Gravitação - Livro Texto - Unidade II

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Unidade II
Unidade II
5 ÓRBITA PLANETÁRIA
5.1 Leis de Kepler
O próximo passo de Newton foi usar a sua teoria da gravitação para explicar e deduzir as órbitas 
dos planetas ao redor do Sol. As leis que regem esses movimentos haviam sido obtidas anos antes por 
meio de um longo trabalho de observação astronômica e análise de dados, realizado pelo astrônomo 
alemão Johannes Kepler. Além dos informes coletados por ele mesmo, Kepler dispunha de uma extensiva 
coleção de resultados de observações feitas por um astrônomo da época, Tycho Brahe, que havia morrido 
precocemente anos antes. 
5.1.1 Primeira lei de Kepler
Como resultado da análise dos dados de posicionamento dos planetas, Kepler buscou ajustar uma 
série de possíveis trajetórias para descrever o movimento dos planetas ao redor do Sol. Após muitos 
insucessos, verificou que uma elipse se ajustava perfeitamente à órbita de Marte quando o Sol era 
colocado sob um dos focos. Assim, Kepler supôs que todos os outros planetas realizavam o mesmo tipo 
de órbita, enunciando: “As órbitas dos planetas são elipses com o Sol localizado em um dos focos”. 
Essa lei também é conhecida como lei das órbitas. Uma elipse é uma linha curva fechada que 
corresponde a um corte transversal de uma superfície cônica, realizado por um plano inclinado em 
relação à base desse cone. Se o plano do corte for paralelo à base, então a curva resultante é uma 
circunferência, que pode ser considerada um caso particular de uma elipse.
Cone duplo Circunferência Elipse Parábola Hipérbole
Figura 28 – Secções cônicas
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Outra definição equivalente de uma elipse é que ela é a curva fechada para a qual a soma das 
distâncias de cada um de seus pontos (até dois pontos) em seu interior é constante. Esses dois pontos 
no interior da elipse são os focos. Em outras palavras, na figura a seguir, se as posições X e Y são duas 
possíveis posições de um planeta em sua órbita ao redor do Sol, sendo essa órbita uma elipse, devemos 
ter a+b=c+d. 
Y
X
C
d
a
b
F1F2
Figura 29 – Órbita elíptica destacando os focos da elipse
Para desenhar uma elipse, podemos realizar o seguinte procedimento: fixam-se dois pregos em uma 
placa de madeira, em seguida, pegamos um barbante e amarramos suas pontas. Colocamos, então o 
barbante já amarrado em volta dos dois pregos e a seguir uma caneta dentro da curva fechada pelo 
barbante. Esticamos o barbante puxando a caneta o mais distante possível dos pregos, sem rabiscar 
a placa. Por fim, riscamos a placa mantendo o barbante esticado até obter o desenho de uma curva 
fechada. Essa curva será uma elipse e os dois pregos serão os focos dessa elipse.
Quanto mais distantes os pregos estiverem um do outro, maior será a excentricidade da elipse, ou 
seja, mais achatada está será. Se os pregos estiverem próximos, então a elipse terá uma excentricidade 
menor e será mais parecida com uma circunferência. No caso limite em que um prego foi pregado 
em cima do outro (o que é equivalente a ter um único prego), então a curva desenhada será uma 
circunferência. Portanto, uma circunferência é uma elipse de excentricidade zero e também é uma 
possível órbita planetária de acordo com a primeira lei de Kepler.
5.1.2 Segunda lei de Kepler
Esta lei afirma que o movimento dos planetas ao longo de suas órbitas elípticas se dá de tal forma 
que uma linha imaginária que conecte o planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
Isso significa que a razão entre a área varrida pela linha conectando um planeta ao Sol e o tempo que 
essa área leva para ser varrida é uma constante. Essa razão se chama velocidade areolar e a expressão 
matemática da lei enunciada pode ser escrita como:
∆
∆
∆
∆
A
t
A
t
constante1
1
2
2
= =
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A1
A2
t1
t2
A1 = A2 se t1 = t2
Figura 30 – Áreas varridas em diferentes intervalos de tempo
Para que áreas iguais sejam varridas em intervalos de tempos iguais, a segunda lei estipula que as 
velocidades dos planetas são maiores quando estes se localizam em posições mais próximas do Sol. Isto 
é explicado devido à maior força de atração gravitacional nesses casos.
5.1.3 Terceira lei de Kepler
A terceira lei de Kepler, cuja conclusão custou a ele quase uma década de trabalho, diz que a razão 
entre os quadrados dos períodos de revolução de diferentes planetas ao redor do Sol é igual à razão 
entre os cubos das distâncias médias até o Sol desses mesmos planetas.
A expressão matemática dessa lei pode ser escrita da seguinte maneira:
T
R
T
R
constante1
2
1
3
2
2
2
3= =
Assim, isso vale para qualquer par de planetas orbitando o Sol.
T2
T1
R2
R1
Figura 31 – Dois planetas com períodos de revolução e raios médios das órbitas diferentes
Embora as leis de Kepler tenham sido elaboradas considerando o movimento orbital dos planetas, 
devemos notar que elas valem para o movimento orbital de corpos quaisquer. Por exemplo, a órbita 
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da Lua ao redor da Terra deve seguir as duas primeiras leis de Kepler. Então, essa órbita deve ser uma 
elipse com a Terra em um dos focos e ela deve ter uma velocidade areolar constante. Se houver outros 
satélites, mesmo que sejam artificiais e em órbita ao redor da Terra, da mesma maneira, a terceira lei 
deve ser respeitada de modo a estabelecer uma relação entre os períodos de revolução e os raios médios 
das órbitas desses diferentes objetos. O mesmo vale, por exemplo, para as luas de Júpiter ou de Saturno, 
bem como para os planetas em órbita ao redor de outras estrelas no Universo.
Exemplo de aplicação
Dados os semieixos das órbitas dos planetas, calcule o tempo de revolução de Saturno (equivalente 
ao ano neste planeta). 
O UA representa o que chamamos de unidades astronômicas, assim 1 UA é igual à distância média 
da Terra ao Sol. 
Planeta Semieixo * (UA)
Terra 1
Marte 1,524
Vênus 0,723
Saturno 9,539
Fonte: Stern (2005).
Calcularemos aqui o período de revolução referente a Saturno. Os resultados para os demais planetas 
são apresentados ao fim, mas deixados como exercícios para você.
Sabe-se que o período de revolução da Terra é de 1 ano = 365,25 dias (365 dias mais 6 horas). A 
partir da terceira lei de Kepler, também é notório que a razão dada a seguir é constante.
T
R
const
2
3 =
Desse modo, substituindo as informações conhecidas para a Terra, T = 1 ano e R = 1 UA, calculamos 
o valor da constante. 
1
1
1
2
3 =
=
const
const
Conhecendo o valor da constante, podemos utilizá-la para outros planetas. A substituição na terceira 
lei de Kepler nos fornece a seguinte equação:
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T
R
const
T
R
T R
2
3
2
3
2 3
1
=
=
=
No caso de Marte, substituindo o valor do semieixo, teremos:
T
T
T
2 3
2
9 539
867 98
29 46
=
=
=
,
,
, anos = 29,46 x 365,25 dias = 107660,8 dias
Isso significa que um ano em Saturno levará 10.760,8 dias.
Planeta Tempo de revolução (anos)
Terra 1
Marte 1,8813
Vênus 0,6148
Saturno 29,46
Fonte: Stern (2005).
 Observação
Neste exemplo aplicaram-se a distância e o período da Terra como 
unidadede medida astronômica, mas poderiam ter sido utilizados valores 
absolutos sem qualquer problema.
5.2 A concordância entre a teoria da gravitação de Newton e as leis de Kepler
No início de seus estudos, Newton considerou de modo simplificado que o movimento da Lua ao 
redor da Terra tinha uma configuração aproximadamente circular. Essa concepção permitiu a ele derivar 
a forma elementar da lei da gravitação, conforme apresentamos neste livro-texto. Após esse primeiro 
passo, porém, ele teve que provar que sua lei da gravitação estava de acordo com as leis de Kepler, de 
modo que as órbitas planetárias fossem elipses com o Sol em um dos focos. 
As noções de cálculo destacadas aqui não são suficientes para descrever todos os detalhes da 
demonstração matemática de Newton para as duas primeiras leis de Kepler. No entanto, podemos 
explicar qualitativamente a ideia envolvida nessa demonstração.
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Na figura a seguir, indica-se a trajetória de um planeta ao redor do Sol cuja forma, a princípio, é 
desconhecida, mas que deveria ser obtida em concordância com a lei da gravitação de Newton. Para 
movimentos orbitais em um plano, é conveniente descrever a posição do planeta por um sistema de 
coordenadas (r,q), contendo sua distância r medida a partir do Sol e o ângulo q entre a linha que une 
esse planeta ao Sol e a horizontal.
A taxa de variação da posição do corpo com o tempo está relacionada com a derivada dessas 
coordenadas com respeito ao tempo, ou seja, �r medindo a taxa de variação da distância r e �θ medindo 
a taxa de variação da posição angular q do planeta.
q
r
Fn
Ft
F
Figura 32 – Decomposição da força gravitacional e sistema de coordenadas na órbita elíptica
Além disso, de acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração é proporcional à força que atua 
sobre o planeta e está relacionada com as derivadas segundas de r e q, ou seja, com ��r e ��θ.
