicial da negociação, ou seja, ele é o valor de referência para calcularmos os juros com o passar do tempo.
Juros (J): é o valor de compensação para o rendimento. Quando uma instituição financeira faz um empréstimo, ela está abdicando-se de estar com esse dinheiro em um determinado prazo, porém, quando ela for recebê-lo, seu valor será corrigido pelo que chamamos de juros, e é com base nele que a empresa vê uma compensação pelo empréstimo. Em um investimento, trata-se do valor dos rendimentos adquiridos.
Taxa de juros (i): é a porcentagem cobrada em cima do capital a cada instante. Essa taxa pode ser ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao bimestre (a.b.) ou ao ano (a.a.). A taxa de juros é uma porcentagem geralmente representada na forma percentual, porém, para calcular-se o juros composto, é importante escrevê-la sempre na forma decimal.
Tempo (t): é o tempo em que o capital ficará aplicado. É importante que a taxa de juros (i) e o tempo (t) estejam sempre na mesma unidade de medida.
Montante (M): é o valor final da transação. O montante é calculado pela soma do capital com os juros — M = C + J.
Exercícios
1- Um capital de R$1400 foi aplicado a juros compostos em um fundo de investimento que rende 7% a.a. Qual será o juros acumulado após 24 meses?
Resolução
Dados importantes: C = 1400; i = 7% a.a.; t = 24 meses.
Note que o tempo e a taxa estão em unidades diferentes, mas sabemos que 24 meses é igual a 2 anos, logo, t = 2 anos, e que a taxa precisa ser escrita na forma decimal, i = 0,07.
M = C (1 + i) t
M = 1400 (1 + 0,07)²
M = 1400 (1,07)²
M = 1400 . 1,1449
M = 1602,86.
Para encontrar o juros temos que:
J = M – C
1602,86 – 1400 = 202,86
Quanto tempo um capital de R$1500 aplicado a juros compostos, com taxa de 10% a.a, leva para gerar um montante de R$1996,50?
Resolução
Como t é uma potência, encontraremos uma equação exponencial que pode ser resolvida por fatoração ou, em muitos casos, só por logaritmo. Como nem sempre trata-se de números inteiros, o recomendado para esses problemas é que se use calculadora científica. No caso de vestibulares e provas de concurso, o valor do logaritmo é dado na questão.
Dados:
C = 1500 M = 1996,50 i = 10% = 0,01
M = C (1+i) ^t
1996,50 = 1500 x (1+0,1)^t
1996,50 = 1500 x 1,1 ^t
1996,50/1500 = 1,1^t
log1,331 = log1,1^t
log1,331 = t x log1,1
log1,331/log1,1= t
t = 3 anos
Os juros simples utilizam uma fórmula diferente da apresentada para os juros compostos:
J = C . i . t
Diferença entre Juros Simples e Juros Compostos
A diferença entre o comportamento dos juros simples e o dos juros compostos, a curto prazo, é bastante sutil, mas, no decorrer do tempo, os juros compostos são bem mais vantajosos.
Acontece que o juros simples é sempre calculado sobre o valor inicial da transação. Por exemplo, se você aplica R$500 com juros simples de 10 % ao mês, isso significa que todo mês aquele capital renderá 10 % de R$500, ou seja, R$50, independentemente do tempo que ele permanecer lá. O juros simples é comum para o atraso de contas, como de água e energia. A cada dia de atraso, a soma dá-se com um valor fixo calculado em cima da conta.
Já o juros composto, pensando no mesmo valor e na mesma taxa, no primeiro mês, seu rendimento é calculado em cima do valor anterior. Por exemplo, no primeiro mês, os 10% serão calculados em cima dos R$500, gerando R$50 de juros e um montante de R$550. No próximo mês, os 10 % serão calculados em cima do valor atual do montante, ou seja, 10 % de R$550, gerando um juros de R$55, e assim sucessivamente. Dessa forma, para investimentos, o juros composto é mais vantajoso. Ele é bastante comum exatamente nesse segmento de investimentos, como a poupança
Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3.000,00 de juros em 45 dias?
