Cap 30 - Slides Young and Freedman

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Capítulo 30 - Indutância
Indutância
No capítulo anterior vimos que uma variação no campo magnético pode induzir uma fem em um condutor
Uma corrente variável em um condutor gera um campo magnético variável e pode induzir fem em outro condutor
Na verdade ele pode induzir uma fem nele mesmo também
Indutância Mútua
Indutância mútua
Considerando 2 solenóides longos coaxiais
Os solenóides tem comprimento l e raios R1 (interno) e R2 (externo)
O de dentro tem N1 espiras enroladas e o de fora N2
Ao fazer passar uma corrente i1 no solenóide interno, surge um campo magnético
Indutância mútua
n1 é o número de espiras por comprimento
Ao variar a corrente i1, o campo magnético também varia
Varia o fluxo magnético através do solenóide externo…
Indutância mútua
Fluxo através de cada espira do solenóide externo
Através das N2 espiras
dA
Indutância mútua
Vemos que o fluxo é proporcional a corrente
Onde definimos a constante de proporcionalidade
Indutância mútua
Fazendo o contrário, passa uma corrente i2 no solenóide externo
Surge um campo
O fluxo através de cada espira do solenóide interno
Através das N1 espiras
Indutância mútua
Mais uma vez, fluxo é proporcional
a corrente
A constante de proporcionalidade é a mesma nos 2 casos!
Por isso chamamos apenas de M 
Indutância Mútua
Vemos que 
Serão as fem induzidas nos solenóides devido à variação da corrente no outro
Chamamos M de indutância mútua
Unidade do SI: H (Henry)
Indutância Mútua
Pode-se mostrar que para quaisquer 2 circuitos continuam valendo as expressões para indução na forma
O sinal de menos vem da Lei de Lenz
O valor de M depende apenas da geometria e determina quanto será a fem induzida em um circuito a partir da variação da corrente em outro circuito
É preciso cuidado para minimizar M se não queremos induzir ε
O transformador utiliza o princípio da indutância mútua para alterar a voltagem
Auto-indutância
Auto-indutância
Tratando o mesmo sistema com os 2 solenóides
Uma corrente variável que passa pelo solenóide 1 também vai induzir uma fem nele mesmo!
O fluxo magnético em cada espira do solenóide interno devido a i1 será
E o fluxo total
Mais uma vez é proporcional a corrente
Definimos 
Auto-indutância
Portanto
Chamamos L1 de auto-indutância do solenóide pois nos diz quanto de fem é induzida no circuito devido a uma variação na sua própria corrente
L também depende apenas da geometria
Analogamente
Onde L2 é a auto-indutância do solenóide externo
Indutores
A fem induzida será sempre contrária à variação do fluxo magnético (Lei de Lenz)
Se aumentamos a corrente (di/dt>0) o indutor vai atuar de maneira a diminuir esse aumento
E vice-e-versa
Os indutores são usados em circuitos de maneira a tornar mais difícil a mudança da corrente, suprimindo variações indesejadas
Induância mútua + auto-indutância
No caso dos 2 solenóides coaxiais, se variamos tanto i1 quanto i2, teríamos
A variação na corrente em cada um dos solenóides induz fem nele próprio e no outro solenóide
Exemplo
Um cabo coaxial longo, de comprimento l é constituído por um fio de condutor cilíndrico de raio a envolvido por uma capa cilíndrica condutora de raio b (separados por um isolante, onde podemos calcular B como no vácuo). Uma corrente i é transmitida axialmente ao longo do condutor interno (aponta para fora na figura) e retorna pelo externo. Qual a auto indutância do cabo coaxial?
Exemplo
Simetria cilíndrica
Campo só pode depender de ρ
Na verdade (usando uma gaussiana cilíndrica e uma amperiana retangular) 
Exemplo
Escolhendo uma amperiana circular de raio r (a<r<b)
Para encontrar a autoindutância precisamos calcular o fluxo magnético na região entre os condutores
Exemplo
Já que b>>a podemos desprezar o fluxo contido no fio interno e na capa
O fluxo através do retângulo AA’D’D nos dará a fem induzida entre os condutores
Exemplo
Já que b>>a podemos desprezar o fluxo contido no fio interno e na capa
O fluxo através do retângulo AA’D’D nos dará a fem induzida entre os condutores
A
A’
D’
D
l
dr
Exemplo
Lembrando que o fluxo é dado por
A autoindutância do cabo coaxial será
A
A’
D’
D
Energia Magnética
Energia Magnética
Ao tentar aumentar a corrente através de um indutor, surge uma fem que se opõe a esse aumento
Num instante temos uma corrente i no indutor
Para aumentar o fluxo de dΦB em um intervalo infinitesimal dt, é preciso fornecer uma potência:
 (fem é o trabalho por unidade de carga)
A energia que precisa ser fornecida para levar a corrente de 0 a I será
Energia magnética
É a energia armazenada em um circuito de auto-indutância L, atravessado por uma corrente I
Quando a corrente se estabiliza (di/dt=0dΦB/dt=0) não é preciso fornecer mais energia ao indutor
Ao desligar a corrente (ela diminui abruptamente) o indutor atua pra contrariar essa diminuição e libera a energia armazenada
Energia magnética
Um resistor sempre dissipa energia (Efeito Joule)
Já um indutor armazena energia enquanto a corrente é aumentada
Essa energia é liberada ao diminuirmos a corrente (atua analogamente a uma mola)
Por isso, o símbolo de um indutor em circuitos
Densidade de Energia Magnética
Pensando no indutor como um solenóide longo
A é a área da seção reta e l o comprimento
Definimos densidade de energia magnética por unidade de volume
Volume dentro do solenóide
Densidade de energia magnética
Portanto
Válido para qualquer situação
A energia está armazenada no campo magnético!
Vimos que a energia também está armazenada no campo elétrico
Se temos campos E e B no espaço, a densidade de energia eletromagnética será