A força gravitacional, segundo Newton, está associada com a distância r do planeta até o Sol 
pela fórmula:
F
GMm
r
= 2
Essa força pode ser decomposta em uma componente Ft tangencial à trajetória e outra componente 
Fn perpendicular a ela. Cada um deles possui também sua respectiva relação com as coordenadas r e q.
F=ma, expressão que representa a força da lei da gravitação universal exposta, já decomposta 
apropriadamente, pode ser usada para escrever equações que relacionam as coordenadas r e q com suas 
derivadas primeiras e segundas. Nessas equações, as incógnitas são as formas matemáticas de r e q em 
função do tempo. Em cálculo, esse tipo de equação é chamado de equação diferencial. Após resolver 
essas equações, é preciso combinar as funções r(t) e q(t) encontradas de modo a eliminar a variável t. 
Fazendo isso, a expressão matemática encontrada é a equação de uma elipse escrita em termos de r e 
q. Além disso, analisando a taxa de variação no tempo dessas coordenadas, é possível concluir também 
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que a velocidade areolar é constante. Logo, pode-se afirmar que a lei da gravitação universal de Newton 
é uma teoria matematicamente compatível com as duas primeiras leis de Kepler. 
A compatibilidade com a terceira lei de Kepler é mais simples de se demonstrar, pelo menos se 
considerarmos as órbitas planetárias aproximadamente circulares. Essa consideração não é tão absurda 
assim, uma vez que a excentricidade das elipses dessas órbitas é bem pequena para a maioria dos 
planetas. Vimos anteriormente que a aceleração centrípeta em um movimento circular é igual a v2/R, 
onde v é a velocidade do corpo tangencial à trajetória circular e R é o raio da órbita. De acordo com 
a segunda lei de Newton, o produto dessa aceleração pela massa do corpo deve ser igual à força de 
atração gravitacional. Então, podemos escrever:
F m a
GMm
R
m
v
R
=
=
.
.
2
2
Além disso, o comprimento da circunferência descrita é igual a 2pR, que corresponde ao espaço 
percorrido em um tempo igual ao período T de uma revolução completa. A velocidade v pode ser escrita 
como:
v
R
T
=
2pi
Substituindo na expressão obtida previamente, temos:
GMm
R
m
R
T R2
2 2
2
4
= .
pi
Que pode ser simplificada cortando uma série de termos dos dois lados da equação. Após isso, a 
equação se reduz a:
T
R GM
2
3
24
=
pi
Essa é exatamente a expressão matemática da terceira lei de Kepler – a constante que lá aparece, 
aqui é especificada em termos do produto GM.
Uma versão mais elaborada da demonstração anterior permite provar a validade dessa mesma lei 
também para o caso de órbitas elípticas.
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5.3 O movimento de precessão
Tendo resolvido o problema de como as forças da gravitação atuam na órbita dos planetas e da 
Lua, Newton passou a estudar a influência que a Lua e o Sol exerciam no movimento da Terra ao redor 
de seu próprio eixo. Ele percebeu que, por causa da forma do globo terrestre, denominado geoide, a 
Terra deveria apresentar outro movimento, o de precessão. A configuração da Terra, decorrente de sua 
formação junto com o Sistema Solar, é de uma elipsoide relativamente tombada. De fato, a Terra não é 
uma esfera perfeita, sendo um pouco achatada em seus polos. O ângulo constituído entre seu eixo de 
giro e a vertical é de aproximadamente 23º.
N
23º
S
Figura 33 – Ilustração da forma do globo terrestre. Note a elipsoide 
achatada nos polos Norte e Sul
O raio da Terra é cerca de 20 km maior no Equador do que nos polos. Como consequência, a 
aceleração de queda dos corpos nas regiões polares é aproximadamente 0,3% maior do que na região 
equatorial. Podemos imaginar que a Terra é composta de duas partes. A primeira é uma esfera perfeita, 
e a segunda é como se fosse uma capa envolvendo a esfera perfeita, que é ligeiramente mais grossa 
na região do Equador. 
Enquanto as forças gravitacionais do Sol e da Lua atuam sobre a parte perfeitamente esférica como 
se toda a massa estivesse concentrada em seu centro, essas mesmas forças agindo sobre a capa externa 
não se equilibram exatamente. 
N
S
23º
Figura 34 – Ilustração das forças gravitacionais envolvidas 
que promovem o movimento de precessão da Terra
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Por conta disso, um torque é verificado, promovendo a tendência de girar o eixo de rotação da Terra. 
Então, vem à luz a seguinte questão: por que o eixo de rotação da Terra não vira completamente sob a 
ação dessas forças? 
Para responder a essa pergunta, devemos perceber que o nosso planeta é como um todo, similar a 
um gigantesco pião girando.
Quando lançamos um pião dando a ele um movimento de rotação suficientemente rápido, 
o pião não cai e, mesmo que pareça que ele poderia cair por estar inclinado, é capaz de manter 
sua inclinação em relação ao chão. O seu eixo de rotação, no entanto, descreve um movimento 
em forma de cone ao redor da direção vertical. O pião só cai quando o atrito entre a ponta dele 
e o chão faz com que a velocidade do movimento de rotação diminua. É claro que, no caso da 
Terra, não existe uma ponta e muito menos um chão em que ela esteja apoiada. A Terra move-se 
livremente no espaço e, por isso, o movimento de rotação dela não é retardado, logo seu eixo de 
rotação não se inverte completamente.
Figura 35 – Movimentos de precessão e rotação de um pião
Ainda assim, devemos notar que o eixo derotação da Terra é ligeiramente inclinado em relação ao 
plano da órbita dela ao redor do Sol. Essa inclinação é de cerca de 23º e é responsável pela ocorrência 
de dias mais curtos ou mais longos dependendo da época do ano e do hemisfério. Isso é justamente o 
que faz surgir as estações do ano. As diferentes estações do ano ocorreriam sempre nos mesmos dias 
e meses se a inclinação do eixo de rotação da Terra se mantivesse constante. Entretanto, assim como 
no caso do pião, o eixo de rotação da Terra também realiza um movimento de giro que varre uma 
superfície em forma de cone. O período desse giro, porém, é por volta de 26 mil anos, que é um tempo 
consideravelmente longo, se comparado com a vida humana. Todavia, sabendo disso, podemos afirmar 
que na metade desse tempo, portanto daqui a aproximadamente 13 mil anos, o verão no hemisfério sul 
da Terra irá começar no mês de junho, e não mais em dezembro.
O nome dado a esse movimento de giro do eixo de rotação da Terra é precessão dos equinócios 
ou simplesmente precessão. Esse fenômeno não é exclusividade da Terra, mas algo comum a corpos 
que giram. No caso da Terra, a precessão é causada pelo efeito combinado da influência gravitacional 
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do Sol e da Lua. Embora o movimento de precessão da Terra já tivesse sido descoberto por Hiparco 
no século II a.C., foi somente com a formulação da teoria da gravitação universal por Newton que ele 
pôde ser explicado.
 Saiba mais
Para melhor visualização do movimento de precessão da Terra, acesse: 
SIMMON, R. Orbital precession. Nasa, 2016. Disponível em: <http://
earthobservatory.nasa.gov/IOTD/view.php?id=541>. Acesso em: 28 nov. 2016.
6 O FENÔMENO DAS MARÉS 
Outra importante influência do Sol e da Lua sobre a Terra é a alteração diária em sua forma causada 
pelo fenômeno das marés. Newton percebeu que o movimento de subida e descida do nível dos oceanos 
resultava das forças gravitacionais produzidas pelo Sol e pela Lua, sendo a da Lua consideravelmente 
maior, pois, apesar de ser muito menor, fica muito mais próxima da Terra.
A intensidade da força gravitacional depende da distância. Desse modo, a atração exercida pelo Sol 
e pela Lua é maior no lado da Terra exposto a esses corpos. De fato, no lado da Terra que está exposto à 
Lua, o nível da água é mais alto.
Ao contrário do que se pode imaginar, no lado oposto da Terra, ou seja, aquele que não fica exposto 
ao Sol ou à Lua, uma maré alta também ocorre. Isso pode parecer contraintuitivo à primeira vista, pois 
daria a impressão de que as águas estão se movendo em sentido oposto ao da atração gravitacional, 
mas trata-se de um fenômeno previsto. Para explicar isso, devemos discutir alguns detalhes da dinâmica 
do movimento do sistema Sol-Terra-Lua.
Se a Lua ficasse fixa em uma mesma posição, digamos no topo de uma grande torre erguida 
em algum lugar da Terra, ou então se a própria Terra ficasse parada em algum ponto da sua órbita 
ao redor do Sol, as águas dos oceanos acabariam se concentrando em um único lado do planeta 
e acabaria ocorrendo um aumento no nível dos oceanos de um lado e uma diminuição do outro 
lado. Contudo, como a Lua gira ao redor da Terra e a Terra gira ao redor do Sol, a situação geral 
é bem diferente.
Vamos considerar primeiro o efeito sobre as marés devido ao Sol. Sendo a Terra um corpo rígido, 
a velocidade linear do lado da Terra que está voltado para o Sol é menor do que a velocidade 
linear do centro da Terra, que, por sua vez, é menor que a velocidade do lado oposto. Por outro 
lado, de acordo com a terceira lei de Kepler, sabemos que o período da órbita de um objeto deve 
aumentar à medida que a distância até o Sol aumenta. Um período maior, por sua vez, resulta em 
uma velocidade linear menor. Então, esperaríamos que, quanto maior à distância até o Sol, menor 
a velocidade.