J = 3000
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015
t = 45 dias = 45/30 = 1,5
J = C * i * t
3000 = C * 0,015 * 1,5
3000 = C * 0,0225
C = 3000 / 0,0225
C = 133.333,33
O capital é de R$ 133.333,33.
Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre?
J = C * i * t
90 = C * 0,02 * 3
90 = C * 0,06
C = 90 / 0,06
C = 1500
O capital corresponde a R$ 1.500,00.
Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa aplicação.
Capital (C) = R$ 1.200,00
Tempo (t) = 14 meses
Taxa (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,02
Fórmula dos juros simples
J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 14
J = 336
Montante
M = C + J
M = 1200 + 336
M = 1536
O valor dos juros da aplicação é de R$ 336,00 e o montante a ser resgatado é de R$ 1.536,00.
Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de juros de 5% ao mês, gerou um montante de R$ 26.950,00. Determine o valor do capital aplicado. 
Montante (M) = R$ 26.950,00
Tempo (t) = 2 anos = 24 meses
Taxa (i) = 5% ao mês = 5/100 = 0,05
Para determinarmos o capital precisamos fazer a seguinte adaptação:
M = C + J
J = M – C
Substituindo na fórmula J = C * i * t, temos:
M – C = C * i * t
26950 – C = C * 0,05 * 24
26950 – C = C * 1,2
26950 = 1,2C + C
26950 = 2,2C
C = 26950/2,2
C = 12250
Portanto, o capital aplicado foi de R$ 12250,00.
Equivalência de Capitais 
Diz-se que dois capitais, com datas de vencimento determinadas,são equivalentes
quando, levados para uma mesma data, à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. É importante ressaltar que, no regime de juros compostos, dois conjuntos de obrigações equivalentes em uma determinada data o serão também em qualquer outra.
Então: “x” é equivalente a “y” se e
somente se:
y = x . (1+i)^n Capitalizando x
x = y / (1+i)^n Descontando y
Exercícios
José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 320,00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%.
Se o credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de:
Dados:
1,05^9 = 1,551328
1,05^5 = 1,276281
1,05^3 = 1,157625
Vamos representar o fluxo de caixa correspondente:
 
 980 320 420
0….1…..2…..3…..4….5…..6…..7…...8…..9…..10…..11…..12
A data 3 representa o final do terceiro mês. A data 7 representa o final do sétimo mês. A data 9 representa o final do nono mês. É preciso transportar todos estes valores para a data 12 (final do décimo segundo mês).
Começa pela primeira prestação da dívida de José. Ela deveria ser paga na data 3. Mas será paga na data 12, com nove meses de atraso. Portanto, a dívida aumentará, havendo incidência de juros de 5% ao mês (juros compostos).
Sempre que transportamos um valor para a direita (avançando no tempo), há juros.
O valor desta primeira prestação ficará:
M = C X (1+i)^n 
M= 980 X (1+0,05)^9
M = 980 X 1,55 = 1519
Dizemos que R$ 1.519,00, referente à data 12, corresponde a R$ 980,00, referente à data 3, considerando uma taxa de juros compostos de 5% ao mês.
Vamos para a segunda prestação da dívida de José. Ela deveria ser paga na data 7. Mas será paga na data 12, com 5 meses de atraso. Portanto, teremos juros compostos de 5% incidindo durante 5 meses.
Novamente, estamos avançando no tempo. Portanto, há incidência de juros.
Ficamos com:
M = C X (1+i)^n
M= 320 X (1+0,05)^5
M = 320 X 1,1276 = 408,32
Dizemos que R$ 408,32, referente à data 12, equivale a R$ 320,00, referente à data 7 (considerando uma taxa de 5% ao mês).
Por fim, temos a prestação de R$ 420,00, referente à data 9. Ela será paga na data 12, portanto, com três meses de atraso. Como estamos avançando no tempo, haverá juros que aumentarão o valor da prestação.
Seu valor fica:
M = C X (1+i)^n
M= 420 X (1+0,05)^3
M = 420 X 1,1158 = 486,36
Dizemos que R$ 486,36, referente à data 12, equivale a R$ 420,00, referente à data 9.
Pronto. Já passamos todos os pagamentos para a data 12. Já podemos somar todos eles.