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De fato, o ponto da Terra que está mais próximo do Sol tem uma velocidade menor do que aquela 
que seria necessária para mantê-lo em órbita, então ele acaba apresentando uma tendência a cair 
na direção do Sol. Já o lado oposto da Terra tem uma velocidade maior do que a permitida para 
conseguir fazer a curva e fechar uma órbita. Por isso, ele possui a tendência de ser jogado para fora, 
para longe do Sol.
Sol
F1
v1
vC
v2
F2
r
v ↑ se r ↑
Terra
Figura 36 – Influência gravitacional do Sol nas marés
Esse efeito promove forças em sentidos opostos sobre a crosta terrestre e tenderia a dividir a Terra 
toda em pedaços. Caso isso ocorresse, ela formaria um disco no plano da órbita ao redor do Sol. Isso não 
acontece, porque a força gravitacional que atrai as partes da Terra umas em direção às outras é mais 
intensa do que a tendência resultante do movimento da Terra ao redor do Sol. Embora o planeta não se 
parta em pedaços, ele acaba expressando um alongamento na direção radial que passa pelo Sol e pelo 
centro da Terra.
Considerando o efeito das marés devido à Lua, o argumento é exatamente o mesmo. Para 
perceber isso, devemos observar que tanto a Terra quanto a Lua na verdade giram ao redor do 
centro de massa de ambos os corpos. É claro que, como a massa da Terra é muito maior do que a 
massa da Lua, esse centro de massa fica mais próximo do centro da própria Terra do que da Lua. 
A massa da Terra é cerca de 80 vezes maior do que a da Lua, logo a posição do centro de massa 
do sistema Terra-Lua fica a 1/80 da distância entre o centro da Terra e o centro da Lua. Sendo a 
distância entre o centro da Terra e o centro da Lua igual a 384.400 km, o centro de massa entre 
a Terra e a Lua fica a cerca de 4.700 km de distância do centro da Terra. Assim, se pensarmos no 
movimento de giro da Terra ao redor desse centro de massa, o mesmo efeito que ocorre devido ao 
movimento da Terra ao redor do Sol deve ocorrer, levando a Terra a ficar mais alongada na direção 
que une o centro dela ao centro da Lua.
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Terra
Lua
Centro de massa (CM) 
do sistema Terra-Lua
Órbita da Tera 
ao redor do CM
Órbita da Lua 
ao redor do CM
Figura 37 – Influência gravitacional da Lua nas marés
Por causa disso, quando a Terra, o Sol e a Lua estão localizados ao longo de uma mesma linha, o 
que corresponde aos períodos de Lua Cheia ou Lua Nova, os efeitos das marés devido ao Sol e à Lua se 
combinam, tornando as marés as mais altas possíveis. Por outro lado, durante os períodos de Quarto 
Crescente e Quarto Minguante, as regiões de maré alta devido à Lua coincidem com as regiões de maré 
baixa por causa do Sol, resultando em um efeito compensatório, que causa marés baixas.
Como a Terra não é um corpo perfeitamente rígido, as forças de maré deformam o planeta de modo 
contínuo. Entretanto, as alterações que ocorrem nas partes sólidas da Terra são consideravelmente 
menores do que aquelas que atuam sobre a camada de água líquida que a envolve. De fato, a cada 
período de 12 horas, a superfície sólida da Terra é modificada a tal ponto que sua largura varia cerca de 
meio metro, enquanto a altura da superfície líquida varia de 2 a 3 metros nesse mesmo período. Como 
nós vivemos sobre as partes do planeta cuja superfície não está coberta por água, é difícil perceber 
uma oscilação de altura tão pequena em relação ao tamanho do planeta, mas mesmo assim notamos a 
diferença da altura da superfície da água. Esta, por sua vez, corresponde apenas à disparidade entre o 
movimento da parte coberta de água e da parte não coberta.
O movimento de rotação da Terra e as correntes de ventoexistentes em nosso planeta também 
produzem movimento nas marés oceânicas, compondo as correntes oceânicas. Esse movimento, 
entretanto, experimenta a ação de forças de atrito com o fundo do mar. Isso ocorre especialmente em 
regiões de águas mais rasas, como no Estreito de Bering. Além disso, a colisão dos mares com as linhas 
costeiras transfere parte da energia cinética dos mares. Como resultado da dissipação de energia dos 
mares, a velocidade de rotação da Terra é ligeiramente reduzida, de modo similar ao que ocorre com as 
rodas de um automóvel quando os freios são acionados. Se compararmos essa perda de energia diária 
com a energia total associada à rotação da Terra, é possível concluir que o movimento de rotação está 
sendo atrasado cerca de 2 centésimos de milionésimos de segundo a cada dia. Isso significa que cada dia 
é 0,00000002 s mais longo que o dia anterior. É claro que essa é uma diferença absurdamente pequena 
e não faria sentido nos preocuparmos em medi-la de um dia para o outro. Todavia, se analisarmos seu 
efeito cumulativo, podemos concluir que a Terra se atrasa cerca de 14 segundos por século.
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Esse pequeno atraso não é nenhum grande problema no cotidiano da maioria das pessoas. 
Contudo, quando comparamos observações astronômicas feitas em séculos anteriores, que marcam 
as posições dos corpos celestes, podemos observar essa discrepância. De fato, ao comparar as 
posições de todos os corpos celestes no céu, os astrônomos notaram que essas posições pareciam 
indicar que eles chegavam cada vez mais cedo onde eles deveriam chegar, ou seja, eles pareciam 
estar chegando adiantados. No entanto, não era o resto do Universo que estava chegando cada 
vez mais cedo no lugar onde deveria chegar, e sim a Terra que estava se atrasando. Antes que se 
percebesse esse fato, a Terra era considerada um relógio astronômico perfeito e seus movimentos 
eram usados para marcar o tempo: uma rotação = um dia, uma translação = um ano etc. Hoje, 
com um conhecimento geral mais evoluído, os astrônomos aprenderam a levar em conta novos 
efeitos como formas de correção a essas contagens. Entre esses efeitos, está a influência das 
marés no período de rotação.
No início do século XX, o astrônomo britânico George Darwin, filho do famoso biólogo Charles 
Darwin, publicou um estudo falando sobre como a perda de energia devido ao atrito das marés afetava 
o sistema Terra-Lua no longo prazo.
Para entender o argumento de Darwin, devemos antes introduzir o importante conceito de 
momento angular. Considere uma massa m girando com velocidade v ao redor de um eixo fixo a 
uma distância r. Isso pode corresponder à Terra girando em volta do Sol, à Lua ao redor da Terra, 
ou simplesmente a uma pedra amarrada na ponta de um barbante que uma criança segura e faz 
girar ao redor dela mesma. O momento angular L é definido como o produto da massa m, da 
velocidade v e da distância r, ou seja:
L = mvr
A fórmula em questão vale apenas para corpos pontuais, ou seja, para a análise de centros 
de massa. A situação é ligeiramente mais complicada quando consideramos corpos não pontuais, 
como um disco de frisbee ou talvez a própria Terra girando ao redor do eixo. No caso de uma 
partícula pontual, a velocidade de giro é apenas a velocidade da própria partícula. No caso do 
disco ou da Terra, eles são formados por uma infinidade de partículas pontuais a diferentes 
distâncias do eixo. Como esses corpos são rígidos, todas as partículas constituintes giram com a 
mesma velocidade angular w, mas com distâncias do eixo e velocidades lineares diferentes.
Para definir corretamente o momento angular de um corpo cujas dimensões não podem ser 
desprezadas, devemos somar as contribuições das infinitas pequenas partes que formam o corpo. Esse 
procedimento corresponde a uma integral. Imagine que a massa total do corpo é formada por uma 
infinidade de pequenas massas de valor dm e calcule o momento angular para cada uma delas usando a 
fórmula anterior. Depois basta somar todas as contribuições. Ao fazer isso, descobrimos que o momento 
angular total deve ser dado pela seguinte integral:
L dmvr= ∫
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GRAVITAÇÃO
A integração deve ser feita considerando todas as partes que constituem o corpo. Para um corpo na 
forma de uma esfera de raio R e massa total M, o resultado do cálculo nos dá:
L Mv Re=
2
5
Onde ve é a velocidade das partículas no equador.
Uma das leis fundamentais da mecânica descoberta por Newton diz que o momento angular é 
uma grandeza conservada, ou seja, se tivermos um sistema composto de corpos girando ao redor de 
certo eixo, o giro irá continuar de modo que o valor de L não mude. Assim, o momento angular total 
do sistema se mantém constante. Isso não quer dizer que o giro se dá sempre com a mesma velocidade. 
Porém, se a massa permanecer constante e a velocidade de giro aumentar ou diminuir, o valor de r deve 
diminuir ou aumentar para compensar as coisas e manter L constante.
Exemplo de aplicação
Um experimento clássico utilizado em aulas de física para demonstrar a conservação de momento 
angular consiste em sentar uma pessoa em uma cadeira giratória segurando um peso em cada mão. 
Então, pede-se para a pessoa abrir os braços e, com ela nessa posição, rodamos a cadeira. 
 Observação
Para isso dar certo, é preciso ter uma cadeira que gira com atrito bem 
pequeno. 
Após rodar a cadeira, observamos a pessoa girar com os braços abertos em determinada velocidade. 
Enquanto isso, pedimos que ela feche os braços, trazendo os pesos para perto do próprio corpo e, 
consequentemente, para perto do eixo de rotação da cadeira. É preciso que ela seja razoavelmente forte 
para obter êxito, pois o movimento de giro tende a arremessar os pesos para fora da trajetória circular. 
Ao tentar puxá-los para dentro, o indivíduo terá que contrariar essa tendência. 
O que acontece quando os pesos são puxados para perto do eixo de rotação da cadeira? Faça o teste! 
Comentemos o exercício.
A pessoa parece subitamente começar a girar mais rápido, mesmo sem ninguém mais ter vindo 
empurrá-la de novo. Então, fazemos a seguinte pergunta: por que isso ocorre?
Vamos responder de modo claro. Enquanto a pessoa girava com os braços abertos, a massa do 
sistema pessoa-cadeira-pesos estava distribuída a distâncias maiores do eixo de rotação. Os pesos e os 
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Unidade II
braços do indivíduo estavam mais longe desse eixo. Nessa situação, os valores de r que aparecem na 
fórmula do momento angular e que medem as distâncias das massas até o eixo são maiores. Quando 
fecha os braços, os valores de r dos elementos que constituem os pesos e os braços diminuem. Como o 
momento angular é proporcional a r e a v, se r diminui, v precisa aumentar para compensar para que o 
momento angular se mantenha constante.
Esse mesmo experimento pode ser feito com a pessoa segurando os pesos junto do corpo no 
início. Nesse caso, ao abrir os braços, ela passará a girar mais rápido. Independentemente de como o 
experimento começou, se o indivíduo abrir e fechar os braços seguidamente, vai girar mais rápido ou 
mais devagar, de acordo com a intensidade de seu movimento.
O mesmo princípio do experimento descrito é explorado em manobras radicais ou saltos de atletas 
olímpicos, como ginastas e mergulhadores ornamentais. Em várias das manobras executadas por esses 
atletas, eles saltam com os braços inicialmente abertos e, durante o salto, fecham os braços e ganham 
velocidades de giro ainda maiores. Em saltos nos quaiso giro executado não é ao redor do eixo da altura 
do próprio corpo, sendo, assim, mais parecido com uma cambalhota, isso pode ser feito agrupando 
as pernas junto ao corpo. Efeitos surpreendentes podem ser obtidos combinando giros ao redor de 
diferentes eixos e fazendo coisas como fechar os braços e esticar as pernas ou vice-versa.
Voltando a avaliar o movimento do sistema Terra-Lua, considere agora a diminuição da velocidade de 
giro produzida pelo atrito das marés com a superfície terrestre. Pela conservação do momento angular, 
concluímos que a diminuição do ritmo de rotação causa uma contração do momento angular da Terra. 
Como o momento angular total deve se conservar, essa diminuição deve resultar em um aumento 
compensatório no momento angular da Lua. Contudo, como o aumento do momento angular da Lua 
afetaria seu movimento?
Se pensarmos no movimento da Lua ao longo de sua órbita ao redor da Terra, o momento angular 
dela será como o da pedra que é rodada na ponta de um barbante. Logo, temos:
L = mvr
onde m é a massa da Lua, v é a velocidade dela ao longo da trajetória da órbita e r é a distância entre 
a Terra e a Lua.
Por outro lado, lembrando que a força gravitacional é a própria força que mantém a órbita da 
Terra, aproximadamente circular, podemos combinar a lei da gravitação universal e a fórmula da força 
centrípeta:
F F
GMm
r
mv
r
Gravitacional Centr peda=
=
í
2
2
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GRAVITAÇÃO
onde M é a massa da Terra. Simplificando a expressão, temos:
GM
r
v= 2
Então, como L=mvr, podemos substituir v por L/(mr) e simplificar novamente o termo:
GM
r
r
L
GMm
L
m r
=
=
2
2 2
2
2
Da mesma forma, usando L=mvr para substituir r por L/(mv) na expressão, simplificando dos dois 
lados e isolando v, podemos escrever:
GMmv
L
v
v
GMm
L
=
=
2
De acordo com as fórmulas expostas, podemos concluir que a elevação do momento angular da 
Lua faz com que a distância até a Terra aumente e a sua velocidade diminua. Vemos isso, porque r é 
diretamente proporcional ao quadrado de L, então, se L aumenta, r também aumentará. Além disso, v é 
inversamente proporcional a L, então, se L aumenta, v diminui.
Fazendo todos os cálculos envolvidos, é possível descobrir que cada vez que a Lua completa uma 
volta ao redor da Terra, ela fica quase 1 centímetro mais distante do nosso planeta. Isso é muito pouco 
para o nosso tempo de vida, é claro. Entretanto, se calcularmos a distância na qual a Lua estava há 4 e 5 
bilhões de anos, quando a Terra ainda era jovem, veremos que os dois corpos deveriam estar realmente 
muito próximos. Isso é o que George Darwin descobriu. Com base nisso, ele sugeriu que, no passado, a 
Terra e a Lua poderiam, inclusive, terem sido um único corpo. A quebra desse único corpo celeste pode 
ter ocorrido por causa do impacto de um meteoro gigantesco ou talvez por causa das forças de maré 
devido à interação gravitacional com o Sol.
Assim como a pessoa na cadeira gira muito mais rápido quando a massa está concentrada próxima 
ao eixo, se a Terra e a Lua estavam juntas no passado, esse corpo deveria girar bem mais rápido naquela 
época também. Se a velocidade de giro era maior, então os efeitos de deformação causados pelas forças 
de maré deveriam ser bem mais acentuados. Essa constante deformação pode ter sido a causa da 
ruptura que separou a Lua da Terra.
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7 FUGINDO DA GRAVIDADE
7.1 Potencial gravitacional
Vamos tentar descobrir o quão rápido um foguete deve ser para escapar da gravidade da Terra. 
Quando carregamos uma mala escada acima, do térreo até o terceiro andar, em um prédio que não 
tem elevador, devemos realizar um trabalho três vezes maior do que para levar a mala apenas até o 
primeiro andar. Além disso, para levar uma mala de 10 kg, a força será duas vezes maior do que para 
subir uma de apenas 5 kg. Por outro lado, se a atração gravitacional da Terra fosse menor, o encargo 
seria menor também. Então, podemos assumir que o trabalho necessário é diretamente proporcional ao 
deslocamento e ainda diretamente proporcional ao peso da mala.
Quando pensamos sobre levar uma mala escada acima, geralmente nos imaginamos próximos da 
superfície da Terra. Nesse caso, considerar a atração gravitacional, ou seja, o peso da mala, praticamente 
constante é uma boa aproximação. Por outro lado, se pretendemos lançar um foguete até uma altitude 
indefinidamente grande, devemos ponderar que, à medida que o foguete se afasta da superfície, a força 
gravitacional exercida pela Terra sobre ele vai diminuindo. Então, quanto mais alto o foguete vai, mais 
fácil se torna levá-lo ainda mais alto.
F F
F/4
F/9 F/16 F/25
rR 2R 3R 4R 5R
Figura 38 – Força gravitacional exercida pela Terra em função da distância r medida a partir do centro
Podemos ver, na figura anterior, um esquema que representa a força gravitacional exercida pela 
Terra em função da distância até seu centro, medida em unidades do raio da Terra. Uma das conclusões 
da teoria da gravitação de Newton é que a força gravitacional decresce linearmente da superfície para 
o centro da Terra. A outra conclusão, que temos discutido até agora, é que essa força decresce com 
o quadrado da distância à medida que nos afastamos da superfície para fora do planeta. De acordo 
com essa última conclusão, esperamos que a uma distância r=2R do centro (ou seja, a uma distância 
equivalente a dois raios da Terra), a força gravitacional tenha 1/4 do valor que ela tem na superfície. Em 
r=3R, esse valor cai para 1/9. Em r=4R, será apenas 1/16, e assim por diante.
Se a força gravitacional que age sobre um corpo que se desloca para cima de uma altura Dr fosse 
constante, o trabalho realizado para vencer a ação dessa força seria:
DW = Dr.F
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GRAVITAÇÃO
Onde W é o trabalho realizado e F a força aplicada.
A força gravitacional não é constante e vai diminuindo conforme a altitude aumenta. Contudo, se 
tomarmos o limite em que a variação de altitude Dr é muito pequena nesse pequeno intervalo, podemos 
considerar a força praticamente constante. Se calcularmos o trabalho para cada um dos pequenos Dr 
que compõem a distância total desde r=R até algum r>R e depois somarmos os trabalhos em todos os 
pequenos trechos de deslocamento, encontraremos a expressão correta para o trabalho total necessário 
para atingir uma altura r contada a partir do centro da Terra. Esse procedimento corresponde a calcular 
a área embaixo do gráfico da figura anterior entre R e algum r>R. Em outras palavras, devemos calcular 
a integral de r=R até r>R em r de F(r):
W dW drF r
R
r
= ∫ = ( )∫
Substituindo a expressão matemática da lei da gravitação universal:
W dr
GMm
r
W GMmdrr
R
r
R
r
=
=
∫
∫ −
2
2
Utilizando o teorema fundamental do cálculo, temos:
W GMm r R= − − −( )− −( ) ( )1 1
A expressão anterior pode ser reescrita conforme:
W GMm
R r
= −




1 1
Esse é o trabalho para chegar ao ponto r > R a partir do ponto r = R.