O valor da dívida, ao final do décimo segundo mês (=data 12), considerando uma taxa de juros compostos de 5% ao mês, é:
1.519 + 408,32 + 486,36 = 2.413,68
Inflação
Qual o significado de inflação? Resumidamente, inflação significa o aumento do nível dos preços. Assim, um processo inflacionário ocorre quando sobe o valor de mercado de vários itens consumidos pela população, em geral. No mesmo sentido, a deflação acontece quando cai o preço dos itens.
A inflação é um conceito econômico que representa o aumento persistente e generalizado do preço de uma cesta de produtos em um país ou região durante um período definido de tempo. Se, por exemplo, uma cesta de produtos custa R$ 100 reais em julho e passa a ser vendida por R$ 150 reais em agosto, verifica-se uma inflação de 50% no mês. Ela também representa a queda do poder aquisitivo do nosso dinheiro em relação a elevação dos preços de bens e serviços. Quando a inflação está em um nível muito baixo, ocorre a estabilização dos preços, e assim, o valor dos produtos não aumenta.
Fator de Correção
O Fator de Correção (FC) é, basicamente, a diferença entre o peso bruto, ou seja, o alimento na forma como compramos, e o peso líquido, que se trata dele já limpo e preparado para utilizar nas receitas. O cálculo do FC é necessário apenas nos casos de alimentos que temos essa perda parcial no peso como acontece, por exemplo, com as frutas, legumes, verduras ou carnes. Portanto, o ideal é calculá-lo antes de comprarmos esses de ingredientes para saber a quantidade real que será necessário adquirir.
Taxa Real de inflação
A taxa de juros real é a taxa nominal descontada da inflação. A taxa de juros real mede a rentabilidade de seus investimentos, já descontando a inflação. Por isso ela é real: pois reflete o quanto de dinheiro você realmente ganhou com uma determinada operação.
Para encontrar o juro real, basta descontar o percentual da inflação sobre a taxa de juros nominal do investimento.
A taxa real é calculada com base em uma fórmula que considera a taxa nominal e a inflação como variáveis. A representação matemática é essa:
(1 + in) = (1 + r) * (1 + j)
Na fórmula, temos:
in = taxa de juros nominal
r = taxa de juros real
j = inflação do período
Exercícios
1- suponha que recebeu a encomenda de um bolo de abacaxi e na receita consta que precisará de 500 gramas da fruta, portanto você comprou um abacaxi que pesava exatamente o que estava sinalizado na receita, porém, após descascá-lo e colocá-lo na balança, ficou apenas com 400g. Isso significa que não foi levado em consideração o peso líquido (400g) e sim o peso bruto (500g).
 
Neste caso, o fator correção é 1,25, resultado obtido através do seguinte cálculo:
 
peso bruto (500g) dividido pelo peso líquido (400g), ou seja,
 
500/400=1,25.
 
Assim conseguimos identificar então que na verdade seria necessário comprar um abacaxi que pesasse, no mínimo, 625g, (500g x 1,25). Portanto, em situações onde há perda parcial do item, considere a quantidade da receita x Fator de Correção e assim terá a quantidade a ser adquirida.
2- ao limparmos 1000g de maçã, vamos obter cerca de 800g de polpa e 200g de cascas, talos e sementes. Neste caso, temos:
PB = 1000g
PL = 800g
Portanto: 
FC = 1000 / 800; FC = 1,25.
3- Digamos que você invista R$ 10 mil durante o prazo de 2 anos, com um rendimento de 21%. No mesmo período, a inflação foi de 8,5%. Dessa forma, temos:
(1+0,21) = (1+r) * (1+0,085)
1+r = 1,21 / 1,085
1+r = 1,11
r = 1,11 – 1
r = 0,11
Assim, a taxa de juros real do investimento foi de 11%, ou seja, o investidor aumentou o seu poder de compra em 11%.
Vamos tentar novamente, mudando as variáveis.
Se você depositou R$ 10 mil na poupança, durante o período de 12 meses, e ao final resgatou o valor de R$ 10.350,00, qual sua taxa de juros real?
Primeiro, vamos descobrir o juro nominal dessa operação. Para isso, vamos pegar a rentabilidade e dividir pelo valor investido.