Se pretendermos que o objeto de massa m chegue além de qualquer ponto de onde ele possa retornar e 
cair na Terra novamente, devemos assumir que ele irá para longe do alcance de interação, ou seja, devemos 
fazer r = ∞ na fórmula anterior e calcular o trabalho que é preciso realizar para que isso aconteça. Se r = ∞, o 
fator 1/r será igual a 1 dividido por um número muito grande. Isso deve dar um número muito pequeno. No 
limite em que esse número muito grande tendeao infinito, o fator 1/r vai tender a zero e vai desaparecer da 
fórmula do trabalho. Então, o trabalho necessário para escapar da gravidade é dado por:
W
GMm
R
=
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Unidade II
Uma abordagem matematicamente conveniente desse problema consiste em representá-lo por meio 
de uma função que chamamos de potencial gravitacional. O trabalho por unidade de massa para levar 
algum corpo de r=R até r>R pode ser representado pela diferença:
∆V GM
R
GM
r
GM
r
GM
R
= − = −



 − −




O primeiro objeto entre parênteses do lado direito da última equação é definido como o potencial 
gravitacional V(r) no ponto r:
V r
GM
r
( ) = −
7.2 Velocidade de escape
 “Tudo o que sobe tem que descer” é um famoso ditado que, no entanto, já não é mais verdadeiro. 
Muitos foguetes lançados no último século a partir da superfície da Terra se tornaram satélites artificiais 
com tempos de vida indefinidamente longos. Outros se perderam para sempre na imensidão do espaço 
interplanetário. Já enviamos missões tripuladas para orbitar e pousar na superfície da Lua, também 
conseguimos pousar naves não tripuladas e controlar robôs que andam na superfície de Marte. Naves 
lançadas a partir da Terra já foram colocadas em órbita ao redor de outros planetas do Sistema Solar. 
As missões Voyager chegaram aos limites do Sistema Solar. A gravidade da Terra já não é um limite 
para o alcance humano. Apesar disso, ainda mal começamos a explorar o Sistema Solar como um todo. 
Mesmo viajando na nave mais veloz que nossa tecnologia permitiu fabricar, levaríamos milhares de anos 
para chegar da Terra até Alfa Centauri, que é a estrela mais próxima de nós sem ser o Sol. O Sol e Alfa 
Centauri são apenas duas entre as bilhões de estrelas que formam a nossa galáxia. A Via Láctea, por 
sua vez, é apenas uma entre centenas de bilhões de galáxias que formam o Universo conhecido. Talvez 
já possamos evadir da gravidade, mas certamente ainda não podemos fugir das grandes distâncias e 
do tempo que precisaríamos para percorrê-las. O primeiro passo, porém, é entender como escapar da 
gravidade da Terra. 
Usando a noção de potencial gravitacional que apresentamos anteriormente, podemos 
facilmente calcular a velocidade que um objeto precisa ter a partir do solo para conseguir ser 
lançado de modo que jamais volte a cair na Terra. Conforme vimos, o trabalho W necessário para 
erguer uma massa m da superfície da Terra até uma altura r maior que o raio do planeta, contada 
a partir do seu centro, é dado por:
W GMm
R r
= −




1 1
Onde G é a constante da gravitação, M é a massa da Terra, m a massa do objeto e R é o raio da Terra.
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GRAVITAÇÃO
Como foi discutido neste livro-texto, se desejamos que o objeto de massa m escape da interação da 
gravidade terrestre, devemos considerar r = ∞ na fórmula anterior. Assim, o segundo termo vai a zero, 
levando a:
W
GMm
R
=
O trabalho que efetuamos se traduz em movimento. Desse modo, a variação da energia cinética é 
igual ao trabalho realizado. Por outro lado, a energia cinética de um objeto de massa m se movendo com 
velocidade v é dada por:
E
mv
c =
2
2
Para fornecer ao corpo a energia suficiente para que ele consiga escapar da atração das forças 
gravitacionais terrestres, devemos satisfazer à condição de que a energia cinética inicial seja maior ou 
igual ao trabalho que ele terá que realizar para escapar, ou seja:
mv GMm
R
2
2
≥
Se essa energia for exatamente igual, o corpo chegará a uma grande distância da Terra e, ao atingi-la, 
vai parar, pois toda a energia cinética terá sido consumida e convertida em trabalho. Se ela for maior, o 
corpo chegará a uma grande distância da Terra e, assim, ainda terá alguma velocidade.
Como podemos cancelar m dos dois lados da equação anterior, conclui-se que a velocidade necessária 
para fazer qualquer corpo escapar é a mesma, independentemente da massa do corpo. É claro que pode 
ser muito mais difícil fazer um corpo muito pesado atingir uma alta velocidade. Nesse sentido, é muito 
mais fácil lançar um corpo mais leve, como é de se esperar. Entretanto, a velocidade a se atingir é a 
mesma. Isolando v na última equação, temos:
v
GM
R
≥
2
Ao colocar os valores conhecidos na expressão, temos:
R = 6371 km = 6,37 x 106 m
M = 5,97 x 1024 kg
G = 6,67 x 10-11 m3 kg-1 s-2
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Então, obtemos:
v km s, /≥112
Assim, para lançar um objeto de modo que ele consiga escapar da atração gravitacional da Terra, 
devemos dar a esse objeto uma velocidade de, no mínimo, 11,2 km/s. Essa velocidade é chamada de 
velocidade de escape.
A situação analisada é, obviamente, uma versão simplificada do problema real. Um fator que 
complica o cálculo em questão, por exemplo, é a resistência do ar imposta pela atmosfera terrestre. 
Essa resistência do ar atua de forma mais intensa quanto maior a velocidade do objeto, mas também 
depende da forma dele. É mais fácil lançar um objeto cuja forma o torna mais aerodinâmico. 
No livro de ficção científica do século XIX, Jornada ao Redor da Lua, o autor Jules Verne descreve 
uma nave que é lançada a partir da Terra de um canhão, como se fosse uma enorme bala. Todavia, 
jamais seria possível para essa nave escapar da atmosfera terrestre sem que o atrito com o ar a fizesse 
derreter completamente. Isso porque, se ela era como uma bala de canhão, ela não tinha um motor 
próprio e, portanto, teria que ser lançada já com a velocidade de escape. Essa velocidade é muito alta e, 
como a resistência do ar é maior para altas velocidades, essa resistência seria muito alta.
A maneira de driblar esse problema é não dar ao corpo que se quer lançar a velocidade necessária 
desde o início, mas, ao invés disso, ir aumentando sua velocidade aos poucos, fazendo com que ela 
atinja um valor muito grande quando a altitude for suficiente para que o ar seja rarefeito e a resistência 
do ar desprezível ou quando o corpo em questão já estiver acima da atmosfera terrestre. Um corpo que 
não tem um motor próprio não poderia ir aumentando gradativamente sua velocidade, mas teria que 
já ser lançado com a velocidade de escape. Essa é a razão para se utilizar foguetes no lançamento de 
objetos ao espaço em vez de simplesmente dispará-los usando um canhão.
Outro ponto importante é que um foguete lançado para outros planetas do Sistema Solar não terá 
que lidar somente com a gravidade da Terra, mas também com a atração exercida pelo Sol. Quando 
um foguete deixa a Terra com uma velocidade relativamente pequena, apenas ligeiramente maior do 
que a velocidade de escape, ele estará restrito a se mover perto do caminho da órbita da Terra e não 
conseguirá nem se aproximar do Sol nem se afastar dele.
Sol
Mercúrio
Vênus
Terra Marte
Figura 39 – Poços de potencial gravitacional gerados pelo Sol e pelos primeiros planetas
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Para conseguir se afastar da órbita da Terra, o foguete terá que ter uma velocidade suficiente 
para também conseguir se afastar do Sol. Podemos pensar nesse problema em termos do potencial 
gravitacional. Olhando a Terra de perto, o potencial gravitacional a ser vencido para escapar tem a 
forma de um buraco com perfil na forma de uma curva -GM/r, que forma uma espécie de poço. Escapar 
da gravidade da Terra significa escalar as paredes desse poço e sairdele. A própria Terra também está 
dentro de um poço de potencial formado pela gravidade do Sol. Esse poço é do tipo –GM’/r, onde M’ é 
a massa do Sol, que é muito maior do que a massa M da Terra. 
Por exemplo: a altura a ser escalada depois de sair do poço de potencial da Terra para continuar 
subindo até chegar à órbita de Marte é aproximadamente 6,5 vezes maior que a altura do poço da Terra 
isoladamente. Como a energia cinética é proporcional ao quadrado da velocidade, a velocidade mínima 
necessária para um foguete chegar da Terra até a órbita de Marte será igual à velocidade de escape 
multiplicada por um fator de 6 5, , ou seja:
v
GM
RMarte
. , .
≥
2 6 5
 Lembrete
Note que o potencial da Terra é dado por GM/R e aparece dentro da raiz 
da fórmula da velocidade de escape.
Podemos reescrever a equação do seguinte modo:
v
GM
R
v v
Marte
Marte Terra
, .
.
, .
≥
≥
6 5
2
6 5
Onde vTerra é a velocidade de escape da Terra. A equação nos leva a:
v km s, , /≥ × =112 6 5 28
Será que ir para Vênus seria mais fácil que ir até Marte? Podemos imaginar que sim, já que Vênus 
está mais próximo do Sol. A gravidade do Sol poderia ser aproveitada para atrair o foguete na direção 
da órbita de Vênus. Ironicamente, descer o poço de potencial é tão difícil quanto subir. Isso ocorre 
pelo seguinte fator: uma vez que o foguete atinge a velocidade necessária para escapar da Terra, ele 
fica em uma órbita ao redor do Sol próxima da órbita da própria Terra. Para aproveitar a gravidade 
do Sol e ser atraído poço abaixo na direção da órbita de Vênus, ele teria que reduzir sua velocidade. 
Entretanto, ao contrário de um carro em uma rodovia, o foguete está no vazio do espaço e não pode 
simplesmente acionar um freio ou se escorar em alguma coisa. Para reduzir sua velocidade, o foguete 
precisa acionar seus motores e direcionar seus jatos no sentido reverso. Isso também irá consumir 
energia e o combustível do foguete.
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Unidade II
Por outro lado, a órbita de Vênus fica mais próxima da Terra do que a órbita de Marte. Então, por 
causa dessa proximidade, acaba sendo realmente mais fácil enviar um foguete a Vênus do que a Marte. 
 Lembrete
É importante destacar que isso não tem nada a ver com o fato de um 
ou outro planeta estar mais próximo ou mais distante do Sol.
Um modelo comum de foguete consiste em uma sequência de estágios. Cada um desses estágios é, na 
prática, um novo foguete – de modo que o foguete inteiro é formado por uma série de foguetes menores 
empilhados. O lançamento do foguete se inicia com o acionamento dos motores do estágio inferior. 
Quando o foguete atingir a maior velocidade vertical possível e todo o combustível contido no estágio 
inferior tiver sido consumido, essa parte do foguete será apenas um grande tanque vazio. O peso extra 
será então abandonado e esse estágio se desconectará do restante do foguete. Nesse ponto, o segundo 
estágio será acionado e um novo processo de impulsão começará. Esse processo é repetido algumas vezes 
até restar apenas o último estágio, que é uma pequena parte no topo do foguete. Esse último estágio é 
aquele que deverá ser acelerado até atingir a velocidade de escape necessária, dependendo dos objetivos 
da missão. É aí que são colocados instrumentos científicos, ogivas nucleares, antenas de satélites, ratos, 
macacos, cães, homens ou qualquer outra coisa que se queira lançar no espaço.
Os primeiros foguetes lançados no espaço utilizavam combustíveis líquidos. Outra possibilidade 
consiste no uso de energia nuclear. Sempre que se pensa na propulsão no espaço, é preciso lembrar que 
se trata de um problema completamente diferente do que se encontra quando se pretende impulsionar 
automóveis, navios ou aviões. Para impulsionar todos esses veículos no nosso planeta, tudo o que 
precisamos é de energia. Se dispusermos da energia necessária para movimentar os motores, cada um 
desses veículos irá movimentar um determinado mecanismo que lhe permita “remar” dentro do meio 
em que ele se encontra. As rodas de um automóvel giram e empurram o chão da estrada para trás e, 
com isso, o automóvel vai para frente. As hélices de um navio giram e puxam a água do mar para trás 
e, consequentemente, o navio avança. As turbinas de um avião fazem o mesmo com o ar. Acontece que 
no espaço não há chão, água, ar ou qualquer outro meio material em que o foguete possa se apoiar. Por 
isso, a única maneira de esse foguete ir para frente é lançando para trás alguma coisa que ele mesmo 
esteja carregando.
Nos típicos foguetes movidos com combustível químico, a energia é produzida por uma reação 
química entre o combustível e um comburente carregado em um compartimento separado. Os produtos 
dessa reação são gases a altas pressões e temperaturas que são ejetados para trás. Esses gases são 
usados como o material que deve ser jogado para trás para que o foguete avance. 
Note que isso é bem diferente do que acontece com um automóvel. Em um carro, o combustível é 
queimado e o comburente é o próprio oxigênio contido na atmosfera. Não é preciso carregar o próprio 
comburente, pois ele pode ser coletado do ambiente. A energia produzida na reação de queima do 
combustível do carro é aplicada para movimentar as rodas. Essas rodas empurram o chão para trás, 
o que faz com que o carro se mova. Os produtos dessa reação são ejetados pela parte de trás pelos 
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escapamentos também, mas não a ponto de ter energia suficiente para contribuir com o movimento do 
carro. No caso de um foguete, o que é jogado para fora pelo “escapamento” é tudo e justamente aquilo 
que faz o foguete se movimentar.
Um problema que se encontra para impulsionar os foguetes é que os materiais utilizados como 
combustível em geral precisam fornecer grandes quantidades de energia para impulsioná-lo e, aqueles 
capazes de fazê-lo, são mais pesados. A teoria que rege o movimento dos foguetes mostra que a 
velocidade diminui se a massa dos gases expelidos for maior. Por isso, é mais vantajoso produzir jatos 
formados com elementos químicos o mais leves possível. No caso, o elemento mais leve é o hidrogênio. 
No entanto, o hidrogênio não é produzido como resultado de nenhuma reação de queima. O que pode 
ser feito, porém, é usar um tanque de hidrogênio líquido e então aquecê-lo, com algum tipo de reator 
nuclear, até obter uma temperatura muito alta.
Outra proposta para uso de energia nuclear na propulsão de foguetes consiste em preencher o corpo 
do foguete com um grande número de pequenas bombas atômicas, que seriam ejetadas uma a uma pela 
parte de trás do foguete e então acionadas quando estivessem a certa distância dele. Os gases em altas 
velocidades resultantes dessas explosões alcançariam o foguete e o impulsionariam.
Basicamente, quando lançamos uma nave para o espaço, encontramos dois diferentes tipos de 
problema. O primeiro é saber como vencer a atração gravitacional da Terra. O segundo é descobrir 
como atingir a velocidade necessária para ir onde queremos, considerando que já tenhamos escapado. 
Não necessariamente o método utilizado para propulsão precisa ser o mesmo nos diferentes estágios 
envolvidos nessas tarefas.
É preciso deixar a superfície da Terra com uma metodologia mais potente e violenta, caso contrário 
o foguete não se ergueria o suficiente em relação ao seu ponto de lançamento. Métodos químicos ou 
nucleares poderosos são exigidos. Uma vez que a nave é erguida e colocada em órbita ao redor da Terra, 
a situação já é bem diferente. Nesse ponto temos bastante tempo à nossa disposição para acelerar a 
nave e também já não temos a resistência do ar jogandocontra. Assim, podemos utilizar métodos mais 
lentos, graduais e econômicos para acelerar, como algum processo químico ou nuclear. Até mesmo a 
energia solar pode, a princípio, ser aplicada para iniciar as reações envolvidas. O essencial é que nesse 
momento já não estamos mais com tanta pressa, pois se a nave foi colocada em órbita, ela já não corre 
o risco de cair de volta na Terra. Daí em diante, portanto, a nave pode ser acelerada vagarosamente para 
ser levada a órbitas cada vez mais abertas em um grande movimento espiral até finalmente atingir a 
velocidade final necessária para cumprir a missão.
8 TEORIA DA GRAVIDADE DE EINSTEIN: PROBLEMAS NÃO SOLUCIONADOS 
DA GRAVITAÇÃO
O enorme sucesso da teoria da gravitação newtoniana em descrever os movimentos dos corpos 
celestes em seus mínimos detalhes caracterizou uma era memorável na história da Física e da Astronomia. 
Entretanto, a natureza da interação gravitacional e, em particular, a razão para a proporcionalidade entre 
a massa inercial e a massa gravitacional, que leva todos os corpos à mesma aceleração, permaneceu um 
mistério até que Albert Einstein publicasse seu trabalho no início do século XX. Uma década antes, ele 
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já havia formulado sua famosa teoria da relatividade especial, na qual ele postulava que nenhuma 
observação feita dentro de uma câmara fechada permitiria concluir se a câmara em questão estava parada 
ou em movimento retilíneo uniforme. Por causa disso, Einstein rejeitou a ideia de que pudesse haver 
um movimento uniforme absoluto, que era uma ideia muito antiga e muito bem estabelecida. De fato, 
nenhum experimento – mecânico, óptico ou de qualquer outro tipo – realizado dentro de uma cabine 
fechada deve ser afetado pelo movimento de um navio sobre águas calmas com velocidade constante e 
ao longo de uma linha reta. Se o navio estiver no meio do oceano e se nenhum ponto de referência estiver 
por perto, não seria possível dizer que o navio se movimenta mesmo olhando pela janela.
Nesse contexto, Einstein imaginou a si mesmo na posição de um astronauta e considerou quais 
seriam os resultados de uma série de experimentos físicos realizados em uma estação espacial, distante 
de qualquer grande objeto massivo que pudesse influir gravitacionalmente nesses experimentos. Nessa 
estação espacial, estivesse ela em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme em relação às estrelas 
distantes, os observadores, dentro do laboratório, ou os instrumentos, que não estivessem presos às 
paredes, flutuariam livremente dentro dela. Não haveria “em cima” ou “embaixo”. Todavia, se os motores 
dos foguetes da estação fossem ligados de modo a acelerá-la em alguma direção, fenômenos muito 
similares à gravitação na Terra poderiam ser observados. Todas as pessoas e objetos seriam pressionados 
contra a parede localizada na posição oposta ao sentido do movimento. Essa parede, então, se tornaria o 
“chão” e a parede oposta a ela seria o “teto”. Além disso, se a aceleração da nave fosse igual à aceleração 
da gravidade próxima à superfície da Terra, as pessoas dentro da estação poderiam facilmente acreditar 
que estivessem em algum lugar da Terra, e não em algum ponto distante do espaço.
Suponhamos que, para testar as propriedades dessa “pseudogravidade”, um observador dentro da 
estação abandone simultaneamente duas pequenas esferas. Enquanto ele segura as esferas nas mãos, 
elas estão se movendo junto com a nave em movimento acelerado. Contudo, assim que ele solta as 
esferas, já não há nada prendendo-as à nave, e, como a nave está acelerando, as esferas são deixadas 
para trás até que atinjam o “chão”, isto é, a parede da nave está fazendo o papel de chão. No movimento 
das esferas que é observado de dentro da nave, elas “descem” lado a lado, ganhando velocidade juntas.