350 / 10000
Taxa de juro nominal = 3,5%
No mesmo período, a inflação fechou em 4,1%.
A taxa real será, portanto:
(1+0,0,035) = (1+r) * (1+0,041)
1+r = 1,035 / 1,041
r = 0,99 – 1
r = – 0,57%
A taxa negativa informa que o rendimento não só não contribuiu para o aumento de patrimônio do investidor, como também não cobriu todo o prejuízo causado pelo aumento da inflação.
2- Um banco, ao realizar um empréstimo, oferece taxas pré-estabelecidas, emprestando R$ 10 000,00 receberá, no prazo máximo de um ano, o valor de R$ 13 000,00. Se a inflação do período foi de 3%. Determine a taxa real de juros do empréstimo?
Calculando a taxa nominal de juros
13 000 – 10 000 = 3 000
3 000 / 10 000 = 0,3 → 30%
Taxa nominal (in) = 30%
Determinando a taxa real de juros utilizando a expressão (1 + in) = (1 + r) * (1 + j).
in = 30% = 0,3
j = 3% = 0,03
r = ?
(1 + 0,3) = (1 + r) * (1 + 0,03)
1,3 = (1 + r) * (1,03)
1,3 = 1,03 + 1,03r
1,3 – 1,03 = 1,03r
0,27 = 1,03r
r = 0,27/1,03
r = 0,2621
r = 26,21%
A taxa real de juros do empréstimo é de aproximadamente 26,21%.
Sistemas de amortização
Quando uma pessoa ou empresa toma um valor emprestado, faz um financiamento ou adquire uma dívida, ela passa a deverao credor não apenas o montante inicial. Os valores referentes aos juros acumulados durante o período da transação são acrescentados ao capital inicial. Assim, o saldo devedor passa a ser capital + juros.
Para que a dívida seja totalmente paga, o tomador deve quitar o montante inicial adicionado aos juros acrescidos. A forma como o valor total do saldo devedor será calculado é definida de acordo com o sistema de amortização aplicado. Ele caracteriza como a dívida vai ser diminuída até chegar a sua total liquidação.
SAC – Sistema de Amortização Constante: aqui, como o nome bem fala, a sua amortização é constante, onde iremos pagar um valor de juros até o final do financimento
Price ou Sistema de Amortização Francês: neste o que é constante é o valor das parcelas, que são de mesmo valor
Sistema de Amortização Crescente: aqui, a amortização cresce e os juros acabam diminuindo
Sistema de Amortização Americano: A principal característica dessa forma de amortização é que o montante a ser pago será maior do que todos os outros sistemas.
Price ou Sistema de Amortização Francês
Essa conhecida também como Tabela Price, é muito comum no nosso dia a dia, principalmente quando a gente vai financiar um carro, até porque ela é melhor para o banco. 
É conhecida de duas maneiras pois é uma prestação constante, o que é tudo a mesma coisa. Se você financiar um automóvel em 24 vezes fixas, este é um financiamento via Tabela Price, que é a mais utilizada no Mercado Financeiro.
Anote aí: sempre quando falamos de parcelas iguais, estamos falando de Tabela Price.
Neste modelo, as amortizações são crescentes e os juros por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes – na verdade isso ocorre em basicamente todas as amortizações, menos a do Sistema Americano. O valor da amortização cresce e o valor dos juros diminui ao longo do tempo onde a soma dos juros e amortização será sempre a mesma.
SAC – Sistema de Amortização Constante
Esse é o primeiro Sistema de Amortização e como já falei ali em cima, neste modelo o valor da amortização é sempre o mesmo. Sendo que, para obter o valor da amortização precisamos apenas dividir o valor do saldo devedor pelo número de parcelas.
Muito fácil, não é? Se possuímos um empréstimo de R$100.000,00 para pagar em 10 prestações, nosso cálculo ficará desta maneira: 100.000,00 / 10 = 10.000,00. Logo, R$10.000,00 será o valor da nossa amortização. 
Assim, dividindo o valor da dívida pelo prazo!
Agora, é importante você lembrar que os juros incidem sobre o saldo devedor, que diminui com as amortizações. Dessa maneira, você pode concluir que o valor da parcela também reduz durante o tempo.