Do ponto de vista de um observador no interior da nave, é como se as duas esferas estivessem 
caindo sob a ação de um campo gravitacional, inclusive atingindo o chão ao mesmo tempo, conforme 
se esperaria de acordo com o experimento de Galileu na Torre de Pisa. Esse observador ficará satisfeito 
e convencido do fato de que realmente há um campo gravitacional no interior da nave.
De acordo com Einstein, as duas descrições do que está acontecendo são igualmente válidas. A 
segunda teoria relativística proposta por ele, a teoria da relatividade geral, é construída a partir desse 
princípio básico, que é conhecido como princípio da equivalência. Esse princípio pode parecer bastante 
simples quando aplicado a fenômenos mecânicos como o descrito aqui. Entretanto, segundo a ideia de 
Einstein, o princípio deveria ser igualmente válido também para fenômenos ópticos e eletromagnéticos.
Vamos considerar o que acontece dentro da câmara da nossa nave ou estação espacial em 
aceleração quando um raio de luz a cruza de lado a lado. Pode ser uma daquelas canetas laser usadas 
em apresentações. Para ver o caminho percorrido pela luz, podemos soprar um pouco de fumaça de 
cigarro na região por onde a luz está passando. O que se observa nessa situação é que o raio de luz se 
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propaga, formando uma curva. Se a caneta estiver apontando na horizontal, o raio vai chegar do outro 
lado da nave em um ponto um pouco mais baixo do que aquele de onde ele foi emitido. Além disso, ao 
soprar a fumaça, veremos de fato uma linha curva. 
É claro que estamos exagerando um pouco, pois esse efeito é muito pequeno para ser notado a olho 
nu e requer um experimento de altíssima precisão. Mesmo assim, supondo que esse efeito tenha sido 
constatado, o que pensaria a pessoa no interior da nave, que não sabe que está se movendo e acredita 
estar na Terra sob a ação do campo gravitacional?
Essa pessoa irá pensar que a luz está sendo curvada pelo campo gravitacional da Terra!
Assim, Einstein assumiu que, se o princípio da equivalência fosse mesmo um princípio fundamental 
da física, então raios de luz vindos de estrelas distantes deveriam ser curvados ao passar perto da 
superfície do Sol durante seu caminho até atingir a Terra. Todavia, por que usar o Sol como causa da 
curvatura do raio de luz? Bem, o Sol é muito mais massivo que a Terra, então talvez a curva produzida 
pelo Sol pudesse ser percebida.
A conclusão de Einstein foi confirmada experimentalmente em 1919, em uma expedição organizada 
pelo astrônomo britânico Arthur Eddington. Essa expedição mandou dois grupos simultaneamente 
para a Ilha do Príncipe, na costa da África, e para a cidade de Sobral, no Brasil. Esses eram os locais 
na Terra onde o escurecimento causado por um eclipse solar seria o maior possível. Se as condições 
meteorológicas estivessem boas em pelo menos um dos locais, poderia se observar algumas estrelas em 
posições no céu próximas do Sol. Em geral não conseguimos ver estrelas durante o dia, pois a luz do Sol 
ofusca a nossa visão. É exatamente aí que entra o eclipse.
Algumas estrelas que provavelmente estariam próximas do Sol no dia e hora do eclipse foram 
escolhidas. Os cientistas sabiam qual deveria ser a posição aparente daquelas estrelas no céu, pois essas 
posições já haviam sido medidas durante a noite em épocas do ano em que a Terra e o Sol estavam em 
posições similares. 
Se a teoria de Einstein estivesse correta, a posição em que aquelas estrelas seriam vistas quando a 
luz delas passasse perto do Sol seria ligeiramente diferente. Além disso, o tamanho do desvio deveria ser 
compatível com os cálculos feitos por Einstein usando a sua teoria.
Terra
Lua
Caminho da luz
Sol
Posição aparente 
da estrela
Posição verdadeira 
da estrela
Figura 40 
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Essa figura indica como se deu o experimento para provar a teoria da relatividade geral durante 
um eclipse solar. Segundo a posição verdadeira da estrela, nesse esquema, seria impossível enxergá-la. 
Porém, devido à atração gravitacional exercida sobre seus raios de luz, sua imagem chegou à Terra. A 
partir de nosso ponto de vista, entretanto, não identificamos a curva, e acreditamos que ela emitiu a luz 
através de um percurso reto. No caso do experimento, sabia-se a posição real de onde a estrela estava e 
sabia-se a posição teórica, segundo a relatividade geral, na qual a estrela aparentaria estar.
O resultado do experimento se mostrou compatível com a teoria da relatividade geral de Einstein. 
Antes da publicação desse efeito, a comunidade científica daquela época olhava suas teorias com certa 
desconfiança e ceticismo. O público geral nem imaginava quem ele poderia ser. No entanto, após essa 
confirmação em 1919, Einstein ganhou um status de celebridade mundial e ícone pop. Ficou conhecido 
como “o homem que desbancou Newton”, que até então era tido como o maior gênio que já vivera. 
Mesmo que a grande maioria das pessoas ignorasse tais fatos e ainda hoje não conheça os detalhes 
técnicos envolvidos nas teorias de Einstein, é muito fácil encontrar por aí uma caneca de porcelana com 
a face dele e a fórmula E=mc2 estampadas.
Voltemos nossa atenção para outro tipo de movimento acelerado e sua relação com o campo 
gravitacional. Até aqui falamos de situações nas quais a velocidade muda seu valor, mas não sua 
orientação no espaço. Há também o caso em que a orientação da velocidade varia. Essa conjuntura 
corresponde aos movimentos rotacionais. Imagine uma plataforma parecida com a base de um 
carrossel girando e, depois, que ao redor da plataforma exista uma parede circular sem janelas – de 
modo que alguém que está em cima da plataforma não possa enxergar o mundo fora dela. Como 
sabemos, uma pessoa sobre uma plataforma que gira estará sujeita à ação de forças centrífugas, 
que tendem a jogá-la para as bordas da plataforma. Uma bola colocada sobre a plataforma irá rolar 
para longe do centro. A força centrífuga, atuando em qualquer objeto colocado na plataforma, será 
proporcional à massa desse objeto. 
Assim, observamos nesse caso uma espécie de equivalência entre essa situação e um campo 
gravitacional. Entretanto, esse seria um campo gravitacional bastante peculiar e bem diferente daquele 
que encontramos nas vizinhanças da Terra ou do Sol. Primeiramente, não encontraríamos uma atração 
que cai com o quadrado da distância a partir do centro, esse campo corresponderia corresponder a uma 
repulsão a partir do centro, que aumenta de forma proporcional à distância a partir desse centro. Em vez 
de possuir simetria esférica, ele possui simetria cilíndrica. Surpreendentemente, porém, o princípio da 
equivalência de Einstein também funciona nessa nova situação e as forças dentro do carrossel girando 
podem ser consideradas equivalentes a forças gravitacionais, sendo causadas por massas distribuídas a 
grandes distâncias e orbitando ao redor do eixo no centro do carrossel.
Eventos físicos ocorrendo nessa plataforma que gira podem ser compreendidos com base na teoria 
da relatividade especial de Einstein. Por esta teoria, os comprimentos e o próprio tempo são afetados 
pelo movimento relativo dos corpos.
Se observarmos um objeto em movimento passar por nós com uma certa velocidade v, esse objeto 
parecerá contraído na direção do movimento dele por um fator:
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v
c
onde c é a velocidade da luz. Para velocidades típicas do dia a dia, que são muito pequenas 
comparadas com a velocidade da luz, esse fator é praticamente igual a 1, portanto, não há nenhuma 
contração observável. Contudo, quando v está próxima de c, o efeito de contração se torna cada vez 
mais importante.
Se analisarmos um relógio em movimento passando por nós com uma certa velocidade v, ele parecerá 
estar andando mais lentamente do que deveria, como se estivesse em câmera lenta. A taxa de passagem 
do tempo nesse relógio parecerá deformada por um fator multiplicativo:
1
1
2
2−
v
c
Assim como no caso da contração espacial, esse efeito só pode ser apreciado em situações nas quais 
a velocidade v for muito alta, de modo a estar próxima da velocidade da luz.
Tendo em mente esses dois efeitos, vamos considerar os resultados de várias observações que podem 
ser feitas na plataforma girante descrita anteriormente. Suponha que desejamos descobrir quais são as 
leis físicas que regem a propagação da luz entre dois pontos dessa plataforma. Então, selecionamos dois 
pontos, A e B, próximos da periferia do disco. Um dos pontos será a fonte do raio de luz e outro será o 
receptor. De acordo com as leis básicas da óptica, a luz sempre viaja pelo menor caminho possível entre 
dois pontos. Em geral, tendemos a acreditar que esse menor caminho possível é uma linha reta. Todavia, 
vamos abrir mão dessa perspectiva por enquanto e vamos tentar descobrir como é o caminho seguido 
pelo raio de luz nessa situação particular. 
A
B
Caminho da luz
Figura 41 – Ilustração indicando o percurso realizado pela luz no caso de um sistema girante relativístico
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Para medir o comprimento de qualquer linha conectando A e B, usaremos um antigo, porém seguro 
método. Vamos contar o número de réguas de 1 metro que cabem enfileiradas entre o ponto A e o 
ponto B. Se o disco não estivesse rodando, a resposta seria bem conhecida e corresponderia à linha reta 
conectando os dois pontos. Contudo, devido ao movimento de rotação, as réguas de 1 metro fixadas ao 
longo da linha unindo A e B estarão se movendo junto com a plataforma, com certa velocidade e, por 
causa disso, sofrerão o efeito de contração em seu comprimento descrito aqui. Então, precisaremos de 
um número maior de réguas para medir a distância entre os pontos. Um efeito interessante acontece. 
Se movermos uma das réguas na direção do centro do disco, sua velocidade linear será menor do que 
antes, pois ela irá cobrir um arco de círculo menor no mesmo tempo. Nessa situação, essa régua já não 
irá se contrair tanto como no momento em que ela estava mais distante do centro. Assim, se curvarmos 
a linha de réguas colocadas em sequência na direção do centro do disco, precisaremos de um número 
menor de réguas. Essa deve ser, portanto, a menor distância possível entre os pontos A e B e deverá ser 
o caminho seguido pela luz.
Antes de deixar a plataforma girante, vamos considerar mais um efeito interessante. Imagine que 
coloquemos dois relógios sobre a plataforma. Um no centro dela e o outro perto da borda. Como o 
primeiro relógio está em repouso enquanto o segundo está se movendo (pois é carregado pela borda), o 
outro vai se atrasar em relação ao primeiro devido ao efeito relativístico da dilatação do tempo descrito. 
Se usarmos o princípio da equivalência para estabelecer um paralelo entre a plataforma girando e um 
campo gravitacional, seremos levados a concluir que em locais onde o campo gravitacional é mais 
intenso o tempo passa mais devagar. Essa passagem mais lenta do tempo se aplica igualmente a todas 
as coisas, sejam eventos físicos, reações químicas ou fenômenos biológicos, como o tempo da vida 
dos organismos naquele local. Nesse sentido, isso é como conceber que uma pessoa trabalhando no 
primeiro andar de um prédio muito alto irá envelhecer mais devagar que sua irmã gêmea que opera no 
último andar do mesmo prédio. Essa diferença, é claro, será muito pequena.De fato, para um prédio 
do tamanho do Empire State em Nova Iorque, podemos dizer que em dez anos a diferença no tempo 
será de apenas alguns milionésimos de segundo. Embora essa disparidade seja muito pequena para 
vários andares de um edifício, se considerarmos a diferença na passagem do tempo que aparece entre 
um ponto no solo e um satélite artificial em órbita ao redor da Terra, ela se torna considerável e essa 
discrepância de tempo deve ser levada em consideração para medir a posição ao longo do tempo do 
satélite em questão. Se isso não fosse feito, seria impossível que os sistemas de localização baseados 
em GPS funcionassem com precisão suficiente para localizar um automóvel dentro da largura de uma 
rua ou na vaga certa do estacionamento de um shopping center. A precisão seria não de uns poucos 
centímetros, mas de algumas centenas de metros.
No caso da diferença da passagem do tempo em um satélite, duas coisas divergentes podem 
acontecer. Se a altitude da órbita for relativamente baixa, o efeito que predominará será o de atraso 
no relógio do satélite, devido ao fato de ele precisar voar a uma velocidade maior para se manter sobre 
o mesmo ponto da superfície da Terra (no caso de um satélite geoestacionário). Por outro lado, para 
órbitas mais distantes, o efeito relativístico dominante será o de adiantamento do relógio do satélite 
pela razão de ele se encontrar numa região onde o campo gravitacional da Terra é mais fraco. Nesse 
sentido podemos afirmar que, na Lua, que fica a cerca de 384.000 km de distância da Terra, o tempo 
passa mais rápido em relação ao tempo da Terra.
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Além disso, se considerarmos a diferença na gravidade perto da superfície da Terra e perto da 
superfície do Sol, por exemplo, esse tipo de efeito é ainda maior. Um relógio colocado na superfície do 
Sol correria mais devagar do que um na superfície da Terra. É claro que ninguém pode realmente colocar 
um relógio na superfície do Sol, porém a redução do ritmo de passagem do tempo perto da superfície 
solar já foi realmente medida por meio da observação de variações nas posições das linhas espectrais da 
radiação emitida pelos elementos químicos contidos na estrela. 
Figura 42 – Ilustração esquemática mostrando o avanço do periélio de Mercúrio a cada século
Os efeitos não previstos pela teoria newtoniana da gravitação são, de modo geral, muito mais notáveis 
em regiões de forte atração gravitacional. Mercúrio, por exemplo, é o planeta mais próximo do Sol. No fim do 
século XIX, uma das poucas coisas sobre o movimento dos corpos celestes que a lei da gravitação universal 
não era capaz de explicar era o movimento de precessão do periélio de Mercúrio. De fato, todos os planetas 
do Sistema Solar apresentam esse tipo de movimento e uma ampla coleção de dados já existia. Os resultados, 
no entanto, indicavam que Mercúrio estava sempre adiantado em relação ao previsto para o seu movimento. 
Astrônomos realizavam cálculos utilizando várias abordagens, mas sempre chegavam a uma mesma conclusão, 
de que não seria possível executar tal órbita somente com as massas conhecidas dos planetas. Era como se 
faltasse massa nas regiões próximas a Mercúrio. Assim, os astrônomos começaram a imaginar e buscar algum 
planeta ou satélite natural próximo dele, como foi feito no caso de Netuno. Após inúmeras tentativas sem 
sucesso, Albert Einstein mostrou teoricamente que o movimento “adiantado” de Mercúrio era previsto, sendo 
decorrente da modificação das órbitas elípticas dos planetas devido à deformação do espaço-tempo. Como a 
atração gravitacional é mais intensa em Mercúrio, o desvio relativo à órbita é mais pronunciado. 
Nossa discussão até agora nos levou a concluir que a luz se propagando perto de um campo 
gravitacional não segue uma linha reta, mas uma curva que pode ser mais ou menos acentuada, 
dependendo da intensidade do campo gravitacional. Isso é equivalente a dizer que a menor distância 
entre dois pontos em um campo gravitacional não é uma linha reta, mas uma curva. A ideia de Einstein 
ao descrever os campos gravitacionais era que, em vez de abandonar a ideia de que uma linha reta 
deixa de ser reta, devemos imaginar que o próprio espaço e tempo se curvam na presença de campos 
gravitacionais. Em uma analogia com uma superfície esférica, como a superfície da Terra, por exemplo, 
podemos dizer que a menor distância que uma pessoa pode percorrer a pé para chegar de um lugar a 
outro não é realmente uma linha reta, mas um arco de circunferência com raio igual ao da Terra.
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Na visão de Einstein, o caminho seguido pelos corpos sob a ação da gravitação, seja a própria luz, 
seja qualquer outro corpo, sempre deve corresponder à menor distância possível que se pode seguir, 
dada a restrição imposta pela curvatura do espaço-tempo. Esses caminhos são as órbitas elípticas (ou 
aproximadamente elípticas, conforme discutimos para o caso de Mercúrio) dos planetas ao redor do Sol 
ou as trajetórias dos corpos em queda livre, como arcos de parábola. Essa é uma visão completamente 
oposta à tradicional. Ela abandona o conceito de força em si, que é a base da teoria newtoniana, e 
adota uma visão geométrica do espaço-tempo, que enxerga a gravitação como um efeito de curvatura, 
causada na realidade pela presença de massa. Em outras palavras, corpos massivos produziriam uma 
deformação na curvatura do espaço-tempo que acabaria atraindo outros corpos massivos ou a luz. 
Figura 43 – Esquema para ilustração de uma deformação produzida no tecido espaço-tempo 
A atração gravitacional da luz, de fato, quando causada por objetos muito massivos, também 
dá origem a outro tipo de fenômeno impossível de ser previsto pela teoria newtoniana, a existência 
de buracos negros. Estes seriam regiões do espaço-tempo cuja massa é tão alta e concentrada 
que nada poderia escapar de sua atração, nem mesmo a luz. Se enviarmos um sinal elétrico 
qualquer a essa região, não obteremos qualquer retorno e a enxergaremos como um grande vazio 
negro. Com efeito, nada escapa de seu alcance, sendo suas regiões limítrofes, ou seja, aquelas nas 
quais a luz ainda pode escapar, denominadas horizonte de eventos. A formação de um buraco 
negro, no entanto, não ocorre somente devido a corpos extremamente massivos. Einstein, em 
sua famosa equação E=m.c2, mostrou que massa e energia são grandezas equivalentes, e assim 
ambas produziriam deformações no tecido espaço-tempo. A realização de experimentos com 
altíssimas energias, em grandes aceleradores de partículas, por exemplo, poderiam, a princípio, 
formar pequenos buracos negros. A existência ou formação deles é um tópico de muita discussão 
na atualidade e a resposta ainda não é consensual.
Como última análise, imagine que uma grande colisão de buracos negros ocorresse em uma 
região distante do espaço. É óbvio que se estivéssemos muito distantes, jamais saberíamos de sua 
existência, mas digamos que, neste exemplo, mesmo de longe, conseguíssemos sentir seus efeitos. 
Será que exatamente no momento da colisão sentiríamos algo? A resposta é não, pois nenhum tipo 
de informação se propaga com velocidade acima da luz. De fato, este é um problema similar ao de 
uma pedra caindo sobre um lago. Ao derrubar a pedra, ondas se propagariam até as regiões mais 
distantes, sendo a perturbação criada pela sua queda transmitida para outros objetos. Somente no 
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instante em que sua onda alcança os corpos, como uma folha, por exemplo, é que estes sentem os 
efeitos devido à sua